Estimação do variograma por meio da máxima verossimilhança

(1)

Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Estat´ıstica

Estima¸ c˜ ao do Variograma por meio da M´ axima Verossimilhan¸ ca.

Winderson Ronielli Soares Junior 13/0018716

Bras´ılia

2017

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Winderson Ronielli Soares Junior 13/0018716

Estima¸ c˜ ao do Variograma por meio da M´ axima Verossimilhan¸ ca.

Relatório apresentado à disciplina Estágio Supervisionado II do curso de gradua¸cão em Estat´ıstica, Departamento de Es- tat´ıstica, Instituto de Exatas, Universidade de Bras´ılia, como parte dos requisitos necessários para o grau de Bacharel em Estat´ıstica.

Orientador: Prof. Dr. Alan Ricardo da Silva

Bras´ılia

2017

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente aos meus pais, Winderson e Maria, por todo o apoio, amor e investimento na minha forma¸cão pessoal e profissional. À minha irmã, Julia, por ter me aturado durante toda a sua vida e, principalmente, aguentado meus momentos de estresse durante a elabora¸cão desse trabalho. Agrade¸co à minha incr´ıvel namorada, Karina, pelos nossos perfeitos momentos juntos e por todo o amor, cari- nho, paciênca, compreensão e dedica¸cão dados a mim e ao nosso relacionamento.

Agrade¸co à minha fam´ılia, em especial meus tios Cleisson, Vânia, Doney e Junior, por todo apoio e ajuda, por acreditarem no meu potencial e por todo o entendimento nos momentos de fam´ılia que não pude estar presente. Agrade¸co aos meus amigos de curso, em especial Marina, Isabella, Bruno, Lais, Filipi e Giovanna, um imenso obrigado por todos os momentos de ajuda, companheirismo e estudo que tivemos.

Agrade¸co `a ESTAT Consultoria, DETRAN-DF e CDS University por todo o conhecimento repassado, as experiˆencias e desafios que me fizeram crescer como pessoa e profissional.

Agrade¸co a todos os professores do Departamento de Estat´ıstica da Universidade de Bras´ılia pela dedica¸cão e conhecimentos repassados, em especial à professora Ana Maria, pelas oportunidades de inicia¸cão cient´ıfica, à professora Maria Teresa, por todo o apoio e ajuda durante a gradua¸cão e ao professor e orientador Alan Ricardo, por ter me dado essa oportunidade de desenvolvimento intelectual e suporte durante a realiza¸cão deste trabalho.

(4)

Resumo

A geoestat´ıstica tem por objetivo caracterizar espacialmente uma variável com um atributo de interesse mediante o estudo de sua distribui¸cão e variabilidade espacial, determinando desta forma, suas incertezas associadas. O variograma é o primeiro passo na busca do conhecimento sobre a distribui¸cão e o comportamento dos dados e a krigagem é uma técnica de interpola¸cão que auxilia no entendimento da variabilidade e que parte da premissa que pontos próximos tendem a ter valores mais homogêneos do que pontos mais distantes.

Realizar o ajuste do variograma aos dados é, em geral, um trabalho subjetivo e que requer muita cautela na hora de escolher qual o melhor conjunto de parâmetros lagelag distance. Este trabalho propõe implementar a técnica de máxima verossimilhan¸ca para estima¸cão do variograma no software SAS 9.4 e comparar os resultados com a técnica de minimos quadrados.

O método de Máxima Verossimilhan¸ca é uma técnica bastante difundida nos

´

ultimos anos, devido aos avan¸cos computacionais, e é capaz de estimar a fun¸cão de distribui¸cão sem a necessidade de parâmetros subjetivos. Sua problemática está no fato de ter um certo grau de sensibilidade na hora de convergência para o ponto

´

otimo e isso pode acarretar, dependendo das informa¸cões iniciais, na convergência para parâmetros não-ótimos. Além disso, é proposto um algoritmo em SAS/IML para a automatiza¸cão da técnica.

Os resultados obtidos mostram que os parâmetros estimados pela máxima verossimilhan¸ca se ajustam melhor aos dados do que os obtidos pelos m´ınimos quadrados, e além disso, os erros padrão de estima¸cão da krigagem foram menores nessa técnica.

Palavras-chaves: m´axima verossimilhan¸ca, m´ınimos quadrados, variograma, krigagem.

