COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
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EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – 2012 - GABARITO1. Resolva em IR as equações:
a) sen 2 x 1 b) t 0 cos 3
2
c) 0 2 sen x 8
4
d) 0
2 1 2
a
cos e)
3 tgx 1 3
1 f)
4 3 x tg 1
1
2
g)
4
x 3 sen x 2
cos h) 3 cos 2 sen
2 i) cos
2 2 sen 2 Solução. Considerando k є Z e observando os quadrantes correspondentes, temos:
a)
k
x 4 / IR x S 4 k
x k 2 2 x 2 1 x 2
sen .
b)
6 k2 t 5
6 k2 t 11 6 k2
2t 7 6 k2 2t 6 k2
t 7 6 k2 t 6 k2
t 7 6 k2 t
2 k2 3 t 3
23 k2 t 2 k2
3 2t k2 0t 3
cos0 3 3 t
cos2
.
OBS: Os arcos do resultado diferem de 180°. Logo, uma solução geral pode ser representada por:
k
6 t 11 / IR t
S ;
k
t 6 / IR t
S .
c)
3 k4 xou 5 3 k4
x/IR x S 3 k4
k4 5 3 x 11
3 k4 3 k4
x 7
6 k4 .2 11 x
6 k4 .2 7 x
6 k2 11 2 x
6 k2 7 2 x 2 1 2 sen x 8 4 2 sen x 2 4
sen x 8 2 0 sen x 84
.
OBS: Os resultados às vezes são representados como congruentes negativos:
3 5 3
; 5 3 5 3
.
d)
4 k2 a 5 ou 4 k2 a/ 3 IR a S
4 k2 a 5
4 k2 a 3
2 a 2 2 cos 1 2
a 0 cos 2 1 2
a cos
.
e)
k2
3 xou 4 3 k2 x/IR xS 3 k2
x 4 3 k2 x 3 3 tgx tgx 3 3 tgx 1 3
1 .
OBS: A variação da tangente é de 180º. Logo, uma resposta geral seria:
k
x 3 / IR x
S .
f)
6 k2 xou 7 6 k2 xou 5 6 k2 xou 11 6 k2
x/IR x S
6 k2 7
6 k2 5 x
6 k2 11 6 k2 x
2 xcos 3
2 xcos 3
4 xcos 3 4 x 3 4 cos 3 x sec
1 4 3 xtg 1
1 2
2 2
.
OBS: Os arcos
6 e 11 6
; 5 6 e 7 6
diferem de um múltiplo de 180º. Logo, uma solução simplificada que
contempla todas as possibilidades é:
k
6 x 5 ou 6 k
x / IR x
S .
g)
4 k2 3 xou k2 x/IR 12 x S
4 k2 x
3 k2 x 12 4 k2
x 4 k2 x3 4 k2
3 xx 2
2
4 k2 3 xx 2 2
4 k2 x 3 2 x2
4 k2 xx 3 2 2 4 x 3 sen 2 x2
4 sen x 3 sen x2 cos
.
h)
3 k2 ou 5 3 k2
/ IR S
3 k2 5 3 k2 2
cos 1
1 4 2
5 cos 3
2 1 4
5 cos 3
4 5 3 4
25 3 4
16 9 3 )2
(2
)2 )(
2(
4 9 cos 3
0 2 cos 3 cos 2 cos 2 2 cos 3 cos
1 2 cos 3 sen 2 cos
3 2 2 2 2
.
OBS: Outra forma de representar a solução é trabalhar com os côngruos negativos:
Como
3 5 3
, a solução poderia se expressa como:
2 k
/ 3 IR x
S .
i)
k 2 2 / IR S
k 2 2 1
sen 2 1
2 2
4 4 2 )
1 ( 2
) 1 )(
1 ( 4 4 sen 2
0 1 sen 2 sen 0
2 sen 2 sen 1 2 sen 2
cos
2 2 2.
2. Resolvas as equações observando os intervalos indicados:
a) sec x cos x senx , com 0 x 2 . Solução.
4 ,, 5 ,0 4 S
Fora 4 2
2 9 x 4 2 k
4 5 x 4
1 k
x 4 0 k 4 k
x) ii
Fora [ 2, 0[
2 x 2 k
x 1 k
0 x 0 k k x) i
4 k x
k x 2 k2
x2 k2 2 x x
k x x cos senx
0 0 senx
)x cos senx ( senx
0 senx .x cos x sen senx .x cos x cos 1 senx x x cos cos
1 2 2
.
b) 2 cos
2x 3 cos x 1 0 , com 0 x .
Solução.
,0 3 S
Fora 2
2 0 x 1 k
0 x 0 k2 k
0 x)iii
3 Fora x 5 0 k 3 k2
x)ii 5
3 Fora 2 7 x 3 1 k
x 3 0 k 3 k2
x)i
k2 0 x 1 x cos
3 k2 x 5
3 k2 x 2 x 1 cos
4 1 1 x 3 cos
2 1 4
1 x 3 cos 4
1 3 4
1 3 )2(2
)1)(
2(4 9 x 3 cos 0 1 x cos 3 x cos
2 2
.
c) sen
3x . cos x 3 senx . cos
3x 0 , com 0 x 2 .
Solução.
3 , 5 2 , 3 3 ,, 4 3 , 2 , 2 ,0 3 S
Fora 3 2
2 10 3 x 5 1 k
3 x 5 0 k 3 k2
x 5
Fora 3 2
2 7 x 3 1 k
x 3 0 k 3 k2
x
Fora 3 2
2 9 3 x 4 1 k
3 x 4 0 k 3 k2
x 4
Fora 3 2
2 8 3 x 2 1 k
3 x 2 0 k 3 k2
x 2
3 k2 x 5
3 k2 x 2 senx 3
3 k2 x 4
3 k2 x 2
2 senx 3
4 senx 3 3 x sen 4 0 x sen 13 x sen )ii
Fora [2 ,0[
2 x 4 k
2 x 3 3 k
x 2 k
x 2 1 k
0 x 0 k
2 x k
Fora [2 ,0[
2 x 2 k
x 1 k
0 x 0 k k x
0 x cos
0 )i senx
0 x cos 3 x sen
0 x cos . 0 senx x cos 3 x sen x cos . senx 0 x cos . senx 3 x cos .x sen
2 2
2
2 2 2
2 3
3
.
d) sen
4x 1 cos
2x , com 0 x 2 . Solução.
2 , 3 S 2
Fora 2 2
2 5 x 2 2 k
2 x 3 x 2
x 1 k
x 2 0 k 2 k
x
2 k 1 x senx
1 1 senx x sen
IR 2 x sen 1
y 2 0 y
)1 y).(
2 y(
0 2 y y
y x sen
y x 0 sen 2 x sen x sen x sen 1 1 x sen x cos 1 x sen
2 2 2
2 4 2 2
4 2
4 2
4
.
3. Se
3 senx 2 . x
cos e
tgx 2, 0 x , calcule o único valor de:
a) cos x . b) senx sec x
Solução. Utilizando as relações, temos:
a) cos 2.x cos. x 3 2 cos x 3 1 3 3
3 senx 2 .x cos
x cos.
2 senx x 2 cos 2 senx tgx
.
a)
3 3 3 6 3 . 3 3
3 2
3 3 2 3 . 3 3
3 2 3
3 3
3 2
3 3 3 1
2 x
cos 1 x cos . senx x
cos senx 1 x
sec senx
.
4.Resolva em IR a equação
cossecxcotgx2senx.
Solução.
k 3 2 x 2 / IR x S
)x sec (cos Domínio k
2 x 4 1
3 x 1 cos
Z k
; k 3 2 k 2 3 2 x 4
k 3 2 x 2
2 1 4
3 x 1 cos 4
3 x 1 4 cos
9 x 1
cos
)2 (2
)1 )(
2(
4 1 x 1
cos 0 1 x cos x cos 2 0 1 x cos x cos 1 2
0 1 x cos x sen 2 senx senx 2
x cos senx senx 1
2 gx cot x sec cos
2 2
2
.
5. Sendo
5 x 1 cos
senx , determine os possíveis valores de senx .
Solução.
5 4 10
8 100
80 100
70 senx 10
5 3 10
6 100
60 100
70 senx 10
100 70 10 100
4900 senx 10
100 4800 100
10 100
) 24 )(
50 (4 100 senx 10
0 24 senx 10 x sen 50
25 0 senx 24 5 x 2 sen 2 0 1 x sen 5 senx
2 25 x 1 sen
1 5 senx
x 1 sen 1
x cos x sen
5 senx x 1
5 cos x 1 cos senx
2
2 2
2
2 2
2 2
.
6. O dobro do seno de um ângulo α,
0 2 é igual ao triplo do quadrado da sua tangente. Com base nessa informação, calcule o cosseno do ângulo α.
Solução. De acordo com as informações, temos:
1 º Quadrante
2 3 4 3 4 1 1 2
1 1 cos
, Logo
] 1 , 1 [ sen 1
4 2 5 sen 3
2 1 4
5 sen 3
4 5 3 4
16 9 3 )
2 ( 2
) 2 )(
2 ( 4 9 sen 3
0 2 sen 3 sen 2
0 sen 0
: OBS
0 2 sen 3 sen 2 sen 0
sen 2 sen 3 sen 2 0 sen 3 sen 2 sen 2
sen 3 sen
1 . sen 2 sen
3 cos . sen cos 2
. sen 3 sen 2 tg
. 3 sen 2
2 2
2 2
3 2
3
2 2
2 2
2 2 2
