Uma estimativa interior do gradiente para a equação da curvatura média em variedades riemannianas

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

JOS´

E IVAN MOTA NOGUEIRA

UMA ESTIMATIVA INTERIOR DO GRADIENTE

PARA A EQUAC

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AO DA CURVATURA M´

EDIA

EM VARIEDADES RIEMANNIANAS

(2)

JOS´

E IVAN MOTA NOGUEIRA

UMA ESTIMATIVA INTERIOR DO GRADIENTE

PARA A EQUAC

¸ ˜

AO DA CURVATURA M´

EDIA

EM VARIEDADES RIEMANNIANAS

Disserta¸cão submetida à Coordena¸cão do Curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para obten¸cão do grau de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: Geometria Diferencial Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira.

(3)

N712e Nogueira, Jos´e Ivan Mota

Uma estimativa interior do gradiente para a equa¸cão da curvatura média em variedades Riemannianas/ José Ivan Mota Nogueira. – Fortaleza: 2012.

38 f. : enc. ; 31 cm

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira. ´

Area de concentra¸c˜ao: Geometria Diferencial.

Disserta¸cão (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós gradua¸cão em Matemática, Fortaleza, 2012.

1. Geometria Diferencial. 2. Variedades Riemannianas. 3. Hipersuperf´ıcies. 1. T´ıtulo.

(4)

`

(5)

Agradecimentos

Em primeiro lugar agrade¸co a Deus, pr´ıncipio e fim da minha existˆencia, por ter me dado for¸ca e sabedoria nessa trajet´oria, permitindo que meu mestrado fosse bem proveitoso.

A minha fam´ılia, minha mãe Maria Irismar, que por todos esses anos não mediu esfor¸cos para cuidar e garantir uma educa¸cão de qualidade para mim, meu irmão Ivanilson Mota, que sempre acreditou no meu potencial e com palavras de apoio renovou minhas for¸cas. Minhas tias, que sempre me motivaram.

A Marina Araujo, a quem carinhosamente chamo de meu amor, por sua paciˆencia, incentivo e apoio durante o desenvolvimento desse trabalho, por me fazer t˜ao feliz por esses quase dois anos.

Agrade¸co também ao professor Jorge Herbert, pela orienta¸cão, a paciência, a ajuda e colabora¸cão para este meu primeiro trabalho cient´ıfico.

Também agrade¸co aos amigos da pós-gradua¸cão em matemática da UFC, Adriano Al-ves de Medeiros, Anderson Feitoza, Antonio Diego, Diego Eloi, Emanuel Viana, Eur´ıpedes Carvalho, Edson Sampaio, Laerte Gomes, Robério Alexandre e em especial ao meu grande amigo Francisco Yuri, que conhe¸co desde a gradua¸cão.

Agradecimentos especiais aos meus amigos, Charly Silvestre, Everton Cristian, Lina N´aria, Ridley Gadelha, Israel Guedes, Jarbas Marcelino, Justino Cartaxo, Ivaneide Farias, Eder Pereira, Felipe Bento, Neila de Paula, Bernardo Filho, Dayane Araujo, Rodrigo Souza, Pollyana Machado, Priscila Santos, Rafael Silva, Od´ecio Sales.

`

A Andr´ea pela competˆencia e agilidade.

`

(6)

”Posso ter defeitos, viver ansioso e ficar irritado algumas vezes, mas não esque¸co de que minha vida é a maior empresa do mundo. E que posso evitar que ela vá à falência. Ser feliz é reconhecer que vale a pena viver, apesar de todos os desafios, incompreensões e per´ıodos de crise. Ser feliz é deixar de ser v´ıtima dos problemas e se tornar autor da própria história. É atravessar desertos fora de si, mas ser capaz de encontrar um oásis no recôndito da sua alma.

´

E agradecer a Deus a cada manhã pelo milagre da vida. Ser feliz é não ter medo dos próprios sentimentos. É saber falar de si mesmo.

´

E ter coragem para ouvir um n˜ao. ´E ter seguran¸ca para receber uma cr´ıtica, mesmo que injusta.”

(7)

Resumo

Deduzimos uma estimativa interior do gradiente para a equa¸cão da curvatura média para gráficos de Killing em variedades Riemannianas inspirado na técnica de perturba¸cões normais devido à N. Korevaar.

(8)

Abstract

We deduce an interior gradient estimate for the mean curvature equation for Killing graphs in Riemannian manifolds inspired by the normal perturbation technique due to N. Korevaar.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Gr´aficos de Killing 12

1.1 Exemplos . . . 15

2 Estimativas interiores do gradiente 20

(10)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho, nosso objetivo principal é estender a estimativa interior do gradiente de solu¸cões da equa¸cão da curvatura média devido a Korevaar-Simon [10] (ver também [11]) a partir do caso de hipersuperf´ıcies euclidianas para o caso geral de gráficos de Killing. O teorema principal em [18] para hipersuperf´ıcies em espa¸cos ambientes Nn+1 ₌_Mn_×_R_é um caso especial.

Seja M uma variedade Riemanniana (n + 1)-dimensional dotada de um campo de Killing não-singular completo Y cuja distribui¸cão ortogonal é integrável. Dada uma hi-persuperf´ıcie integral P da distribui¸cão ortogonal, verifica-se que P é uma subvariedade de M totalmente geodésica. Seja Ω _⊂ P um dom´ınio limitado tal que órbitas do fluxo Φ :R_×_P _→_M _{gerado por} _Y _{são completas. Note que} _γ _{= 1}_/_h_{Y, Y}_i_{pode ser vista como}

uma fun¸cão em ¯Ω uma vez que Y γ = 0, pela equa¸cão de Killing. Além disso, o cilindro sólido Φ(R_×_{Ω), com a métrica riemanniana induzida, tem uma estrutura de produto}¯

warped Ω¯ _×ρR onde ρ= 1/√γ.

Dada uma fun¸cão u em ¯Ω, o gráfico de Killing associado a esta fun¸cão é a hipersu-perf´ıcie

Σ = _{Φ(u(x), x) :x_∈Ω_}.

Demonstra-se em [3] que Σ tem curvatura m´edia H(x) se somente se u_∈C2_{(Ω) satisfaz}

Q[u] = divP(∇

u W )−γh

∇u

W ,∇¯∂s∂si=nH

onde W = pγ+_|∇u_|2 _e _H _{é calculado segundo a orienta¸cão dada pela aplica¸cão de}

Gauss

N = 1

W γY −Φ∗∇u

.

Na equa¸c˜ao, _∇ e div denotam o gradiente e o divergente emP e ¯_∇a derivada covariante riemanniana em M.

(11)

11

Apresentamos a seguir um pouco mais da descri¸cão geométrica destes gráficos de Killing e a estimativa geométrica. E por fim, demonstramos um resultado importante

Teorema 0.1 Sejau_∈C2₍_B

r0(x0))uma solu¸cão negativa da equa¸cão da curvatura média

(1.11) onde H : ¯Ω _→ R _{é uma fun¸cão em} _Cα_{( ¯}_{Ω). Então, existe uma constante} _D ₌

D(u(x0), r0, γ, H) tal que |∇u(x0)| ≤D.

O Teorema 0.1 é principal resultado de [4] e como aplica¸cão desse resultado prova-se a existência e unicidade de um gráfico radial no espa¸co hiperbólico Hn+1 _{com curvatura}

m´edia prescrita e limitada. Para curvatura m´edia constante este resultado foi demonstrado por Bo Guan e Spruck [8] e no caso geral foi demonstrado por M. Dajczer, J. H. de Lira. e J. Ripoll [4].

