Caracterização experimental dos Estados de Polalização da luz via análise de imagens

Caracterização experimental dos Estados de

Polalização da luz via análise de imagens

Niterói

Caracterização experimental dos Estados de

Polalização da luz via análise de imagens

Orientador:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Rodrigues de Souza

Universidade Federal Fluminense Instituto de Física

Niterói

Dedicatória

aos meus pais Cesar e Elisabeth , aos meus avós José Maria (in memorian) e Maria Luiza, e a minha esposa Jaqueline.

Agradecimentos

Essa é a parte mais esperada. Por mim, de nalmente encerrar um ciclo. Por outros, de serem citados e terem seus egos afagados. Mas, citarei apenas pessoas que contribuíram e vivenciaram essa caminhada.

Eu começo agradecendo a quatro pessoas fundamentais para minha formação como homem. Incentivadores e nanciadores da minha formação acadêmica. Ao meu pai Cesar e minha mãe Elisabeth por se mostrarem sempre prontos a me auxiliar em qualquer instante. Pela paciência e perserverança que tiveram pela chegada deste momento. Pelos conselhos e puxões de orelha, necessários. Ao meu grande e eterno amigo, companheiro el, José Maria, meu avô. Por ensinar-me valores como repeito e humildade, que aos olhos de alguns não valem de nada. À minha avó, Maria Luiza. Por ter um coração enorme e um carinho sem tamanho. Por sempre estar pronta a ajudar. Pela minha criação. Á esss quatro anjos ca minha devoção.

Agradeço a minha esposa, parceira, cúmplice e amiga, Jaqueline. Pelos momentos intensos que passamos. Pela paciência. Por acreditar no meu potencial e não me deixar abater nas derrotas. Por me exaltar nas vitórias. Pelo amor, carinho e dedicação.E, prin-cipalmente pela compreensão. Agradeço, pelo momenento especial que estamos vivendo. Não posso deixar de agradecer pessoas de extrema importância. Primeiro, ao meu ori-entador Carlos Eduardo Rodrigues de Souza, institucionalmente conhecido como Cadu. Pela paciência e dedicação ao longo de trabalho. Por, abrir as portas do laboratório e deixar-me conviver com o mundo clássico e quântico da óptica. Ao professor Zelaquett Khoury, por me permitir presenciar discussões sobre alguns temas no laboratório. Ao colegas do Laboratório de Ótica Quântica: Rafael Bellas, Luiz Filipe, Brian, Filipe, Mo-anna, e Wagner. Aos professores Jorge Simões de Sá Martins, Kaled Dechoum, Marco Moriconi e Mario de Souza Reis Junior. Pela aulas e por compartilharem conhecimentos aliados a experiências.

Sem esquecer, agradeço. Aos companheiros de jornada: Os casais Izabela Hammersch-lag e Gabriel Monteiro, Christine Hozana e Diogo Malta, Mariana Teixeira, Maria Isabela, Bruna Netto, Bruna Brandão, Bruno Pimental Matheus Peixoto e Marcelo Albuquerque.

Em especial, e sem dúvidas, quero agradecer a Wilmar Torres. Esse ser humano dotado de uma simplicidade, humildade e sabedoria, sempre pronto a ajudar. E, nova-mennte, a Izabela Hammerschlag, pelo carinho, pelas listas, pelas horas de estudo e por não deixar-me desistir.

Aos funcionários da biblioteca pela atenção e ajuda. E, ao secretário da coordenação Zé Luiz, por estar sempre disposto a ajudar.

Resumo

Apresenta-se uma proposta experimental de caracterização dos estados de polarização via análise de imagens por um software livre e gratuito. Técnica que será possível devido a equivalência entre medidas realizadas por um detector e uma câmera CCD.

Uma descrição teórica formal será apresentada com intuido de fundamentar a pro-posta. A produção experimental de feixes polarizados e o procedimento de análise serão discutidos. Em seguida, são apresentados os dados experimentais.

Abstract

It presents a proposal for experimental characterization of the polarization states through analysis of images for free and open source software. Technique that will be possible because of the equivalence of measurements performed by a detector and a CCD camera.

A formal theoretical description will be presented with intuited to support the pro-posal. The experimental production of polarized beams and the analysis procedure will be discussed. Then, the experimental data is presented.

Lista de Figuras

1 Onda propagando-se na direção positiva do eixo z, onde os campos ~E e ~

B possuem componentes apenas no plano xy. [1] . . . p. 4 2 Tipos de polarização: (a) Linear; (b) Circular; (c) Elíptica. [11] . . . . p. 5 3 Polarização Linear na direção y e direção x, respectivamente [11]. . . . p. 9 4 Polarização Linear na direção θ [11]. . . p. 10 5 Polarização circular a direita e Polarização circular a esquerda [11]. . . p. 12 6 Polarização Elíptica [1] . . . p. 14 7 Estados de Polarização de acordo com a diferença de fase  [1] . . . p. 15 8 (a)Polarização elíptica à direira (b)Polarização elíptica à esquerda [11]. p. 15 9 Representação fasorial do campo elétrico [11]. . . p. 16 10 Vetores de Jones para estados de Polarização particulares [5] . . . p. 19 11 Matrizes de Jones para elementos ópticos lineares [1] . . . p. 20 12 Escolha e denição de eixos para descrever um elemento óptico linear[6] p. 21 13 Esfera de Poincaré. A gura mostra um estado de polarização na

super-fície da esfera, representado pelo ponto P, e suas coordenadas esféricas

2χ e δ [11]. . . p. 25 14 Estados de Polarização e respectiva localização sobre a Esfera de Poincaré

[11]. . . p. 27 15 Conjunto de Transformações de Estados de Polarização representado na

Esfera de Poincaré. . . p. 32 16 Etapa de preparação do feixe. . . p. 35 17 Esquema para caracterização do Estado de Polarização utilizando a

19 (a)Imagem do feixe aberta no software com a área seleciona. (b)Seleção

do guia Analyse para obtenção das medidas calculadas pelo software. . p. 38 20 (a)Tabela das medidas forneceidas pelo programa. (b)As posíveis

medi-das a serem realizamedi-das pelo programa. . . p. 38 21 Gráco ICCD× Idetector: comportamento linear entre a CDD e o detector. p. 41

22 (a) e (b): comportamento entre a intesidade da luz polarizada e o ângulo da lâmina λ

2. . . p. 41

23 (a) Feixes do Estado de Polarização Linear | + 450_{i para determinação}

do parâmetro p1. (b) Medidas fornecidas pelo software para os feixes

projetados . . . p. 42 24 Arranjo experimental para detecção dos Parâmetros de Stokes. . . p. 43 25 Esferas de Poncaré com Parâmetros Teórico (a) e Parâmetros

Experi-mentais (b). . . p. 44 26 Esfera de Poincaré e Esfera dos modos. . . p. 45

Sumário

1 Introdução p. 1

2 Polarização da Luz p. 4

2.1 Descrição Formal da Polarização . . . p. 7 2.1.1 Polarização Linear . . . p. 8 2.1.2 Polarização Circular . . . p. 10 2.1.3 Polarização Elíptica . . . p. 13 2.2 Estados de Polarização . . . p. 16 2.2.1 O Vetores de Jones . . . p. 16 2.2.2 A Matriz de Jones . . . p. 19 2.2.3 Os Parâmetros de Stokes . . . p. 22 2.2.4 A Esfera de Poincaré . . . p. 24 2.2.5 Transformações dos Estados de Polarização . . . p. 27 3 Caracterização experimental da polarização de um feixe laser p. 34 3.1 Arranjo experimental . . . p. 34 3.2 Análise dos Dados . . . p. 37

4 Conclusões e Perpectivas p. 45

5 Apêndice p. 46

5.1 Demostrações das Equações 2.5 e 2.6 . . . p. 46 5.2 Demonstração da Equação 2.51 . . . p. 48

1 Introdução

A natureza da Luz sempre encantou a humanidade. Familiar a todos, desde tempos imemoriais, vemos registros desse fascínio ao longo de nossa história. Aos poucos fomos aprendendo como a luz se comporta, e a partir de então, começamos a tirar proveito disso. Egípcios já fabricavam espelhos em 1990 A.C [13]. Foram os lósofos gregos os primeros a se preocupar com as propriedades reetoras das superfícies espelantes planas e curvas e também os primeiros a descobrir que a luz se propaga em linha reta. Assim, desenvolveram inúmeras teorias sobre a natureza da luz e suas propriedades. Como a lei da reexão, descrita por Euclides. Nos séculos seguintes a óptica geométrica foi estudada pela antiga civilização Romana. Também, do Oriente, surgiram contribuições importantes para melhor compreender a natureza da luz. Há registros de descobertas feitas por mulçumanos por volta de 642 D.C [1].

Os séculos XVII e XVIII foram de inúmeras descobertas em diversas áreas da Física. Homens como, Kepler, Descartes, Newton, Huygens, entre outros, descreveram fenômenos como a interferência, difração, polarização e absorção. Nessa época, também, decobriu-se o caráter vetorial da luz. Alguns tipos de materiais poderial mudar esse caráter, gerando uma mudança na polarização da luz.

