Disserta¸ c˜ ao de Mestrado

Disserta¸ c˜ ao de Mestrado

M´ etodo Variacional de Bogoliubov Aplicado a Modelos de Spins:

Ising e Blume-Capel

Rejane Alves de Brito

Jo˜ ao Pessoa - UFPB

Mar¸ co - 2017

Rejane Alves de Brito

M´ ETODO VARIACIONAL DE BOGOLIUBOV APLICADO A MODELOS DE SPINS:

Ising e Blume-Capel

Trabalho apresentado ao Programa de P´ os-gradua¸ c˜ ao em F´ısica do Departamento de F´ısica da Universidade Fed- eral da Para´ıba como requisito parcial para obten¸ c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.

Orientador: Dr. Jo˜ ao Antˆ onio Plascak.

Jo˜ ao Pessoa - PB

21 de setembro de 2017

B862m Brito, Rejane Alves de.

Método variacional de Bogoliubov aplicado a modelos de spins: Ising e Blume-Capel. / Rejane Alves de Brito. - João Pessoa, 2017.

52 f. : il. -

Orientador: João Antônio Plascak.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Física. 2. Modelo de Ising. 3. Blume-Capel. 4.

Desigualdade de Bogoliubov. 5. Campo médio. I. Título.

UFPB/BC CDU: 53(043)

Ata da Sessão Pública da Defesa de Dissertação de Mestrado da aluna Rejane alves de Brito, candidata ao Título de Mestre cm Física na Área de Concentração Física da Matéria Condensada.

I trég dion do mês dc março do ano de dois mil e dezessete, às 10h00, na sala de 2 rcuníóct' do Dcpartatncnto dc Física do Centro de Ciências Exatas e da Natureza da 3 Univcrnidadc Fcdcral da Paraíba, reuniram-se os membros da Banca Examinadora 4 conntítuída para czarninar a candidata ao grau de Mestre em Física na área de Física da 5 Matéria Condengada, Rejane alvcs dc Brito. A comissão examinadora composta pelos (o proí'ennor(-"' doutores; João António Plascak (DF/UFPB), orientador e presidente da 7 banca cxaminadora, Knut Bakkc Filho (DF[UFPB) e Luciano Rodrigues da Silva 8 (tJFRN), Dando início aos trabalhos, o Prof. João António Plascak comunicou aos 9 prcwntcg a finalidade da reunião. A seguir, passou a palavra a candidata para que a IO melóma oralmente, a exposição do trabalho de dissertação intitulado "Método varlae/ona/ de Bogoliu/oov aplicado a modelos de spins: Ising e Blume-Capet'.

12 Concluída a cxposiçno, a candidata foi arguida pela Banca Examinadora que emitiu o 13 weguintc parecer: "aprovada". Assim sendo, deve a Universidade Federal da Paraíba

expedir o respectivo diploma de Mestre em Física na forma da lei. E para constar, eu, 15 Danilo Wilwon Lemos Menezes, lavrei esta ata que vai assinada por mim e pelos 16 membros da Banca Examinadora. João Pessoa, 03 de março de 2017,

17

Prof. Dr. João António Plascak

Orientador - UFPB

Prof. Dr. Knut Bakke Filho

UFPB

Prof, Dr. Luciano Rodrigues da Silva

UFRN

Lic. Danilo Wilson Lemos Menezes

Técnico CDI Assuntos Educacionais

AGRADECIMENTOS

Ao professor Plascak pelos conhecimentos transmitidos, pela paciˆ encia na orienta¸ c˜ ao e pelo exemplo de profissional e de pessoa.

Aos meus pais, que sempre estiveram comigo em todos os momentos, me apoiando e aconselhando, e que lutam constantemente para me ver feliz.

Aos meus amigos, que sempre acreditaram em mim.

Ao CNPQ pelo apoio financeiro.

RESUMO

Os modelos de Ising de spin-1/2 e spin-1, e o de Blume-Capel de spin-1 foram estudados em redes de uma, duas e trˆ es dimens˜ oes. Foi empregado o m´ etodo

variacional baseado na desigualdade de Bogoliubov para a energia livre. Os hamiltonianos tentativa utilizados consistem em blocos de spins livres, de pares de

spins, e da combina¸c˜ ao de spins livres mais pares de spins. Para as trˆ es aproxima¸c˜ oes, foram obtidas as quantidades termodinˆ amicas de interesse, bem como a temperatura cr´ıtica e o comportamento perto da transi¸c˜ ao, neste ´ ultimo caso para se obter os respectivos expoentes cr´ıticos. Os resultados foram comparados entre si, bem como com os resultados exatos, quando dispon´ıveis, ou provenientes de outras

aproxima¸c˜ oes mais elaboradas. Verifica-se que a medida que se incorpora mais intera¸c˜ oes nos hamiltonianos tentativa, melhores resultados s˜ ao obtidos para a temperatura de transi¸c˜ ao, embora os expoentes cr´ıticos continuem sempre sendo os

mesmo de campo m´ edio usual.

Palavras-Chave: Modelo de Ising,Blume-Capel,desigualdade de Bogoliubov, campo

m´ edio.

ABSTRACT

The spin-1/2 and spin-1 Ising models, as well as the spin-1 Blume-Capel model have been studied in one-, two-, and three-dimensional lattices. A variational method based on Bogoliubov inequality for the free-energy has been employed. The trial Hamiltonians consist of clusters of free spins, pairs of spins, and a combination of free spins and pairs of spins. For the three approximations, the thermodynamic quantities of interest have been calculated, together with the critical transition temperature and

the behavior close to the transition, in the latter case in order to compute the corresponding critical exponents. The results have been compared to each other as

well with exact results, when available, or results coming from more reliable approximate methods. It has been noted that as more interactions are taken into

account in the trial Hamiltonian, better results are obtained for the transition temperature, although the critical exponents are always the mean field like ones.

Keywords: Ising Model,Blume-Capel,Bogoliubov inequality, mean field.

´Indice

´Indice . . . . 7

1 INTRODUC ¸ ˜ AO . . . . 1

2 DESIGUALDADE DE BOGOLIUBOV . . . 11

2.1 Desigualdade de Bogoliubov no caso Cl´ assico . . . . 11

3 MODELO DE ISING - ESTUDO PELO M´ ETODO VARIACIONAL DE BOGOLIUBOV . . . . 15

3.1 Caso S = 1/2 . . . . 16

3.1.1 Aproxima¸c˜ ao de spins livres . . . . 16

3.1.2 Aproxima¸c˜ ao de pares de spins . . . . 20

3.1.3 Aproxima¸c˜ ao de spins livres mais pares de spins . . . . 22

3.1.4 Compara¸c˜ ao das diversas aproxima¸c˜ oes para o caso S = 1/2 . . . . 24

3.2 Caso S = 1 . . . . 25

3.2.1 Aproxima¸c˜ ao de spins livres . . . . 25

3.2.2 Aproxima¸c˜ ao de pares de spins . . . . 27

3.2.3 Aproxima¸c˜ ao de spins livres mais pares de spins . . . . 29

3.2.4 Compara¸c˜ ao das diversas aproxima¸c˜ oes para o caso S = 1 . . . . . 33

4 MODELO DE BLUME-CAPEL - ESTUDO PELO M´ ETODO VARIACIONAL DE BOGOLIUBOV . . . . 35

4.1 Aproxima¸ c˜ ao de spins livres . . . . 35

4.2 Aproxima¸ c˜ ao de pares de spins . . . . 37

4.3 Aproxima¸ c˜ ao de spins livres mais pares de spins . . . . 39

4.4 Compara¸ c˜ ao das diversas aproxima¸ c˜ oes para o modelo de Blume-Capel . . . . 43

5 CONCLUS ˜ OES . . . . 49

6 REFERˆ ENCIAS . . . 51

1 Introdu¸c˜ ao

Transi¸c˜ oes de fase s˜ ao fenˆ omenos f´ısicos que ocorrem em um grande n´ umero de sistemas naturais, nos quais a varia¸c˜ ao de um ou mais paramˆ etros externos leva a

