Análise dos dados de precipitação, temperatura máxima e umidade relativa do ar no município do Rio de Janeiro - RJ via Teoria dos Valores Extremos

(1)

B´

arbara Yohana Cesar Silva

An´

alise dos dados de precipita¸

c˜

ao,

temperatura m´

axima e umidade relativa do

ar no munic´ıpio do Rio de Janeiro - RJ via

Teoria dos Valores Extremos

Niter´oi - RJ, Brasil

(2)

B´

arbara Yohana Cesar Silva

An´

alise dos dados de precipita¸

c˜

ao,

temperatura m´

axima e umidade

relativa do ar no munic´ıpio do Rio de

Janeiro - RJ via Teoria dos Valores

Extremos

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Marco Aur´elio dos Santos Sanfins

Niter´oi - RJ, Brasil

(3)

Universidade Federal Fluminense

B´

arbara Yohana Cesar Silva

An´

alise dos dados de precipita¸

c˜

ao,

temperatura m´

axima e umidade relativa do

ar no munic´ıpio do Rio de Janeiro - RJ via

Teoria dos Valores Extremos

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Análise dos dados de precipita¸cão, temperatura máxima e umidade relativa do ar no munic´ıpio do Rio de Janeiro - RJ via Teoria dos Valores Extremos”, defendida por Bárbara Yohana Cesar Silva e aprovada em 18 de julho de 2019, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Marco Aur´elio dos Santos Sanfins Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Eduardo Ferioli Gomes Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Daiane Rodrigues dos Santos Universidade Veiga de Almeida - UVA

(4)

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

S586a Silva, Bárbara Yohana Cesar

Análise dos dados de precipitação, temperatura máxima e umidade relativa do ar no município do Rio de Janeiro - RJ via teoria dos valores extremos / Bárbara Yohana Cesar Silva ; Marco Aurélio dos Santos Sanfins, orientador. Niterói, 2019.

59 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2019.

1. Teoria dos valores extremos. 2. Modelagem. 3. Variáveis climáticas. 4. Produção intelectual. I. Sanfins, Marco Aurélio dos Santos, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

(5)

-Resumo

O aquecimento da terra e suas consequências para a vida no planeta é uma das gran-des preocupa¸cões. Um de seus efeitos mais vis´ıveis é o aumento da ocorrência de eventos extremos como, por exemplo, chuvas torrenciais seguidas de grandes per´ıodos de estiagem, aumentos e quedas bruscas da temperatura, secas, estiagens, inunda¸cões e enxurradas, e o impacto financeiro que isso causa. Esses fatores devem ser levados em considera¸cão no planejamento de constru¸cões e de atividades relacionadas à gestão e saúde, por exemplo. Sendo assim, o estudo do comportamento destes fenômenos extremos torna-se de suma importância, e a Teoria de Valores Extremos é uma ferramenta eficaz no estudo deste con-texto. Os fundamentos básicos da teoria dos valores extremos foram inicialmente expostos por Fisher e Tippett, que estabeleceram os três tipos de distribui¸cão assintótica de valores extremos,como Gumbel (Tipo I), Fréchet(Tipo II) e Weibul(Tipo III). As estimativas dos parâmetros da distribui¸cão generalizada será obtida pelo método da máxima verossimi-lhan¸ca, seguido do teste de Kolmogorov-Smirnov, gráficos de probabilidade-probabilidade e de quantil-quantil, para verificar o ajuste do modelo aos dados, e por fim calcular os per´ıodos e n´ıveis de retornos afim de verificar qual das distribui¸cões se ajustou melhor aos dados. Os dados foram obtidos no Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa (BDMEP) do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). As informa¸cões referem-se à série de temperatura (emoC), precipita¸cão (em mm) e umidade relativa (em %) da esta¸cão 83743 localizada no munic´ıpio do Rio de Janeiro, desde 01/01/1961 à 31/03/2017.

Palavras-chaves: Valores extremos. Precipita¸cão. Temperatura. Umidade Relativa. Eventos climáticos. Máxima Verossimilhan¸ca.

(6)

Dedico esta conquista ao meus pais, a minha irmã e meu namorado por todo apoio e paciência durante toda a caminhada para que eu pudesse chegar até aqui.

(7)

Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a Deus que permitiu que tudo isso fosse realizado, aos meus pais, Maria e Marcos, que foram a minha for¸ca em todos os momentos, a minha irmã Gabriella por todo incentivo, ao meu namorado Rafael por toda paciência, carinho e amor e ao meu professor Marco Aurélio pelas li¸cões e conhecimentos que foi muito importante para este trabalho, além dos incentivos para que eu não desistisse e pudesse chegar ao fim dessa trajetória.

(8)

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 13

1.1 Objetivos . . . p. 14

2 Referencial Te´orico p. 15

2.1 Vari´aveis Clim´aticas . . . p. 15

2.1.1 Precipita¸c˜ao . . . p. 15

2.1.2 Temperaturas do Ar . . . p. 16

2.1.3 Umidade Relativa . . . p. 17

2.2 Teoria dos Valores Extremos . . . p. 17

2.2.1 Conceito . . . p. 18

2.2.2 Distribui¸c˜ao Exata do M´aximo . . . p. 18

2.2.3 Distribui¸c˜oes Limites do M´aximo . . . p. 19

2.2.4 Modelos probabil´ısticos para m´aximos . . . p. 20

2.2.5 Max - Estabilidade . . . p. 21

2.2.6 Dom´ınio de Atra¸c˜ao . . . p. 22

2.2.7 Distribui¸c˜oes Generalizada de Valores Extremos (GEV) . . . p. 23

3 Materiais e M´etodos p. 25

(9)

3.2 Estima¸c˜ao . . . p. 25

3.2.1 M´etodo da M´axima Verossimilhan¸ca . . . p. 25

3.3 Testes Estat´ısticos . . . p. 27

3.3.1 Ljung Box . . . p. 27

3.3.2 Teste de adequa¸c˜ao ao modelo . . . p. 28

3.3.2.1 Estat´ıstica de Kolmogorov-Smirnov . . . p. 28

3.3.2.2 Teste da raz˜ao de verosimilhan¸ca . . . p. 29

3.4 An´alise Gr´afica . . . p. 30

3.5 Per´ıodos e n´ıveis de retorno da distribui¸c˜ao GEV . . . p. 30

4 An´alise dos Resultados p. 32

4.1 Anuais . . . p. 32 4.1.1 Precipita¸cão . . . p. 32 4.1.2 Temperatura Máxima . . . p. 36 4.1.3 Umidade Relativa . . . p. 40 4.2 Mensais . . . p. 44 4.2.1 Precipita¸cão . . . p. 44 4.2.2 Temperatura Máxima . . . p. 48 4.2.3 Umidade Relativa . . . p. 51 5 Conclusão p. 56 Referências p. 57

(10)

1 Distribui¸c˜ao GEV para valores diferentes de ξ . . . p. 24

2 Precipita¸c˜ao em mm . . . p. 33

3 Histograma para as Precipita¸c˜ao em mm . . . p. 33

4 Diagnóstico gráfico do ajustamento Gumbel aos n´ıveis de precipita¸cão

m´aximos anuais . . . p. 35

5 N´ıveis de retorno da precipita¸c˜ao . . . p. 36

6 Temperaturas M´aximas emoC . . . p. 36

7 Histograma para as Temperaturas M´aximas em o_C _{. . . .} _{p. 37}

8 Diagn´ostico gr´afico do ajustamento GEV aos n´ıveis de temperaturas

m´aximas anuais . . . p. 39

9 N´ıveis de retorno da temperatura m´axima . . . p. 40

10 Umidade Relativa em % . . . p. 40

11 Histograma para a Umidade Relativa em % . . . p. 41

12 Diagn´ostico gr´afico do ajustamento GEV aos n´ıveis de umidades relativas

m´aximas anuais . . . p. 43

13 N´ıveis de retorno de Umidade Relativa . . . p. 44

14 Precipita¸c˜ao em mm . . . p. 45

15 Histograma para as precipita¸c˜oes mensais em mm . . . p. 45

16 Diagnóstico gráfico do ajustamento GEV aos n´ıveis de precipita¸cão máximas anuais . . . p. 47

17 N´ıveis de retorno de precipita¸c˜ao . . . p. 48

18 Temperatura em oC . . . p. 48

(11)