(5)

Lista de Tabelas

4.1 Estat´ısticas Descritivas do log de Chumbo . . . 24 4.2 Modelos de semivariograma para o log de Chumbo . . . 25 4.3 Estimativas dos m´etodos de estima¸c˜ao pelo modelo Seno para o log

de Chumbo . . . 26 4.4 Estat´ısticas Descritivas das Estimativas da Krigagem Ordin´aria para

o log de Chumbo . . . 28 4.5 Estat´ısticas Descritivas das Diferen¸cas (MV - MQP) para o log de

Chumbo . . . 29 4.6 Estat´ısticas Descritivas da eleva¸cão . . . 31 4.7 Modelos de semivariograma para a eleva¸cão . . . 32 4.8 Estimativas dos métodos de estima¸cão pelo modelo Seno para a eleva¸cão 33 4.9 Estat´ısticas Descritivas das Estimativas da Krigagem Ordinária para

a eleva¸c˜ao . . . 34 4.10 Estat´ısticas Descritivas das Diferen¸cas (MV - MQP) para a eleva¸c˜ao . 37

(6)

Lista de Figuras

2.1 Parˆametros do semivariograma . . . 6

2.2 Variograma e Covariograma . . . 9

3.1 Rio Meuse . . . 17

3.2 Eleva¸c˜ao da superf´ıcie nos pontos de coleta . . . 18

4.1 Modelo de semivariograma te´orico ajustado ao experimental para o log de Chumbo . . . 25

4.2 Krigagem Ordinária através do método de m´ınimos quadrados para o log de Chumbo . . . 27

4.3 Krigagem Ordinária através do método de máxima verossimilhan¸ca para o log de Chumbo . . . 28

4.4 Krigagem Ordinária da diferen¸ca entre os métodos (MV - MQP) - ltpb 31 4.5 Modelo de semivariograma teórico ajustado ao experimental para a eleva¸cão . . . 32

4.6 Krigagem Ordinária através do método de m´ınimos quadrados para a eleva¸cão . . . 34

4.7 Krigagem Ordinária através do método de máxima verossimilhan¸ca para a eleva¸cão . . . 35

4.8 Krigagem Ordinária da diferen¸ca entre os métodos (MV - MQP) para a eleva¸cão . . . 36

(7)

Sum´ ario

Resumo iii

1 INTRODUC¸ ˜AO 1

1.1 OBJETIVOS . . . 2

2 GEOESTATÍSTICA 3 2.1 INTRODUÇ ÃO . . . 3

2.2 TEORIA DAS VARI ´AVEIS REGIONALIZADAS . . . 4

2.3 VARIOGRAMA . . . 4

2.4 ESTIMAÇ ÃO DOS PAR ÂMETROS . . . 10

2.4.1 M´ınimos Quadrados Ponderados . . . 10

2.4.2 M´axima Verossimilhan¸ca . . . 11

2.5 KRIGAGEM . . . 13

2.5.1 Krigagem Ordin´aria . . . 14

3 MATERIAL E MÉTODOS 16 3.1 INTRODUÇ ÃO . . . 16

3.1.1 Rio Meuse . . . 16

3.1.2 Eleva¸c˜ao da Superf´ıcie . . . 18

3.2 M´ETODOS . . . 19

3.3 ALGORITMO IML . . . 20

3.3.1 Macro Maxlikfit . . . 21

4 AN ´ALISE DOS RESULTADOS 23 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 23

4.2 Resultados . . . 24

4.2.1 Rio Meuse - Chumbo . . . 24

4.2.2 Eleva¸c˜ao da Superf´ıcie . . . 31

(8)

5 CONCLUS ˜OES 38

REFERˆENCIAS 41

(9)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC ¸ ˜ AO

Assim como a análise descritiva é importante para a explora¸cão dos dados em uma análise inferencial, a análise do variograma é o primeiro passo para a explora¸cão de dados espaciais para a utiliza¸cão da técnica de Krigagem, que visa a interpola¸cão de dados cont´ınuos. Essa fun¸cão é capaz de medir o grau de dependência espacial entre pares de observa¸cões separados por uma distância h (Cressie, 1993).

