Revista Brasileira de Ensino de F sica, vol. 24, no. 4, Dezembro, Estudo Experimental do Momento de Inércia de uma Placa (Experimental study

Estudo Experimental do Momento de

Inercia de uma Placa

(Experimentalstudyofthemomentofinertiaofaplate)

Carlos A. F. Pint~aoe Moacir P. de SouzaFilho

DepartamentodeFsica,Unesp-Bauru

C.P.473,17033-360, Bauru,SP, Brasil

e-mail: fonzar@fc.unesp.br

Recebidoem20defevereiro, 2002. Revisadoem22deoutubro,2002. Aceitoem25deoutubro,2002.

Neste trabalho, mostra-se um caminho diferente para se estudar o momento de inercia de um

corpo em rotac~ao. Descreve-se um experimento que permiteestabelecer como ainercia de uma

placa depende desua massa e geometria, emque se determinapar^ametros comoos expoentes e

aconstantedatradicional equac~aodomomentodeinercia deumaplaca, a partirdemedidasde

correnteeletrica. Paraissoescolhe-sequatroplacasdemassadiferentes,mantendo-seemduasdelas

as mesmasdimens~oes, enquanto quenasoutrasduasuma dasdimens~oese odobrodaoutra. Os

resultadosobtidosreforcamaideiadequeosistemaeoprocedimentodemedidautilizadopodem

serumaalternativaemrealizarestapraticanoslaboratoriosdeensino.

Inthis work, adierent way to study themoment of inertia of abody inrotation is shown. It

isdescribedanexperimentthatallows toestablishhowtheinertiaofaplatedependsonitsmass

and geometry,where parameters like the exponentsand the constant of the traditionalequation

ofthemomentofinertiaofaplatearedetermined,startingfromthemeasurementsoftheelectric

current. Forthispurposeitwaschosenfourplatesofdierentmasses,whichtwoofthemhavethe

samedimensions,whilefortheotherpairofplatesonehasthesidetwicelargerthantheotherone.

Theobtainedresultsreinforcetheidea thatsuchasystem andtheproposedprocedure canbean

alternativeinaccomplishingthisexperimentinteachinglaboratories.

I Introduc~ao

Em umartigorecente, Pint~aoet al. [1] adotaramum

procedimento experimental diferente dos tradicionais

como aqueles de Goldemberg [2] e Tyler [3] para

de-terminar o momento de inercia de um disco.

Utiliza-ram um metodo originalmente proposto por Fleming

e Clinton[4]eBennet [5]para amedir capacit^ancia e

determinaramdiretamente,apartirdeuma leitura de

corrente eletrica,avelocidadeangulardo discoaposo

corpo suspenso descer de uma determinada altura h.

