Exame 13 de Janeiro de Resolução. f[n Integer/;n>=2]:= Apply[Nor,Divisible[n,Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]]]

Unidade de Ensino de Matem´atica Aplicada e An´alise Num´erica Departamento de Matem´atica/Instituto Superior T´ecnico

Matem´atica Experimental (LMAC) – 1^o Semestre de 2019/2020

Exame – 13 de Janeiro de 2020 - Resolu¸c˜ao

Apresente todos os c´alculos e justifique convenientemente todas as suas respostas.

1. Considere a seguinte fun¸c˜ao Mathematica f[n Integer/;n>=2]:=

Apply[Nor,Divisible[n,Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]]]

Qual ´e o resultado da instru¸c˜ao {f[97],f[113],f[133]}? [1.5]

Resolu¸c˜ao: O resultado da execu¸c˜ao {f[97],f[113],f[133]} ´e a lista {True,True,False}. O co- mando Range[2,Floor[Sqrt[n]]]gera uma lista de inteiros de 2 ab√

nc. A instru¸c˜ao Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]

selecciona dessa lista os n´umeros primos. O comando

Divisible[n,Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]]

testa, para cada um dos elementos da lista de primos {2,3, . . . ,b√

nc}, se ele divide ne , se dividir, devolve True, caso contr´ario devolveFalse. Finalmente, a instru¸c˜ao

Apply[Nor,Divisible[n,Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]]]

devolve Truese todos os elementos da lista booleana

Divisible[n,Select[Range[2,Floor[Sqrt[n]]],PrimeQ]]

tˆem o valor True e False se pelo menos um deles ´e False. Por outras palavras devolve True se o naturaln´e divis´ıvel por um dos primos≤√

neFalseno caso contr´ario. Isto quer dizer que devolve True se o naturalnfor primo eFalsese ele ´e composto. Quando aplicarmos a fun¸c˜ao faos naturais 97,113e 133, o resultado ´e True,Truee Falsevisto que97,113s˜ao primos e133´e composto. Por exemplo

Range[2,Floor[Sqrt[133]]]→ {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

e 133=7·19ou seja133´e divis´ıvel por7.

2. Considere as seguintes instru¸c˜oesMathematica

code[m Integer/;m>0]:=If[EvenQ[m],code[m/2],code[3 m+1]];

code[1]=0;

Se executar code[10] que resultado espera obter? Se n˜ao definir code[1]=0 o que acontece quando

executar code[10]? [2.0]

Resolu¸c˜ao: O c´odigo code define a itera¸c˜ao de Collatz atrav´es da programa¸c˜ao recursiva. O code recebe um inteiro positivo m e divide-o por 2 se ele for par e multiplica por 3 e soma a 1 se ele for

´ımpar. Sem o comandocode[1]=0, qualquer que fossem, o programa entraria no ciclo{4,2,1}e n˜ao parava. Mais precisamente, devolvia a mensagem de erro:

$IterationLimit::itlim:Iteration limit of 4096 exceeded.

Com a instru¸c˜ao code[1]=0, o programa para e devolve 0quando chega a 1. Portanto o resultado da execu¸c˜ao code[10]´e 0.

3. Considere a lista fermatdefinida por

fermat=Map[Function[n,{n,2ˆn-1}],Range[12]]

a) Que tipo de objetos s˜ao os elementos da listafermat? [1.0]

Resolu¸c˜ao: Os12elementos da listafermats˜ao pares de inteiros da forma {n,2ˆn-1}em quenvaria entre 1e 12.

b) Defina os pseudoprimos de Fermat na basea∈N, a6= 1,e construa uma express˜ao Mathematica que selecciona da lista fermatos pseudoprimos de Fermat na base 2. A lista fermatcont´em alguns

pseudoprimos de Fermat na base 2? Quais? [1.5]

Resolu¸c˜ao: Os pseudoprimos de Fermat na base a ∈ N, a 6= 1, s˜ao n´umeros compostos n tais que aⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod n), i.e. n´umeros compostos que satisfazem a congruˆencia de Fermat. Os elementos 2ˆn-1 na lista fermat s˜ao n´umeros de Mersenne quando n ´e primo. Sabe-se que os n´umeros de Mersenne ou s˜ao primos de Mersenne ou pseudoprimos de Fermat na base 2. Existem 5 n´umeros de Mersenne M_n na listafermat, nomeadamente

M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇= 127, M₁₁= 2047.

