Chama-se de função afim, ou função polinomial do 1 grau, toda função f de em dada pela lei de formação: a =1 e

Funções

Teoria

Função Afim

Chama-se de função afim, ou função polinomial do 1°grau, toda função f de em dada pela lei de formação:

( )

f x =ax b+

em que a e b são números reais, tal que a0, chamados de coeficientes numéricos, sendo a chamado de coeficiente angular e b, de coeficiente linear.

Exemplo: Na função definida por ^{f x}

( )

( ) 8 1 8

1 ( ) 3 4 3

4 ( ) 10 10

0 1

( ) 5 2

2 5

( ) 0,3 2 2

0,3 f x x a

b f x x a

b f x x a

b x a

f x

b

f x x a

b

 =

= −   = −

 = −

= − +   =

 =

=   =

 =

= −  

 = −



 =

= − +  

 = −

Função Linear

Há um caso particular de função afim que é definido quando b = 0. Assim, a função afim f de em , definida pela lei f x( )=ax, a , é chamada de função linear. Dos exemplos tratados anteriormente, é linear a função dada por:

( ) 10 10

0 f x x a

b

 =

=   =

Taxa de Variação

Uma das características de uma função afim está relacionada à sua taxa de variação, que é constante;

vejamos como identificar essa taxa de variação e como ela se relaciona com os valores das variáveis x e y, bem como com seus coeficientes numéricos.

Para entendermos melhor, vejamos um exemplo:

“Uma empresa, ao calcular seus custos, separa-os em custos fixos e custos variáveis. Os custos como aluguel, encargos fiscais, impostos e salários são considerados fixos, enquanto custos com matéria-prima, comissões pagas aos funcionários e custos com fretes são exemplos de custos variáveis.

Vamos supor que uma empresa que produz certo material tem custo fixo de R$ 5.000,00 mensais e um custo variável, que depende do número de peças produzidas, de R$ 30,00 por unidade fabricada.

Como podemos representar o custo mensal dessa empresa?”

Reparem que o custo inicial é de R$5000, 00, uma que, caso nenhuma unidade seja produzida, ainda assim esse seria o gasto da empresa. Além disso, a cada unidade fabricada, temos um aumento de R$30, 00no gasto total. Assim, podemos escrever a função do custo mensal da empresa em função do número de quantidades produzidas:

( ) 5000 30

f x = + x

Em que f x( ) é o gasto da empresa e x é a quantidade de unidades produzidas.

Assim, propomos a seguinte pergunta: “O que acontece com o custo mensal da produção quando a quantidade de peças produzidas aumenta?”

Para responder a ela, vamos construir uma tabela de valores em que os valores de x aumentam uma unidade a cada linha.

Quantidade de peças produzidas (x) Custo mensal de produção (y)

0

x= ^{y=30 0 5000 + =5000}

1

x= y=30 1 5000 + =5030

2

x= y=30 2 5000 + =5060

3

x= y=30 3 5000 + =5090

4

x= ^y=^{30 4 5000} + =⁵¹²⁰

Observando os valores de y, podemos concluir que, quando os valores da variável x sofrem um aumento de 1 unidade, os valores de y aumentam 30 unidades. Assim, podemos dizer que os valores de y sofrem um aumento constante a uma taxa de 30 unidades para cada unidade que aumentamos em x. Comparando o valor da taxa constante de aumento com os valores dos coeficientes a e b, concluímos que o valor da taxa de aumento é dado pelo valor do coeficiente numérico a, ou seja, o valor de a representa a taxa de variação da função afim f x( )=5000 30+ x.

Agora que já sabemos a importância do coeficiente a, podemos aprender a calculá-lo. Dessa maneira, temos que a taxa de variação de uma função afim é dada pela razão entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas de dois pontos quaisquer pertencentes à função. Logo, concluímos que a variação da função afim é dada por

a y x

= 



Em que, dados dois pontos A x y

(

)

(

)

→ Se a0, temos uma função afim crescente.

→ Se a0, temos uma função afim decrescente.

Representação Gráfica

Agora que já estudamos algumas propriedades e relações entre as variáveis x e y da função afim, devemos estabelecer qual é o comportamento dessa função em um plano cartesiano. Quando colocamos os pontos de uma função em um mesmo plano, determinamos uma curva que é chamada de gráfico da função. Para uma função afim f x( )=ax b+ , com a0 , o gráfico é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y, ou seja, uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados. Dessa maneira, para que possamos desenhar a reta que representa uma função afim, precisamos de apenas dois de seus pontos. Observe o exemplo abaixo:

Exemplo: Desenhar o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2.