Uma poss´ıvel forma de estimar os parâmetros de um variograma é através do Método dos M´ınimos Quadrados. Segundo Cressie (1985) esse método fornece au- tomaticamente maior peso às classes (ou do inglês lags) próximas e menor peso

`

aquelas com um pequeno número de pares. No entanto, para a utiliza¸cão da técnica de M´ınimos Quadrados, é necessário conhecer a priori a quantidade de classes e suas respectivas amplitudes (lag distance). A problemática está em qual é o melhor par de classes e amplitudes otimizado. Uma maneira, como mostra Cressie (1993), é utilizar a regra do histograma para encontrar esses parâmetros.

Em contrapartida, uma técnica bastante difundida nos últimos anos é a estima¸cão dos parâmetros do variograma por meio da Máxima Verossimilhan¸ca sem a preo- cupa¸cão de escolher o melhor conjunto de lag e lag distance. Um pacote desenvol-

(10)

vido para o sof tware R chamado geoR já utiliza esse método, porém, ainda não é poss´ıvel utilizar essa técnica no sof tware SAS 9.4. Devido à grande quantidade de estudos realizados utilizando o método dos M´ınimos Quadrados e também devido aos avan¸cos computacionais, o objetivo deste trabalho é apresentar o método de Máxima Verossimilhan¸ca para estimar os parâmetros do variograma além de implementá-lo, através de um algoritmo em IML, no sof tware SAS 9.4.

1.1 OBJETIVOS

O objetivo geral deste trabalho é realizar uma estima¸cão dos parâmetros do variograma, por meio da técnica de Máxima Verossimilhan¸ca, com o propósito de ajustar um modelo que apresente a real distribui¸cão dos dados.

Os objetivos espec´ıficos s˜ao:

• Desenvolver uma macro em IML nosof tware SAS 9.4;

• Comparar o ajuste do modelo com o m´etodo de m´ınimos quadrados;

• Comparar os resultados da Krigagem.

(11)

Cap´ıtulo 2

GEOESTAT´ ISTICA

Este cap´ıtulo irá abordar tópicos pertinentes para ajustar um modelo teórico de variograma a partir de um modelo experimental através da estima¸cão de seus parâmetros pelo método de M´ınimos Quadrados Ponderados. Deseja-se também estimar os parâmetros pela Máxima Verossimilhan¸ca, com o intuito de serem utilizados na técnica de Krigagem.

2.1 INTRODUC ¸ ˜ AO

Uma das ideias fundamentais para a geoestat´ıstica é a da primeira lei da Geogra- fia, que diz que todas as coisas são parecidas, porém coisas mais próximas se parecem mais do que as coisas mais distantes (Tobler, 1970). Isso quer dizer que observa¸cões mais próximas tendem a ser mais parecidas e à medida que elas se distanciam a variabilidade tende a aumentar caso exista dependência.

Outro fator importante é a escolha de qual modelo de distribui¸cão aleatória utilizar. A curva Gaussiana, ou curva normal, é uma das distribui¸cões mais difundidas devido ao fato de poder ser resumida em apenas dois parâmetros: a média µ e a variância σ². Para o caso da Normal Multivariada, se Z é um vetor aleatório com

(12)

m´edias µ e matriz de covariˆancia P

, então sua fun¸cão densidade de probabilidade conjunta é dada por

f_Z(z) = (2π)⁻ⁿ²

X

−¹

2 exp

−1

2(z−µ)^tX⁻¹

(z−µ)

. (2.1)

2.2 TEORIA DAS VARI ´ AVEIS REGIONALI- ZADAS

A teoria foi primeiramente proposta por Matheron (1963) e leva em considera¸cão que, para cada observa¸cão, uma determinada variável atributo está associada à sua localiza¸cão no espa¸co. Uma nota¸cão comum é identificar a variável regionalizada como sendo a fun¸cão aleatóriaZ(u) em queué o conjunto de coordenadas geográficas (latitude e longitude) de onde foi mensurado o valor de atributo.

Para assegurar uma interpola¸cão de dados confiável, é preciso garantir alguns pressupostos a fim de que a variável regionalizada seja estacionária, ou seja, a média e a variância devem manter-se invariantes sob varia¸cões do vetor de distâncias h (Diggle and Ribeiro Junior, 2007).

2.3 VARIOGRAMA

A análise variográfica é o primeiro passo ao analisar variáveis regionalizadas.