20 Diagn´ostico gr´afico do ajustamento GEV aos n´ıveis de temperaturas

m´aximas mensais . . . p. 50

21 N´ıveis de retorno da temperatura . . . p. 51

22 Umidade Relativa em % . . . p. 52

23 Histograma para as umidades relativa em % . . . p. 52

24 Diagn´ostico gr´afico do ajustamento GEV aos n´ıveis de umidade relativa

m´aximas mensais . . . p. 54

(12)

1 Valores cr´ıticos para a estat´ıstica de teste D . . . p. 29

2 An´alise descritiva dos dados de Precipita¸c˜ao . . . p. 33

3 Estimativas dos parâmetros da Gumbel e da GEV via método de máxima

verossimilhan¸ca . . . p. 34

4 Valores da estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸ca . . . p. 34

5 Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) anuais no Rio de Janeiro

-RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos . . . p. 35

6 An´alise descritiva dos dados de Temperatura M´axima . . . p. 37

9 Estimativas das temperaturas m´aximas (oC) anuais no Rio de Janeiro

-RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 . . . p. 39

10 An´alise descritiva dos dados de Umidade Relativa . . . p. 41

13 Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) anuais no Rio de Janeiro

-RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos . . . p. 43

14 An´alise descritiva dos dados de Precipita¸c˜ao Mensais . . . p. 45

(13)

17 Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) mensais no Rio de Janeiro

- RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 . . . p. 47

18 An´alise descritiva dos dados de Temperatura . . . p. 49

21 Estimativas das temperaturas m´aximas (oC) mensais no Rio de Janeiro

- RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos . . . p. 51

22 An´alise descritiva dos dados de umidade relativa . . . p. 52

25 Estimativas das umidades relativa m´aximas (%)mensais no Rio de

(14)

1 Introdu¸

c˜

ao

O estudo de certas variáveis meteorológicas, como a precipita¸cão, temperatura e umi-dade relativa do ar, é de extrema importância, pois estas variáveis influenciam na produ¸cão de diversos setores e na ocorrência de certas doen¸cas, além do mais, alguns desastres am-bientais podem ser controlados calculando previsões sobre essas variáveis.

Os preju´ızos causados por secas, estiagens, inunda¸cões e enxurradas que atingiram o Pa´ıs entre 1995 e 2014, custaram em média R$800 milhões por mês, conforme estudo realizado pelo Centro de Estudos e Pesquisas sobre Desastres (Ceped) da Universidade Federal de Santa Catarina. O crescimento desordenado das cidades e aquecimento global, são uma das causas que proporcionam o aumento da frequência e intensidade desses eventos extremos.

O estudo será realizado sobre uma esta¸cão localizada no Estado do Rio de Janeiro (RJ). A escolha da localiza¸cão foi devido as fortes chuvas que este Estado enfrentou nos ´

ultimos meses. Com isso, observou-se a necessissidade de estudos climáticos mais precisos, visando o desenvolvimento, bem-estar da popula¸cão e preven¸cão de futuros desastres.

Para realizar o estudo das variáveis meteorológicas, foi utilizada uma ferramenta efi-caz no contexto de modelagem de eventos extremos, conhecida como teoria dos valores extremos, cujo principal objetivo é analisar os valores máximos e/ou m´ınimos de uma amostra aleatória. Um evento extremo é, um evento pouco comum, raro e que apresenta caracter´ısticas como dura¸cão e intensidade pouco usuais.

A Teoria de Valores Extremos (TVE) é considerada um ramo da probabilidade que estuda o comportamento assintótico de extremos associados a uma sequência de variáveis aleatórias (ou vetores aleatórios) com uma distribui¸cão F . É uma ferramenta que tem um papel fundamental no tocante a modelagem probabil´ıstica de fenômenos naturais. Seus fundamentos foram inicialmente expostos por Fisher & Tippett [11], que por defini¸cão introduziram os três tipos poss´ıveis de distribui¸cões assintóticas dos valores extremos, conhecidas como Gumbel (Tipo I), Fréchet (Tipo II) e Weibull (Tipo III), e através dessas

(15)

1.1 Objetivos 14

distribui¸cões faremos os estudos para os dados de precipita¸cão, temperatura máxima e umidade relativa do ar do munic´ıpio do Rio de Janeiro.E, para a identifica¸cão da melhor distribui¸cão, utilizaremos a distribui¸cão generalizada de valores extremos, que inclui as três distribui¸cões em uma única fam´ılia.

1.1 Objetivos

Neste trabalho será aplicado análises via teoria dos valores extremos, com intuito de encontrar um modelo que se ajuste bem aos dados das seguintes variáveis:

• Precipita¸c˜ao;

• Temperatura M´axima;

• Umidade Relativa;

Para isso será utilizada uma metodologia paramétrica, afim de descrever e prever o comportamento dessas variáveis no munic´ıpio do Rio de Janeiro. Por fim, será calculado os n´ıveis de retorno para 10, 20 e 30 anos, além do per´ıodo de retorno para o maior dado observado de cada variável.

(16)

2 Referencial Te´

orico

2.1 Vari´

aveis Clim´

aticas

2.1.1 Precipita¸

c˜

ao

A precipita¸cão é a deposi¸cão de água para a superf´ıcie da Terra, sob forma de chuva, neve, gelo ou granizo. Seus valores são expressos em mil´ımetros (mm) de água l´ıquida equivalente para o intervalo de tempo precedente, ou seja, um mil´ımetro de chuva corres-ponde a 1 litro por metro quadrado de água sobre a superf´ıcie [22].

A precipita¸cão desempenha um papel vital nos setores da agricultura, abastecimento público de água, produ¸cão de energia, indústria, turismo e ecossistemas naturais. Para projetos de obras hidráulicas é de suma importância o conhecimento das grandezas que caracterizam as precipita¸cões máximas, que é entendida como a ocorrência extrema. Tem efeito direto sobre a erosão do solo, em inunda¸cões de áreas urbanas e rurais, entre outros [25].

Segundo Beijo e Avelar [1], a distribui¸cão generalizada de valores extremos é de suma importância para a modelagem de dados climáticos extremos e mostrou-se adequada para a obten¸cão das estimativas de precipita¸cões máximas em Carbonita-MG.

Em um estudo sobre a distribui¸cão generalizada de valores extremos da região de Moreilâdia-PE, de Medeiros et al.[2] foi conclu´ıdo que a distribui¸cão Gumbel (tipo I) é adequada para estudar os comportamentos da precipita¸cão máxima de chuvas nos meses que foram analisados, para este munic´ıpio. De acordo com Santos et al. [3], a maioria dos dados de máximas de precipita¸cão ajustou-se bem a distribui¸cão de Gumbel também.

No artigo de Filho et al. [4], em que se trata da caracteriza¸cão de extremos anuais de precipita¸cão para o estado de Sergipe, concluiu que a análise dos extremos diários de precipita¸cão pela distribui¸cão GEV, constatou que os parâmetros de localiza¸cão e de escala para as três esta¸cões meteorológicas estudadas possu´ıam comportamentos similares,

(17)

2.1 Vari´aveis Clim´aticas 16

com pequenas varia¸c˜oes.

Sansigolo [5], concluiu que a distribui¸cão Gumbel foi a mais adequada para os dados de precipita¸cões. E Beijo et al. [6] num estudo das precipita¸cões máximas em Lavras -MG mostrou que esses dados se ajustaram bem a distribui¸cão do tipo I (Gumbel).

2.1.2 Temperaturas do Ar

O conceito mais elementar é o de temperatura sentida que é o resultado de uma sensa¸cão térmica. De fato quando se toca um corpo, diz-se que está quente ou frio segundo a sensa¸cão sentida. Porém essa idéia é insuficiente, pois a temperatura de um corpo é a condi¸cão que determina se o mesmo tem capacidade para transmitir calor a outros ou para receber calor transmitidos por estes. É apresentada geralmente em graus Celsius (o_{C) [26].}

A temperatura média anual do ar à superf´ıcie da terra é um indicador essencial para a avalia¸cão do estado do ambiente: para além de ser um dos que é monitorizado há mais anos, é também o principal indicador para a monitoriza¸cão das altera¸cões climáticas. O aumento da temperatura, em grande parte devido ao fenômeno conhecido como aqueci-mento global, que é causado pela emissão de gases em excesso para a atmosfera, influencia, entre outros, o n´ıvel do mar, a intensidade e frequência das cheias e das secas, as espécies e os habitats, o rendimento das culturas agr´ıcolas e as doen¸cas infeciosas [25].