Desses cinco apenas o M11´e composto, ou seja, ´e um pseudoprimo de Fermat na base 2. A instru¸c˜ao Mathematicaque selecciona da lista fermatos pseudoprimos de Fermat na base 2 pode ser

Flatten[Drop[Select[fermat,Function[x,PrimeQ[x[[1]]]==

True && PrimeQ[x[[2]]]==False]],None,{1}]]

ou simplesmente

Select[fermat,Function[x,PrimeQ[x[[1]]]==True && PrimeQ[x[[2]]]==False]]

que devolve uma lista de elementos{n,2ˆn-1}em que2ˆn-1´e um pseudoprimo de Fermat na base 2.

4. Sejar = (1 +√

5)/2. Prove que

r= (1 + (1 + (1 +. . .)^1/2)^1/2)^1/2. [2.0]

Resolu¸c˜ao: Note-se primeiro que

r²= (1 + (1 + (1 +. . .)^1/2)^1/2= 1 +r . Portanto

r²−r−1 = 0 ⇐⇒ r= 1±√ 5

2 ,

e, comor >0, conclui-se quer = ¹⁺

√ 5 2 .

5. Defina uma fun¸c˜ao Mathematicaque receba um naturalne devolva todos os naturaisk, inferiores a n, tais que k ´e um n´umero triangular ek+ 1 ´e um quadrado perfeito. Consegue determinar algum

desses naturais k? [2.0]

Resolu¸c˜ao: Os n´umeros triangulares s˜ao n´umeros inteiros da forma ^m(m+1)₂ , para algum natural m.

Podemos assim definir, com o comando Table, uma lista de n´umeros triangulares e seleccionar dessa lista os quadrados perfeitos com a instru¸c˜aoIntegerQ[Sqrt[x]]que devolveTrue se√

xfor inteiro.

A fun¸c˜aoMathematicafica ent˜ao f[n Integer/;n>0] :=

Select[Table[j∗(j+1)/2,{j,1,n}],Function[x,IntegerQ[Sqrt[x+1]] && x<n]]

onde a condi¸c˜ao x<ngarante que a fun¸c˜aofdevolva os naturaiskinferiores anvisto que a instru¸c˜ao Table[j∗(j+1)/2,{j,1,n}]gera uma lista de n´umeros triangulares at´e ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ .

E f´´ acil ver que o n´umero k = 3 ´e triangular e k+ 1 = 4 ´e um quadrado perfeito. Os pr´oximos exemplos s˜ao k= 15 e k= 120.

6. Escreva um programa Mathematica que receba dois naturaisae be devolva a fra¸c˜ao cont´ınua sim- ples finita [a₀, a₁, . . . , a_n] do racional a/b. Deve validar convenientemente os dados e determinar os elementos da frac¸c˜ao cont´ınua pelo algoritmo de Euclides. [2.0]

Resolu¸c˜ao: Os elementos aj da fra¸c˜ao cont´ınua [a0, a1, . . . , an] do racional a/b correspondem aos quocientes no algoritmo de Euclides, ver os slides Aulas 11-15. O c´odigoMathematicafica assim

fcEuclides[a_Integer, b_Integer ^/;b ^>0]:= Module[{r0=a,r1=b,r2=Mod[a,b^],

qlist= {Quotient[a,b^]}}, While[r2≠0,

r0=r1;

r1=r2;

r2=Mod[r0,r1];

AppendTo[qlist, Quotient[r0, r1]]]; qlist];

7. a)Determine a fra¸c˜ao cont´ınua dex=√

37. [1.5]

