Revisão de Estatística Aplicada a Finanças

Finanças

I

A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de forma aprofundada. O conhecimento de Estatística1 é importante para as diversas áreas de estudo do livro e, em particular, para o cálculo do Value-at-Risk e para o estudo de opções. Na seção E8 apresentaremos alguns tópicos de Finanças, que interagem com o estudo dos diversos temas abordados no livro.

Os leitores que já possuem conhecimentos de Estatística e de Finanças pode-rão estudar ou rever apenas os tópicos que julgarem necessários.

Não temos a intenção de esgotar os temas abordados na revisão (isto deman-daria um espaço excessivo), e o leitor poderá recorrer a literaturas específicas a respeito dos temas em que desejar se aprofundar.

A respeito da simbologia utilizada na revisão, adotamos a convenção da maio-ria dos livros de Estatística, de representar os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos dos conjuntos por letras minúsculas. Diferentemente do restante do livro, utilizaremos o símbolo “ . ” (ponto) para representar a operação de multiplicação (no restante do livro utilizamos o símbolo “x” para representar essa operação).

Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados, diversas vezes cons-truiremos duas definições desses conceitos. A primeira será informal, com o objeti-vo de facilitar a compreensão de modo mais intuitiobjeti-vo, e a segunda definição será construída de modo mais tradicional.

E1 V

A

U

As variáveis aleatórias podem ser definidas da forma a seguir:

Uma Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática que associa um único número real a cada possível resultado (que pode ser numérico ou não numérico) de um experimento aleatório.

Quando esse experimento aleatório ocorre em relação ao tempo, também se utiliza o termo “variável estocástica” como substututo de variável aleatória. 1 Na seção E7 (página 473) mostraremos algumas definições do termo “Estatística”.

Considere um experimento aleatório (estocástico) cujos possíveis resultados sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral). Uma função X que associa a cada elemento de S (cada resultado possível do experimento aleatório) um único número real é denominada Variável Aleatória (VA). Por exemplo, se s ∈ S, haverá um número real x que seja função de s e que é representado pela expressão x(s).

Alguns autores consideram a denominação Variável Aleatória não apro-priada, na medida em que ela se refere a uma Função Matemática de Experi-mento Aleatório.

O experimento aleatório pode ser numérico ou não numérico, mas as ima-gens da função matemática (resultados da variável aleatória) são necessariamente números reais que ocorrerão de forma aleatória.

Quando o experimento aleatório for numérico, a variável aleatória será a identidade que associa a cada possível resultado (numérico) do experimento alea-tório um número igual.

Exemplo E1.1 – Represente a variável aleatória X que associa ao experi-mento aleatório lançaexperi-mento de duas moedas o resultado numérico igual ao número de caras (K) obtidas no lançamento (a face coroa será representada pela letra C).

Resposta - Na figura E1.1, a seguir, podemos visualizar o conjunto de possí-veis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, a variável aleatória X e o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2}.

S Função X Sx (variável aleatória) KK 2 KC 1 CK CC 0 onde:

S = domínio da função (conjunto de argumentos da função). Os argumen-tos ocorrem de forma aleatória;

Sx = contradomínio da variável aleatória (conjunto de números reais assumi-dos pela variável aleatória X). Os números reais de Sx também ocor-rem de forma aleatória.

DDD 01 K K K C C K C C S Função X Sx (variável aleatória) 2 1 0

E1.1 F

V

A

U

Uma Função de Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemáti-ca que associa um número real a Matemáti-cada resultado da variável aleatória unidimensional X, que também é um número real.

Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado (número real) da variável aleatória unidimensional X. Portanto, para cada número real x, haverá um número real z, que é função de x, ou seja, z = z(x).

Como uma variável aleatória é uma função de um experimento aleatório, uma função de variável aleatória é, na verdade, uma função de outra função. Dessa forma, os possíveis resultados de Z, z(x(s)) também serão função de s.

Exemplo E1.2 – Represente uma função de variável aleatória Z, que é função da variável aleatória X considerada no exemplo E1.1, que associe um núme-ro real z a cada númenúme-ro real x, de modo que z = 100 . x.

Resposta - Podemos observar que, neste exemplo, Z é uma função linear de variável aleatória, na medida em que varia a uma razão constante de 100 unidades para cada unidade de variação de x.

Na figura E1.2, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2} e o conjunto de possíveis resultados da função de variável aleatória Z {0, 100, 200}.

S Função X Sx Função Z de Sz (variável aleatória) VA Unidimensional

KK 2 200 KC 1 100 CK

onde:

S = domínio da VA X;

Sx = contradomínio da VA X e domínio da função de VA Z; Sz = contradomínio da função de VA Z. DDD 02 KK KC CK CC 2 1 0 S Função X Sz (variável aleatória) Função Z de VA Unidimensional 200 100 0 Sx

E1.2 V

A

D

Uma Variável Aleatória X será discreta se o seu contradomínio Sx (conjunto de resultados da variável aleatória) for finito ou infinito enumerável.

Ex.: Sx = { x1, x2,...,xn }, Sx = { 0, 1, 2 }

Sx = { x₁, x₂,...,x_n...}, Sx = Z (conjunto dos números inteiros), etc.

onde:

x_i∈ ℜ (conjunto dos números reais).

E1.2.1 F

P

V

A

D

Uma Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta é uma Fun-ção Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência (número pertencente ao intervalo [0,1]) a cada possível resultado (número real) da Variável Aleatória.

Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível valor de X, que cha-maremos de x_i 2, será associado um número p (x_i) que será igual à probabilidade de que X seja igual a x_i. Essa probabilidade será chamada de P (X=x_i).

Os números p(x_i) devem satisfazer às seguintes restrições:

>> 01

onde:

t = número de elementos do contradomínio de X, ou seja, a quantidade total de x_i 3.

Portanto a Função de Probabilidade de X (que também pode ser chamada de Distribuição de Probabilidade de X) será a função matemática p que associe uma probabilidade de ocorrência para todos os elementos de Sx e que satisfaça às restri-ções previamente definidas.

>> 01 p(x_i) _{≥ 0 para todo xi∈ Sx}

Σ p(x_i) = 1

t

i=1

2 É importante estar atento para a diferença entre o X maiúsculo, que representa a variável aleatória, e o x minúsculo, que representa os valores numéricos que a variá-vel aleatória pode assumir.

3 Note que está implícita, nas duas condições apresentadas, a hipótese de que 0 ≤ p(x_i) ≤ 1 para todo x_i∈ Sx.

A representação de uma função de probabilidade pode ser efetuada por sua expressão matemática, por uma tabela (ou figura), ou por um gráfico.

Exemplo E1.3 – Represente a função de probabilidade associada à quanti-dade de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas (não viciadas), das três formas mencionadas. Respostas: Expressão Matemática P(X=2) = 1/4 P(X=1) = 1/2 P(X=2) = 1/4 Tabela DDD 3 Figura S Função X Sx P (X=x_i)

(variável aleatória) (função de probabilidade)

Gráfico 1/2 0 0 2 x p (x) 1 1/4 DDD 03 KK KC CK CC 2 1 0 S Função X (variável aleatória) P (X=Xi) (função de probablidade) 1/4 1/2 1/4 Sx

E1.3 V

A

C

Uma Variável Aleatória X será contínua se o seu contradomínio Sx (conjunto de resultados da variável aleatória) for infinito não enumerável.

Ex.: [0,1], ℜ, ℜ+_{, etc.}

E1.3.1

F

D

P

V

A

C

Convenciona-se chamar a distribuição de probabilidade de uma variável ale-atória contínua de função densidade de probabilidade (fdp). Na seção anterior vi-mos que, para as variáveis aleatórias discretas, a distribuição de probabilidade deno-mina-se função de probabilidade.

Uma Função Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua é uma Função Matemática que associa aos intervalos dos possíveis resultados da Variável Aleatória (intervalos de números reais) um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória pertencer aos intervalos especificados.