mudan¸cas bastante sens´ıveis nas caracter´ısticas, tanto macrosc´ opicas como microsc´ opicas, do sistema. Como exemplo mais simples podemos citar a passagem de uma substˆ ancia pura do estado s´ olido para o estado l´ıquido, do l´ıquido para o gasoso, ou mesmo do s´ olido para o gasoso. Outros exemplos, que podem ser citados, s˜ ao: a

transi¸c˜ ao entre duas fases ferromagn´ eticas distintas; a passagem cont´ınua de uma fase paramagn´ etica para uma fase ferromagn´ etica ` a temperatura de Curie em alguns

metais e ligas met´ alicas; as transi¸c˜ oes de fase em estruturas cristalinas, com a passagem de uma estrutura a outra; a ocorrˆ encia, no

He l´ıquido, de uma transi¸c˜ ao entre o chamado estado I de fluidez normal e o estado II, no qual n˜ ao h´ a viscosidade e o l´ıquido ´ e considerado superfluido; tamb´ em podemos citar a passagem do estado de condutividade normal para um estado de supercondutividade em alguns metais, etc.

(veja, por exemplo, referˆ encias [1-3]).

Do ponto de vista da termodinˆ amica, cada fase de um sistema pode ser descrita, no equil´ıbrio, por um potencial termodinˆ amico adequado, comumente chamado de energia livre, que ´ e fun¸c˜ ao das vari´ aveis termodinˆ amicas apropriadas e utilizadas para

descrever o sistema [2, 3]. Em equil´ıbrio, um sistema termodinˆ amico tende para o estado de m´ınima energia livre. Portanto, de acordo com os valores das vari´ aveis para

as quais o sistema possui m´ınima energia livre, podemos dizer em qual fase ele se encontra. Quando a energia livre de duas ou mais fases s˜ ao iguais, elas podem coexistir em um ponto, numa linha, ´ area, ou mesmo num hipervolume do diagrama

de fases. O diagrama de fases, por sua vez, ´ e constru´ıdo no espa¸co termodinˆ amico, isto ´ e, no espa¸co n-dimensional gerado pelas n vari´ aveis termodinˆ amicas do sistema

(p.e., num fluido contido num recipiente fechado, temos a press˜ ao, volume e temperatura como vari´ aveis termodinˆ amicas).

A regi˜ ao de coexistˆ encia pode ser expressa pela regra de fase de Gibbs [3,4], que relaciona o n´ umero de graus de liberdade com a quantidade de fases e o n´ umero de

componentes presente no sistema. Por graus de liberdade entende-se as vari´ aveis

independentes externamente control´ aveis, tais como, temperatura, press˜ ao e

composi¸c˜ ao, campo externo, etc. Ent˜ ao, dadas a quantidade de vari´ aveis externas e a quantidade de componentes, pode-se dizer quantas fases h´ a no sistema e ter-se uma ideia qualitativa do respectivo diagrama de fases (uma discuss˜ ao detalhada da regra

de fases de Gibbs encontra-se nas referˆ encias [3,4]).

As mudan¸cas de uma fase para outra n˜ ao s˜ ao todas do mesmo tipo. Por exemplo, as passagens entre fases que s˜ ao acompanhadas pela liberac˜ ao ou absor¸c˜ ao de uma quantidade de calor, chamado calor latente, e apresentam uma descontinuidade em certas vari´ aveis extensivas, como entropia e volume, s˜ ao denominadas transic˜ oes de fase de primeira ordem. O calor latente est´ a relacionado com mudan¸cas no arranjo atˆ omico ou molecular do sistema que ocorrem quando passamos de uma fase ` a outra,

por exemplo, quando a ´ agua se liquefaz h´ a uma libera¸c˜ ao de calor latente e h´ a uma mudan¸ca no distanciamento m´ edio das mol´ eculas. Por outro lado, existem transi¸c˜ oes

em que n˜ ao se tem o calor latente e nem descontinuidade nas vari´ aveis extensivas.

Nesse caso, essas transi¸c˜ oes s˜ ao chamadas de segunda ordem.

De acordo com o que foi descrito acima, as transi¸c˜ oes podem ent˜ ao ser classificadas em dois tipos distintos: de primeira ordem ou de segunda ordem, que tamb´ em podem

ser chamadas de descont´ınuas ou cont´ınuas, respectivamente. Em transi¸c˜ oes de primeira ordem, al´ em da existˆ encia do calor latente comentado no par´ agrafo anterior,

h´ a um salto em uma ou mais grandezas extensivas como volume, entropia, magnetiza¸c˜ ao, etc. Por exemplo, no caso da ebuli¸c˜ ao de um fluido, temos uma descontinuidade no volume, e por conseguinte, uma descontinuidade na densidade.

Outros tipos de transi¸c˜ oes n˜ ao envolvem a absor¸c˜ ao ou libera¸c˜ ao de calor latente, mas s˜ ao descritas por meio de mudan¸cas cont´ınuas nas grandezas extensivas do sistema.

No diagrama de fases de um fluido, no plano press˜ ao versus temperatura, isto se d´ a no fim da curva de coexistˆ encia l´ıquido-vapor, onde a diferen¸ca de densidades vai

continuamente a zero, e se anula no ponto chamado de ponto cr´ıtico, que ´ e onde ocorre a transi¸c˜ ao de segunda-ordem. Fenˆ omeno similar acontece no caso de um sistema magn´ etico, no plano campo externo versus temperatura. A Figura 1 ilustra, esquematicamente, os respectivos diagramas de fases de uma substˆ ancia pura e de um ferromagneto simples nos planos campos versus temperatura. No caso do fluido, al´ em do ponto cr´ıtico na linha da coexistˆ encia ente as fases l´ıquida e gasosa, temos um ponto triplo, onde as trˆ es fases, gasosa, l´ıquida e s´ olida, coexistem. N˜ ao se tem um

ponto cr´ıtico na linha de coexistˆ encia das fases l´ıquida e s´ olida, provavelmente por

impedimentos de simetria entre as mesmas. Notamos, ainda, uma grande similaridade nas transi¸c˜ oes de fases entre o l´ıquido e o g´ as, e nas transi¸c˜ oes entre as duas fases ordenadas ferromagneticamente. No caso magn´ etico, para campo nulo, as duas fases

com orienta¸c˜ oes de spins opostas coexistem para temperaturas T menores que a temperatura cr´ıtica T

.

(a) (b)

Figura 1 – D iagrama de fases (a) no plano pT para um fluido simples, e (b) no plano HT para um ferromagneto. T

´ e a temperatura cr´ıtica. No caso do fluido, temos um ponto triplo. No caso magn´ etico, as setas indicam as orienta¸coes de spins ao longo do campo externo. As curvas pontilhadas mostram que se pode ir de uma fase a outra sem nenhuma anomalia na energia livre.

Figura retirada de [1].