Resolu¸c˜ao: Temos

√

37 = 6 + (√

37−6) = 6 + 1

√37 + 6 ,

√

37 + 6 = 12 + (√

37−6) = 12 + 1

√37 + 6 ,

⇒ √

37 = [6; 12 ], i.e. a fra¸c˜ao cont´ınua de√

37 ´e infinita peri´odica da forma √

37 = [6; 12,12, . . .].

b) Determine todos os pares de naturais{p, q}, para 1≤q ≤1500,tais que

q√

37−p <

n√

37−m

, ∀m, n∈N, m

n 6= p

q , n≤q . [1.0]

Resolu¸c˜ao: Note-se que um n´umero fraccion´ario ^p_q diz-se melhor aproxima¸c˜ao racional p/q de um n´umero real x se para todos os racionais ^m_n, tais que ^m_n 6= ^p_q e 1≤n≤q, temos

|q x−p|<|n x−m|.

Portanto, os pares de naturais {p, q} correspondem a alguns dos melhores aproxima¸c˜oes racionais de

√37. Por outro lado, um n´umero fraccion´ario ´e melhor aproxima¸c˜ao racional de um n´umero real x se e s´o se ele for convergente da fra¸c˜ao cont´ınua dex. Os primeiros convergentes de √

37 s˜ao c0 = 6, c1= 6 + 1

12 = 73

12, c2 = 6 + 1

12 + ₁₂¹ = 882

145, c3= 6 + 1 12 + ¹

12+₁₂¹

= 10657 1752 . Assim os pares de naturais {p, q}, com 1≤q ≤1500,tais que

q√

37−p <

n√

37−m

, ∀m, n∈N, m

n 6= p

q , n≤q , s˜ao {6,1},{73,12} e{882,145}.

8. Considere a seguinte a fun¸c˜ao Mathematica

f[a Integer,b Integer]/;a∗b6=0:=Minimize[a∗x+b∗y,a∗x+b∗y>0,{x,y},Integers]

Se executarTable[Map[f,{{13,65},{13,7},{-2,-8}}][[k,1]],{k,1,3}]que resultado espera ob-

ter? [1.5]

(O Help do sistemaMathematica cont´em a seguinte informa¸c˜ao: Minimize[{f,cons},{x,y,...},dom]}

minimizes f subject to the constraints cons over the domain dom and returns a list of the form {fmin,{x→xmin,y →ymin, ... }} .

Resolu¸c˜ao: Dados dois inteiros n˜ao nulos a,b∈ Z, o valor m´ınimo positivo da express˜ao ax+by, x,y∈Z, corresponde, pelo Lema de B´ezout, ao m´aximo divisor comum dea eb. Portanto, a fun¸c˜ao f recebe dois inteiros n˜ao nulos e devolve uma lista em que o primeiro elemento fmin ´e o m´aximo divisor comum de aebe o segundo elemento ´e um par de elementos da forma{x→xmin,y →ymin} em que os inteiros xmin e y_min s˜ao tais que

mdc(a,b) = min x,y^∈Z

ax+by=axmin+by_min.

Portanto ao executar a instru¸c˜ao Table[Map[f,{{13,65},{13,7},{-2,-8}}][[k,1]],{k,1,3}] , obt´em-se uma lista com os m´aximos divisores comuns de {13,65},{13,7} e{-2,-8}ou seja, a lista {13,1,2}. Note-se que ao executar o comando Table[. . .[[k,1]],{k,1,3}], extrai-se, para cadak, apenas o primeiro elemento da lista {fmin,{x→xmin,y →ymin}}.

9. A representa¸c˜ao do n´umero fraccion´ario 1/17 na base 2 e finita ou infinita? Caso seja infinita,

determine a periodicidade da representa¸c˜ao. [1.5]

Resolu¸c˜ao: A representa¸c˜ao na base 2 do n´umero fraccion´ario 1/17 ´e infinita peri´odica visto que mdc(2,17)=1. Temos ainda

2¹ ≡2 (mod 17), 2²≡4 (mod 17), 2³ ≡8 (mod 17), 2⁴ ≡16 (mod 17) 2⁵ = 32≡15 (mod 17), 2⁶ = 64≡13 (mod 17), 2⁷ = 128≡9 (mod 17), 2⁸= 256≡1 (mod 17). Portanto a ordem de 2 m´odulo 17 e, por conseguinte, o per´ıodo da representa¸c˜ao de 1/17 na base 2,

´

e igual a 8.