Uma Função Densidade de Probabilidade f de uma Variável Aleatória contí-nua X deve satisfizer às seguintes condições:

>> 02

Note que o contradomínio Sx da VA X poderá conter um limite inferior (li) e um limite superior (ls) em que li e ls sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo das condições anteriores, poderemos afirmar que:

>> 03

Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados em deter-minado intervalo ]a , b[ ∈ Sx, ou seja, P (a < x < b), deveremos calcular a

>> 02 f (x) ≥ 0 para todo x ∈ Sx ∫ f(x) dx = 1 +∞ -∞ >> 03 l s ∫ f(x) dx = 1 l i

proporção da área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, em relação à área total da fdp. Como a área total da fdp é igual a 1, P (a < x < b) será igual à área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, que é igual à integral4 da fdp, do limite inferior (a) ao limite superior (b), conforme mostrado na expressão a seguir:

>> 04

_b

Como _{P (X = b) =} ∫ f(x) dx = 0, ou seja, como a área de uma linha é igual a zero, serão verdadeiras as seguintes igualdades:

P (a < x < b) = P (a _{≤ x < b) = P (a < x ≤ b) = P (a ≤ x ≤ b)}

Exemplo E1.4 – Admita que o Banco Central de um país estabeleceu uma banda cambial, na qual a moeda do país possa ter sua cotação em relação ao dólar variando de 2,80 a 3,00 unidades monetárias. Considere que a probabilidade de a cotação pertencer a qualquer intervalo de mesma amplitude seja igual. A fdp asso-ciada a essa variável aleatória pode ser representada pela expressão a seguir:

f (x) = 1/(2,00 – 1,80) para 2,80 ≤ x ≤ 3,00

= 0 para qualquer outro valor de x

onde:

x = cotação da moeda.

Calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e

2,88 e construa uma figura que represente a fdp da VA X.

Resposta - A probabilidade será igual à área da fdp entre os argumentos

2,84 e 2,88. Como a fdp admitida neste exemplo possui imagem constante,

>> 04 _{P (a < x < b) =} a b ∫ f(x) dx +∞ ∫ f(x) dx −∞ a b ∫ f(x) dx 1 = = a b ∫ f(x) dx

4 Aos leitores que não tenham conhecimento de cálculo, sugerimos ver conceitos e aplica-ções iniciais de derivadas e de integrais de funaplica-ções em livros de cálculo. A integral de uma função é representada pelo símbolo “ ∫ “ e representa uma função que, ao ser derivada, será igual à função original. Há diversas regras para o cálculo de integrais e que na maior parte das vezes permitem os seus cálculos de forma direta. Entretanto, há funções que foram bastante trabalhosas para que se conseguisse calcular suas integrais, e outras para as quais até os dias atuais ainda não se conseguiu efetuar os seus cálculos. Quando são especificados um limite inferior e um limite superior para a integral (integral definida), o seu conhecimen-to permite o cálculo da área da função entre os limites especificados. Entretanconhecimen-to, na maio-ria dos exemplos utilizados nesta Revisão de Estatística será possível calcular as áreas das funções densidade de probabilidade (fdp) sem a necessidade de calcular as suas integrais.

basta multiplicar a altura pela base do retângulo para calcular a sua área, ou seja, 1/(3,00 – 2,80) . (2,88 - 2,84) = 5 . 0,04 = 20%.

A fdp e a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e

2,88 podem ser representadas no gráfico a seguir:

A figura que representa a fdp da VA X é a seguinte:

DDD 4

Neste exemplo, como o resultado do experimento aleatório é numérico, a variável aleatória representa a função identidade entre o seu domínio e o seu contradomínio.

E1.4 V

A

M

Variáveis Aleatórias Mistas são variáveis aleatórias cujos resultados possam assumir valores específicos com determinada probabilidade ou possam pertencer a determinados intervalos com determinada probabilidade.

DDD 04 3,00 2,80 S f(x) (fdp) Função X (variável aleatória) 3,00 2,80 Sx 2,80 3,00 x 5 0 2,80 3,00 x f (x) 2,84 5 2,88 f(x)

Um bom exemplo de variável aleatória mista nos mercados derivativos é o preço (prêmio) de uma opção de compra na data de seu vencimento. Considere uma opção de compra que permita a seu comprador (titular da opção) adquirir uma ação, cujo preço seja uma variável aleatória contínua, por R$ 10. Admitindo que a proba-bilidade de o preço da ação ser igual ou inferior a R$ 10 (na data do vencimento da opção) é igual a 40% e que a probabilidade de o preço da ação pertencer ao inter-valo ]R$ 10, +∞[ (na data do vencimento da opção) é igual a 60%, a opção terá

40% de probabilidade de valer R$ 0 e terá 60% de probabilidade de ter valor pertencente ao intervalo ]0,+∞[ na data de seu vencimento.

E1.5 F

D

A

Uma Função de Distribuição Acumulada de uma Variável Aleatória é uma Função Matemática que associa a cada possível resultado da variável aleatória (número real) a probabilidade de que os resultados da variável aleatória (números reais) sejam menores ou iguais aos possíveis resultados.

Seja X uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma função de distribui-ção acumulada de X é uma fundistribui-ção F que associa um número F(x) para todo x ∈ ℜ, de modo que F(x) represente a probabilidade da VA X ser igual ou menor a x.

Portanto:

F (x) = P (X _{≤ x)}

Desse modo, a função de distribuição acumulada de um valor real x (possível valor da variável aleatória X) terá como resultado (imagem) a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor menor ou igual a x.

Propriedades de uma Função de Distribuição Acumulada

F (- ∞) = 0 F (+ _{∞) = 1}

F (x) é sempre não decrescente F (b) - F (a) = P (a < x ≤ b) F (b) - F (a - Lim x) = P (a _{≤ x ≤ b)} x→0+

E1.5.1 F

D

A

V

A

D

É obtida pela expressão matemática a seguir

>> 05

Exemplo E1.5 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória igual ao número de caras no lançamento de uma moeda e a represente graficamente. Respostas: F (x) = 0 para x < 0 = 1/4 para 0 ≤ x < 1 = 3/4 para 1 ≤ x < 2 = 1 para x ≥ 2

Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:

E1.5.2

F

D

A

V

A

C

É obtida pela expressão matemática a seguir:

>> 06 _x >> 06 _{F (x) = ∫ f(x) dx} x -∞ >> 05 F (x) = Σ p(x_i), para todo x_{i≤ x} i 0 x f (x) 1 2 1 3/4 1/4

Observe que a derivada da função de distribuição acumulada é igual à função densidade de probabilidade de x , para todo x onde F (x) seja derivável, ou seja:

>> 07

Exemplo E1.6 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória considerada no exemplo E1.4 e a represente graficamente.

Respostas:

F (x) = 0 para x < 2,80 = 5 . (x -2,80) se 2,80 ≤ x ≤ 3,00 = 1 para x > 3,00

Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:

Exemplo E1.7 - Charada. Este exemplo foi apresentado pela autora Marilyn vos Savant (cujo endereço eletrônico é www.askmarilyn.com) em uma coluna do jornal americano “Parade Magazine”. O exemplo se tornou bastante conhecido pois diversos estatísticos americanos escreveram para a autora afirmando que a sua res-posta estava incorreta. Portanto, é possível que alguns leitores também a considerem incorreta em um primeiro momento.

Em um programa de auditório, um indivíduo ganha o direito de participar de um jogo no qual poderá ganhar um carro. O jogo consiste na escolha, por parte do jogador, de uma entre três portas, sendo que atrás de apenas uma das portas há o carro. Atrás das outras duas portas há um bode. Portanto, o jogador tem que esco-lher uma entre as três portas, objetivando acertar aquela que tenha um carro atrás. Logicamente, a probabilidade inicial de acerto do jogador é igual a 1/3.

>> 07 d = f(x) 0 x f (x) 1,80 2,00 1 F (x) dx

a) Após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa mostra ao jogador uma das portas que ele não escolheu e que tem um bode atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.

Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?

Resposta - Sim, pois ele passaria a ter probabilidade de 2/3 de ganhar o carro se efetuasse a troca.

Se você não concorda com essa resposta procure refletir um pouco antes de seguir adiante.

Acrescentamos ao problema original o item b) a seguir, com o objetivo de ajudar a esclarecer o item a).

b) Considere agora que, após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa sorteie uma das três portas para abrir. Admita que o resultado do sorteio tenha sido uma porta que o jogador não escolheu e que, ao ser aberta, tem um bode atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.

Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?

Resposta - Ele deveria ser indiferente à troca, pois a probabilidade de ga-nhar o carro seria de 1/2 em cada alternativa.

O objetivo de termos mostrado este exemplo é o de alertar que, muitas vezes, a dificuldade na resolução de alguns problemas ou situações do mundo real, não está nos conhecimentos de Estatística, mas sim na clareza, ou na compreensão das premissas dos problemas. De fato, a maioria das pessoas tende a responder ao item

a) como se ele fosse o item b), mas, no mundo real, em um programa de auditório, o apresentador tem o conhecimento prévio de onde está o carro e a sua escolha da primeira porta, a ser mostrada ao jogador e ao público, não seria aleatória. Com o objetivo de proporcionar mais emoção, aumentar a duração e elevar a audiência do programa, o apresentador escolheria uma das duas portas que não levasse ao carro e que não tivesse sido escolhida.

Se você ainda não se convenceu quanto à resposta do item a), repare que, admitindo que o apresentador necessariamente escolheria uma porta diferente da que o jogador tivesse escolhido e que não tivesse o carro, a probabilidade de o jogador ganhar se ele não alterasse a sua escolha inicial continuaria sendo igual a

1/3. Conseqüentemente, a probabilidade complementar de o jogador ganhar, ou seja, se alterasse a porta escolhida, passaria a ser igual a 2/3.

E2 M

T

C

V

A

E2.1 E

M

M

A

P

P

O

Variáveis Aleatórias Discretas

A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é igual à pondera-ção dos números que a variável aleatória poderá assumir, pelas probabilidades de ocorrência dos números. Trata-se, portanto, de uma média aritmética ponderada dos x_i, em que os fatores de ponderação são as suas probabilidades de ocorrência:

>> 08

Variáveis Aleatórias Contínuas

A definição de esperança matemática de uma variável aleatória contínua é análoga à utilizada para variáveis aleatórias discretas, sendo que as probabilidades de ocorrência são as dos intervalos de valores e não as dos valores individuais. Desse modo, é necessário calcular a integral da variável aleatória multiplicada por sua fdp, conforme mostrado a seguir:

>> 09

Variáveis Aleatórias Mistas

A esperança matemática é obtida da forma a seguir:

>> 10

E2.2 M

Para VA discretas, a moda pode ser definida como o resultado mais prová-vel. Portanto a moda é o resultado da VA para o qual a função de probabilidade apresenta o maior valor. Por exemplo, a moda da função de probabilidade do exemplo E1.3 é igual a 1, pois é nesse resultado que a função de probabilidade atinge o maior valor que é igual a 1/2.

>> 09 _{E (x) = ∫ x . f(x) dx} +∞ −∞ >> 08 E (x) = Σ x_i . p(x_i) para todo x_{i ∈ Sx} n i=1 >> 10 _{E (x) =} Σ _x i . p(xi) + ∫ x . f(x) dx para todo xi∈ Sx n l s i = 1 _{l i}

Para VA contínuas, a moda pode ser definida como o resultado da VA para o qual a função densidade de probabilidade apresenta o maior valor.

Podem existir distribuições de probabilidade amodais, como, por exemplo, a fdp do exemplo E1.4, e distribuições de probabilidade com mais de uma moda (distribuições bimodais, trimodais, etc.).

E2.3 M

P

A mediana é o valor para o qual a função de distribuição acumulada é igual a

0,5. Para VA contínuas, a mediana divide a área da fdp em duas metades com valor de 0,5. Portanto há 50% de probabilidade de a VA se situar acima ou abaixo da mediana.

Os cem percentis de uma VA são os valores para os quais a função de distri-buição acumulada tem valores iguais a 1%, 2%,...,100%. Portanto o 50º percentil é igual à mediana da distribuição de probabilidade.

E3 M

D

, A

C

E3.1 V

Variáveis Aleatórias Discretas

O segundo momento centrado na média de uma distribuição é conhecido como variância. A variância de uma população de n elementos pode ser calculada de acordo com a fórmula a seguir:

>> 11 _(E3.1a)

Esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:

>> 12

XX

então, podemos reescrever a variância da forma a seguir:

σ 2 _{= E [ x}2 _{] - E [ x ]} 2 _(E3.1b)

Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta que tenha função de probabilidade conhecida deve-se utilizar a fórmula a seguir:

>> 13 (E3.1c)

Esta fórmula também pode ser reescrita como a (E3.1b).

A variância de uma amostra de n elementos pode ser calculada de acordo com a fórmula a seguir:

>> 13 _σ2 ₌Σ _(x i - E[x] 2 . p(x i)) n i = 1 >> 12 σ2 ₌ Σ (x_i2 _{- 2 . x} i . E[x] + E[x] 2₎ n i = 1 Σ (x_i2 _{- 2 . E[x] . x} i + E[x] 2₎ n i = 1 n = n Σ (x_i2_{) - n . (2 . E[x]}2 _{+ E[x]}2₎ n i = 1 n = n = - E[x]2 Σ (x_i2₎ i=1 n = σ2 ₌i=1 Σ (x_i - E[x])2 n n >> 11

>> 14

Variáveis Aleatórias Contínuas

A variância de uma função densidade de probabilidade f(x) deve ser calcula-da de acordo com a fórmula a seguir:

>> 15

ou

σ2 _{= E [x}2_{] - E [x]}2

Esta última fórmula é igual à fórmula (E3.1b).

Variáveis Aleatórias Mistas

A variância de uma distribuição de probabilidade que seja parcialmente dis-creta e parcialmente contínua deve ser calculada da forma a seguir:

>> 16

Esta última fórmula também é igual à fórmula (E3.1b).

E3.2 D

P

O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.

O desvio padrão de uma população de n elementos pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1a) como mostrado a seguir:

σ = [ σ2 _] 1/2 >>16 σ2 = Σ (xi - E[x]) 2 ₊ ∫ _x2 _{. f (x) dx -} ∫ _{x . f (x) dx} ou σ2 _{= E [x}2_{] - E [x]}2 n +∞ i=1 -∞ +∞ -∞ 2 >> 14 _s2 ₌ n i = 1 n - 1 Σ (x_i - E[x])2 >> 15 ∫ x 2 _{. f (x) dx -} ∫ _{x . f (x) dx} 2 σ2 ₌ +∞ −∞ +∞ −∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

O desvio padrão de uma variável aleatória com função de probabilidade co-nhecida também pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1c) como mostrado a seguir:

σ = [ σ2 _] 1/2

O desvio padrão de uma amostra de n elementos pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.2) como mostrado a seguir:

s = [ s2 _] 1/2

E3.3 V

A

A volatilidade pode ser definida como uma medida de dispersão. A forma convencionada para mensurar e comparar a volatilidade das di-ferentes variáveis é por meio do cálculo dos desvios padrão das variáveis.

Por exemplo, a volatilidade dos diferentes preços unitários (PUs) de ne-gociação de um título público em determinado dia será o desvio padrão das diferentes cotações do título.

Entretanto, quando se trata de medir a volatilidade de uma variável ao longo de diferentes dias, convencionou-se medir a volatilidade da variável como o desvio padrão dos retornos diários da variável, medidos em taxas logarítmicas, observados ao longo de determinado período de tempo (janela temporal).