Através dela é poss´ıvel averiguar se existe dependência entre os poss´ıveis pares de observa¸cões da amostra. Conforme a suposi¸cão de estacionariedade e de que o fenômeno estudado é cont´ınuo, existem dois tipos de variograma: o experimental e o teórico. O primeiro é encontrado a partir dos valores observados na amostra e o segundo é ajustado através de modelos matemáticos.

(13)

Pode-se constatar o n´ıvel de dependência entre dois pontos através do cálculo do variograma, dado por

2γ(h) =E[Z(u)−Z(u+h)]² =V ar[Z(u)−Z(u+h)]. (2.2) Se houver n dados observados, existemn(n−1)/2 pares de observa¸c˜oes. Assim, mesmo um conjunto moderado de dados gera uma enorme quantidade de pares. O variograma experimental ´e representado por 2ˆγ(h) e na maioria dos casos, devido

`

a multiplica¸c˜ao por 2, ´e utilizada a metade do variograma, que recebe o nome de semivariograma.

A equa¸cão de estima¸cão do modelo experimental foi proposta por Matheron (1962) e é definida por

ˆ

γ(h) = 1 2N(h)

N(h)

X

i=1

[Z(u_i)−Z(u_i+h)]², (2.3) em que N(h) é o número de pares medidos e Z(u_i) e Z(u_i +h) são os atributos regionalizados separados pelo vetor de distâncias h.

Para uma determina¸cão mais precisa do gráfico do variograma experimental é preciso definir classes de distâncias (lags) e também a distância entre elas (lag distance). Uma maneira de encontrar a quantidade de classes quando os dados são normalmente distribu´ıdos se dá através da regra do histograma, desenvolvida por Sturges (1926) e definida como

lag= 1 + 3,3×log₁₀(m), (2.4) em que m é o número poss´ıvel de pares de observa¸cões. Para encontrar a distância interclasse basta dividir a amplitude total das distâncias pelo número de classes.

(14)

Não existe um método matemático que irá funcionar para todo e qualquer conjunto de dados. Em geral essas duas medidas são definidas via experimenta¸cão, ou seja, observa-se o gráfico gerado por um chute inicial e, a partir disso, elas vão sendo alterados até que se encontre um ajuste razoável da curva do semivariograma experimental aos dados.

Além dessas medidas, como mostra a Figura 2.1, o semivariograma possui outros três parâmetros:

Figura 2.1: Parˆametros do semivariograma

• Alcance (a): também chamado de Range, é a distância na qual as amostras, que estão correlacionadas espacialmente, estão inseridas;

• Patamar (C): também chamado deSill, é o valor que corresponde ao alcance do semivariograma. Atingido o limite, a variabilidade não é mais significativa, ou seja, a variância da diferen¸ca entre os pares de amostraV ar[Z(u)−Z(u+h)]

(15)

torna-se constante;

• Efeito Pepita (C₀): também chamado de nugget effect é o valor do semivariograma para a distância zero. É desejável que seja igual a zero, mas, na prática, o efeito pepita tende a um número real positivo à medida queh tende a zero, manifestando assim a descontinuidade do semivariograma para distâncias menores que a menor distância entre os pares. Se C₀ > 0 então esse efeito é definido por C₁ =C−C₀ (Druck et al., 2004).

A estima¸cão desses parâmetros é feita de maneira iterativa através de algum método de estima¸cão em conjunto com um método de otimiza¸cão. Estes métodos serão apresentados na se¸cão 2.4.

Outro fator importante a ser levado em considera¸cão são os conceitos de isotropia e anisotropia. No primeiro caso, a determina¸cão do semivariograma só depende das distâncias entre as observa¸cões e no segundo caso, além de depender das distâncias, depende da dire¸cão em que os dados estão localizados no espa¸co com rela¸cão aos outros pontos.

Feito o ajuste do semivariograma experimental é preciso escolher o semivariograma teórico a partir de um conjunto de fun¸cões matemáticas que descrevem a rela¸cão espacial. O modelo apropriado é escolhido quando a forma da curva do variograma experimental combina com a forma da curva da fun¸cão matemática, re- presentando assim a tendência do modelo inicial. Alguns dos modelos matemáticos mais empregados serão apresentados a seguir:

(16)

Modelo Gaussiano de Semivariograma:

γ(h) =

( 0 , h= 0;

C₀+C₁h

1−exp −^h_a2i

, h6= 0. (2.5) Modelo Exponencial de Semivariograma:

γ(h) =

0 , h= 0;

C₀+C₁

1−exp −^h_a

, h6= 0. (2.6) Modelo Seno de Semivariograma:

γ(h) =







0 , h= 0;

C0+C1

1− ^sen(^πha)

πh a

, h >0. (2.7) Modelo Esf´erico de Semivariograma:

γ(h) =







0 , h= 0;

C₀+C₁h

3 2

h a

− ¹₂ ^h_a3i

,0< h≤a;

C₀+C₁ , h > a.