Teorema 0.2 (Veja [4]) Dado H _∈ Cα₍_Hn₎ _com _sup

Hn|H| < 1 e φ ∈ C0(∂_∞Hn), onde

φ = u

∂∞Hn, existe uma ´unica fun¸c˜ao u ∈ C

(12)

Cap´ıtulo 1

Gr´

aficos de Killing

SejaM uma variedade Riemanniana (n+1)-dimensional dotada de um campo vetorial de KillingY. Suponha que a distribui¸cão ortogonal_Ddefinida porY é de posto constante e integrável. Neste caso, as folhas integrais são hipersuperf´ıcies totalmente geodésicas. Dada uma folha integral P de_D, seja Ω _⊂P um dom´ınio limitado com fronteira regular Γ =∂Ω. Seja Φ :I_×_P _→_M _{o fluxo gerado por}_Y _{com valores iniciais em}_M_{, onde}I_{é um}

intervalo m´aximo de defini¸c˜ao. O fluxo Φ leva isometricamente P nas folhasPs= Φs(P), onde Φs = Φ(s,_·),s _∈I_.

Seja u : ¯Ω _→ I _{uma fun¸cão suave. O gráfico de Killing desta fun¸cão} _u _{é a}

hipersu-perf´ıcie Σ_⊂M parametrizada pela aplica¸c˜ao

X(p) = Φ(u(p), p), p_∈Ω¯.

O cilindro de Killing K sobre Γ ´e, por sua vez definido por

K =_{Φ(s, p) :s_∈I_{, p}_∈_Γ_}_. _(1.1)

Seja N um campo de vetores normais unitários ao longo de Σ. No que se segue, denotamos por H a curvatura média de Σ com respeito à orienta¸cão dada porN.

Nosso objetivo é deduzir uma estimativa interior do gradiente para a equa¸cão da curvatura média para gráficos de Killing em variedades Riemannianas de dimensão n+ 1. Para isso, vamos come¸car descrevendo a geometria local do gráfico em termos não-paramétricos, por ser mais adequado para representar todos os invariantes geométricos, bem como suas equa¸cões locais em termos de coordenadas em P.

Sejam x1_{, . . . , x}n _{coordenadas locais em} _P_{. Este sistema ´e ampliado para um sistema} de coordenadas emM definindo-se x0 ₌_s_{, o parˆametro do fluxo de Y. O espa¸co tangente}

(13)

13

de Σ no ponto X(p), p_∈Ω, ´e gerado pelos campos de vetores coordenados¯

X∗

∂

∂xi = Φ∗

∂

∂xi +uiΦ∗

∂ ∂x0 =

∂ ∂xi

X +ui

∂ ∂x0 X.

Em termos dessas coordenadas, a m´etrica induzida em Σ ´e expressa em componentes locais por

gij = hX∗

∂ ∂xi, X∗

∂

∂xji=hΦ∗

∂

∂xi +uiΦ∗

∂ ∂x0,Φ∗

∂

∂xj +ujΦ∗

∂ ∂x0i

= _hΦ∗

∂ ∂xi,Φ∗

∂

∂xji+hΦ∗

∂

∂xi, ujΦ∗

∂

∂x0i+huiΦ∗

∂ ∂x0,Φ∗

∂ ∂xji +_huiΦ∗

∂

∂x0, ujΦ∗

∂ ∂x0i,

o que resulta em

gij =σij+ 1

γuiuj. (1.2)

A versão contravariante da métrica é, portanto, dada por

gij =σij ₋ u

i_uj

γ+_|∇u_|2,

onde γ = 1

|Y|2 e σij s˜ao as componentes locais da m´etrica em P.

A fim de calcular a curvatura m´edia de Σ, podemos fixar N como o campo vetorial normal

N = 1

W γY −Φ∗∇u

, (1.3)

onde _∇u ´e o gradiente deu em P e

W =pγ +_|∇u_|2_. _(1.4)

A segunda forma fundamental de Σ calculada com rela¸c˜ao a esta escolha do campo vetorial normal tem componentes locais

aij =h∇¯X∗_∂xi∂ X∗ ∂

∂xj, Ni, (1.5)

onde ¯_∇ denota a derivada covariante em M. Deste modo, calculamos

aij = h∇¯X∗_∂xi∂ Φ∗ ∂

∂xj, Ni+h∇¯X∗_∂xi∂ ujΦ∗ ∂ ∂x0, Ni

= _h_∇¯_Φ_∗ ∂ ∂xiΦ∗

∂

∂xj, Ni+uih∇¯Φ∗_∂x∂0Φ∗

∂

∂xj, Ni+ujh∇¯Φ∗_∂xi∂ Φ∗ ∂ ∂x0, Ni

+ui,jhΦ∗

∂

∂x0, Ni+uiujh∇¯Φ∗_∂x∂0Φ∗

(14)

14

Usando o fato de que as aplica¸c˜oes p _7→ Φ(s, p) s˜ao isometrias e que as hipersuperf´ıcies

{Φ(s, p) :p_∈P_}, s_∈I_, _{s˜ao totalmente geod´esicas, conclui-se que}

aij =h∇¯ ∂ ∂xi

∂ ∂xj,−

1

W∇ui+uih∇¯∂xj∂ Y, 1

WγYi+ujh∇¯∂xi∂ Y, 1

WγYi

+ui,jhY, 1

WγYi+uiujh∇¯YY,−

1

W∇ui.

Segue da equa¸c˜ao de Killing que

aij =

ui;j

W − ui

Wγh∇¯YY, ∂ ∂xji −

uj

Wγh∇¯YY, ∂ ∂xii −

uiuj

W h∇¯YY,∇ui, (1.6)

com ui;j =ui,j− h∇¯ ∂ ∂xi

∂

∂xj,∇ui, ou seja, (ui;j)n_i,j₌₁ s˜ao as componentes do Hessiano de u em termos das coordenadas (xi₎n

i=1 em P. Todavia,aij pode ser tamb´em expressa por

aij =

ui;j

W − ui

W γj 2γ −

uj

W γi 2γ −

uiuj 2Wu

kγk

γ2. (1.7)

Tomando tra¸cos com respeito a métrica induzida, obtém-se a seguinte expressão para a curvatura média H sobre a hipersuperf´ıcie Σ:

nH =σij ₋ u

i

W uj

W

u_i_;_j

W −

2γ+_|∇u_|2

W3 h

¯

∇γ

2γ ,∇ui. (1.8)

Alternativamente, temos

nH =σij ₋ u

i

W uj

W

u_i_;_j

W −

2γ+_|∇u_|2

W3 γh∇¯YY,∇ui. (1.9)

onde utilizou-se o fato de que

h∇¯YY,∇ui=−h∇¯∇uY, Yi= 1

2γ2h∇¯γ,∇ui. (1.10)

Observe que

ui

W

;i = 1

Wu

i

;i− 1

W3u

i_uj_u i;j−

1 2W3u

i_γ i

Verifica-se facilmente que (1.8) pode ser escrita na forma divergente como

divP∇u

W −

1

2γWh∇¯γ,∇ui=nH. (1.11)

Segue de (1.10) que (1.11) ´e equivalente `a

divP∇u

W − γ

Wh∇¯YY,∇ui=nH (1.12)

(15)

15

1.1 Exemplos

Nesta se¸cão, apresentamos alguns exemplos elementares, embora importantes, da es-trutura geométrica descrita anteriormente. No que segue, Md₍_κ_{) denota a forma espacial} de dimensão d, completa e simplesmente conexa, com curvatura seccional constante κ.