Ao observarmos uma série histórica de preços de determinado ativo, po-deremos medir o retorno médio e a volatilidade do ativo:

• o retorno médio ( r ) é igual à média dos retornos logarítmicos ocor-ridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:

>> 17

• a volatilidade é igual ao desvio padrão dos retornos ocorridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:

r = Σ onde: r_i = Ln t i=1 r _i n P_t

P_t-1 , ou seja, é o retorno logarítmico diário.

>> 18

A tabela 22.1 do seção 22.5 ilustra o cálculo da volatilidade de uma ação a partir dos seus 20 retornos logarítmicos mais recentes. Na seção 22.8 mostramos outras alternativas para estimar a volatilidade futura de ativos a partir dos retornos ocorridos no passado.

Observe que, se o preço do ativo (Pt) caísse para um valor bastante pequeno

(próximo a zero), o retorno logarítmico do ativo tenderia a -∞. Esta é a forma mais utilizada de mensuração de retornos, na medida em que se mostra coerente com a realidade, ao admitir que o retorno logarítmico do ativo possa assumir valores de -∞∞∞∞∞ a +∞∞∞∞∞ e que o seu preço possa assumir apenas valores positivos.

Conforme será visto nas seções E4.2.3 e E4.2.4, no estudo de Finanças tradicionalmente admite-se que o retorno de um ativo medido em taxas logarítmicas tenha função densidade de probabilidade (fdp) normal. É matema-ticamente demonstrável que esta hipótese eqüivale a admitir que o preço do ativo tenha fdp lognormal.

Os retornos medidos em taxas efetivas (R_i) devem ser calculadas da for-ma a seguir:

>> 19

Note que, se o preço do ativo (P _t) caísse para um valor bastante pequeno (próximo a zero), o retorno efetivo tenderia a -1 (ou - 100%).

E3.4 A

O coeficiente de assimetria pode ser definido a partir do terceiro momento centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:

>> 20

A assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentar os valores altos ou os valores baixos mais distante da média. Quando a assimetria for positiva, a distribuição deverá apresentar cauda à direita; quando a assimetria for

>> 19 P_t - P_t-1 P_t-1 R_i = >> 20 Σ (x_i - E[x])3 i=1 n n Ass = σ3 >> 18 σ = Σ _ t i=1 (r _i - r )2 n - 1 1/2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

negativa, a distribuição deverá apresentar cauda à esquerda; e, quando a assimetria for nula, a distribuição deverá ser simétrica em relação à sua média.

E3.5 C

O coeficiente de curtose pode ser definido a partir do quarto momento centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:

>>21

A curtose informa se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não. Por exemplo, uma distribuição uniforme que apresente probabilidade constante apre-sentará curtose muito baixa, ao passo que uma distribuição de probabilidade que apresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidade nas pontas apresentará uma curtose elevada.

Como parâmetro de comparação, adotou-se a curtose da distribuição normal que é igual a 3.

Convencionou-se chamar as distribuições de probabilidade achatadas (apre-sentam curtose abaixo de 3) de platicúrticas; as distribuições de probabilidade que apresentam curtose maior do que 3, de leptocúrticas; e as distribuições de probabi-lidade que apresentam curtose igual a 3, de mesocúrticas.

É importante ressaltar que o fato de uma distribuição ser achatada (platicúrtica) não significa que ela terá variância elevada, assim como as distribuições que têm curtose elevada (leptocúrticas) não terão necessariamente variância baixa. Para exemplificar a afirmação anterior, vale mencionar que uma distribuição normal apresenta curtose igual a 3, independentemente de qual seja a sua variância.

˜ Σ (x_i - E[x])4 i=1 n n Curt = σ4

E4 Distribuições de Probabilidade Importantes

E4.1 F

P

B

Seja uma variável aleatória discreta Y que associa apenas um de dois resulta-dos (números) possíveis a cada experimento aleatório. Há, portanto, apenas dois resultados possíveis para Y: y₁ e y₂. Convenciona-se chamar um dos dois resultados de sucesso e o outro de fracasso. Se o experimento aleatório ao qual a VA Y está associada for repetido n vezes, poderá ocorrer o máximo de n sucessos e o mínimo de zero sucessos.

Uma Função de Probabilidade Binomial X associa a x (número de ocorrência de sucessos) a probabilidade de o resultado sucesso ocorrer x vezes em n repetições do experimento aleatório (portanto 0 ≤ x ≤ n). A função de probabilidade binomial pode ser representada pela expressão matemática de análise combinatória a seguir (combinação):

>> 22 onde:

x = número de ocorrências do resultado favorável (sucesso) em n repetições; p = probabilidade de ocorrência do sucesso;

q = 1 - p = probabilidade de ocorrência do resultado desfavorável (fracasso). Por exemplo, a função de probabilidade binomial correspondente ao número de caras no lançamento de seis moedas não viciadas pode ser representada no gráfico a seguir:

>> 22 P (X=x) = C . px . qn-x = n x 6/64 0 2 4 x p (X=x) 1/64 3 5 6 15/64 20/64 1/64 6/64 15/64 1 n! (n-x)! . x! . p x _{. q}n-x

É fácil demonstrar que:

E [X] = n . p

σ2_{X = n} . _p . _q

Esta distribuição será útil para estudarmos o modelo binomial de precificação de opções no capítulo 20.

Exemplo E4.1 – Admita que o preço de uma ação siga um caminho aleató-rio em que haja 50% de probabilidade de ocorrer alta e 50% de probabilidade de ocorrer baixa a cada período, conforme mostrado a seguir:

• probabilidade de 50% de ocorrer alta de 20% em taxa logarítmica; • probabilidade de 50% de ocorrer queda de 20% em taxa logarítmica. Calcule a função de probabilidade do retorno em taxa logarítmica e a função de probabilidade do retorno em taxa efetiva após decorridos 6 períodos e faça a sua representação gráfica.

Respostas:

Deixaremos que o leitor efetue os cálculos. Os retornos logarítmicos e efeti-vos com suas respectivas probabilidades de ocorrência são os seguintes:

Retornos Retornos Probabilidades

Logarítmicos Efetivos 120,00% 232,01% 1,56% 80,00% 122,55% 9,38% 40,00% 49,18% 23,44% 0,00% 0,00% 31,25% -40,00% -32,97% 23,44% -80,00% -55,07% 9,38% -120,00% -69,88% 1,56%

As funções de probabilidade podem ser representadas nos gráficos a seguir:

À medida que se aumenta o número de períodos, a função de probabilidade do retorno logarítmico tende para uma fdp normal e a função de probabilidade do fator de retorno efetivo 1 + R (e do preço) tende para uma fdp lognormal. As fdp normal e lognormal serão estudadas nas seções E4.2.3 e E4.2.4, a seguir.

E4.2 D

P

C

E4.2.1 F

D

P

U

Uma Função Densidade de Probabilidade Uniforme possui imagem constante.

Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Logarítmicas

Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Efetivas

1 ,5 6 % 9 ,3 8 % 2 3 ,4 4 % 3 1 ,2 5 % 2 3 ,4 4 % 9 ,3 8 % 1 ,5 6 % -1 0 0 % -5 0 % + 0 % + 5 0 % + 1 0 0 % + 1 5 0 % + 2 0 0 % + 2 5 0 % T ax as d e R e to rno E fe tivas Probabilidades 1 ,5 6 % 9 ,3 8 % 2 3 ,4 4 % 3 1 ,2 5 % 2 3 ,4 4 % 9 ,3 8 % 1 ,5 6 % 0 % 5 % 1 0 % 1 5 % 2 0 % 2 5 % 3 0 % 3 5 % - 1 2 0 % - 8 0 % - 4 0 % +0 % +4 0 % +8 0 % +1 2 0 %

T ax as de R e tor n os L ogar ítm icas

Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em um intervalo [x_a ; x_b]. Se a probabilidade de ocorrer um valor em um intervalo de tamanho L ∈ [x_a ; x_b] é a mesma para qualquer outro intervalo do mesmo tamanho que pertença a [x_a ; x_b], então X será uniformemente distribuída.