No século XIX Thomas Young (17773-1821) e Augustin Jean Fresnel (1788-1827) fortaleceram o caratér ondulatório da luz, proposta por Huygens. Enquanto o primeiro, explicou o fenômeno da interferência com base na teoria ondulatória de Huygens. O outro, formulou matematicamente essa teoria ,tornando a explicação para a propagação retilínea da luz mais satisfatória.

Nesse período, o estudo da eletricidade e do magnetismos eram realizados em paralelo com a óptica. Em 1845, Michael Faraday (1791-1867) estabeleceu uma relação entre o ele-tromagnetismos e a luz, ao descobrir que a polarização de um feixe podia ser alterada por um campo magnético. James Clerk Maxwell (1831-1879), em um dia da década de 1860, combinou as leis da eletricidade e do magnetismo com as leis do comportamento da luz,

aglutiando conceitos experimentais, em um conjunto conciso de equações matemáticas. Com base nessas equações, conhecidas como as Equações de Maxwell [2], que Maxwell foi capaz de deduzir a velocidade de propagação da luz em termos de propriedades elétricas e magnéticas do meio, substituindo valores experimentais conhecidos na época, chegando a um resultado igual ao determinado experimentalmente para velocidade da luz. Com isso, Maxwell unicou o eltromagnetismo e a óptica. Então, passamos a tratar a luz como uma onda eletromagnética que se propaga com uma velocidade bem denida em qualquer meio, ou até mesmo, na ausência de meio.

Portanto, é a partir das concepções de Maxwell para a natureza e propriedades da luz, que este trabalho está baseado. E, será de grande serventia o conehecimento de suas equações, para descrevermos o fenômeno de Polarização, presente nessa monograa.

~ ∇ × ~B = µ0~j + µ0 ε0 ∂ ~E ∂t (1.1) ~ ∇ × ~E = −∂ ~B ∂t (1.2) ~ ∇ · ~E = ρ ε0 (1.3) ~ ∇ · ~B = 0 (1.4)

As equações acima são as chamadas Equações de Maxwell [2].

No primeiro capítulo, apresentamos uma discussão teórica a cerca da Polarização da luz. Essa discussão passa por uma descrição formal desse fenômeno, evidenciando o com-portamento do campo elétrico em cada tipo de polarização: linear, circurlar e elíptica. Nesse capítulo, também é discutido a natureza vetorial do campo elétrico, que sugere uma representação de estados. Sendo conhecidos como Estados de Polarização. Esta sugestão de representação apresenta uma matemática própria como será mencionado nas seções (2.2.1), (2.2.2) e (2.2.3), através dos vetores e matrizes de Jones e os Parâmetros de Stokes. Este último, nos permite uma representação geométrica dos Estados de Pola-rização numa esfera, chamada de Esfera de Poincaré. Será visto, que é possível fazer uma série transformações de estados, por meio de alguns dispositivos ópticos. E, que por m, também é possível representar essas transformações na Esfera de Poincaré. Tal capítulo, baseado nas referências [1], [5], [6], [7] e [8], constitui um estudo básico acerca

do tema deste trabalho.

O segundo capítulo, na verdade, é o tema principal desse trabalho. Propomos um mé-todo alternativo para caracterização da polarização de feixe laser e determinação dos Pa-râmetros de Stokes, via análise de imagens por meio de software livre e gratuito, chamado ImageJ. Inicialmente, discutimos o arranjo experimental utilizado, seção (3.1), seguido da análise de dados. Na parte de análise de dados, também apresentamos os procedimentos necessários para a caracterização da polarização. Foi necessário de antemão, fazermos uma calibração entre os instrumentos de medidas utilizados (detector e câmera CCD) para que a caracterização ocorresse. No m do capítulo, são comparados por meio de uma tabela e da representação na Esfera de Poincaré, os Parâmentros de Stokes indicados pela teoria com os determinados pela técnica proposta.

Finalmente, no último capítulo apresentamos conclusões e perspectivas sobre esse trabalho.

2 Polarização da Luz

A teoria eletromagnética clássica, descreve a luz como uma perturbação que se pro-paga no espaço. Essa perturbação é descrita por meio da oscilação dos vetores campo Elétrico ( ~E) e campo Magnético ( ~B) [12], perpendiculares entre si e à direção de propa-gação representada pelo vetor de onda ~k, em todos os instantes de tempo, como ilustrado na Figura 1. Portanto, ao se propagar no espaço livre, a luz é uma onda transversal eletromagnética (TEM), como conjecturou Maxwell no século XIX.

Figura 1: Onda propagando-se na direção positiva do eixo z, onde os campos ~E e ~B possuem componentes apenas no plano xy. [1]

O fenômeno da polarização da luz está relacionado com o comportamento da direção de oscilação do vetor campo Elétrico( ~E) ao longo do tempo, contido em um plano trans-versal à direção propagação, representada pelo vetor ~k. O desenho traçado pela ponta do vetor campo Elétrico( ~E), na Figura 1 determina, portanto, a polarização. É importante resaltar que a direção de polarização corresponde a direção do campo Elértico ( ~E)

elíptica. Os nomes se referem à gura desenhada no plano perpendicular à direção de propagação. Se o vetor que descreve o campo elétrico em um ponto do espaço como uma função do tempo está sempre em uma mesma direção, a onda é dita linearmente polarizada. A onda TEM da Figura 1 é um exemplo de onda linearmente polarizada. No entanto, o caso mais geral de onda polarizada é aquele em que a gura traçada pelo vetor campo elétrico é uma elipse, e por esse motivo chamamos a onda de elipticamente polarizada. Quando os eixos da elipse são iguais, a gura traçada pelo campo elétrico é uma circunferência e dizemos que a onda é circularmente polarizada. Tanto a polarização circular como a linear são simples casos especiais da polarização elíptica. A escolha conveniente da direção do campo Elétrico ( ~E) irá denir o que chamamos de estados de polarizaçao, como será discutido à frente. A Figura 2 apresenta os três tipos de polarização.

Figura 2: Tipos de polarização: (a) Linear; (b) Circular; (c) Elíptica. [11]

Para que uma onda eletromagnética seja polarizada, não é necessário que seja uma onda harmônica, ou seja, que as utuações dos campos elétrico e magnético sejam descri-tas por funções senoidais. Para tal, basta que o vetor campo elétrico descreva um desenho como os acima da Figura 2.Porém, quando as variações são de fato harmônicas, os radi-adores elementares responsáveis pela geração da onda atuam em uma mesma frequência, em fase ou não, como ocorre no caso dos elétrons em uma antena transmissora de rádio ou dos fótons na cavidade de um laser.Essas fontes são ditas coerentes. Nas fontes comuns

de luz, como uma lâmpada incandescente, os radiadores elementares, que são os átomos constituintes da fonte (como o lamento incandescente da lâmpada), atuam de forma in-dependente. Por esse motivo, a luz emitida por essas fontes consiste em uma superposição de várias ondas de freqüências e fases aleatórias. Esse tipo de radiação é chamada de luz incoerente. Um observador posicionado nesse eixo irá observar um movimento totalmente aleatório do vetor campo Elétrico ( ~E). Por este motivo, chamamos a luz incoerente de não-polarizada, ou luz natural. O meio termo entre luz polarizada e não-polarizada é cha-mado de luz parcialmente polarizada. Uma maneira útil de descrever esse comportameto é encarar como resultado da superposição de quantidades especícas de luz natural e luz polarizada.

Como dito anteriormente, a luz é considerada uma onda transversal eletromagnética (TEM), que poder ser descrita, de maneira idealizada, através de uma onda plana mo-nocromática propagando-se na direção z, cujos campos elétrico ( ~E) e magnético ( ~B) são expressos pelas equações:

˜

E(z, t) = ˜E0ei(kz−ω.t) (2.1)

˜

B(z, t) = ˜B0ei(kz−ω.t) (2.2)

onde ˜E0 e ˜B0 são as amplitudes (complexas). Os campos físicos, é claro, são as partes

reais de ˜E(z, t) e ˜B(z, t).

As equações (2.1) e (2.2) estão escritas na forma complexa. Porém, podemos escrevê-las na forma senoidal:

~

E(z, t) = E0cos(kz − ω.t + δ)ˆx (2.3)

~

B(z, t) = B0cos(kz − ω.t + δ)ˆy (2.4)

onde kz − ω.t + δ representa a fase da onda. E, δ uma constante de fase.

Como escrito acima, as equações (2.3) e (2.4) estão em fase e são mutuamamente perpendiculares e perpendicular à direção de propagação z. Além disso, a Lei de Faraday, ~

∇ × ~E = −∂ ~_∂tB estabelece uma relação entre as amplitudes elétricas e magnéticas, a saber: ~

B0 = k

ω(ˆz × ~E0) = 1

de modo que as amplitudes reais, relacionam-se por: B0 = k ωE0 = 1 cE0 (2.6)

e a equação (2.4) reescrita será: ~

B(z, t) = k

ωE0cos(kz − ω.t + δ)ˆy (2.7) As demonstrações das equações (2.5) e (2.6) encontram-se no Apêndice.