Fixemos, doravante, M =Mn+1₍_κ_{) e}_P _{uma hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica em}

Mn+1₍_κ_{). Assim,} _P _{´e um modelo da forma espacial} _n_-dimensional Mn₍_κ_{) com a mesma}

curvatura. Seja

(r, θ)_∈R+_×Sn−1 _7→_p_∈_P

um sistema de coordenadas polares na variedade P, centradas em algum ponto o em P. Consideremos tamb´em

(θ1,_{· · ·} , θn−1)_∈Rn−1 _7→_θ _∈Sn−1

coordenadas generalizadas em Sn−1_{. Em termos dessas coordenadas, a m´etrica em} _P _´e

expressa por

dr2+sn2_κ(r)dσ2,

onde dσ2 ₌_σ

ijdθidθj é a métrica usual em Sn−1 e snκ(r) é dada pela expressão

snκ(r) =      

    

r, se κ= 0 sen_√√κr

κ , se κ >0

senh_√√₋κr

−κ , se κ <0

Sejamca geod´esica em M passando poroe ortogonal a P eY o campo de Killing em

M gerado pela transla¸cão geodésica ao longo de c. A norma ao quadrado deste campo é igual a

hY, Y_i=cs2_κ(r).

Assim, no ponto o, o vetor Y(o) é a velocidade unitária de c. Lembremos que a fun¸cão

snκ(r) é a solu¸cão da equa¸cão de Jacobi ü+κu = 0 com condi¸cões iniciais u(0) = 0 e ˙

u(0) = 1, onde _· indica a derivada com respeito a r. Al´em disso, ˙snκ(r) = csκ(r).

A restri¸c˜ao de Y a P define um campo normal a P fora do conjunto de pontos sin-gulares de Y em P. Como antes, Φ(s, p) denota o fluxo gerado por Y e _D = kerω, onde

(16)

16

considerado como uma coordenada em M. As coordenadas(r, θ1_,_{· · ·} _{, θ}n_{) são então} esten-didas a M ao longo do fluxo: associamos os mesmos valores dessas coordenadas a pontos correspondentes em P e Φs(P) com respeito à aplica¸cão Φs : P _→ Ps. A métrica M é dada em termos destas coordenadas cil´ındricas (r, θ, s) por

dl2 =cs2κ(r)ds2+dr2+sn2κ(r)dσ2. (1.13) Determinamos agora a conex˜ao Riemanniana ¯_∇ de M em termos dessas coordenadas. Temos, pela equa¸c˜ao de Killing,

h∇¯YY, Yi= 0.

Em particular, a norma do campo de Killing ´e constante ao longo das ´orbitas do fluxo

s _7→ Φ(s, p). Além disso, o fato de que as folhas integrais de _D são hipersuperf´ıcies totalmente geodésicas implica que

h∇¯ ∂ ∂rY,

∂

∂ri=h∇¯∂r∂ Y,

∂

∂θii=h∇¯∂θi∂ Y,

∂ ∂θji= 0 Segue igualmente da equa¸c˜ao de Killing que

h∇¯YY,

∂

∂ri=−hY,∇¯∂r∂ Yi=− 1

2∂rhY, Yi=−csκ(r) ˙csκ(r). (1.14) Geometricamente, estas equa¸c˜oes significam o seguinte: parar fixado, a linha de fluxo de

Y passando sobre o c´ırculo geod´esico em P centrado em o com raio r gera um cilindro, dito cilindro de Killing em M.

Afirmamos que estes cilindros são hipersuperf´ıcies rotacionalmente invariantes com curvatura média constante. Em (1.14), é calculada a segunda forma fundamental de um cilindro de Killing na dire¸cão tangente a Y com respeito a normal unitária _∂r∂- tendo em conta que tal cilindro é hipersuperf´ıcie de n´ıvel da fun¸cão coordenada r. Ademais, conclu´ımos a partir da expressão

h∇¯ ∂ ∂θiY,

∂ ∂ri= 0

que Y = ∂ ∂s e

∂

∂θi s˜ao dire¸c˜oes principais desses cilindros. Calculemos, portanto, as correspondentes curvaturas principais. Para tanto, observamos que

¯

∇ ∂ ∂θi

∂ ∂θj =: Γ

1

ij

∂ ∂r + Γ

k ij

∂ ∂θk. No entanto, como P =Mn₍_κ_{) ´e totalmente geod´esica, temos}

Γ1_ij =_h_∇¯ ∂ ∂θi

∂ ∂θj,

∂

∂ri=h∇

Mn₍_κ₎ ∂ ∂θi

∂ ∂θj,

∂

∂ri=−

˙

snκ(r)

(17)

17

onde (hij)n_i,j−1₌₁ s˜ao as componentes da m´etrica induzida em P e _∇Mn₍_κ₎

´e a conex˜ao ri-emanniana em P. Assim, (Γ1

ij)ni,j−1=1 s˜ao as componentes da segunda forma fundamental

das esferas geod´esicas em P com respeito ao campo vetorial unit´ario _∂r∂. Finalmente, (Γk

ij)ni,j,k−1=1 s˜ao os s´ımbolos de Christoffel usuais para a esfera euclidiana Sn−1 ⊂ Rn em

termos das coordenadas (θi₎n−1

i=1. Conclu´ımos que as curvaturas principais dos cilindros de

Killing nas dire¸c˜oes ∂ ∂s/|

∂ ∂s|=cs

−1

κ (r)Y e ∂θ∂i s˜ao respectivamente iguais a

κs =− ˙

csκ(r)

csκ(r), κi =− ˙

snκ(r)

snκ(r). assim, a curvatura m´edia Hcil dos cilindros de Killing ´e dada por

nHcil=− ˙

csκ(r)

csκ(r)−(n−1) ˙

snκ(r)

Em seguida, descrevemos mais concretamente estes fatos nos casos particulares em que κ= 0,1,₋1. Paraκ= 0, em um ambiente euclidiano, o campo vetorialY ´e paralelo. Podemos fixar Y(p) = a, um campo vetorial constante. Em particular, sua restri¸c˜ao a

P = _{q _∈ M : _hq, a_i = 0_} é um campo normal. Este campo obviamente é livre de singularidades. O fluxo gerado por Y é dado por Φ(s, p) = p+sa. As hipersuperf´ıcies de n´ıvel Φs(P) formam a fam´ılia de hiperplanos paralelos a P com a mesma dire¸cão normal

a. A m´etrica neste caso ´e dada por

dl2 =ds2+dr2+r2dσ2.

Quando κ = ₋1, a hipersuperf´ıcie integral P ´e um hiperplano totalmente geod´esico

Hn₍₋₁₎_⊂_Hn+1₍₋_{1). No modelo do semi-espa¸co}

Hn+1₍₋_{1) =}_{₍_x1_,_{· · ·} _{, x}n+1_{) :}_xn+1 _>₀_}_,

este hiperplano pode ser visto como uma semi-esfera euclidiana centrada na origem o da fronteira assint´otica _{xn+1 _{= 0}_}_{. A origem} _o _{das coordenadas polares em} _P _{pode ser}

fixada, por meio de isometrias hiperb´olicas, no ponto de maior coordenada xn+1 _em _P_.

Sendo assim, o tra¸co da geodésica c pode ser fixado como a semi-reta vertical passando por o. Nesta configura¸cão, o campo de Killing é dado por Y(P) = p. Este campo de vetores gera dilata¸cões euclidianas, ou seja, transla¸cões em Hn+1₍₋_{1) do tipo parabólico.}

O fluxo de Y ´e dado por Φ(s, p) = es_p_{. As hipersuperf´ıcies Φ}

(18)

18

esféricos euclidianos com vértice em o, contendo uma esfera geodésica emP centrada em

o. O quadrado da norma de Y em um ponto arbitr´ario de P ´e igual a

hY, Y_i=_h∂Φ

∂s, ∂Φ

∂si

s=0 =

e2s

e2s₍_xn+1₎2 =

1 (xn+1₎2.

