Tutorial de Introdução ao Matlab

Tutorial de Introdu¸c˜ ao ao Matlab

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2012

Neste breve tutorial os comandos de Matlab ser˜ao apresentados dentro de “caixas” para facilitar sua visualiza¸c˜ao.

comando do Matlab

1 Janelas do Matlab

Uma breve descri¸c˜ao das janelas do Matlab:

• command window: janela na qual s˜ao colocadas linhas de comando e na qual s˜ao apresentados os resultados e as mensagens de erro.

Se quisermos limpar a janela command window devemos comandar clc ;

• janela do Editor: janela na qual s˜ao feitas as m-files, arquivos que possuem extens˜ao “.m”. Uma m-file pode ser simplesmente uma se- quencia de linhas de comando, formando assim um roteiro; ou ent˜ao pode ser uma fun¸c˜ ao, que ser´a vista mais adiante;

• workspace: janela que mostra todas as vari´aveis existentes. Se qui- sermos apagar todas as vari´aveis do workspace devemos comandar

clear all ;

• command history: janela que exibe a sequencia dos comandos que

foram executados na command window. Para n˜ao ter que digitar nova-

mente comandos executados anteriormente clique para cima na com-

mand window;

• current folder: janela que mostra todo o conte´ udo presente na pasta selecionada no toolbar current folder.

2 Criando um escalar

x = 0.2

• guarda o valor escalar 0, 2 na vari´avel x;

• deve-se utilizar o ponto decimal no lugar da v´ırgula;

• para que o matlab n˜ao repita o valor da vari´avel na “command window”

acrescente um ponto-v´ırgula no final (exemplo: x = 0.2;);

• o nome de uma vari´avel pode ser composto por v´arias letras e n´ umeros, iniciando sempre com uma letra (exemplo: variavelx1 = 0.2)

3 Criando um vetor linha

Existem diversas maneiras de criar vetores linha, a seguir:

3.1 especificando cada elemento

x = [1 2 3] ou x = [1,2,3]

• cria um vetor linha com os valores especificados;

• cada elemento pode ser separado por espa¸co ou por v´ırgula;

• pode-se utilizar valores de vari´aveis, por exemplo:

a = 1;

b = 2;

c = 3;

x = [a,b,c];

ou ent˜ao:

a = 1;

b = [2,3];

x = [a,b];

3.2 colon operator

x = x1:step:xn

• cria um vetor linha com elementos linearmente espa¸cados e o guarda na vari´avel x;

• o primeiro elemento ter´a o valor da vari´avel “x1”;

• o ´ ultimo elemento ter´a o valor da vari´avel “xn”;

• o valor dos elementos ter´a um passo de valor “step”;

• as vari´aveis “x1”, “step” e “xn” devem ser criadas anteriormente.

3.3 comando linspace

x = linspace(x1,xn,n)

• cria um vetor linha com elementos linearmente espa¸cados;

• o primeiro elemento ter´a o valor da vari´avel “x1”;

• o ´ ultimo elemento ter´a o valor da vari´avel “xn”;

• o vetor linha ter´a um total de “n” elementos.

4 criando um vetor coluna

x = [1;2;3]

• as linhas s˜ao separadas por ponto-v´ırgula (;);

• tamb´em pode-se aplicar a opera¸c˜ ao transaposta (’) `a um vetor linha:

x = [1,2,3]’

5 lendo o comprimento de um vetor - co- mando length

n = length(x)

• retorna o n´ umero de elementos de um vetor linha ou coluna x.

6 selecionando elementos de um vetor

6.1 o i-´ esimo elemento de um vetor

ielem = x(i)

• seleciona o i-´esimo elemento do vetor linha ou coluna x.

6.2 o ´ ultimo o elemento do vetor

ultimoelem = x(end)

• seleciona o ´ ultimo elemento do vetor linha ou coluna x.

6.3 uma parte do vetor

iaoiaelem = x(i:i+a)

• seleciona a parte do vetor que vai do i-´esimo ao (i+a)-´esimo elemento do vetor linha ou coluna x.

