Joaquim António P. Pinto
Aluno do Mestrado em Ensino da Matemática Número mecanográfico: 030370027
Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da
Universidade do Porto
Disciplina: História da Geometria
Docente: Professor Doutor Eduardo Rêgo
A Matemática é a ciência dos padrões. O que o matemático faz é examinar “padrões” abstractos – padrões numéricos, padrões de formas, padrões de movimento, padrões de comportamento, etc. Esses padrões tanto podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, pu-ramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais que re-creativo. Podem surgir do mundo à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou das actividades ocultas da mente hu-mana, [5, pp. 9].
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Introdução
A “geometria da folha de borracha” é a designação frequente da topologia a duas dimensões. Esta deve-se ao facto de estarmos na presença de uma área da Matemática que estuda as propriedades das figuras que não sofrem alterações quando a superfície onde estão desenhadas é alongada ou torcida sem rasgar. Permite-nos formar imagens esclarecedoras embora lhes falte precisão técnica, [8, pp. 106]. Refira-se, como exemplo, os mapas das redes de Comboios ou Metropolitanos.
Podemos afirmar que a topologia é o estudo das influências mais profun-das da noção de continuidade; e questões de continuidade podem aparecer onde menos se espera, o que levou a que a topologia se tenha transformado num dos pilares da Matemática, desempenhando neste momento um papel preponderante na ciência aplicada.
Pretendemos salientar nestas breves notas a construção geométrica heu-rística da topologia. A História diz-nos que as raízes da topologia estão nas aplicações, cheia de resultados descobertos frequentemente por procedimen-tos intuitivos e posteriormente filtrados através da linguagem sofisticada e formalista da topologia geral. Esta topologia teve o seu principal desenvol-vimento entre 1920 e 1970, altura em que a topologia passou a ser muito abstracta o que fez com que muitas pessoas perdessem de vista a sua poten-cial aplicabilidade.
Historicamente considera-se que a topologia terá nascido no célebre pro-blema das pontes de Königsberg. Em 1735 Euler [1707-1783] publicou uma resolução deste célebre problema, pois percebeu que o problema pouco, ou nada, tinha a ver com geometria. O importante era estabelecer uma rede – grafo – que representasse o rio e as pontes, passando assim a trabalhar com vértices e arestas, interessando-se somente pela forma como os vértices estavam ligados entre si.
Hoje sabe-se que há algumas descobertas anteriores, pois Descartes [1596-1650], por volta de 1639, sabia que se um poliedro tiver V vértices, A arestas e F faces, então V − A + F = 2. Esta relação é conhecida por Fórmula de
Euler, dado que este publicou uma demonstração em 1751. Cauchy
[1796-1857] deu outra demonstração da referida fórmula em 1811, [8, pp. 107]. Como acabámos de ver Euler não esteve só no Séc. XVIII a estudar factos topológicos – um facto sobre figuras que não dependa de curvar ou torcer ou
alongar é conhecido por facto topológico. A par de Euler encontramos Cauchy
e também Gauss [1777-1855], pois todos eles “viram” que as figuras tinham propriedades de “forma” mais abstractas que os padrões geométricos.
O primeiro texto publicado onde aparece o nome de topologia intitula-se
Vostudien zur Topologie tendo sido escrito por Johann Listing [1808-1882],
aluno de Gauss, e publicado em 1847. Uma grande parte desta monografia é dedicada ao estudo dos nós, [5, pp. 199].
Dado que a capacidade de um fio se atar não altera quando o apertamos, soltamos, ou manipulamos a forma dos elos individuais, os padrões dos nós são topológicos. Vemos assim que o estudo dos nós utiliza algumas das ideias e dos métodos da topologia. No estudo dos nós é imposta a restrição de que os nós não tenham pontas soltas, o que nos permite definir matematicamente um nó: é um elo fechado num espaço tridimensional. A tarefa agora é es-tudar os padrões dos nós, saber quando é que dois nós são topologicamente equivalentes. Neste caso foram encontrados os seguintes invariantes: (i) o grau de complexidade de um nó; (ii) o polinómio de Alexander; (iii) e o polinómio de Jones.
Nesta área vê-se bem como os matemáticos abordam uma nova área de estudo. Começa-se por observar o fenómeno, neste caso a capacidade de
atar; abstraem-se todas as questões que parecem irrelevantes, formulam-se definições precisas das noções cruciais (aqui estuda-se a equivalência de nós); identificam-se os diferentes padrões de nós e, por fim, procura-se classificar os nós em termos de invariantes.
