Gestão e Teoria da Decisão

(1)

2005/2006 1

Gestão e Teoria da Decisão

Logística e Gestão de Stocks

§

Gestão de Stocks

Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território

2005/2006

2 1. O papel dos stocks

2. Classificação dos Modelos de Gestão de Stocks

3. Composição do custo associados aos stocks

4. Modelos Determinísticos

nReposição instantânea sem rotura; Reposição instantânea com rotura;

Reposição não instantânea sem rotura; Reposição não instantânea com rotura 5. Modelos Estocásticos:

nAleatoriedade da procura e do tempo de entrega; Gestão de stocks por Nível de Encomenda (M); Gestão de stocks por Revisão Cíclica

6. Comparação da gestão de stocks por Nível de Encomenda com a gestão por Revisão Cíclica

7. Medidas de desempenho 8. Análise ABC

9. Sistemas hierárquicos:

n Planeamento MRP; Planeamento DRP; Just-in-Time Gestão de Stocks

Agenda

(2)

2005/2006

3 Gestão de Stocks

O Papel dos Stocks nas Organizações

•

Razões para as organizações manterem inventários:

1.

obtenção de economias de escala

2.

o equilíbrio entre a procura e a oferta

3.

especialização na produção

4.

providencia protecção contra incertezas na procura e no ciclo de encomenda

5.

actua como um buffer (protecção) entre interfaces críticas no canal de distribuição

2005/2006

4 Gestão de Stocks

O Papel dos Stocks nas Organizações

• Cadeia logística

• Filosofia push – produção/movimentação do produto com base em previsões

• Filosofia pull – produção/movimentação do produto com base em informação do cliente (notas de encomenda)

• Informação rápida, de qualidade e automática (=> EDI, Internet…) ≅ stocks => visibilidade

FornecedorFornecedor FabricanteFabricante DistribuidorDistribuidor RetalhistaRetalhista ClienteCliente

push pull

Ponto de desacoplagem

(3)

2005/2006

5 Gestão de Stocks

Classificação Modelos de Gestão de Stocks Sistema de gestão de stocks E

E (Stock) I

(abastecimento)

D (procura)

T Q

T T

Abastecimento

Tempo Procura

r

Tempo Taxa de procura

Q

T T

Stock

Tempo T Q – Quantidade de compra/Encomenda

Abastecimento

T₁ p

T₁ T₂ ^Tempo

Procura

r

Tempo p – Taxa de produção

Q Stock

Tempo T₁ T₁ T₂

T

Q = T.r Q = p.T₁=T.r

2005/2006

6 Gestão de Stocks

Classificação Modelos de Gestão de Stocks

Procura Regular ou Independente

Procura Irregular ou

Dependente

Determinísticos Aleatórios MRP

Material Requirements Planning

DRP Distribution Requirements Planning A procura oscila

em torno de um valor médio

Criação de Stocks de segurança

(4)

2005/2006

7 Gestão de Stocks

Classificação Modelos de Gestão de Stocks

• Que quantidade encomendar?

• Quando?..

• Com que critério?..usualmente procura-se a minimização dos custos:

– Rotura versus excesso de stocks

• Na totalidade do ano há sempre que comprar 1200 unidades!

100 600 1200

1 6 12

mês Quantidade

Encomendada 1 x 1200 unidades => 600

unidades em média em stock

2 * 600 unidades => 300 unidades em média em stock

12 x 100 unidades => 50 unidades em média em stock

2005/2006

8 Gestão de Stocks

Custos de Funcionamento de um Sistema de Stocks 1. Custo (variável) de aquisição

• Usualmente proporcionais à quantidade adquirida, podendo haver desconto de quantidade

2. Custo (fixo) de encomenda

• Custo administrativo da encomenda (lançamento, controlo e recepção), não dependente da quantidade adquirida

3. Custo de posse (manutenção do artigo em stock)

• Custos directos:

• Armazém / Espaço

• Pessoal / Equipamento para movimentação, seguros, impostos, danos, roubos, obsolescência

• Custo de oportunidade do capital

∴Usualmente proporcionais ao stock médio (ou ao stock máximo em algumas parcelas) e ao tempo

4. Custo de rotura (carência ou falta do artigo)

• Penalidades ocorridas resultantes da falta do artigo

• Usualmente proporcionais:

• À quantidade em falta (média / máxima)

• Ao tempo de carência

(5)

2005/2006

9 Gestão de Stocks

Modelos Determinísticos:

Reposição Instantânea Sem Rotura

A – custo administrativo da encomenda

C

₂

– custo de posse por unidade de tempo, por unidade

C

_T

– custo por ciclo

2 T C Q posse

Custo ₂ 



 