De outro modo, denotando por ϕ o ângulo entre o eixo vertical dado pelo tra¸co de c e a norma do cilindro com dire¸cão p, então

1/cosϕ= 1/xn+1.

Por outro lado, a distˆancia geod´esica r entre o e o ponto p r =

Z 1

cosϕdϕ= ln(secϕ+ tanϕ).

Ent˜ao, er = secϕ+ tanϕ= (1 + senϕ)/cosϕe, portanto, e−r = cosϕ/(1 + senϕ). Assim, coshr= secϕ.

Logo,

hY, Y_i= cosh2r.

Deste modo, a m´etrica em Hn+1₍₋_{1) em termos de coordenadas cilindricas ´e dada por}

cosh2rds2+dr2+ senh2dσ2.

Quando κ = 1, o campo de Killing Y possui duas singularidades em pontos ant´ıpodas

a,₋a em Sn+1_{(1). De fato, neste caso,} _Y _{´e o campo gerado por rota¸c˜oes euclidianas}

fixando o eixo em Rn+2 _contendo _a_e₋_a_{. Consideramos} _P ₌ Sn _{como o equador em} Sn+1_{(1), contendo} _±_a_{, para o qual} _Y _{´e o campo normal fora dos pontos} _±_a_{. A rota¸c˜ao}

gerada porY levaSn_{em uma fam´ılia de esferas totalmente geod´esicas, todas elas contendo}

±a. Fixamos, ent˜ao, coordenadas polares (r, θ) com origem em o _∈ Sn_{, de modo que o}

ponto a corresponde ao valor r = π/2. Definimos ϕ = π/2₋r. Com isto, as linhas de fluxo Y passando por pontos de Sn _quando _s_{= 0 s˜ao c´ırculos geod´esicos centrados em} _a_.

Podemos ajustar a norma de Y ao longo das linhas de fluxo de forma que, nos pontos de

Sn_{, o campo} _Y _{coincida com a velocidade desses c´ırculos geod´esicos com raio geod´esico}

ϕ. Sendo assim, temos

hY, Y_i=_h∂Φ

∂s, ∂Φ

∂si= sen

(19)

19

Portanto, a métrica esférica é escrita como

cos2rds2+dr2+ sen2rdσ2.

Uma outra classe natural de exemplos s˜ao os gr´aficos de Killing, descritos anteri-ormente, produtos riemannianos da forma Mn₍_κ₎_×R_{, em que o campo de Killing em}

considera¸cão é o campo paralelo coordenado _∂s∂ associado à coordenada naturals do fator

R_{. Neste caso, coordenadas cil´ındricas s˜ao facilmente definidas, de modo que a express˜ao}

da m´etrica ambiente nesta carta ´e da forma

ds2+dr2+sn2_κdσ2. (1.15)

(20)

Cap´ıtulo 2

Estimativas interiores do gradiente

Nesse cap´ıtulo, por simplicidade, denotamos por _∇ e ∆ o gradiente e o operador de Laplace-Beltrami sobre o gráfico Σ da fun¸cão u. A seguir, demonstraremos uma proposi¸cão fundamental.

Proposi¸c˜ao 2.1 Prove o que segue:

∆_hY, N_i=₋n_hY,_∇H_{i −}(_|A_|2+Ric(N, N))_hY, N_i.

Demonstra¸c˜ao :

Sejam p _∈ Σ e _{E1(p),· · · , En(p)} base ortonormal que diagonaliza A em p, onde A

é a aplica¸cão linear simétrica associada à segunda forma fundamental. Sejam λ1,· · · , λn autovalores associados a E1(p),· · · , En(p), respectivamente. Denotamos por E1,· · · , En um referencial geodésico em Σ obtido estendendo E1(p),· · · , En(p) em uma vizinhan¸ca do ponto p em Σ.

Escrevendo f =_hY, N_i, temos, em p, ∆f =

n X

i=1

EiEi(f). (2.1)

Temos

Ei(f) = EihY, Ni=h∇¯EiY, Ni+hY,∇¯EiNi e

EiEi(f) =h∇¯Ei∇¯EiY, Ni+ 2h∇¯EiY,∇¯EiNi+hY,∇¯Ei∇¯EiNi. Mas, emp, temos

(21)

21

onde a ´ultima igualdade decorre da equa¸c˜ao de Killing. Portanto, emp,

EiEi(f) = h∇¯Ei∇¯EiY, Ni+hY,∇¯Ei∇¯EiNi. (2.2) Da equa¸c˜ao de Killing

h∇¯EiY, Ni=−h∇¯NY, Eii. Derivando em rela¸c˜ao aEi;

Eih∇¯EiY, Ni=−Eih∇¯NY, Eii. ou seja,

h∇¯Ei∇¯EiY, Ni+h∇¯EiY,∇¯EiNi=−h∇¯Ei∇¯NY, Eii − h∇¯NY,∇¯EiEii. (2.3) Observe que, em p, pela defini¸cão de referencial geodésico, ( ¯_∇EiEi)T = 0. Então ¯

∇EiEi =αN, para algumα ∈R.Da´ı, em p, h∇¯EiEi, Ni=α. Mas, emp

α=_h_∇¯EiEi, Ni=−h∇¯EiN, Eii=λi

Logo, ¯_∇EiEi = λiN. Temos tamb´em que h∇¯EiY,∇¯EiNi = −λih∇¯EiY, Eii, pois Ei ´e autovetor de A. Aplicando esses resultados a (2.3) obtemos:

h∇¯Ei∇¯EiY, Ni −λih∇¯EiY, Eii=−h∇¯Ei∇¯NY, Eii −λih∇¯NY, Ni. Como Y ´e de Killing ent˜ao_h_∇¯EiY, Eii= 0 e h∇¯NY, Ni= 0.

Assim

h∇¯Ei∇¯EiY, Ni=−h∇¯Ei∇¯NY, Eii. (2.4) Por outro lado, pela defini¸c˜ao de tensor curvatura, temos:

hR(N, Ei)Y, Eii=h∇¯Ei∇¯NY, Eii − h∇¯N∇¯EiY, Eii+h∇¯[N,Ei]Y, Eii. (2.5) Estendemos _{Ei}i=1,···,n a uma vizinhan¸ce. p em N, requerendo que ¯∇NEi = 0.

Ent˜ao, emp, [N, Ei] = ¯∇NEi−∇¯EiN = 0−(−λiEi) = λiEi. Assim

h∇¯[N,Ei]Y, Eii=λih∇¯EiY, Eii. (2.6) Agora, derivando_h_∇¯EiY, Eii= 0 com rela¸c˜ao aN obtemos

(22)

22

Como ¯_∇NEi = 0, temos

h∇¯N∇¯EiY, Eii= 0. (2.7) Substituindo (2.6) e (2.7) em (2.5), obtemos

hR(N, Ei)Y, Eii=h∇¯Ei∇¯NY, Eii. (2.8) Usando (2.4) em (2.8), obtemos_hR(N, Ei)Y, Eii=−h∇¯Ei∇¯EiY, Ni e substituindo em (2.2), temos que:

EiEi(f) =−hR(N, Ei)Y, Eii+hY,∇¯Ei∇¯EiNi. Ent˜ao

∆f = ₋ n X

i=1

hR(N, Ei)Y, Eii+ n X

i=1

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi= = ₋Ric(N, V) +

n X

i=1

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi (2.9) Para calcular o segundo termo da equa¸c˜ao (2.9), fazemosyj =hY, Eji e escrevemos

Y = n X

i=1

yjEj+f N.

