Conceitos Básicos
Mariana Dias Júlia Justino
Conteúdo
1 Cálculo Algébrico 1
1.1 Conjuntos de Números . . . 1
1.1.1 Conjunto dos números naturais . . . 1
1.1.2 Conjunto dos números inteiros . . . 1
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fracionários . . . 1
1.1.4 Conjunto dos números reais . . . 2
1.2 Expressões Algébricas . . . 3
1.2.1 Polinómios . . . 3
1.2.2 Frações Algébricas . . . 7
1.3 Equações e Inequações Algébricas . . . 9
1.3.1 Equações de 1o grau . . . . 10
1.3.2 Equações de 2o grau . . . . 10
1.3.3 Equações bi-quadradas . . . 11
1.3.4 Inequações de 1o grau . . . . 12
1.4 Equações e Inequações com Módulos . . . 12
1.5 Exercícios Propostos . . . 15
1.6 Soluções . . . 26
2 Geometria no Plano 36 2.1 Vetores no Plano . . . 36
2.2 Estudo da Reta . . . 38
2.2.1 Equações da reta . . . 38
2.3 Cónicas . . . 42
2.3.1 Elipse e Circunferência . . . 43
2.3.2 Parábola . . . 44
2.3.3 Hipérbole . . . 46
2.4 Exercícios Propostos . . . 48
2.5 Soluções . . . 51
3 Funções Reais de Variável Real 55 3.1 Definição . . . 55
3.2 Representação Gráfica . . . 58
3.3 Transformações do gráfico de uma função . . . 60
3.4 Propriedades . . . 63
3.4.1 Classificação . . . 63
3.4.2 Paridade . . . 65
3.4.3 Funções periódicas . . . 66
3.4.4 Sinal . . . 67
3.4.5 Monotonia . . . 68
3.4.6 Extremos . . . 71
3.4.7 Concavidade . . . 72
3.4.8 Pontos de Inflexão . . . 73
3.4.9 Função Limitada . . . 73
3.6 Funções Algébricas . . . 79
3.6.1 Função afim . . . 79
3.6.2 Função quadrática . . . 81
3.6.3 Função cúbica . . . 85
3.6.4 Função algébrica racional fracionária . . . 86
3.6.5 Função algébrica irracional . . . 86
3.7 Exercícios Propostos . . . 87
3.8 Soluções . . . 97
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébricas 107 4.1 Equações Fracionárias . . . 107
4.2 Inequações de 2o grau . . . 107
4.3 Inequações Fracionárias . . . 108
4.4 Exercícios Propostos . . . 109
1
Cálculo Algébrico
1.1
Conjuntos de Números
1.1.1 Conjunto dos números naturais
N={1, 2, 3, ...}, onde N0 ={0, 1, 2, 3, ...}.
1.1.2 Conjunto dos números inteiros
Z={...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}, onde Z+ ={1, 2, ...}=N e Z−0 ={...,−2,−1, 0}.
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fracionários Definição 1 Designa-se fração à expressão a
b onde a é o numerador e b o
denomi-nador. Se o numerador é menor que o denominador, a fração diz-seprópria (por exemplo
2 3,
1 4,
3
5); se o numerador é maior ou igual ao denominador a fração diz-se imprópria (por
exemplo 4 3,
5 5,
6
4); se o numerador é múltiplo do denominador a fração diz-se aparente(por
exemplo 6 3,
12 6,
8 4).
Definição 2 Chamam-sefrações equivalentes às frações que representam a mesma parte
do todo (por exemplo, 1 2,
2 4,
6
12 são equivalentes). Para encontrar frações equivalentes, basta
multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural (por exemplo,
1·2 2·2 =
2·3 4·3 =
6
12 são algumas frações equivalentes a 1
2). Uma fração pode ser simplificada
se se dividir ambos os termos da fração pelo fator comum (por exemplo, 9:3 12:3 =
3
4 é uma
fração simplificada de 129 ). Uma fração que não possa ser simplificada, porque os termos não
possuem nenhum fator em comum, diz-se fração irredutível.
O conjunto dos números racionais ou fracionários é constituído por números que se podem escrever na forma de fração em que o numerador e o denominador são números inteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja,
Q=a
b :a∈Z e b∈Z\ {0}
®
={nos racionais},
ondenúmeros racionaissão números representáveis por dízimasfinitas ou dízimas infinitas
periódicas.
Operações com números fracionários • Adição e subtração
— Denominadores iguais: Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Exemplo 1 49 +2
9 = 6 9 = 2 3; 5 6 − 1 6 = 4 6 = 2 3.
— Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, utiliza-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para obter frações equi-valentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-se nor-malmente as frações.
Exemplo 2 45 +5
2, onde o m.m.c.(5,2)=10. Logo, 4 5(×2) +
5 2(×5) =
• Multiplicação: Na multiplicação de frações, basta multiplicar numerador por nume-rador e denominador por denominador.
Exemplo 3 45 × 3
2 =
4×3 5×2 =
12
10 =
6 5.
• Divisão: Na divisão de frações, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplo 4 45 ÷ 3
2 =
4
5 ×
2
3 =
8 15.
• Potenciação: Na potenciação, quando se eleva uma fração a um determinado ex-poente, está-se a elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplo 5 ¡45¢2 = 42
52 =
16 25.
• Radiciação: Na radiciação, quando se aplica uma raiz a uma fração, está-se a aplicar essa raiz ao numerador e ao denominador.
Exemplo 6 q
4
25 =
√
4
√
25 =
2 5.
1.1.4 Conjunto dos números reais
R=Q∪{nos irracionais},
onde osnúmeros irracionais são números representáveis por dízimas infinitas não periódi-cas, tais queR\Q={nos irracionais}.
Propriedade 1 .
1. R=Q∪· (R\Q);
2. N⊂Z⊂Q⊂R, isto é:
R
Q
Z N
R\Q
Exemplo 7 −3 = −13 = −3.0; 81 = 0.125; 112 = 0.181 8(18) são números racionais e
√
1.2
Expressões Algébricas
Definição 3 Umaexpressão com uma variável diz-se algébrica quando, sobre a variável,
não incidem outras operações além de adição, subtração, multiplicação, divisão ou extração de raiz.
Definição 4 Chama-sedomínio da expressão algébrica, e representa-se por D, ao
con-junto dos números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão.
Exemplo 8 A expressão algébrica 2x tem como domínio D=R\ {0}; a expressão algébrica
√
x+3 tem como domínio D= [−3,+∞[.
1.2.1 Polinómios
Definição 5 Chama-sepolinómio de grau n numa variável xa toda a expressão algébrica
de tipo:
anxn +an−1xn−1+. . .+a1x+a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈R e an 6=0. Neste caso, anxn, an−1xn−1, . . . , a1x, a0 dizem-se
termos do polinómio, an, an−1, . . . , a1, a0 coeficientes e a0 diz-se o termo
indepen-dente.
Definição 6 Seja P(x) um polinómio de grau n. Diz-se que α ∈R é uma raiz real de P
se P(α) =0.
Propriedade 2 Considerando um qualquer polinómio de grau 2, ax2+bx+c,as suas raízes
reais podem ser obtidas através da Fórmula Resolvente:
α= −b±
√
b2−4ac
2a ,
onde ∆=b2−4ac é designado porbinómio discriminante.