=  _

Q

T T

Stock

Tempo T

T – comprimento do ciclo Q – lote

r – taxa da procura

(Q/2) = stock médio

2 T C Q A

C

T 2





 

 + 

= + C

₁

Q

Custo de aquisição – se for C₁for constante

pode ser excluído

2005/2006

10 Gestão de Stocks

Custo por unidade de tempo

Como

Determinar o Q que minimiza o custo por unidade de tempo

 

 

 + 

=

= 2

C Q T A T

K C

2

T

T Q C

₁

+

r T Q = ⋅

 

 

 + 

= ⋅

2 C Q Q

r

K A

₂

+ C

₁

⋅ r

(r/Q) = n.º de encomendas

2 0 C Q

r A dQ

dK

₂

2

+ =

− ⋅

=

(6)

2005/2006

Lote óptimo

C

2

r A Q

^∗

= 2 ⋅

EOQ (Economical Order Quantity)

Q Custo de

posse

Custo de encomenda Custo Total

K

Q^* K^*

ArC

2

2 K

^∗

=

2005/2006

Lote óptimo

– Custo de transporte:

a + bQ

Custo fixo

Custo variável (por unidade)

( )

( ) ( ) ^T

2 C Q Q b C a A

bQ a 2 T C Q Q C A C

2 C

1 A

2 1 T

' 1 '

+ + + +

=

+ + +

+

=

3 2 3 1

2 1

2 '

C

r

A

Q

^∗

= 2 ⋅

(7)

2005/2006

Lote óptimo

– Custo de armazenagem proporcional ao stock máximo (e ao Tempo):

( )

2 C Q 2 C r Q C Ar

Q 2 C C Q T

Q C T A T k C

QT C 2 T C Q Q C A C

'

C2

a 2 1

a 2

1 T

a 2

1 T

43 42 1 + + +

=

+ +

+

=

+ +

+

=

'

C

2

r A Q

^∗

= 2 ⋅ C

a

2005/2006

Reposição Instantânea Com Rotura

Custo (fixo) de encomenda: A Custo de posse:

Custo de rotura:

Custo (total) por ciclo:

r T S

r S T Q

2 1

=

= −

Q

T₁ T₂ Stock

Tempo

T=T₁+T₂

Q-S

S

S ?

? Q

=

1

2

T

2 S C Q −

2

3

T

2 C S

^C³- custo de rotura por unidade em falta e unidade de tempo

Q C 2 T C S 2 T

S C Q A

C

_T

= +

₂

−

₁

+

₃ ₂

+

₁

(8)

2005/2006

Reposição Instantânea Com Rotura

( )

T C Q T S r 2 C T

S Q r 2 C T A T

K C

₁

2 3 2 2

T

= + − + +

=

Q C 2 T C S 2 T

S C Q A

C

_T

= +

₂

−

₁

+

₃ ₂

+

₁ substituindo T₁e T₂

mas como T=Q/r

( ) _C _r

Q S 2 C Q

S Q 2 C Q

K Ar

₁

2 3 2

2

− + +

+

=

 



 



 

 



 +

=

⇒

∂ =

∂

+ +

=

⇒

∂ =

∂

C S C Q C

S 0 K

S C S

C C

Ar Q 2

Q 0 K

2 3 2

2 2 2 3 2 2

( )

r C C C ArC C 2 K

C C C ArC 1 2 S

C 1 C C

Ar Q 2

1 3 2

3 2

*

3 2 3 2

*

3 2 2

*

+ +

=

= +

+

=

2005/2006

Reposição Não Instantânea Sem Rotura

p – taxa de produção/fornecimento r – taxa de consumo

M – nível de existências máximo M

T₁ T₂

Stock

Tempo T=T₁+T₂

Declive = - r Declive = p - r

 

  −

=

−

=

−

=

p 1 r Q M

p r Q Q M

rT Q M

p T Q

rT Q

1 1

A quantidade Q encomenda corresponde ao consumo em T e a produção em T₁

Nota: uma vez determinado M ou Q, o outro valor fica automaticamente determinado =>

modelo com uma única variável decisória

(9)

2005/2006

Reposição Não Instantânea Sem Rotura

r C p Q 1 r 2 C Q K Ar

T Q C 2 C M T A T K C

Q C 2 T C M A C

1 2

T

1 2

T

 +

  +  −

=

+ +

=

+ +

=

Nota: quando a taxa de produção tende para infinito a reposição tende para ser instantânea O nível médio do

stock é M/2

r p

p C

r A Q 2

2

−

= ⋅

∗

2005/2006

Reposição Não Instantânea Com Rotura

( )