Vimos que precisamos de apenas dois pontos pertencentes à função ^{f x}

( )

x y Par ordenado

0 𝑓(0) = 0 + 2 = 2 𝐴(0,2)

−2 𝑓(−2) = −2 + 2 = 0 𝐵(−2,0)

Agora, podemos, através dos pontos A e B, desenhar o gráfico da função ^{f x}

( )

Aprenderemos abaixo algumas maneiras de facilitar a representação gráfica de uma função afim.

Coeficiente angular no gráfico

Dada uma função afim f x( )=ax b+ , com a0, seu coeficiente angular é dado por 𝑎 =^Δ𝑦_Δ𝑥. Graficamente, tomando dois pontos quaisquer de uma função afim, obtemos:

Note que, no triângulo retângulo ABC, temos os catetos AC=  = −x x_b x_a e BC=  =y y_b−y_a. Pela relação de tangente, temos:

BC y

tg a

AC x

= =^ =



Ou seja, o coeficiente angular a de uma funçaõ afim também pode ser expresso como a tangente do ângulo que a função faz com o eixo no sentido anti-horário.

Coeficiente linear no gráfico

Seja uma função afim f x( )=ax b+ , com a0. Chamamos o coeficiente numérico b de coeficiente linear.

O coeficiente linear é o valor de y encontrado quando x=0. Calculamos f(0):

( )

(0) 0 (0)

f =a + = b b f =b

Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto

( )

Raiz ou zero da função

Por fim, devemos saber reconhecer um elemento importante do gráfico de uma função afim, que é chamado de raiz ou zero da função.

Em uma função afim f x( )=ax b+ , a raiz é o valor de x quandoy=0. Isto é, para obter a raiz da função devemos igualar a zero o polinômio do 1° grau.

“x₁ é raiz da função afim se, e somente se, f x( )₁ =0.”

Na forma de um par ordenado, a raiz da função é a abscissa do ponto

(

)

Estudo do sinal de uma função afim

Assim como para as equações, no estudo das inequações devemos, primeiramente, definir uma inequação para que, em seguida, possamos trabalhar com um tipo de inequação chamada de inequação do 1º grau.

Para analisarmos o sinal de uma função afim, precisamos separar em dois casos:

→ Se a0, sendo x₁a raiz da função, temos:

1 1 1

( ) 0, se ( ) 0, se ( ) 0, se

f x x x

f x x x

f x x x

 

 = =

  



`

→ Se a0, sendo x₁a raiz da função, temos:

1 1 1

( ) 0, se ( ) 0, se ( ) 0, se

f x x x

f x x x

f x x x

 

 = =

  



Exercícios

1. Dê a lei de formação da função abaixo:

a) f x( )=2x+2 b) f x( )=2x−1 c) f x( )= − +x 2 d) f x( )= +x 2 e) f x( )= −x 1

2. O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:

a) R$ 8.250,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.750,00 d) R$ 7.500,00 e) R$ 7.000,00

3. O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x.

Determine o tempo x ,₀ em horas, indicado no gráfico.

4. Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.

Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi:

a) I b) II c) III d) IV

5. Um animal, submetido à ação de uma droga experimental, teve sua massa corporal registrada nos sete primeiros meses de vida. Os sete pontos destacados no gráfico mostram esses registros e a reta indica a tendência de evolução da massa corporal em animais que não tenham sido submetidos à ação da droga experimental. Sabe-se que houve correlação perfeita entre os registros coletados no experimento e a reta apenas no 1º e no 3º mês.

Se a massa registrada no 6º mês do experimento foi 210 gramas inferior à tendência de evolução da massa em animais não submetidos à droga experimental, o valor dessa massa registrada é igual a a) 3,47 kg.

b) 3,27 kg.

c) 3,31kg.

d) 3,35 kg.

e) 3,29 kg.

6. No centro de uma cidade, há três estacionamentos que cobram da seguinte maneira:

Estacionamento A Estacionamento B Estacionamento C R$ 5,00 pela primeira hora

R$ 3,00 por cada hora subsequente

R$ 4,00 por hora

R$ 6,00 pela primeira hora R$ 2,00 por cada hora

subsequente Será mais vantajoso, financeiramente, parar

a) no estacionamento A, desde que o automóvel fique estacionado por quatro horas.

b) no estacionamento B, desde que o automóvel fique estacionado por três horas.

c) em qualquer um, desde que o automóvel fique estacionado por uma hora.

d) em qualquer um, desde que o automóvel fique estacionado por duas horas.

e) no estacionamento C, desde que o automóvel fique estacionado por uma hora.

7. Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto.

Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de retas nos gráficos.

Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios solares após

a) 8,225 anos.

b) 9,375 anos.

c) 10,025 anos.

d) 10,175 anos.

e) 9,625 anos.

8. João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugar um veículo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então, lhe apresentou duas propostas:

- plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 50,00 e mais R$ 1,60 por quilômetro rodado.

- plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 por quilômetro rodado.