Conhecendo-seavelocidade,obtem-seaacelerac~ao

an-gular. Para que isto fosse possvel, construram um

circuito R C

j

, com uma chave que e acionada atraves

de um sensor opto-eletr^onico (emissor e receptor

in-fravermelho) que emite luz sobre a superfcie de um

CD xo ao eixo de rotac~ao e dividido em 24 setores

circulares igualmente espacados (12 superfcies

espe-lhadas e 12 opacas, alternadas entre si). Atraves de

uma das duas posic~oes possveis desta chave, o

capa-citor C

j

ira secarregar ou descarregar. Durante este

processo, a frequ^encia de comutac~ao desta chave, f ,

pode ser expressa pela relac~ao, f

j = i j =C j V em que i j

ea corrente medida nomedidor analogico DC

aco-pladoao circuito, eV eavoltagemaplicada por uma

fonte DC no capacitorC

j

. No casodeste CD com 24

divis~oes, a frequ^encia de rotac~ao do eixo e 1/12

da-quela da comutac~ao f

j

, portanto, a velocidade

angu-lar associada ao eixo e w

j = f j =6: Lembrando que aacelerac~ao, j

, pode serdeterminadadaequac~ao de

Torricelli para ummovimento circular uniformemente

acelerado, como w 2

j = 2

j

, e do fato que a altura

hedadaporh=r
, ent~aoseconsegueexpressar

j

comoumafunc~aodacorrenteaoquadrado.Outros

de-talhes do circuitoutilizado podem serencontrados na

Ref. [1]. Comesteprocedimento, eliminaram a

neces-sidade de se medir o tempo. O experimento e ent~ao

repetido, variando-se a massa do corpo suspenso. O

momentodeinercia,porsuavez,edeterminadoa

par-tir da inclinac~ao da reta obtida, do graco do torque

(queeconhecido)versusaacelerac~aoangular. A

van-tagemdometodoequen~aoeprecisosepreocuparcom

dotorqueassociadoasforcasdeatrito,alemdesepoder

determina-lofacilmente. Comoavaliac~aodosistemade

medida, Pint~aoet al. [1]determinaramomomentode

inercia de um disco e anel e compararam esses

resul-tadosaosvaloresdescritosnaliteratura[6],vericando

umdesviopercentualinferiora1%. Aposestaprimeira

avaliac~aoexperimental,Pint~aoetal. [7]realizaramum

experimentodandoumnovoenfoqueaosistemade

me-dida e conseguiram estabelecer adepend^encia do

mo-mentodeinerciadeumcorpo(partcula)emrelac~aoa

suamassaedist^anciaaoeixoderotac~ao. Osresultados

vericadosnestestrabalhos[1,7]forambastante

impor-tantes narealizac~aodestasnovasmedidas. Como uma

extens~ao dos trabalhos anteriores, apresenta-se agora

umanovaalternativaexperimentalparadeterminaros

expoenteseaconstantedatradicionalequac~aodo

mo-mentodeinerciadeumaplaca.

II Medida do momento de

inercia

De uma maneira geral, na medida do momento de

inercia de uma placa, usou-se a montagem

esquema-tizadanaFig.1,ondeumadasplacasjestaxaaoeixo

dosistemarotacional. Inicialmente,adotou-seomesmo

procedimentoutilizadoporPint~aoetal. [1]para

deter-minar ainercia do eixo mais os acessorios (CD e

pa-rafusode xac~ao). Sabe-se queo torqueresultante ,

responsavel pelo movimento de rotac~ao do eixo e

ex-pressocomo  = T  ATR =I EIXO  0 ; (1) emque T e ATR

s~ao,respectivamente,ostorques

as-sociados a trac~ao T aplicada pelo o e as forcas de

atrito; I

EIXO

e omomento de inercia do eixo com os

acessorios e 

0

sua acelerac~ao angular. Com base na

Ref. [1]pode-seexpressaraacelerac~aoangular deum

corporgidoqualqueremrotac~aocomo

 j =k j (i j ) 2 ; (2)

emqueossub-ndicesjsignicam: j=0,arotac~aodo

eixo mais acessorios e,j = 1, 2, 3ou 4, arotac~aodo

mesmoeixomaisasplacas1,2,3ou4,respectivamente;

k

j

euma constante conhecida (k

j =r 2 =72h(C j V) 2 ),

umavezquer;h;C

j

eV s~aograndezaspreviamente

de-terminadas. Aforcaresultantesobreamassadetrac~ao

m; enquanto esta caindo, e mg T = ma = m

j r, demodoqueT =m(g  j r). Como T =Tr,resulta  T =m(g  j

r)r;que,usandoaEq. (2),podetambem

serexpressoemtermosdecorrentecomo

 =mgr mk (r) 2

(i ) 2

: (3)

Figura1. Sistemarotacionalcomacessorios e,placasde

diferentesmassasMj(detalhesnavistaA).