( ) ^pr

r p

T Q T

r T T T T Tr Q

r p

r T T

r T r p T S

r p

r T T r

T r p T M q

3 2 4

3 2 1

3 4 3

4

2 1 2

1

−

= +

⇒ +

+ +

=

= −

⇒

=

−

=

= −

⇒

=

−

=

q

T₁ T₂

Stock

Tempo

T₃ T₄

S

? S

? Q

=

T

(10)

2005/2006

Reposição Não Instantânea Com Rotura

( ) (

^T ^T

)

^C^Q

2 C S T 2 T C q A

C_T= + ₂ ₁+ ₂ + ₃ ₃+ ₄ + ₁

T 0 K T

K S K Q K T K C

3 2

T =

∂

= ∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

⇒∂

=

Custo de posse Custo de rotura

Nota: O custo total depende de 4 parâmetros: Q, S, T₂e T₃

( ) ( )

( )



 +

















= −

+ +

 − +  =

 −

=

+ 

 − +  =

 −

=

3 3 2 2

1 3

2 3

* 2

3 3 2 2 3

2 3 2 2

2 3 2 3 2

C C C rp 1

1 C

rA Q 2

C rC C

rp 1 A C C 2 C K

C C r

rp 1 A C 2 T

C C C

rp 1 A C 2 C S

C C r

rp 1 A C 2 T

2005/2006

Modelos Estocásticos:

Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega

• Em todos os modelos apresentados até agora admitiu-se que todas as variáveis são deterministicamente conhecidas!

• No caso geral, a realidade é aleatória, sendo necessário desenvolver modelos que permitam considerar explicitamente a aleatoriadade das variáveis que afectam o comportamento do sistema:

– Flutuações (aleatórias) da procura

– Flutuações (aleatórias) do tempo de reposição do stock

(11)

2005/2006

• Variáveis decisórias:

– Quantidade a encomendar

– Instante de tempo em que essa encomenda é colocada

– Nota: ao contrário dos modelos determinísticos, a determinação do valor de uma das variáveis não fixa o valor da outra!

• O sistema de gestão de stocks deve adaptar-se automaticamente às flutuações da procura variando o tempo entre encomendas ou variando a quantidade a encomendar:

– Política do “nível de encomenda”, onde a quantidade a encomendar é fixa, sendo o instante em que a encomenda é colocada determinado pelas flutuações da procura

– Política da “revisão cíclica”, pelo contrário, o intervalo de tempo entre encomendas é fixo e a quantidade a encomendar varia com as flutuações da procura

2005/2006

• Política do nível de encomenda

Uma encomenda é colocada sempre que o stock desce até um nível prefixado M(ponto de encomenda)

tempo Stock

M

Q Nível de

existências Nível de existências + encomendas

Recepção da encomenda Colocação da encomenda

(12)

2005/2006

tempo Stock

M

• Política da revisão cíclica

As encomendas são colocada em intervalos fixos de tempo sendo variável a quantidade a encomendar, calculada por forma a elevar o stock-em-mão mais a encomenda até um nível máximo M (nível de enchimento)

Pontos de revisão

Nível de existências + encomendas

Nível de existências

T T

τ τ τ

Duração do ciclo

Tempo de reposição

2005/2006

Medidas de Desempenho

i. Probabilidade rotura por ciclo (α) – este valor mede a probabilidade da procura durante o tempo de reposição exceder o ponto de encomenda, M

• Na presença da variabilidade significativa da procura durante o tempo de reposição, os sistemas de gestão de stocks são avaliados de acordo com dois indicadores:

– Risco de rotura ou o seu complementar (nível de serviço ou de protecção) – Custo anual do sistema

• Há várias formas de medir o risco de rotura:

Consideremos duas políticas de gestão de stocks que diferem apenas da na duração do ciclo, tendo o mesmo α= 5%, e o mesmo n úmero médio de unidades em falta por ciclo de 3:

Política 1:Q = 520 unidades suficientes para todo o ano => 1 ocasião para possível rotura Política 2:Q = 10 unidades suficientes para uma semana => 52 ocasiões para possíveis roturas

∴Embora αseja igual, a ocorrência de roturas é muito mais frequente para lotes mais pequenos?!

(13)

2005/2006

Medidas de Desempenho

ii. Percentagem da procura satisfeita sem atrasos, tamb é m denominada vulgarmente com o nível de serviço – esta medida entra em consideração com o nú mero médio de unidades em falta por ciclo ( ) e tamb é m com o número de ciclos por ano r/Q.