Se ∆
⎧ ⎨ ⎩
> 0, então há duas raízes reais e distintas
=0, então há uma raiz real
< 0, então não há raízes reais
.
Exemplo 9 Determine as raízes reais de P(x) =x2+3x−4.
Resolução: Usando a fórmula resolvente, tem-se que
P(x) =0 ⇔x= −3±
√
32−4.1.(−4)
2.1 = −
3±√9+16
2 = −
3±√25
2 = −
3±5
2 ⇔
⇔x=1∨x=−4.
Logo, −4 e 1 são as raízes de P.
Observação 1 .
• Qualquer polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas;
Definição 7 Dois polinómiosdizem-se idênticosse e só se são iguais os coeficientes dos
termos do mesmo grau.
Definição 8 Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau.
Definição 9 Um polinómio diz-secompleto quando existem todos os termos desde o termo de maior grau até ao termo independente.
Definição 10 Um polinómio com um só termo diz-semonómio, com dois termosbinómio
e com três termos trinómio.
Exemplo 10 O polinómio x2 +1 é um binómio não completo de grau 2 que não admite
raízes reais (∆< 0).
Operações com polinómios
• Adição: Para adicionar dois polinómios, aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo 11 ¡3x2+x+1¢ + ¡5x2+3¢ = 3x2 + x + 1 + 5x2 + 3 = =¡3x2+5x2¢+x+ (1+3) =8x2 +x+4.
• Subtração: Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao aditivo o simétrico do sub-trativo.
Exemplo 12 ¡3x2+x+1¢ − ¡5x2−3x¢ = 3x2 + x + 1 − 5x2 + 3x =
=¡3x2−5x2¢+ (x+3x) +1=−2x2 +4x+1.
• Multiplicação: Para calcular o produto de dois polinómios, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.
Exemplo 13 ¡3x2+x+1¢ × ¡5x2 +3¢ = 15x4 + 9x2 + 5x3 + 3x + 5x2 + 3 =
=15x4+5x3+14x2+3x+3.
— Casos Notáveis: Há produtos de polinómios que aparecem com muita frequên-cia com variadas aplicações na Matemática e que merecem espefrequên-cial atenção: o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.
Quadrado do Binómio- o quadrado do binómio obtém-se adicionando o quadrado do primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com o quadrado do segundo termo:
(a+b)2 =a2+2ab+b2.
a
a
b
b
2
b
2
a
ab
ab a
a
b
b
2
b
2
a
ab ab
positivo e se têm sinais contrários, o termo 2abé negativo. Logo,
(a−b)2 =a2−2ab+b2.
Diferença de Quadrados- o produto de dois polinómios que só diferem no sinal de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos:
(a+b) (a−b) =a2−b2.
a
b
b
2
b
2 2
a−b a
a
b
b
2
b
2 2
a−b a
• Divisão: Efetuar a divisão inteira de um polinómio chamado dividendoD(x) de grau
n,por outro polinómio chamado divisord(x)de graum,onde m < n,é encontrar um
polinómio quociente q(x) de grau (n−m) e um polinómio resto r(x) de grau < m,
em que
D(x)
| {z } dividendo
=d(x) | {z } divisor
· q(x) | {z } quociente
+r(x) |{z} resto
.
A este processo dá-se o nome de Algoritmo da Divisão.
Exemplo 14 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4xx−32−3x+1. Resolução:
3x4 −4x3 +0x2 −3x +1 x −2
−3x4 +6x3 3x3 +2x2 +4x +5
2x3 +0x2 −3x +1
−2x3 +4x2
4x2 −3x +1
−4x2 +8x
5x +1
−5x +10 11
Assim, q(x) =3x3+2x2+4x+5 e r(x) =11, ou seja,
D(x) =3x4−4x3−3x+1= (x−2)·¡3x3 +2x2+4x+5¢+11.
Observação 2 Quando o polinómio r(x) é nulo, ou seja, D(x) =d(x)·q(x), então
a divisão inteira dos polinómios é denominada exata. Diz-se, neste caso, que D(x) é
Regra de Ruffini- serve para dividir um polinómioD(x)de graunpor um binómio
de tipo (x−α). Se D(x) = a0xn+a1xn−1+a2xn−2+. . .+an−1x+an, a Regra de
Ruffini assume o seguinte aspeto:
a0 a1 a2 . . . an−1 an
α αq0 αq1 αqn−2 αqn−1
a0 a1+αq0 a2+αq1 . . . an−1+αqn−2 an +αqn−1
k k k k k
q0 q1 q2 qn−1 r(x)
Assim,D(x) = (x−α)·¡q0xn−1+q1xn−2 +. . .+qn−1
¢
+r(x).
Exemplo 15 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4xx−32−3x+1. Resolução:
3 −4 0 −3 1
2 6 4 8 10
3 2 4 5 11
Assim, q(x) =3x3+2x2+4x+5 e r(x) =11, ou seja,
D(x) =3x4−4x3−3x+1= (x−2)·¡3x3 +2x2+4x+5¢+11.
Decomposição de polinómios em fatores
Se um polinómio na variávelx, de graun, anxn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 admiten raízes
reais, α1,α2, . . . ,αn, pode escrever-se como um produto:
an(x−α1) (x−α2). . .(x−αn), an 6=0.
Exemplo 16 Decomponha em fatores do 1o grau os seguintes polinómios:
1. 2x2−12x+10;
2. 2(x−1)2−3(x−1).
Resolução:
1. zeros: 2x2−12x+10=0⇔x= 12±√144−80
4 ⇔x=1∨x=5.
Assim, 2x2−12x+10=2(x−1) (x−5).
2. 2(x−1)2−3(x−1) = (x−1) [2(x−1)−3] = (x−1) (2x−5).
Propriedade 3 Todo o polinómio P(x) com coeficientes reais pode ser representado como
produto do coeficiente do termo de maior grau(an)por polinómios do 1o grau do tipo x−α
(em que α toma os valores das raízes reais do polinómio) e polinómios de segundo grau do tipo x2+bx+c, sem raízes reais.
Exemplo 17 −3x3+6x2−9x+6=−3(x−1)¡x2−x+2¢ é um polinómio de grau3 com
Método dos coeficientes indeterminados
Este método baseia-se no princípio de que dois polinómios são idênticos se os coeficientes
dos termos do mesmo grau são iguais.
Exemplo 18 Calcule o quociente e o resto da divisão 2x3+2x3x22−+1x−5.
Resolução: O quociente q(x) será um polinómio de 1o grau, por isso da forma
q(x) = ax+b, e o resto r(x) não pode exceder o primeiro grau, da forma r(x) = cx+d,
com a, b, c e d∈R e a6=0. Como
D(x) =d(x)·q(x) +r(x)
vem
2x3 +3x2+x−5=¡2x2 −1¢·(ax+b) + (cx+d).
Efetuando-se os cálculos no 2o membro
2x3+3x2+x−5=2ax3+2bx2−ax−b+cx+d=2ax3+2bx2+ (c−a)x+ (d−b).
