Progressão Geométrica: soma dos finitos e infinitos termos

Progressão Geométrica: soma dos finitos e infinitos termos

Objetivo

A partir das propriedades de simetrias de uma P.G., compreender o funcionamento da soma dos termos de uma sequência desse tipo, tal como a relação entre convergência de sequências infinitas e a possibilidade de efetuar a soma de seus termos.

Se liga

Para esta aula, é necessário compreender o que é uma P.G. Para saber mais sobre essa sequência, clique aqui. Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Progressões Geométricas”.

Curiosidade

Conforme uma lenda, o xadrez foi inventado na Índia, há mais de 1500 anos. O rei, fascinado com a invenção e as infinitas possibilidades de movimentos, teria recompensado o inventor, que pediu que, para cada casa do tabuleiro, o rei deveria colocar um, dois, quatro, oito, e assim sucessivamente, grãos de arroz. Essa soma de P.G. resultaria numa quantia de arroz maior que a produzida mundialmente!

Teoria

Soma dos 𝒏 primeiros termos (𝑺_𝒏) de uma P.G.:

Dada uma P.G. (𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃. . . 𝑎_𝑛−2, 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛) cuja razão q é diferente de 1, a soma de seus 𝑛 primeiros termos é representada por 𝑆_𝑛, isto é:

𝑆_𝑛= 𝑎₁+ 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛−2+ 𝑎_𝑛−1+ 𝑎_𝑛

• No caso em que 𝑞 = 1, então a soma dos termos da P.G. é igual a 𝑆_𝑛= 𝑛 ⋅ 𝑎.

• Para os casos em que 𝑞 ≠ 1, temos:

𝑆_𝑛=𝑎₁⋅ (𝑞^𝑛− 1) 𝑞 − 1

Soma dos infinitos termos

(𝐬

_∞)

Para alguns tipos de progressões geométricas, podemos calcular o valor do limite da soma de seus infinitos termos. Essas sequências são chamadas de progressões geométricas convergentes e se caracterizam por ter a razão entre −1 e 1, ou seja, − 1 < 𝑞 < 1. Para calcularmos a soma de seus infinitos termos, usamos a fórmula abaixo:

𝑆_∞= 𝑎₁ 1 − 𝑞

Produto dos 𝒏 primeiros termos (𝑷_𝒏)

Dada uma P.G. (𝑎1, 𝑎₂, 𝑎₃. . . 𝑎_𝑛−2, 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛), podemos calcular o produto de seus 𝑛 primeiros termos a partir da fórmula:

𝑃

_𝑛

= √(𝑎

₁

⋅ 𝑎

_𝑛

)

^𝑛

Exercícios de fixação

1.

Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem 1 𝑚 de altura, cada caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura da nossa pilha de caixas será:

a) 121 𝑚 b) 81 𝑚 c) 32 𝑚 d) 21 𝑚 e) 15 𝑚

2.

Calcule o valor da soma 16 + 8 + 4 + 2 + ⋯.

3.

Calcule o valor da soma das potências naturais de três até 3⁹, sabendo que 3¹⁰= 59.049.

4.

Uma bola é largada de uma altura de 30 𝑚 e, a cada quique, ela perde energia, dissipada na forma de calor. Assim, ela sempre atinge apenas ²

3 da altura máxima anterior. Calcule a soma da distância vertical percorrida por essa bola até ela atingir o repouso.

5.

Determine o valor da soma da PG (7,14,28, . . . , 3584).

Exercícios de vestibulares

1.

Sabendo que o primeiro termo de uma progressão Geométrica é 𝑎₁= 2 e a razão 𝑞 = 3, determine a soma dos 5 primeiros termos dessa progressão:

a) 80 b) 141 c) 160 d) 242 e) 322

2.

A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros triângulos é 2/3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior.

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9.

b) 12.

c) 15.

d) 18.

e) 21.

3.

Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100.

A solução apresentada por Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo.

Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda quanto vale o produto:

1 × 2 × 4 × 8 × 16 × 32 × 64 × 128 a) 4¹²⁹

b) 4¹²⁸ c) 129⁴

4.

O paradoxo de Zenão

O filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.

Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:

“Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro;

Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.”

Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a

𝑑 = 10 + 1 + 1 10+ 1

10²+ ⋯ = 10 + ∑ (1 10)

∞ 𝑛

𝑛=0

É correto afirmar que:

a)

𝑑 = ∞

b)

𝑑 = 11,11

c)

𝑑 =

⁹¹

9

d)

𝑑 = 12

e) ¹⁰⁰

9

5.

Os termos da soma 𝑆 = 4 + 8 + 16+. . . +2048 estão em progressão geométrica. Assinale o valor de 𝑆.

a) 4092 b) 4100 c) 8192 d) 65536 e) 196883

6.

Um menino propôs a seu pai que lhe desse 𝑅$1,00 no dia 1º de dezembro e fosse, a cada dia, dobrando o valor da quantia diária, até o dia 24 de dezembro. No dia 25 de dezembro, ele daria ao pai, com o dinheiro acumulado, um presente de natal. O pai aceitou a proposta, desde que o filho lhe desse um presente que custasse o dobro da quantia que o filho recebesse no dia 24. Se o acordo entre os dois for firmado, o menino dará ao pai um presente com, exatamente, o seguinte valor:

a) metade do que receber

7.

Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em seu primeiro vídeo, ele obteve apenas 5 inscritos em seu canal. Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, dobrar a quantidade de inscritos em seu canal. Se no primeiro mês ele postar 10 vídeos e conseguir atingir a meta estabelecida, ao fim deste mês, seu canal terá

a) 1024 inscritos b) 5120 inscritos c) 5115 inscritos d) 1023 inscritos e) 310 inscritos

8.

A figura abaixo representa parte do gráfico da função (fora de escala) 𝑓(𝑥) =16

2^𝑥

A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é igual a:

a) 16 b) 8 c) 24 d) 32 e) 12

9.

Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, . . . ) sendo 𝑎_𝑛 o 𝑛-ésimo termo e 𝑆_𝑛 a soma dos 𝑛 primeiros termos, podemos concluir que:

a) 𝑆_𝑛 = 2 ⋅ 𝑎_𝑛 b) 𝑆_𝑛 = 𝑎_𝑛 + 1 c) 𝑆_𝑛 = 𝑎_𝑛+1 + 1 d) 𝑆_𝑛 = 𝑎_𝑛+1 − 1 e) 𝑆_𝑛 = 2 ⋅ 𝑎_𝑛+ 1

10.

Em uma PG estritamente crescente, o terceiro termo é 98 e o quinto é 4802. Se 𝑥 é a soma dos dois primeiros termos dessa PG, então o valor de log₈𝑥 é:

a) 3/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/4 e) 4/3

Gabaritos

Exercícios de fixação 1. 𝟏𝟐𝟏 𝒎

1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 𝑚

2. 𝟑𝟐

Aplicando a relação da soma infinita:

16 + 8 + 4 + 2 + ⋯ = 𝑎₁

1 − 𝑞= 16 1 −1

2

= 16 1 2

= 32

3. 𝟐𝟗. 𝟓𝟐𝟒

Utilizando a relação da soma finita da P.G.:

3

⁰

+ 3

¹

+ 3

²

+ ⋯ + 3

⁹

= 1 + 3 + 9 + ⋯ + 59.049 =

^{𝑎1(𝑞𝑛−1)}

𝑞−1

=

^1(310−1)

3−1

=

^59.048

2

= 29.524

4. 𝟏5𝟎 𝒎

Como no movimento de quique, a bola desce e sobe diversas vezes, ela percorre as seguinte sequências:

Distâncias de descidas:

(30,20,

⁴⁰

3

,

⁸⁰

9

, … ) → (30 + 20 +

⁴⁰

3

+

⁸⁰

9

+ ⋯ ) =

³⁰

1 − ²₃

=

³⁰₁

3

= 90

. Distâncias de subidas:

(20,

⁴⁰

3

,

⁸⁰

9

, . . . ) → (20 +

⁴⁰

3

+

⁸⁰

9

+ ⋯ ) = 90 − 30 = 60

. Soma total = 90 + 60 = 150 𝑚.

5. 𝟕. 𝟏𝟔𝟏

Sobre a sequência (7,14,28, . . . , 3584):

𝑎₁= 7 𝑞 = 2 𝑎_𝑛= 3584

𝑎_𝑛= 𝑎₁⋅ 𝑞^𝑛−1→ 3584 = 7 ⋅ 2^𝑛−1→ 512 = 2^𝑛−1→ 2⁹= 2^𝑛−1→ 9 = 𝑛 − 1 → 𝑛 = 10

𝑆

₁₀

=

^{𝑎1(𝑞𝑛−1)}

𝑞−1

=

^7(210−1)

2−1

= 7 ⋅ 1023 = 7161

Exercícios de vestibulares

1. D

Sendo 𝑎₁= 2 e 𝑞 = 3, devemos fazer 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

2. A

A soma pedida é igual a

3 ⋅ (1 +2 3+4

9+ ⋯ ) = 3 ⋅ ( 1 1 −2

3 ) = 9

3. D

Repare que os termos equidistantes, ao serem multiplicados, têm como resultado 𝟏𝟐𝟖.

1 ⋅ 128 = 128 2 ⋅ 64 = 128 4 ⋅ 32 = 128 8 ⋅ 16 = 128

Assim, temos 𝟏𝟐𝟖^𝟒. 4. E

Temos uma P. G. de 𝑎₁ = 10 e 𝑟 = 1/10 Assim, calculamos a soma infinita 𝑆_∞= 𝑎₁

1 − 𝑞= 10 1 − 1

10

= 10 9 10

=100 9

5. A

Da PG (4,8,16, … ,2048), temos:

q =

⁸

4

= 2

, em que q é a razão da PG.

2048 = 4 ⋅ 2^𝑛−1, em que n é o número de termos da P.G.

2048

4

= 2

^𝑛−1

→ 512 = 2

^𝑛−1

→ 2

⁹

= 2

^𝑛−1

→ 9 = 𝑛 − 1 → 𝑛 = 10

Então,

S =

^{4⋅(210−1)}

2−1

= 4092

6. D

O problema relata uma P.G. de 24 termos, de razão 2, 1º termo igual a 1 e 𝑎𝑛 = 24º termo.

Observe que no 24º dia o filho receberia 8 338 608 reais:

𝑎_𝑛= 𝑎₁⋅ 𝑞^𝑛−1= 1 ⋅ 2²³= 8.388.608

Caso o acordo fosse firmado, o presente deveria ter o dobro desse valor, que seria:

2 ⋅ 8 388 608 = 16 777 216.

Para saber o quanto essa quantia representa do valor recebido durante os 24 dias, precisa-se fazer a soma dos 24 termos dessa P.G.:

𝑆

_𝑛

=

^{𝑎1(𝑞𝑛−1)}

𝑞−1

=

1(16777216−1)

2−1

= 16777215

7. C

O número de inscritos no canal de Dudu cresce em Progressão Geométrica de razão 2. Para solucionar a questão, devemos considerar a soma dos 10 primeiros termos das P.G. abaixo:

(5, 10, 20, 40, 80, . . . ) → 𝑆 =

^𝑎1(𝑞_𝑞−1^𝑛−1)

=

^5(210−1)

2−1

= 5.115

inscritos.

8. A

Desde que todos os retângulos têm bases congruentes e de medida igual a 1, segue que o resultado é dado por 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3)+ . . . = 8 + 4 + 2 + ⋯ = ⁸

1 − ¹₂

= 16

. 9. D

Desde que 𝑎_𝑛+1= 1 ⋅ 2^𝑛= 2^𝑛, temos 𝑆_𝑛= 1 ⋅^2𝑛−1

2−1 = 2^𝑛− 1 = 𝑎_𝑛+1− 1.

10. E

Sendo 𝑞 > 0, a razão da P.G., 𝑎₃= 98, e 𝑎₅= 4802, temos

𝑎

₅

= 𝑎

₃

⋅ 𝑞

²

→ 𝑞

²

=

⁴⁸⁰²

98

→ 𝑞

²

= 49 → 𝑞 = 7

. Logo,

𝑎₃= 𝑎₁⋅ 𝑞²→ 98 = 𝑎₁⋅ 7²→ 𝑎₁= 2.

Consequentemente, 𝑥 = 𝑎₁+ 𝑎₂= 2 + 2 ⋅ 7 = 16, e

log

₈

16 = log

₂3

2

⁴

=

⁴

3

log

₂

2 =

⁴

3.