η

Procura anual – Procura não satisfeita imediatamente Nível de serviço =

Procura anual

Q 1 r Q r r serviço _ de _

Nível − η= −η

=

Calcular o nível de serviço para as duas situações alternativas:

% 4 , 99 994 , 520 0 1 3 serviço _ de _

Nível = − = =

% 70 7 , 10 0 1 3 serviço _ de _

Nível = − = =

2005/2006

Política do Nível de Encomenda

tempo

τ- tempo de entrega (ou de reposição) Q – quantidade de encomenda fixa T – duração do ciclo (variável)

x – quantidade em falta quando chega uma nova encomenda (variável)

τ1 τ2 τ3

Recepção da encomenda

– 1ª Parte do ciclo: Existências > M. Não pode haver rotura – 2ª Parte do ciclo: Existências < M. Duração =τ

Pode haver rotura se a procura durante o tempo de entrega (x) exceder a disponibilidade (M): se x > M => Rotura!

T₁ T₂ T₃

Stock

M

Nível de encomenda

Colocação da encomenda: Ponto de Revisão

x₂

(14)

2005/2006

Política do Nível de Encomenda Modelação da Rotura – Procura Discreta

• Probabilidade de rotura por ciclo: α

• Nível de protecção: (1 - α )

• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda:

η(x,M)

( ) ∑

^+∞

( )

+

=

>

= α

1 M x

i

x h M

x P

( )

 



>

= ≤

η x - M se x M M x se M 0

, x

2005/2006

28

• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑ ( ) ( )

∑ ∑

∑

∞ +

=

∞ +

= +∞

=

⋅

−

= η

⋅

− +

⋅ η

⋅

= η

⋅ η

= η

M x

i i

M

0

x x M

i i

i 0 x

i

i i

i

x h M x M

x h M x x

h 0 M

x h M

) M η (

h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição Função de perdas

Gestão de Stocks

(15)

2005/2006

29

• Exemplo h(x)

10 %

10 % 15 % 15 %

50%

r(u/s)

60 80 100 120 140

7 100 0

Média

0 0 0 20 40 40

20 0 -20 -40 10

15 50 15 10 60

80 100 120 140 Valores

possíveis

Faltas η Stock-em-mão no fim do ciclo (M -procura) Probabilidade

(%) Procura no tempo

de reposição

Tempo de reposição = 1 semana ; M = 100

Gestão de Stocks

2005/2006

30

• Exemplo

– Stock de segurança, S: valor médio do stock no fim do ciclo, imediatamente antes de a encomenda chegar

– Neste caso S = 100 – 100 = 0

µ

−

= M

S

Procura média durante o

tempo de reposição

40 S

% 0 140

M

20 S

% 10 120

M

0 S

% 25 100

M

=

= α

=

= α

=

= α

=

Probabilidade de rotura excessiva!

Considerar valores de M mais elevados

( ) ∑

^+∞

( )

+

=

>

= α

1 M x

i i

x h M x P

Gestão de Stocks

(16)

2005/2006

31

• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!

– É necess ário determinar a distribuição da procura condicionada ao tempo de reposição de 2 semanas, admitindo-se a independência entre a procura em duas semanas consecutivas:

Gestão de Stocks

∑

=

^L

1 i

r

i

x

2

1

x

x x = +

Procura na 1ª semana

Procura na 2ª semana

2005/2006

32

• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!

0,1 x 0,10 = 0,010 x 0,15 = 0,015 x 0,50 = 0,050 x 0,15 = 0,015 x 0,10 = 0,010 200

220 240 260 280 60

80 100 120 140 140

0,15 x 0,10 = 0,0150 x 0,15 = 0,0225 x 0,50 = 0,0750 x 0,15 = 0,0225 x 0,10 = 0,0150 180

200 220 240 260 60

80 100 120 140 120

0,5 x 0,10 = 0,050 x 0,15 = 0,075 x 0,50 = 0,250 x 0,15 = 0,075 x 0,10 = 0,050 160

180 200 220 240 60

80 100 120 140 100

0,15 x 0,10 = 0,0150 x 0,15 = 0,0225 x 0,50 = 0,0750 x 0,15 = 0,0225 x 0,10 = 0,0150 140

160 180 200 220 60

80 100 120 140 80

0,1 x 0,10 = 0,010 x 0,15 = 0,015 x 0,50 = 0,050 x 0,15 = 0,015 x 0,10 = 0,010 120

140 160 180 200 60

80 100 120 140 60

Probabilidade 1ª+2ªsem

2ªsemana 1ªsemana

Gestão de Stocks

(17)

2005/2006

33

µ= 200 Procura média durante o tempo de reposição,

= 0,01

= 0,03

= 0,1225

= 0,18

= 0,315

= 0,18

= 0,1225

= 0,03

= 0,01 0,01

0,015+0,015 0,5+0,0225+0,05

0,015+0,075+0,075+0,015 0,01+0,0225+0,25+0,0225+0,01 0,015+0,075+0,075+0,015 0,5+0,0225+0,05

0,015+0,015 0,01 120

140 160 180 200 220 240 260 280

Probabilidade de ocorrência Procura

Gestão de Stocks

2005/2006

34

– Notas:

• Para valores de α inferiores a 5% o stock de segurança para o tempo de reposição de 2 semanas cresce rapidamente

• Para α= 0 (não há rotura), para 2 semanas de tempo de reposição o valor do stock de segurança é o dobro do observado para 1 semana

80 S

% 0 280

M

60 S

% 1 260

M

40 S

% 4 240

M

20 S

% 16 220

M

0 S

% 34 200

M

=

= α

=

= α

=

= α

=

= α

=

= α

=

Gestão de Stocks

(18)

2005/2006

35

• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável

– h(x) pode ser determinada através da análise de dados históricos – Ou:

– Consideremos o exemplo anterior, sendo tempo de reposição é de 1 ou 2 semanas, com igual probabilidade

( ) ^x =

^+∞

∫ ^f ( ) ( ) ^x ^| τ ^g τ ^d τ h

0

Densidade probabilidade do tempo de reposição

Densidade probabilidade condicionada da procura para um dado tempo de reposição, τ

Gestão de Stocks

2005/2006

36

• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável

µ= 150 Procura média durante o tempo de reposição,

= 0,05

= 0,075

= 0,25

= 0,08

= 0,065

= 0,06125

= 0,09

= 0,1575

= 0,09

= 0,06125

= 0,015

= 0,005 0,5 x 0,1

0,5 x 0,15 0,5 x 0,5

0,5 x 0,15 + 0,5 x 0,01 0,5 x 0,10 + 0,5 x 0,03

0,5 x 0,1225 0,5 x 0,18 0,5 x 0,315 0,5 x 0,18 0,5 x 0,1225 0,5 x 0,03 0,5 x 0,01 60

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

Probabilidade de ocorrência Procura

P[x=120]=P[x=120/τ=1]P[τ=1]+P[x=120/τ=2] P[τ=2]

Gestão de Stocks

(19)

2005/2006

37

• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável

130 S

% 0 200

M

110 S

% 2 200

M

90 S

% 2 200

M

70 S

% 8 200

M

50 S

% 17 200

M

30 S

% 33 180

M

=

= α

=

= α

=

= α

=

= α

=

= α

=

= α

=

Gestão de Stocks

2005/2006

38

• Exemplo – Stock de segurança em função da probabilidade de rotura por ciclo

0 20 40 60 80 100 120 140

0% 10% 20% 30% 40%

1 sem 2 sem 1 ou 2 sem As empresas preferem fornecedores e distribuidores com tempos de reposição mais curtos e pouco variáveis – até estão disposta a pagar mais!

α(%) S

Gestão de Stocks

(20)

2005/2006

Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica

• Tempo de reposição constante e igual a L

– Procura média durante o tempo de reposição

∑

=

^L

1 i

r

i

x

Procura (aleatória) na unidade de tempo, num dado instante

( ) ( )

r L

r r E

r E x E

L

1 i

i L

1 i

i L

1 i

i

= µ

 

 



= 

= µ

∑

=

Procura média na unidade de tempo

Procura média durante o tempo de reposição

2005/2006

• Tempo de reposição constante e igual a L

– Variância da procura, admitindo que a procura é independente de unidade de tempo para unidade de tempo

( ) ( )

2 r 2

L

1 i

2 i 2

L

1 i

i 2

L

1 i

i 2

L

r VAR

r VAR x

VAR

σ

= σ

σ

= σ

 

 

=

= σ

∑

=

Variância da procura na unidade de tempo, constante

Variância da procura na durante o tempo de reposição

(21)

2005/2006

• Quando x e τ (tempo de reposição) são ambos variáveis:

– A média e variância daprocura durante o tempo de reposição:

Nota:

• Quando o tempo de reposição é fixo, estas expressões transformam-se nas anteriores

∑

^τ

=

τ

=

σ + σ τ

= σ

⋅ τ

= µ

1 i

i 2 2 2 r 2

r x

r r

Média e a variância do tempo de reposição Média e a variância da procura durante do tempo de reposição

Tempo de reposição

Procura durante o tempo de entrega – soma das procuras nas unidades de tempo abrangidas pelo tempo de entrega

2005/2006

• Exemplo

– Procura por semana





= σ

=

2 2

2 225 ton /sem

ton/sem 100

r Variância Média





= σ

= τ

τ

2

2 0sem

sem 3 Variância Média

i) Tempo de entrega (fixo)

Procura durante o tempo de entrega (x)







≈ σ

=

×

= σ + τ σ

= σ

=

×

=

⋅ τ

= µ

τ

ton 26

ton 675 3 225 r

ton 300 100 3 r

2 2 2 2 r 2





= σ

= τ

τ

2 2 0,25sem

sem 3 Variância Média

ii) Tempo de entrega aleatório

Procura durante o tempo de entrega (x)