Obtem-se dois polinómios, um no 1o membro e outro no 2o, que são idênticos. Pode-se então
escrever ⎧
⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
2=2a
3=2b
1=c−a
−5=d−b
⇔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
a= 2
2 =1
b= 32
1=c−1
−5=d−32
⇔ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
a=1
b= 32
c=2
d=−7
2
.
Então q(x) =x+3
2 e r(x) =2x− 7 2.
1.2.2 Frações Algébricas
Definição 11 Dados dois polinómios P(x) e Q(x), onde Q(x) é um polinómio não nulo,
designa-sefração algébrica a toda a expressão da forma P(x)
Q(x),isto é, o quociente entre dois
polinómios. A incógnita xpoderá tomar qualquer valor real, desde que o seu valor não anule
o denominador. Ao conjunto de números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão dá-se o nome de domínio da fração algébrica, e representa-se por D.
Existem muitas semelhanças nas definições e operações entre frações algébricas e números
fracionários.
Definição 12 Consideremos uma fração algébrica QP((xx)) tal que Q(x) 6=0. Se P(x) e Q(x)
são divisíveis pelo mesmo polinómiod(x),então existem dois polinómiosM(x) eN(x) que:
P(x) =M(x)·d(x) e Q(x) =N(x)·d(x) com N(x)6=0, verificando-se:
P(x)
Q(x) =
M(x)·d(x)
N(x)·d(x) =
M(x)
N(x).
Diremos que M(x)
N(x) é a simplificação de P(x) Q(x).
Assim, para simplificar frações algébricas, depois de fatorizados o numerador e o
Definição 13 Duas frações QP((xx)) e MN((xx)) são equivalentes se uma delas é a simplificação
da outra.
Exemplo 19 Simplifique as seguintes frações algébricas, indicando os respetivos domínios:
1. x+2 x2+4x+4;
2. (x(−x21−)(1x)(+2x)(2−x−4)3).
Resolução:
1. x+2 x2+4x+4 =
x+2
(x+2)2 =
1
x+2, onde D=R\ {−2}.
2. (x(−x21−)(1x)(+2x)(2−x−4)3) = (x−(1x−)(x1)(+1x)(+x2)(−x2)(−3x)+2) = (x+(x1)(−x3)−2), onde D=R\ {−2, 1, 3}.
Definição 14 Dadas as frações QP((xx)) e MN((xx)) tais que Q(x)6=0 e N(x)6=0, as expressões
P(x)·N(x)
Q(x)·N(x) e
M(x)·Q(x)
N(x)·Q(x)
são expressões algébricas equivalentes às dadas e com igual denominador. A Q(x)·N(x)
dá-se o nome de denominador comum.
Método para determinar o Mínimo Denominador Comum 1. Fatorizam-se os polinómios dos denominadores;
2. Multiplicam-se todos os fatores diferentes;
3. Se existem fatores com a mesma base, mas expoente diferente, considera-se o que tem maior expoente.
Operações com frações Algébricas
• Adição e subtração: Para somar ou subtrair duas ou mais frações algébricas, devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e só depois somar ou subtrair os polinómios.
P(x)
Q(x) ±
M(x)
N(x) =
P(x)·N(x)
Q(x)·N(x) ±
M(x)·Q(x)
Q(x)·N(x) =
P(x)·N(x)±M(x)·Q(x)
Q(x)·N(x) .
• Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais frações algébricas, devem-se multiplicar os polinómios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si.
P(x)
Q(x) ×
M(x)
N(x) =
P(x)·M(x)
• Divisão: O quociente de duas frações algébricasfica definido através da multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda.
P(x)
Q(x) ÷
M(x)
N(x) =
P(x)
Q(x) ×
N(x)
M(x) =
P(x)·N(x)
Q(x)·M(x).
Exemplo 20 Efetue os cálculos e simplifique, indicando os respetivos domínios:
1. 2 x+2 −
2 x+1;
2. x− 2xx−+11;
3. x2+3x
x2−4 ×
x+2 x+3;
4. x+3
x2 ÷
x2+1
x−1 .
Resolução:
1. 2 x+2 −
2
x+1 =
2 x+2(x+1) −
2
x+1(x+2) =
2(x+1)−2(x+2) (x+2)(x+1) =
2x+2−2x−4
(x+2)(x+1) = −
2
x2+3x+2, onde
D=R\ {−2,−1}.
2. x− 2xx−+11 = x2−xx−−12x−1 = x2−x−3x1−1, onde D=R\ {1}.
3. x2+3x
x2−4 ×
x+2 x+3 =
(x2+3x)(x+2) (x2−4)(x+3) =
x(x+3)(x+2) (x−2)(x+2)(x+3) =
x
x−2, onde D=R\ {−3,−2, 2}.
4. x+3
x2 ÷
x2+1
x−1 = x+3
x2 ×
x−1 x2+1 =
(x+3)(x−1)
x2(x2+1) =
x2+2x−3
x4+x2 , onde D=R\ {0, 1}.
1.3
Equações e Inequações Algébricas
Definição 15 A equação algébrica é uma igualdade entre duas expressões
matemáti-cas que podem conter uma ou mais variáveis (ou incógnitas) sujeitas a operações algébri-cas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação). Por exemplo, ax +b = 0,
x2−2x=1, ax4 =bx.O objetivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem
assumir as incógnitas da equação. Toda a equação tem:
• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis
ou incógnitas;
• um sinal de igualdade (=) ;
• uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da
esquerda;
• uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da
direita.
As expressões do 1o e 2o membros da equação chamam-se termos da equação.
−3
incógnita %
x +4
| {z }
1o membro
= |{z}10
Resolver uma equação significa obter o valor da incógnita ou das incógnitas, isto é, obter as
raízes da equação.
Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. É este o processo que permite resolver uma equação.
1.3.1 Equações de 1o grau
Definição 16 As equações de 1o grau com uma variável são da forma mx+b=0, com
m, b∈R, m6=0.
Exemplo 21 Resolva a seguinte equação algébrica −3x+4=10.
Resolução:
−3x+4=10⇔ Equação inicial
⇔−3x+4−4=10−4⇔ Subtraímos ambos os membros por 4
⇔−3x=6⇔
⇔ −3x
−3 =
6
−3 ⇔ Dividimos ambos os membros por −3 ⇔x=−2 C.S.={−2} é a solução da equação.
1.3.2 Equações de 2o grau
Definição 17 Umaequação de 2o grau na incógnitaxé da forma ax2+bx+c=0, onde
os números a, b e c são os coeficientes da equação, sendo a6=0. Estas equações podem ser
completas, se todos os coeficientes são diferentes de zero, ou incompletas, se b=0 ouc=0
ou b=c=0.
Resolução de equações completas
Sabemos que uma equação completa de 2o grau é uma equação do tipoax2+bx+c=0,onde
todos os coeficientes são diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a fórmula resolvente.
Exemplo 22 Resolva as seguintes equações completas de 2o grau:
1. x2 −6x+8=0;
2. x2 −10x+25=0;
3. x2 +2x+7=0.
Resolução:
1. x2−6x+8=0⇔x= 6±√36−32
2 ∆⇔>0x= 6±√4
2 ⇔x=
6±2
2 ⇔x=4∨x=2, ou seja, a
equação tem duas raízes reais, C.S.={2, 4}.
