2.2 Estados de Polarização
2.2.5 Transformações dos Estados de Polarização
Como visto na seção 2.2.2, podemos representar a luz polarizada na forma de um vetor de Jones. O comportamento de diversos componentes ópticos, como polarizadores e lâminas retardadoras, pode ser representado por um operador linear no espaço dos Estados de Polarização. Seja, portanto, A a representação matricial do operador linear T que descreve um dispositivo óptico. E, seja |ψinio vetor de Jones representando o estado
de polarização da luz na entrada do dispositivo. O estado de polarização da luz na saída do dispositivo (|ψouti) será dado por:
|ψouti =A · |ψini (2.83)
A equação acima é a mesma apresentada anteriormente, em (2.57). Porém, aqui estamos usando o estado de polarização, ao invés, do campo elétrico.
Onde A é uma matriz 2x2 chamada de Matriz de Jones. Se a luz estiver atravessando uma série de dispositivos de matrizes de Jones dadas por A1,A2,...,An, o estado de
polarização emergente será:
Supondo que o dispositivo não altere o grau de polarização (η) da luz que o atravessa, ou seja, que ainda seja possível descrever a saída na forma de um vetor de Jones, podemos determinar a matriz de Jones de qualquer dispositivo conhecendo-se as saídas para duas entradas linearmente independentes. Em geral, utiliza-se entradas ortogonais para facilitar os cálculos.
O formato da matriz de Jones de um dispositivo dependerá da escolha de base para o espaço de estados de polarização. Em geral, escolhe-se como base os estados lineares horizontal (H) e vertical (V). Assim, qualquer matriz de Jones associada ao operador linear T nessa base será dada por:
A = 1 0 0 1
(2.85) Dessa forma, a resposta do dispositivo a um estado de polarização genérico Z = aH + bV será descrito da seguinte maneira:
T (Z) = a 1 0 + b 0 1 (2.86) T (Z) = A · a b , semelhante a equação (2.83).
A maioria dos materiais ópticos exibe um certo grau de assimetria, de forma que o índice de refração enxergado por dois estados de polarização ortogonais é diferente. Essa propriedade é chamada de birrefringência, que é simplesmente uma anisotropia do meio. Para estruturas usuais, existem dois estados de polarização ortogonais que não sofrem alteração enquanto se propagam. Chamamos esses estados de auto-estados ou estados próprios da estrutura. Quando os auto-estados são lineares, dizemos que o material apresenta birrefringência linear, e quando são circulares dizemos que o material apresenta birrefringência circular. Quando os dois tipos de birrefringência coexistem no mesmo meio, os auto-estados são elípticos.
A maioria das aplicações de dispositivos birrefringentes, no entanto, envolve birre- fringências lineares, que é o caso dos controladores de polarização e dos defasadores, que serão discutidos com maior enfoque nesse trabalho.
Portanto, seja, novamente, A a matriz de Jones de um dispositivo e sejam: |ui = x0 y0 e |vi = −y0 x0
Os autovetores normalizados de A correspondentes aos auto-estados do dispositivo, onde x0 e y0são números reais. Note que eles são ortogonais e que correspondem a estados
de polarização linear. Deseja-se obter uma expressão para A a partir dos autovetores e de seus autovalores associados. Isso pode ser trivialmente obtido através da diagonalização de A:
A = P−1· D · P (2.87)
Onde a matriz P é a matriz mudança de base da base canônica (no caso, os vetores H e V) para a base dos autovetores, dada por:
P = x0 −y0 y0 x0
Como a base de autovetores escolhida é ortonormal, signi ca que a matriz P é uma matriz ortogonal, o que facilita bastante as contas, já que:
P−1 = PT =
x0 y0
−y0 x0
A matriz D, por sua vez, é a matriz A em sua forma diagonal, isto é: D = λu 0
0 λv
Resolvendo a equação (2.87), com o auxílio das matrizes acima (P , P−1e D), encontramos:
A =
λux20+ λvy02 (λu− λv)x0y0
(λu − λv)x0y0 λuy02+ λvx20
Lembrando que os autovetores são normalizados, ou seja, x2
0+ y02 = 1.
A matriz encontrada é uma representação genérica de um dispositivo ou meio que apre- sente birrefringência linear. Observe que, no caso do dispositivo não apresentar ganhos ou perdas, os autovalores de possuirão norma 1 e a matriz A representará um operador uni- tário. Surpreendentemente, muitos dispositivos ópticos são representados por operadores unitários. A seguir serão estudados alguns deles em detalhes.
As matrizes de Jones de diversos dispositivos ópticos podem ser representadas utili- zando a matriz A,descrita acima. O exemplo mais simples é o do polarizador linear, que possui autovalores λu = 1 (associado ao eixo de transmissão) e λv = 0 (associado ao eixo
ortogonal). Supondo que o eixo de transmissão forma um ângulo θ com o eixo horizontal, tem-se que: |ui = xy0 0 = cos θsin θ
Utilizando a matriz A, teremos como a matriz do polarizador: A =
cos2θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin2θ
Obviamente, devido à presença de um autovalor nulo, o polarizador não pode ser representado por um operador unitário. Considere agora uma lâmina birrefringente com anisotropia linear, na qual os auto-estados correspondem às direções que formam um ângulo θ com os eixos x e y, conforme a matriz u acima.