7 criando uma matriz

7.1 especificando cada elemento

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

• cria a seguinte matriz:

A =





1 2 3 4 5 6 7 8 9





7.2 comando ones

A = ones(m,n)

• constr´oi uma matriz de unit´arios com m linhas e n colunas.

7.3 comando zeros

A = zeros(m,n)

• constr´oi uma matriz de zeros com m linhas e n colunas.

7.4 comando diag

A = diag([1,2,3])

• constr´oi uma matriz diagonal com os elementos 1, 2 e 3 na diagonal principal.

8 lendo as dimens˜ oes de uma matriz - co- mando size

[nl,nc] = size(A)

• retorna os valores do n´ umero de linhas e do n´ umero de colunas;

• neste exemplo esses valores s˜ao colocados nas vari´aveis nl e nc respec- tivamente.

9 selecionando o elemento (i,j) da matriz

ijelem = A(i,j)

• seleciona o elemento da i-´esima linha e j-´esima coluna da matriz A.

10 criando fun¸c˜ oes

Uma fun¸c˜ao possui a seguinte estrutura:

function output = NomeDaFuncao(input) . .

. % c´ alculos intermedi´ arios output = ...; % c´ alculo final

• o valor da entrada ´e colocado na vari´avel local input;

• a fun¸c˜ao retorna o valor que estiver na vari´avel local output;

• input e output podem ter mais de uma dimens˜ao;

• quando criamos uma m-file para uma fun¸c˜ao, devemos salv´a-la com o mesmo nome da fun¸c˜ao, exemplo: NomeDaFuncao.m;

• a fun¸c˜ao ´e chamada pelo NomeDaFuncao, como no exemplo de roteiro a seguir:

x = 0.2;

y = NomeDaFuncao(x);

Neste exemplo, o valor do output retornado pela fun¸c˜ao foi colocado na vari´avel y.

10.1 Exemplo: polar de arrasto

function CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k) CD = CD0 + k1*CL + k*CL^2;

Como os valores dos inputs e do output s˜ao colocados em vari´aveis locais, note que a fun¸c˜ao PolarArrasto tamb´em poderia ser assim:

function y = PolarArrasto(x,a0,a1,a2) y = a0 + a1*x + a2*x^2;

Um exemplo de roteiro que utiliza a fun¸c˜ao PolarArrasto:

CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02;

CL = 0.5;

CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k);

Tamb´em podemos colocar os valores dos parˆametros CD0, k1 e k em um vetor paramPolar:

CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02;

paramPolar = [CD0,k1,k];

Ent˜ao a fun¸c˜ao PolarArrasto tomar´a a seguinte forma:

function CD = PolarArrasto(CL,paramPolar) CD0 = paramPolar(1);

k1 = paramPolar(2);

k = paramPolar(3);

CD = CD0 + k1*CL + k*CL^2;

Ao armazenar muitos valores em um vetor linha deve-se tomar cuidado para n˜ao confundir a ordem dos parˆametros. Para contornar este problema podemos utilizar uma “structure” ao inv´es do vetor linha.

11 structures

Dados de v´arios tipos podem ser agrupados em uma “structure”: escalares, vetores, matrizes etc ...

11.1 Exemplo: structure

Os valores de referˆencia (n´ıvel do mar) da atmosfera padr˜ao (ISA) s˜ao:

H 0 = 0 m T 0 = 288, 15 K

g 0 = 9, 80665 m/s ² ρ 0 = 1, 225 kg/m ³

L = − 6, 5 × 10 ⁻³ K/m R = 287, 053 m ² /s ² -K

Vamos agrupar todos esses valores na vari´avel paramAtm, do tipo “struc-

ture”:

paramAtm.H0 = 0;

paramAtm.T0 = 288.15;

paramAtm.g0 = 9.80665;

paramAtm.rho0 = 1.225;

paramAtm.L = -6.5*10^(-3);

paramAtm.R = 287.053;

Para utilizar o valor de R basta fazermos:

R = paramAtm.R

12 if - else

Estrutura do if - else:

if estrutura l´ ogica . .