2. x2 −10x+25 = 0 ⇔ x = 10±√100−100
2 ∆⇔=0 x=
6±0
2 ⇔ x =3, ou seja, a equação tem
uma raiz real, C.S.={3}.
3. x2 +2x+7=0
⇔x= −2±√4−28
2 ∆⇔<0x= − 2±√−24
2 , ou seja, a equação não tem raízes
Resolução de equações incompletas • Equações do tipo ax2=0
Basta dividir toda a equação por a (a6=0) para se obter x2 = 0. Assim, a equação
tem como conjunto solução C.S.={0}.
• Equações do tipo ax2+c=0
Basta dividir toda a equação pora(a6=0)e passar o termo constante para o segundo
membro para se obterx2 =−c a.Se−
c
a < 0,não existe solução no conjunto dos números
reais; se−c
a > 0,a equação tem duas raízes,x=−
p−c
a∨x=
p−c
a,sendo o conjunto
soluçãoC.S.=©−p−c a,
p −c
a ª
.
• Equações do tipo ax2+bx= 0
Neste caso, fatorizando a equação, obtem-se x(ax+b) = 0. Assim, a equação terá
duas raízes x=0∨x=−ba,sendo o conjunto solução C.S.=©0,−baª.
Exemplo 23 Resolva as seguintes equações incompletas de 2o grau:
1. 4x2 =0;
2. 4x2−8=0;
3. x2 +5=0;
4. 4x2−12x=0.
Resolução:
1. 4x2 =0⇔x2 =0⇔x=0, ou seja, C.S.={0}.
2. 4x2 −8 = 0 ⇔ 4x2 = 8 ⇔ x2 = 8
4 ⇔ x
2 = 2 ⇔ x = −√2 ∨x = √2, ou seja,
C.S.=−√2,√2®.
3. x2 +5=0⇔x2 =−5 equação impossível, ou seja, C.S.=∅.
4. 4x2 −12x = 0 ⇔ x(4x−12) = 0 ⇔ x = 0∨4x−12 = 0 ⇔ x = 0∨4x = 12 ⇔ ⇔x=0∨x= 124 ⇔x=0∨x=3, ou seja, C.S.={0, 3}.
1.3.3 Equações bi-quadradas
Definição 18 As equações bi-quadradassão equações de 4o grau na incógnitaxde forma
geral ax4 +bx2 +c =0. Na verdade, esta equação pode ser escrita como uma equação de
2o grau, através da substituição y = x2, obtendo-se ay2 +by+c = 0. Para resolver este
tipo de equação, aplica-se a fórmula resolvente à última equação e obtêm-se as soluções y1
e y2. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possíveis soluções serão
x2 =y
1∨x2 =y2 e se y1 ou y2 for negativo, estas não existirão para x.
Exemplo 24 Resolva as seguintes equações bi-quadradas:
1. x4 −5x2 −36=0;
Resolução:
1. x4−5x2−36=0 ⇔ y=x2 y
2−5y−36=0⇔y= 5±√25+144
2 ⇔y=
5±√169
2 ⇔y=
5±13
2 ⇔
⇔y=9∨y=−4, ou seja, x2 =9∨x2 =−4 | {z }
impossível
⇔x=−3∨x=3.
Logo, C.S.={−3, 3}.
2. x4 +13x2 +36 = 0 ⇔ y=x2 y
2+13y+36 = 0
⇔ y = −13±√169−144
2 ⇔ y = −
13±√25
2 ⇔
⇔y= −132±5 ⇔y=−9∨y=−4, ou seja,x| {z }2 =−9
impossível
∨x| {z }2 =−4
impossível
.
Logo, C.S.=∅.
Definição 19 Relacionadas com as equações algébricas, existem as chamadas inequações algébricas (ou desigualdades algébricas), que são sentenças matemáticas com uma ou
mais variáveis (ou incógnitas) em que os termos estão ligados por um dos quatros seguintes sinais de desigualdades: < (menor); > (maior); ≤ (menor ou igual); ≥ (maior ou igual).
Nas inequações, o objetivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir as incógnitas da equação.
1.3.4 Inequações de 1o grau
Definição 20 As inequações de 1o grau com uma variável podem ser escritas numa das
seguintes formas: mx+b < 0, mx+b > 0, mx+b≤ 0 ou mx+b ≥ 0, com m, b ∈ R,
m6=0.
Exemplo 25 Resolva as seguintes inequações algébricas de 1o grau:
1. 2x−7≥0;
2. −3
5x+
7
2 < 0.
Resolução:
1. 2x−7≥0⇔2x≥7⇔x≥ 72. Logo, C.S.=£72,+∞£.
2. −3
5x+
7
2 < 0⇔−
3
5x <−
7
2 ⇔x >
−7 2
−3 5 ⇔
x > 356 . Logo, C.S.=¤35
6,+∞
£
.
1.4
Equações e Inequações com Módulos
Definição 21 O módulo (ouvalor absoluto) de um número real x, que se indica por|x|,
é definido por:
|x|= ¯
x , x≥0
−x , x < 0 .
Isto é, sexé positivo ou zero,|x|é igual ao própriox(por exemplo,|2|=2), sexé negativo,
|x| é igual a −x (por exemplo, |−2|=2).
• Se |x| < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a,
isto é, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x|< a⇔−a < x < a.
a
−a a
− a
• Se |x|> a(coma > 0) significa que a distância entre xe a origem é maior que a,isto
é,xdeve estar à direita deaou à esquerda de−a,ou seja, |x|> a⇔x > a∨x <−a.
a
−a a
− a
Definição 22 Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros
será chamada equação com módulos.
Exemplo 26 Resolva as seguintes equações com módulos:
1. ¯¯x2−5x¯¯=6;
2. |x−6|=|3−2x|.
Resolução:
1. ¯¯x2−5x¯¯ =6⇔x2−5x=6∨x2 −5x =−6⇔x2−5x−6=0∨x2−5x+6=0⇔
⇔x=−1∨x=6∨x=2∨x=3.
Logo, C.S.={−1, 2, 3, 6}.
2. |x−6| = |3−2x| ⇔ x − 6 = 3 − 2x ∨ x − 6 = −(3−2x) ⇔
⇔ x+2x = 3+6∨x−2x = −3 +6 ⇔ 3x = 9∨−x = 3 ⇔ x = 3∨x = −3.
Logo, C.S.={−3, 3}.
Definição 23 Chama-se inequação com módulos a uma inequação em que a incógnita
está contida num módulo.
Exemplo 27 Resolva as seguintes inequações com módulos:
1. |2x+6|< 2;
2. |−2x+3|≥4.
Resolução:
1. |2x+6| < 2 ⇔ 2x+6 < 2 ∧ 2x+ 6 > −2 ⇔ 2x < 2 −6 ∧ 2x > −2 −6 ⇔
⇔2x <−4∧2x >−8⇔x < −4
2 ∧x > −
8
2 ⇔x <−2∧x >−4.
2. |−2x+3| ≥ 4 ⇔ −2x + 3 ≥ 4 ∨−2x+ 3 ≤ −4 ⇔ −2x ≥ 1 ∨−2x ≤ −7 ⇔
⇔x≤−12 ∨x≥ 72.
