Indu¸ c˜ ao Eletromagn´ etica

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 10 (vers˜ao 10/12/2013)

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Indu¸ c˜ ao Eletromagn´ etica

Indu¸c˜ao Eletromagn´etica

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A lei de faraday

■ Muitas vezes, quando aplicamos a lei de Faraday (ou quando calculamos a fem de movimento),

E = − d dt

Z

B · da

podemos nos atrapalhar com o sinal, que por sua vez determina o sentido da corrente el´etrica induzida.

■ Uma regra muito conveniente pode nos auxiliar a encontrar o sentido da corrente: a lei de Lenz. De acordo com esta lei,

A Natureza abomina a mudan¸ca no fluxo

A corrente induzida irá fluir na dire¸cão tal que o fluxo que ela produz (corrente elétrica gera campo magnético) tende a cancelar a mudan¸ca.

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A lei de faraday

■ Considere o exemplo 2 da Aula 9 (p´ag. 21), onde um ´ım´a vai atravessar um anel circular:

■ Quando a extremidade à esquerda do ´ımã atravessa o anel circular, aumenta o fluxo magnético através dele e portanto haverá uma corrente induzida no anel no sentido horário, quando visto da esquerda.

■ Enquanto a por¸cão central do ´ımã atravessa o anel, não haverá mudan¸ca no fluxo magnético, portanto a corrente induzida é zero.

■ A corrente surge novamente no anel quando a extremidade à direita atravessa o anel. Neste caso, como o fluxo magnético diminui, surgirá uma corrente no sentido anti-horário para tentar conter essa mudan¸ca.

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O campo el´ etrico induzido

■ A descoberta de Faraday indica que há dois tipos de campos elétricos: um relacionado diretamente com cargas elétricas e outro com a mudan¸ca no campo magnético.

■ Para calcular o segundo tipo de campo magn´etico, vamos explorar a analogia entre as leis de Faraday e Amp`ere,

∇ × E = −∂B

∂t e ∇ × B = µ₀J respectivamente.

■ Conforme já visto, o rotacional sozinho não determina o campo – é preciso especificar também o seu divergente. No caso, como E é um campo de Faraday puro, não há uma carga associada a ele, portanto,

∇ · E = 0

enquanto que evidentemente ∇ · B = 0 sempre.

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O campo el´ etrico induzido

■ Temos portanto que existe neste caso um paralelo entre −(∂B/∂t) e µ₀J. Em particular, se a simetria permitir, podemos usar todos os truques

associados com a lei de Amp`ere na forma integral, I

B · dl = µ₀I_inc

para a lei de Faraday na forma integral, I

E · dl = −dΦ dt

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O campo el´ etrico induzido – exemplos

Ex. 1 Um campo magnético uniforme B(t), apontando para cima, preenche uma região circular som- breada da figura ao lado. Se B está mudando com o tempo, qual o campo magnético induzido?

Solu¸cão Pela simetria, E aponta na dire¸cão circunferencial, da mesma forma que um campo magnético

de um fio infinito conduzindo uma corrente uniforme. Espira amperiana de raio s

■ Vamos desenhar uma espira amperiana de raio s e aplicar a lei de Faraday, I

E · dl = E(2πs) = −dΦ

dt = − d dt

πs²B(t)

⇒ E = −s 2

dB dt φˆ

◆ Observa-se que quando B está aumentando (dB/dt > 0), E apontará no sentido horário, quando visto de cima.

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O campo el´ etrico induzido – exemplos

Ex. A borda da roda de raio b está carregada com uma densidade linear de carga λ. Vamos assumir que a roda é feita de um material não-condutor – digamos, madeira. A roda está suspensa, tal que ela possa girar livremente em torno de um eixo vertical, conforme mostra a figura ao lado. Na região central, até um raio a, há um campo magnético uniforme B₀ apontando para cima. De repente, alguém desliga o campo. O que acontece?

Sentido da rota¸c˜ao

Solu¸cão A varia¸cão do campo magnético vai induzir um campo elétrico, que irá apontar no sentido circunferencial, em torno do eixo da roda. Este campo exercerá uma for¸ca sobre a distribui¸cão λ de de carga e portanto a roda come¸cara a girar.