Temperaturas muito altas, além de causar um desconforto devido a exposi¸cão ao calor excessivo, podem também provocar consequências negativas ao nosso organismo,pois estão ligadas à desidrata¸cão. Com isso, podem ocorrer queda de pressão, desânimos, desmaios, tonturas, mal-estar , palpita¸cões e em casos extremos podem levar até ao óbito.

Sansigolo [5], em seu estudo sobre temperatura máxima e m´ınima do ar em Piracicaba - SP, concluiu que não foram constatadas tendências as séries. As distribui¸cões teóricas de probabilidade que melhor se ajustaram aos extremos de temperatura máxima e m´ınima absoluta, foram, respectivamente, Gumbel e Normal.

Segundo Barbosa et al. [7], num estudo aplicado a valores de temperatura m´ınima da Cidade de Vi¸cosa-MG, concluiu que a distribui¸cão Generalizada de Valores extremos obteve um bom ajuste aos dados analisados, sendo inferior apenas ao modelo Weibull para a série de temperatura m´ınima no mês de junho. Destacou também que a série de julho não foi aleatória e por isso não foi poss´ıvel aplicar a metodologia de valores extremos e sugeriu que outros tipos de metodologias para essa análise, como por exemplo, séries

(18)

temporais via modelo Box & Jenkins.

2.1.3 Umidade Relativa

A umidade relativa é a percentagem de satura¸cão de um volume espec´ıfico de ar a uma temperatura espec´ıfica, logo depende da temperatura e da pressão do volume de ar. Geralmente é medida em percentual. Descreve a quantidade de água que é transpor-tada pelo ar, e é um fator importante para determinar o desenvolvimento das nuvens e precipita¸cão [22].

O elemento água existe na atmosfera sob três estados f´ısicos: sólido, l´ıquido e gasoso. Isso se deve ao fato da umidade relativa do ar ser inversamente proporcional à temperatura do ar. Desta forma, o estado gasoso, ou o vapor de água atmosférico, é definido como umidade [26].

Vários fatores podem influenciar na umidade do ar, tais como a temperatura, ve-geta¸cão, quantidade de edifica¸cões, presen¸ca de rios, lagos, mares, etc. E importante´ destacar que a umidade do ar pode interferir diretamente na qualidade de vida dos habi-tantes, pois baixas umidades podem gerar problemas respiratórios, sangramentos nasais, alergias e desidrata¸cão. Já as altas umidades podem provocar tonturas e prolifera¸cão de fungos. [31]

Beijo et al. [8] em um estudo sobre os n´ıveis m´ınimos de umidade relativa do ar em Piracicaba - S˜ao Paulo, informa que a distribui¸c˜ao Generalizada de Valores Extremos foi a mais adequada para modelar estes dados e apontou que houve um aumento dos n´ıveis m´ınimos de umidade relativa do ar ao longo dos anos nos meses de abril, maio e junho.

2.2 Teoria dos Valores Extremos

Nesta se¸cão serão apresentados alguns pontos da Teoria dos Valores Extremos como: conceito, modelagem univariada (este trabalho apenas tratará do caso univariado), dis-tribui¸cões assintóticas do máximo e do m´ınimo, condi¸cões necessárias e distribui¸cão dos valores extremos generalizada. As nota¸cões serão as mesmas utilizadas em Mendes [23]. Caso tenha interesse num estudo mais detalhado sobre a Teoria dos Valores Extremos aconselha-se a leitura da tese de doutorado denominada “Cópulas para Distribui¸cões Ge-neralizadas de Valores Extremos Multidimensionais de Sanfins”[14].

(19)

2.2 Teoria dos Valores Extremos 18

2.2.1 Conceito

Os fundamentos da Teoria dos Valores Extremos (TVE), que estuda as propriedades das caldas das distribui¸cões, foram inicialmente propostos por Fisher & Tippet [11], que definiram os três tipos de distribui¸cões assintóticas dos valores extremos, conhecidas como: Gumbel, Fréchet e Weibull, que também podem ser denominadas como tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente. Porém o primeiro a estudar e formalizar a aplica¸cão estat´ıstica destas distribui¸cões foi Gumbel, citado por Jenkinson [13].

Adicionalmente, Gnedenko [12] contribuiu para o estudo de valores extremos, mostrou as condi¸cões necessárias e suficientes para a existência das distribui¸cões assintóticas dos valores extremos e determinou que as caudas dessas distribui¸cões, podem ser modeladas por alguns tipos de distribui¸cões cont´ınuas. Como por exemplo, as caudas da distribui¸cão de Gumbel correspondem às distribui¸cões exponencial, gama, normal ou log-normal, as da distribui¸cões de Fréchet seguem uma distribui¸cão de Cauchy, Pareto ou t de Student e as da distribui¸cão de Weibull seguem uma distribui¸cão uniforme.

Segundo Sanfins [14], a teoria dos valores extremos é um ramo da probabilidade que estuda o comportamento assintótico de extremos associados a uma sequência de variáveis aleatórias. A TVE vai ajudar a descrever e a quantificar o comportamento desses acontecimentos, procurando estimar uma poss´ıvel distribui¸cão limite para os máximos (ou m´ınimos) da amostra composta por variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas.

2.2.2 Distribui¸

c˜

ao Exata do M´

aximo

Considere-se que os dados em estudo são observa¸cões provenientes de uma amostra de variáveis aleatórias (X1, X2, ..., Xn) independentes e identicamente distribu´ıdas com

fun¸cão distribui¸cão FX e fun¸cão densidade de probabilidade fX. Ordenando de forma

crescente essas amostras, temos as correspondentes estat´ısticas ordinais, que podem ser denotadas por (X(1), X(2), ..., X(n)), com X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n). Ent˜ao o i-´esimo

elemento desta sequência, X(i), será a i-ésima estat´ıstica de ordem da amostra, com i =

1, ..., n. Sendo assim, a primeira e a ´ultima estat´ısticas de ordem, X(1) e X(n), ser˜ao,

respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo da amostra obtida (X1, X2, ..., Xn).

A abordagem clássica da TVE consiste em caracterizar as caudas da distribui¸cão FX a partir da distribui¸cão do máximo (ou do m´ınimo). Para isto definimos X(n) =

(20)

identicamente distribu´ıda.

Então a fun¸cão de distribui¸cão exata do máximo é

FX(n) = P (X(n)≤ x) = P (max(X1, X2, ..., Xn) ≤ x) = P (X1 ≤ x, ..., Xn ≤ x) =

P (X1 ≤ x) × ... × P (Xn≤ x) = F1(x) × ... × Fn(x) = FXn(x)

(2.1)

para x ∈ R e n ∈ N.

E para se obter a distribui¸c˜ao do m´ınimo usa-se a seguinte rela¸c˜ao

m´ın(X1, ...Xn) = −m´ax(−X1, ..., −Xn)

O problema é que nem sempre a fun¸cão de distribui¸cão FX é conhecida. Veremos

tamb´em, que para n suficientemente grande esta distribui¸c˜ao pode se tornar degenerada.

2.2.3 Distribui¸

c˜

oes Limites do M´

aximo

Valores dos máximos são aqueles que se localizam próximos do limite superior do suporte da distribui¸cão de X. Então conclui-se que o comportamento assintótico do máximo deve estar relacionado com a cauda de FX(x) perto de xFX. (Também se aplicam

aos m´ınimos e a cauda a esquerda de FX.)

Seja xFX o limite superior do suporte da distribui¸c˜ao FX. Isto ´e,

xFX = sup{x ∈ R : FX(x) < 1} (2.2)

Teremos os seguintes resultados:

• Para todo x < xFX temos que

P {X(n) ≤ x} = (FX(x))n n→∞−→ 0 (2.3)

• Se xFX < ∞, temos que para x ≥ xFX

P {X(n)≤ x} = (FX(x))n= 1 (2.4)

Então, temos que o máximo converge em probabilidade para xFX, isto é, X(n)

p

−→ xFX,

(21)

Uma vez que a sequência (X(n)) é não decrescente em n, o máximo converge quase

certamente (q.c) para o suporte para n suficientemente grande, logo temos o seguinte resultado:

X(n) q.c

−→ xFX, n −→ ∞ (2.5)

Pode-se observar que para valores de n suficientemente grande, a distribui¸cão é dege-nerada, ou seja, não fornece muita informa¸cão, tomando apenas valores 0 ou 1. Porém, o Teorema Fundamental de Fisher-Tippet fornece o resultado de convergência fraca para máximo centrado e normalizado,e através desta distribui¸cão será poss´ıvel obter a distri-bui¸cão de X, como será visto na próxima se¸cão.