Logo, C.S.=¤−∞,−12¤∪£72,+∞£.
Observação 3 Considerando os números reais xe y, tem-se por definição que √x=y⇔
⇔ y2 = x e y ≥ 0. Daí pode-se concluir que √x2 = x só é verdadeiro se x ≥ 0. Se x < 0,
por exemplo x= −3, teríamos
q
(−3)2 6= −3. Assim, usando a definição de módulo, pode
escrever-se √x2 =|x|, ∀x∈R. De uma forma mais geral:
n √
xn =
¯
1.5
Exercícios Propostos
Exercício 1 Efetue as seguintes operações e simplifique o resultado:
1. 1
2 −
4 3;
2. 2
3 ×
h¡3 2
¢2
+1
3
i
;
3. q9
4 ÷
5 2;
4. 9
10 ÷
¡ −2
5
¢
;
5. ¡−4 7
¢ ÷4;
6. 22÷ 1 2;
7. ¡−1 4
¢
÷√16;
8. 5
6 ÷
³√
25
62 −
1 6
´
.
Exercício 2 Indique, justificando, quais dos seguintes números reais são racionais ou
irra-cionais:
1. √5;
2. 0;
3. ln2;
4. 1.(3) ;
5. 0.75;
6. −0.14285714 . . . .
Exercício 3 Indique o domínio das seguintes expressões algébricas:
1. 2+x2
x−1 ;
2. √x+5;
3. 1
3
√
2−x;
4. 2x+1 x2+1;
5. −x3
√
x.
Exercício 4 Do polinómio 3x5−x10 +7−x2 indique:
1. o termo independente;
2. o coeficiente do termo de grau 2;
Exercício 5 Qual é o grau de cada um dos seguintes polinómios?
1. 5x2−3x;
2. 0x+3;
3. 0x2+0x+0.
Exercício 6 Dado o polinómio 5x2 −3x4+x3+1,
1. ordene-o segundo as potências crescentes de x;
2. indique o seu grau e justifique se é completo ou incompleto.
Exercício 7 Considere o polinómio−5x3 −x4+2 3x
2−5x.
1. Ordene-o segundo as potências decrescentes de x.
2. É um polinómio completo ou incompleto? Porquê?
Exercício 8 Dê um exemplo de um polinómio do 1o grau:
1. completo;
2. incompleto.
Exercício 9 Averigue se os polinómios seguintes admitem as raízes −1, 1 e 2:
1. x3 +1;
2. x3 −2x2 −x+2;
3. x3 −2x2 −3x.
Exercício 10 Determine as raízes reais dos seguintes polinómios:
1. 2x−1;
2. x2 +x;
3. x2 −2x+1;
4. x2 +x−2;
5. −x2−x+1.
Exercício 11 Escreva na forma de polinómio a soma dos seguintes pares de polinómios: 1. x2 −2x3 +x+3 e 3x−x4 −4x2;
2. x2 −1
2 +
2 3x
3 e 3x−1
2x
2+1
3x 3;
Exercício 12 Considere os polinómiosP(x) =5x−3 2x
2 eQ(x) = 1 2x
2−x+2x3−1.Calcule:
1. a sua soma;
2. a soma de P(x) com o simétrico de Q(x).
Exercício 13 Sendo M(x) = 5x4 −3x+1 e N(x) = 3x4 −2x2 +x3−2x+3, defina na
forma de polinómio:
1. M(x)−N(x) ;
2. N(x)−M(x).
Exercício 14 Dados os polinómios R(x) = 3x − x2 + 3, S(x) = x3 − 2x + 5 e
T(x) =2x2−2x3+5−x, calcule:
1. R+S+T;
2. R−(S+T) ;
3. R−S+T.
Exercício 15 Considere os polinómios A(x) = x2 − 2x+1, B(x) = −3x2 +2x+ 1 e
C(x) =x3−2x+1. Calcule:
1. A−3B+4C;
2. (C−A)2−3(A−B) ;
3. (3A+B)2−2C;
4. C2−A2.
Exercício 16 Escreva na forma de polinómio:
1. ¡x2+2−4x¢(3x−2) ;
2. (x−3) (x+2)−(2x+2)2;
3. £4x2−3x¡2 3x+1
¢¤
.(4x−1) ;
4. (2x+1) (x−1)−(x+4) (x−2).
Exercício 17 Sendo A(x) =x2+1−2x,B(x) =3x+1 e C(x) =2−x2, verifique que:
1. A.B=B.A;
2. (A.B).C=A.(B.C).
Exercício 18 Dados os polinómios M=3x2−1, N=x+2 e P =2x+3, calcule:
1. M−N+2P;
2. M×N+P2;
Exercício 19 Calcule os números reais a e b de modo que a expressão designatória x2 −2ax+b se transforme num polinómio equivalente à expressão (x−1) (x+3).
Exercício 20 Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. 4x2−3x+1 por x+1;
2. 1 2x
2 −3x3+2x por 3x−2;
3. 4x3−3x2 +13x+x5 por x2−2x+3;
4. 3x4−3−x2 por x−2;
5. 3x2−x3 +2 por −2x−x2+1;
6. x3 −1 por x+1;
7. 3x+2 por x+1;
8. x2 −5x+1 por x3 +2;
9. x4 −2 3x
3+3x2+2x−1 porx3−2x;
10. 1 2x
3 +2x2−22x+1 por 1
3x+3.
Exercício 21 Complete:
4x3 −4x2 ¤ ¤ 2x ¤
¤ ¤ ¤ ¤ +9
−10x2 ¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤ ¤ −2
Exercício 22 Usando a regra de Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. x4 −x2−3x+1 por x+3;
2. −1 8x
2+1
2x
4−3x+1 por 2x+1;
3. 3x2−5x+4 por x−2;
4. x4 −x3+1 por x+2;
5. −2x+8x3−1 porx+1 2.
Exercício 23 Mostre que x5+1 é divisível por x+1.
Exercício 24 Mostre que x3−4x2−11x+30é divisível porx−2e determine as suas outras
Exercício 25 Determine o valor de m de modo que o polinómio x3−mx+1 seja divisível
por x−1.
Exercício 26 Escreva o polinómio de 2o grau que admite raízes 1 e 2 e dividido por x+1
dê resto 3.
Exercício 27 Calcule o resto da divisão de xn+1, n∈N, por x+1 se:
1. n é par;
2. n é ímpar.
Exercício 28 Utilize a regra de Ruffini para efetuar as seguintes divisões:
1. 4x3−3 por 2x−1;
2. 3x4+x2 +1 por 3x+2;
3. 8x2−5x+3 por 4x+1.
Exercício 29 Calcule o parâmetro realkde modo que seja2o resto da divisão do polinómio
x4 −x2+kx+2 por x−1.
Exercício 30 Dados os polinómios A(x) =x2−3x+2 e B(x) =x2−2x+5.
1. Determineα∈R, de modo que A(x) e B(x) divididos por x−α dêm restos iguais;
2. Indique o resto comum da alínea anterior.
Exercício 31 Sem efetuar a divisão, verifique que o polinómioP(x) =x3−7x+6é divisível
por x−2 e por x+3.
Exercício 32 Considere o polinómio x3+8x2 −7.