10. Considere o seguinte c´odigo Mathematica

code[f ,a ,b ,nmax Integer]/;(f[a]∗f[b]<0 && nmax>1):=

Module[{i=1,x0,a0=N[Min[a,b]],b0=N[Max[a,b]]}, x0=(a0+b0)/2;

While[i <= nmax && f[x0]6=0,

If[f[a0]∗f[x0]<0,b0=x0,a0=x0];i++;x0=(a0+b0)/2];

x0]

a) Se executar a instru¸c˜ao

code[Function[x,Exp[x-2]-xˆ2],0,1,4]

que resultado espera obter? [1.5]

Resolu¸c˜ao: O c´odigocodecorresponde `a implementa¸c˜ao (em linguagemMathematica) do m´etodo da bisec¸c˜ao, ver os slidesAula 20. O programacoderecebe a fun¸c˜aof, cujo zero se pretende aproximar pelo m´etodo da bisec¸c˜ao, os extremos a e b de um intervalo em que a fun¸c˜ao f muda de sinal (a condi¸c˜ao f[a]∗f[b]<0), e o n´umero m´aximo de itera¸c˜oesnmax. O programa come¸ca por determinar o intervalo [a0,b0] tal que a0<b0 (note-se que os valores s˜ao num´ericos a partir desta altura) e calcula o ponto m´edio x0 desse intervalo. Depois, no cicloWhile, o programa passa para o intervalo [a0,x0] ([x0,b0]) sefmudar de sinal no intervalo[a0,x0] ([x0,b0]) e assim sucessivamente at´e que o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes for atingido ouf[x0]=0. O programa devolve a itera¸c˜ao da ordem nmax), visto quex0=(a0+b0)/2.

Quando executarmos

code[Function[x,Exp[x-2]-xˆ2],0,1,4]

estamos a aproximar o zero da fun¸c˜aof(x) =e^x−2−x²no intervalo [0,1]. ´E importante verificar que f(0) =e⁻² = 0.135335>0, f(1) =e⁻¹−1 =−0.632121<0,

ou seja f tem pelo menos um zero em [0,1]. Desenhando o gr´afico da fun¸c˜ao f, vˆe-se que ela possui trˆes zeros,z1 ∈[−1,0], z2∈[0,1] ez3∈[5,6], i.e. apenas um zero em [0,1]. O programacodeefetua 4 itera¸c˜oes no cicloWhile, depois de primeiro ter calculado x0=0.5. Obtemos assim os valores

x1=0.25, x2=0.375, x3=0.4375, x4=0.46875. Portanto o resultado da execu¸c˜ao ´e 0.46875.

b)Modifique o programacode de modo a que ele receba, para al´em def,a,benmax, um valor >0 e devolva uma aproxima¸c˜ao da raiz da equa¸c˜ao f(x) = 0 com um erro inferior a . [1.0]

Resolu¸c˜ao: A modifica¸c˜ao pode ser

codigo1[f_, a_, b_,nmax_Integer, eps_] /;(f[a] *f[b] <0 &&nmax>1):= Module[{i=1, x0,a0=N[Min[a, b]],b0=N[Max[a, b]]},

x0= (a0+b0) /2;

While[i≤nmax&&f[x0]≠0 && Abs[a0-b0] /2>eps,

If[f[a0] *f[x0] <0, b0=x0,a0=x0];i++;x0= (a0+b0) /2]; {x0,i}]

Note-se que, se z for o zero def que estamos a aproximar, temos para o erro da iterada x_k

|z−xk| ≤ bk−ak

2 .

em quex_k= ^ak+b₂ ^k. Embora n˜ao tenha sido pedido, o programacodigo1devolve tamb´em o n´umero de itera¸c˜oesipara que o utilizador possa averiguar qual dos crit´erios de paragem,i>nmaxou ^bk−a₂ ^k ≤, foi atingido primeiro.