Importante resaltar que não há nada de especial direção z. Tanto que podemos gene-ralizar as equações (2.3) e (2.4) para um direção arbitrária. A notação torna-se fácil pela introdução do vetor de onda (~k), que aponta na direção de propagação e cuja magnitude é o número de onda k. O produto ~k · ~r é a generalização apropriada para kz, portanto,

~

E(~r, t) = E0cos(~k · ~r − ω.t + δ)ˆn (2.8)

~

B(~r, t) = k

ωE0cos(~k · ~r − ω.t + δ)(ˆk × ˆn) (2.9) onde ˆn é o vetor de polarização, que dene o plano de vibração. E, como ~E é transversal, ˆ

n · ˆk = 0.

Portanto, como o fenômeno da polarização está relaciocionado com o comportamento do campo Elétrico ( ~E), iremos a partir de agora nos concertar na análise da equação (2.8) para descrever, formalmente, os Tipos de Polarização anteriomente mencionados.

2.1 Descrição Formal da Polarização

O campo Elétrico ( ~E)de uma onda Transversal Eletromagnética (TEM) se propagando na direção positiva do eixo z pode ser representado por [1]:

~

Ex(z, t) = E0xcos(kz − ω.t)ˆi (2.10)

e

~

Ey(z, t) = E0ycos(kz − ω.t + )ˆj (2.11)

onde  é a diferença de fase entre as ondas. É, importante observar que, a adição de um  positivo irá acarretar um cosseno em (2.11) de valor diferente do que em (2.10). Se  > 0,

~

perturbação ótica resultante será um vetor soma das ondas dadas por (2.10) e (2.11): ~

E(z, t) = ~Ex(z, t) + ~Ey(z, t) (2.12)

As equações do campo magnético ( ~B) serão omitidas ao longo do texto, já que a polari-zação é denada como o movimento traçado pelo vetor campo Elétrico ( ~E).

2.1.1 Polarização Linear

A polarização linear ocorre quando o vetor campo Elétrico ( ~E) oscila alinhado a uma linha reta, no plano perpendicular ao vetor ~k de propagação da onda. Quando a diferença de fase  for zero ou um múltiplo inteiro de ±2π, as ondas escritas em (2.10) e (2.11) são ditas em fase. E, neste caso a equação (2.12)torna-se

~

E = (ˆiE0x+ ˆjE0y) cos(kz − ω.t) (2.13)

A onda resultante tem uma amplitude constante igual a (ˆiE0x+ˆjE0y), em outras palavras,

linearmente polarizada. Também podemos ter a diferença de fase  sendo um múltiplo inteiro ímpar de ±π. As ondas, agora, estarão 180º fora de fase, e

~

E = (ˆiE0x− ˆjE0y) cos(kz − ω.t) (2.14)

Esta onda é, novamente, linearmente polarizada, mas o palno de vibração sofrerá uma rotação, que não necessariamente tenha que ser de 90º.

Para uma melhor explicação, consideremos inicialmente um caso bastante particular da equação (2.12), em que uma das componentes seja nula. Por exemplo, E0y= 0. Neste

caso, o vetor campo Elétrico irá parametrizar uma curva no plano xy (z = 0) de acordo com as seguintes equações:

~

Ex(0, t) = E0xcos(ω.t + x)ˆi (2.15)

e

~

Ey(0, t) = 0 (2.16)

Podemos, portanto, através das equações (2.15) e (2.16), observar que ocorre a para-metrização de um segmento de reta no eixo x. A cada instante de tempo, o módulo do vetor campo Elétrico ( ~E) varia harmonicamente sempre na direção do eixo x. A polariza-ção é dita linear na direpolariza-ção x. Um outro caso muito semelhante é obtido se a componente

E0x= 0, sendo chamada de polarização linear na direção y. A gura abaixo ilustra esses

dois casos.

Figura 3: Polarização Linear na direção y e direção x, respectivamente [11]. Considere agora, um outro caso, em que as componentes E0x e E0y não sejam nulas,

e que possamos escrever as equações para os campos da seguinte forma: ~

Ex(0, t) = E0xcos(ω.t + x)ˆi (2.17)

e

~

Ey(0, t) = E0ycos(ω.t + y)ˆj (2.18)

De modo que, x = y = , ou seja, encontram-se em fase. Assim, nestas condições, as

equações (2.17) e (2.18) parametrizam o vetor campo Elétrico ( ~E), no plano z = 0. Note que, as componentes, em todos os instantes são proporcionais, ou seja,

Ey(0, t) =

E0y

E0x

Ex(0, t) (2.19)

Portanto, parametriza uma reta que passa pela origem. Onde o ângulo de inclinação com o eixo x é dado por:

θ = tan−1(E0y E0x

) (2.20)

Por esta razão, esse tipo de polarização é chamada de polarização linear na direção θ. A Figura 4 ilustra essa polarização.

Um resultado semelhante poderia ser obtido se fosse escolhido x = y + π. Pois,

somar uma fase de π radianos é o mesmo que inverter o sinal do cosseno. Nesta situação, a única diferença estaria no valor do ângulo θ que seria negativo. Logo, podemos concluir

Figura 4: Polarização Linear na direção θ [11]. que:

"Uma onda eletromagnética é linearmente polarizada se o seu vetor campo elétrico possuir (a) apenas uma componente ou (b) duas componentes ortogonais em fase ou em oposição de fase."

2.1.2 Polarização Circular

Outro caso particular interessante surge quando ambas ondas constituintes tem am-plitudes iguais. Isto é, E0x = E0y = E0. E, além disso, qualquer diferença de fase relativa

de  = −π

2, ou qualquer incremento a partir de − π

2 por um número inteiro múltiplo de 2π

[1]. Conforme as equações ~ Ex(z, t) = E0xcos(kz − ω.t)ˆi (2.21) e ~ Ey(z, t) = E0ysin(kz − ω.t)ˆj (2.22) a onda resultante é: ~

E = E0[ˆi cos(kz − ω.t) + ˆj sin(kz − ω.t)] (2.23)

a amplitude de ~E, dada por, ( ~E · ~E)1

2 = E₀, é constante. Mas, a direção de ~E é variável

no tempo e não restrita a um único plano.

Podemos armar o que foi dito acima por uma análise algébrica mais rigorosa. Por-tanto, a partir da condição E0x = E0y = E0, e considerando a relação de fase entre as

ondas escritas por:

x = y+

π

2 (2.24)

obser-vador (z = 0),

Ex(t) = E0cos(ω.t + x) (2.25)

Ey(t) = E0cos(ω.t + y) = E0cos(ω.t + x−

π

2) = E0sin(ω.t + x) (2.26) De modo que, a amplitude do vetor ~E, a partir das equações acima, ecritas em coor-denadas polares, será:

E(t) = q

(Ex(t))2+ (Ey(t))2 (2.27)

E(t) =p[E0cos(ω.t + x)]2+ [E0sin(ω.t + x)]2 = E0 (2.28)

Observe que, a amplitude é constante ao longo do tempo. É, também, possível vericar a direção do vetor ~E, como se segue

θ = tan−1(Ey(t) Ex(t) ) (2.29) θ = tan−1(E0sin(ω.t + x) E0cos(ω.t + x) ) (2.30) θ = tan−1(tan(ω.t + x)) (2.31) logo, θ = ω.t + x (2.32)

Portanto, o ângulo θ, que o vetor ~E faz com a diração x varia lienarmente com o tempo. Essa é justamente a equação paramétrica de uma circunferência, em que a ponta do vetor campo elétrico gira periodicamente no sentido horário com freqüência angular ω. Por esta razão, dizemos que a onda eletromagnética apresenta uma polarização circular à direita.

Uma outra análise a respeito da amplitude e direção do vetor ~E pode ser feita, apenas alterando a equação (2.24). Para isso, tomamos

x = y−

π

2 (2.33)

O mesmo desenvolvimento feito, desde a equação (2.25) até (2.31), nos levará aos seguintes resultados:

E(t) = E0 (2.34)

e,

Então, chegamos à outra equação paramétrica de uma circunferência. Porém, o vetor campo Elétrico irá girar no sentido anti-horário. Esse caso é chamado de polarização circular à esquerda. A gura a seguir ilustra os dois casos de polarização circular.

Figura 5: Polarização circular a direita e Polarização circular a esquerda [11]. Desta forma, podemos concluir que:

"Uma onda eletromagnética é circularmente polarizada se o seu vetor campo elétrico possuir componentes ortogonais de mesma amplitude e diferença de fase de π

2 (polarização

circular à direita) ou −π

2 (polarização circular à esquerda)."

É importante, também resaltar que, uma onda linearmente polarizada pode ser sin-tetizada a partir de duas ondas circulares opostamente polarizadas de iguais amplitudes [1]. Em particular, se somarmos a onda circular à direita,

~

E = E0[ˆi cos(kz − ω.t) + ˆj sin(kz − ω.t)] (2.36)

com a onda circular à esquerda, ~

E = E0[ˆi cos(kz − ω.t) + ˆj sin(kz − ω.t)] (2.37)

teremos

~

E = 2E0ˆicos(kz − ω.t) (2.38)

onde a amplitude, e direção do ~E serão constantes igual a 2E0ˆi. Portanto, linearmente

2.1.3 Polarização Elíptica

À medida que a descrição matemática é desenvolvida, é possível considerar que ambas polarizações, linear e circular, são casos particulares da polarização elíptica [1]. Isto signica que, em geral, a resultante do vetor campo Elétrico ( ~E) irá, além de rotacionar, variar sua amplitude, ocorrendo uma diferença de fase qualquer entre os campos ~Ex e ~Ey.