A função densidade de probabilidade uniforme pode ser representada pela expressão a seguir:

f (x) = 1/(x_{b -} x_a) para x_{a≤ x ≤ xb}

= 0 para qualquer outro valor de x.

Graficamente, a fdp uniforme pode ser representada da seguinte forma:

É fácil demonstrar que:

E4.2.2 F

D

P

T

Uma Função Densidade de Probabilidade Triangular apresenta o formato triangular.

Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em um intervalo [x_a ; x_b]. Uma função densidade de probabilidade será triangular quando for definida pela expressão a seguir:

f (x) = 2/(x_{b -} x_a)/(x_{v -} x_a) . (x - x_a) para x_a≤ x ≤ x_v = 2/(x_{b -} x_a)-2/(x_{b -} x_a)/(x_{b -} x_v) . (x - x_v) para x_v < x ≤ x_b

= 0 para qualquer outro valor de x

onde:

x_v = argumento em que a fdp possui o maior valor, ou seja, é a moda da fdp.

>> 23 _{E [x] =}xa + xb 2 0 x_a x f (x) x_b 1 x_a - x_b

A fdp triangular possui o formato semelhante ao mostrado no gráfico a seguir:

Se o triângulo for isósceles, ou seja, se x_v estiver eqüidistante de x_a e de x_b, é fácil demonstrar que:

E [x] = x_v = xa + xb 2

Exemplo E4.2 – Admita a situação de banda cambial do país mencionado no exemplo E1.4. Considere que haja uma fdp triangular simétrica para o intervalo de cotações possíveis, que vai de 2,80 até 3,00. Neste caso, como a fdp é simétri-ca, o xV será igual ao ponto médio da fdp, que é igual a 2,90. Mostre qual a fdp

associada a essa variável aleatória e calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88.

Respostas:

A fdp pode ser representada pela expressão a seguir:

f (x) = 2/(3 -2,80)/(2,90 - 2,80) . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤2,90

= 2/(3 -2,80) - 2/(3-2,80)/(3-2,90) . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3

= 0 para qualquer outro

valor de x ou

f (x) = 100 . (x - 2,80) para 2,80 _{≤ x ≤ 2,90} = 10 - 100 . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3 = 0 para qualquer outro valor de x

A probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 será igual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88, ou seja:

0 x_a x f (x) x_b 2 x_b - x_a x_v

>> 24

Graficamente, a fdp pode ser representada da forma a seguir:

onde:

x = cotação da moeda.

E4.2.3 F

D

P

N

(

D

G

)

Esta função densidade de probabilidade será bastante utilizada ao longo do livro e é de grande importância para o estudo de mercados derivativos, de Finanças e de diversas outras áreas, devido às constatações de que:

• aproxima-se das distribuições de probabilidade observadas dos retornos, medidos em taxas logarítmicas, de diversas variáveis, como, por exemplo, ações, taxas de câmbio e commodities. Também representa boa aproximação para as pro-babilidades de ocorrência de diversos fenômenos da natureza;

• pelo teorema do limite central (a ser estudado na seção E6.8), quando uma função de variável aleatória resulta da soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (quaisquer que sejam os formatos das suas distribuições de probabilidade) e n → ∞, esta função de variável aleatória (n-dimensional) terá distribuição de probabilidade tendendo à normal;

0 _2,80 x f (x) 3,00 1 0 2,84 2,88 2,90 2 4 % ∫ 100 . x - 280 dx = 100 . = 100 . 2,88 2,84 x2 2 - 280 . x = 2,88 2,84 2,882 2 - 280 . 2,88 - 100 . 2,842 2 - 280 . 2,84 = 0,24 = 24%

(

)

Variável Aleatória X Probabilidade 1 σ . 2._∏ f (x) = . e -1/2 . ((x-μ)/σ)2 para todo - ∞ < x < + ∞

• em decorrência do teorema do limite central, a distribuição normal serve como aproximação de distribuições importantes, como, por exemplo, a distribui-ção binomial, quando é considerado um grande número de repetições;

• em decorrência do teorema do limite central, as distribuições das médias e das proporções em grandes amostras tendem a ser normalmente distribuídas.

A Variável Aleatória Contínua X será normalmente distribuída se possuir a Função Densidade de Probabilidade a seguir:

onde μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória, respectivamente.

A fdp normal apresenta o formato de um sino, como pode ser observado no gráfico a seguir:

A análise da função densidade de probabilidade permite concluir que uma distribuição normal:

• é simétrica em relação à média (que será igual à mediana e à moda); • apresenta freqüência máxima em x =μ (a moda é igual a μ);

Gráfico E4.4 Função Densidade de Probabilidade Normal

+ ∞ − ∞

• apresenta pontos de inflexão em x’ =μ - σ e x’’ =μ +σ;

• apresenta domínio de -∞ até +∞;

• tende a zero quando x → -∞ e quando x → +∞.

Ao efetuar a integral da função, ou consultando-se uma tabela de distribui-ção normal, ou utilizando-se uma planilha eletrônica, observa-se que a área sob a curva normal (a integral da curva normal) para os intervalos especificados na colu-na da esquerda, a seguir, apresenta os valores mostrados colu-na colucolu-na da direita:

[(μ - σ) ; (μ + σ)] = 68,29% da área total (que é igual a um) [(μ - 2 . σ) ; (μ + 2 . σ)] = 95,43% da área total (que é igual a um) [(μ - 3 . σ) ; (μ + 3 . σ)] = 99,73% da área total (que é igual a um)

E4.2.3.1 F

D

P

N

P

C

P

I

O cálculo da probabilidade de ocorrência de um valor pertencente a um dado intervalo de uma fdp pode ser feito, integrando-se a fdp nesse intervalo. No caso da fdp normal, esse cálculo é trabalhoso devido à complexidade da fórmula. Alternativamente, utilizam-se tabelas, que facilitam o cálculo, ou fun-ção estatística de aplicativos de computador, como, por exemplo, a funfun-ção

DIST.NORM(x) do aplicativo Excel.

A construção das tabelas está baseada na padronização das fdp normais. A fdp normal padronizada possui média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. Para transformar-se uma fdp normal em uma fdp normal padronizada, deve-se pro-ceder a uma mudança de variável. A variável aleatória X deve ser alterada para a variável aleatória Z. Os possíveis resultados z da VA Z são obtidos pela seguinte transformação linear:

>> 26

Portanto:

E (z) = 0

σ z = 1

A VA Z pode ser vista como uma função linear da VA X. Por exemplo,

>> 26

z = x - μx σx

se x tiver média 10 e desvio padrão 2 (utiliza-se a simbologia N ~ (10,2)), z terá média 0 e desvio padrão 1 (N ~ (0,1)). Graficamente, pode-se perceber a seguinte relação entre x e z:

A transformação linear altera a média e o desvio padrão da variável aleatória X para a média e o desvio padrão da variável aleatória Z, mas mantém a fdp de z como uma fdp normal, que, neste caso, será a fdp normal padronizada N ~ (0,1).

As tabelas que disponibilizam a área sob a fdp normal padronizada geralmente apresentam os valores entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. Como a curva é simétrica em torno de z = 0, torna-se possível obter-se a área entre quaisquer valores de z. No aplicativo Excel, o valor de z é obtido na função estatística DIST.NORMP(z), que retorna o valor correspondente à área sob a fdp normal padronizada de - ∞ até z.

E4.2.4 F

D

P

L

Seja Y uma variável aleatória que possui função densidade de probabilidade normal com média μ e desvio padrão σ. A variável aleatória X = eYapresentará função densidade de probabilidade lognormal e será representada pela expressão a seguir:

Como e (base dos logaritmos neperianos, que possui valor aproximado de 2,718) elevado a qualquer valor resulta sempre em número positivo, uma fdp lognormal

0 x z μx =10 θ tg θ= 1/σx= 1/2 1 x . _{σ . 2.∏} - 1 2 . σ2 . e . (ln x - μ)2 para x > 0 f(x)=

admite apenas valores positivos (conforme vimos na seção anterior, uma fdp normal admite valores positivos e negativos pertencentes ao conjunto dos números reais).