Seja φ a defasagem introduzida entre as duas componentes, de forma que: λu = e
iφ 2
e λv = e
−iφ
2 . Observe que os autovetores possuem módulo igual a 1. Substituindo λu,
λv e os valores de x0 e y0, presentes na matriz u, na matriz A. E, utilizando algumas
identidades trigonométricas, teremos: A = cos(φ2) + i cos(2θ) sin(
φ
2) i sin(2θ) sin( φ 2)
i sin(2θ) sin(φ2) cos(φ2) − i cos(2θ) sin(φ2)
Note que essa matriz, diferentemente da matriz de um polarizador, representa um operador unitário. Quando os auto-estados são as polarizações nas direções dos eixos x e y, a matriz A se reduz a: A = " eiφ2 0 0 e−iφ2 #
Essa transformação pode ser interpretada geometricamente se sua representação na esfera de Poincaré for utilizada. Para isso, considere um estado de polarização genérico na entrada do dispositivo, da forma:
|ψini =
cos χ sin χeiδ
de maneira que teremos: |ψouti = " eiφ2 0 0 e−iφ2 # . cos χ sin χeiδ
=
"
cos χ · eiφ2
sin χeiδ· e−iφ2
#
Multiplicando a matriz acima por eiφ
2 , a m de torná-la familiar, teremos:
|ψouti =
cos χ sin χ · ei(δ−φ)
Na representação de Poincaré, esse estado de polarização corresponde ao ponto da esfera dado por:
|ψouti =
" cos 2χ sin 2χ cos(φ − δ) sin 2χ sin(φ − δ)
#
Observando a Figura 13 e a matriz |ψouti acima, percebemos que a matriz A, repre-
senta uma transformação de rotação de um ângulo φ em torno do eixo S1. Portanto,
podemos generalizar para uma transformação genérica qualquer, a partir da matriz A: a transformação de polarização efetuada por uma lâmina birrefringente pode ser interpre- tada geometricamente como uma rotação em torno do eixo que representa os auto-estados na esfera de Poincaré. É importante entender que auto-estados ortogonais são represen- tados em um mesmo eixo na esfera, já que são diametralmente opostos.
Contudo, a matriz A pode ser entendida como uma transformação genérica que pode representar diversos dispositivos, como lâminas de meia onda (φ = π) e lâminas de quarto de onda (φ = π
2), que serão bastante utilizada neste trabalho. No caso de uma lâmina de
meia onda e uma lâmina de quarto de onda, de auto-estados alinhados aos eixos x e y, as transformação poderiam ser representadas, respectivamente,por:
Aλ/2 = i 0 0 −i Aλ/4 = 1 0 0 i
As matrizes Aλ/2 e Aλ/4 serão revisitadas nos procedimentos experimentais.
A m de exempli car a representação das transforções na Esfera de Poincaré, podemos considerar o caminho ABCA, indicado na gura abaixo.
Figura 15: Conjunto de Transformações de Estados de Polarização representado na Esfera de Poincaré.
Esse caminho pode ser dividido da seguinte maneira: AB, BC e CA. De modo, que podemos representar algebricamente esse conjunto de transformações por: TABCA = TCA·
TBC · TAB.
Cada transformação T , irá indicar o deslocamento de um Estado de Polarização para outro, ao longo da Esfera. A transformação TAB representa a saída de um Estado de
Polarização circular à esquerda (PCE) para um Estado de Polarização linear −45(L-45). No caso da transformação TBC, saímos do Estado L-45 para um Estado de Polarização
linear qualquer, indicado pelo ponto C, na gura. Já, a transformação TCA irá deslocar
do Estado de Polarização em C para o Estado de Polarização linear −45(L-45), fechando a transformação TABCA.
Podemos, matricialmente, escrever cada transformação descrita acima. Porém, é ne- cessário relembrar que as matrizes Aλ/2 e Aλ/4 escritas anteriormente,representam as
lâminas de meia onda e lâminas de quarto de onda quando estão com seus eixos rápi- dos alinhados horizontalmente. Portanto, devemos escrever as matrizes dos dispositivos quando estiverem com seus respectivos eixos rápidos formando um ângulo θ com a ho- rizontal. Para tal, usaremos a seguinte notação: A(φ, θ) [10]. Logo, a equação (2.83), pode ser reescrita da seguinte forma:
Matricialmente, teremos: A(φ, θ) = cosθ sinθ −sinθ cosθ . " eiφ2 0 0 e−iφ2 #
. cosθ −sinθsinθ cosθ
Com isso, podemos descrever cada transformação no caminho AB, BC e CA, matri- cialmente.
A transformação TAB pode ser obtida utilizando uma lâmina de quarto de onda com
seu eixo rápido na horizontal, e teremos: |ψouti = 1 0 0 i . √1 2 1 i = √1 2 1 −1
A próxima transformação TBC, é realizada com uma lâmina de meio onda, rotacionada
de um ângulo θ qualquer, em relação ao seu eixo rápido. Esta transformação, em termos matriciais ca: |ψouti = cosθ sinθ −sinθ cosθ . i 0 0 −i
. cosθ −sinθsinθ cosθ . √1 2 1 −1
E, nalmente, a última transformação TCA. Como a lâmina de quarto de onda trans-
forma um estado de polarização linear em circurlar e vice-versa, esta transformação do ponto C para o ponto A será:
|ψouti = cosθ sinθ −sinθ cosθ . 1 00 i
. cosθ −sinθsinθ cosθ .|ψoutiC = 1 √ 2 1 i
Assim, encerramos a fundamentação teórica que norteará essa trabalho. Veremos, nos próximos capítulos, a parte experimental do trabalho, que terá como base princial a representação dos Estados de Polarização na Esfera de Poincaré.