Em tais casos, o vetor ~E irá traçar uma elipse, em um plano xo perpendicular ao vetor de propagação de onda ~k. Podemos observar melhor essa descrição a partir das equações: Ex = E0xcos(kz − ω.t) (2.39)

e

Ey = E0ycos(kz − ω.t + ) (2.40)

Para obtermos as dimensões relativas e a orientação dos eixos da elipse, devemos, a partir da equações (2.39) e (2.40), eliminar a dependência em (kz − ω.t), como descrito a seguir:

Ey = E0ycos(kz − ω.t) cos() − sin(kz − ω.t) sin() (2.41)

Ey

E0y

= cos(kz − ω.t) cos() − sin(kz − ω.t) sin() (2.42) como: cos(kz − ω.t) = Ex E0x, teremos Ey E0x = Ex E0x

cos() − sin(kz − ω.t) sin() (2.43) Ey

E0y

− Ex E0x

cos() = − sin(kz − ω.t) sin() (2.44) Da equação (2.39) podemos escrever,

E_x2 = E_0x2 cos2(kz − ω.t) (2.45) e usando a relação: cos2_{(kz − ω.t) + sin}2_{(kz − ω.t) = 1, chegamos à}

sin2(kz − ω.t) = 1 − cos2(kz − ω.t) (2.46) sin2(kz − ω.t) = 1 − Ex

E0x



sin(kz − ω.t) = " 1 − Ex E0x 2# 1 2 (2.48) Substituindo a equação acima na equação (2.44), teremos

(Ey E0y − Ex E0x cos())2 = [1 − (Ex E0x )2] sin2() (2.49) Finalmente, reorganizando os termos, teremos:

(Ey E0y )2 + (Ex E0x )2− 2Ex E0x Ey E0y cos() = sin2() (2.50)

Figura 6: Polarização Elíptica [1]

Portanto, a equação (2.50) representa uma elipse formando um ângulo α com o sistema de coordenadas (Ex, Ey)[1], tal que

tan(2α) = 2E0xE0ycos() E2

0x− E0y2

(2.51) A demonstração da equação acima encontra-se no Apêndice.

A equação (2.50) tomar uma aperência mais reconhecida, caso os eixos da elipse estiverem sobre o eixo das coordenadas, de modo que α = 0, ou  = ±π

2, ± 3π 2 , ± 5π 2 ,...  Ey E0y 2 + Ex E0x 2 = 1 (2.52)

É possível observarmos que se E0x = E0y = E0, também reduzimos a equação acima

a

Representando a equação de uma circunferência, ou seja, polarização circular.

Além disso, e também possível por meio da equação (2.50) representar a polarização linear. A equacao para quando  for multiplo par ou impar de π [1] respectivamente,sendo

Ey = E0y E0x Ex (2.54) Ey = − E0y E0x Ex (2.55)

A Figura abaixo ilustra os estados de polarização de acordo com a diferença de fase entre as componentes Ex e Ey.

Figura 7: Estados de Polarização de acordo com a diferença de fase  [1]

Figura 8: (a)Polarização elíptica à direira (b)Polarização elíptica à esquerda [11]. A polarização elíptica obedece à mesma nomenclatura da polarização circular para a denição de polarização elíptica direita e esquerda, conforme o sentido de rotação do vetor campo elétrico em relação à direção de propagação, conforme é observado na ilustração acima.

Portanto, podemos, a partir de agora, nos referir as ondas de luz polarizadas por um termo chamado de Estados de Polarização. Veremos, a seguir, através dos Vetores de Jones e dos Parâmentros de Stokes um modelo matemático que descreve os Estados de

Polarização e suas respectivas representações na chamada Esfera de Poincaré.

2.2 Estados de Polarização

A natureza vetorial do campo elétrico sugere uma representação de Estados. Estes estados são caracterizados pelas amplitudes do campo elétrico, na representação fasorial dos parâmetros Ex e Ey e φx e φy, comforme ilustrado abaixo.

Figura 9: Representação fasorial do campo elétrico [11].

2.2.1 O Vetores de Jones

O Físico americano Robert Clark Jones desenvolveu um modelo matemático que des-creve a evolução da polarização durante a propagação de ondas planas com estados de polarização arbitráios através de uma sequência de elementos birrefringentes e polariza-dores [5]. Essa técnica desenvolvida tem a vantagem de ser aplicável a feixes coerentes. Porém, esse formalismo só é válido para ondas polarizadas [1].

A representação do vetor de Jones é denida em termos do campo elétrico da seginte forma [1]:

~

E = Ex(t) Ey(t)



onde Ex(t) e Ey(t) são componentes escalares instantâneos do vetor campo elétrico

~

E. Presenvando a informação de fase, seremos capazes lidar com ondas coerente. E, com isso, podemos utilizar uma notação complexa para o campo [1].

~˜

E = E0xe

iφx

E0yeiφy



apresentar uma defasagem  entre si. Logo, os Estados de Polarização Lineares Horizontal e Vertical podem ser escritos por:

~˜ Eh =  E0xeiφx 0  e ~˜Ev =  0 E0yeiφy 

respectivamente. A soma de dois feixes coerentes é formada pela da componentes corres-pondentes, ou seja, ~˜E =E~˜h+E~˜v. Contudo, quando E0x = E0y e φx = φy, teremos:

~˜ E = E0xe iφx E0xeiφx  e ~˜E = E0xeiφx  1 1 

que representa o Estado de Polarização +45◦ _{com amplitudes iguais e diferença de fase}

nula.

Em alguns casos, a m de simplicar a análise, é comum normalizar o vetor de Jones. Para isso, é necessário os dois componentes pela exponencial complexa comum e pelo módulo do vetor. Ou seja, estaremos diante de uma equação de normalização do tipo:

~˜

E∗ ·E = 1~˜ (2.56)

E, poderemos representar, agora normalizado, o Estado de Polarização +45◦_[1].

~ E+45 = 1 √ 2  1 1 

De maneira similar, os Estados de Polarização horizontal e vertical são escritos como: ~ Eh =  1 0  e ~Ev =  0 1 

Para a luz circularmente polarizada à direita, cujas amplitudes são iguais, porém, com defasagem de −π

2, o Vetor de Jones associado será:

~˜ E =  E0xeiφx E0yei(φx− π 2) 

Ao dividirmos ambas componentes por E0xeiφx, teremos:

 1 e−iπ2  =  1 −i 

~˜ ER = 1 √ 2  1 −i  analogamente ~˜EL= 1 √ 2  1 i  Portanto, soma de ~˜ER+E~˜L é: 1 √ 2  1 + i −i + i  = √2 2  1 0 

A matriz acima representa o estado de polarização horizontal com uma amplitude duas vezes maior que suas componentes. O resultado encontrado está de acordo com o enunciado anteriormente na seção acima. O Vetor de Jones para luz elipticamnete polarizada pode ser obtida pelo mesmo procedimento usado para chegar em ~˜ER e ~˜EL.

Para este caso, E0x pode não ser igual a E0y, e a diferença de fase não precisa ser de 90◦.

Com isso, para luz com polarização elíptica, é possível fazer E0y = CE0x e φy = φx − ,

onde C é a razão entre E0y e E0xe  é a defasagem entre as componentes x e y do campo.

Logo, o Vetor de Jones é escrito como ~˜ ER=  E0xeiφx E0yei(φx−)  , ou normalizando ~˜ ER= 1 √ 1 + C2  1 Ce−i 

Se E0y < E0xe os eixos x e y corresponderem aos eixos da elipse, C representa também

a elipticidade da polarização (com C = 0 correspondendo à polarização linear e C = 1 correspondendo à polarização circular). Abaixo está representado em uma tabela [5] os vetores correspondente aos principais estados de polarização. Importante ressaltar que as duas últimas linhas correspondem aos casos particulares da polarização elíptica com C = 2 e  = ±π₂.

Com base na descrição do vetor de Jones acima, é possível armar que, quando dois vetores forem ortogonais entre si, seus respectivos estados de polarização também o serão. Isso ocorre utilizando-se a condição de ortogonalidade para dois vetores complexos, ou seja, vetores complexos são ortogonais quando o produto escalar de um vetor pelo conjugado do outro vetor for zero [1].

Figura 10: Vetores de Jones para estados de Polarização particulares [5]

2.2.2

A Matriz de Jones

Segundo o modelo matemático proposto por R. Clark Jones, cada elemento óptico do sistema, que altera a polarização da luz incidente, sobre ele, pode ser também representado por uma matriz 2 X 2 [6]. Podemos considerar, por exemplo,um feixe de luz polarizado, sendo seu vetor de Jones ~˜Ei. Ao atravessar um elemento óptico sua polarização pode, em

princípio se alterar, de forma que o vetor de Jones para o feixe transmitido seja ~˜Et. É

possível representar matematicamente a alteração do estado de polarização por [1]: ~˜

Et=A ~˜Ei (2.57)

Onde a matriz A representa o elemento óptico, sendo dada por, A = a11 a12

a22 a21



Podendo reescrever explicitamenta a equação 2.57 da seguinte maneira:  _˜ Etx ˜ Ety  =  a11 a12 a22 a21   _˜ Eix ˜ Eiy 

óptico, invertendo-se a matriz acima. Na Tabela abaixo estão especicadas as matrizes de Jones para diversos elementos ópticos lineares, considerando os eixos principais do elemento óptico alinhados com a referência (eixos x e y).