A fdp lognormal apresenta cauda à direita, como pode ser observado no gráfico a seguir:

GGG13 Gráfico E4.5

+ ∞ Como uma fdp lognormal X é definida a partir dos parâmetros de uma fdp normal Y, a média e a variância da fdp lognormal são definidas a partir da média e da variância da fdp normal, conforme mostrado pelas expressões a seguir:

>> 28

É de grande importância observar que, quando a variável aleatória Y (normal) apresentar μ = 0, a variável aleatória X (lognormal) apresentará valor esperado positivo igual a eσ2/2.

Esta observação é de fundamental importância para o desenvolvimento dos modelos de precificação de opções, binomial e de Black&Scholes, e para a precificação por meio da metodologia de Simulação Monte Carlo (os modelos citados encon-tram-se nos capítulos 20 a 26) e, também, para o cálculo do Value at Risk a partir das metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo (capítulos 11, 12, 29 e 30). Também é possível definir os parâmetros da distribuição normal a partir da distribuição lognormal:

E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal

0 Variável Aleatória X +

Probabilidades

Gráfico E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal

σ2 x = e . e - 1 E [x] = e (μ + σ 2 ) (_{μ + σ} 2 )

(

)

(

)

μ = Ln E[x]

σ2 _{= Ln} σx

2 _{+ E[x]}2

A distribuição lognormal é bastante utilizada para o ajustamento da variável preço de ativos negociados no mercado financeiro, como, por exemplo, o preço das ações, a cotação de moedas e o preço de commodities. Como se sabe, os preços dos ativos não pode cair abaixo de zero, e a probabilidade de que seus preços atinjam valores muito altos ou próximos a zero é bastante reduzida. Como se pode observar no gráfico E4.5, essas características são coerentes com a fdp lognormal.

O modelo de precificação de opções de Black&Scholes, que propiciou o prêmio Nobel de Economia de 1997 aos pesquisadores Scholes e Merton, e que será estudado do capítulo 22 ao 25, parte da premissa de que a fdp dos preços dos ativos é lognormal.

A aceitação de que a variável aleatória preço de um ativo tenha função densidade de probabilidade lognormal implica a aceitação de que o retorno do ativo medido em taxas logarítmicas tenha função densidade de probabilidade normal.

A relação entre o preço de um ativo lognormalmente distribuído e o seu retorno, medido em taxas logarítmicas, normalmente distribuído, será explorada em diversas partes do livro.

σx 2 _{+ E[x]}2

E[x]2

E5 V

A

B

E5.1 D

Uma Variável Aleatória Bidimensional é um conjunto de duas Funções Matemáticas que associa um par ordenado de números reais a cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento aleatório. Portanto os possíveis pares ordenados de números reais ocorrerão de forma aleatória.

Considere um experimento aleatório cujos possíveis resultados sejam repre-sentados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam duas variáveis aleatórias, X1 e

X₂, sendo que cada uma associa um número real a cada elemento de S. Por exem-plo, se s ∈ S, haverá um número real x₁, que é função de s (x₁ (s)), e um número real x₂, que é função de s (x₂ (s)). O par (X₁,X₂) é denominado variável aleatória bidimensional.

onde:

S = domínio da VA X₁ , da VA X₂ e da VA bidimensional (X₁,X₂) (conjunto de argumentos das funções). Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;

Sx₁ = contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X₁; Sx₂ = contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X2;

Sx₁ . Sx₂ = contradomínio (conjunto dos pares ordenados de números reais possíveis de ocorrer) da VA bidimensional (X₁,X₂).

S VA Bidimensional (X₁ X₂) VA X₁ VA X₂ s Sx₁ x₁ = x₁(s) Sx₂ x₂= x₂(s)

Observe que o contradomínio da VA bidimensional (X₁,X₂), ou seja, o con-junto de pares ordenados possíveis de serem obtidos, tem que ser representado em um plano bidimensional. Os resultados aleatórios da variável aleatória bidimensional (x₁,x₂) representam seqüências ordenadas (de segunda ordem) de números reais e, por isto, esses resultados aleatórios também são conhecidos como vetores5 aleatórios.

E5.2 F

V

A

B

Uma Função de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da variável aleatória bidimensional (par ordenado de números reais).

Seja Z uma função que associa um número a cada resultado da variável aleatória bidimensional (X₁,X₂). Portanto, para cada par ordenado aleatório de números reais (x1,x2), haverá um número z, que é função do resultado aleatório

(x₁,x₂), ou seja, z = z (x₁,x₂). Como uma variável aleatória é função de um expe-rimento aleatório, uma função de variável aleatória bidimensional é, na verdade, uma função de duas funções. Dessa forma, Z = Z (X₁(s),X₂(s)) também é função do experimento aleatório.

DDD 6 Figura E5.2

onde:

S = domínio da VA X₁, da VA X₂ e da VA bidimensional (X₁,X₂). Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;

DDD 06 S função de VA Bidimensional Z=Z (X₁ , X₂) VA X₁ VA X₂ s S x₁ x₁ = x₁(s) x₂ = x₂(s) S x₂ z= z (x₁ , x₂)

5 Um vetor é uma seqüência ordenada de números ou de variáveis. Também se pode definir vetor como um ponto do espaço vetorial de ordem n. Por exemplo, a seqüência ordenada de números [-1,5 , 4] é um ponto do espaço vetorial ℜ2, assim como a seqüência ordenada [1, -3 , 4 , 5,32] é um ponto do espaço vetorial ℜ4.

Figura E5.2

Figura E5.2 Função de Variável Aleatória Bidimensional

Sx₁= contradomínio da VA X₁; Sx₂= contradomínio da VA X₂;

Sz = contradomínio da função de variável aleatória bidimensional Z.

Por exemplo, se o administrador de um fundo aplicou recursos dos cotistas, comprando 50 ações da empresa A cujo preço inicial é de R$ 2 e 80 ações da empresa B cujo preço inicial é de R$ 1, o patrimônio líquido inicial (PLt+0) do

fundo é igual à soma do valor de mercado das ações A e das ações B, portanto

PL_t+0 = R$ 100 + R$ 80 = R$ 180. Como os volumes financeiros da ação A (VA) e da ação B (VB) após decorrido um período temporal são iguais aos seus

volumes iniciais acrescidos de seus retornos efetivos e estes retornos decorrem do experimento aleatório negociação das ações A e B em pregão, o PL pode ser visto como uma função (linear) da variável aleatória bidimensional (RA,RB), onde RA

representa o retorno aleatório efetivo da ação A e RB representa o retorno

aleató-rio efetivo da ação B.

A figura a seguir representa as relações de causa e efeito da variável aleatória bidimensional (RA,RB) com a função de variável aleatória

bidimensional PL.

DDD 7 Figura E5.3

Neste exemplo, como os retornos efetivos das ações não podem ser inferi-ores a -100%, os preços das ações não podem ser negativos e o Spl (conjunto de valores que o patrimônio líquido poderá atingir após a realização do pregão) não apresenta valores negativos.

Em contrapartida, o exemplo E5.1, a ser apresentado na seção E5.7, ilus-trará a situação de uma instituição que, por alavancar recursos de terceiros, apre-sentará a possibilidade de ter o patrimônio líquido negativo.

DDD 07 S função de VA Bidimensional PL=PL (R_A ,R_B) VA R_A VA R_B s S R_A R_A = R_A(s) R₂ = R₂(s) S R B pl=pl (R_A ,R_B) = R$ 100 . R A +80 . RB + pl_t+0 S pl

Figura E5.3 Função de Variável Aleatória Bidimensional Retornos Efetivos das Variáveis Aleatórias A e B

E5.3 F

P

C

V

A

B

Uma Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência a cada possível resultado (par ordenado de números reais) de uma variável aleatória bidimensional discreta.