■ De acordo com a lei de Lenz, a roda irá girar no sentido tal que a corrente induzida produzirá um fluxo para manter o fluxo original para cima. Para produzir um fluxo para cima, a corrente precisa girar no sentido anti-horário, visto de cima.

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O campo el´ etrico induzido – exemplos

■ De acordo com a lei de Faraday, I

E · dl = I

Edl = −dΦ

dt = −πa²dB dt

■ O torque no segmento de fio dl ´e dado por

dN = r × dF = λEr × dl = λEbdl ˆz

Portanto o torque total sobre a roda ´e

N^z = Z

dN^z = bλ I

Edl = bλ

−πa²dB dt

■ Como o torque resultante ´e a varia¸c˜ao do momento angular com o tempo, N = dL/dt,

dL^z = N^zdt ⇒ L^z = Z

N^zdt = −λπa²b

Z ₀

B₀

dB

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O campo el´ etrico induzido – exemplos

■ Portanto

L^z = λπa²bB₀

■ Como L = I_rodaω, onde I_roda é o momento de inércia da roda, a sua velocidade angular será

ω = λπa²bB₀ I_roda

■ Observe que a velocidade angular ω é independente da rapidez com que o campo magnético é desligado, ou seja, não depende do valor de dB/dt.

■ H´a conserva¸c˜ao de momento angular nesse sistema? Na segunda parte do curso discutiremos sobre o assunto.

■ Observe que o agente causador da rota¸c˜ao da roda ´e de fato o campo

elétrico. Na região com cargas, o campo magnético nem existe. No entanto, o que fez surgir E foi desligar o campo magnético (dB/dt 6= 0).

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O campo el´ etrico induzido

■ Uma observa¸cão importante quando aplicamos a lei de Faraday: a indu¸cão eletromagnética ocorre quando o campo magnético está variando. No

entanto, é comum utilizarmos os aparatos da magnetostática (como a lei de Ampère e a lei de Biot-Savart) para determinarmos o campo magnético!

Podemos, desta forma, confiar nos nossos resultados?

■ Tecnicamente, o resultado ´e somente aproximado. Mas na pr´atica, a

aproxima¸cão é muito boa, exceto quando o campo flutua muito rapidamente ou quando se está num ponto muito longe da fonte.

■ O regime em que as regras da magnetostática são válidas para quando na utiliza¸cão da lei de Faraday é chamado de regime quase-estático.

■ De uma forma geral, esse regime é quebrado quando se fala em ondas eletromagnéticas e radia¸cão.

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O campo el´ etrico induzido

Ex. 3 Um fio reto e infinitamente longo con- duz uma corrente I(t) variando lentamente com o tempo. Determine o campo elétrico induzido como uma fun¸cão da distância s acima do fio.

Espira amperiana

Solu¸c˜ao

■ Como a corrente varia muito lentamente, estamos no regime quase-est´atico.

Logo, podemos utilizar a lei de Ampère para calcular o campo magnético à uma distância s do fio.

Por simetria, B circula em torno do fio e portanto, I

B · dl = I

Bdl = B(2πs) = µ₀I ⇒ B = µ₀I 2πs

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O campo el´ etrico induzido

■ Como o campo B dentro de um solenóide, o campo E induzido é paralelo ao fio. Tomando uma espira amperiana retangular, a lei de Faraday dá

I

E · dl = E(s₀)l − E(s)l = − d dt

Z

B · da

Portanto, tomando da apontando para fora da p´agina,

E(s₀)l − E(s)l = −µ₀l 2π

dI dt

Z ^s

s₀

ds

s = −µ₀l 2π

dI

dt (ln s − ln s₀) Logo,

E(s) = µ₀ 2π

dI

dt ln s+E(s₀) − µ₀ 2π

dI

dt ln s₀

| {z }

≡ C(t)

⇒ E =

µ₀ 2π

dI

dt ln s + C(t)

ˆ x

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O campo el´ etrico induzido

■ Observe que a equa¸cão que acabamos de encontrar para E é proporcional a ln s. Portanto, para s → ∞, E → ∞, o que parece não fazer sentido

fisicamente.

■ O motivo é que a equa¸cão obtida não se aplica a distâncias muito grandes.