João observou que, para certo deslocamento que totalizava k quilômetros, era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a ser pago seria o mesmo.

É correto afirmar que k é um número racional entre a) 14,5 e 20

b) 20 e 25,5 c) 25,5 e 31 d) 31 e 36,5

9. Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade?

a) 2 meses e meio.

b) 3 meses e meio.

c) 1 mês e meio.

d) 4 meses.

e) 1 mês.

10. Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t segundos e, em seguida, anotou- se o comprimento x, em centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os resultados do experimento.

Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos no experimento permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de

a) 1 minuto e 2 segundos.

b) 1 minuto.

c) 1 minuto e 3 segundos.

d) 1 minuto e 1 segundo.

e) 1 minuto e 4 segundos.

Gabaritos

1. A

Vemos que o gráfico é de uma função afim, assim, sua lei de formação é da forma f x( )=ax b+ . Como a reta corta o gráfico no ponto

( )

(

)

( )

( )

( ) 2

( 1) 0 0 1 2 2

f x ax b f x ax

f a a

= +

= +

− =  = − +  =

Por fim, vemos que a resposta é f x( )=2x+2 2. C

Pelo enunciado, vemos que o carro desvalrizou 5 mil reais em 4 anos. Queremos saber a desvalorização após 1 ano. Assim, podemos fazer uma regra de três:

5000 ____ 4 ______1x

Resolvendo, encontramos x=1250. Por fim, o carro irá valer 9000 1250− =7750reais.

3. De acordo com as informações do problema, temos:

A

B

y 720 – 10x y 60 12x

=

= +

O valor x₀ indicado no gráfico é o valor de x quando yA = yB, ou seja:

720 10x 60 12x 22x 660

x 30

− = +

− = −

=

Logo, x₀ =30 horas.

4. B

As taxas de desvalorização anual dos veículos I, II, III e IV foram, respectivamente, iguais a 25 75

5 0 10, 10 60

12,5, 4 0

14 50 6 6

− = −

−

− = −

−

− = − e

16 36 4 5.

− = −

Portanto, segue que o veículo que mais desvalorizou por ano foi o II.

5. E

Calculando:

1 2

y ax b

P (1, 1) e P (3, 2) y 2 1 1

a x 3 1 2

x 1 1

y b 1 b b

2 2 2

= +

 −

= = =

 −

= +  = +  =

Assim:

y 1(x 1) 2

6º mês y 0,21

1 7

y (6 1) 3,5 3,5 0,21 3,29 kg

2 2

= +

 −

= + = =  − =

6. D

Valor cobrado pelo estacionamento A para t horas.

A A

y (t)= + −  5 (t 1) 3 y (t)=3t+2

Valor cobrado pelo estacionamento B para t horas.

y (t)B = 4 t

Valor cobrado pelo estacionamento C para t horas.

C C

y (t)= + −  6 (t 1) 2 y (t)=2t+4 Como y (2)_A =y (2)_B =y (2)_C =8

Logo, todos cobrarão o mesmo valor, desde que o automóvel fique estacionado por duas horas.

7. B

Calculando:

Concreto :

35 25 5

m 0 6 3

y 5x 35 3 Asfalto :

16 10

m 1

6 0 y x 10

5 5 8

x 10 x 35 x x 35 10 x 25 x 9,375 anos

3 3 3

− −

= =

−

= − +

= − =

−

= +

+ = − + → + = − → = → =

8. D

Considerando que k seja o número de quilômetros rodados e A(x) o valor de locação no plano A e B(x) o valor de locação no plano B.

A(x) 50 1,6 k B(x) 64 1,2 k

= + 

= + 

Fazendo A(x)=B(x), temos:

50 1,6 k+  =64 1,2 k+  0,4 k =14 =k 35 km Portanto, 31 35 36,5.

9. A

Seja 𝑝:ℝ₊→ℝ a função dada por p(t)=at+b, em que p(t) é a porcentagem relativa à capacidade máxima do reservatório após t meses. Logo, tomando os pontos (6, 10) e (1, 30), segue que a taxa de variação é dada por

10 30

a 4.

6 1

= − = −

−

Em consequência, vem

p(1)=30 −  + =4 1 b 30 =b 34.

Portanto, temos − +4t 34=0, implicando em t=8,5.

A resposta é 8,5 6− =2,5 meses, ou seja, 2 meses e meio.

10. C

Considerando como x ' a porção de madeira chamuscada e y o tempo em segundos, pode-se escrever:

y=ax ' onde ^{2 1}

2 1

y y 15 3

a a 6 y 6x

x x 2,5 0,5

− −

= = → = → =

− −

Logo, para queimar totalmente o palito de fósforo:

x ' 10,5 cm

y 6 10,5 y 63 segundos 1min e 3 segundos

=

=  → = =