(2.8)

Modelo C´ubico de Semivariograma:

γ(h) =







0 , h= 0;

C0 +C1

h 7 ^h_a2

−³⁵₄ ^h_a3

+ ⁷₂ ^h_a5

+ ³₄ ^h_a7i

,0< h≤a;

C₀ +C₁ , h > a.

(2.9)

Modelo Mat´ern de Semivariograma:

γ(h) =







0 , h= 0;

C₀ +C₁

1− _Γ(k)²

h√ k a

k

K_k

2h√ k a

, h >0, k > 0. (2.10) em que k é o parâmetro de suaviza¸cão e K é a fun¸cão Bessel de terceira ordem.

Um rela¸cão que será utilizada na se¸cão 2.4.2 é a entre a fun¸cão de covariância e a fun¸cão de correla¸cão, expressada por:

ρ(h) = C(h)

C(0). (2.11)

Para que a fun¸cão de covariância possa ser expressa por covariograma e a fun¸cão de correla¸cão por correlograma é preciso que a covariância no pontoh= 0 seja maior

(17)

do que zero (Cressie, 1993). Outra rela¸c˜ao importante ´e a entre o covariograma e o variograma, apresentada na Figura 2.2, definida por

γ(h) = C(0)−C(h). (2.12)

Figura 2.2: Variograma e Covariograma

Uma maneira alternativa de expressar o variograma é por meio da fun¸cão de correla¸cão, utilizando (2.11) e (2.12) obtém-se

γ(h) = C(0)[1−ρ(h)]. (2.13)

(18)

2.4 ESTIMAC ¸ ˜ AO DOS PAR ˆ AMETROS

2.4.1 M´ınimos Quadrados Ponderados

O método de m´ınimos quadrados ponderados é utilizado para encontrar o melhor conjunto de parâmetros θ para o ajuste do modelo de semivariograma. Nesse caso ao minimizar a soma de quadrados dos res´ıduos, onde cada diferen¸ca é ponderada, encontra-se os parâmetros otimizados. Logo, a equa¸cão a ser minimizada é

1 2

k

X

i=1

N(h_i)

γ(h(i))ˆ γ(h(i);θ) −1

, (2.14)

na qual ié o lag eθ é o conjunto de parâmetros (Cressie, 1985).

Como as estimativas são encontradas através de um método de otimiza¸cão, é preciso fornecer os parâmetros iniciais. Quanto mais próximos esses parâmetros iniciais estiverem dos ótimos, mais rápida será a convergência do método. Uma maneira de encontrar os parâmetros iniciais é proposta por Jian et al. (1996)

a_inicial= h_k

2 (2.15)

C_0inicial=max

0,ˆγ(h₁)− h₁ h2−h1

(ˆγ(h₂)−γ(hˆ ₁))

(2.16) C_1inicial = γˆ(hk−2) + ˆγ(hk−1) + ˆγ(h_k)

3 −C_0inicial, (2.17)

em que h_k indica o k-´esimo lag.

Após qualquer processo de modelagem é sempre importante verificar a qualidade de ajustamento do modelo teórico em rela¸cão ao modelo baseado nos dados. E´ utilizado, segundo Cressie (1985), o Critério de Informa¸cão de Akaike (AIC), dado por (2.18), para analisar esse ajuste.