2.2.4 Modelos probabil´ısticos para m´

aximos

Dado que para conhecer a distribui¸c˜ao exata do m´aximo FX(n) tem - se que, para

uma amostra de tamanho n pequeno ´e preciso identificar a distribui¸c˜ao FX, a qual em

geral é desconhecida e para n suficientemente grande, a fun¸cão de distribui¸cão do máximo FX(n) torna-se degenerada, ou seja, não fornece muita informa¸cão. Como solu¸cão disso será

utilizado o teorema de Fisher & Tippet 2.2.1, que estabelece que a distribui¸cão assintótica do máximo normalizado retorna a uma das três distribui¸cões : Gumbel (Tipo I), Fréchet (Tipo II)e Weibull (Tipo III).

Teorema 2.2.1 (Fisher-Tippett [1928]): Seja (Xn) uma sequência de variáveis aleatórias

independente e identicamente distribu´ıdas. Se existirem sequências de constantes norma-lizadoras cn> 0 e dn∈ R e uma distribui¸cão não degenerada H(x) tal que

X(n)− dn

cn

d

−→ H(x)

onde H são as distribui¸cões limites dos máximos e pode ser do tipo

• Tipo I:

(22)

• Tipo II: Fr´echet: HII,α(x) = ( 0 ,se x ≤ 0 exp{−x−α} ,se x > 0 α > 0 (2.7) • Tipo III: Weibull: HIII,α(x) = ( exp{−(−x)−α ,se x ≤ 0 1 ,se x > 0 α < 0 (2.8)

Após estimar a distribui¸cão limite, pode-se obter informa¸cões da distribui¸cão FX

utilizando a defini¸cão da distribui¸cao exata do máximo, isto é,

H(x) = P (X(n)≤ x) = [FX(x)]n

e portanto,

FX(x) = [H(x)]

1 n

O teorema de Fisher-Tippet também é válido para variáveis aletórias apresentando dependência temporal e heteroscedasticidade, porém neste caso existem algumas condi¸cões a serem verificadas.

Existem similiaridade entre o Teorema de Fisher-Tippett (TFT) e o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL estabelece que dentro das fun¸cões de distribui¸cão não degene-radas apenas as distribui¸cões estáveis podem ser distribui¸cão limites. O TFT estabelece que apenas as distribui¸cões máx-estáveis podem ser distribui¸cão limite, veja Mendes[23].

Segundo Embrechts et al. [15], há uma rela¸cão entre as distribui¸cões limite, conforme a seguir:

X ∼ F rechet(α) ⇔ ln(Xα) ∼ Gumbel ⇔ −X−1 ∼ W eibull(α)

2.2.5 Max - Estabilidade

As distribui¸cões de valores extremos se caracterizam por serem max-estáveis. A de-fini¸cão 2.2.2 mostra que toda distribui¸cão max-estável é distribui¸cão limite para o máximo de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas.

(23)

Defini¸cão 2.2.2 Sejam X, X1, X2, ... v.a.s. i.i.d. com fun¸cão de distribui¸cão FX, e sejam

dn ∈ R e cn > 0 constantes apropriadas. Dizemos que FX ´e max-est´avel se satisfaz a

igualdade em distribui¸c˜ao

max(X1, ..., Xn) = cnX + dn (2.9)

Como visto no teorema de Fisher-Tippett 2.2.1, se existirem constantes cn> 0, dn∈ R

tais que o máximo padronizado convirja para uma distribui¸cão não degenerada , então esta deve ser de um dos três tipos (I, II ou III) conforme mencionado anteriormente. De fato, a classe das distribui¸cões max-estáveis coincide com a classe das distribui¸cões limite para o máximo padronizado. Isto é, temos também que

lim

n−→∞[FX(cnX + dn)] n

= H(x) (2.10)

ou seja, se X assumir uma das distribui¸cões extremas, então essa distribui¸cão extrema, sendo limite, é estável.

Teorema 2.2.3 (Propriedade limite das distribui¸cões max-estáveis): A classe das dis-tribui¸cões max-estáveis coincide com a classe de todas as distribui¸cões limite poss´ıveis (não degeneradas) para o máximo (padronizado) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas.

2.2.6 Dom´ınio de Atra¸

c˜

ao

O teorema de Fisher-Tippet implica que se F_Xn(cnx + dn) ´e n˜ao degenerada quando n

´e suficientemente grande, para certas constantes cn> 0, dn ∈ R, ent˜ao

F_Xn(x) − H x − dn cn −→ 0, n −→ ∞ (2.11)

para alguma H(x) pertecentes as distribui¸cões limites do máximo. É poss´ıvel que máximos e m´ınimos coletados de uma FX tenham distribui¸cões limites diferentes. E´

denominado de dom´ınio de atra¸cão a cole¸cão das FXs tais que os respectivos máximos

possuem a mesma distribui¸cão limite não degenerada é chamada de dom´ınio de atra¸cão.

(24)

pertence ao dom´ınio de atra¸cão do máximo da distribui¸cão de valores extremos H(x), ou seja, FX ∈ MDA(H)

Para cada FX ∈ MDA(H), a qualidade e velocidade da aproxima¸c˜ao da distribui¸c˜ao do

m´aximo padronizado para H depende de FX. Por exemplo, o m´aximo de uma exponencial

converge mais r´apido para a Gumbel do que o de uma normal.

Uma rela¸cão de equivalência para as FXs pertencentes ao mesmo dom´ınio de atra¸cão

pode ser definida atrav´es do conceito de equivalˆencia de cauda.

Defini¸cão 2.2.5 (Equivalência de Cauda) Duas distribui¸cões F (x) e G(x) são ditas equivalentes de cauda se elas possuem o mesmo limite superior, isto é, xF = xG e

limx↑xF

FX

GX = c, para alguma constante no intervalo 0 < c < ∞.

2.2.7 Distribui¸

c˜

oes Generalizada de Valores Extremos (GEV)

A distribui¸cão GEV foi introduzida por Jenkinson [13] e é também conhecida como a distribui¸cão de von Mises-Jenkinson. E de acordo com Smith [16] houve uma mudan¸ca para representar os três casos padrões das distribui¸cões de valores extremos em uma única fam´ılia paramétrica que engloba as três distribui¸cões (Gumbel, Fréchte e Weibull). A essa fam´ılia dá-se o nome de distribui¸cão Generalizada de Valores Extremos (GEV). Ou seja, a distribui¸cão GEV é uma forma geral das três distribui¸cões.

A fun¸cão de densidade de uma distribui¸cão deneralizada de valores extremos é dada por: hµ,σ,ξ(x) = 1 σ 1 + ξ x − µ σ −(1+ξ_ξ ) exp ( − 1 + ξ x − µ σ −1_ξ) (2.12)

Definida em −∞ < x < µ − σ_ξ, para ξ < 0 e em µ − σ_ξ < x < ∞, para ξ > 0.

E sua fun¸cão de distribui¸cão denotada por Hξ é dada por :

Hµ,σ,ξ(x) =    expn− 1 + ξ x−µ_σ −1_ξo ,se ξ 6= 0 exp− exp −x−µ_σ , se ξ = 0 em que 1 + ξ x − µ σ > 0 (2.13)

(25)

distribui¸cões de Weibull e de Fréchet. Se ξ = 0, tem-se que Hξ corresponde a distribui¸cão

de Gumbel, que é um caso particular da GEV. Uma Gumbel corresponde ao limite de uma GEV, cujo parâmetro de forma ξ tende a zero,ou seja, ξ −→ 0, então Hµ,σ,ξ(x) ∼

Gumbel(µ, σ).

Como foi visto, a GEV é uma forma conveniente de representar estas distribui¸cões, pois essa distribui¸cão tem um número maior de parâmetros, além dos parâmetros de loca¸cão e escala presentes nas outras distribui¸cões tem-se ainda um parâmetro de forma que define os outros tipos de distribui¸cões de valores extremos vistos anteriormente. Assim pelos valores do parâmetro de forma ξ podemos identificar a natureza da cauda da distribui¸cão correspondente.

• ξ = 0 corresponde a distribui¸c˜ao de Gumbel HI,

• ξ > 0 corresponde a distribui¸c˜ao de Fr´echet HII,

• ξ < 0 corresponde a distribui¸c˜ao de Weibull HIII

Que pode ser verificado na figura 1 para diferentes valores de ξ.