Figura 11: Matrizes de Jones para elementos ópticos lineares [1]

Matrizes em geral não comutam. Assim, se a onda atravessar uma série de elementos ópticos, as respectivas matrizes devem ser aplicadas na sequência correta. Por exemplo, quando um feixe luminoso representado por A1E~˜i, que já passou por um elemento óptico

com matriz A1, incide sob um segundo elemento óptico de matrizA2, seu feixe transmitido

será A2A1E~˜i e assim por diante [1].

Entretanto, nem sempre os eixos principais do elemento óptico estão alinhados com os eixos de referência conforme foi considerado na tabela anterior. Quando os eixos não estão alinhados, sempre é possível se denir outro par de eixos,x1 e y1, rotacionados de

um ângulo Φ, de forma que estejam alinhados com os eixos principais do elemento, como na Figura a seguir [6].

Desta forma considerando uma matriz de Jones para um polarizador não ideal, ou seja, que nem transmite completamente uma das polarizações e nem elimina completamente a outra, alinhado com os eixos x1 e y1 é possível escrever, utilizando estes eixos [6].

Figura 12: Escolha e denição de eixos para descrever um elemento óptico linear[6]

P = K1 0 0 K2



Onde K1 e K2 sao constantes de transmitancia, que representam a fracao de campo

transmitida em cada polarizacao. Para um polarizador ideal tem-se K1 = 1 e K2 = 0, ou

seja, a onda resultante sera transmitida somente em uma polarizacao. É possivel escrever o campo incidente ~E em termos de componentes ao longo dos eixos rotacionados apenas decompondo ~E nos eixos x1 e y1, resultando na equacao matricial:

 Ex1 Ey1  =  cos Φ sin Φ − sin Φ cos Φ   Ex Ey 

A matriz 2 X 2 acima representa uma rotação de um ângulo Φ em relação às coordena-das originais. A onda transmitida ~E0_{pode ser, então, expressa em termos de componentes}

x1 e y1, que estão alinhados com os eixos principais do polarizador, conforme equação

 E0 x1 E_y10  =  K1 0 0 K2   Ex1 Ey1 

Desta forma, a matriz de Jones para um polarizador rotacionado de um ângulo Φ com relação aos eixos de referência é:

PΦ =  cosΦ − sin Φ sin Φ cos Φ   K₁ 0 0 K2   cos Φ sin Φ − sin Φ cos Φ 

que, realizados os produtos matriciais, corresponde a PΦ =

 K1cos2Φ + K2sin2Φ (K1− K2) sin Φ cos Φ

(K1− K2) sin Φ cos Φ K1cos2Φ + K2sin2Φ



2.2.3 Os Parâmetros de Stokes

No modelo matemático descrito pelos vetores de Jones, os estados de polarização foram caracterizados pelas amplitudes das componentes Ex e Ey do campo elétrico. Em

instrumentação óptica, porém, somente medimos intensidades. Além disso, apenas luz polarizada pode ser representada por vetores de Jones, o que impossibilita sua utilização nos casos frequentes de luz parcialmente polarizada.

Os parâmetros de Stokes possuem a vantagem de representar intensidades, isto é, quantidades sicamente mensuráveis, e por isso é possível representar também a luz não-polarizada. Diferentemente dos vetores de Jones, que traziam números complexos, os vetores de Stokes consistem apenas em números reais, sendo que cada um deles possui um signicado físico bem denido. Por esta razão, é muito mais simples, a partir de uma medida, calcular os Parâmetros de Stokes do sinal de luz do que calcular o vetor de Jones correspondente. Mesmo assim, mostra-se que existe uma correspondência (um isomorsmo) entre as duas representações quando a luz é polarizada.

Nos Parâmetros de Stokes, os Estados de Polarização são denidos por um vetor real de dimensão 4 X 1, que dependem das intensidades relativas da luz para cada tipo de polarização, conforme apresentado a seguir.

S =    S0 S1 S2 S3    =    Ih+ Iv Ih− Iv I45◦− I₋₄₅◦ IL− IR   

Nessa notação, Ih e Iv são as intensidades das componentes lineares da onda nos eixos

xe y, respectivamente; I45◦ e I₋₄₅◦ são as intensidades das componentes lineares da onda

ao longo dos eixos a 45◦ _{dos eixos x e y; I}

circularmente polarizadas à esquerda e à direita, respectivamente.

Vale destacar que o parâmetro S0 representa a intensidade total do sinal de luz, isto

é, a soma das intensidades das componentes polarizada e não-polarizada:

S0 = Ipolarizada− In˜ao−polarizada (2.58)

Os demais termos, S1, S2 e S3 não possuem componentes não-polarizadas. Isso ocorre

pelo fato da luz não-polarizada ser uma superposição de componentes polarizadas de mesma intensidade em eixos ortogonais. Por se tratarem de subtrações dessas intensida-des, a componente não-polarizada de cada um dos parâmetros é cancelada.

É possível mostrar que os parâmetros de Stokes se relacionam com as componentes do vetor de Jones e com a expressão geral da onda plana (2.12) da seguinte forma [7]:

S1 = | ~Ex(z, t)|2− | ~Ey(z, t)|2 = E0x2 − E 2 0y (2.59) S2 = 1 2[| ~Ex(z, t) + ~Ey(z, t)| 2_{− | ~E} x(z, t) − ~Ey(z, t)|2] = 2E0xE0ycos δ (2.60) S3 = 1 2[| ~Ex(z, t) + i ~Ey(z, t)| 2_{− | ~E} x(z, t) − i ~Ey(z, t)|2] = 2E0xE0ysin δ (2.61)

A partir das equações acima, é possível mostrar que:

S₁2+ S₂2+ S₃2 = (E_0x2 + E_0y2 )2 = I_polarizada2 (2.62) Ao dividirmos os termos da equação (2.62) por S2

0, obtemos: S2 1 S2 0 +S 2 2 S2 0 +S 2 3 S2 0 = I 2 polarizada S2 0 =  Ipolarizada Ipolarizada− In˜ao−polarizada 2 (2.63) De maneira que podemos reescrever a equação (2.63) na forma:

p2₁+ p2₂+ p2₃ = η2 (2.64) onde cada pi =

Si

S0

indica o grau de polarização da luz,ou seja, a quantidade relativa de luz polarizada e não polarizada em uma mesma onda luminosa [7], podendo ser denido como:

η = Ipolarizada

Ipolarizada− In˜ao−polarizada

(2.65) Substituindo as equações (2.58),(2.63) e (2.64) em (2.59), (2.60) e (2.61), teremos as denições formais para os Parâmetros de Stokes normalizados.

p0 = 1 (2.66) p1 = η. E2 0x− E0y2 E2 0x+ E0y2 (2.67) p2 = η. 2E0xE0y E2 0x+ E0y2 cos δ (2.68) p3 = η. 2E0xE0y E2 0x+ E0y2 sin δ (2.69)

Portanto, o Estado de Polarização de um feixe monocromático pode ser completa-mente caracterizado em termos dos Parâmetros de Stokes [8]. Como veremos a seguir, essa caracterização dos Estados de Polarização nos permite uma representação geométrica através da chamada Esfera de Poincaré.

2.2.4 A Esfera de Poincaré

A equação (2.64) apresentada na seção acima nos sugere uma representação para os estados de polarização através de uma geometria esférica. A m de tornar essa sugestão mais clara, iremos adotar um ângulo χ auxiliar, denido como:

tan χ = E0y E0x

(2.70) De maneira que escreveremos os Parâmetros de Stokes em função do ângulo χ, usando algumas relações trigonométricas como segue abaixo.

sin 2χ = 2 tan χ 1 + tan2_χ = 2E0xE0y E2 0x+ E0y2 (2.71) cos 2χ = 1 − tan 2_χ 1 + tan2_χ = E2 0x− E0y2 E2 0x+ E0y2 (2.72)

Com isso, substituindo as equações (2.71) e (2.72)em (2.67),(2.68) e (2.69), teremos: p1 = η. cos 2χ (2.73) p2 = η. sin 2χ cos δ (2.74) p3 = η. cos 2χ sin δ (2.75) Onde 0 ≤ χ ≤ π 2 e 0 ≤ δ ≤ 2π.

A análise das equações acima, realmente, comprova a representação esférica para os estados de polarização. Consequentemente, os Parâmetros de Stokes são coordenadas cartesianas do espaço no qual qualquer feixe de luz completamente polarizado é represen-tado por um ponto(p1, p2, p3)na esfera de raio unitário em torno da origem [9]. Portanto,

a esfera que representa os estados de polarização é a chamada Esfera de Poincaré. Contudo, para o feixe de luz completamente polarizado teremos:

p2₁+ p2₂+ p2₃ = 1 (2.76)

Figura 13: Esfera de Poincaré. A gura mostra um estado de polarização na superfície da esfera, representado pelo ponto P, e suas coordenadas esféricas 2χ e δ [11].