Para cada sistema, pode-se definir um paramˆ etro apropriado para descrever as diferentes fases. Por exemplo, nas transi¸co˜ es da fase ferromagn´ etica para a fase paramagn´ etica, o paramˆ etro apropriado ´ e a magnetiza¸c˜ ao m´ edia do sistema; no caso da transi¸c˜ ao l´ıquido-vapor, que ocorre ao longo da curva de coexistˆ encia l´ıquido-vapor

do diagrama de fases, o parˆ ametro apropriado ´ e a diferen¸ca entre as respectivas densidades. Estas grandezas s˜ ao chamadas parˆ ametros de ordem e podem dar uma descri¸c˜ ao melhor do tipo de transi¸c˜ ao de fase: quando h´ a um salto no parˆ ametro de

ordem, h´ a uma transi¸c˜ ao de primeira ordem; quando h´ a uma mudan¸ca cont´ınua no paramˆ etro de ordem, h´ a uma transi¸c˜ ao de segunda ordem. Em cada caso, a fase desordenada ´ e caracterizada por um parˆ ametro de ordem nulo, e a fase ordenada por

um parˆ ametro de ordem diferente de zero.

As transi¸c˜ oes de segunda ordem s˜ ao interessantes de serem estudadas por

apresentarem comportamentos bem peculiares na regi˜ ao cr´ıtica. Para fluidos,

observa-se nesta regi˜ ao que as flutua¸c˜ oes da densidade geram aglomerados de todos os tamanhos, inclusive dos tamanhos da faixa que corresponde ao vis´ıvel. Tais aglomerados provocam forte espalhamento da luz, caracterizando o fenˆ omeno da opalescˆ encia cr´ıtica. Esse fenˆ omeno foi primeiramente relatado por Thomas Andrews em experimentos com di´ oxido de carbono. Similarmente, nos materiais magn´ eticos, os

dom´ınios com orienta¸c˜ oes opostas de spin, que coexistem ao longo da linha de transi¸c˜ ao de fase, formam aglomerados de todos os tamanhos na regi˜ ao cr´ıtica, e que

podem ser observados atrav´ es de experiˆ encias de espalhamento de neutrons.

Para tentar explicar as transi¸c˜ oes cont´ınuas em fluidos, van der Waals desenvolveu uma equa¸c˜ ao fenomenol´ ogica, a partir da equa¸c˜ ao de Boyle para os gases ideais, levando em conta o volume ocupado pelas mol´ eculas e a for¸ca de atra¸c˜ ao entre as mesmas [1,2,4]. Ele conseguiu obter os valores cr´ıticos de press˜ ao, temperatura e volume em fun¸c˜ ao de paramˆ etros fenomenol´ ogicos. Similarmente, Weiss desenvolveu

uma teoria para materiais que apresentam transi¸c˜ oes de fase magn´ eticas, na qual considera-se um campo m´ edio provocado por todas as part´ıculas atuando sobre cada s´ıtio [1,2,4]. Estas teorias fornecem uma explica¸c˜ ao qualitativa dos fenomˆ enos cr´ıticos, mas n˜ ao d˜ ao uma descri¸c˜ ao quantitativa dos mesmos. Esses resultados s˜ ao conhecidos

como cl´ assicos, ou de campo m´ edio.

Uma caracter´ıstica marcante nas transi¸c˜ oes cont´ınuas reside no fato dos respectivos paramˆ etros de ordem de fluidos simples e ferromagnetos apresentarem

comportamentos cr´ıticos muito similares. Em outras palavras, as fun¸c˜ oes que os descrevem possuem o mesmo comportamento assint´ otico perto da temperatura de transi¸c˜ ao. Tal comportamento pode ser expresso por uma lei de potˆ encia com um

expoente, em geral, n˜ ao inteiro.

No caso do parˆ ametro de ordem, que designaremos por m, pois iremos tratar basicamente de sistemas magn´ eticos, tal comportamento pr´ oximo ` a transi¸c˜ ao pode

ser descrito por

m = B (−)

, (1.1)

sendo B uma constante n˜ ao universal e = (T − T

)/T

. β ´ e o chamado expoente cr´ıtico correspondente ao parˆ ametro de ordem. Naturalmente, outras grandezas, como

calor espec´ıfico, susceptibilidade, compressibilidade, fun¸c˜ oes de correla¸c˜ ao, etc.

possuem seus respectivos comportamentos assint´ oticos. Portanto, o conjunto desses expoentes cr´ıticos determinam o comportamento termodinˆ amico do sistema perto da

criticalidade.

Como iremos obter alguns expoentes cr´ıticos usando um tipo de aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio, vamos definir abaixo os expoentes da susceptibilidade magn´ etica a campo nulo e do calor espec´ıfico a campo externo constante. As defini¸c˜ oes dos

restantes dos expoentes podem ser vistos nas referˆ encias [1] e [2]. No caso da susceptibilidade magn´ etica χ, a campo nulo, temos o seguinte comportamento

assimpt´ otico perto da transi¸c˜ ao

χ ∼

( (−)

[T < T

, H = 0]

[T > T

, H = 0] , (1.2)

onde os correspondentes expoentes cr´ıticos γ e γ

, abaixo e acima de T

, respectivamente, s˜ ao iguais.

O comportamento assimpt´ otico do calor espec´ıfico, a campo magn´ etico constante, ´ e dado por

C

∼

( (−)

[T < T

, H = 0]

[T > T

, H = 0] , (1.3)

onde os expoentes cr´ıticos do calor espec´ıfico α e α

s˜ ao tamb´ em iguais.

Ocorre ent˜ ao de diferentes sistemas, do ponto de vista microsc´ opico, possuirem o mesmo conjunto de expoentes cr´ıticos. Quando isso ocorre, diz-se que eles pertecem a

mesma classe de universalidade. Na verdade, o que determina a qual classe de

universalidade pertence um determinado sistema s˜ ao a dimens˜ ao espacial em que ele se encontra, o n´ umero de componentes do paramˆ etro de ordem e o alcance das intera¸c˜ oes entre as part´ıculas [2]. Por exemplo, no modelo de Ising tridimensional, usado para descrever um material ferromagn´ etico simples, o paramˆ etro de ordem ´ e a

magnetiza¸c˜ ao m´ edia por spin, com somente uma componente, e as intera¸c˜ oes s˜ ao entre primeiros vizinhos, ou seja, de curto alcance; no caso de um fluido simples, ele tamb´ em se encontra distribu´ıdo tridimensionalmente, o seu paramˆ etro de ordem ´ e a diferen¸ca de densidades, representada por um escalar, e as intera¸c˜ oes s˜ ao de curto

alcance. Sendo assim, estes dois sistemas referidos pertencem ` a mesma classe de universalidade. V´ arios trabalhos te´ oricos, bem como experimentais, confirmam esse

resultado. Outro exemplo de classe de universalidade ´ e o modelo XY , no qual se encaixam materias magn´ eticos com magnetiza¸c˜ ao planar e transi¸c˜ oes de fluidos

normais para superfluidos [2].

Outro aspecto importante, a respeito da criticalidade, s˜ ao as rela¸c˜ oes que existem entre os expoentes cr´ıticos. Por exemplo, existem alguns conjuntos de inequa¸c˜ oes

relacionando expoentes cr´ıticos de um mesmo sistema, e que s˜ ao, em maioria, derivadas simplesmente de argumentos termodinˆ amicos [1]. ´ E poss´ıvel mostrar, a

partir da chamada hip´ otese de escala, que foi proposta por Widom, que estas inequa¸c˜ oes tornam-se na verdade equa¸c˜ oes, e que o n´ umero de equa¸c˜ oes realmente independentes ´ e bem menor que o n´ umero total de rela¸c˜ oes obtidas entre os expoentes

cr´ıticos. Em tal hip´ otese assume-se que a energia livre seja uma fun¸c˜ ao homogˆ enea generalizada das vari´ aveis das quais ela depende. Existe um n´ umero muito abrangente de resultados de modelos, bem como evidˆ encias experimentais, que

corroboram a hip´ otese de escala de Widom.