(26)

3 Materiais e M´

etodos

3.1 M´

etodo dos blocos

Neste método a sequência de variáveis aleatórias i.i.d, X1, X2, . . . , Xn é partida em

m blocos de dimensão k, com k suficientemente grande. Para cada um desses blocos extrai-se unicamente a maior observa¸cão, obtendo-se assim uma amostra de dimensão m de máximos. Neste trabalho serão utilizados blocos anuais e mensais.

3.2 Estima¸

c˜

ao

Um problema que surgiu desde que foram propostas as distribui¸cões de valores extre-mos foi identificar o tipo de distribui¸cão mais adequada para uma determinada amostra de dados. Uma das formas de fazer essa identifica¸cão é pela análise do parâmetro de forma ξ através da estima¸cão dos parâmetros da GEV e intervalo de confian¸ca destes parâmetros.

Existem diversas formas para se obter as estimativas dos parâmetros µ, σ e ξ da distri-bui¸cão Hµ,σ,ξ, incluindo Método dos Momentos, Método da Regressão, Método da Máxima

Verossimilhan¸ca e Método dos L-Momentos. Aqui será aplicado o método da máxima ve-rossimilhan¸ca (EMV), por possuir boas propriedades e por ser um dos mais utilizados.

3.2.1 M´

etodo da M´

axima Verossimilhan¸

ca

Os EMV de ξ, µ e σ são obtidos numericamente pela maximiza¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca, isto é, s˜_{ao os valores em R × R × R}+ que maximizam

L(ξ, µ, σ(x1, x2, ..., xn)) = log n Y i hξ,µ,σ(xi)I{₁₊ξ σ(xi−µ)>0}

Os EMV podem ser obtidos através de um processo interativo resolvendo-se o sistema de equa¸cões não lineares obtido a partir da diferencia¸cão da equa¸cão acima em rela¸cão à

(27)

3.2 Estima¸c˜ao 26

ξ, µ e σ. Este procedimento pode-se tornar algumas vezes numericamente inst´avel.

Nos casos regulares, os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são consistentes, efi-cientes, e assintoticamente normais, acontecem quando a distribui¸cão em estudo depende de parâmetros desconhecidos. Os casos não regulares ocorrem quando o suporte da distri-bui¸cão depende dos parâmetros desconhecidos, como pode acontecer no caso da Hξ, pois

os limites dessa distribui¸cão depende dos parâmetros µ e σ e, dessa forma, as condi¸cões de regularidade para a estima¸cão pelo EMV não são satisfeitas e o método não pode ser aplicado automaticamente. Smith [16] fornece detalhes teóricos sobre o comportamento assintótico dos estimadores de máxima verossimilhan¸ca para a distribui¸cão generalizada de valores extremos e mostra que os mesmos mantêm suas boas propriedades sempre que ξ > −1₂. Como pode-se ver nos seguintes resultados obtidos em seu estudo:

1. quando ξ > −0.5, os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são regulares, no sentido de ter proriedades assintóticas habituais;

2. quando −1 < ξ < −0.5, os estimadores de máxima verossimilhan¸ca existem mas não são regulares;

3. quando ξ < −1, esses estimadores provavelmente n˜ao existem.

Segundo Smith [16] os casos com ξ < −0.5 é raramente encontrada em aplica¸cões de valores extremos e os métodos baseados em verossimilhan¸ca são preferidos devido a teoria desses estimadores ser bem compreendida e as inferências serem facilmente mo-dificadas ao incorporarem-se modelos com estruturas mais complexas. Então seguindo essas recomenda¸cões será utilizado o método de máxima verossimilhan¸ca para estimar os parâmetros da GEV.

Sejam X1, X2, ..., Xnuma série de n variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribu´ıdas, com distribui¸cão GEV e (x1, x2, ..., xn) uma série de observa¸cões. Supondo

que há independência entre as observa¸cões, obtêm-se a fun¸cão de verossimilhan¸ca da seguinte forma: L(µ, σ, ξ|(x1, x2, ..., xn)) = n Y i=1 fX(xi|µ, σ, ξ) = σ−n n Y i=1 1 + ξ xi− µ σ −1+ξ_ξ exp ( − n X i=1 1 + ξ xi− µ σ −1_ξ) (3.1)

(28)

calculando-se o logaritimo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca, que ´e definida por l(θ|(x1, x2, ..., xn)) = ln[L(µ, σ, ξ|(x1, x2, ..., xn))] = −nln(σ) − 1 + ξ ξ n X i=1 ln 1 + ξ xi− µ σ − n X i=1 1 + ξ xi− µ σ −1_ξ = n X i=1 ( −ln(σ) − 1 + ξ ξ ln 1 + ξ xi − µ σ − 1 + ξ xi− µ σ −1_ξ) (3.2)

para ξ < 0, e xi < µ −σ_ξ (ou seja, µ −σ_ξ > X(n)), ou para ξ > 0, e xi > µ −σ_ξ (ou seja,

µ − σ_ξ > X(1)). Maximizando-se a equa¸cão acima, com rela¸cão aos parâmetros (µ, σ, ξ),

obteremos as estimativas da distribui¸c˜ao GEV resolvendo as seguintes equa¸c˜oes abaixo:

• Para obter a estimativa de µ

∂l(µ, σ, ξ|(x1, x2, ..., xn))

∂µ = 0

• Para obter a estimativa de σ

∂l(µ, σ, ξ|(x1, x2, ..., xn))

∂σ = 0

• Para obter a estimativa de ξ

∂l(µ, σ, ξ|(x1, x2, ..., xn))

∂ξ = 0

3.3 Testes Estat´ısticos

Qualquer que seja o método de estima¸cão utilizado, é sempre recomendado testar formalmente as suposi¸cões do modelo e a qualidade do ajuste. No caso da GEV, deve-se sempre testar a hipótese nula ξ = 0, devido à maior simplicidade da expressão da fun¸cão de densidade Gumbel.

3.3.1 Ljung Box

Antes de estimar os dados, precisa-se verificar as suposi¸cões de que os dados são independentes. Para isso, foi utilizado o teste de Ljung Box, onde as hipóteses do teste

(29)

3.3 Testes Estat´ısticos 28

s˜ao as seguintes:

• H0: X1, . . . , Xn s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdos;

• H1: X1, . . . , Xn n˜ao s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdos.

Calculamos as estimativas de autocorrela¸c˜oes por

ˆ rk = Pn t=k+1âtât−k Pn t=1â 2 t

Se o modelo for apropriado, a estat´ıstica de teste

Q(k) = n(n − 2) K X j=1 ˆ r2 j (n − j)

terá aproximadamente uma distribui¸cão χ2 com (K − p − q) graus de liberdade, onde K é o número de defasagens tomada na fun¸cão de autocorrela¸cão, p e q são as ordens do modelo ajustado. Portanto, rejeitamos a hipótese nula se Q > χ2

1−α,k−p−q com um n´ıvel

de significˆancia α.

3.3.2 Teste de adequa¸

c˜

ao ao modelo

3.3.2.1 Estat´ıstica de Kolmogorov-Smirnov

Como as estimativas dos parâmetros da GEV serão obtidas por máxima verossimi-lhan¸ca, iremos testar se a amostra aleatória segue uma distribui¸cão GEV utilizando a estat´ıstica de Kolmogorov-Smirnov, D dada em Chandra et al. [20], e definida como

D+ = maxi i m − Hξ(m(i)) (3.3) D−= maxi Hξ(m(i)) − i − 1 m (3.4) D = max(D+, D−) (3.5)

onde, m(i)são os máximos ordenados e Hξé a distribui¸cão de GEV com as estimativas

(30)

Tabela 1: Valores cr´ıticos para a estat´ıstica de teste D N´ıvel de Significˆancia √mD

m = 10 1% 0.944 5% 0.819 m = 20 1% 0.973 5% 0.0,843 m = 50 1% 0.988 5% 0.856 m = ∞ 1% 1.007 5% 0.874

Esta tabela mostra alguns valores cr´ıticos para amostras de tamanho m = 10, 20, 50, e tamb´em, para m = ∞ com n´ıveis de significˆancia de 1% e 5%.