A importância da esfera de Poincaré está na correspondência biunívoca que existe entre cada ponto em seu interior e cada estado de polarização. Ou seja: todos os estados de polarização estão representados na esfera de Poincaré, e cada ponto da esfera corresponde a um estado de polarização distinto. Além disso, pontos próximos da esfera de Poincaré correspondem a estados de polarização semelhantes, no sentido de que uma variação contínua do estado de polarização de uma onda luminosa corresponde a uma trajetória

contínua na esfera.

Seguindo o mesmo raciocínio utilizado na seção 2.2.2 para os vetores de Jones, encontra-se a encontra-seguir uma associação entre cada tipo de polarização (linear, circular e elíptica) e cada região da esfera.

Conforme visto anteriormente, os estados de polarização linear são aqueles em que as componentes em x e em y estão em fase ou em oposição de fase, ou seja,δ = 0, π. E, considerando o feixe de luz polarizado (η = 1), pelas equações (2.73),(2.74) e (2.75) conclui-se que os estados de polarização linear correspondem ao conjunto de pontos dado por:

p1 = cos 2χ (2.77)

p2 = ± sin 2χ (2.78)

p3 = 0 (2.79)

Onde o ângulo χ varia de 0 a π

2. Esse conjunto de equações corresponde ao conjunto

de todos os pontos da esfera cujo ângulo de elevação é nulo, ou seja, ao equador da esfera. No caso dos estados de polarização circular, que correspondem aos casos em que x e y possuem a mesma amplitude de campo. Em outras palavras, δ = π

2, 3π 2 e χ = π 4, teremos: p1 = 0 (2.80) p2 = 0 (2.81) p3 = ±1 (2.82)

Isto é, aos dois pontos onde a esfera intercepta o eixo S3 (vertical), chamados de pólos da esfera. Ao pólo norte associa-se o estado de polarização circular à esquerda (δ = π

2), e

ao pólo sul o estado de polarização circular à direita (δ = 3π 2 ).

Os estados de polarização elíptica correspondem a todos os demais pontos da esfera. Quanto mais próximo dos pólos estiver um Estado de Polarização, maior a sua eliptici-dade, e quanto mais próximo da linha do equador, menor sua elipticidade. Estados de polarização de mesma elipticidade se encontram nos paralelos da esfera.

Abaixo encontram-se, os Parâmetros (ou Vetores) de Stokes para diferentes tipos de polarização, representados diretamente na Esfera de Poincaré. No capítulo 3,

apresentaremos os dados dos experimentos que realizamos em esfera.

Figura 14: Estados de Polarização e respectiva localização sobre a Esfera de Poincaré [11]. A Esfera de Poincaré é um meio muito útil de se observar as transformações de po-larização que um sinal de luz sofre ao ser transmitido através de um dispositivo que altere seu estado de polarização. Na próxima seção, serão apresentadas essas transformações e como elas se comportam quando representadas na esfera.

2.2.5 Transformações dos Estados de Polarização

Como visto na seção 2.2.2, podemos representar a luz polarizada na forma de um vetor de Jones. O comportamento de diversos componentes ópticos, como polarizadores e lâminas retardadoras, pode ser representado por um operador linear no espaço dos Estados de Polarização. Seja, portanto, A a representação matricial do operador linear T que descreve um dispositivo óptico. E, seja |ψinio vetor de Jones representando o estado

de polarização da luz na entrada do dispositivo. O estado de polarização da luz na saída do dispositivo (|ψouti) será dado por:

|ψouti =A · |ψini (2.83)

A equação acima é a mesma apresentada anteriormente, em (2.57). Porém, aqui estamos usando o estado de polarização, ao invés, do campo elétrico.

Onde A é uma matriz 2x2 chamada de Matriz de Jones. Se a luz estiver atravessando uma série de dispositivos de matrizes de Jones dadas por A1,A2,...,An, o estado de

polarização emergente será:

Supondo que o dispositivo não altere o grau de polarização (η) da luz que o atravessa, ou seja, que ainda seja possível descrever a saída na forma de um vetor de Jones, podemos determinar a matriz de Jones de qualquer dispositivo conhecendo-se as saídas para duas entradas linearmente independentes. Em geral, utiliza-se entradas ortogonais para facilitar os cálculos.

O formato da matriz de Jones de um dispositivo dependerá da escolha de base para o espaço de estados de polarização. Em geral, escolhe-se como base os estados lineares horizontal (H) e vertical (V). Assim, qualquer matriz de Jones associada ao operador linear T nessa base será dada por:

A = 1 0 0 1



(2.85) Dessa forma, a resposta do dispositivo a um estado de polarização genérico Z = aH + bV será descrito da seguinte maneira:

T (Z) = a 1 0  + b 0 1  (2.86) T (Z) = A · a b  , semelhante a equação (2.83).

A maioria dos materiais ópticos exibe um certo grau de assimetria, de forma que o índice de refração enxergado por dois estados de polarização ortogonais é diferente. Essa propriedade é chamada de birrefringência, que é simplesmente uma anisotropia do meio. Para estruturas usuais, existem dois estados de polarização ortogonais que não sofrem alteração enquanto se propagam. Chamamos esses estados de auto-estados ou estados próprios da estrutura. Quando os auto-estados são lineares, dizemos que o material apresenta birrefringência linear, e quando são circulares dizemos que o material apresenta birrefringência circular. Quando os dois tipos de birrefringência coexistem no mesmo meio, os auto-estados são elípticos.

A maioria das aplicações de dispositivos birrefringentes, no entanto, envolve birre-fringências lineares, que é o caso dos controladores de polarização e dos defasadores, que serão discutidos com maior enfoque nesse trabalho.

Portanto, seja, novamente, A a matriz de Jones de um dispositivo e sejam: |ui = x0 y0  e |vi = −y0 x0 

Os autovetores normalizados de A correspondentes aos auto-estados do dispositivo, onde x0 e y0são números reais. Note que eles são ortogonais e que correspondem a estados

de polarização linear. Deseja-se obter uma expressão para A a partir dos autovetores e de seus autovalores associados. Isso pode ser trivialmente obtido através da diagonalização de A:

A = P−1_{· D · P (2.87)}

Onde a matriz P é a matriz mudança de base da base canônica (no caso, os vetores H e V) para a base dos autovetores, dada por:

P =  x0 −y0 y0 x0



Como a base de autovetores escolhida é ortonormal, signica que a matriz P é uma matriz ortogonal, o que facilita bastante as contas, já que:

P−1 = PT = 

x0 y0

−y0 x0



A matriz D, por sua vez, é a matriz A em sua forma diagonal, isto é: D = λu 0

0 λv



Resolvendo a equação (2.87), com o auxílio das matrizes acima (P , P−1_{e D), encontramos:}

A = 

λux20+ λvy02 (λu− λv)x0y0

(λu − λv)x0y0 λuy02+ λvx20



Lembrando que os autovetores são normalizados, ou seja, x2

0+ y02 = 1.

A matriz encontrada é uma representação genérica de um dispositivo ou meio que apre-sente birrefringência linear. Observe que, no caso do dispositivo não apresentar ganhos ou perdas, os autovalores de possuirão norma 1 e a matriz A representará um operador uni-tário. Surpreendentemente, muitos dispositivos ópticos são representados por operadores unitários. A seguir serão estudados alguns deles em detalhes.

As matrizes de Jones de diversos dispositivos ópticos podem ser representadas utili-zando a matriz A,descrita acima. O exemplo mais simples é o do polarizador linear, que possui autovalores λu = 1 (associado ao eixo de transmissão) e λv = 0 (associado ao eixo

ortogonal). Supondo que o eixo de transmissão forma um ângulo θ com o eixo horizontal, tem-se que: |ui = x_y0 0  =  cos θ_{sin θ} 

Utilizando a matriz A, teremos como a matriz do polarizador: A =



cos2θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin2θ



Obviamente, devido à presença de um autovalor nulo, o polarizador não pode ser representado por um operador unitário. Considere agora uma lâmina birrefringente com anisotropia linear, na qual os auto-estados correspondem às direções que formam um ângulo θ com os eixos x e y, conforme a matriz u acima.

