Tiê Farias - estatisticatie@gmail.com

Tiê Farias - estatisticatie@gmail.com Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Estatística

Aula 9

 Sejam A e B dois eventos associados ao experimento Ɛ. Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.

 Por exemplo: Vamos examinar a diferença

entre extrair uma peça de um lote, ao acaso,

com e sem reposição.

 Um lote com 80 peças não defeituosas e 20 peças defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote:

◦ Com reposição

◦ Sem reposição

 Definamos os eventos A={a primeira peça é defeituosa} e B={a segunda peça é defeituosa}

 Se extrairmos COM reposição, então:

P(A)=P(B)=20/100

 E SEM reposição???

P(A) continua sendo a mesma, igual a 20/100.

P(B) ?

 Observe que:

 Poderemos ter a primeira peça defeituosa, ou ainda, a primeira peça não defeituosa.

 Então, deveremos saber se A ocorreu ou não.

 Logo temos que P(B) está condicionada ao evento A.

 No exemplo teríamos: P(B|A)=19/99

Observe que: Estamos calculando a probabilidade de A no espaço amostral

reduzido B.



A tabela abaixo descreve o número de alunos

matriculados na disciplina de matemática pura,

matemática aplicada, estatística e computação, por

sexo.

Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade:

a. Que seja do sexo feminino se já estiver matriculado em estatística?

b. Que seja esteja matriculado em estatística se ele for do sexo masculino?

c. Que seja esteja matriculado em computação se

ele não for do sexo masculino?

Uma urna contém 10 peças, dessas 2 são defeituosas e 8 são não defeituosas. Considere o evento A como defeituosa e B não ser defeituosa.

No sorteio de uma peça, qual a probabilidade de P(A|B)?

a) com reposição

b) sem reposição

Dizemos que dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não modifica a probabilidade de ocorrência do outro. Isto quer dizer que se B ocorre e a probabilidade de A não se modifica então A e B são eventos independentes.

Podemos escrever este fato em termos da seguinte probabilidade:

P(A/B) = P(A),

Ou seja, B ocorreu e a probabilidade de A é a mesma.

Mas por definição, P(A/B) =P(AB)/P(B).

Sendo assim,

P(AB) = P(A)P(B) .

Portanto, a equação anterior representa a condição para a ocorrência da independência entre dois eventos. No caso de três eventos, são necessárias mais condições, ou seja: os eventos A, B e C são independentes se as quatro equações abaixo ocorrem de forma simultânea (todas tem que ser verificadas para que A, B e C sejam independentes)

P(ABC) = P(A)P(B)P(C), P(AB) = P(A)P(B) e

P(AC) = P(A)P(C)

P(BC) = P(B)P(C).

Qual a probabilidade de ocorrer duas caras no lançamento de duas moedas?

Solução: A = { a primeira moeda é cara}, B = { a segunda moeda é cara}, AB = { as duas moedas são caras}. Considerando os dois eventos A e B como independentes, temos que:

P(AB) = P(A)P(B) = ½ * ½. = ¼.

Note que P(A)=P(B) = ½.

Solução: Se A e B são eventos quaisquer (dependente ou independente), TEMOS QUE

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB).

No caso de independência, substituímos

P(AB) = P(A)P(B) em P(AB) e obtemos P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).

Substituindo os valores P(AB) = 0,7 e P(B) = 0,4 temos 0,7 = P(A) + 0,4 – P(A) 0,4  P(A) – 0,4P(A)

= 0,7 – 0,4  (1-0,4)P(A) = 0,3 

 0,6P(A) = 0,3  P(A) = 0,3/0,6  P(A) = 0,5.

Sejam A e B dois eventos independentes tal que P (A) = 0,3 e (A  B) = 0,21.

1. Calcule P (A  B).