≈ σ

=

× +

×

=

= σ + τ σ

= σ

=

×

=

⋅ τ

= µ

τ

ton 56

ton 3175 100

25 , 0 3 225

r

ton 300 100 3 r

2 2

2 2 2 r 2

(22)

2005/2006

Política do Nível de Encomenda Modelação da Rotura – Procura Contínua

• Probabilidade de rotura por ciclo: α

• Nível de protecção: (1 - α )

• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: η(x,M)

( ^> ) ⁼ ∫

^+∞

( )

=

α P x M

M

h x dx

( )

 



>

= ≤

η x - M se x M M x se M 0

, x

2005/2006

44

• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^M ( ^x ^M ) ( ) ^h ^x ^dx

dx x h M x dx

x h 0 M

dx x h M

M

M M

0 0

∫ ∫

∞ +

∞ + +∞

⋅

−

= η

⋅

− +

⋅

= η

⋅ η

= η

) M η (

h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição Função de perdas de h(x)

Gestão de Stocks

(23)

2005/2006

45

• Os modelos clássicos assumem para h(x) uma lei Normal

• O que, para tempos de reposição suficientemente longo, torna possível evocar o Teorema do Limite Central => x ∼N(µ,σ

²

)

–Stock de seguranç a

σ

= Z

_α

S

Factor de segurança

Probabilidade de a variável normal reduzida tomar valores menores ou iguais a Z_α

( )

α

φ

−

 =



 



 σ

µ φ −

−

=

α M 1 Z

1 ( ) ( ) ( ) ( )

α

∞

+

 = σζ



 



 σ

µ σζ −

=

−

=

η ^M ∫

^M

^x ^M ^h ^x ^dx ^M ^Z

Função de perdas normal Gestão de Stocks

Exercício

2005/2006

46

A. Custos de encomenda : A

B. Custo de posse: as existências em termos médios, são Q+S no início do ciclo e S (stock de segurança) no final

Fazendo S = M -µ

Custo esperado de posse por ciclo:

( ) ^S

2 S Q 2 S 1 2 Q

1 + + = +

Gestão de Stocks

Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo

µ

− +

=

+ M

2 S Q 2 Q

T 2 M

C

2

Q 



 



 + − µ

(24)

2005/2006

47

C. Custos de rotura : proporcional à quantidade em falta, mas independente do tempo de carência

D. Custo total

( ^x ^M ) ( ) ^h ^x ^dx ^C ( ) ^M

C

₃^'

M '

3^+∞

∫ − = η

Gestão de Stocks

( )

( ) ^M

T M C

2 C Q T A T K C

M C T 2 M

C Q A C

' 3 2

T

' 3 2

T

η

 +



 



 + − µ +

=

η

 +



 



 + − µ +

=

2005/2006

48

Atendendo a que Q=T⋅r

Gestão de Stocks

( )

^M

Q r T C 2 M

C Q Q

r K A

' 3

2  + η



 



 + −µ +

=

( )

( ) ( ) ( )











=



 



− ⋅ + ⋅ −

+

⇒

∂ =

∂

= η

− +

−

⇒

∂ =

∂

∫

^∞

+

0 dx x h M h M M h Q M

r C C M 0

K

0 Q M

r C 2 C Q

r 0 A Q K

2 M ' 3 2

2 ' 3 2 2

[ ( ) ]

( ) C r

Q dx C

x h

C M C A r Q 2

' 3

* 2 M

*

2

* '

* 3

*

=

= α

η

= +

∫

^∞

+

(1)

(2)

(25)

2005/2006

49

Método iterativo para encontrar a solução óptima:

1. Começar com o valor de Q dado pela expressão do lote óptimo determinístico, fazendo ;

2. Utilizar a expressão (2) para determinar o valor de M correspondente a Q;

3. Utilizar a expressão (1) com o valor de M encontrado no passo anterior para determinar o novo valor de Q;

4. Voltar a 2.

Gestão de Stocks

r r=

Exercício

2005/2006

[ ( ) ]

 ( )





 





=

= α

η

= +

∫

^∞

+

r C

Q dx C

x h

C M C A r Q 2

' 3

* 2 M

*

2

* '

* 3

*

Probabilidade de rotura

Determinar o stock de segurança (S) e nível de encomenda (M)

Determinam quantidade média em faltaη

(26)

2005/2006

51

• É prática corrente não tratar o problema de optimização dos parâmetros definidores da política de gestão de stocks em simultâneo

• Um hipótese é fixar-se a priori o n ível de protecção desejado e determinar o ponto de encomenda correspondente

1. Fixar α(nível de protecção desejado) 2. Determinar M (ponto de encomenda)

3. Determinar Q através da expressão de lote óptimo

NOTA: Este procedimento não minimiza os custos na sua globalidade!