Uma História que começou em 1847 com Listing e teve desenvolvimentos decisivos em 1984 com Vaughan Jones . . .
Vamos-nos debruçar sobre transformações/padrões topológicos, para con-cluirmos estas notas com uma breve referência à topologia geral e à topologia algébrica, estas muito mais recentes e objecto ainda hoje de grande estudo.
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Padrão Topológico
A disciplina que conhecemos por topologia “nasceu” das investigações de Augustus Möbius [1790-1868], outro aluno de Gauss.
Möbius definiu de modo preciso transformação topológica que veio a per-mitir identificar a topologia como o ramo das matemáticas que estuda as propriedades das figuras que permanecem invariantes face a transformações topológicas.
“Uma transformação topológica é uma transformação de
uma figura numa outra de tal maneira que dois quaisquer pon-tos que se encontrem junpon-tos na figura original permanecem juntos na figura transformada”, [5, pp. 185].
Uma vez que os trabalhos iniciais de Möbius e Listing que trabalhava com Möbius, incidiam sobre o espaço bidimensional, vamos nestas notas conside-rar somente o estudo topológico das superfícies. O conceito de superfície pressupõe que considerados dois quaisquer pontos A e B numa superfície é sempre possível traçar um caminho (uma curva) entre eles. Ao caminho de menor comprimento possível, entre A e B dá-se o nome de segmento
geodésico. Por exemplo, no plano euclidiano os segmentos geodésicos são
segmentos de recta.
Podemos, tendo em conta a definição apresentada de transformação to-pológica, enumerar três transformações que não afectam a topologia de uma superfície:
1. Esticar ou alargar a superfície ou parte dela; 2. Encolher a superfície ou parte dela;
Pensamos que os trabalhos de Möbius e de Listing foram fortemente im-pulsionados pela descoberta conjunta de que existem superfícies de um só “lado”. Descobriram a, hoje chamada, fita de Möbius. Obtemos um modelo da fita de Möbius, torcendo uma tira de papel 180oe colando as extremidades,
conforme pode ser observado na figura 1.
Figura 1: Construção de um modelo da Fita de Möbius
Vemos que estamos perante uma superfície “diferente”, ao tentarmos pin-tar apenas um dos lados chegamos à conclusão que pintámos aquilo que pensávamos serem os “dois lados” da figura.
Quando comparamos a fita de Möbius com uma fita regular, cilíndrica, formada colando uma fita de papel sem a torcer chegamos à conclusão de que a fita normal é orientável, enquanto que a fita de Möbius não é orientável. Dado ser a orientabilidade uma propriedade topológica genuína das super-fícies, não é possível transformar uma fita cilíndrica numa fita de Möbius através de uma transformação topológica.
Quando estudamos superfícies não nos chega saber se estas são ou não orientáveis para as podermos distinguir; uma outra propriedade topológica é o número de arestas que a superfície possui. A título de exemplo refira-se que a esfera (superfície esférica) não tem arestas, a fita de Möbius tem uma aresta e a fita cilíndrica tem duas arestas. Vemos assim que, além da orientabilidade, a fita cilíndrica também se distingue da fita de Möbius pelo número de arestas. Ao considerarmos o número de arestas a fita de Möbius é semelhante a um disco plano, pois têm o mesmo número de arestas, no entanto o disco é orientável e a fita de Möbius não.
Historicamente foi o desenvolvimento da Análise Complexa que veio ins-tituir a topologia como uma disciplina Matemática, pois Bernhard Riemann [1826-1866], no início do Séc. XX, ao utilizar superfícies na Análise Com-plexa deu um contributo decisivo para o estudo das propriedades topológicas das superfícies.
A relevância do estudo das superfícies levou os matemáticos a questiona-rem se o número de arestas e a orientabilidade (duas características utilizadas na classificação topológica) chegariam para classificar topologicamente todas as superfícies. Já vimos que com estas duas características conseguimos dis-tinguir esferas, fitas cilíndricas e fitas de Möbius. Mas será que conseguimos
distinguir o Toro da figura 2 e a Esfera da figura 3? Não! Pois nenhum tem arestas e são ambos orientáveis.
Figura 2: Toro Figura 3: Esfera
Somos agora levados a questionar: (i) Quais as características das super-fícies que são suficientes para classificar topologicamente uma superfície? (ii) Que propriedades topológicas existem para além do número de arestas e da orientabilidade?
É possível definir um valor que generaliza V − A + F para qualquer rede numa superfície; a esse valor chama-se característica de Euler da superfície. Por exemplo, a esfera tem característica dois enquanto que o toro tem carac-terística zero. A caraccarac-terística de Euler é um invariante topológico pelo que nos permite distinguir algumas superfícies.