3.3.2.2 Teste da raz˜ao de verosimilhan¸ca

Podemos tamb´em testar as seguintes hip´oteses

• H0 : ξ = 0 (seguem uma distribui¸c˜ao Gumbel)

• H1 : ξ 6= 0 (n˜ao seguem uma distribui¸c˜ao Gumbel)

Para isso, é utilizado o teste da razão das verossimilhan¸cas, cuja estat´ıstica é

Λ = −2[l(ˆθGumbel) − l(ˆθGEV)] (3.6)

onde l(ˆθGumbel) e l(ˆθGEV) representam as log-verossimilhan¸cas calculadas, usando as

respectivamente as densidades da Gumbel e da GEV, com as respectivas estimativas por m´axima verossimilhan¸ca.

A estat´ıstica Λ deve ser comparada com uma chi-quadrado com um grau de liberdade, denotada por χ2₁, para algum n´ıvel de significˆancia estabelecido.

(31)

3.4 An´alise Gr´afica 30

Quando o teste ´e rejeitado, precisa-se saber qual distribui¸c˜ao os dados seguem, po-dendo ser tanto do tipo II como do tipo III.

3.4 An´

alise Gr´

afica

Em toda análise estat´ıstica, para verificar a qualidade do ajuste dos dados, além dos testes estat´ısticos, devem também ser feitas algumas análises gráficas.

Esta análise será realizada por meio do pp-plot( gráfico de probabilidade - probabili-dade), o qq-plot (gráfico quantil - quantil) e histograma com curva de densidade teórica e emp´ırica, além dos gráficos de n´ıveis de retorno.

3.5 Per´ıodos e n´ıveis de retorno da distribui¸

c˜

ao GEV

Outro conceito bastante utilizado em TVE é o n´ıvel de retorno U e per´ıodo de retorno T . Há uma rela¸cão entre os dois, pois o n´ıvel de retorno U (T ) é o valor que é excedido, em média, uma vez em cada T anos (per´ıodo de retorno do n´ıvel U ).

O per´ıodo de retorno T , que é o intervalo de tempo estimado para ocorrência de um determinado evento e é calculado como o inverso da probabilidade de um evento a ser igualado ou superado T = 1 P (X ≥ x) = 1 1 − Fx(x) (3.7)

Já os n´ıveis de retorno U (T ) está associado ao per´ıodo de retorno e nada mais é que o quantil de probabilidade 1 − _T1 e sua fun¸cão é dada por

U (T ) = q₁₋1 T (3.8) em que • Para ξ 6= 0 q₁₋1 T = µ − σ ξ ( 1 − −ln 1 − 1 T −ξ) • Para ξ = 0

(32)

q₁₋1 T = µ − σ ln −ln 1 − 1 T

(33)

32

4 An´

alise dos Resultados

Os dados foram obtidos no Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa (BDMEP) do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). O Banco abriga dados mete-orológicos diários em forma digital, de séries históricas das várias esta¸cões meteorológicas convencionais da rede de esta¸cões do INMET com milhões de informa¸cões, referentes às medi¸cões diárias, de acordo com as normas técnicas internacionais da Organiza¸cão Mete-orológica Mundial.

As informa¸cões referem-se à série de temperatura máxima (emo_{C), precipita¸c˜}_ao

ocor-rida nas últimas 24 horas (em mm) e umidade relativa (em %) da esta¸cão 83743 locali-zada na cidade do Rio de Janeiro com latitude de −22, 88 e longitude de −43, 18, desde 01/01/1961 à 31/03/2017, coletadas diariamente nos horários de 12:00 UTC (09 horas no horário de Bras´ılia - durante o horário de verão, 10 horas) e 00:00 UTC (21 horas no horário de Bras´ılia - durante o horário de verão, 22 horas). Foram selecionados os valores máximos dos blocos das variáveis em estudo.

Utilizou-se o software livre R para manipula¸cão e análise estat´ıstica dos dados, a modelagem em valores extremos foi realizada utilizando o pacote evd [30]. O n´ıvel de significância adotado para todos os testes foi de 5%.

4.1 Anuais

4.1.1 Precipita¸

c˜

ao

Na figura 2, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 24 observa¸cões máximas anuais de precipita¸cão para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/12/1984.

(34)

Figura 2: Precipita¸c˜ao em mm

Foi realizado uma análise descritiva para os dados obtidos, temos que os valores variam entre 0,00mm e 167,40 mm de precipita¸cão. A precipita¸cão média é de 80,82 mm. E pode-se obpode-servar também pelo comportamento do histograma, conforme figura 3.

M´ınimo 1o Quartil Mediana M´edia 3o Quartil M´aximo 0,00 52,40 61,30 80,82 124,10 167,40

Tabela 2: An´alise descritiva dos dados de Precipita¸c˜ao

Figura 3: Histograma para as Precipita¸c˜ao em mm

Procedeu-se ao Ljung-Box [21] para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor = 0,8117, que indica não rejei¸cão da hipótese nula, logo a amostra aleatória

(35)

4.1 Anuais 34

dos máximos anuais de precipita¸cão é independente. Com isso, será realizado a estima¸cão dos parâmetros e ajuste da distribui¸cão pelo método de máxima verossimilhan¸ca.

Na tabela 3 estão as estimativas dos modelos Gumbel e GEV pelo método de máxima verossimilhan¸ca, e seus devidos intervalos confian¸ca.

Parˆametros GEV Gumbel

MV IC (95%) MV IC (95%) ˆ µ 60,95 (40,22 ; 81,68) 57,49 (39,98 ; 74,99) ˆ σ 43,53 (28,07 ; 59,04) 41,44 (28,57 ; 54,31) ˆ ξ -0,16 (-0.58 ; 0,27) -

-Tabela 3: Estimativas dos parâmetros da Gumbel e da GEV via método de máxima verossimilhan¸ca

As estimativas dos parâmetros de loca¸cão e escala usando o método de máxima ve-rossimilhan¸ca foram maiores no modelo GEV do que no modelo Gumbel. Quanto ao parâmetro de forma, a estimativa é negativa e próxima de zero, além disso, o intervalo de confian¸ca contém o valor zero, que indica que a distribui¸cão Gumbel é uma forte candidata para modelar esta amostra de n´ıveis de precipita¸cão máximos anuais. Porém para afirmar essa suposi¸cão será utilizado alguns testes estat´ısticos para saber qual modelo extremal melhor se ajusta aos dados de precipita¸cão anual.

O primeiro teste a ser aplicado será o Teste da Razão de Verossimilhan¸ca (TRV). Em que é baseado na estat´ıstica Deviance, com distribui¸cão qui-quadrado e aplica-se nas seguintes hipóteses: H0 : ξ = 0 versus H1 : ξ 6= 0.

Teste p-valor Decis˜ao (α = 0, 05) TRV 0,4654 N˜ao rejeito H0

Tabela 4: Valores da estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸ca

Pode-se observar pelo TRV calculado na tabela 4 que o modelo Gumbel se ajusta bem aos dados de precipita¸cões anuais. Para o teste da qualidade do ajuste tem-se a estat´ıstica de teste D, que foi calculada e multiplicada por√m resultando em 0, 656. Como o valor obtido não ultrapassa o valor observado na tabela 1 para um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se que a distribui¸cão Gumbel é adequada para modelar os comportamentos dos n´ıveis de precipta¸cões máximas anuais.

(36)

Os gráficos nos permite também fazer um diagnóstico rápido à qualidade do ajusta-mento do modelo. Pelo QQ-plot e PP-plot pode-se observar que os dados estão em torno da reta e não ultrapassam os intervalos de confian¸ca, logo tem-se um bom ajuste. O que também é mostrado no histograma com as curvas de densidade e emp´ırica. Conforme figura 4.

Figura 4: Diagnóstico gráfico do ajustamento Gumbel aos n´ıveis de precipita¸cão máximos anuais

Para a análise foram utilizados os dados de precipita¸cão máxima diária do per´ıodo de 1961 a 1984, e foram estimados o tempo de retorno para 10, 20 e 30 anos. Foi verificada a precipita¸cão máxima observada entre o per´ıodo de 1961 a 2016 no valor de 178,5 mm, a fim de verificar a precisão das estimativas pontuais e intervalares fornecidas pelo método da máxima da verossimilhan¸ca.

Per´ıodo de Retorno Precipita¸c˜ao IC(95%) 10 anos 150,75 (104,28 ; 197,22) 20 anos 180,59 (124,85 ; 236,32) 30 anos 197,75 (136,68 ; 258,81)

Tabela 5: Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) anuais no Rio de Janeiro - RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos

Conforme pode ser visto na tabela 5, pelo modelo Gumbel, espera-se que em média um ano em cada 10, 20 e 30 anos terá um dia em que o n´ıvel de precipita¸cão será superior a 150,75, 180,59 e 197,75, respectivamente.

