Lista2deEq.Diferenciais

LISTA 2 DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Rodrigo Neves

1)Verifique se as seguintes Equações Diferenciais são Exatas :

0 dy ) 1 y x 3 ( dx ) y 3 x 2 ( )

a 3_{    }

0 dy ) 4 xy 2 ( dx ) 3 y ( )

b 2_{   }

0 dy ) y 6 x ( ydx )

c _{ } 2 _

0 dx ) x 6 y xe 2 ( dy y x )

d _ x_{ } 2 _

0 dy ) ye x 2 ( dx ) y e ( )

e x_{   } x _

2) Nos Problemas seguintes, verifique se a equação dada é exata, Se for, resolva.

a) (2x1)dx(3y7)dy0 _{Resposta y 7y C}

2 3 x

x2_{ } 2_{ }

b) (5x_4y)dx_(4x_8y3)dy_0

Resposta x 4xy 2y C 2

5 2_{ } 4 _

c ) (2y2x_3)dx_(2yx2_4)dy_0

Resposta x2y2_3x_4y_C

c) (xy)(xy)dxx(x2y)dy0 Resposta não exata

d) (y3_y2senx_x)dx_(3xy2_2ycosx)dy_0

Resposta x C

2 1 x cos y

xy3_ 2 _ 2_

e) (ylny_exy)dx_(y1_xlny)dy_0 _{Resposta não exata}

f) _xy'2xex _y6x2 _{Resposta xy2xe}x _2ex _2x3 _C

g) (1_3x1_y)dx_(1_3y1_x)dy_0 _{Resposta xyxy3lnxy C}

h) )dx x y dy 0

x 9 1

1 y

x

( 3 2

2 3

2 _{ }



 Resposta x3y3artg(3x)C

3) Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.

1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 _{6. 2y}2_exy2_{dx + 2xy xy}2

2. yex_{dx + e}x_{dy = 0}

7. (xdy ydx) 0

y x

1 2

2_  

3. (3y2 _{+ 10xy}2_{)dx + (6xy – 2 + 10x}2_{y)dy = 0 8. e}(x2y2)_{(xdxydy)0}

4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 _9.





1 2 2

2  



5. (4x3_{– 6xy}2_{)dx + (4y}3_{– 6xy)dy = 0 10. e}y_cosxy









4) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.

11. dx





x

y _{   }

 ; y(2) = 4

12. (xdx ydy) 0

y x

1 2

2_   ; y(4) = 3

13. (xdx ydy) 0

y x

1 2

2_   ; y(0) = 4

14. e3x(sen3ydx_cos3ydy)_0_{; y(0) = }

15. (2xtgy + 5)dx + (x2_sec2_{y)dy = 0; y(0) = 0}

16. (x2 _{+ y}2_{)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1}

Respostas 3 e 4:

1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 13) x² + y² = 16

2) yex _{= C}

8) .e





2

1 _x2 _y2



   14) e3x.sen3y = 0

3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C 9) não é exata 15) x². tgy - 5x = 0

4) sen(2x – y) = C 10) ey_{. senxy = C}

16) xy² +

3 x3

= 12

5) não é exata 11) y.ln(x _– 1) + y² = 16

6) não é exata _{12) x}2 _y2 _5

5) Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.

1. ydx - (x + 6y2_{)dy = 0 6. (2x}2_{y – 1)dx + x}3_{dy = 0}

4. (5x2_{– y}2_{)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x}

– sen y)dy = 0

5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 _{+ 1)dx + (3xy}2 _{+ x}3_{)dy = 0}

Respostas 5:

1) FI: 1/y²  (x/y) _– 6y = C 6) FI: x -1  _{x²y - lnx = C}

2) FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y)  xy - lny = C

3) FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C _{8) FI: e}x2  _ex2_{(2y + 2x² - 4x + 8) = C}

4) FI: e-x  _e-x _{(y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/ y)  x. y + cos y = C}

5) FI: cosx  y.senx + x.senx + cosx = C 10) FI: x -3  _x -2_{y³ + y - (1/ 2x²) = C}

6) Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais lineares:

1. _{5y e}3x

dx

dy_{ }

8. dy3x2ydxx2dx

2. 2x

e y 3 dx

dy_{ }  9. xdy – 5ydx = (4x + x6)dx

3. x 2

x y 3 dx

dy_{ } 3_{ 10.} 2 3

) 4 x ( y 2 dx dy

x   

4. x 5

x y 2 dx

dy_{ } 2_ 11. (1x2)dy2xydx3x2dx

5. 2xy e (3 2x)

dx

dy_{ } 3x _{ 12. ytanx senx}

dx

dy_{ }

6. 3x y e (3x 1)

dx

dy_ 2 _ x 2_

13. 2xy x 7 dx

dy

x2 _{ } 4_

7. dy_4ydx_x2e4xdx

14. 2xy x 5

dx dy

x2 _{ } 3_

7) Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.