1. Verifique que o polinómio é divisível por x+1;
2. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinómio num produto.
Exercício 33 Para cada valor naturaln, a expressão(x+5)2n+(x+6)n−1representa um
polinómio emxde coeficientes reais. Prove que esse polinómio é divisível por(x+6) (x+5).
Exercício 34 Fatorize: 1. 25x2−16;
2. 4x2+6x;
3. x2 −x+ 1 4;
4. −2x3+x2+x;
5. 5t3 +4t2 −t;
Exercício 35 Decomponha em fatores o mais elementares possível os polinómios:
1. 3x2−21x+18;
2. x5 −5x3 +4x sabendo que admite as raízes 1 e −2;
3. 36x4−13x2 +1 sabendo que é divisível por x2− 1 4;
4. x3 +5x2 +8x+4 sabendo que admite a raiz −2.
Exercício 36 Para todo o k ∈ R, a expressão 2x2 −3x+k transforma-se num polinómio
do 2o grau.
1. Calcule k de modo que o polinómio admita 2 como zero;
2. Substitua k pelo valor encontrado e fatorize o polinómio.
Exercício 37 Determine o polinómio do 2o grau que admite como zero único o número−3
e que dividido por x+2 dá resto igual a 5.
Exercício 38 Considere 2x3−x2 +ax+b, coma, b∈R.
1. Calcule a e b de modo que o polinómio seja divisível por (x−1) (x−2).
2. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinómio e fatorize.
Exercício 39 Seja A(x) um polinómio emx:A(x) =x3−6x2+11x−6.
1. DetermineB(x) tal que A(x) = (x−1).B(x).
2. Escreva A(x) como um produto de fatores do 1o grau.
Exercício 40 Considere o polinómio P(x) =4x5+8x4+x3−5x2−x+1.
1. Verifique que −1 é zero triplo de P(x).
2. Fatorize o polinómio.
Exercício 41 Calcule a e b pertencentes a R de modo que para todo o valor real de x se
tenha x2 +ax+1= (x−b)2.
Exercício 42 Determine k, m e n de modo que sejam equivalentes as expressões
4x2 +mx+n e (x−1)2
+kx2.
Exercício 43 Determine os números reais a, b e c de modo que:
(x−a)2+ (y−b)2−c2 =x2+y2−4x+6y−3.
Exercício 44 Considere o polinómio P(x) =6x3−7x2−16x+c, onde c∈R. Sabendo que
Exercício 45 Para cada valor real de m, a expressão 2x4+mx3 + (m+20)x2−4 é um
polinómio emx.
1. Determine o valor de m para o qual o polinómio é divisível por x−1.
2. Para o valor m obtido na alínea anterior, prove que 2 é uma raiz de multiplicidade 2
do polinómio e fatorize-o.
Exercício 46 Determineaebde modo quex3−2x2+ax+bseja divisível por(x−3) (x+1).
Exercício 47 Calcule m∈R de modo que 4x2+12x+mseja equivalente ao quadrado de
um polinómio.
Exercício 48 Calcule os zeros do polinómio P(x) sabendo que P(y−1) =y2−5y+6.
Exercício 49 Determine o domínio, em R, de cada uma das seguintes expressões:
1. 1+x−31;
2. 2 x−1 +
2 x+3;
3. x−2
(x−3)(x2+7x+12);
4. x2−4
x2+x;
5. 3−x x2+4;
6. 2 x2−x+3.
Exercício 50 Simplifique as frações, indicando o respetivo domínio:
1. 2x2−2
2x−2;
2. (3x+2x3)2(+x42+2);
3. x2−x
x2−2x+1;
4. x4−9
x2+3;
5. x2−x−2
2x3+2x2;
6. x2−4
x2+2x;
7. 3x−12 3x2−15x+12;
8. x2−2x−3
x3−2x2−x+2;
9. x3−7x2+3x+3
2x3−3x2+x ;
10. x4−5x2+4
Exercício 51 Considere as seguintes expressões designatórias, em R, A= 3x x−2, B=
x2−4
x2+x e
C= x+1
x+2.
1. Determine o domínio de cada uma das expressões anteriores;
2. Calcule e simplifique A+B, ABC e (
C B)
x+A.
Exercício 52 Efetue, no respetivo domínio, as seguintes adições:
1. 2
3y +
3 2;
2. 5 2x2 −
x+1 x ;
3. 2a+3
4a2 +
a+1 6a .
Exercício 53 Efetue, no respetivo domínio, as operações indicadas e, se possível,
simpli-fique o resultado:
1. x x−2 +
2x+1 x+2 −
2x2
x2−4;
2. x2−1
x −
x2
x+1 + 1 x2+x;
3. 2x+1 2x+3 +
2x x−2 −
20+4x 2x2−x−6.
Exercício 54 Calcule os parâmetros A e B de modo que sejam equivalentes, no respetivo
domínio, as expressões: 1. A
x−1 + B x−2 e
3x−4
(x−1)(x−2);
2. Ax−Bxx+−21 e x2x++x2+1.
Exercício 55 Efetue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores da
variável para os quais a simplificação é válida:
1. 2x× x−1 x+3;
2. 3x
2 ×
1−x x−3;
3. x−1 x+3 ×
x+1 x+3;
4. x
4 × −
4 5x3;
5. x2+3x
2−x ×
x2−4
x2−9;
6. 2x x2+2x+1 ×
1−x2
x2 ;
7. x2+4x+4
x−2 ×
x2−4x+4
x+2 .
Exercício 56 Efetue as seguintes divisões, simplifique o resultado e indique os valores dex
para os quais são válidas as operações e as simplificações:
1. (−3x) : 2 x+1;
2. x4−1
x4 :
x2+1
3. x2−25
15x :
x2+10x+25
9x2 ;
4. x2+4x+3
x2−5x+4 :
x+3 x−4.
Exercício 57 Efetue as operações, simplifique o mais possível e indique o domínio de
va-lidade: 1. 2
x −
2 x−2;
2. x−1 x2−1 +
x2−1
x+1 + 3x x−1;
3. x−1 x2−1 ×
x2−1
x+1 × 3x x−1;
4. x2−4
x+2 × x3+3x
x(x+1)×
5x x2−4;
5. x2−9
2x ÷
x2+6x+9
4x2 ;
6. ¡4
x −1
¢2
× x2
x2−16;
7. x−x+1x x x−1+x
.
Exercício 58 Transforme numa fração racional irredutível equivalente cada uma das
ex-pressões racionais seguintes e determine o domínio: 1. ¡2+ 7
x2−4 ¢
:¡1− 3
x+2
¢
;
2. ³ 2 y+3 +
2 y−3
´ ³
y2−9
y2 ´
;
3. 1 1+a
3
+1+12 a+1
+ 1+11 a+2
;
4.
8 (x−3)(x 2−9)+
1 x 2−9+
1 x 2−6 x+9
(1+x−73)2 .
Exercício 59 Simplifique as frações e determine o domínio:
1. x2−y2
x2+2xy+y2;
2. 2a2b−4ab2
a2−4ab+4b2.