Ent˜ao,

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi= n X

i=1

yjhEj,∇¯Ei∇¯EiNi+fhN,∇¯Ei∇¯EiNi. (2.10) Derivando a equa¸c˜ao_h_∇¯EiN, Ni= 0 em rela¸c˜ao aEi, obtemos

h∇¯Ei∇¯EiN, Ni+h∇¯EiN,∇¯EiNi= 0. Emp, temos que

h∇¯EiN,∇¯EiNi=λ2i. Logo,

h∇¯Ei∇¯EiN, Ni=−λ2i. (2.11) Derivando _hN, Eji, em rela¸c˜ao a Ei, duas vezes:

Ei(h∇¯EiN, Eji+hN,∇¯EiEji) = 0, e portanto,

(23)

23

Ent˜ao, emp,

h∇¯Ei∇¯EiN, Eji=−hN,∇¯Ei∇¯EiEji (2.12) pois ( ¯_∇EiEj)T = 0 emp e ¯∇EiN ´e tangente a Σ

Como_h[Ei, Ej], Ni= 0, h∇¯EiEj, Ni=h∇¯EjEi, Ni.

Assim, derivando a última expressão em rela¸cão a Ei, obtemos

h∇¯Ei∇¯EiEj, Ni+h∇¯EiEj,∇¯EiNi=h∇¯EjEi,∇¯EiNi+h∇¯Ei∇¯EjEi, Ni, e da´ı, em p

h∇¯Ei∇¯EiEj, Ni=h∇¯Ei∇¯EjEi, Ni. (2.13) Considerando o tensor curvatura R de M, sabemos que:

hR(Ei, Ej)Ei, Ni=h∇¯Ej∇¯EiEi, Ni − h∇¯Ei∇¯EjEi, Ni+h∇¯[Ei,Ej]Ei, Ni. (2.14) Note que, em p,

[Ei, Ej] = ( ¯∇EiEj −∇¯EjEi)T = 0 e

Ejh∇¯EiEi, Ni=h∇¯Ej∇¯EiEi, Ni+h∇¯EiEi,∇¯EjNi=h∇¯Ej∇¯EiEi, Ni. (2.15) Assim, usando (2.12), depois (2.13) e na ´ultima igualdade (2.14) e (2.15), temos (em

p) que:

hEj,∇¯Ei∇¯EiNi = −h∇¯Ei∇¯EiEj, Ni=−h∇¯Ei∇¯EjEi, Ni=

= _hR(Ei, Ej)Ei, Ni −Ejh∇¯EiEi, Ni. (2.16) Substituindo (2.16) e (2.11) em (2.10), obtemos usando linearidade de termos da cur-vatura:

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi= n X

j=1

yj(hR(Ei, Ej)Ei, Ni −Ejh∇¯EiEi, Ni)−f λ2i = =_hR(Ei,

n X

i=1

yjEj)Ei, Ni − n X

j=1

(yjEj)h∇¯EiEi, Ni −f λ2i = =_hR(Ei, Y −f N)Ei, Ni −

n X

j=1

(yjEj)h∇¯EiEi, Ni −f λ2i = =_hR(Ei, Y)Ei, Ni −fhR(Ei, N)Ei, Ni −

n X

j=1

(24)

24

Ent˜ao, n X

i=1

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi = n X

i=1

hR(Ei, Y)Ei, Ni −f n X

i=1

hR(Ei, N)Ei, Ni

−

n X

i=1

(yjEj)( n X

i=1

h∇¯EiEi, Ni)−f n X

i=1

λ2_i

Usando a defini¸c˜ao de tensor de Ricci, obtemos n

X

i=1

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi= Ric(N, Y)−fRic(N, N)− n X

j=1

(yjEj)(nH)−f n X i=1 λ2 i (2.17) Note que,

n_hY,_∇H_i=_h n X

j=1

yjEj+f N, n X

i=1

Ei(H)Eii=nh n X

j=1

yjEj, n X

i=1

Ei(H)Eii +n_hf N,

n X

i=1

Ei(H)Eii=n n X

j=1

yjEi(H)hEi, Eji= ( n X

j=1

yjEj)(nH).

Usando esse fato e a defini¸c˜ao de A em (2.17) temos, n

X

i=1

hY,_∇¯Ei∇¯EiNi= Ric(N, Y)−fRic(N, N)−nhY,∇Hi −f|A|2 E por (2.9)

∆f =₋Ric(N, Y) + Ric(N, Y)₋fRic(N, N)₋n_hY,_∇H_{i −}f_|A_|2.

Portanto

∆_hY, N_i=₋n_hY,_∇H_{i −}(_|A_|2 + Ric(N, N))_hY, N_i.

Agora, iniciamos a demonstra¸c˜ao do Teorema 0.1. Segue de (1.3) que_hY, N_i= 1/W, assim, obtemos

∆W ₋ 2

W|∇W|

2 ₌

hn_∇H, Y_iW2+ (_|A_|2+ Ric(N, N))W.

Agora, fixado um ponto x0 ∈ Ω considere r0 > 0 de modo que a bola aberta Br0(x0)

ainda esteja contida em Ω. Denote por K− _{o semi-cilindro Φ(}_R− _×_B

r0(x0)). Assim,

defina uma fun¸c˜ao φ:K−_→_R _por

φ(y) = !

1₋

d(x)

r0

2 +Cs

"+

(25)

25

onde C =₋1/2u(x0) é uma constante positiva e d(x) é a distância geodésica parax0 em

P, ou seja

d(x) = distP(x0, x).

No que se segue iremos calcular o gradiente e o Hessiano de φ_|Σ nos pontos onde esta

fun¸cão é diferenciável.

Dada uma fun¸c˜ao η em Σ defina a fun¸c˜ao h = ηW e seja y0 = Φ(u(x0), x0) ∈ Σ um

ponto de m´aximo de h. Segue disto que

∇h=η_∇W +W_∇η= 0.

Além disso, uma vez que a forma Hessiana é não-positiva em y0, temos

∆h =W∆η+η

∆W ₋ 2 W|∇W|

2 Σ

≤0.

Assim,

∆η_{≤ −} η W

∆W ₋ 2

W|∇W|

2 Σ

=₋η(_|A_|2+ Ric(N, N))₋η_hn_∇H, Y_iW.

Uma vez que H ´e constante ao longo das linhas de fluxo deY, temos que

h∇H, YT_i=_h_∇¯H, Y_{i − h}_∇¯H, N_ihY, N_i=_h∇H,∇u W i

1

W.

Portanto,

∆η _{≤ −}η(_|A_|2+ Ric(N, N))₋η_hn_∇H,∇u W i.

Em seguida, obtemos uma express˜ao expl´ıcita para ∆η quando η´e da forma

η(y) = g(φ(y)), y= Φ(u(x), x),

onde g =g(t) ´e uma fun¸c˜ao suave a ser escolhida e φ foi definida acima. Temos

∇η =g′(φ)_∇φ =g′(φ)( ¯_∇φ_{− h}_∇¯φ, N_iN).

Para quaisquer v, w_∈TΣ, temos

h∇v∇η, wi= g′′(φ)h∇φ, vih∇φ, wi+g′(φ)h∇v∇φ, wi = g′′(φ)_h_∇¯φ, v_ih_∇¯φ, w_i+g′(φ)_h_∇¯v∇φ, wi

(26)

26

Portanto

h∇v∇η, wi=g′′(φ)h∇¯φ, vih∇¯φ, wi+g′(φ)(h∇¯v∇¯φ, wi+h∇¯φ, NihAΣv, wi). (2.18) Nos pontos onde φ ´e diferenci´avel obtemos, usando que ¯_∇s =γY,

¯

∇φ(y) =₋2d

r2 0

¯

∇d(y) +CγY(y) = ₋2d

r2 0

Φ∗(s, x)∇d(x) +CγY(y).

Ent˜ao, temos

h∇¯φ, N_i = 2d

r2 0h

¯

∇d(y),Φ∗(s, x)∇

u

W i+CγhY(y), γ

WY(y)i

= 2d

r2

0W

h∇d,_∇u_i+C γ W.

Assim,

|∇¯φ_|2_{− h}_∇¯φ, N_i2 = 4d

2

r4 0

1₋ 1

W2h∇d,∇ui 2

+C2γ1₋ γ

W2

− 4_rdCγ2 0W2h∇

d,_∇u_i.

Para quaisquerv, w_∈TyΣ, temos

h∇¯v∇¯φ, wi=− 2d r2 0h

¯

∇v∇¯d, wi − 2

r2 0h

¯

∇d, v_ih_∇¯d, w_i+C_h_∇¯vγY, wi. (2.19) Denotando x=π(y) quando y= Φ(s, x) para algum s _∈R_{, obtemos}

h∇¯v∇¯d, wi=h∇¯π∗v∇¯d, π∗wi+hv, Y

|Y_|ihw, Y

|Y_|ih∇¯|YY|

¯

∇d, Y

|Y_|i

=IId(π∗v− hπ∗v,∇di∇d, π∗w− hπ∗w,∇di∇d) +hv,

Y

|Y_|ihw, Y

|Y_|ih∇¯|YY|

¯

∇d, Y

|Y_|i

onde usamos o fato que P _⊂ Mn+1 _{´e totalmente geod´esica. Aqui} _II

d denota a segunda forma fundamental das esferas geod´esicas centradas em x0.

Ent˜ao, dado um sistema ortonormal local _{ei}ni=1 em Σ temos

n X

i=1

h Y |Y_|, eii

2 ₌ 1

|Y_|2

n X

i=1

hY, eii2 = 1

|Y_|2(|Y| 2

− hY, N_i2) = 1₋ γ

W2 =

|∇u_|2

W2

Ent˜ao,

trg_∇¯2d=kg+ |∇

u_|2

W2 h∇¯|YY|

¯

∇d, Y

|Y_|i=kg+

|∇u_|2

W2 κd

onde kg a curvatura m´edia da esfera geod´esica centrada em x0 e

κd=h∇¯ Y

|Y|

¯

∇d, Y

(27)

27

´e a curvatura principal do cilindro de Killing sobre uma esfera geod´esica centrada em x0.

Agora, calcula-se

h∇¯v∇¯s, wi=h∇¯π∗vγY, π∗wi+hv, Y

|Y_|ih∇¯|YY|γY, π∗wi+hw, Y

|Y_|ih∇¯π∗vγY, Y

|Y_|i

+_hv, Y

|Y_|ihw, Y

|Y_|ih∇¯|YY|γY, Y

|Y_|i

Usando o fato que

Y[γ] = 0 e _h_∇¯YY, Yi= 0 e que P _⊂Mn+1 _{é totalmente geodésica obtém-se}

h∇¯v∇¯s, wi=hv,

Y

|Y_|ih∇¯|YY|γY, π∗wi+hw, Y

|Y_|ih∇¯π∗vγY, Y

|Y_|i

=γ_hv, Y_ih_∇¯YγY, π∗wi+γhw, Yih∇¯π∗vγY, Yi

=γ2_hv, Y_ih_∇¯YY, wi+γhw, Yih∇¯π∗vγY, Yi

=γ2_hv, Y_ih_∇¯YY, wi+γhw, Yi(π∗v[γ]hY, Yi+γh∇¯π∗vY, Yi)

=γ2_hv, Y_ih_∇¯YY, wi+γhw, Yi(π∗v[γ]hY, Yi −γh∇¯YY, π∗vi)

=γ2_hv, Y_ih_∇¯YY, wi −γ2hw, Yih∇¯YY, vi+γhw, Yiv[γ]hY, Yi =γ2_hv, Y_ih_∇¯YY, wi −γ2hw, Yih∇¯YY, vi+hw, Yiv[γ].

Ent˜ao,

trg_∇¯2s = n X

i=1

hei, Yiei[γ] =hYT,∇¯γi=−hY, NihN,∇¯γi = 1

Wh∇γ,

∇u W i

= 2 γ

Whγ∇¯YY,

∇u W i Al´em disso n X i=1

hei,∇¯di2 =|∇¯d|2− h∇¯d, Ni2 = 1− h∇d,∇

u W i

2_.

Segue de (2.19) que

trg_∇¯2φ=₋2d

r2 0

trg_∇¯2d₋ 2 r2 0

(1_{− h}_∇¯d, N_i2) +Ctrg_∇¯2s

Portanto,

trg∇¯2φ = − 2d

r2 0

kg +|∇

u_|2

W2 κd

− 2

r2 0

1_{− h∇}d, ∇u W2i

2

+ C 1 Wh∇γ,

(28)

28

Tomando o tra¸co em (2.18), obtemos

∆η=g′′(φ)(_|_∇¯φ_|2_{− h}_∇¯φ, N_i2) +g′(φ)trg_∇¯2φ+nHg′(φ)_h_∇¯φ, N_i.

Substituindo as express˜oes acima deduz-se que

∆η =g′′(φ)

4d2

r4 0

1_{− h∇}d,∇u W i

2₊_C2_γ|∇u|2

W2 −C

γ W

4d r2

0h∇

d,∇u W i

+g′(φ) !

− 2d

r2 0

kg+|∇

u_|2

W2 κd

− 2

r2 0

1_{− h∇}d, ∇u W2i

2

+C 1 Wh∇γ,

∇u

W i+nH

2d

r2 0h∇

d,∇u W i+C

γ W

"

.

Por fim, escolhemos

g(t) = eKt₋1.

Observa¸cão 2.2 As fun¸cões g e φ são definidas apropriadamente da mesma forma que em [10].

A partir da desigualdade

∆η _{≤ −}η(_|A_|2+ Ric(N, N) +_hn_∇H,∇u W i).

denotando-se

˜

C =_||A_|2+ Ric(N, N) +_hn_∇H,∇u W i|

temos

0_≥∆η₋Cη˜

=eKφK2

4d2

r4 0

1_{− h∇}d,∇u W i

2₊_C2_γ|∇u|2

W2 −C

γ W

4d r2

0h∇

d,∇u W i

+eKφ_K !

− 2d

r2 0

kg+|∇

u_|2

W2 κd

− 2

r2 0

1_{− h∇}d,∇u W2i

2

+C 1 Wh∇γ,

∇u

W i+nH

2d

r2 0h∇

d,∇u W i+C

γ W

"

−Ce˜ Kφ+ ˜C

e ent˜ao

0_≥∆η₋Cη˜

≥eKφK2

4d2

r4 0

1_{− h∇}d,∇u W i

2₊_C2_γ|∇u|2

W2 −C

γ W

4d r2

0h∇

d,∇u W i

+eKφK

!

− 2_rd2 0

kg+|∇

u_|2

W2 κd

−_r22 0

1_{− h∇}d, ∇u W2i

2

+C 1 Wh∇γ,

∇u

W i+nH

2d

r2 0h∇

d,∇u W i+C

γ W

"

(29)

29

Agora, note que

4d2

r4 0

1_{− h∇}d,∇u W i

2₊_C2_γ|∇u|2

W2 −C

γ W

4d r2

0h∇

d,∇u W i

≥C2γ|∇u|

2

W2 −

4d r2 0

Cγ|∇u| W2 ≥C

2_γ|∇u|2

W2 −

4

r0

Cγ|∇u| W2

Denotando α=γ/2 seque que caso

|∇u_|>

4

r0 +

q

16

r2 0 +C

2_γ

C , (2.20)

ent˜ao

C2_γ|∇u|2

W2 −

4

r0

Cγ|∇u| W2 > αC

2_.

Al´em disso, temos

2d r2 0

kg +|∇

u_|2

W2 κd

+ 2

r2 0

1_{− h∇}d,∇u W2i

2

−C 1 Wh∇γ,

∇u

W i −nH

2d

r2 0h∇

d,∇u W i+C

γ W

≤ 2_rd2 0

Hd+ 2 r2 0 − 2d r2 0

nH_h∇d,∇u W i

−2C γ

Whγ∇¯YY,

∇u

W i −nHC γ W,

onde Hd é a curvatura média do cilindro de Killing sobre a esfera geodésica centrada em

x0 com raio d.

Al´em disso,

2d r2

0

nH_h∇d,∇u W i ≥ −

2d r2 0

n_|H_{| ≥ −}n2d r2 0

h0

e

−2C γ

Whγ∇¯YY,

∇u

W i −nHC γ

W ≤C 2|γ∇¯YY|+n|H|

γ

W ≤C 2|γ∇¯YY|+nh0

.

onde h0 = supBr0(x0)|H|. Resulta que

0_≥∆η₋Cη˜ _≥eKφK2αC2₋eKφK2d r2 0

Hd+ 2

r2 0

+2d

r2 0

nh0+C 2|γ∇¯YY|+nh0

−Ce˜ Kφ

No entanto, isso implica que

0_≥αC2_K2 ₋2d

r2 0

Hd+ 2

r2 0

+ 2d

r2 0

nh0+C 2|γ∇¯YY|+nh0

(30)

30

Observe que

|γ_∇¯YY|= ¯κ,

onde ¯κ ´e a curvatura das linhas de fluxo. Portanto obt´em-se 0_≥K2αC2₋K2

r2 0

dHd+ 2

r2 0

+ 2

r0

nh0+C(nh0+ 2¯κ0)

−C˜

onde ¯κ0 = supBr0(x0)¯κ. Desde que dHd→ 1 quandod →0 esse termo pode ser estendido

continuamente para uma fun¸c˜ao limitada no intervalo [0, r0]. Segue-se que existe uma

constante ˜˜C >0 tal que

0_≥αC2K2₋CK˜˜ ₋C.˜

Isto dá uma contradi¸cão se considerarmos K suficientemente grande. Segue-se a partir desta contradi¸cão que

|∇u_{| ≤}

4

r0 +

q

16

r2 0 +C

2_γ

(31)

Cap´ıtulo 3

Uma abordagem anal´ıtica

Teorema 3.1 Sejau_∈C2₍_B

r0(x0))uma solu¸cão negativa da equa¸cão da curvatura média

(1.11) onde H : ¯Ω _→ R _{é uma fun¸cão em} _Cα_{( ¯}_{Ω). Então, existe uma constante} _D ₌

D(u(x0), r0, γ, H) tal que |∇u(x0)| ≤D

Demonstra¸c˜ao :

Primeiro observamos que para um sistema de coordenadasx= (x1, . . . , xn) a equa¸c˜ao

(1.11) tem a forma

gijui;j −Rh∇γ,∇ui=nHW (3.1) onde

gij =σij ₋ u

i_uj

W2.

e por simplicidade vamos denotar

R= 1

2γW2(2γ+|∇u| 2₎

Como feito no cap´ıtulo 2, fixe um ponto x0 ∈ Ω e tome r0 > 0 tal que a bola fechada

Br0(x0) est´a contida em Ω. Denote porK

− _{o semi-cilindro s´olido Φ(}_R−_×_B

r0(x0)). Defina

a fun¸c˜ao n˜ao-negativa φ:K− _→_R _{como no cap´ıtulo anterior}

φ(y) =

1₋ d

2₍_x₎

r2 0

+Cu(x) +

se y = Φ(s, x)_∈K−

onde + significa a parte positiva e C = ₋1/2u(x0) ´e uma constante positiva, temos

também d(x) = distP(x0, x). No que se segue as fun¸cões η e h estão definidas como no

cap´ıtulo anterior, e novamente temos

(32)

32

onde K > 0 ´e uma constante a ser escolhida depois. Ent˜ao η desaparece ao longo do cilindro R−_×_∂B_r

0 e ´e suave onde ´e positiva.

Seja y0 ∈ Br0(x0) um ponto interior onde a fun¸c˜ao h =ηW tem um m´aximo. Nesse

ponto temos hi = 0, i,e.,

ηiW =−ηWi (3.2)

e a matriz hessiana deh´e semidefinida negativa emy0. Tomando o tra¸co do produto com

a matriz definida positiva W−1_gij_{, temos} 0_≥ 1

Wg

ij_h

i;j =gijηi;j+ 2

gij

WηiWj + gij

WηWi;j.

Usando (3.2), obtemos

gijηi;j+

η Wg

ij_W i;j−2

WiWj

W

≤0. (3.3)

De (1.3), temos

Nk =₋u k

W. (3.4)

Assim,

Wi =

γi 2W +

uk

Wuk;i = γi 2W −N

k_u

k;i. (3.5)

Na sequência, usamos (3.2), (3.4) e (3.5) várias vezes como referência. Temos

Wi;j =

γi;j 2W −

γiWj 2W2 −N

k

;juk;i−Nkuk;ij = γi;j

2W + σkl

W ul;juk;i− w

η2ηiηj −N

k_u k;ij = γi;j

2W +

1

W σ

kl₋_Nk_Nl

ul;juk;i+ 1

WN

k_Nl_u

l;juk;i− 1

WWiWj −N

k_u k;ij = γi;j

2W + gkl

Wul;juk;i+ γiγj 4W3 −

1

2W2(Wiγj+Wjγi)−N

k_u k;ij Assim,

gijWi;j = 1 2Wg

ij_γ i;j+

1

Wg

ij_gkl_u

l;juk;i + 1 4W3g

ij_γ iγj+

1

W ηg

ij_η

iγj−Nkgijuk;ij (3.6) Vamos calcular o ´ultimo termo de (3.6). Para isso, vamos usar as identidades de Ricci para a hessiana de u

(33)

33

Assim,

Nkgijuk;ij =Nkgijui;jk+NkgijRlkjiul=Nkgijui;jk − 1

Wg

ij_Rl kjiukul =Nk(gijui;j);k−Nkg_;ij_kui;j−

1

Wg

ij_Rl kjiukul

Segue-se que

Nkgijuk;ij =Nk(nW H);k+Nk(Rh∇γ,∇ui);k−Nkg;ijkui;j − 1

Wg

ij_Rl

kjiukul. (3.7) Vamos calcular os trˆes primeiros termos de (3.7). Para o primeiro termo, temos

(HW);k =W

Hk−

Hηk

η

. (3.8)

Uma vez que

2γ+|∇u|2 2γW2

;k =

γk

W2 −

γ

W4(γk+ 2u

l_u l;k) =

1

W2

γk+ 2γηk

η

e

1

2γh∇γ,∇ui

;k = γ_l

2γ

;k+

γl 2γul;k=

1 2γ

hγ_lγ_k

γ −γk;l

W Nl+γlul;k i

,

obtemos, para o segundo termo de (3.7), a seguinte express˜ao

(R_h∇γ,_∇u_i);k =R

hγ_lγ_k

γ −γk;l

W Nl+γlul;k i

+ 1

W2

γ_k 2γ +

ηk

η

h∇γ,_∇u_i (3.9) Temos

g_;ij_k =₋N_;i_kNj ₋NiN_;j_k=₋ 1

W2(u

i

;kuj+uiu j

;k) + 2

W3W;ku

i_uj =₋ 1

W2(u

i

;kuj +uiu j

;k) + 1

W3(

γk

W −2N

l_u

l;k)uiuj

= 1

W(u

i

;k−NiNlul;k)Nj +

1

W(u

j

;k−N j_Nl_u

l;k)Ni+

γk

W4u

i_uj = 1

W(σ

il

−NiNl)ul;kNj+ 1

W(σ

jl

−NjNl)ul;kNi+

γk

W4u

i_uj = 1

Wg

il_u

l;kNj + 1

Wg

jl_u

l;kNi + 1

W2γkN

i_Nj_, donde resulta que o terceiro termo de (3.7) ´e dado por

Nkg_;ij_kui;j = 1

WN

k_gil_u

i;jul;kNj + 1

WN

k_gjl_u

i;jul;kNi+Nk 1

W2γkN

i_Nj_u i;j = 2

Wg

il γi

2W −Wi

γ_l

2W −Wl

+ 1

W2γkN

i_Nk γi

2W −Wi

= 2

Wg

ijηiW

η + γi 2W

η_jW

η + γj 2W

+ 1

W2γkN

i_NkηiW

η + γi 2W

(34)

34

Substituindo (3.8), (3.9) e (3.10) em (3.7), obtemos

Nkgijuk;ij = nW Nk

Hk−

Hηk

η

− _W2 gijηiW η + γi 2W η jW η + γj 2W

− _W12γkN

i_NkηiW

η + γi 2W

1

W2N

kγk 2γ +

ηk

η

h∇γ,_∇u_i

+ Rh γ

2Wσ

ij₊_{W N}k_Nlγkγl

γ −W N

k_Nl_γ k;l+

W η γlη

li

− _W1 gijRl_kjiukul. Resulta de (3.6) que

gijWi;j− 2

Wg

ij_W iWj =

3 4W3g

ij_γ iγj+

1

Wg

ij_gkl_u

l;juk;i+ 3

W ηg

ij_γ iηj +

1 2Wg

ij_γ i;j + 1

WR

l

kjiukul−nNk

W

η (ηHk−Hηk) +

1

W2γkN

k_NiW ηi

η + γi 2W

− 1

W2N

kγk 2γ +

ηk

η

h∇γ,_∇u_{i −}Rh γ

2Wσ

kl₊_{W N}k_Nlγkγl

γ −W N

k_Nl_γ k;l+

W η γlη

li_. Depois de multiplicar ambos os lados por η/W e descartar os termos n˜ao-negativos, ob-temos

η W

gijWi;j − 2

Wg

ij_W iWj

≥h−nNkHk−

γk 2γW3N

k

h∇γ,_∇u_i+ 1 2W2g

ij_γ i;j

−R γ

2W2σ

kl₊_Nk_Nlγkγl

γ −N

k_Nl_γ k;l

+ 1

W2g

ij_Rl kjiukul

i

η

+hnH+ 1

W2N

k_γ k−

1

W3h∇γ,∇ui

Ni+ 3

W2g

ij

−Rσijγj i

ηi. ´

E f´acil verificar que existe uma constante M >0 dependendo deH, γ e do tensor de Ricci de P, tal que

1

W2ηg

ij₍_{W W}

i;j−2WiWj)≥ −M η−Aiηi (3.11) onde ₋Ai _{denota o coeficiente de} _η

i. Segue-se de (3.3) e (3.11),

gijηi;j−M η−Aiηi ≤0. (3.12) Por outro lado,

ηi =g′(−r0−2(d2)i+Cui)

e

ηi;j =g′(−r0−2(d2)i;j+Cui;j) +g′′(−r−20 (d2)i+Cui)(−r0−2(d2)j+Cuj)

Por isso

gij₍_r−2

0 (d2)i−Cui)(r0−2(d2)j−Cuj) = C

2_γ

W2|∇u|

2₋ 2Cγ

r2 0W2

h∇u,_∇d2_i₊ 1

r4 0

|∇d2_|2₋ 1

W2h∇u,∇d 2_i2

≥ C

2_γ

W2

|∇u_|2₋ 2

Cr2 0

(35)

35

e

gij(₋r₀−2(d2)i;j +Cui;j) =−r0−2gij(d2)i;j +C(nHW +Rh∇γ,∇ui) onde

gij(d2)i;j = ∆d2− 1

W2h∇∇u∇d 2_,

∇u_i

Segue de (3.12) que

C2_γ

W2

h

|∇u_|2₋ 2 Cr2

0h∇

u,_∇d2_iig′′+h 1

r2

0W2h∇

∇u∇d2,∇ui − ∆d2

r2 0

+C(nHW +R_h∇γ,_∇u_i)ig′ _≤M g+Ai(₋r−2₀ (d2)i+Cui)g′

Desde que

−Ai(d2)i =nH+ 1

W2N

k_γ k−

1

W3h∇γ,∇ui

Ni(d2)i+ 3

W2g

ij

−Rσijγj(d2)i e

Aiui =

nHW + 1

WN

k_γ k−

1

W2h∇γ,∇ui

|∇u|2

W2 +

3

Wg

ij_γ

jNi+Rh∇γ,∇ui Concluimos que

C2_γ

γ+_|∇u_|2

|∇u_|2₋ 2 Cr2

0h∇

u,_∇d2_ig′′+P g′ ₋M g_≤0 onde o coeficiente

P = n

WCHγ−

1

r2 0

∆d2₋ 1

W2h∇∇u∇d 2_,

∇u_i₋CW Nkγk− h∇γ,∇ui

|∇u|2

W4

−_W3 CgijγjNi− 1

r2 0W3

nHW3+W Nkγk− h∇γ,∇ui

Ni(d2)i

−_r12 0

3

W2g

ij

−Rσijγi(d2)j de g′ _{´e limitado para uma constante} _C

0 =C0(C, H, γ).

Suponha que

|∇u_{| ≥} 8 Cr0

=₋16u(x0)

r0

.

Ent˜ao, temos

|∇u_{| ≥} 4|∇d

2_|

Cr2 0

e

|∇u_|2₋ 2

Cr2 0

h∇u,_∇d2_{i ≥ |∇}_u_|2₋ 2

Cr2 0

|∇u_||∇d2_|

(36)

36

Assim, existe uma constante L=L(u(x0), r0, γ) tal que

C2_γ

γ+_|∇u_|2

|∇u_|2)₋ 2

Cr2 0

h∇u,_∇d2_i_≥ C

2_γ

2(γ+_|∇u_|2₎|∇u| 2

≥L >0.

Por exemplo, fixandoγ0 =infBr0(x0)γpodemos tomarL= 32γ0/(r

2_γ

0+256u2(x0)). Desde

que g(t) = eKt₋_{1, obtemos uma contradi¸c˜ao tomando} _K ₌ _K₍_{C, H, γ}_{) suficientemente} grande, isto ´e, de tal modo que

Lg′′(y0) +C0g′(y0)−M g(y0)>0

Assim,

W(y0)≤C1 =γ1−

16u(x0)

r0

onde γ1 =supBr0(x0)γ. Desde que h(x0)≤h(y0), obtemos

η(x0)W(x0)≤η(y0)W(y0)

Portanto,

(eK/2₋1)W(x0)≤C1eK.

Isto d´a a estimativa desejada e conclui a prova.

(37)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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