∫

^+∞

( )

=

α M h xdx

Gestão de Stocks

Política do Nível de Encomenda Optimização Parcial – Método Iterativo

C2

Ar Q= 2

2005/2006

52

• Outra hipótese, sabendo o custo de rotura C’₃ 1. Determinar Q^*através da expressão de lote óptimo

2. Determinar α^*(probabilidade de rotura) C2

Ar Q= 2

r C

Q C

' 3

*

*≤ 2

α

Gestão de Stocks

Política do Nível de Encomenda Optimização Parcial – Método Iterativo

( )

^x ^para^x^discreto

h

contínuo x para dx x h

*

i M

x i

* M

*

∑

∫

>

+∞

= α

(27)

2005/2006

53 M – Nível de enchimento

T – Intervalo de tempo entre encomendas (fixo) Q – Quantidade de encomenda variável τ– Tempo de entrega ou reposição (variável)

tempo Stock

M

Pontos de revisão

Nível de existências + encomendas

Nível de existências

T T

τ τ τ

Duração do ciclo Tempo de reposição

T +τ Q₂ Q₁

Q₃

x Gestão de Stocks

Política de Revisão Cíclica

Procura durante

Há rotura se a procura (x) durante T+τ> M M

2005/2006

54

• Princ ípios operativos:

– A posição de stock (existências + encomendas = stock em mão mais o encomendado) é revista em intervalos fixos de tempo (T) – Em cada instante de revisão é colocada uma encomenda

(quantidade variável Q) para repor a posição do stock no nível de enchimento (M)

• Nota: O stock M (stock em mão mais o encomendado no instante em que é feita a revisão cíclica) tem que cobrir as necessidades até o instante em que a encomenda que é colocada no ciclo seguinte chega

Gestão de Stocks

(28)

2005/2006

55

• T = Comprimento do ciclo: intervalo de tempo entre pontos de revisão/encomenda

• τ= Tempo de reposição

• M = Nível má ximo de “existências + encomendas ”, por vezes denominado como nível de enchimento

• X = Procura durante o comprimento do ciclo mais o tempo de reposição (variável aleatória)

( )

( ) ^T ^r

r T

2 2 2 r 2

σ

τ

+ σ + τ

= σ

⋅ + τ

= µ

Gestão de Stocks

Política de Revisão Cíclica Modelação da Procura Durante (T + τ)

( )

r

x

dx x h

T

1 i

i M

∑

∫

τ +

= +∞

=

= α

2005/2006

56

• Não é possível obter resultados analíticos para optimizar T (intervalo de tempo entre encomendas) e M (n ível de enchimento) sem se recorrer a métodos de optimização especiais.

• Optimizaç ão “ parcial”:

– Determinar Q^*através da expressão do lote óptimo

* ' 3 2 '

3

*

* 2

C T C r C

Q

C =

≤=

α

Gestão de Stocks

Optimização para Minimização de Custos

r T Q C

r Q 2A

*

* 2

* = => =

( )

^x ^para^x^discreto

h

contínuo x

para dx x h

*

i M

x i

* M

*

∑

∫

>

+∞

= α

Procura durante (T + τ)

(29)

2005/2006

Acréscimo de Stock de Segurança para a Política da Revisão Cíclica (para igual risco de rotura)

Procura semanal:

a ton/seman 10

a ton/seman 100

r

r = σ

= Tempo de entrega:

semana 5 , 0 semanas 3

= σ

= τ

τ

1. Nível de encomenda (procura durante o tempo de entrega)

ton 9 , 52 100 5 , 0 10 3

r² ² ² ²

2 2

r+σ = × + × =

σ τ

=

σ _τ

a = 5% => Stock de segurança: S_E= 1,64 x 52,9 = 86,6 ton 2. Revisão cíclica (procura durante o tempo de entrega + duração do ciclo)

( )

^T⁺^τ^σ²^r ⁺^σ²^r² ⁼

⁽

¹³⁺³

⁾

^×¹⁰²⁺⁰^,⁵²^×¹⁰⁰² ⁼⁶⁴^ton

=

σ _τ

a = 5% => Stock de segurança: S_C= 1,64 x 64 = 105 ton Nota: Admitindo que a procura tem

uma distribuição normal

2005/2006

Comparação dos Stocks de Segurança para as Políticas de Ponto de Encomenda e de Revisão Cíclica

Ponto de Encomenda Revisão Cíclica

Procura durante τ Procura durante T + τ

( )