Assim, conhecendo-se as constantes que

compare-cemnasEqs. (2)e(3),pode-sedeterminartantoa

ace-lerac~ao angular como otorque, apartir da leitura da

corrente. Variandoamassa docorposuspenso e

man-tendoconstanteasdemaisgrandezas,pode-seobterum

conjunto de valoresde 

T

versus 

j

. Pela Eq. (1), a

relac~aoentre essasgrandezaselineareainclinac~aoda

reta fornece omomento de inercia do eixo, I

EIXO . A

partir doinstante em que a massa de trac~ao m deixa

de atuar no movimento do eixo, a Eq. (1) pode ser

expressacomo  =  ATR =I EIXO  0 : (4)

SeadicionarmosumaplacademassaM

j

,cujomomento

deinerciaeI

PLACAj

,quegirasolidariaaoeixo(verFig.

1) e repetir o procedimento anterior, no instante que

a mesma massa deixar de atuar no movimento desse

corpo,aEq. (1)podesermodicadapara

 =  ATR =I (PLACAj+EIXO)  j ; (5) emqueI (PLACAj+EIXO)

eomomentodeinerciado

con-juntoplacaeeixo.

Considerandoqueamassapresanaextremidadedo

o e a mesma para as duas situac~oes descritas pelas

Eqs. (4)e(5),daigualdadeI PLACAj =I (PLACAj+EIXO) -I EIXO

elembrandodaEq. (2)que

j =k j (i j ) 2 ,

deduz-seuma express~aopara omomento deinerciadaplaca

I PLACAj =I EIXO A j ; (6) em queA j =[k 0 =k j (i 0 =i j ) 2 1]: As grandezas i 0 ei j

s~ao as correntes medidas nas

duassituac~oesdescritaspelasEqs. (4)e(5). Osvalores

dek

0 ek

j

referem-seasconstantesxadaspararealizar

asmedidas, semecomaadic~aoda placaj nosistema

rotacional, respectivamente. Atraves dos valores

ex-perimentais substitudos na Eq. (6), e conhecendo-se

previamenteainerciaderotac~aodosistema(eixomais

acessorios),epossvelavaliaromomentodeinerciado

corpo que esta girando. Como proposta deste artigo,

realizou-seumapraticaquepermiteestabelecercomoo

momentodeinerciadeumaplacadependedesuamassa

M

j

,desuasdimens~oes(aeb)equantovaleaconstante

de proporcionalidade(B) da tradicionalequac~ao para

ocalculo dainercia[6]

I PLACAj =B(M j ) X [(a) Y +(b) Y ]; (7)

onde X, Y eB s~aoos par^ametrosaserem

determina-dos.

Estrategicamente,foram utilizadas 4 placas (cujas

dimens~oes est~ao denidas navista A daFig. 1), e

es-tabelecemosasseguintesequac~oesparacalculodos

ex-poentesX eY daEq.(7): X =[1=log(M 2 =M 1 )]log(I PLACA 2 =I PLACA1 )e (8) Y =(1=log2)[log(I PLACA 3 =I PLACA4 )+Xlog(M 4 =M 3 )]: (9) 

Eimportante mencionar queas Eqs. (8) e(9)

sur-gemda(7), levando-seemconsiderac~aoaescolha

ade-quada dedois pares deplacas, sendo todas de massas

diferentes poremcomumpardeplacasdemesmas

di-mens~oeseooutroparcomumaplacapossuindoumdos

lados duasvezesmaiordoqueumladocorrespondente

aoutra.

OvalordaconstanteB podeserobtidodaEq. (7),

usandooresultadodaEq. (6) (momento deinerciada

placa) para quaisquer uma das placas, a massa (M

j ),

as dimens~oes(aeb)eosvaloresdosexpoentes X eY

calculadosdasEqs. (8)e(9).