Como a informa¸cão do campo eletromagnético se propaga à uma velocidade da luz, c, o campo magnético variável, à umda distância grande depende não somente da corrente atual, como também do tempo passado (na verdade, dos tempos passados, como diferentes as informa¸cões dos diferentes pontos do fio chegam em diferentes tempos).

■ Se τ é o tempo para que I mude consideravelmente, a aproxima¸cão quase-estática só é válida para pontos onde

s ≪ cτ

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Indutˆ ancia

■ Considere duas espiras em repouso, como na figura ao lado. Se uma corrente estacionária percorrer a espira 1, ela irá produzir um campo magnético B₁.

■ O campo B₁ pode ser encontrado atrav´es da lei de Biot-Savart,

B₁ = µ₀ 4πI₁

I dl₁ × (r − r^′)

|r − r′|³

Mesmo que não seja fácil calcular o campo, dá para ver que ele é proporcional à corrente I₁.

Espira 2

Espira 1

■ Algumas linhas de B₁ passam atrav´es da espira 2; seja Φ₂ o fluxo desse campo atrav´es de 2:

Φ₂ = Z

B₁ · da₂

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Indutˆ ancia

■ Como B₁ ∝ I₁, temos que Φ₂ ∝ I₁. Logo, temos que Φ₂ ≡ M₂₁I₁

A constante de proporcionalidade M₂₁ é conhecida como a indutância mútua das duas espiras.

■ Pode-se obter uma expressão muito prática para calcular a indutância mútua, mas revela algumas propriedades dessa grandeza.

Vamos expressar o fluxo magn´etico em teros do potencial vetor e a seguir, utilizar o teorema de Stokes:

Φ₂ = Z

B₁ · da₂ = Z

(∇ × A₁) · da₂ = I

A₁ · dl₂

Por outro lado, conforme visto na Aula 4, p´ag. 14, para I constante,

A₁ = µ₀ 4πI₁

I dl₁

|r − r′|

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Indutˆ ancia

■ Logo,

Φ₂ = µ₀I₁ 4π

I I dl₁

|r − r′|

· dl₂

Portanto,

M₂₁ = µ₀ 4π

I I dl₁ · dl₂

|r − r′|

Espira 1

Espira 2

que é a expressão conhecida como fórmula de Neumann.

■ Observa-se da f´ormula acima que

1. M₂₁ é uma quantidade puramente geométrica. Só depende das formas, tamanhos e posi¸cão relativa das duas espiras;

2. A integral na fórmula de Neumann não se altera se trocarmos os papéis das espiras 1 e 2. Logo,

M₂₁ = M₁₂

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Indutˆ ancia

Trata-se de um resultado surpreendente, pois quaisquer que sejam a forma e a posi¸cão das espiras, o fluxo através da espira 2 quando se faz passar uma corrente I pela espira 1 é idêntica ao fluxo através de 1 quando se passa a mesma corrente na espira 2.

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Indutˆ ancia – exemplo

Ex. 4 Um solen´oide curto, de comprimento l e raio a, com n₁ voltas por unidade de comprimento, encontra-se sobre o eixo de um solen´oide muito longo, de raio b e n₂ voltas por unidade de comprimento, conforme mostra a figura abaixo. Uma

corrente I flui pelo solenóide curto. Qual é o fluxo através do solenóide longo?

Solu¸cão Como o solenóide interno é curto, seria extremamente complicado calcular o seu campo e depois o fluxo através do solenóide maior. Contudo,

podemos explorar a igualdade da indutˆancia m´utua. Podemos passar uma corrente I na espira longa e calcular o fluxo sobre a espira curta.

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Indutˆ ancia – exemplo

■ Conforme já calculado em outra ocasião, o campo magnético no interior do solenóide longo é

B = µ₀n₂I

■ O fluxo magnético para cada espira do solenóide curto é Φ_espira =

Z

B · da = Z

Bda = B(πa²) = µ₀n₂Iπa²

Logo, o fluxo através do solenóide curto é

Φ = (n₁l)Φ_espira ⇒ Φ = µ₀πa²n₁n₂lI

Esse fluxo é igual ao fluxo através da espira longa quando uma corrente I percorre o solenóide curto.

■ Da expressão acima, verifica-se que a indutãncia mútua é M = µ₀πa²n₁n₂l.

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Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.