Temos neste momento três características que nos permitem distinguir quaisquer superfícies:
1. o número de arestas; 2. a orientabilidade;
3. a característica de Euler.
Haverá outras? Há! No entanto estes três invariantes são suficientes para classificar topologicamente qualquer superfície.
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Considerações Finais
Muitos dos conceitos de topologia mais simples são utilizados hoje em dia por pessoas que nunca ouviram falar de topologia. As ideias básicas da topologia são tão fundamentais que muitas foram por nós apreendidas desde
criança. Os conceitos de interior e de exterior, de esquerda e de direita de conexão e de não conexão foram-nos incutidos desde criança, [9, pp. 158].
Nos últimos tempos os matemáticos aplicados e os engenheiros começa-ram a perceber a utilidade da topologia para atacar certos tipos de problemas, em particular os que se referem a equações diferenciais não lineares. Está-se a usar a topologia para mostrar que tipos de soluções de equações não lineares são possíveis. As respostas são qualitativas e não quantitativas.
A topologia, como ramo da Matemática, é recente, embora as suas prin-cipais ideias tenham mais de um século de existência; nos últimos cinquenta anos houve um progresso muito rápido tendo os computadores desempenhado aí um papel decisivo. Como exemplo veja-se a demonstração do teorema das quatro cores.
Importa ainda salientar a contribuição dada por Henri Poincaré estabe-lecendo uma conjectura1 a partir das superfícies de Riemann, que se pensa
terá sido recentemente demonstrada, no entanto a sua demonstração ainda não foi publicada.
“Define-se superfície de Riemann de dimensão n ou
su-perfície de Riemann de n, consiste num número de peque-nas secções coladas umas às outras, representando cada uma das secções, para todos os efeitos, uma pequena região do es-paço euclidiano n dimensional”, [5, pp. 193]. Repare-se na
esfera da figura 3.
Depois de dada a definição surgiu o problema de como classificar todas as superfícies de Riemann. Problema que está longe de estar resolvido.
Henri Poincaré foi um dos primeiros matemáticos a procurar invariantes topológicos aplicáveis a superfícies de Riemann de dimensões superiores. Ao fazê-lo ajudou a descobrir o ramo particular da topologia actualmente co-nhecido por topologia algébrica, que tenta utilizar conceitos da Álgebra na classificação e no estudo das superfícies de Riemann. Uma das invenções de Poincaré foi o grupo fundamental de uma superfície de Riemann. A ideia é a seguinte: fixe um ponto O na superfície de Riemann e considere todos os
caminhos que começam e acabam em O. Tente em seguida formar um grupo com estes caminhos, [5, pp. 194].
Terminamos estas notas referindo alguns nomes de topologistas que con-tribuíram com os seus trabalhos para o avanço da topologia. Ficam assim à espera de serem estudados os trabalhos de Felix Hausdorff [1868-1942], na Alemanha; Frederic Riesz [1880-1956] na Hungria; Robert Moore [1882-1974] nos Estados Unidos da América; Luitzen Brouwer [1881-1966], na Holanda. Para só citar alguns dos topologistas algébricos.
Referências
[1] Abbott, Edwin A., Flatland – O País Plano, 2a ed., Lisboa: Gradiva,
2001.
[2] Aull, C. E. and Lowen, R. (Eds.), Handbook of the History of General
Topology, Volume 1, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.
[3] Aull, C. E. and Lowen, R. (Eds.), Handbook of the History of General
Topology, Volume 2, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.
[4] Bondy, J. A. and Murty, U. S. R., Graph Theory with Aplications, The Macmillan Press, 1978.
[5] Devlin, Keith, Matemática – A Ciência dos Padrões, Porto: Porto Edi-tora, 2002.
[6] Katz, Victor J., A History of Mathematics. An Introduction, 2nded., New
York: Addison Wesley Longman, 1998.
[7] Sampaio, João C. V., Topologia das Suerficies – Uma introdução
In-tuitiva, Departamento de Matemática. Centro de Ciências Exatas e de
Tecnologia da Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, SP: 2002. [8] Stewart, Ian, Os Problemas da Matemática, 2a ed., Lisboa: Gradiva,
1996.
[9] Tucker, Albert W. y Bailey, Herbert S., Jr, Topologia, in Scientific American (Ed.) Matematicas Em El Mundo Moderno, Madrid: Editorial Blume, 1974.
JOAQUIM ANTÓNIO PINTO joaquimpinto@mail.prof2000.pt Porto, 30 de Junho de 2004
