ALGEBRA LINEAR
•
Matrizes
MATRIZ TRANSPOSTA
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz AT, de ordem n por m, que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.
23 13
22 12
21 11
a
a
a
a
a
a
A
23 22 21
13 12 11
a
a
a
PROPRIEDADES DA MATRIZ
TRANSPOSTA
T T T
T T
T T
T T
T
A B AB
A A
A A
B A
B A
) (
4
) (
3
) (
2
) (
1
Exemplo: Propriedade - 4
Sejam as matrizes
4 3 2 1 4 2 3 2 0 1 ) 2 , 2 ( ) 2 , 3
( e B
A 20 8 14 14 6 10 4 3 2 1 . 4 2 3 2 0 1 AB 20 14 8 6 14 10 )
4
2
3
1
4
2
2
0
3
1
) 2 , 2 ( ) 3 , 2 ( TT
e
B
A
) 2 , 2 ( ) 3 , 2(
.
TT
B
A
Não existe) 3 , 2 ( ) 2 , 2
(
.
TT
A
B
Existe e é igual a:
20
14
8
6
14
10
4
2
2
0
3
1
.
4
2
3
1
T TA
B
MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada S = [aij] é simétrica se ST = S
7
8
9
8
3
5
9
5
1
TS
S
Observações:
MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada S = [aij] é anti-simétrica se AT = -A
0 6
4
6 0
3
4 3
0
A
0 6
4
6 0
3
4 3
0
T
A
Como AT = -A então A é anti-simétrica Observação:
• Se A = [aij] é uma matriz anti-simétrica, os elementos
MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal:
M
1
M
T1
1 1
.
.
.
.
.
M
M
então
I
M
M
e
I
M
M
como
M
M
I
M
M
M
M
T T
T T
ortogonal
é
A
então
I
A
A
quando
T
A matriz é uma matriz ortogonal?
2 1 2
3 2
3 2
1
A
1 0
0 1
2 1 2
3
2 3 2
1 .
2 1 2
3
2 3 2
1
T
AA
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Uma matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 para i > j, é uma matriz triangular superior.
2
0
0
6
9
0
4
3
5
Uma matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 para i < j, é uma matriz triangular inferior.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
2
5
4
0
9
8
0
0
5
POTÊNCIA DE UMA MATRIZ
Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas operações é chamada
potência n da matriz A.
MATRIZ PERIÓDICA
Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se An = A sendo n >=2.
• Matriz Idempotente: é uma matriz periódica tal que A2 = A
• Matriz Nihilpotente: se existir um número inteiro P tal que AP = 0 então A é uma matriz nihilpotente.
EXERCÍCIOS
1- Determinar a matriz transposta da matriz
9 1 8 5 7 3 3 2 A
2- Dadas as matrizes calcular:
8 3 5 6 3 4 4 7 5 2 3 4 B e A
1- BTA 2- (AB)TA
3- Dada a matriz , classificar a matriz A + AT
2 6 3 1 7 4 9 5 2 A
4- Dada a matriz , classificar a matriz A - AT
5- Dada a matriz , calcular a matriz AAT c classificar a matriz A
1 0
0
0 cos
sen
0 sen
cos
A
6- Dada a matriz , calcular a matriz A2 e classificar a matriz A
10 4
25 10