. else . . . end

Na estrutura l´ ogica podemos utilizar operadores relacionais e operado- res l´ogicos. Exemplos de operadores relacionais: igual (==), diferente ( =), maior (>), maior ou igual (>=), menor (<), menor ou igual (<=). Exemplos de operadores relacionais: e (&), ou (|).

12.1 Exemplo: fun¸c˜ ao temperatura

Iremos trabalhar at´e 20.000 metros de altitude, e a fun¸c˜ao temperatura da atmosfera padr˜ao correspondente ´e dada por:

T (H) =

T 0 + L(H − H 0 ) se H ≤ 11000 m

cte = T (11000) se 11000 < H < 20000 m onde: H 0 = 0 m; T 0 = 288, 15 K; L = − 6, 5 × 10 ⁻³ K/m;

Um exemplo de fun¸c˜ao temperatura em matlab:

function T = temperatura(H,paramAtm) T0 = paramAtm.T0;

L = paramAtm.L;

H0 = paramAtm.H0;

if H <= 11000 T = T0 + L*(H-H0);

else

T = temperatura(11000,paramAtm);

end

12.2 Exemplo: fun¸c˜ ao densidade

At´e 20.000 metros de altitude a fun¸c˜ao densidade da atmosfera padr˜ao ´e dada por:

ρ(H) =

ρ 0 (T (H)/T 0 ) ^−(1+g

^/(R.L)) se H ≤ 11000 m

ρ(11000)e ^(−g

(H−11000)/(R.T(11000))) se 11000 < H < 20000 m onde: g 0 = 9, 80665 m/s ² ; T 0 = 288, 15 K; ρ 0 = 1, 225 kg/m ³ ; L = − 6, 5 × 10 ⁻³ K/m; R = 287, 053 m ² /s ² -K

Um exemplo de fun¸c˜ao densidade em matlab:

function rho = densidade(H,paramAtm) rho0 = paramAtm.rho0;

T0 = paramAtm.T0;

g0 = paramAtm.g0;

R = paramAtm.R;

L = paramAtm.L;

if H <= 11000

rho = rho0*(temperatura(H,paramAtm)/T0)^-(1+g0/(R*L));

else

rho = densidade(11e3,paramAtm)*exp(-g0*(H-11e3) ...

/(R*temperatura(11e3,paramAtm)));

end

13 for

Estrutura do for:

for k = kinicial:passo:kfinal . .

. end

• a vari´avel k inicial com o valor kinicial;

• em cada itera¸c˜ao o valor de k ´e aumentado de um passo;

• as itera¸c˜oes s˜ao terminam quando a vari´avel k atinge o valor kfinal.

13.1 Exerc´ıcio: plotar

Utilize as fun¸c˜oes temperatura e densidade e a fun¸c˜ao plot do matlab para plotar os gr´aficos de T × H e ρ × H.

14 Problema de valor inicial

Muitos modelos em engenharia s˜ao matematicamente expressos na forma de um sistema de n equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias:

˙

y 1 (t) = f 1 (t, y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))

˙

y ₂ (t) = f ₂ (t, y ₁ (t), y ₂ (t), . . . , y _n (t)) .. .

˙

y n (t) = f n (t, y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) ou simplesmente:

yyy(t) = ˙ fff (t, yyy(t)) onde t ∈ I ⊂ R , yyy ∈ N ⊂ R ⁿ e fff : I × N → R ⁿ .

Resolver um problema de valor inicial (PVI) significa encontrar a fun-

¸c˜ao y : I → N que satifaz a equa¸c˜ao diferencial ˙ yyy (t) = fff (t, yyy(t)) e tamb´em

satisfaz a uma condi¸c˜ ao inicial yyy(t = t i ) = yyy i

O Teorema Fundamental do C´ alculo estabelece uma importante cone- x˜ao entre as equa¸c˜oes diferenciais e as intregrais, dentro de algumas condi¸c˜oes (vide mat-12):

yyy (t f ) = x x x(t i ) + Z t

t

fff (s, yyy(s))ds

Repare que para realizar essa integral ´e preciso conhecer:

• a fun¸c˜ao dinˆamica fff (t, yyy(t));

• a condi¸c˜ao inicial y i ;

• e o intervalo de integra¸c˜ao [t i t f ].