Seja (X₁,X₂) uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja P uma fun-ção que associa a cada possível resultado (par ordenado de números reais) de (X₁,X₂), que chamaremos de (x₁,x_2j), um número p(x_1i,x_2j) que seja igual à probabilidade de que (X₁,X₂) seja igual a (x₁,x_2j). A função P é denominada função de probabili-dade conjunta da variável aleatória bidimensional (X1,X2). A probabilidade de que

(X₁,X₂) seja igual a (x₁,x_2j) é representada pela simbologia P(X₁= x₁ , X₂=x_2j) e é igual ao número p(x_1i,x_2j).

Os números p(x_1i,x_2j) devem satisfazer às seguintes restrições:

>> 29

onde t₁ e t₂ são os números de elementos dos contradomínios de X₁ e de X₂ respectivamente.

A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta:

DDD 8 Figura E5.4

A função de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional tem que ser expressa em um gráfico tridimensional, como o seguinte, que se refere ao lançamento conjunto de duas moedas e de um dado:

DDD 08 P Função de Probabilidade Conjunta da VA Bidimensional (X₁ ,X₂) S x₁ x₁ = x₁(s) x₂ = x₂(s) S x₂ p=p (x1 ,x2) S p VA Bidimensional (X₁, X₂) S VA X VA Y s >> 29 p(x_1i,x_2j) ≥ 0 para todo (x_1i,x_2j) ∈ ℜ2 Σ Σ p(x_1i,x_2j) = 1 j=1 i= 1 t 1 t 2

GGG14 Gráfico E5.1

E5.4 F

D

P

C

V

A

B

Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa às áreas dos possíveis resultados da Variável Aleatória contínua (conjuntos de pares ordenados) um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória pertencer às áreas especificadas (subconjuntos de _ℜ2_).

Seja uma variável aleatória bidimensional contínua (X₁,X₂). Sejam [x_1a,x_1b] e [x_2c,x_2d] dois intervalos de valores de X₁ e X₂, respectivamente. A função densi-dade de probabilidensi-dade conjunta dessa variável será a função f que associar à área [x_1a,x_1b] . [x_2c,x_2d] a probabilidade de que os possíveis valores de (X₁,X₂) per-tençam simultaneamente ao intervalo [x_1a,x_1b] e ao intervalo [x_2c,x_2d], ou seja, pertençam à área [x_1a,x_1b] . [x_2c,x_2d].

A função f deve satisfazer às seguintes condições:

1 2 3 S1 S2 S3 S4 S5 S6 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

Probabilidade de Ocorrência dos Pares Ordenados

Nº de Coroas

Face de um Dado E5.1 Função de Probabilidade Conjunta

f (x₁,x₂) _{≥ 0 para todo (x1}, x₂) _∈ ℜ2

Note que o contradomínio de X₁ (Sx₁) poderá conter um limite inferior li e um limite superior ls em que lix₁ e lsx₁ sejam constantes e o contradomínio de X₂ (Sx₂) poderá conter um limite inferior li e um limite superior ls em que lix₂ e lsx₂ sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo das condições mencionadas, poderemos afirmar que:

>> 31

Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados si-multaneamente no intervalo [x_1a , x_2b] (P (x_1a < x₁ < x_2b)) e no intervalo [x_2c , x_2d] (P (x_2c < x₂ < x_2d)), deve-se resolver a integral dupla a seguir:

>> 32

A função densidade de probabilidade conjunta tem que ser expressa em um gráfico tridimensional.

Por exemplo, a função densidade de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X1,X2) quando as variáveis aleatórias unidimensionais X1 e X2

são independentes e normalmente distribuídas tem um formato semelhante ao seguinte:

GGG15 Gráfico E5.2 +∞ ∫ ∫ f(x₁ , x₂) dx₁ dx₂ = 1 +∞ -∞ >> 31 ∫ ∫ f(x₁ , x₂) dx₁ dx₂ = 1 l s x 1 lsx2 lix1 lix2 >> 32 ∫ ∫ f(x₁, x₂) dx₁ dx₂ x 1 b x 2 d x1a x2c -∞

Variável Aleatória Normal Bidimensional

1 4 7 10 13 16 19 S1 S2 S3 _{S4 S5} S6 S7 S8 S9 _{S10 S11} S12 S13 _{S14 S15} S16 S17 S18 S19 _{S20 S21} 0,000% 0,001% 0,002% 0,003% 0,004% 0,005% 0,006% 0,007% 0,008% 0,009% 0,010% Probabilidades Conjuntas Variável Aleatória X 1 Normalmente Distribuída VA X 2 Normalmente Distribuída

1 4 7 10 13 16 19 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 _{S9 S10 S11} S12 S13 S14 _{S15 S16 S17} S18 S19 S20 _S21 0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% Probabilidades Conjuntas

Outro exemplo de função densidade de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X₁,X₂) quando as variáveis aleatórias unidimensionais X₁ e X₂ são independentes e lognormalmente distribuídas pode ser observado no gráfico a seguir:

GG16 Gráfico E5.3

E5.5 D

P

F

V

A

B

Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável Aleatória Bidimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência a cada possível resultado da Função de Variável Aleatória Bidimensional (número real).

Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma função Z de variável aleatória bidimensional discreta (X₁,X₂) um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z ser igual a z. A função P é a função de probabilidade da função Z de variável aleatória bidimensional (X₁,X₂).

A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas: Variável Aleatória X

1 Lognormalmente Distribuída

VA X

2

Lognormalmente Distribuída

Se a variável aleatória bidimensional (X1,X2) for contínua, a função densidade

de probabilidade da função de variável aleatória Z associará aos intervalos dos possíveis resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer aos intervalos especificados.

5.6 D

M

Sabemos que uma variável aleatória bidimensional (X1,X2) corresponde à

associação de duas variáveis aleatórias unidimensionais, X1 e X2, conforme

mostra-do na figura E5.1. A fim de obtermos as distribuições de probabilidade de X₁ e de X2 separadamente, deveremos trabalhar com as distribuições de probabilidade

mar-ginais de X1 e de X2.

Variáveis Aleatórias Discretas

>> 33 (E5.1a)

(E5.1b)

Variáveis Aleatórias Contínuas

>> 34 (E5.2a)

>> 33 p(x_1i) = p(X₁=x_1i) = Σ p (x_1i; x_2j) = 1 para todo x_2j∈ Sx₂

q(x_2j) = p(X₂=x_2j) = Σ p (x_1i; x_2j) = 1 para todo x_1i∈ Sx₁

t 2 j=1 t 1 i=1 >> 34 g(x₁) = ∫ f (x_1; x₂) dx₂ +∞ -∞ S _Sx 1 Sx₂ Sz z = z (x₁, x₂) VA (X₁ X₂) VA X₁ VA X₂ Função de da VA Bidimensional (X₁,X₂) Função de Probabilidade P=P(z) p=p(z) x₁ = x₁(s) x₂ = x₂(s) s

(E5.2b)

É importante ressaltar que o conhecimento de uma distribuição de probabili-dade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X_1; X₂), discreta ou contí-nua, permite que sejam determinadas as distribuições marginais de X₁ e de X₂. Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não permite, em geral, a determinação da distribuição de probabilidade conjunta de (X_1,X₂). Isso será possí-vel quando X₁ e X₂ forem independentes.

Também é de fundamental importância ressaltar que o conhecimento das distribuições de probabilidade marginais não permite, em geral, a determinação da distribuição de probabilidade P da função Z de variável aleatória bidimensional (X₁

,X2). Desse modo, o conhecimento das

distribuições de probabilidade de R_A e de R_B ilustradas na figura E5.5 não permite, em geral, determinar a distribuição de probabilidade do PL.

Conforme estudaremos nos capítulos 11 e 12, a metodologia da Simulação Monte Carlo permite estimar a distribuição de probabilidade do PL, a partir do conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias unidimensionais.