Exercício 60 Efetue as operações seguintes e simplifique o resultado. Indique os domínios
de validade: 1. ³1
x −
x x2+xy −
y
(x+y)2 ´
: y
(x+y)2;
2. a2−6ab+9b2
4c2 ·
2ac2+6bc2
a2−9b2 .
Exercício 61 Resolva as seguintes equações algébricas:
1. 2x+4=2;
2. 6−x=2;
4. −3x2 =0;
5. x2 −4x+3=0;
6. x2 −3x=4;
7. x2 −2x+4=0;
8. −3x2+5x=8;
9. x2 +2x+1=0;
10. x2 +6x+9=0;
11. x2 −1=0;
12. 2x2+5=0;
13. 9x2−18=0;
14. −x2+8x=0;
15. 4x2+6x=0;
16. 4x2−4x=−1;
17. x4 −2x2 −8=0;
18. x4 −13x2 +36=0;
19. (3x+1) (2x−5) =0;
20. ¡x2−1¢(4−3x) =0;
21. ¡x3−2x2+x¢ ¡x2+25¢ =0;
22. (x−1)2−(2x−3)2 =0.
Exercício 62 Resolva os seguintes sistemas de equações:
1.
¯
x+y=1
2x+y=3 ;
2.
¯
x+y−12=0
x2+y2 =80 ;
3.
¯
x2+y2−2x =0
x2+y2−8x+12=0 .
Exercício 63 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 4x−1≥−5;
2. 2x− 1
2 < 0;
3. 6−2x ≤2;
Exercício 64 Resolva, em R, as seguintes condições com módulos:
1. |2x−7|=20;
2. ¯¯x2+2x¯¯−3x=0;
3. |x−2|=|1−x|;
4. |x−4|≥2;
5. |2x−1|>−3;
6. |x+3|≤2x;
1.6
Soluções
Solução 1 .
1. −5 6.
2. 31 18.
3. 3 5.
4. −9 4.
5. −1 7.
6. 8.
7. −1 16.
8. −30.
Solução 2 .
1. no irracional.
2. no racional.
3. no irracional.
4. no racional.
5. no racional.
6. no irracional.
Solução 3 .
1. D=R\ {1}.
2. D= [−5,+∞[.
3. D=R\ {2}.
4. D=R.
5. D=R+.
Solução 4 .
1. 7.
2. −1.
Solução 5 .
1. 2.
2. 0.
3. Indeterminado.
Solução 6 .
1. 1+5x2+x3−3x4.
2. 4; incompleto (falta o termo de grau1).
Solução 7 .
1. −x4−5x3+ 2 3x
2−5x.
2. incompleto (falta o termo independente).
Solução 8 .
1. 1+x.
2. x.
Solução 9 .
1. Admite a raiz−1.
2. Admite as raízes −1, 1 e 2.
3. Admite a raiz−1.
Solução 10 .
1. α= 1 2.
2. α1 =−1 e α2 =0.
3. α=1.
4. α1 =−2 e α2 =1.
5. α1 = −1−
√
5
2 e α2 = −
1+√5
2 .
Solução 11 .
1. −x4−2x3−3x2+4x+3.
2. x3 +1 2x
2+3x−1
2.
Solução 12 .
1. 2x3−x2 +4x−1.
2. −2x3−2x2+6x+1.
Solução 13 .
1. 2x4−x3 +2x2−x−2.
2. −2x4+x3−2x2+x+2.
Solução 14 .
1. −x3+x2+13.
2. x3 −3x2 +6x−7.
3. −3x3+x2+4x+3.
Solução 15 .
1. 4x3+10x2 −16x+2.
2. x6 −2x5 +x4−12x2+12x.
3. −2x3+16x2−28x+14.
4. x6 −5x4 +6x3−2x2.
Solução 16 .
1. 3x3−14x2 +14x−4.
2. −3x2−9x−10.
3. 8x3−14x2 +3x.
4. x2 −3x+7.
Solução 17 .
1.
2.
-Solução 18 .
1. 3x2+3x+3.
2. 3x3+10x2 +11x+7.
Solução 19 a=−1 e b=−3.
Solução 20 .
1. q(x) =4x−7 e r(x) =8.
2. q(x) =−x2−1
2x+
1
3 e r(x) = 2 3.
3. q(x) =x3+2x2+5x+1 e r(x) =−3.
4. q(x) =3x3+6x2+11x+22 e r(x) =41.
5. q(x) =x−5 e r(x) =−11x+7.
6. q(x) =x2−x+1 e r(x) =−2.
7. q(x) =3 e r(x) =−1.
8. q(x) =0 e r(x) =x2−5x+1.
9. q(x) =x−23 e r(x) =5x2+ 2 3x−1.
10. q(x) = 32x2− 15
2x+
3
2 e r(x) =− 7 2.
Solução 21 .
4x3 −4x2 3x 25 2x 3
−4x3 −6x2 2x2 −5x +9
−10x2
10x2 15x
18x 25
−18x −27
−2
Solução 22 .
1. q(x) =x3−3x2+8x−27 e r(x) =82.
2. q(x) = x3
4 −
x2
8 −
3
2 e r(x) = 5 2.
3. q(x) =3x+1 e r(x) =6.
4. q(x) =x3−3x2+6x−12 e r(x) =25.
5. q(x) =8x2−4xe r(x) =−1.
Solução 23
-Solução 24 α1 =−3 e α2 =5.
Solução 25 m=2.
Solução 27 .
1. 2.
2. 0.
Solução 28 .
1. q(x) =2x2+x+1
2 e r(x) =− 5 2.
2. q(x) =x3− 23x2+ 7 9x−
14
27 e r(x) = 55 27.
3. q(x) =2x−47 e r(x) = 194.
Solução 29 k=0.
Solução 30 .
1. α=−3.
2. 20.
Solução 31 -Solução 32 .
1.
-2. (x+1)¡x2 +7x−7¢= (x+1)³x−−7−√77 2
´ ³
x− −7+2√77´.
Solução 33 -Solução 34 .
1. (5x−4) (5x+4).
2. 2x(2x+3).
3. ¡x−12¢2.
4. −2x¡x+ 1 2
¢
(x−1).
5. 5t(t+1)¡t−15¢.
6. ¡x+1 2
¢ ¡
8x2−4x+2¢.
Solução 35 .
1. 3(x−1) (x−6).
2. x(x−1) (x+2) (x−2) (x+1).
3. 4¡x− 12¢ ¡x+21¢(3x−1) (3x+1).
Solução 36 .
1. k=−2.
2. 2(x−2)¡x+ 1 2
¢
.
Solução 37 5x2+30x+45.
Solução 38 .
1. a=−11 e b=10.
2. −5 2; 2
¡
x+ 5
2
¢
(x−1) (x−2).
Solução 39 .
1. B(x) =x2−5x+6.
2. A(x) = (x−1) (x−2) (x−3).
Solução 40 .
1.
-2. 4(x+1)3¡x−1 2
¢2
.
Solução 41 a=−2 e b=1 ou a=2 e b=−1.
Solução 42 k=3, m=−2 e n=1.
Solução 43 a=2, b=−3 e c=±4.
Solução 44 c=12, α1 =−32 e α2 = 23.
Solução 45 .
1. m=−9.
2. (x−1) (x−2)2(2x+1).
Solução 46 a=−3 e b=0.
