TRANSFORMAÇÕES TRANSFORMAÇÕES LINEARESLINEARES

TRANSFORMAÇÕES TRANSFORMAÇÕES

LINEARES LINEARES

(Notas de Aula 11)

Autarquia Ensino Superior de Garanhuns - AESGA Faculdades Integradas de Garanhuns - FACIGA

Curso de Engenharia Civil

Professor: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Álgebra Linear Período Letivo: 2019.1

Transformações Lineares Transformações Lineares

As transformações lineares são funções que aparece com frequência na Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.

Para iniciar, vamos considerar as FUNÇÕES FUNÇÕES LINERARES

LINERARES que descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis.

Muitos problemas podem ser representados

(modelados) por tais funções.

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLO 1:

Considerando que em um quilograma de soja, podem ser extraídos 0,2 litros de óleo, numa produção de x Kg de soja, seriam extraídos 0,2x litros de óleo. Matematicamente, podemos escrever a seguinte função:

Q ( x ) = 0,2 x

Transformações Lineares Transformações Lineares

Q ( x ) = 0,2 x

x 0,5 1,0 5,0 10,0 50,0

Q(x) 0,1 0,2 1,0 2,0 10,0

Transformações Lineares Transformações Lineares

Neste simples exemplo, podemos analisar duas características muito importantes:

1ª) para calcular a produção de óleo fornecida por (x

+ x

) kg de soja, podemos multiplicar (x

+ x

) pelo fator de rendimento 0,2, como calcular a a produção de óleo de cada uma das quantidade x

e x

, e depois somá-las:

0,2 x

+ 0,2 x

= Q ( x

) + Q ( x

)

Q ( x

+ x

) = 0,2 ( x

+ x

) =

Transformações Lineares Transformações Lineares

Neste simples exemplo, podemos analisar duas características muito importantes:

2ª) se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a produção de óleo também será multiplicada por este mesmos fator:

= k⋅ Q ( x

)

Q ( k ⋅ x

) = 0,2 ⋅( k⋅ x

) =k ⋅( 0,2 ⋅ x

)

Transformações Lineares Transformações Lineares

Estas duas propriedades, que neste caso são óbvias,

servirão para caracterizar o que iremos denominar de transformação linear.

Q ( x

+ x

) = Q ( x

) + Q ( x

)

Q ( k ⋅ x

) = k⋅ Q ( x

)

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLO 2:

A quantidade em litros de óleo extraída, por quilograma de cereal, segundo um determinado processo, pode ser descrita pela tabela:

Soja Milho Algodão

Óleo (L) 0,2 0,06 0,13

Transformações Lineares Transformações Lineares

De modo geral, temos que a quantidade total de óleo produzido por x kg de soja, y kg milho e z kg de algodão é dada por

Observe ainda que podemos representar esta equação de modo matricial:

Q = 0,2 x + 0,06 y + 0,13 z

Q = [ 0,2 0,06 0,13 ]⋅ [ ^{x y z} ]

Transformações Lineares Transformações Lineares

Formalmente, estamos trabalhando com a função

Q : V ⊂ ℝ

→ ℝ

[ ^{x y z} ] ^{→ [} 0,2 0,06 0,13 ]⋅ [ ^{x y z} ]

0,2 x + 0,06 y + 0,13 z

Transformações Lineares Transformações Lineares

DEFINIÇÃO:

Considerando os espaços vetoriais V e W, chamaremos T de transformação linear a função de V em W,

que satisfaz as seguintes condições:

i) ii)

T : V → W

T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v )

T ( k⋅ v ) = k⋅ T ( v ) ^{∀ k ∈ ℝ}

∀ u , v ∈ V

Transformações Lineares Transformações Lineares

Antes de fazermos cálculos envolvendo as aplicações, precisamos garantir que estas são transformações lineares, testando as propriedades anteriormente mostradas. Por exemplo:

Considere dois vetores e

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( x + 2y )

u =( x

y

) v =( x

y

)

Transformações Lineares Transformações Lineares

i)

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( x + 2y )

T ( u + v ) = T [( x

y

)+( x

y

)]

= T ( x

+ x

, y

+ y

)

= ( x

+ x

)+ 2 ⋅( y

+ y

)

= x

+ x

+ 2 y

+ 2 y

= ( x

+ 2 y

)+( x

+ 2 y

) = T ( u )+ T ( v )

Transformações Lineares Transformações Lineares

ii)

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( x + 2y )

T ( k⋅ u ) = T [ k ( x

, y

)]

= T ( k⋅ x

, k⋅y

)

= k⋅ x

+ 2 ( k ⋅y

)

= k⋅ T ( u )

= k⋅ x

+ k ⋅( 2 y

)

= k ( x

+ 2 y

)

É

Transformação Linear !