Em paralelo com os resultados experimentais e teorias fenomenol´ ogicas, modelos te´ oricos foram tamb´ em propostos para a descri¸c˜ ao das transi¸c˜ oes cont´ınuas. No caso

magn´ etico, um modelo que descreve simplificadamente um ferromagneto ´ e o conhecido modelo de Ising, proposto por Lenz em 1925 como problema de tese de doutorado para seu aluno, Ernest Ising [5]. Neste modelo, cada part´ıcula, possuindo

um spin σ, ocupa um s´ıtio da rede e interage unicamente com os vizinhos mais

pr´ oximos, sendo que o hamiltoniano pode ser escrito como

H

= −J X

hi,ji

σ

σ

− H

N

X

i=1

σ

, (1.4)

onde J ´ e a energia de troca entre os spins primeiros vizinhos, a primeira soma se estende sobre os vizinhos mais pr´ oximos hi, ji, N ´ e o n´ umero de s´ıtios da rede, σ

representa o spin que pode ter valores σ

= −S, −S + 1, ..., S − 1, S, e H ´ e o campo

magntico externo.

A solu¸c˜ ao encontrada por Ising no caso unidimensional para spin-1/2, isto ´ e S = 1/2, n˜ ao apresenta transi¸c˜ ao de fase, o que o levou a pensar tamb´ em n˜ ao haver transi¸c˜ ao em dimens˜ oes maiores. Entretanto, em 1944 Onsager apresentou a solu¸c˜ ao do modelo de Ising bidimensional de spin-1/2 na ausˆ encia de campo externo, a qual apresenta

transi¸c˜ ao de fase, contrariando a conclus˜ ao original de Ising. A solu¸c˜ ao exata bidimensional colocou o modelo de Ising como um dos mais importantes da Mecˆ anica Estat´ıstica de equil´ıbrio. Por outro lado, para o modelo tridimensional, bem como o bidimensional para S ≥ 1 ou campo externo n˜ ao nulo, ainda n˜ ao foram encontradas solu¸c˜ oes exata e a temperatura cr´ıtica s´ o pode ser obtida por meio de aproxima¸c˜ oes,

tanto anal´ıticas como computacionais. Nos casos em que o modelo apresenta transi¸c˜ ao, tem-se um estado ordenado para temperaturas menores que a temperatura

cr´ıtica e um estado desordenado para temperaturas maiores que a cr´ıtica.

Uma generaliza¸c˜ ao do modelo de Ising ´ e o conhecido modelo de Blume-Capel [6, 7], que tamb´ em tem sido muito estudado na literatura. Trata-se de um modelo similar ao modelo de Ising, modificado com a adi¸c˜ ao de um termo de anisotropia cristalina, e

cujo hamiltoniano pode ser escrito como

H

= −J X

hi,ji

σ

σ

− H

N

X

i=1

σ

+ ∆

N

X

i=1

σ

, (1.5)

onde a ´ ultima somat´ oria representa a energia do campo cristalino ∆ e os demais termos remetem ao hamiltoniano do modelo de Ising. O caso σ = ±1/2 retoma o hamiltoniano de Ising acrescido de uma constante, o que n˜ ao muda em nada a f´ısica do modelo. Para o caso em que os estados de spin s˜ ao σ

= 0, ±1, este hamiltoniano foi proposto inicialmente por Blume e Capel [6, 7] para tratar, n˜ ao somente de forma

mais real´ıstica sistemas magn´ eticos, como tamb´ em tem sido usado para modelar

misturas de He

− He

em baixas temperaturas. Tal como no modelo de Ising, n˜ ao

h´ a transi¸c˜ ao de fase no modelo de Blume-Capel no caso unidimensional, mas h´ a transi¸c˜ ao tanto no caso bidimensional quanto no tridimensional. Nesses casos, o modelo apresenta uma linha de transi¸c˜ ao de fase de segunda ordem (nos respectivos diagramas de fases T versus ∆/J ) para ∆/J pequeno, mas que se torna de primeira ordem para ∆/J perto do valor d, sendo d ´ e a dimens˜ ao espacial da rede. O ponto de encontro destas linhas de primeira e segunda ordem chama-se ponto tr´ıcritico, pois

neste ponto do diagrama, as duas fases ordenadas e a fase desordenada se tornam indistingu´ıveis (veja, por exemplo, referˆ encia [8]). Pontos tr´ıcriticos s˜ ao observados

em v´ arios experimentos f´ısicos, para citar alguns: misturas de He

− He

, cristais l´ıquidos, materiais ferroel´ etricos, na liquefa¸c˜ ao do grafite, entre outros [9].

Como solu¸c˜ oes exatas de modelos em Mecˆ anica Estat´ıstica s˜ ao muito raras, v´ arias t´ ecnicas aproximadas foram desenvolvidas para se obter o comportamento termodinˆ amico dos mesmos, ainda que de forma qualitativa. Uma dessas t´ ecnicas ´ e a chamada aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio, que j´ a foi brevemente discutida acima. Ela, em resumo, trata um s´ıtio da rede como estando na presen¸ca de um campo efetivo, campo esse provocado pelos seus s´ıtios vizinhos. Isso significa que as flutua¸c˜ oes s˜ ao totalmente desprezadas, justamente as flutua¸c˜ oes que se tornam muito importantes

perto da regi˜ ao cr´ıtica.

Embora existam v´ arios procedimentos para se tratar uma aproxima¸c˜ ao tipo campo m´ edio, ela pode ser obtida, de forma bem elegante, e sem riscos de erros anal´ıticos, utilizando-se um m´ etodo variacional baseado na desigualdade de Bogoliubov. Com esse aparato, pode-se inclusive melhorar os resultados obtidos, bastando simplesmente incluir mais intera¸c˜ oes no chamado hamiltoniano tentativa e, de certa forma, incluir

algumas flutua¸c˜ oes nos estados de spin.

O objetivo dessa disserta¸c˜ ao ´ e justamente estudar os modelos de Ising e de Blume-Capel, descritos acima, segundo uma t´ ecnica aproximada de campo m´ edio, adotando o esquema da desigualdade de Bogoliubov. Consideraremos hamiltonianos tentativa de spins simples, pares de spins, e uma mistura de pares e spins livres. Os resultados ser˜ ao comparados com os exatos, quando dipon´ıveis (isto ´ e, com os obtidos

em redes de baixa dimensionalidade), ou com outros resultados provenientes de m´ etodos mais sofisticados.

O esquema da presente disserta¸c˜ ao ser´ a da seguinte maneira. No pr´ oximo cap´ıtulo, o

procedimento da desigualdade de Bogoliubov ser´ a apresentado no caso cl´ assico. No

cap´ıtulo 3 discutiremos os resultados para o modelo de Ising de spin-1/2 e spin-1, enquanto que no cap´ıtulo 4, apresentamos os resultados para o modelo de Blume-Capel de spin-1. A ˆ enfase ´ e dada na obten¸c˜ ao da temperatura de transi¸c˜ ao, sendo que alguns dos expoentes cr´ıticos ser˜ ao obtidos somente para a aproxima¸c˜ ao de um spin no modelo de Ising de spin-1/2. Algumas conclus˜ oes ser˜ ao discutidas no

´

ultimo cap´ıtulo.

2 Desigualdade de Bogoliubov

Como visto no cap´ıtulo anterior, as teorias fenomenol´ ogicas de campo m´ edio, que foram desenvolvidas inicialmente para descrever as transi¸c˜ oes de fase de segunda

ordem, s˜ ao limitadas, pois consideram que as intera¸c˜ oes entre as part´ıculas s˜ ao sempre as mesmas para qualquer parte do sistema. Dito de outro modo, isso equivale

a considerar intera¸c˜ oes possuindo alcance infinito. Tais teorias levam a resultados cujos valores dos expoentes cr´ıticos independem da dimensionalidade da rede e do n´ umero de componentes do respectivo parˆ ametro de ordem, obviamente em desacordo

com o que se espera do ponto vista te´ orico, bem como em desacordo com os dados experimentais. Al´ em do mais, resultados exatos em modelos estat´ısticos s˜ ao muito poucos. Por essa raz˜ ao, v´ arias t´ ecnicas aproximativas foram propostas com o intuito

de se estudar sistemas onde c´ alculos exatos ainda n˜ ao s˜ ao poss´ıveis. Dentre os m´ etodos propostos, o esquema variacional baseado na desigualdade de Bogoluibov

constitui uma das ferramentas para se encontrar solu¸c˜ oes aproximadas [10]. Esta desigualdade fornece um limite superior para a energia livre do sistema, como ser´ a

mostrado a seguir.

Deve-se salientar, entretanto, que apesar dessa t´ ecnica produzir bons resultados qualitativos, e permitir uma inclus˜ ao progressiva das flutua¸c˜ oes de spins, os expoentes cr´ıticos ser˜ ao sempre os mesmos, acarretando somente em uma mudan¸ca na

temperatura de transi¸c˜ ao e no comportamento das quantidades termodinˆ amicas de interesse, fora da regi˜ ao cr´ıtica. Em particular, os expoentes apresentados no cap´ıtulo

anterior na aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio s˜ ao dados por: α = 0, β = 1/2, γ = 1, e ν = 1.

2.1 Desigualdade de Bogoliubov no caso Cl´ assico

Considerando um modelo dado por um hamiltoniano H, que possui uma energia livre F que n˜ ao sabemos sua forma funcional, procura-se primeiro construir um hamiltoniano tentativa H

, semelhante a H, do qual podemos extrair, de forma exata,

a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao e a correspondente energia livre F

. A desigualdade de

Bogoliubov afirma que

F ≤ F

+ hH − H

i

, (2.1) onde a m´ edia do lado direito < ... >

´ e tomada com respeito ` a distribui¸c˜ ao gerada a partir do hamiltoniano H

. Fica claro que os resultados assim obtidos aproximam-se

mais do valor exato conforme a escolha de um hamiltoniano H

cada vez mais pr´ oximo do original.

Como a desigualdade acima d´ a-nos um limite superior para a energia livre F , a ideia

´

e parametrizar o hamiltoniano tentativa H

e igualar a energia livre do sistema em estudo ao minimo da fun¸c˜ ao F

+ hH − H

i

com rela¸c˜ ao aos parˆ ametros

(variacionais) utilizados.

Para provar a desigualdade acima, vamos definir

H = H

+ H

, (2.2)

onde H

´ e fun¸c˜ ao de um paramˆ etro variacional (ou parˆ ametros variacionais) γ. Seja Z

a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao relacionada a H

, tal que

Z

= X

{σi}

e

, (2.3)

onde {σ

} indica que a soma deve ser feita sobre todos os estados de σ

e β =

BT

, sendo que k

´ e a constante de Boltzmann. A m´ edia de uma grandeza A tomada com

rela¸c˜ ao ` a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao Z

´ e dada por hAi

= 1

Z

X

{σ_i}

Ae

. (2.4)

Dessa forma, a m´ edia de e

´ e dada por he

i

= 1

Z

X

{σi}

e

e

= 1 Z

X

{σi}

e

. (2.5)

Assim, vemos claramente que

Z = Z

he

i

. (2.6)

A rela¸c˜ ao acima ´ e exata. Como a fun¸c˜ ao exponencial pode ser expandida em s´ erie de potncias na forma

e

=

∞

X

n=0

x

n! = 1 + x + . . . , (2.7)

vemos que

e

≥ 1 + x. (2.8)

Podemos ent˜ ao escrever

e

≥ 1 − βH

+ βhH

i

, (2.9) e calculando a m´ edia nesta ´ ultima inequa¸c˜ ao, vˆ e-se que

he

i

e

≥ 1, (2.10) ou ainda,

he

i

≥ e

. (2.11) De acordo com isto, podemos escrever

Z ≥ Z

e

. (2.12)

Tomando o logaritmo desta ´ ultima inequa¸c˜ ao

ln Z ≥ ln Z

− βhH

i

, (2.13)

e multiplicando-a por −k

T , obtem-se

−k

T ln Z ≤ −k

T ln Z

+ hH

i

, (2.14) onde conclui-se que

F ≤ F

+ hH − H

i

, (2.15) sendo

F = −k

T ln Z (2.16)

a energia livre de Helmholtz do sistema descrito por H e

Φ(γ) ≡ F

+ hH − H

i

(2.17)

´ e a fun¸c˜ ao a ser minimizada.

A equa¸c˜ ao (2.15) ´ e conhecida como desigualdade de Bogoliubov. Notamos ent˜ ao que, a partir da escolha de hamiltonianos cada vez mais parecidos com o original, podemos obter uma descri¸c˜ ao termodinˆ amica aproximada cada vez mais pr´ oxima do esperado comportamento exato do modelo. No entanto, trata-se ainda de uma aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio, pois os valores dos expoentes cr´ıticos obtidos nestes casos s˜ ao sempre

os cl´ assicos.

3 Modelo de Ising - Estudo pelo M´etodo Variacional de Bogoliubov

O modelo de Ising ´ e definido em uma rede cristalina, onde cada s´ıtio i possui um spin σ

. Embora ele j´ a tenha sido discutido no cap´ıtulo anterior, vamos, por completeza,

descrevˆ e-lo novamente nesta se¸c˜ ao.

Cada componente z de spin pode ter valores que variam de −S, −S + 1, ..., S − 1, S, onde S ´ e o correspondente valor do spin. Por exemplo, para S = 1/2, temos as componentes σ

= ±1/2, para S = 1 temos componentes σ

= 0, ±1, e assim por diante. No caso de spin-1/2, consideramos, sem perda de generalidade, simplesmente

σ

= ±1, de modo que o fator 1/2 passa a ser incorporado nas intera¸c˜ oes de troca.

Por sua vez, as intera¸c˜ oes de troca s˜ ao as intera¸c˜ oes mais importantes entre os spins e, usualmente, s˜ ao tomadas somente entre pares de vizinhos mais pr´ oximos, uma vez que vizinhos mais distantes ter˜ ao intera¸c˜ oes que se pode desprezar. Pode-se ainda considerar uma intera¸c˜ ao com um campo externo H. Assim, o hamiltoniano do

sistema pode ser escrito como H = −J X

hiji

σ

σ

− H

N

X

i=1

σ

, (3.1)

onde J ´ e a energia de troca, H ´ e o campo magntico externo aplicado na rede e N ´ e o n´ umero de part´ıculas que comp˜ oe a rede. O s´ımbolo hi, ji indica que a soma deve ser

feita somente sobre os primeiros vizinhos.

Primeiramente, iremos estudar o caso mais simples, em que os poss´ıveis estados de spin s˜ ao σ

= ±1 e, em seguida, o caso onde os estados de spin s˜ ao σ

= 0, ±1.

Utilizaremos, para tal, a aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio baseada na desigualdade de Bogoliubov, descrita no cap´ıtulo anterior. Iremos considerar trˆ es tipos de hamiltonianos tentativa. O primeiro tipo ser´ a constitu´ıdo spins livres, que gera a aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio usual; o segundo constitu´ıdo por blocos de pares spins, melhorando a temperatura cr´ıtica e, por fim, um hamiltoniano com blocos de um e de dois spins, simultaneamente. Em todos estes trˆ es casos a aproxima¸c˜ ao baseada na

desigualdade de Bogoliubov ser´ a aplicada.

3.1 Caso S = 1/2

3.1.1 Aproxima¸c˜ ao de spins livres

Neste caso, o hamiltoniano tentativa ser´ a composto apenas por spins n˜ ao interagentes, da seguinte forma

H

= −γ

N

X

i=1

σ

, (3.2)

onde γ ´ e um parˆ ametro variacional, σ

representa a vari´ avel de spin e N ´ e o n´ umero total de spins. Todos os s´ıtios da rede s˜ ao considerados equivalentes, sendo assim, as equa¸c˜ oes para um spin podem ser generalizadas para os demais. Com este racioc´ınio, podemos dizer que a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao Z

, associada a este hamiltoniano, deve ser

dada pela fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao de um spin σ

, elevada a N . Matematicamente

Z

= (Z

)

. (3.3)

A fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao para um spin no interagente ´ e Z

= X

{σi}

exp βγσ

, (3.4)

onde {σ

} indica que a soma deve ser feita sobre todas as poss´ıveis configura¸c˜ oes do spin (neste caso, σ

= ±1 ). Executando a soma sobre os estados, a fun¸c˜ ao de

parti¸c˜ ao para um s´ıtio pode ser escrita ent˜ ao como

Z

= 2 cosh βγ, (3.5)

de modo que a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao do hamiltoniano tentativa ser´ a

Z

= (2 cosh βγ)

, (3.6)

e a energia livre de Helmholtz associada a este hamiltoniano tentativa ser´ a dada por

F

= −N k

T ln Z

, (3.7)

ou ainda,

F

= −N k

T ln (2 cosh βγ). (3.8)

A correspondente energia livre de Helmholtz por spin f

= F

/N ´ e ent˜ ao

f

= −k

T ln (2 cosh βγ). (3.9)

Sendo a magnetiza¸c˜ ao m´ edia correspondente a um spin da rede, no hamiltoniano tentativa, definida por

m

= P

{σ_i}

σ

e

P

{σi}

e

, (3.10)

temos m

=

P

{σi}

σ

e

P

{σ_i}

e

, (3.11)

m

= 1 N βZ

∂ P

{σ_i}

e

∂γ , (3.12)

que pode ser escrita como m

= − ∂f

∂γ . (3.13)

Executando a derivada acima encontramos

m

= tanh βγ. (3.14)

A quantidade φ, que ´ e fun¸c˜ ao do parˆ ametro variacional γ a ser minimizado, ´ e definida por

φ ≡ f

+ hH − H

i

N , (3.15)

onde h...i

indica que a m´ edia dever´ a ser calculada usando a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao referente ao hamiltoniano tentativa. O segundo termo do lado direito desta ´ ultima

equa¸c˜ ao ´ e escrito como hH − H

i

N = −J c

2 hσ

i

− (H − γ)hσ

i

, (3.16) onde hσ

i

= m

, c ´ e o n´ umero de coordena¸c˜ ao da rede (por exemplo, c = 2 na cadeia unidimensional, c = 4 na rede quadrada, c = 6 na rede c´ ubica simples, etc.), sendo

N c/2 o total de pares de spins no hamiltoniano. Assim teremos para φ φ = f

− J c

2 m

− (H − γ)m

, (3.17)

e, derivando com rela¸c˜ ao a γ obtemos

∂φ

∂γ = −m

− J cm

∂m

∂γ − (H − γ) ∂m

∂γ + m

= 0, (3.18)

ou ainda,

∂φ

∂γ = [−J cm

− (H − γ)] ∂m

∂γ = 0, (3.19)

que pode ser simplificada como

−J cm

− (H − γ) = 0, (3.20) resultando, finalmente, na seguinte rela¸c˜ ao

γ = J m

c + H, (3.21)

onde j´ a estamos levando em conta que a magnetiza¸c˜ ao do hamiltoniano em estudo m

´

e dada por m

, i.e. m = m

, com γ obtido acima. Considerando H = 0, encontramos

m = tanh(βJ cm) (3.22)

que nos d´ a a magnetiza¸c˜ ao espontˆ anea do modelo em fun¸c˜ ao da temperatura, ou mais explicitamente, em fun¸c˜ ao de J/k

T . Com essa equa¸c˜ ao, ´ e poss´ıvel determinar

tanto o comportamento da magnetiza¸c˜ ao m em fun¸c˜ ao da temperatura, como tamb´ em a temperatura cr´ıtica de transi¸c˜ ao. Com rela¸c˜ ao a esta ´ ultima quantidade, basta recordar que, pr´ oximo da transi¸c˜ ao, o parˆ ametro de ordem m ´ e muito pequeno, de forma que, expandindo a equa¸c˜ ao acima para pequenos valores de m, e tomando,

primeiramente, somente o primeiro termo, temos

m = βJ cm, (3.23)

ou

β

J c = 1, T

= cJ/k

, (3.24)

que nos d´ a a temperatura de transi¸c˜ ao como fun¸c˜ ao do n´ umero de coordena¸c˜ ao c.

Considerando, por outro lado, o pr´ oximo termo na expans˜ ao para m, temos m = βJ cm − 1

3 (βJ cm)

, (3.25)

que resulta em m =

3(βJ c − 1) (βJ c)

=

3(T

− T ) T

. (3.26)

Vemos ent˜ ao, de acordo com a eq. (1.1), que o expoente que descreve a magnetiza¸c˜ ao nas proximidades da temperatura cr´ıtica ´ e β =

, que ´ e o valor t´ıpico de campo m´ edio, como esperado. Esperamos que n˜ ao haja confus˜ ao com as letras β, pois, na literatura, a mesma ´ e usada tanto para designar 1/k

T quanto o expoente cr´ıtico da

magnetiza¸c˜ ao.

A suscetiblidade magn´ etica pode ser obtida pela seguinte derivada χ =

∂m

∂H

, (3.27)

sendo a magnetiza¸c˜ ao dada por

m = tanhβ(J cm + H). (3.28)

Resulta para a suscetibilidade a campo nulo

χ = 1

cosh

(βJ cm) β(J cχ + 1), (3.29) ou

χ = β cosh

(βJ cm)

cosh

(βJ cm) − βJ c . (3.30)

Para T > T

, a magnetiza¸c˜ ao ´ e nula e, de acordo com a express˜ ao acima, a suscetibilidade ser´ a dada por

χ = βT

T − T

, (3.31)

onde βJ c =

BT

=

. Para T < T

, por outro lado, pr´ oximo ` a T

teremos χ = 1

2 βT T − T

. (3.32)

Verificamos, portanto, de acordo com a eq. (4.41), que o expoente cr´ıtico associado ` a suscetibilidade ´ e γ = 1 (note que tanto faz estar acima ou abaixo de T

), ou seja, pertencente ao conjunto dos expoentes de campo m´ edio cl´ assico. Vemos tamb´ em, com

rela¸c˜ ao aos coeficientes da susceptibilidade, outro comportamento t´ıpico de campo m´ edio, pois o coeficiente abaixo de T

´ e a metade do coeficiente acima de T

. De maneira an´ aloga pode-se obter os demais expoentes para o restante das fun¸c˜ oes de

interesse termodinˆ amico [1,3].