E5.7 V

A

I

Sejam duas variáveis aleatórias discretas, X₁ e X₂. Se os eventos X₁=x₁ e X₂=x₂ são independentes entre si para todo x₁ e x₂, então X₁ e X₂ serão ditas variáveis aleató-rias independentes. Quando duas variáveis aleatóaleató-rias são independentes entre si, a pro-babilidade de determinado par ordenado ocorrer é igual ao produto das propro-babilidades de ocorrência de cada valor isoladamente, conforme mostrado na expressão a seguir:

P (X₁=x₁, X₂=x₂) = P (X₁=x₁) . P (X₂=x₂) (E5.3a)

Quando duas variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a pro-babilidade de determinado resultado (x_1i,x_2j) pertencer à área [x_1a,x_1b] . [x_2c,x_2d] é igual ao produto das probabilidades de x1i pertencer ao intervalo [x1a,x1b] e de x2j

pertencer ao intervalo [x2c , x2d], conforme mostrado na expressão seguinte:

P (x_1i∈ [x_1a,x_1b], x_2j∈ [x_2c,x_2d]) = P(x_1i∈ [x_1a,x_1b]) . P (x_2j∈ [x_2c,x_2d]) (E5.3b)

>> 34

h(x₂) = ∫ f (x_1; x₂) dx₁

+∞ -∞

A seguir, apresentaremos um exemplo que possibilitará a utilização dos con-ceitos estudados até este ponto para calcular o Value at Risk de um banco que capta recursos de terceiros.

Exemplo E5.1 – Admita que o patrimônio líquido de um banco seja uma função da variável aleatória bidimensional (R_A,R_B), sendo R_A a variável aleatória retorno efetivo da ação A e R_B a variável aleatória retorno efetivo da ação B. Considere que o banco possua 5 unidades da ação A em seu ativo e que tenha uma unidade da ação B no seu passivo (possua dívida indexada ao preço da ação B). No instante inicial o preço de mercado da ação A era de R$ 1 e o preço de mercado da ação B era de R$ 4. O banco possui também um ativo permanen-te de R$ 3, cujo valor permanece constante ao longo do tempo. Portanto o patrimônio líquido deverá apresentar o valor inicial de R$ 4.

O balanço do banco no instante inicial t+0 pode ser representado da forma a seguir:

Ativo Passivo Ativo Circulante Passivo Circulante 5 . P_A = R$ 5 1 . P_B = R$ 4 Ativo Permanente Patrimônio Líquido R$ 3 R$ 4

O patrimônio líquido do banco pode ser representado pela seguinte função linear de variável aleatória bidimensional:

PL = f (R_A,R_B) = V_A . R_A + V_B . R_B + PL _t+0 = R$ 5 . R_A - R$ 4 . R_B + R$ 4

Considere que as variáveis aleatórias dos retornos efetivos, R_A e R_B, sejam independentes entre si. Desse modo, o valor do ativo e o valor do passivo serão números aleatórios e independentes entre si, sendo o valor do PL após decorrido um período (no instante t+1) a diferença entre os valores do ativo e do passivo.

Com o objetivo de possibilitar a percepção dos resultados de forma intuitiva, vamos admitir que as variáveis aleatórias R_A e R_B tenham funções de probabilidade bastante simples, como mostramos a seguir:

Funções de Probabilidade das VA P (R_A = -100%) = 1/4 P (R_B = -75%) = 1/6 P (R_A = 0%) = 1/2 P (R_B = -50%) = 1/6 P (R_A = +100%) = 1/4 P (R_B = -25%) = 1/6 P (R_B = 0%) = 1/6 P (R_B = +25%) = 1/6 P (R_B = +50%) = 1/6 Perguntas:

a) qual a função de probabilidade conjunta da VA bidimensional (R_A , R_B)?

b) qual a probabilidade de R_A ser igual a 0% e de R_B ser igual a - 50%,

simultaneamente (P (R_A = 0% , R_B = -50%))?

c) qual a função de probabilidade do PL (que, neste exemplo, é uma função linear de variável aleatória bidimensional)?

d) qual a probabilidade de o PL ser igual a +R$ 7 (P (pl_t+1 = +R$ 7))?

e) qual o PL crítico, a partir do qual há 2/24 de probabilidade de ocorrerem os menores valores do PL e, conseqüentemente, acima do qual há 22/24 de ocorre-rem os maiores valores do PL?

Respostas:

a) A tabela a seguir mostra a função de probabilidade conjunta (R_A , R_B), ou seja, a probabilidade de ocorrência de cada par ordenado (R_A , R_B):

A função de probabilidade conjunta está representada no gráfico E5.1, da seção E5.3.

b) Conforme se pode observar na função de probabilidade conjunta (R_A , R_B), P (R A = 0%; RB = -50%) = 2/24. RA\RB - 100% 0% +100% TOTAIS f₂(R_B) -75% 1/24 2/24 1/24 4/24 -50% 1/24 2/24 1/24 4/24 -25% 1/24 2/24 1/24 4/24 0% 1/24 2/24 1/24 4/24 +25% 1/24 2/24 1/24 4/24 +50% 1/24 2/24 1/24 4/24 TOTAIS f1(RA) 6/24 12/24 6/24 1

c) A tabela a seguir representa a função de variável aleatória do PL e mostra os seus valores, que são decorrentes dos pares ordenados (R

A , RB):

A função de probabilidade do PL será a seguinte:

A função de probabilidade da função de variável aleatória bidimensional do PL pode ser representada no gráfico a seguir:

PL t+1 Possíveis - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 Probabilidades de Ocorrência 1/24 1/24 1/24 1/24 1/24 3/24 2/24 2/24 2/24 2/24 3/24 1/24 1/24 1/24 1/24 1/24 RA\RB -100% 0 % +100% -75% +2 +7 +12 -50% +1 +6 +11 -25% 0 +5 +10 0 % - 1 +4 +9 +25% - 2 +3 +8 +50% - 3 +2 +7

Observe que a função de probabilidade da função de variável aleatória bidimensional é unidimensional, ao passo que a função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional é bidimensional.

É interessante notar que a combinação de uma função de probabilidade unidimensional unimodal (função de probabilidade da VA R_A) e de outra amodal (função de probabilidade da VA R_B) resultou em uma função de probabilidade bimodal para a função de probabilidade da VA bidimensional (R_A,R_B).

Isto nos dá uma idéia de como pode ser difícil estimar funções de probabili-dade para o PL quando conhecermos apenas as distribuições de probabiliprobabili-dade das variáveis nas quais uma instituição mantenha posições. Geralmente não se conhece as distribuições de probabilidade do PL, mas apenas as distribuições de probabilida-de das variáveis que influenciam seu valor.

d)P (PL= + R$ 7) = P(R

A = 0%; RB = -75%) + P(RA = +100%; RB = +50%)

= 2/24 + 1/24 = 3/24

Podemos observar que há duas combinações de valores do ativo e do passivo (dois pares ordenados de retornos) que geram o mesmo PL6.

e) O patrimônio líquido crítico em t+1 (PLc t+1) que separa os 2/24 piores

resultados do PL dos demais resultados é o PL = - R$ 2. Como será visto adiante, a diferença entre o PLt+0(+R$ 4) e o PLc t+1(-R$ 2) é igual ao Value at Risk do banco,

ao nível de significância de 2/24 (aproximadamente 8,33%). Há, portanto, 8,33%

de probabilidade de a perda ser igual ou maior do que R$ 4 - (-R$ 2) = R$ 6.

0 +2 +4 _{PL em R$} f (PL) +1 1/24 +5 2/24 3/24 +10 +7 -2 -1 -3 +6 +8 +9 +11+12 1/24 3/24

6 Como se sabe, dois argumentos de uma função podem ter a mesma imagem. A recípro-ca não é verdadeira, ou seja, recípro-cada par ordenado gera um, e somente um, valor de PL.

Ex. E5.1 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional Discreta