Utilizou-se cinco massas de trac~ao diferentes para

aplicar o torque associado a forca T. Isto de fato e

necessarioparaseobter omomentode inerciadoeixo

(I

EIXO

). No entanto, conhecendo-seI

EIXO

, como

sis-temademedidautilizado,n~aoeprecisousartodasessas

massasparadeterminarospar^ametrosdaEq. (7). Este



ultimo procedimento pode servantajoso em casosem

quesetenhapoucotempopararealizarumapraticaem

laboratorio. Emnossasmedidas, utilizou-sesempreas

cinco massaspara poder aplicarateoriaestatstica de

pequenasamostras[8]naavaliac~aodoserrosassociados

III Resultados

III.1Momentodeinerciadoeixocomacessorios

(I

EIXO )

NaFig. 2,utilizandoometododosmnimos

quadra-dos,representou-searetaquemelhorseajustaaos

va-loresexperimentaisdotorqueemfunc~ao daacelerac~ao

angular. O valor encontrado para a inclinac~ao desta

retarepresentaomomentodeinerciadoeixoeseu

va-lore I EIXO =(0;00550;0001)10 2 kgm 2 , enquanto

ocoecientelinear,quecorrespondeaovalordotorque

deatrito,e

ATR

=(0;0520;008)10 2

Nm.

Figura2. Curvase pontosexperimentaisdotorqueT em

func~aodaacelerac~aoangular. Ainclinac~aodareta

ajus-tadapelometododosmnimosquadradosrepresentao

mo-mentodeinercia doeixocomacessorios I

EIXO

e,o

coeci-entelinear,otorquedeatrito

ATR .

III.2Estudodo momentode inerciada placa

III.2.1 Depend^encia coma massa da placa(M

j )

oucalculo doexpoente X

Utilizando-seduasplacasdemesmadimens~oes(a=

b = (20;00;1)cm) com massas de valores M

1 =

(461;74  0;01)geM

2

=(210;22  0;01)g,sendoumade

aco(placa1)eoutradealumnio(placa2),

conseguiu-semanteramesmageometriaduranteasmedidas. Na

Tabela1,encontram-seosvaloresdasmassasdetrac~ao

m, intensidade das correntes eletricasi

0 , i 1 e i 2 , eos par^ametrosA 1 ,A 2

eX. Nocalculodospar^ametrosA

1

eA

2

,est~aopresentesrelac~oescomok

0 =k 1 ,k 0 =k 2 ,i 0 =i 1 ei 0 =i 2 . Sabemosquek j =r 2 =72h(C j V) 2  euma

cons-tante caracterstica de nosso sistema [1], e que, antes

deefetuar qualquermedida de correnteeletrica,

deve-sexar adequadamente todas estas grandezas.

Usou-se para todas as medidas deste artigo, uma polia de

raio r = (1;250;01 cm, uma fonte com voltagem

queseconsiderousoomovimentodoeixosem aplaca

j, xou-se uma capacit^ancia C

0

=(32,720,01)nF, um

poucomenorqueC

j

=(95,500,01)nF(j de1a4,

cor-respondendoacadauma dasplacas). Comeste

proce-dimento,conseguiu-seevitarqueoponteirodomedidor

ultrapassasseofundodeescala(50Aeresist^encia

in-terna1k). Asconstantesdetempo,emborasejam

le-vementediferentesnocircuitoR C

j

destesistemade

me-dida[1], n~aointerferemnaleitura dacorrente eletrica,

poishatemposucienteparaqueocapacitorcarregue

ou descarregue totalmente. Os valores de corrente e

voltagemforamdeterminadoscomummesmomedidor

paraevitarerrosistematiconasualeitura. Finalmente,

osvaloresX daultimacoluna,daTabela1,foram

cal-culadosatravesdaEq. (8). OvalorencontradoparaX,

com umnvel de conanca 1

de 95%e0,960,05.

Pe-quenasvariac~oesnageometria dasplacas(paralelismo

dasfaces, angulac~aodoscantosefuroscentrados)

jus-ticamofato deX serlevemente diferente de1,valor

previstodeliteratura[6].