Solução 47 m=9.
Solução 48 1 e 2.
Solução 49 .
1. D=R\ {1}.
2. D=R\ {−3, 1}.
3. D=R\ {−4,−3, 3}.
4. D=R\ {−1, 0}.
5. D=R.
Solução 50 .
1. x+1, D=R\ {1}.
2. 3(x+1)
2 , D=R.
3. x
x−1, D=R\ {1}.
4. x2 −3, D=R.
5. x−2
2x2, D=R\ {−1, 0}.
6. x−2
x , D=R\ {−2, 0}.
7. 1
x−1, D=R\ {1, 4}.
8. x−3
(x−1)(x−2), D=R\ {−1, 1, 2}.
9. x2−6x−3
x(2x−1), D=R\
©
0,12, 1ª.
10. (x−1)(x+1)
x2+4 , D=R\ {−2, 2}.
Solução 51 .
1. DA =R\ {2}, DB =R\ {−1, 0} e DC =R\ {−2}.
2. A+B= 4x3+x2−4x+8
x(x+1)(x−2) , ABC=3 e
(C B)
x+A = x+1
(x+2)2.
Solução 52 .
1. 4+9y
6y , D =R\ {0}.
2. 5−2x−2x2
2x2 , D=R\ {0}.
3. 2a2+8a+9
12a2 , D=R\ {0}.
Solução 53 .
1. x+1
x+2, D=R\ {−2, 2}.
2. x−1
x+1, D=R\ {−1, 0}.
3. 6x+11
2x+3, D=R\ ©
−3 2, 2
ª .
Solução 54 .
1. A=1 e B=2.
Solução 55 .
1. 2x2−2x
x+3 , D=R\ {−3}.
2. 3x−3x2
2x−6 , D=R\ {3}.
3. x2−1
x2+6x+9, D=R\ {−3}.
4. −1
5x2, D =R\ {0}.
5. x(x+2)
3−x , D=R\ {−3, 2, 3}.
6. 2−2x
x(x+1), D=R\ {−1, 0}.
7. x2 −4, D=R\ {−2, 2}.
Solução 56 .
1. −3x2+3x
2 , D=R\ {−1}.
2. 3x2−3
x3 , D=R\ {0}.
3. 3x2−15x
5x+25 , D=R\ {−5, 0}.
4. x+1
x−1, D=R\ {−3, 1, 4}.
Solução 57 .
1. − 4
x2−2x, D=R\ {0, 2}.
2. x(x2x+2−2x1+3), D=R\ {−1, 1}.
3. 3x
x+1, D=R\ {−1, 1}.
4. (5xx+(1x)(2x++3)2), D=R\ {−2,−1, 0, 2}.
5. 2x(x−3)
x+3 , D=R\ {−3, 0}.
6. x−4
x+4, D=R\ {−4, 0, 4}.
7. x−1
x+1, D=R\ {−1, 0, 1}.
Solução 58 .
1. 2x2−1
x2−3x+2, D=R\ {−2, 1, 2}.
2. 4
y, D=R\ {−3, 0, 3}.
3. 2, D=R\ {−3,−2,−1}.
4. 2
Solução 59 .
1. x−y x+y, D=
©
(x, y)∈R2 :y6=−xª.
2. 2ab
a−2b, D= ©
(a, b)∈R2 :a6=2bª.
Solução 60 .
1. y
x, D=
©
(x, y)∈R2 :x6=0∧x+y6=0ª.
2. a−3b
2 , D=
©
(a, b, c)∈R3 :c6=0∧a−3b6=0∧a+3b6=0ª.
Solução 61 .
1. C.S.={−1}.
2. C.S.={4}.
3. C.S.=©13ª.
4. C.S.={0}.
5. C.S.={1, 3}.
6. C.S.={−1, 4}.
7. C.S.=∅.
8. C.S.=∅.
9. C.S.={−1}.
10. C.S.={−3}.
11. C.S.={−1, 1}.
12. C.S.=∅.
13. C.S.=−√2,√2®.
14. C.S.={0, 8}.
15. C.S.=©−3 2, 0
ª .
16. C.S.=©1 2
ª .
17. C.S.={−2, 2}.
18. C.S.={−3,−2, 2, 3}.
19. C.S.=©−13,52ª.
21. C.S.={0, 1}.
22. C.S.=©43, 2ª.
Solução 62 .
1. C.S.={(2,−1)}.
2. C.S.={(4, 8),(8, 4)}.
3. C.S.={(2, 0)}.
Solução 63 .
1. C.S.= [−1,+∞[.
2. C.S.=¤−∞,14£.
3. C.S.= [2,+∞[.
4. C.S.=¤−∞,−11 2
£
.
Solução 64 .
1. C.S.=©−13 2 ,
27 2
ª .
2. C.S.={0, 1}.
3. C.S.=©32ª.
4. C.S.= ]−∞, 2]∪[6,+∞[.
5. C.S.=R.
6. C.S.= [3,+∞[.
2
Geometria no Plano
2.1
Vetores no Plano
Definição 24 O referencial cartesiano ortogonal associado a um plano é constituido
por dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam na origem. Ao eixo horizontal dá-se o nome de eixo das abcissas (eixo xx ou eixo OX), onde é representada a variável
independente x. Ao eixo vertical dá-se o nome de eixo das ordenadas (eixo yy ou eixo OY), onde é representada a variável dependente y. A cada um dos eixos está associado o
conjunto de todos os números reais (R). Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
denominadas quadrantes, cujos os nomes são indicados no sentido anti-horário.
Define-se ponto do plano como sendo um par ordenado de números reais, P = (x, y), em
que a 1a coordenada se designa de abcissa e a 2a coordenada se designa de ordenada.
0 x
y
Eixo das Abscissas Eixo das Ordenadas
1º Quadrante 2º Quadrante 4º Quadrante 3º Quadrante 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1
P = (2,1)
0 x
y
Eixo das Abscissas Eixo das Ordenadas
1º Quadrante 2º Quadrante 4º Quadrante 3º Quadrante 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1
P = (2,1)
Figura 1: Referencial cartesiano ortogonal
Definição 25 Um vetor −→u é um ente matemático que representa um movimento ou uma
força, sendo caracterizado por uma direção, um sentido e um comprimento. Este é re-presentado no plano através de um segmento de reta orientado −OP→ com origem no ponto O= (0, 0) e com extremidade no ponto P= (x, y), ou seja, −→u =−OP.→
x y P=(x,y) O=(0,0) u G x y P=(x,y) O=(0,0) u G
Definição 26 Um vetor que tenha comprimento 1 é denominado vetor unitário.
Definição 27 Um referencial (0,−→e ,−→f) diz-se ortonormado (o.n.) se os vetores −→e e
−
→f forem perpendiculares e unitários.
O y x f JG e G uG 1 u 2 u O y x f JG e G uG 1 u 2 u
Neste referencial as coordenadas de um vetor −→u são (u1, u2), sendo este definido por
−
→u =u1−→e +u2−→f , onde u1−→e e u2−→f são as suas componentes.
Definição 28 Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois pontos
A = (a1, a2) e B = (b1, b2), o vetor −AB→ é definido pela diferença entre os dois pontos,
isto é −→