3.1.2 Aproxima¸c˜ ao de pares de spins

Neste hamiltoniano tentativa consideraremos pares de spin isoladamente, de modo que ele pode ser escrito como

H

= −J X

{pares}

σ

σ

− γ

N

X

i=1

σ

, (3.33)

onde {pares} indica que a soma deve ser feita sobre cada par de spins tomado isoladamente.

Considerando que todos estes pares de spins da rede sejam idˆ enticos, a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao associada ao hamiltoniano tentativa ser´ a dada pela fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao de cada par de spin, elevada a

, onde

´ e a quantidade de pares desconexos que h´ a na

rede. Isto significa que Z

= (Z

)

.

A fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao correspodente a um par de spins ´ e dada por Z

= X

{σ_i,σj}

exp β[J σ

σ

+ γ(σ

+ σ

)], (3.34) onde {σ

, σ

} indica todas as poss´ıveis configura¸c˜ oes do par de spins σ

e σ

. Neste

caso,

Z

= 2e

+ 2e

cosh βγ, (3.35)

sua correspondente energia livre por part´ıcula f

= −k

T

2 ln(2e

+ 2e

cosh βγ), (3.36) e a magnetiza¸c˜ ao para um spin do par

m

= e

sinh βγ

2e

+ 2e

cosh βγ . (3.37)

Desta maneira, nos resta ainda obter o valor da seguinte m´ edia hH − H

i

= −J X

hi,ji

hσ

σ

i

− H

N

X

i=1

hσ

i

(3.38)

+J X

{pares}

hσ

σ

i

+ γ

N

X

i=1

hσ

i

,

que pode ser reduzida a hH − H

i

= −J X

p.r.

hσ

σ

i

− (H − γ )

N

X

i=1

hσ

i

, (3.39) onde a abrevia¸c˜ ao p.r. no primeiro somat´ orio significa que a soma dever´ a ser feita

sobre os pares restantes.

Como relatado na se¸c˜ ao anterior, o n´ umero total de pares de spins no hamiltoniano de Ising ´ e N c/2. E, sendo o n´ umero total de pares no hamiloniano tentativa ´ e N/2, podemos concluir que o n´ umero de pares restantes ser´ a dado pela rela¸c˜ ao a seguir,

p.r. = N (c − 1)/2.

Temos ent˜ ao hH − H

i

= − N J

2 (c − 1)m

− (H − γ)N m

. (3.40) Podemos agora escrever a equa¸c˜ ao para φ

φ = −k

T

2 ln(2e

+ 2e

cosh βγ) − J

2 (c − 1)m

− (H − γ)m

. (3.41) Calculando a derivada de φ com rela¸c˜ ao a γ e igualando-a a zero resulta em

γ = J m(c − 1) + H, (3.42)

onde estamos novamente usando o fato de que m = m

, pois a magnetiza¸c˜ ao aproximada do hamiltoniano em estudo ´ e dada por m

com o valor de γ acima.

Substituindo este resultado na equa¸c˜ ao para a magnetiza¸c˜ ao, e considerando H = 0, chegamos a seguinte rela¸c˜ ao

m = e

sinh βJ m(c − 1)

2e

+ 2e

cosh βJ m(c − 1) , (3.43) que nos d´ a a magnetiza¸c˜ ao espontˆ anea no caso da aproxima¸c˜ ao de pares.

Como no caso anterior, pode-se obter a temperatura de transi¸c˜ ao atrav´ es da expans˜ ao desta ´ ultima equa¸c˜ ao para m pr´ oximo de zero. Temos, at´ e primeira ordem em m

m = e

βJ m(c − 1)

2e

+ 2e

, (3.44)

que pode ser escrita como

e

β

J (c − 1) = 4 cosh β

J , (3.45)

de onde podemos calcular a temperatura de transi¸c˜ ao. Note que, nesse caso, diferentemente do que ocorreu na aproxima¸c˜ ao de um spin, o valor da temperatura deve ser obtido numericamente para cada valor de c. A solu¸c˜ ao num´ erica da equa¸c˜ ao

acima, bem como de todas as equa¸c˜ oes transcendentais aqui obtidas, ´ e feita usando-se o m´ etodo iterativo de Newton-Raphson. Os respectivos valores da temperatura de transi¸c˜ ao em fun¸c˜ ao de c ser˜ ao apresentados mais abaixo, quando da

compara¸c˜ ao com as outras aproxima¸c˜ oes desenvolvidas nesse trabalho.

3.1.3 Aproxima¸c˜ ao de spins livres mais pares de spins

O hamiltoniano tentativa neste caso ´ e composto de uma parte proveniente dos spins livres e outra devida a pares de spin, conforme ilustrado na figura 2. O hamiltoniano

Figura 2 – Parte de uma rede bidimensional ilustrando alguns spins livres e alguns pares de spins.

tentativa assume a seguinte forma

H

= −J

np

X

pares

σ

σ

− γ

2np

X

i=1

σ

− γ

ns

X

i=1

σ

, (3.46)

onde n

representa o n´ umero de pares desconexos, n

o n´ umero de spins livres, γ

´ e o

parˆ ametro variacional relacionado aos pares e γ

o parˆ ametro variacional relacionado

aos spins livres. Note que agora temos dois parˆ ametros variacionais, devido aos dois

blocos diferentes de spins. A fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao ´ e ent˜ ao composta pelo produto Z

=



 X

{σ_i}

e





np



 X

{σ_i}

e





ns

, (3.47)

e a respectiva energia livre (por part´ıcula) f

= − n

2N

k

T ln Z

− n

N

k

T ln Z

. (3.48) Note que as fun¸c˜ oes de parti¸c˜ ao de um spin Z

e de um par de spins Z

s˜ ao as mesmas calculadas anteriormente (eqs. (3.5) e (3.35), respectivamente), bem como as magnetiza¸c˜ oes m

e m

(eqs. (3.14) e (3.37), respectivamente). Sendo assim, temos

hH − H

i

= −J N c

2 −n

hσ

σ

i

−2n

(H−γ

)hσ

i

−n

(H−γ

)hσ

i

. (3.49) Vamos agora supor que:

i ) as magnetiza¸c˜ oes de um spin e de um par de spins sejam iguais, de forma a manter a simetria translacional da rede, isto ´ e m

= m

= m;

i i) o n´ umero de pares desconexos seja igual a n

= N c/2 (esta ´ ultima rela¸c˜ ao ´ e justificada atrav´ es de uma expans˜ ao da energia livre em altas temperaturas - veja,

referˆ encia, [11]).