Tabela 1 - Valores utilizados na Eq. (8) para

deter-minar X, sendo M 2 =M 1 =0,455; k 0 =k 1 = k 0 =k 2 =9,25e I EIXO =(0,00550,0001)10 2 kgm 2 .

m(g) i0(A) i1(A) i2(A) A1 A2 X

20,29 23,0 10,0 14,0 47,9 24,0 0,881

30,29 28,5 12,0 17,5 51,2 23,5 0,987

40,29 33,5 14,0 20,5 51,9 23,7 0,998

50,29 37,5 16,0 23,0 49,8 23,6 0,950

60,29 40,5 17,5 25,5 48,5 22,3 0,987

III.2.2 Depend^encia comas dimens~oesa e bda

placaou calculodo expoenteY

Com os valores das massas das placas 3 e 4, isto

 eM 3 =(96,290,01)geM 4 =(47,640,01)g,sendoa

di-mens~ao a=(60,00,1) cm da placa 3, odobro da

res-pectiva dimens~ao daplaca 4(vervista A da Fig. 1),

foi possvel deduzir a Eq. (9), que permitiu calcular

Y. Usou-se,para ocalculo deY, o valorde X

encon-trado no item 3.2.1, ou seja 0,960,05. NaTabela 2,

encontram-se os valores das massas m de trac~ao,

in-tensidadedascorrentesi

0 ,i 3 ei 4 eos par^ametrosA 3 , A 4 e Y. Os valores de m e i 0

utilizados para a

de-terminac~aodoexpoenteX (tabela1)foramosmesmos

paraestecaso(determinac~aodoexpoenteY),sendo

ne-cessarioesteprocedimentoparaavalidadedometodo.

Os par^ametros A

3 e A

4

foram calculados levando-se

emconsiderac~aoasrelac~oesk

0 =k 3 ,k 0 =k 4 ,i 0 =i 3 ei 0 =i 4 .

Avaliou-se oerroassociadoaY,comumnvelde

con-ancade 95%,eencontrou-sequeovalordeY e2,1

0,1.

Tabela2-Valoresutilizados naEq. (9)para

determi-narY, sendoM 4 =M 3 =0,495; k 0 =k 3 =k 0 =k 4 =9,25;X= 0,960,05eI EIXO =(0,00550,0001)10 2 kgm 2 .

m(g) i0(A) i3(A) i4(A) A3 A4 Y

20,29 23,0 9,5 26,0 53,2 6,24 2,1

30,29 28,5 12,0 32,0 51,2 6,34 2,04

40,29 33,5 14,0 37,5 51,9 6,38 2,05

50,29 37,5 15,5 42,0 53,1 6,37 2,09

60,29 40,5 17,0 46,0 51,5 6,17 2,09

III.2.3 Calculo do fatorB para a placa1

ParadeterminarBrelativoaplaca1(aco),

calculou-seovalormediodeA

1

combasenaTabela1,e

aplicou-se a teoriaestatstica de pequenas amostras, com um

nvel de conanca de 95%, para avaliar o seu erro.

Encontrou-se que A

1

e 502. Em seguida, coma

in-clinac~aodareta,daFig. 2,determinou-semomentode

inerciadoeixo,ouseja: I

EIXO

=(0;00550;0001)10 2

kgm 2

. Substituiu-se este valor e o anterior (A

1 =

502) na Eq. (6), e determinou-se o momento de

inerciadaplaca 1,istoe: I

PLACA1

=(0;280;01)10 2

kgm 2

. Utilizando todas as grandezas relativas a

placa 1, massa (M

1

= (461;740;01)g), dimens~oes

(a = b=(20,00,1)cm), expoentes (X=0,960,05 e

Y = 2;10;1) e o respectivo valor de momento de

inercia(I PLACA1 =(0,280,05)10 2 kgm 2 ). Ent~ao,

-nalmente,substituindo-asnaEq. (7),encontrou-seque

aconstanteBe0;0830;003.Estevalorconcordabem

comaprevis~aoteorica[6],ouseja1/12.