Nem sempre ´e poss´ıvel resolver um PVI analiticamente. Nesses casos po- demos recorrer a algoritmos j´a implementados no Matlab, como por exemplo o ode45.

14.1 ode45

Para utilizar o ode45 devemos comandar:

sol = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros)

• o nome da fun¸c˜ao dinˆamica (f), deve ser prefixada pelo “arroba” (@);

• em seguida devemos fornecer o tempo inicial ti e o tempo final tf em um vetor [ti tf];

• depois vem a condi¸c˜ao inicial yi;

• em options, podemos ajustar parˆametros do algoritmo de integra¸c˜ao como, por exemplo, tolerˆancia absoluta, tolerˆancia relativa, etc . . . (vide odeset no help). Se n˜ao quisermos modificar a configura¸c˜ao padr˜ao podemos deixar este campo vazio escrevendo [];

• e por ´ ultimo colocamos os parametros que queremos levar para dentro da fun¸c˜ao dinˆamica.

A fun¸c˜ao dinˆamica deve ter a seguinte estrutura:

function doty = f(t,y,parametros) . .

. % c´ alculos intermedi´ arios

doty = [doty1; doty2; ...; dotyn];

O resultado num´erico ficar´a guardado na estrutura sol. Para extrair o vetor tempo escolhido pelo ode45 comanda-se:

T = sol.x;

Este vetor T possui a seguinte forma:

T =

t i t 2 t 3 . . . t f

E para extrair a solu¸c˜ao associada a este vetor tempo comanda-se:

Y = sol.y;

Note que Y ´e uma matriz e que possui a seguinte forma:

Y =











y 1 (t i ) y 1 (t 2 ) y 1 (t 3 ) . . . y 1 (t f ) y ₂ (t _i ) y ₂ (t ₂ ) y ₂ (t ₃ ) . . . y ₂ (t _f )

... ... ... ...

y n (t i ) y n (t 2 ) y n (t 3 ) . . . y n (t f )











14.2 comando deval

Tamb´em pode ser ´ util criar um outro vetor tempo diferente de sol.x e cal- cular a matriz Y correspondente. Para isso utiliza-se o comando deval:

T = linspace(ti,tf,n) Y = deval(sol,T)

Um exemplo de aplica¸c˜ao ´e na cria¸c˜ao de filmes, que consistem em uma sequencia de “frames” com uma taxa constante.

14.3 resultado direto

Uma forma de colocar os resultados fornecido pelo ode45 diretamente em T e Y:

[T,Y] = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros) Por´em a matriz Y ter´a outra disposi¸c˜ao:

Y =















y 1 (t i ) y 2 (t i ) . . . y n (t i ) y 1 (t 2 ) y 2 (t 2 ) . . . y n (t 2 ) y 1 (t 3 ) y 2 (t 3 ) . . . y n (t 3 )

.. . .. . .. . .. . y 1 (t f ) y 2 (t f ) . . . y n (t f )















14.4 Exemplo: Atrator Ca´ otico de Lorenz

As equa¸c˜oes de Lorenz resultam da simplifica¸c˜ao de modelos de convec¸c˜ao atmosf´erica, e s˜ao descritas pelo sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias a seguir:

˙

y ₁ = σ(y ₂ − y ₁ )

˙

y 2 = y 1 (ρ − y 3 ) − y 2

˙

y 3 = y 1 y 2 − βy 3

Note que trata-se de um sistema dinˆamico tri-dimensional, n˜ao linear e determin´ıstico.