Transformações Lineares Transformações Lineares

PROPRIEDADE IMPORTANTE:

Em toda transformação linear T : V → W, a imagem do vetor nulo de V deve ser o vetor nulo de W.

Observe que se k = 0, pela segunda condição,

T ( 0 ⋅ v ) = 0 ⋅ T ( v ) T ( k⋅ v ) = k⋅ T ( v )

= 0

T ( 0 ) =

ℝ ℝ

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS:

1) T : ℝ → ℝ T ( x ) = ( 3 x )

0 2

−3

0

−9 6

π 3 π

É

Transformação Linear !

ℝ ℝ

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS:

2) T : ℝ → ℝ

T ( x ) = ( 3 x + 1 ) 0

2

−3

1

−8 7

π 3 π+ 1

NÃO É

Transformação Linear !

ℝ

ℝ

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS:

3) T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y , z ) = ( x + 1, y − z ) ( 1, 2,3 )

(−1,0,5) ( 0, 0,0 )

( 2,−1 ) (0,− 5) ( 1,0 )

NÃO É

Transformação Linear !

ℝ

ℝ

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS:

4) T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = (3 x + y ,− 2 x , y − x ) ( 1 , 2 )

( 5 ,− 1) ( 0 , 0 )

( 5 ,− 2 , 1 ) ( 14 ,−10 ,− 6 )

( 0 , 0 , 0 )

É

Transformação Linear !

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS:

5) T : ℝ → ℝ T ( x ) = x

NÃO É

Transformação Linear !

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS ESPECIAIS:

6) T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=( x , – y )

Rotação em Rotação em Torno do Eixo X Torno do Eixo X

T

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS ESPECIAIS:

7) T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=(− x , y )

Rotação em Rotação em Torno do Eixo Y Torno do Eixo Y

T

Transformações Lineares Transformações Lineares

EXEMPLOS ESPECIAIS:

8) T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=α ( x , y ) α> 0

Expansão Expansão ou Contração ou Contração

T

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial

Cada transformação linear pode ser representada sob a forma matricial.

1) T : ℝ → ℝ

T ( x ) = ( 3 x ) [ x ] → [ 3 ]⋅[ x ]

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 2)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{1 1 1 0} ] ^⋅ [ ^{x y} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( x + y , x )

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 3)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{1 2 3 −1} ] ^⋅ [ ^{x y} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( x + 2 y , 3 x − y )

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 4)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{−2 −1 3 1 0 1} ] ^{⋅ [ x y ]}

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y ) = ( 3 x + y , − 2 x , y − x )

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 5)

[ ^{x y z} ] ^{→ [ 5 4 0 3 1 −1 ] ⋅} [ ^{x y z} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y , z ) = ( 5 x + 4 y , 3 x + y − z )

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 6)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{1 0 −1 0} ] ^⋅ [ ^{x y} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=( x , – y )

Rotação em Rotação em Torno do Eixo X Torno do Eixo X

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 7)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{−1 0 0 1} ] ^⋅ [ ^{x y} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=(− x , y )

Rotação em Rotação em Torno do Eixo Y Torno do Eixo Y

Transformações Lineares Transformações Lineares

Representação Matricial 8)

[ ^{x y} ] ^→ [ ^{α 0 α 0} ] ^⋅ [ ^{x y} ]

T : ℝ

→ ℝ

T ( x , y )=α ( x , y ) α> 0

Expansão Expansão ou Contração ou Contração

[ ^{x y} ] ^{→ α⋅} [ ^{1 0 0 1} ] ^⋅ [ ^{x y} ]