IV Conclus~ao

Dos resultados encontrados nos itens III.2.1, III.2.2 e

III.2.3pode-seconcluirque:

a)OmomentodeinerciadeumaplacademassaM

j

dependediretamentedesuamassaelevadaaoexpoente

0,960,05;

b) O momento de inercia da placa de massa M

j

depende diretamente das suas dimens~oes a e b, mais

explicitamente da forma a Y

+b Y

, sendo que o valor

experimentaldeterminadoparaY e2;10;1;

c)AconstanteB,determinadaexperimentalmente,



e0;0830;003;

d)Combaseemnossosresultadosexperimentais,a

equac~ao para calculo do momento de inercia de uma

placa(Eq. 7),podeserexpressacomo

I =0;083M 0;96 [a 2;1 +b 2;1 ]: (10) 1

DateoriadepequenasamostrasemEstatstica,opar^ametroX eexpressocomo:X=X

M 2;13(S= p N 1),ondeX M  eamedia

doscincovaloresX daTabela1,onumero2,13t^emorigemnadistribuic~aode\Student"(verap^endiceIIIdaref. 8),considerandoque

existe95%deprobabilidadedeX pertenceraointervalo estimado;Seodesvioquadraticomedio,istoeS= p (X M X i ) 2 =N;com

Portanto,comoconclus~aogeral,osistema

desenvol-vidopermiteestudardeumaformasimplescomoo

mo-mentodeinerciadeumobjetodependedesuamassae

geometria,eemalgunscasos,comoestedaplaca,

esta-belecerumaequac~aoparaoseucalculo. Logo,comeste

trabalho experimental,encontrou-seum caminho

dife-rente paraestudar omomento deinerciadeumcorpo

emrotac~ao. Osvaloresencontradosreforcamaideiade

que este sistema de medida pode seruma ferramenta



utilnoauxliodenovaspraticasdentrodoslaboratorios

didaticos,principalmentenoqueserefereaoestudoda

din^amicaderotac~ao.

Agradecimento

Gostaramos de agradecer a FUNDUNESP pelo

apoio nanceiro e a todos os colegas do

Departa-mentodeFsicapeloincentivo,comentariosesugest~oes

construtivas, dando sempre um voto de conanca e

encorajando-nos durante o andamento de nossos

tra-balhos.

Refer^encias

[1] PINT ~

AO,C.A.F,SOUZAFILHO,M.Pde.,

GRAN-DINI, C. R., HESSEL, R. Medida do momento de

inerciadeumdisco.Rev.Bras.Ens.Fs.23,48(2001).

[2] GOLDEMBERG, J. Fsica Geral e Experimental. 2 a

ed.,S~aoPaulo: CompanhiaeditoraNacional, 1970,p.

481-483,v.1

[3] TYLER, F. A Laboratory Manual of Physics.4 a

ed.,

London: EdwardArnold,1974,p.22-24.

[4] FLEMING,J. A.,CLINTON,W.C.Onthe

Measure-mentofSmallCapacitiesandInductances.Phil.Mag.

S.6,v.5,n.29,p.493-511,1903.

[5] BENNET, G. A. G. Electricity and Modern Physics.

2 a

ed.,London: EdwardArnold,1974,p.167-168.

[6] HALLIDAY, D.,RESNICK, R.E WALKER,J.

Fun-damentosde Fsica: Mec^anica.4 a

ed.,RiodeJaneiro:

LivrosTecnicoseCientcos,1998, p.249.

[7] PINT ~

AO,C.A.F,SOUZAFILHO,M.P.de,XAVIER,

J.A. Estudo experimentaldo momento deinercia de

uma partcula. SBPN - Scientic Journal. V.5, n.1,

p.192-193,2001.

[8] SPIEGEL, M. R. Estatstica. 4 a

ed., Rio de Janeiro: