COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Equações Algébricas – 2013 - GABARITO
1. (PUC) A multiplicidade da raiz x = 1 da equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solução. Verificamos através do dispositivo de Briot-Ruffini quantas vezes o resto é nulo na divisão por (x – 1).
Logo a multiplicidade da raiz x = 1 é três.
OBS: A última divisão com resto zero apresentou um quociente da forma Q(x) = x + 2. A outra raiz, portanto, é x = – 2.
2. (UNIRIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0, os valores de a e b são respectivamente:
a) 1/3 e – 9 b) 1/3 e 9 c) – 1/3 e – 9 d) – 1/3 e – 9 e) 1 e – 3 Solução. Há três raízes. Como o termo de grau 2 é zero, então a soma das raízes é nula. Se 3 é raiz dupla e r a outra raiz, temos que 3 + 3 + r = 0 => r = – 6 é a outra raiz. Substituindo na equação temos:
3 936 .96b, 1 Logo
3 1 27 a9a 9 3ba36 27 6ba9 18b6a 216
18b3a 27 018)6(
b)6(a 018)3(b )3(a
3 3
.
3. (PUC) Qual o grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo que são zeros desse polinômio z1 = 1 + i e z2 = – 1 + i?
Solução. Se os coeficientes são reais, caso haja uma raiz complexa, seu conjugado também será raiz. Logo, se z1 1i é raiz, z1 1i também é raiz. O mesmo acontecerá com z2 1i e
i 1
z2 . Logo, no mínimo, o polinômio terá quatro raízes e será de grau 4.
4. (UFF) Considere as seguintes afirmações sobre polinômios de coeficientes reais:
(I) Todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos um zero real (II) Um polinômio de grau par pode ter todos os zeros complexos (III) 2 + i e 3 - i podem ser zeros de um mesmo polinômio do 3º grau São verdadeiras:
a) I e II b) I e III c) II e III d) Todas e) Nenhuma Solução. Analisando as afirmações, temos:
(I) Verdadeiro. Pois se os coeficientes são reais, as raízes complexas estão com seus conjugados.
(II) Verdadeiro. Seus zeros estarão acompanhados dos respectivos conjugados.
(III) Falso. Pois seus conjugados também seriam zeros e assim o polinômio seria do 4º grau, no mínimo.
5. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n, em que m e n são números reais, admite 1 + i (sendo i é a unidade imaginária) como raiz. Então m e n valem respectivamente:
a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) 2 e – 2 e) – 2 e 0 Solução. Como os coeficientes são reais, 1 + i e 1 – i são raízes da equação.
2 2 m4 4 m20 m24 0)m2 4(i0) 0(mi2 i4,Logo
2n 4n2 4n2
0n0 0nmi n2 2i4
0nmi 2i4 0ni2 2mi2 2i2
0ni2 2mi2 2i2 0n)i 1(2)i 1(m)i 1(
0n)i 1(2)i 1(m)i 1(
2 3
2 3
.
6. (UNIFICADO) Sabendo-se que a equação x3 – 2x2 + 7x – 4 = 0 tem raízes a, b e c, escreva com coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a + 1, b + 1 e c + 1.
Solução. Utilizando as relações de Girard, temos:
a) Na equação x 3 – 2x2 + 7x – 4 = 0 , temos:
i) Soma das raízes: a + b + c = – (– 2)/1 = 2;
ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: ab + ac + bc = 7/1 = 7;
iii) Produto das raízes: abc = – (– 4)/1 = 4
b) Na nova equação de raízes a + 1, b + 1 e c + 1, temos:
i) Soma das raízes: (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = (a + b + c) + 3 = 2 + 3 = 5.
ii) Soma dos produtos das raízes duas a duas: (a + 1).(b + 1) + (a + 1). (c + 1) + (b + 1). (c + 1) =
= ab + a + b + 1 + ac + a + c + 1 + bc + b + c + 1 = (ab + ac + bc) + 2(a + b + c) + 3 = 7 + 4 + 3 =14.
iii) Produto das raízes: (a + 1)(b + 1)(c + 1) = (ab + a + b + 1)(c + 1) = abc + ab + ac + a + bc + b + c + 1
= (abc) + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + 1 = 4 + 7 + 2 + 1 = 14.
Logo a equação é: x 3 – 5x2 + 14 x – 14 = 0 .
7. (FUVEST) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação polinomial 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Determine o valor de k.
Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r.s) = 1. Temos:
2 t 2 t.1 2 t).
rs(
2 2 rst 2 oduto 4 Pr
rst oduto Pr
.
Se t = – 2 é raiz, então substituindo na equação o resultado será nulo.
2 8 k 16 16 k 2 0 4 k 2 4 16 0
4 ) 2 ( k ) 2 ( ) 2 .(
2 3 2
.
8. (PUC) O número z = 1 + i é uma das raízes da equação 4z4 – 8z3 + 7z2 + 2z – 2 = 0, que tem:
a) 2 raízes reais distintas e 2 complexas não reais. b) uma única raiz real e 3 complexas não reais.
c) somente raízes complexas não reais. d) 3 raízes reais e uma complexa não real.
Solução. Como os coeficientes são reais, se 1 + i é raiz, 1 – i também é raiz. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
O quociente de grau 2 é: Q(x) = 4x2 – 1. Encontrando os zeros, temos:
2 1 4 x 1
2 1 4 x 1
4 x 1 0 1 x4
2 1 2
2 .
9. Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. Determine todas essas raízes.
Solução. Há três raízes. Considerando essas raízes como r, s e t, sendo (r + s = t) .
2 t 4 t2 4 t t 4 t )s r(
4 t s 4 r 1 Soma 4
t s r Soma
. Se t = 2 é raiz, temos:
O quociente de grau 2 é: Q(x) = x2 – 2x – 3. Encontrando os zeros, temos:
x 1
3 x 2
4 2 2
16 2 2
)3 )(1(
4 4 x 2
0 3 x2 x
2 2 1
.
S = {– 1, 2 , 3}.
10. (UNEB) As raízes da equação x3 – 6x2 + 3x + m = 0 formam uma PA. O valor de m é:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Solução. Considerando (x – r, x, x + r) as três raízes em PA de razão r, temos:
3 2 x 6 6 6 x3
1 Soma 6
x3 )r x(
x) rx ( Soma
. Substituindo x = 2 na equação, vem:
(2)3 – 6(2)2 + 3(2) + m = 0 => 8 – 24 + 6 + m = 0 => – 10 + m = 0 => m = 10.
11. As raízes da equação x3 – 6x2 + kx + 64 = 0 estão em PG. Determine k.
Solução. Escrevendo três termos de uma PG de razão q, temos:
4 64 x 64 x 1 64
Soma 64
x xq.
q x.
oduto x Pr
xq, q x, :PG x
3 3 3
. Substituindo x = – 4 na equação, vem:
(– 4)3 – 6(– 4)2 + k(– 4) + 64 = 0 => – 64 – 96 – 4k + 64 = 0 =>– 4k = 96 => k = – 24.
12. (FUVEST) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 2 . O valor de p2 + q2 é:
a) 5/9 b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9 Solução. Como 2 é raiz, encontramos as demais utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
O quociente de grau 2 é: Q(x) = 9x2 + 18x + 5. Encontrando os zeros, temos:
9 26 9 1 9 25 3
1 3
q 5 p 3 1 18 x 6
3 5 18 x 30
18 12 18 18
144 18
) 9 ( 2
) 5 )(
9 ( 4 324 x 18
0 5 x 18 x 9
2 2
2 2 2
1 2
.
13. (UFF) Considere 3 números reais m, n e p, tais que
5 p 1 n
m ,
3 np 2 mp
mn e
5
mnp 3. Pode-se afirmar que m, n e p são zeros do polinômio:
a) Q(x) = 10x3 + 8x2 + 3x + 15 b) Q(x) = 8x3 + 10x2 + 15x + 3 c) Q(x) = 3x3 + 15x2 + 10x + 8 d) Q(x) = 8x3 + 15x2 + 3x + 10 e) Q(x) = 15x3 + 3x2 + 10x + 9
Solução. Escrevendo as frações com o mesmo denominador, temos:
9x 10 x3 x15 )x(Q 9d 10 c
3b 15 a
15 9 a d 15
9 5 mnp 3
15 10 a c 15 10 3 np 2 mp mn
15 3 a b 15
3 5 pn 1 m
dcx bx ax) x(Q
2 3 2
3
.
14. (UFMG) Os números - 1 e 1 são zeros do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. Calcule o terceiro zero de P(x).
Solução. O produto das três raízes será P = – 2c/c = – 2. Logo, (– 1).(1).(r) = – 2 => – r = – 2 => r = 2.
Logo o terceiro zero será 2.