(37)

4.1 Anuais 36

Figura 5: N´ıveis de retorno da precipita¸c˜ao

Podem ser também calculadada estimativa para o per´ıodo de retorno. O per´ıodo de retorno será o número médio de anos de espera até que seja ultrapassado um certo n´ıvel. Conforme a equa¸cão 3.7, será preciso cerca de 19 anos para que o n´ıvel máximo de precipita¸cão (178,5mm) observado entre 1961 a 2016, seja ultrapassado.

4.1.2 Temperatura M´

axima

Na figura 6, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 31 observa¸c˜oes m´aximas anuais de temperatura para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/12/1991.

Figura 6: Temperaturas M´aximas em o_C

(38)

temperatu-ras variam entre 35oC e 39oC, como pode ser observado tamb´em no comportamento do histograma, dado na figura 7. Os dados se concentram em torno de 36,84oC.

Tabela 6: An´alise descritiva dos dados de Temperatura M´axima

Figura 7: Histograma para as Temperaturas M´aximas em o_C

Procedeu-se ao Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor = 0,3465, que indica não rejei¸cão da hipótese nula, logo a amostra aleatória das temperaturas máximas anuais é independente. Com isso, será realizado a estima¸cão dos parâmetros e ajuste da distribui¸cão pelo método de máxima verossimilhan¸ca.

MV IC (95%) MV IC (95%) ˆ µ 36,51 (36,16 ; 36,86) 36,38 (36,05 ; 36,70) ˆ σ 0,90 (0,66 ; 1,15) 0,87 (0,65 ; 1,10) ˆ ξ -0,27 (-0.47 ; -0,07) -

(39)

4.1 Anuais 38

As estimativas dos parâmetros de loca¸cão e escala usando o método de máxima ve-rossimilhan¸ca foram maiores no modelo GEV do que no modelo Gumbel. Quanto ao parâmetro de forma, a estimativa é negativa e próxima de zero. Serão realizados al-guns testes estat´ısticos para saber qual modelo extremal melhor se ajusta aos dados de temperatura máxima anual.

O primeiro teste a ser aplicado será o Teste da Razão de Verssimilhan¸ca (TRV). Em que é baseado na estat´ıstica Deviance, com distribui¸cão qui-quadrado e aplica-se nas seguintes hipóteses: H0 : ξ = 0 versus H1 : ξ 6= 0.

Teste p-valor Decis˜ao (α = 0, 05) TRV 0,04 Rejeito H0

Pelo TRV calculado na tabela 8 pode-se concluir que o modelo Gumbel não se ajusta bem aos dados de temperatura máxima anual, que pode ser confirmado também pelo intervalo de confian¸ca do parâmetro de forma em que o zero não está incluso. Então o melhor modelo para aos dados de temperatura máxima anual é o modelo GEV, obser-vando o parâmetro de forma temos o modelo Weibull. Tem-se que estat´ıstica de teste D multiplicado por √m resulta em 0, 411. Pode-se observar que, como o valor obtido não ultrapassa o valor observado na Tabela 1 para um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se que a distribui¸cão GEV é adequada para modelar os comportamentos dos n´ıveis de temperaturas máximas anuais.

(40)

Figura 8: Diagnóstico gráfico do ajustamento GEV aos n´ıveis de temperaturas máximas anuais

Para a análise foram utilizados os dados de temperatura máxima diária do per´ıodo de 1961 a 1991, e estimamos o tempo de retorno para 10, 20 e 30 anos e também foi observada a temperatura máxima do per´ıodo de 1961 a 2016 no valor de 42oC, a fim de verificar a precisão das estimativas pontuais e intervalares fornecidas pelo método da máxima da verossimilhan¸ca.

Per´ıodo de Retorno Temperatura IC(95%) 10 anos 38,04 (37,65 ; 39,44) 20 anos 38,36 (38,13 ; 40,27) 30 anos 38,52 (38,40 ; 40,74)

Tabela 9: Estimativas das temperaturas m´aximas (o_{C) anuais no Rio de Janeiro - RJ,}

para os tempos de retorno de 10, 20 e 30

Conforme tabela 9, pelo modelo GEV espera-se que em média, um ano em cada 10, 20 e 30 anos terá um dia em que a temperatura máxima será superior a 38,04, 38,36 e 38,52, respectivamente.

(41)

4.1 Anuais 40

Figura 9: N´ıveis de retorno da temperatura m´axima

Podem ser também calculadadas estimativas para o per´ıodo de retorno. O per´ıodo de retorno será o número médio de anos de espera até que seja ultrapassado um certo n´ıvel. Utilizando a equa¸cão 3.7, pode-se concluir que será preciso cerca de 620 anos para que a temperatura máxima observada (42oC) entre 1961 a 2016, seja ultrapassada.

4.1.3 Umidade Relativa

Na figura 10, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 23 observa¸c˜oes m´aximas anuais de Umidade Relativa para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/12/1983.

Figura 10: Umidade Relativa em %

(42)

entre 91,25% e 97,50% de precipita¸c˜ao. E pode-se observar tamb´em pelo comportamento do histograma, dado na figura 11.

Tabela 10: An´alise descritiva dos dados de Umidade Relativa

Figura 11: Histograma para a Umidade Relativa em %

Procedeu-se ao Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor = 0,1333, que indica não rejei¸cão da hipótese nula, logo a amostra aleatória dos máximos anuais de umidade relativa é independente. Com isso, será realizado a estima¸cão dos parâmetros e ajuste da distribui¸cão pelo método de máxima verossimilhan¸ca.

MV IC (95%) MV IC (95%) ˆ µ 94,06 (93,32 ; 94,81) 93,75 (93,05 ; 94,45) ˆ σ 1,64 (1,11 ; 2,18) 1,62 (1,15 ; 2,09) ˆ ξ -0,36 (-0.66 ; -0,07) -

(43)

4.1 Anuais 42

As estimativas dos parâmetros de loca¸cão e escala usando o método de máxima ve-rossimilhan¸ca foram maiores no modelo GEV do que no modelo Gumbel. Quanto ao parâmetro de forma, a estimativa é negativa e próxima de zero. Será utilizado alguns tes-tes estat´ısticos para saber qual modelo extremal melhor se ajusta aos dados de umidade relativa anual.

Teste p-valor Decis˜ao (α = 0, 05) TRV 0,02 Rejeito H0

Pelo TRV informado na tabela 12 pode-se concluir que o modelo Gumbel não se ajusta bem aos dados de umidade relativa, que pode ser confirmado também pelo intervalo de confian¸ca do parâmetro de forma em que o zero não está incluso. Então o melhor modelo para aos dados de umidade relativa máxima anual é o modelo GEV, pelo parâmetro de forma temos o modelo Weibull. Tem-se que estat´ıstica de teste D multiplicado por √m resulta em 0, 585. Pode-se observar que como o valor obtido não ultrapassa o valor obser-vado na Tabela 1 para um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se que a distribui¸cão GEV é adequada para modelar os comportamentos dos n´ıveis de umidade relativa máximas anuais.

Os gráficos nos permite também fazer um diagnóstico rápido à qualidade do ajusta-mento do modelo. Pelo QQ-plot e PP-plot pode-se observar que os dados estão em torno da reta e não ultrapassam os intervalos de confian¸ca, logo tem-se um bom ajuste. O que também é mostrado no histograma com as curvas de densidade e emp´ırica. Conforme figura 12

(44)

Figura 12: Diagnóstico gráfico do ajustamento GEV aos n´ıveis de umidades relativas máximas anuais

Para a análise foram utilizados os dados de umidade relativa máxima diária do per´ıodo de 1961 a 1983, e estimamos o tempo de retorno para 10, 20 e 30 anos . Foi observada a umidade relativa máxima do per´ıodo de 1961 a 2016 no valor de 95%, a fim de verificar a precisão das estimativas pontuais e intervalares fornecidas pelo método da máxima da verossimilhan¸ca.

Per´ıodo de Retorno Umidade Relativa IC(95%) 10 anos 96,58 (95,82 ; 99,71) 20 anos 97,04 (96,62 ; 101,23) 30 anos 97,26 (97,08 ; 102,18)

Tabela 13: Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) anuais no Rio de Janeiro - RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos

Conforme tabela 13, pelo modelo GEV espera-se que em média, um ano em cada 10, 20 e 30 anos terá um dia em que a umidade relativa será superior a 96,58, 97,04 e 97,26, respectivamente.