AIC_{M QP} =klog(QM R) + 2p, (2.18)

(19)

em que pé o número de parâmetros, k é o número de classes do semivariograma e QM Ré o quadrado médio dos res´ıduos, calculado por

QM R=

k

X

i=1

1

k [ˆγ(h(i))−γ(h(i);θ)]². (2.19)

2.4.2 M´ axima Verossimilhan¸ ca

O método de máxima verossimilhan¸ca é uma alternativa ao método de m´ınimos quadrados e é largamente utilizado para a estima¸cão de diversos parâmetros simul- taneamente. Encontramos a fun¸cão de verossimilhan¸ca L através de

L(θ;z₁, ..., z_n) =

n

Y

i=1

f_Z(z_i;θ), (2.20)

tal que fZ(z;θ) é a fun¸cão de densidade conjunta da normal multivariada e θ é o vetor de parâmetros a serem estimados. Aplicando o logaritmo e derivando essa fun¸cão com rela¸cão a θ, será encontrada a equa¸cão a ser maximizada proposta por Diggle and Ribeiro Junior (2007)

L(β, τ², σ², φ) = −1 2

nlog(2π) + log

X

+ (z−µ(z))^tX⁻¹

(z−µ(z))

,

(2.21) em que µ(z) = Dβ e P

= σ²R(φ) +τ²I com tamanho n ×n que é encontrada por meio da equa¸cão (2.11) e conforme o modelo de semivariograma desejado para a modelagem. Os parâmetros β, τ², σ², φ são, respectivamente: os coeficientes da regressão, o efeito pepita, a variância amostral e a amplitude das distânciash. Para a estima¸cão inicial desses parâmetros não é necessária a utiliza¸cão de variograma, todos eles são calculados diretamente na amostra de dados.

(20)

A matriz de covariáveis D tem tamanho n × (1 + p) quando há p variáveis explicativas. Quando não há variáveis explicativas Dé um vetor de números 1 com tamanho n.

OR(φ) é a fun¸cão de correla¸cão da distribui¸cão entre as distâncias e o parâmetro φ e é definida para os modelos:

Modelo Gaussiano:

R(φ) =exp

−h² φ²

(2.22) Modelo Exponencial:

R(φ) = exp

−h φ

(2.23) Modelo Seno:

R(φ) = φ

πh

sen πh

φ

(2.24) Modelo M´atern:

R(φ, k) =

2^k−1Γ(k) ⁻¹ h

φ k

K_k h

φ

(2.25)

Feita a estima¸cão inicial dos parâmetros, será utilizado um método de otimiza¸cão que irá maximizar a fun¸cão de verossimilhan¸ca de modo a determinar o conjunto de parâmetros θ que tem maior probabilidade de gerar os dados observados.

A qualidade de ajustamento é avaliada pelo Critério de Informa¸cão proposto por Akaike (1973), dado por

AIC_{M V} =−2 log(L_θ) + 2(p), (2.26) em que L_θ é a fun¸cão de log verossimilhan¸ca maximizada e p é o número de parâmetros incluindo a variância.

(21)

Quando o tamanho da amostra é pequeno com rela¸cão à quantidade de parâmetros estimados ⁿ_p < 40, utiliza-se a metodologia de corre¸cão do viés apresentada por Hurvich and Tsai (1989)

AICM Vc =AICM V + 2(p+ 1)(p+ 2)

n−p−2 . (2.27)

2.5 KRIGAGEM

A Krigagem é um método de interpola¸cão e seu objetivo é realizar predi¸cões e estimar uma superf´ıcie com base na ideia de dependência espacial. A diferen¸ca entre a krigagem e outros métodos de interpola¸cão está na maneira como os pesos são atribu´ıduos às diferentes amostras. Nessa técnica o procedimento é semelhante ao de interpola¸cão por média móvel ponderada, exceto que os pesos são determinados com base no semivariograma experimental. Além disso a krigagem fornece, em média, estimativas não tendenciosas e com variância m´ınima (Druck et al., 2004).

Com base em uma ´area que possui n pontos amostrados de um atributo de interesseZ com suas respectivas coordenadas (x_i, y_i) denotadas pelo vetoru_i, obt´em- se os valores:

S = [Z(u_i) :i= 1,2, ..., n]. (2.28) Para estimar o valor de Z em um ponto u₀, utiliza-se a f´ormula geral:

Zˆ(u₀) =λ₀+

n

X

i=1

λ_iZ(u_i), (2.29)

em que ˆZ(u0) é o valor estimado para a caracter´ıstica de interesse,λ0é uma constante que depende do pontou₀ e λ_i é o peso atribu´ıdo a Z(u_i).

(22)

Há três principais tipos de krigagem, são elas:

• Krigagem Simples: M´edia constante e conhecida (estacion´aria);

• Krigagem Ordin´aria: M´edia constante e desconhecida (estacionariedade intr´ınseca);

• Krigagem Universal: Média variável e desconhecida (não estacionária).