Dessa forma obtemos, para H = 0

hH − H

i

= N cγ

m − (c − 1)N γ

m. (3.50) Assim, a equa¸c˜ ao para φ ´ e

φ = −ck

T ln Z

− (1 − c)k

T ln Z

+ cγ

m − (c − 1)γ

m. (3.51) Derivando-se φ com rela¸c˜ ao aos parˆ ametros variacionais e igualando a zero, chega-se na seguinte rela¸c˜ ao (na verdade, a rela¸c˜ ao abaixo ´ e obtida ao se minimizar tanto com

rela¸c˜ ao a γ

quanto com rela¸c˜ ao a γ

)

cγ

= (c − 1)γ

. (3.52)

A magnetiza¸c˜ ao aproximada ´ e portanto obtida atrav´ es da equa¸c˜ ao acima, juntamente com a rela¸c˜ ao

m

= e

sinh βγ

2e

+ 2e

cosh βγ

= m

= sinh βγ

cosh βγ

= m. (3.53)

A temperatura cr´ıtica pode ser obtida, como nos casos anteriores, atrav´ es de uma expans˜ ao em primeira ordem para m, m

, m

, γ

, γ

pequenos, isto ´ e

m

= βγ

(3.54)

e m

= e

βγ

2e

+ 2e

. (3.55)

Usando agora as rela¸c˜ ao entre γ

e γ

e m

= m

, chegamos a seguinte equa¸c˜ ao e

= c

c − 1 (e

+ e

), (3.56)

que pode ser simplicada como J

k

T

= 1 2 ln

c c − 2

. (3.57)

Embora neste caso a temperatura cr´ıtica esteja mais pr´ oxima do valor correto, quando comparada ao valores das se¸c˜ oes anteriores (como veremos abaixo), os expoentes cr´ıticos ser˜ ao de campo m´ edio, assim como em qualquer aproxima¸c˜ ao via princ´ıpio variacional de Bogoliubov. Um fato interessante na equa¸c˜ ao acima ´ e que ela

fornece agora o resultado exato para c = 2, isto ´ e, o modelo unidimensional n˜ ao apresenta transi¸c˜ ao de fase para temperaturas finitas.

3.1.4 Compara¸c˜ ao das diversas aproxima¸c˜ oes para o caso S = 1/2

A tabela abaixo mostra os resultados obtidos usando as trˆ es aproxima¸c˜ oes discutidas acima, para o caso S = 1/2. Os resultados s˜ ao dados na vari´ avel adimensional k

T

/J . Enquanto os expoentes cr´ıticos s˜ ao todos de campo m´ edio, as respectivas

temperaturas de transi¸c˜ ao melhoram ao se considerar blocos de spins cada vez maiores. Como ´ e de se esperar, notamos que os valores de k

T

/J aproximam-se dos

valores exatos, quando dispon´ıveis, ou de aproxima¸c˜ oes mais elaboradas, como simula¸c˜ oes num´ ericas de Monte Carlo. ˆ Enfase deve ser dada a aproxima¸c˜ ao de pares

mais spins livres, onde se obtem a temperatura cr´ıtica exata para o modelo

unidimensional.

Tabela 1 – Valores da temperatura cr´ıtica adimensional k

T

/J obtidos para S = 1/2 e v´ arios valores do n´ umero de coordena¸c˜ ao c, via aproxima¸c˜ ao de campo m´ edio, utilizando spins livres, pares de spins, e spins livres mais pares de spins. Os resultados de simula¸c˜ oes de Monte Carlo s˜ ao da referˆ encia [12].

coordena¸ c˜ ao aproxima¸ c˜ ao k

T

/J

livres 2

pares 1, 5643 livres +pares 0 2

exato 0

livres 4

pares 3,7763

livres+pares 2,8853 4

exato 2,2691

livres 6

pares 5,8469

livres+pares 4,9326 6

simula¸c˜ oes 4,512 [12]

3.2 Caso S = 1

3.2.1 Aproxima¸c˜ ao de spins livres

Nesta se¸c˜ ao o hamiltoniano tentativa ´ e dado por H

= −γ

N

X

i=1

σ

, (3.58)

que ´ e idˆ entico ao primeiro caso, mas os poss´ıveis valores de spin s˜ ao agora σ

= 0, ±1.

Seguindo o mesmo racioc´ınio descrito nas se¸c˜ oes anteriores, consideramos a independˆ encia de cada spin da rede, sendo assim a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao para um s´ıtio ´ e

dada por

Z

= 1 + 2 cosh βγ. (3.59)

Segue que a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao do hamiltoniano tentativa ´ e escrita como

Z

= (1 + 2 cosh βγ)

, (3.60)

e a respectiva energia livre de Helmholtz associada ´ e

F

= −N k

T ln (1 + 2 cosh βγ), (3.61)

bem como a energia livre de Helmoltz por spin

f

= −k

T ln (1 + 2 cosh βγ). (3.62) A magnetiza¸c˜ ao m´ edia correspondente para um spin ´ e dada por

m

= − ∂f

∂γ (3.63)

e, neste caso, econtramos m

= 2 sinh βγ

1 + 2 cosh βγ . (3.64)

Por outro lado, temos hH − H

i

= −J N c

2 hσ

i

hσ

i

− (H − γ)N hσ

i

, (3.65) de modo que podemos escrever φ como sendo

φ = −k

T ln (1 + 2 cosh βγ) − c

2 J m

− (H − γ)m

. (3.66) Derivando esta ´ ultima equa¸c˜ ao com rela¸c˜ ao a γ, e igualando a zero, temos, da mesma

forma que anteriormente

γ = J mc + H, (3.67)

onde a magnetiza¸c˜ ao aproximada ´ e dada por m = m

com o valor do parˆ ametro variacional γ acima.

Substituindo este valor encontrado do parˆ ametro γ na equa¸c˜ ao para a magnetiza¸c˜ ao m´ edia por spin, m

, obtemos

m = 2 sin β(J mc + H)

1 + 2 cosh β(J mc + H) , (3.68)

que nos fornece a magnetiza¸c˜ ao do modelo em fun¸c˜ ao da temperatura.

Para temperaturas pr´ oximas ` a T

e H = 0, a magnetiza¸c˜ ao ´ e pr´ oxima de zero.

Podemos ent˜ ao expandir a equa¸c˜ ao acima para m pequeno, considerando apenas o primeiro termo

m ≈ 2βJ mc

1 + 2 , (3.69)

que pode ser escrita como J c

k

T

= 3

2 . (3.70)

Temos ent˜ ao que k

T

J = 2

3 c. (3.71)

Considerando o pr´ oximo termo na expans˜ ao de m, temos

m ≈

2β

J mc + (β

J mc)

3 1 + 2

1 + (β

J mc)

2

. (3.72)

Ainda ´ e poss´ıvel reduzir esta ´ ultima equa¸c˜ ao ` a m ≈

T T

s

3(T

− T ) T

. (3.73)

Notamos mais uma vez, neste caso, que o expoente cr´ıtico associado ` a magnetiza¸c˜ ao espontˆ anea ´ e de campo m´ edio.

3.2.2 Aproxima¸c˜ ao de pares de spins

Nesta se¸c˜ ao vamos considerar novamente o caso em que os spins s˜ ao tomados aos pares, sendo a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao do hamiltoniano tentativa dada pela fun¸c˜ ao de

parti¸c˜ ao relativa a um par, elevada ao n´ umero de pares

Z

= (Z

)

, (3.74)

recordando que, para um par, a fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao ´ e dada por Z

= X

{σ_i,σj}

exp β[J σ

σ

+ γ(σ

+ σ

)]. (3.75) Explicitamente, para o caso de spin-1, os valores poss´ıveis s˜ ao: (0, 0); (0, +1); (0, −1);

(+1, 0); (+1, +1); (+1, −1); (−1, 0); (−1, +1); (−1, −1), num total de 9 estados. A fun¸c˜ ao de parti¸c˜ ao pode ent˜ ao ser escrita como

Z

= 1+e

+e

+e

+e

+e

+e

+e

+ (3.76)

+ e

,