2 r 2 E

2 2 2 r 2 r

2 2 2 r 2

C

T

r T

σ + σ

=

σ + σ + σ τ

=

σ + σ + τ

= σ

τ τ 2 2

2 r 2

E=τσ +σ_τr σ

2 r 2 E 2 C

2=σ −σ =Tσ

σ

∆

x ∼Normal => S =Z_ασ

0 T

Z

S= σ²_E+ σ²_r − σ²_E >

∆ α

(

²^C ²^E

)

E

C S Z

S

S= − = σ −σ

∆ _α

Z_α- factor de protecção (probabilidade de rotura α) S – stock de segurança

→

← x

Acréscimo do S para política de revisão cíclica (mesmo risco de rotura e nível de encomenda compat ível

(30)

2005/2006

Classificação de Artigos – Análise ABC A an

A anáálise ABClise ABCééuma expressão da lei de uma expressão da lei de ParetoPareto: muitas situa: muitas situaçções são dominadas, e portanto ões são dominadas, e portanto explicadas, por um n

explicadas, por um núúmero relativamente pequeno de factores crmero relativamente pequeno de factores crííticos ticos --regra 80/20regra 80/20 Por exemplo, as vendas de uma empresa

Por exemplo, as vendas de uma empresa::

%Vendas (valor)

100%

20% 50%

80%

95%

100%

% de artigos (unidades)

A B C

2005/2006

60

• Classe A (~ 20% dos artigos representam tipicamente 80 % do valor total do consumo )

– Artigos mais importantes, quer pelo seu valor e/ou consumo, quer por serem estratégicos para a empresa

– Elevado nível de serviço (reduzidos valores a) – Sofisticados sistemas de controlo

– As decisões de reaprovisionamento são frequentemente consideradas muito importantes

– Utilização de sofisticados modelos de provisão, mas com correcções

“manuais” por intervenção do gestor

– Tipicamente, estes artigos apresentam elevada rotação – Definitivamente: grande atenção por parte dos gestores

Gestão de Stocks

Classificação de Artigos – Análise ABC

(31)

2005/2006

61

• Classe B (~ 30% dos artigos representam tipicamente 15 % do valor total do consumo)

– Artigos moderadamente importantes

– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento relativamente sofisticados. Funcionam essencialmente no

“automático”, com revisões dos parâmetros não muito frequentes (trimestrais, semestrais...?)

– A intervenção dos gestores s ó por excepção

– Necessidade de dispor de alertas automáticos para situações anómalas

Gestão de Stocks

2005/2006

62

•Classe C (~ 50% dos artigos representam tipicamente 5 % do valor total do consumo )

– Artigos pouco importantes

– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento pouco sofisticados

– Para artigos de reduzido valor de custos totais implica que, por mais sofisticado que seja o sistema de gestão, nunca se poderão obter poupanças significativas em termos absolutos

– É recomendável a agregação destes produtos em grupos de controlo comuns (único fornecedor, único utilizador, tempos de entrega semelhantes,...) por forma a reduzir o número de decisões a tomar

– Cuidados especiais:

• Atenção aos “monos”

• É difícil corrigir encomendas de quantidades excessivas – Políticas recomendáveis:

• Revisão cíclica com intervalos entre encomendas relativamente dilatados

• Nível de encomenda com processos de controlo muito simples

• Em ambos os casos: revisão dos parâmetros pouco frequente!

Gestão de Stocks

(32)

2005/2006

63

• Os modelos apresentados até este ponto admitiam que a procura era aproximadamente regular ao longo do tempo e que, com maior ou menor qualidade, era possível prever esse valor com base em dados histórico passados - produtos de procura independente:

– Vendas a retalho...de produtos acabados

• Por oposição, a procura dependente é mais irregular, estando concentrada em instantes de tempo seguidos de períodos sem consumo:

– Produção por lotes ou stocks hierárquicos...depende, de alguma forma de produtos de procura independente

– No caso de uma obra, as matérias primas são encomendadas de acordo com o plano de obra, estando disponível na obra nos instantes em que são

necessários

– Não há, portanto, incerteza relativamente ao consumo destes produtos!

– A procura dependente tem que ser gerida de acordo com o planeamento das necessidades (normalmente, no planeamento de produção ou de obra)

Gestão de Stocks

Sistemas Hierárquicos

2005/2006

64

• O que é o MRP?

– Sistema de planeamento da produção e de gestão de stocks apoiado por computador

– Objectivos:

• Assegurar a disponibilidade dos componentes, materiais e produtos para a produção planeada e encomendas de clientes

• Manter os n íveis de stock mínimos

• Planear actividades de produção, encomendas e entregas – Nota: A evolução para a metodologia MRP II, os recursos

passam a estar incluídas no planeamento das necessidades.

Gestão de Stocks

Sistemas Hierárquicos: MRP

Gestão e Teoria da Decisão