Seja φ a defasagem introduzida entre as duas componentes, de forma que: λu = e

iφ 2

e λv = e

−iφ

2 . Observe que os autovetores possuem módulo igual a 1. Substituindo λ_u,

λv e os valores de x0 e y0, presentes na matriz u, na matriz A. E, utilizando algumas

identidades trigonométricas, teremos: A = cos(φ2) + i cos(2θ) sin(

φ

2) i sin(2θ) sin( φ 2)

i sin(2θ) sin(φ₂) cos(φ₂) − i cos(2θ) sin(φ₂) 

Note que essa matriz, diferentemente da matriz de um polarizador, representa um operador unitário. Quando os auto-estados são as polarizações nas direções dos eixos x e y, a matriz A se reduz a: A = " eiφ2 0 0 e−iφ2 #

Essa transformação pode ser interpretada geometricamente se sua representação na esfera de Poincaré for utilizada. Para isso, considere um estado de polarização genérico na entrada do dispositivo, da forma:

|ψini =



cos χ sin χeiδ



de maneira que teremos: |ψouti = " eiφ2 0 0 e−iφ2 # .  cos χ sin χeiδ

 =

"

cos χ · eiφ2

sin χeiδ_{· e}−iφ₂

#

Multiplicando a matriz acima por eiφ

2 , a m de torná-la familiar, teremos:

|ψouti =



cos χ sin χ · ei(δ−φ)



Na representação de Poincaré, esse estado de polarização corresponde ao ponto da esfera dado por:

|ψouti =

" _{cos 2χ} sin 2χ cos(φ − δ) sin 2χ sin(φ − δ)

#

Observando a Figura 13 e a matriz |ψouti acima, percebemos que a matriz A,

repre-senta uma transformação de rotação de um ângulo φ em torno do eixo S1. Portanto,

podemos generalizar para uma transformação genérica qualquer, a partir da matriz A: a transformação de polarização efetuada por uma lâmina birrefringente pode ser interpre-tada geometricamente como uma rotação em torno do eixo que representa os auto-estados na esfera de Poincaré. É importante entender que auto-estados ortogonais são represen-tados em um mesmo eixo na esfera, já que são diametralmente opostos.

Contudo, a matriz A pode ser entendida como uma transformação genérica que pode representar diversos dispositivos, como lâminas de meia onda (φ = π) e lâminas de quarto de onda (φ = π

2), que serão bastante utilizada neste trabalho. No caso de uma lâmina de

meia onda e uma lâmina de quarto de onda, de auto-estados alinhados aos eixos x e y, as transformação poderiam ser representadas, respectivamente,por:

Aλ/2 =  i 0 0 −i  Aλ/4 =  1 0 0 i 

As matrizes Aλ/2 e Aλ/4 serão revisitadas nos procedimentos experimentais.

A m de exemplicar a representação das transforções na Esfera de Poincaré, podemos considerar o caminho ABCA, indicado na gura abaixo.

Figura 15: Conjunto de Transformações de Estados de Polarização representado na Esfera de Poincaré.

Esse caminho pode ser dividido da seguinte maneira: AB, BC e CA. De modo, que podemos representar algebricamente esse conjunto de transformações por: TABCA = TCA·

TBC · TAB.

Cada transformação T , irá indicar o deslocamento de um Estado de Polarização para outro, ao longo da Esfera. A transformação TAB representa a saída de um Estado de

Polarização circular à esquerda (PCE) para um Estado de Polarização linear −45(L-45). No caso da transformação TBC, saímos do Estado L-45 para um Estado de Polarização

linear qualquer, indicado pelo ponto C, na gura. Já, a transformação TCA irá deslocar

do Estado de Polarização em C para o Estado de Polarização linear −45(L-45), fechando a transformação TABCA.

Podemos, matricialmente, escrever cada transformação descrita acima. Porém, é ne-cessário relembrar que as matrizes Aλ/2 e Aλ/4 escritas anteriormente,representam as

lâminas de meia onda e lâminas de quarto de onda quando estão com seus eixos rápi-dos alinharápi-dos horizontalmente. Portanto, devemos escrever as matrizes rápi-dos dispositivos quando estiverem com seus respectivos eixos rápidos formando um ângulo θ com a ho-rizontal. Para tal, usaremos a seguinte notação: A(φ, θ) [10]. Logo, a equação (2.83), pode ser reescrita da seguinte forma:

Matricialmente, teremos: A(φ, θ) =  cosθ sinθ −sinθ cosθ  . " eiφ2 0 0 e−iφ2 #

.  cosθ −sinθ_{sinθ cosθ} 

Com isso, podemos descrever cada transformação no caminho AB, BC e CA, matri-cialmente.

A transformação TAB pode ser obtida utilizando uma lâmina de quarto de onda com

seu eixo rápido na horizontal, e teremos: |ψouti =  1 0 0 i  . √1 2  1 i  = √1 2  1 −1 

A próxima transformação TBC, é realizada com uma lâmina de meio onda, rotacionada

de um ângulo θ qualquer, em relação ao seu eixo rápido. Esta transformação, em termos matriciais ca: |ψouti =  cosθ sinθ −sinθ cosθ  .  i 0 0 −i 

.  cosθ −sinθ_{sinθ cosθ}  . √1 2  1 −1 

E, nalmente, a última transformação TCA. Como a lâmina de quarto de onda

trans-forma um estado de polarização linear em circurlar e vice-versa, esta transtrans-formação do ponto C para o ponto A será:

|ψouti =  cosθ sinθ −sinθ cosθ  . 1 0_{0 i} 

. cosθ −sinθ_{sinθ cosθ}  .|ψoutiC = 1 √ 2  1 i 

Assim, encerramos a fundamentação teórica que norteará essa trabalho. Veremos, nos próximos capítulos, a parte experimental do trabalho, que terá como base princial a representação dos Estados de Polarização na Esfera de Poincaré.

3 Caracterização experimental da

polarização de um feixe laser

Como visto anteriormente, o Estado de Polarização da luz é completamente deter-minado pelos Parâmetros de Stokes [8], que consite num conjunto de três pontos (p1, p2, p3) associados as intensidades da luz, que por sua vez, são quantidades físicas

mensuaráveis. Vimos também,que a representação geométrica do Estado de Polarização se dá através da chamada Esfera de Poincaré. Portanto, neste presente capítulo, iremos propor um método alternativo para a caracterização da polarização de um feixe laser. Na sequência, determinaremos dos Parâmentos de Stokes e os representaremos na Esfera de Poincaré.

3.1 Arranjo experimental

Uma das maneiras de se obter a caracterização da polarização de um feixe de luz, e seus respectivos Parâmetros de Stokes, ocorre através da medida da intensidade da luz polarizada. Para isso, propomos um aparato de produção de feixes lasers com controle de polarização. E, um conjunto de três simples aparatos experimentais para determinação dos referidos Parâmetros de Stokes.

O esquema ilustrado na Figura 16 representa o dispositivo que construímos para produção de feixes laser com polarização arbitrária.

Inicialmente, conforme ilustrado na região tracejada da Figura 16, foi realizada uma etapa de preparação do feixe a ser estudado. A m de atenuar a intensidade do feixe laser, foi utilizado uma lâmina de meia onda, xada num suporte giratório, com ajuste preciso de ângulo, um DFP e um ltro neutro atenuador. Na sequência, tendo em vista que, o DFP transmite um feixe laser com polarização linear horizontal, de acordo com o plano da mesa óptica, podemos adicionar uma segunda lâmina de onda λ, também xada em um suporte de rotação, para produzir um estado genérico de polarização a ser medido e

caracterizado de acordo com os Parâmetros de Stokes.

Figura 16: Etapa de preparação do feixe.

Para otimizar espaço e não ser repetitivo, chamaremos a região demarcada da gura acima de ETAPA 1.

A intensidade do laser após a ETAPA 1 foi medida por de um fotodiodo (detector), onde se obteve o valor de 126, 90 nW . Na sequência, de acordo com nosso estudo de transformações dos Estados de Polarização, seção (2.2.5), posicionamos a λ@θ = λ

2@θ =

00_,+450_{,+22, 5}0 _{e −22, 5}0_{, de forma a produzirmos os estados de polarização |Hi, |V i,}

| + 450_{i,| − 45}0_{i, respectivamente. Substituímos a} λ

2@θ por λ

4@θ = +45

0 _{e −45}0 _{de forma}

a produzirmos os estados |Di e |Ei.

A proposta desse trabalho é apresentar um método alternativo para a caracterização dos Estados de Polarização. Para isso, foi feita a substituição do detector por uma câmera com dispositivo de carga acoplada (CCD), conforme a gura abaixo. O plano será obter os Parâmetros de Stokes p1, p2 e p3, a partir da análise de imagens obtidas pela câmera.

A equivalência entre o dectetor e a câmera CCD será discutida na próxima seção.

O feixe após λ2@θ, com os diversos θ's, é enviado aos três arranjos, ilustrados na

Figura 18, um de cada vez, de forma a determinarmos os valores de p1, p2 e p3.

Em especial, no caso ideal, se o feixe de entrada for linearmente polarizado na direção |Hi(|V i), os detectores fornecem

p1 = IDet1− IDet2 IDet1+ IDet2 = 1(−1) (3.1) p2 = 0 (3.2) p3 = 0 (3.3)

Figura 17: Esquema para caracterização do Estado de Polarização utilizando a câmnera CCD.

Figura 18: Deteccção dos parâmetros p1, p2 e p3.

fazendo a luz ser detectada em sua totalidade pelo Detector1 (Detector2), se θ = 00

(θ = 450). O mesmo feixe nos arranjos 2 e 3 são integralmente divididos pelos DFP´s,

Analogamente, se λ2@θ = ±22, 50, o feixe tem polarização linear a (| ± 450i é

igual-mente dividido nos DFP´s nos arranjos 1 e 3, produzindo p1 = p3 = 0 e p2 =0.

