Integração por Substituição

Integração por Substituição

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2.Integração por substituição

3.Substituição e integrais definidas 4.Aplicações

Cada uma das regras de integração estudadas nas aulas anteriores foi deduzida de uma regra de diferenciação correspondente.

Contudo, embora disponhamos de todos os instrumentos necessários para

diferenciar

funções algébricas, exponenciais, logarítmicas e trigonomé-tricas, nosso conjunto de recursos para

integrar

essas funções está longe de ser completo.

O objetivo principal das próximas aulas é desenvolver várias técnicas que ampliam grandemente o conjunto de integrais às quais podmos aplicar as fórmulas básicas de integração.

Fórmulas Básicas de Integração

1. Regra da Constante:

2. Regra Simples da Potência (

n

≠ -1):

k dx

=

kx

+

C

∫

1

1

n n

x

x dx

C

n

+

=

+

+

∫

Fórmulas Básicas de Integração

3. Regra Geral da Potência (

n

≠ -1):

4. Regra da Exponencial Simples:

1

1

n n n

u

u u dx

u du

C

n

+

′

₌

₌

₊

+

∫

∫

x x

e dx

=

e

+

C

∫

Fórmulas Básicas de Integração

5. Regra da Exponencial Geral:

6. Regra Log Simples:

u u u

e u dx

′

=

e du

=

e

+

C

∫

∫

1

ln

dx

x

C

x

=

+

∫

Fórmulas Básicas de Integração

7. Regra Log Geral:

1

ln

u

dx

du

u

C

u

u

′

=

=

+

∫

∫

Não é preciso resolver muitos problemas de integração para que o aluno verifique que a integração não é tão direta quanto a diferenciação.

Parte importante da resolução de qualquer problema de integração é determinar que fórmula(s) básica(s) devemos aplicar.

Isto exige a memorização das fórmulas básicas, familiaridade com os diversos processos para escrever o integrando sob novas formas e uma grande prática.

Há várias técnicas para escrever uma integral de modo que ela se ajuste a uma ou mais fórmulas básicas.

Uma das técnicas mais poderosas é a

integração por substituição. Com esta técnica,

escolhemos parte do integrando como

u

e escrevemos todo o integrando em termos de

u

.

Exemplo 1: Com a substituição

u

=

x

+ 1, calcule a integral indefinida

(

)

2

1

x

dx

x

+

∫

Com a substituição

u

=

x

+ 1,

1

x

= −

u

1

u

′ =

dx

=

du

Substituindo em

todas

as instâncias

x

e

dx

pelas formas adequadas na variável

u

, obtemos

(

)

2 2

1

1

x

u

dx

du

u

x

−

=

+

∫

∫

2 2

1

u

du

u

u





=

_

−

_





∫

2

1

1

du

u

u





=

_

−

_





∫

Substituindo x e dx

Escrevendo como frações separadas

1

ln u

C

u

+ +

Determinando a antiderivada Substituindo u

1

ln

1

1

x

C

x

+ +

+

+

As diretrizes a seguir indicam as etapas básicas da integração por substituição.

Diretrizes para a Integração por Substituição

1. Fazer

u

em função de

x

(em geral parte do inte-grando).

2. Resolver em relação a

x

e

dx

em termos de

u

e

du

. 3. Escrever todo o integrando em função da variável

u

e procurar adaptá-la a uma ou mais fórmulas básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição.

4. Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de

x

.

Exemplo 2: Calcule a integral indefinida

2

1

x x

−

dx

Com a substituição

u

=

x

2 _{+ 1,}

2

du

=

x dx

Para fazer 2

xdx

parte da integral, multipli-quemos e dividamos por 2.

(

)

1 2 1 2

1

2 2

1

1

2

2

u du

x x

−

dx

=

x

−

x dx

∫

∫

1 2

1

2

u

du

=

_∫

Multiplicando e dividindo por 2 Substituindo x e dx 3 2

1

3

2

2

u

C

Simplificando 3 2

1

3

u

C

=

+

Substituindo u

(

)

3 2 2

1

1

3

x

C

=

−

+

Exemplo 3: Calcule a integral indefinida 3 3

1

x x

e

dx

e

+

∫

Com a substituição

u

= 1 + e3x_,

3

3

x

du

=

e

dx

Para fazer 3e3x

_dx

_{parte da integral,} multipliquemos e dividamos por 3.

3 3 3 3

1

1

3

1

3 1

du x x x x

e

dx

e

dx

e

=

e

+

+

∫

∫

Multiplicando e dividindo por 3

1 1

3

u

du

=

_∫

1

ln

3

u

C

=

+

(

3

)

1

ln 1

3

x

e

C

=

+

+

Substituindo x e dx Regra do Log Substituindo u

OBS: Note que o sinal de valor absoluto é

desnecessário na resposta final, porque (1 + e3x_{) é}

Exemplo 4: Calcule a integral indefinida

1

x x

−

dx

Com a substituição

u

=

x

- 1,

e

1

(

)

( )

1 2

1

1

x x

−

dx

=

u

+

u

du

∫

∫

Substituindo x e dx

(

3 1

)

2 2

u

u

du

=

_∫

+

5 3 2 2

5

3

2

2

u

u

C

=

+

+

(

)

5

(

)

3 2 2

2

2

1

1

5

x

3

x

C

=

−

+

−

+

Regra da Potência Substituindo u

Esta forma da antiderivada pode ser ainda mais simplificada.