A fun¸c˜ao dinˆamica em matlab:

function doty = LorenzDinam(t,y,parametros) sigma = parametros.sigma;

r = parametros.r;

b = parametros.b;

doty1 = sigma*(y(2) - y(1));

doty2 = y(1)*(r - y(3))-y(2);

doty3 = y(1)*y(2) - b*y(3);

doty = [ doty1; doty2; doty3];

Um roteiro para fazer uma simula¸c˜ao das equa¸c˜oes de Lorenz:

parametros.sigma = 10;

parametros.r = 28;

parametros.b = 8/3;

tf = 25;

yi = [5;5;15];

sol = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yi,[],parametros);

T = 0:0.01:tf;

Y = deval(sol,T);

15 plotagem

15.1 plot

Para visualizar a trajet´oria de cada um dos estados podemos usar o comando

plot:

figure

plot(T,Y(1,:))

xlabel(’tempo’),ylabel(’y1’) figure

plot(T,Y(2,:))

xlabel(’tempo’),ylabel(’y2’) figure

plot(T,Y(3,:))

xlabel(’tempo’),ylabel(’y3’)

Tamb´em podemos colocar v´arias trajet´orias em um mesmo plot. No ro- teiro a seguir s˜ao feitas duas simula¸c˜oes das equa¸c˜oes de Lorenz, com a di- feren¸ca que o estado inicial da segunda simula¸c˜ao possui um incremento de 1e − 5 em y 1 :

parametros.sigma = 10;

parametros.r = 28;

parametros.b = 8/3;

tf = 25;

yiA = [5;5;15];

yiB = yiA + [1e-5;0;0];

solA = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yiA,[],parametros);

solB = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yiB,[],parametros);

T = 0:0.01:tf;

YA = deval(solA,T);

YB = deval(solB,T);

figure

plot(T,YA(1,:),T,YB(1,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y1’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’) figure

plot(T,YA(2,:),T,YB(2,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y2’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’) figure

plot(T,YA(3,:),T,YB(3,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y3’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’)

15.2 subplot

Se quisermos colocar v´arios gr´aficos numa mesma figura podemos usar o comando subplot antes de cada plot:

subplot(linhas,colunas,numero)

onde linhas ´e o n´ umero total de linhas da figura, colunas ´e o n´ umero total de colunas e numero ´e o n´ umero do gr´afico na figura.

Por exemplo, se quisermos colocar os trˆes gr´aficos da simula¸c˜ao das equa-

¸c˜oes de Lorenz em uma figura, dispostos em trˆes linhas e uma coluna:

figure

subplot(311),plot(T,YA(1,:),T,YB(1,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y1’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’) subplot(312),plot(T,YA(2,:),T,YB(2,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y2’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’) subplot(313),plot(T,YA(3,:),T,YB(3,:)) xlabel(’tempo’),ylabel(’y3’)

legend(’simulacao A’,’simulacao B’)

15.3 plot3

Para a visualiza¸c˜ao de uma linha tri-dimensional podemos usar o comando plot3.

Ainda no exemplo das equa¸c˜oes de Lorenz teremos:

figure

plot3(YA(1,:),YA(2:),YA(3,:))

xlabel(’y1’), ylabel(’y2’), zlabel(’y3’)

16 avi˜ ao modelo ponto-massa longitudinal

Neste exemplo vamos simular a dinˆamica de uma aeronave. O movimento

ser´a restrito apenas ao plano vertical, tamb´em chamado de longitudinal, em

termos pr´aticos a aeronave n˜ao faz curvas. As equa¸c˜oes s˜ao derivadas nas

aulas te´oricas e correspondem a um modelo ponto-massa da aeronave. Isso

significa que derivam da segunda lei de Newton para transla¸c˜ao apenas, a

segunda lei de Newton para rota¸c˜ao ´e ignorada e os efeitos de rota¸c˜ao s˜ao considerados instantˆaneos.

m V ˙ = F cos(α + α F ) − D − mg sin γ mV γ ˙ = F sin(α + α F ) + L − mg cos γ

H ˙ = V sin γ

˙

x t = V cos γ onde:

V ´e a velocidade aerodinˆamica;

γ ´e o ˆangulo de trajet´oria;

α ´e o ˆangulo de ataque;

for¸cas aerodinˆamicos:

sustenta¸c˜ao aerodinˆamica: L = 0.5ρV ² S ref C L

arrasto aerodinˆamico: D = 0.5ρV ² S ref C D

onde:

C L ´e o coeficiente adimensional de sustenta¸c˜ao;

C _D ´e o coeficiente adimensional de arrasto;