15. _{3y e}2x

dx

dy_{ }

; y (0) = 2 17. cosecx ycotx dx

dy_{ }

; y (/2) = 3/2

16. x 3

x y dx

Respostas 6 e 7:

1) –2y = e3x _{+ Ce}5x _{7) 3y = x³e4x + C} 4x

e 13) 5x²y = x5– 35x + C

2) y = e-2x _{+ Ce}-3x

8) y = (-1/3) + C_ex3 14) y = x². lnx – (5/3x) + C.x²

3) 14x³y = 2x 7_{– 7x} 4 _{+ C 9) y = x} 6_{– x + Cx} 5 _{15) y = e} 2x _(3e x_{– 1)}

4) y = x³ - 5x + Cx²

10) y =





4 2 x C x 8 4

x  _ 16) y = (x³/2) + 3x.lnx + Cx

5) x2 3x x2

e y

e   + C 11) (1 + x²).y = x³ + C 17) y.senx = x + 

6) y = - e x _{+ C} x3

e 12) y = secx[(sen²x/2) + C] 18) y = (x/3) – (1/9) + Ce -3x

8) Resolva as equações diferenciais abaixo:





C ) x ( y : . sp Re 0 xy dx dy ) 9 x ( . 3 . Ce ) x ( y : . sp Re 0 y 3 dx dy . 2 ). C e ( x e x ) x ( y : . sp Re e x y x 4 dx dy x . 1 2 / 1 2 2 x 3 x 4 x 5 x 6              

9) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

. 2 y 2 y ) y ( x : . sp Re . 0 ) 2 ( y , y x 1 dx dy . 3 . 0 x se , x x ) x ( y : . sp Re . 0 ) 1 ( y , x 2 y dx dy x . 2 . 2 e 7 1 ) x ( y : . sp Re . 3 ) 0 ( y , x xy 2 dx dy . 1 2 2 1 x2                      

10) Resolva as EDO de primeira ordem dadas abaixo, verificando que as mesmas são lineares.

a) y3y6

b) yysenx

d) 2

y y

y 

e) yxy6x y

11)Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.

a) O rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q, presente.

b)A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 200.000 e a população.

c) Para uma certa substância, a razão de variação da pressão do vapor (P) em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.

d)massa x aceleração = força.

12) Uma rolamento esférico de 1,5 cm de diâmetro sai do forno com temperatura inicial 98o_{C é}

posto à temperatura ambiente de 18o_{C, depois de 5 minutos detecta-se que a temperatura do}

rolamento é de 38o_{C. Quanto tempo a mais será necessário para que o rolamento atinja a}

temperatura de 20o_C?

13) Resistência proporcional à velocidade: Em alguns casos é razoável considerar a resistência encontrada por um objeto em movimento é proporcional s sua velocidade. Matematicamente, isto significa que se o objeto tem massa m, deslocando em linha reta com função de posição s e velocidade v, em função do tempo t, tem-se a força de resistência ao movimento dada por: Supondo a velocidade inicial vo em t=0, determine a solução geral.

kv dt dv

m  .

14) (Drenando um tanque) A lei de Torricelli diz que ao esvaziar um tanque a taxa à qual a água escoa é proporcional a raiz quadrada da profundidade x da água. A constante k de proporcionalidade do valor inicial. Considere k=0,5 e um tanque cilíndrico de 10m de diâmetro e 16 m de altura, cuja taxa de drenagem é 0,5 x m3/min. Determine uma fórmula para exprimir

quantidade de água remanescente no tanque em qualquer instante t. Quanto tempo demorará para esvaziar o tanque?

15) (Reações químicas de primeira ordem) sabe-se que a taxa à qual a quantidade de uma substância varia em relação ao tempo é proporcional à quantidade presente. Para a equação diferencial da transformação da -glucono lactona em ácido glucônico é dada por:

y 6 , 0 dt dy_

16) (Decaimento radioativo) sabe-se que a taxa à qual um elemento radioativo decai é aproximadamente proporcional a quantidade instantânea do elemento. Suponha y(0)=yo e

resolva a equação geral do decaimento radioativo.

ky dy

dy_

17) A meia vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que a metade dos núcleos radioativos inicialmente presentes em uma amosta tenha decaído. Mostre que a meia vida de um elemento radioativo, com constante de decaimento k, é