(

)

5

(

)

3 2 2

2

2

1

1

5

x

3

x

C

=

−

+

−

+

(

)

5

(

)

3 2 2

6

10

1

1

15

x

15

x

C

=

−

+

−

+

(

)

3

(

)

2

2

1

3

1

5

15

x



x



C

=

−

_

− +

_

+

(

)

3

[

]

2

2

1

3

2

15

x

x

C

=

−

+ +

O Exemplo 4 mostra uma das caracte-rísticas da integração por substituição: a forma da antiderivada, tal como aparece imediatamente após a volta à variável

x

, em geral pode ser simplificada.

Assim, ao resolver exercícios, não devemos considerar incorreta a nossa solução apenas porque não se apresenta com a mesma forma da resposta encontrada nos livros. Uma simplificação algébrica pode permitir conciliar as duas formas da resposta.

A quarta etapa das diretrizes para integração por substituição sugere a volta à variável original

x

.

Para calcular integrais

definidas

, entre-tanto, em geral é mais conveniente determinar os limites de integração para a variável

u

, em vez de voltar à variável

x

e calcular a antiderivada nos limites originais.

Exemplo 5: Calcule a integral definida 5 1

₂

₁

x

dx

x

−

∫

Aplique a substituição

2

1

u

=

x

−

o que implica 2

2

1

u

=

x

−

(

2

)

1

1

2

x

=

u

+

dx

=

u du

Antes de substituir, determine os novos limites superior e inferior de integração.

Limite inferior:

Quando

x

= 1,

u

=

2 1

⋅

( )

− =

1 1

Limite superior:

Quando

x

= 5,

u

=

2 5

⋅

( )

− =

1

3

Em seguida, substitua e integre como segue: 2 5 3 1 1

1

1

2

2

1

x

u

dx

u du

u

x



₊



=





−





∫

∫

Substituindo x, dx e limites de integração

(

)

3 2 1

1

1

2

u

du

=

_∫

+

Simplificando 3 3 1

1

2

3

u

u





=

_

+

_





Determinando a anti-derivada Limites de integração de u

Aplicando o Teorema Fundamental Simplificando

(

)

1

1

9 3

1

2

3



_

_



=

_

+

−

_

+

_

_









16

3

=

Região antes da substituição Região após a substituição

OBS: As duas regiões diferentes exibidas têm a mesma área.

1

₂

_x

−

₁

dx

Pode-se utilizar a integração para determinar a probabilidade de ocorrência de um evento. Em uma tal aplicação, a situação da vida real tem como modelo uma

função f de densidade

de probabilidade

, e a probabilidade de

x

estar entre

a

e

b

é representada por

(

)

b

( )

a

P a

≤ ≤

x

b

=

∫

f x dx

A probabilidade

P

(

a

≤

x

≤

b

) deve ser um número entre 0 e 1.

Exemplo 6: Um psicólogo* estima que a probabilidade de um participante em um experimento de memória recordar entre

a

e

b

por cento (em forma decimal) da matéria é

(

)

28

3

1

, 0

a

1

9

b a

P a

≤ ≤

x

b

=

∫

x

−

x dx

≤ ≤ ≤

b

Determine a probabilidade de que um participante escolhido aleatoriamente recorde entre 0% e 87,5% da matéria.

* Os psicólogos costumam utilizar integrais definidas para representar a probabilidade de ocorrência de um evento. Por exemplo, a probabilidade 0,5 significa que o evento ocorrerá em 50% das vezes.

Seja 3

1

u

=

−

x

Então 3

1

u

= −

x

3

1

x

= −

u

2

3

dx

= −

u du

Antes de substituir, determine os novos limites superior e inferior de integração.

Limite inferior:

Quando

x

= 0,

u

=

3

1 0

− =

1

Para determinar a probabilidade, substi-tuamos e integremos como segue:

(

)

( )

(

)

1 0,875 3 2 2 3 0 1

28

28

1

1

3

9

x

x dx

9

u

u

u

du





−

=

_

−

−

_





∫

∫

(

)( )

1 3 3 2 1

28

3

1

9

u

u

du





_

_

= ⋅

_

_

_

−

_





∫

(

)

1 6 3 2 1

28

3

u

u

du

=

_∫

−

1 7 4 2 1

28

0,865

3

7

4

u

u





=

_

−

_

≈





Assim, a probabilidade é cerca de 86,5%, conforme indicado na figura a seguir.