ρ ´e a densidade atmosf´erica;

S ref ´e a ´area de referˆencia usada na adimensionaliza¸c˜ao;

modelo linear do coeficiente de sustenta¸c˜ao:

C L = C L0 + C Lα α onde C Lα ´e uma derivada de estabilidade;

obs: as derivadas de estabilidade s˜ao fun¸c˜oes do n´ umero de Mach e do n´ umero de Reynolds

modelo parab´olico do coeficiente de arrasto:

C D = C D0 + K 1 C L + KC _L ²

obs: os coeficientes da polar de arrasto tamb´em s˜ao fun¸c˜oes do n´ umero

de Mach e do n´ umero de Reynolds.

modelo da for¸ca propulsiva:

F = δmF _maxi V

V i

n

ρ ρ i

n

; onde:

δm ´e a deflex˜ao da manete do motor (0 ≤ δm ≤ 1);

F _maxi , V _i e ρ _i s˜ao valores de referˆecia do modelo propulsivo.

estados e controles:

x =







 V

γ H x _o









, u =

δm α

Para uma aeronave tipo Airbus 320, cruzando a 10000 metros de altitude com velocidade aerodinˆamica de 210 m/s:

m = 120000; S _ref = 260;

C L0 = 0; C Lα = 4.982;

C D0 = 0.0175; K 1 = 0; K = 0.06;

α F = 1π/180; n V = 0; n ρ = 0.75;

F maxi = 240000; V i = 100; ρ i = 1.225;

16.1 exercicio

Fa¸ca uma simula¸c˜ao da aeronave com controles α = 5 graus e δm = 0.5.

Repare que a velocidade, o ˆangulo de trajet´oria e a altitude apresentam um movimento oscilat´orio, tamb´em conhecido como “fugoidal”. Neste movimento h´a uma troca oscilat´oria de energia potencial e energia cin´etica, h´a dissipa¸c˜ao pela for¸ca de arrasto e h´a trabalho da for¸ca propulsiva.

17 fsolve

Intuitivamente, um ponto de equil´ıbrio ´e uma condi¸c˜ao em que n˜ao h´a ten-

dencia de altera¸c˜ao do movimento ao longo do tempo. Colocar a aeronave

em um ponto inicial de equil´ıbrio significa encontrar os valores dos estados

e controles tais que a aeronave continuaria voando sem as oscila¸c˜oes apre-

sentadas na simula¸c˜ao anterior. Para isso ´e necess´ario que as derivadas dos

estados V , γ e H sejam nulas. Assim, temos que encontrar a solu¸c˜ao para o

sistema de equa¸c˜oes n˜ao lineares:

0 = F cos(α + α _F ) − D − mg sin γ 0 = F sin(α + α F ) + L − mg cos γ 0 = V sin γ

Repare que a terceira equa¸c˜ao ´e satisfeita para V = 0 ou sin γ = 0. Como n˜ao se trata de um voo pairado ficamos com sin γ = 0, que implica em γ = 0.

Assim o nosso sistema ´e reduzindo para duas equa¸c˜oes n˜ao lineares:

0 = F cos(α + α F ) − D − mg sin γ 0 = F sin(α + α F ) + L − mg cos γ

18 Trabalho

Utilize o comando fsolve para realizar esta tarefa. Se o aluno j´a estiver familiarizado com qualquer outro algoritmo que substitua o fsolve pode utiliz´a-lo.

18.1 dicas

• Lembre-se que para resolver um sistema de duas equa¸c˜oes precisamos usar duas vari´aveis. Como a velocidade e a altitude de cruzeiro s˜ao dados de entrada do problema, e γ deve ser zero para que ˙ H seja nulo, sobraram apenas as vari´aveis de controle δm e α para resolver o sistema de duas equa¸c˜oes.

• veja os exemplos do help. Quem n˜ao tem o help completo instalado visite o site: www.mathworks.com/help/toolbox/optim/ug/fsolve.html

• n˜ao deixe para ´ ultima hora! Envie j´a suas d´ uvidas para [email protected]

18.2 data de entrega

• segunda-feira, 2 de abril de 2012.