(45)

4.2 Mensais 44

Figura 13: N´ıveis de retorno de Umidade Relativa

Podem ser também calculadadas estimativas para o per´ıodo de retorno. O per´ıodo de retorno será o número médio de anos de espera até que seja ultrapassado um certo n´ıvel. De acordo com a tabela, será preciso cerca de 36 anos para que o n´ıvel máximo de umidade relativa (97,5%) observado entre 1961 a 2016, seja ultrapassado.

4.2 Mensais

4.2.1 Precipita¸

c˜

ao

Na figura 14, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 456 observa¸cões máximas mensais de precipita¸cão para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/03/2017.

(46)

Figura 14: Precipita¸c˜ao em mm

Foi realizado uma an´alise descritiva para os dados obtidos, temos que os valores variam entre 0,00mm e 178,50 mm de precipita¸c˜ao mensal. E pode-se observar uma assimetria positiva pelo comportamento do histograma, conforme figura 15.

Tabela 14: An´alise descritiva dos dados de Precipita¸c˜ao Mensais

Figura 15: Histograma para as precipita¸c˜oes mensais em mm

Procedeu-se ao Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor menor que 0,01, que indica rejei¸cão da hipótese nula, logo

(47)

4.2 Mensais 46

a amostra aleatória dos máximos de precipita¸cão mensais é dependente, porém isso se deve ao fato do n´ıvel de precipita¸cão variar de acordo com as esta¸cões do ano,e esta rela¸cão se dar de ano para ano por isso a não independência entre as observa¸cões mensais. Com isso, será ignorado esta dependência entre os dados, procedendo-se à aplica¸cão da análise em valores extremos e admitindo a existência de independência.

MV IC (95%) MV IC (95%) ˆ µ 17,75 (16,09 ; 19,40) 20,03 (18,33 ; 21,73) ˆ σ 15,52 (14,16 ; 16,88) 17,75 (16,40 ; 19,10) ˆ ξ 0,25 (0,16 ; 0,34) -

Quanto ao parâmetro de forma, a estimativa é positiva e próxima de zero. Serão realizados alguns testes estat´ısticos para saber qual modelo extremal melhor se ajusta aos dados de precipita¸cão mensal.

Teste p-valor Decis˜ao (α = 0, 05) TRV < 0, 01 Rejeito H0

Pode-se observar pelo TRV verificado na tabela 16, que o modelo Gumbel não se ajusta bem aos dados de precipita¸cão mensais, o que pode ser observado pelo intervalo de confian¸ca em que o valor zero não está incluso. Para o teste da qualidade do ajuste do modelo GEV, tem-se que estat´ıstica de teste D foi calculada e seu valor multiplicado por√m resultando em 0, 6214. Como o valor obtido não ultrapassa o valor observado na Tabela 1 para um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se que a distribui¸cão GEV (Frechét) é adequada para modelar os comportamentos dos n´ıveis de precipita¸cões máximas mensais.

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Figura 16: Diagnóstico gráfico do ajustamento GEV aos n´ıveis de precipita¸cão máximas anuais

Para a análise foram utilizados os dados de precipita¸cão máxima diária do per´ıodo de 1961 a 1984, e estimamos o tempo de retorno para 10, 20 e 30 anos. Foi observada a precipita¸cão máxima do per´ıodo de 1961 a 2016 no valor de 178,5 mm, a fim de verificar a precisão das estimativas pontuais pelo método da máxima da verossimilhan¸ca.

Per´ıodo de Retorno Precipita¸c˜ao 10 anos 160,71 20 anos 202,94 30 anos 231,68

Tabela 17: Estimativas das precipita¸c˜oes m´aximas (mm) mensais no Rio de Janeiro - RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30

Conforme visto na tabela 17, pelo modelo GEV espera-se que em média, pelo menos um mês em cada 10, 20 e 30 anos terá um dia em que a umidade será superior a 160,71, 202,94 e 231,68 respectivamente.

(49)

4.2 Mensais 48

Figura 17: N´ıveis de retorno de precipita¸c˜ao

4.2.2 Temperatura M´

axima

Na figura 18, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 549 observa¸c˜oes de temperaturas m´aximas mensais para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/03/2017.

Figura 18: Temperatura em oC

Foi realizado uma an´alise descritiva para os dados obtidos, temos que os valores variam entre 21,80o_{C e 42}o_{C de temperatura. E pode-se observar tamb´}_{em no comportamento do}

(50)

Tabela 18: An´alise descritiva dos dados de Temperatura

Figura 19: Histograma para as Temperaturas em o_C

Procedeu-se ao Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor menor que 0,01, que indica rejei¸cão da hipótese nula, logo a amostra aleatória dos máximos de temperaturas mensais é dependente, porém isso se deve ao fato do n´ıvel de temperatura variar de acordo com as esta¸cões do ano,e esta rela¸cão se dar de ano para ano por isso a não independência entre as observa¸cões mensais. Com isso, será ignorado esta dependência entre os dados, procedendo-se à aplica¸cão da análise em valores extremos e admitindo a existência de independência.

MV IC (95%) MV IC (95%) ˆ µ 33,36 (33,09 ; 33,64) 32,92 (32,65 ; 33,20) ˆ σ 2,80 (2,40 ; 3,18) 3,12 (2,94 ; 3,29) ˆ ξ -0,29 (-0,34 ; -0,25) -

(51)

4.2 Mensais 50

Quanto ao parâmetro de forma, a estimativa é negativa e próxima de zero. Serão realizados alguns testes estat´ısticos para saber qual modelo extremal melhor se ajusta aos dados de temperatura máxima mensal.

Teste p-valor Decis˜ao (α = 0, 05) TRV < 0,01 Rejeito H0

Pode-se observar pelo TRV conforme tabela 20 que o modelo Gumbel não se ajusta bem aos dados de temperaturas mensais. Para o teste da qualidade do ajuste ao modelo GEV, tem-se que estat´ıstica de teste D foi calculada e seu valor multiplicado por √m resultando em 0, 565. Como o valor obtido não ultrapassa o valor observado na Tabela 1 para um n´ıvel de significância de 5%, conclui-se que a distribui¸cão GEV (Weibull)é adequada para modelar os comportamentos dos n´ıveis de temperaturas máximas anuais.

Figura 20: Diagnóstico gráfico do ajustamento GEV aos n´ıveis de temperaturas máximas mensais

(52)

Para a análise foram utilizados os dados de temperatura máxima diária do per´ıodo de 1961 a 1991, e estimamos o tempo de retorno para 10, 20 e 30 anos. Foi observada a temperatura máxima do per´ıodo de 1961 a 2016 no valor de 42o_{C, a fim de verificar}

a precisão das estimativas pontuais e intervalares fornecidas pelo método da máxima da verossimilhan¸ca.

Per´ıodo de Retorno Temperatura M´axima 10 anos 38,21

20 anos 38,43 30 anos 38,54

Tabela 21: Estimativas das temperaturas m´aximas (oC) mensais no Rio de Janeiro - RJ, para os tempos de retorno de 10, 20 e 30 anos

Conforme os resultados vistos na tabela 21, pelo modelo GEV espera-se que em média, um ano em cada 10, 20 e 30 anos terá um dia em que a temperatura será superior a 38,21, 38,43 e 38,54, respectivamente.

Figura 21: N´ıveis de retorno da temperatura

4.2.3 Umidade Relativa

Na figura 22, pode-se observar o comportamento de uma amostra de 472 observa¸c˜oes m´aximas mensais de umidade relativa para o munic´ıpio do Rio de Janeiro (RJ), no per´ıodo de 01/01/1961 a 31/03/2017.

(53)

4.2 Mensais 52

Figura 22: Umidade Relativa em %

Foi realizado uma an´alise descritiva para os dados obtidos, temos que os valores variam entre 69,80% e 97,50% de umidade relativa. E pode-se observar tamb´em pelo comporta-mento do histograma, conforme figura 23.

M´ınimo 1o _Quartil _Mediana _M´_edia ₃o _Quartil _M´_aximo

69,80 86,75 89,75 89,28 91,76 97,50

Tabela 22: An´alise descritiva dos dados de umidade relativa

Figura 23: Histograma para as umidades relativa em %

Procedeu-se ao Ljung-Box (Ljung & Box, 1978) para verificar a independência dos dados, que é uma das pressuposi¸cões fundamentais para aplica¸cão da teoria de valores extremos. Observou-se p-valor menor que 0,01, que indica rejei¸cão da hipótese nula, logo