Em resumo: λ2 = λ2@θ = 00 _{⇒ p} 1 = 1; p2 = p3 = 0 450 _{⇒ p} 1 = −1; p2 = p3 = 0 (3.4) λ2 = λ2@θ = +22, 50 _{⇒ p} 2 = 1; p1 = p3 = 0 −22, 50 _{⇒ p} 2 = −1; p1 = p3 = 0 (3.5) λ2 = λ2@θ = 450 _{⇒ p} 3 = 1; p1 = p2 = 0 −450 _{⇒ p} 3 = −1; p1 = p2 = 0 (3.6) O mesmo aparato experimental foi utilizado para a caracterização dos demais Estados de Polarização, com as diversas λ2. Os resustados serão apresentados na próxima seção.

3.2 Análise dos Dados

Nesta seção iremos abordar o método utilizado para a caracterização dos Estados de Polarização e os dados obtidos.

Primeiramente, foi necessário encontrar uma equivalência entre o detector e a câmera CCD. Para tal, foi produzido o Estado de Polarização horizontal, a partir do esquema da Figura 18. E assim, foram medidas as intensidades da luz, variando o ângulo da λ 2

na ETAPA 1. Alternamos o detector, que nos retornava uma valor de intensidade, de maneira direta, com a câmera DCA, que por sua vez, capturava a cada variação de ângulo da lâmina uma imagem. Com o auxílio de um software de análise de imagens chamado ImageJ, obtivemos as intesidades da luz polarizada através de uma rotina de integração de imagens, disponível no software.

Em tal rotina, o ImageJ associa cada cor de cada pixel da imagem a um número, que vai de zero, correnpondendo ao preto, até 256, que corresponde ao branco. Assim, cada imagem (preto e branco) pode ser entendida como uma matriz onde cada elemento representa um pixel, cujo valor varia de 0 a 256.

No software tudo é feito de forma intuitiva e simplicada, bastando apenas o usuário selecionar na imagem a região de integração por meio de um retângulo ajustável e um único comando (Ctrl + M). A Figura 20 mostra a imagem da tela do computador com o ImageJ aberto, no momento da análise de uma imagem com a fotograa de um feixe

guaussiano a ser analisado.

Figura 19: (a)Imagem do feixe aberta no software com a área seleciona. (b)Seleção do guia Analyse para obtenção das medidas calculadas pelo software.

Ao selecionar a opção (Ctrl + M), obtivemos uma série de medidas dispostas numa tabela fornecida pelo programa.

As medidas fornecidas pelo programa podem ser ajustadas. Para isso, basta selecionar, na mesma guia Analyse, a opção Set Measurents. As medidas selecionadas aparecerão numa tabela, como dito anteriormente.

Figura 20: (a)Tabela das medidas forneceidas pelo programa. (b)As posíveis medidas a serem realizadas pelo programa.

Como nossa proposta é obter um valor para a intensidade da luz polarizada, a medida que estaremos interessados é a Integrated density . Essa medida nos fornece a soma dos valores do pixels na área selecionada (RawIntDen), assim como o produto da área seleciona pelo valor de cinza (IntDen). Serão os valores fornecidos por esse medida, que nos ajudarão a fazer a equivalência entre o detector e a câmera CCD.

Para estabelecermos essa equivalência, foi coletado uma série de valores através do detector, variando o ângulo da lâmina λ

2 de 4º em 4º na Figura 18. E, em seguida

registrada a imagem de um dos feixe projetado num anteparo pela câmera CCD.

O valor fornecido pelo detector está associado a intensidade detectada do feixe. Já, o valor fornecido pela câmera CCD estará associado a medida feita pelo software, como descrevemos anteriormente. Ao todo, foram obtidos 23 valores registrados com o detector e 23 imagens registradas com a câmera. Abaixo, encontra-se a tabela com as intensidades fornecidades por cada instrumento de medida.

λ

teorico

λ

real

I

detector

(nW )

I

CCD

0

0

338

0

126,90

494476

4

0

342

0

121,68

466842

8

0

346

0

111,42

479036

12

0

350

0

101,48

423516

16

0

354

0

84,86

376318

20

0

358

0

70,71

318891

24

0

2

0

50,75

227790

28

0

6

0

35,30

153379

32

0

10

0

23,89

95033

36

0

14

0

12,67

41665

40

0

18

0

6,82

12528

42

0

20

0

6,52

4156

46

0

24

0

6,20

9458

50

0

28

0

11,10

35016

54

0

32

0

20,56

81595

58

0

36

0

34,68

148746

62

0

40

0

48,75

214976

66

0

44

0

66,72

291270

70

0

48

0

84,65

365166

74

0

52

0

97,46

418717

78

0

56

0

108,95

435406

82

0

60

0

119,98

454896

86

0

64

0

126,34

468727

90

0

68

0

126,93

513434

Tabela 1: Valores de Intensidades obtidos com detector e a câmera CCD.

No caso dos valores registrados pela câmera CCD, foi descontado a intensidade de fundo (If undo), proveniente de fontes externas. O mesmo procedimento, anteriomente

mencionado, foi realizado para determinar a intensidade de fundo. A tabela abaixo indica os valores de intensidade de fundo (If undo), intesidade real (Ireal) e intensidades resultante

λ

teorico

I

real

I

f undo

I

CCD

0

0

524747 30271 494476

4

0

497084 30242 466842

8

0

512342 33306 479036

12

0

456856 33340 423516

16

0

412802 36484 376318

20

0

354757 35866 318891

24

0

265224 37434 227790

28

0

193136 39757 153379

32

0

135776 40743 95033

36

0

82856 41191 41665

40

0

56074 43546 12528

42

0

46979 42823

4156

46

0

54163 44705

9458

50

0

78628 43612 35016

54

0

121666 40071 81595

58

0

189141 40395 148746

62

0

254351 39375 214976

66

0

325644 34374 291270

70

0

399537 34371 365166

74

0

452079 33362 418717

78

0

469062 33656 435406

82

0

484900 30004 454896

86

0

498993 30266 468727

90

0

546158 32724 513434

Tabela 2: Valores de Intensidades obtidos com a câmera CCD.

Utilizando a tabela (1), zemos o gráco ICCD × Idetector que nos mostra o

compor-tamento linear entre a câmera CCD e o detector, para feixes até 80 nW ,conrmando a equivalência entre ambos instrumentos utilizados para inferir a intensidade da luz polari-zada, para baixa intensidade.

A m de reforçar essa equilavência, também, a partir da tabela (1) foram plotados dois gráco, que apresentam o comportamentos semelhantes, entre as respectivas intensidade e o ângulo da lâmina de meia onda.

Diante dos grácos apresentados nas Figuras 21 e 22, ca clara a correspondência entre o detector e a câmera CCD. Portanto, o procedimento utilizado para determinação das intensidades da luz polarizada, através da análise da imagens pelo programa ImageJ é válido para o regime de baixas intensidades, no caso da CCD utilizada, intensidade menor que 100 nW .

Figura 21: Gráco ICCD× Idetector: comportamento linear entre a CDD e o detector.

Figura 22: (a) e (b): comportamento entre a intesidade da luz polarizada e o ângulo da lâmina λ

2.

Com isso, podemos continuar com a nossa proposta experimental, e, a partir de agora, utilizar apenas a câmera CCD, como descrito pela Figura 17.

Após essa etapa de calibração, retomamos a montagem da Figura 16, de forma a produzirmos alguns estados de polarização conhecidos, para posterior caracterização via os aparatos da Figura 18. A Figura 24 ilustra o experimento utilizado para determinação do Parâmentros de Stokes em sua totalidade.

Inicialmente, o feixe de luz, proveniente do laser, passa pela etapa de atenuação con-forme a Figura 16. Na sequência, o feixe passa pela λ2 que pode ser ajustada para

produzirmos um feixe de luz com a polarização desejada. Em seguida, o feixe é intro-duzido em Dp1, Dp2, Dp3 para medidas das intensidades, conforme o procedimento de

ajuste da câmera CCD como detector, apresentado anteriormente.

Os Parâmetros de Stokes, dados pelas equações (3.7),(3.8) e (3.9), foram calculados com os valores de intensidade obtidos. As tabelas 3 à 8, dispôem os resultados

experi-mentais dessas medidas e os Parâmetros de Stokes.

Produzimos os Estados de Polarização e capturamos os respectivos feixes projeta-dos num anteparo diante da câmera CCD, e assim, analisamos a imagem pelo software. A gura abaixo mostra a análise de um Estado de Polarização produzido a partir dos esquemas anteriormente mencionados.

Figura 23: (a) Feixes do Estado de Polarização Linear | + 450_{i para determinação do}

parâmetro p1. (b) Medidas fornecidas pelo software para os feixes projetados

Para a determinação dos Parâmetros de Stokes (p1, p2,p3), recorremos as seguintes

equações [9]: p1 = I00 − I₉₀0 I00 − I₉₀0 (3.7) p2 = I450 − I₁₃₅0 I450 − I₁₃₅0 (3.8) p3 = ICD− ICE ICD− ICE (3.9)

A tabela (9) dispõe um resumo dos valores dos Parâmetros de Stokes teóricos e ex-perimentais. Esses dados foram plotados em um gráco via software Mathematica com uma esfera de raio unitário que representa a Esfera de Poincaré.

Na Figura 25 ilustramos a Esfera de Poincaré com valores teóricos. Na Figura 26 ilustramos a Esfera de Poincaré com os valores dos Parâmetros de Stokes