Neste trabalho somente será abordada a Krigagem ordinária por se tratar de uma estacionariedade intr´ınseca na qual se faz necessário o uso do variograma para representar a varia¸cão esperada do atributo em estudo.

2.5.1 Krigagem Ordin´ aria

A krigagem ordinária pode ser considerada uma extensão natural da krigagem simples (Bailey and Gatrell, 1995). Pela suposi¸cão do método, para que a média seja constante é preciso que λ₀ = 0 e Pn

i=1λ_i = 1, o que resulta em Z(uˆ ₀) =

n

X

i=1

λ_iZ(u_i). (2.30)

Para encontrar o melhor estimador é preciso minimizar a variância do erro V ar( ˆZ(u₀)− Z₀) levando em considera¸cão a condi¸cão Pn

i=1λ_i = 1. Com base no variograma definido em (2.2), deve-se minimizar

E

n

X

i=1

λ_iZ(u_i)−Z(u₀)

!2

−2α

n

X

i=1

λ_i−1

!

, (2.31)

no qualα´e o multiplicador de Lagrange que garantePn

i=1λ_i = 1. Isso significa que

n

X

i=1

λ_iZ(u_i)−Z(u₀)

!2

=−

n

X

i=1 n

X

j=1

λ_iλ_j[Z(u_i)−Z(u_j)]²+ 2

n

X

i=1

λ_i[Z(u₀)−Z(u_i)]². (2.32)

(23)

Substituindo (2.32) em (2.31), teremos

−

n

X

i=1 n

X

j=1

λ_iλ_jγ(u_i−u_j) + 2

n

X

i=1

λ_iγ(u₀−u_i)−2α

n

X

i=1

λ_i−1

!

. (2.33)

Derivando com rela¸cão aos pesos λ₁, ..., λ_n e igualando a equa¸cão a 0, obtém-se

−

n

X

j=1

λjγ(ui−uj) +γ(u0−ui)−α= 0. (2.34)

Com base nisso, os pesos λ_i podem ser encontrados através do sistema de equa¸cões (2.35), conhecido como sistema de krigagem ordinária:







−Pn

j=1λjγ(ui−uj) +γ(u0−ui)−α= 0 Pn

i=1λ_i = 1

, (2.35)

em quei= 1, .., n;γ(ui−uj) e γ(u0−ui) são, respectivamente, a semivariância entre os pontos u_i e u_j e entre os pontos u₀ e u_i. O α é o Multiplicador de Lagrange e a variância da krigagem ordinária é dada por

σ²_ko =λ₀ −

n

X

i=1

λ_iγ(u₀−u_i)−α. (2.36)

(24)

Cap´ıtulo 3

MATERIAL E M´ ETODOS

3.1 INTRODUC ¸ ˜ AO

Neste cap´ıtulo serão apresentados os materiais utilizados para ilustrar o método e o algoritmo desenvolvido na linguagem SAS/IML para estimar os parâmetros do variograma por máxima verossimilhan¸ca. Os bancos de dados que irão ser utilizados dizem respeito à concentra¸cão de metais pesados presentes no solo ao longo das margens do rio Meuse e a eleva¸cão de uma determinada superf´ıcie de estudo. Os dados podem ser encontrados, respectivamente, nos trabalho de Rikken and Van Rijn (1993) e Davis (1973). O algoritmo desenvolvido na linguagem SAS/IML será aplicado nessas duas amostras de dados para realizar a estima¸cão dos parâmetros do variograma para avaliar as variáveis de interesse através da técnica de Krigagem.

3.1.1 Rio Meuse

O Rio Meuse tem um comprimento de 950km e tem sua nascente na Fran¸ca, em Bassigny. Ele atravessa a Bélgica e os Pa´ıses Baixos e, por fim, mistura-se ao rio Reno no Mar do Norte. Devido à polui¸cão dos rios Reno e Meuse durante muitos anos, quantidades consideráveis de metais pesados se acumularam nos depósitos

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geol´ogicos aluviais de sedimentos das plan´ıcies de inunda¸c˜ao na parte mais baixa do rio (Middelkoop, 2000).

O banco de dados trata de pequenas amostras em uma determinada seçcão de tamanho 15m×15m, da plan´ıcie de inunda¸cão próxima à aldeia de Stein nos Pa´ıses Baixos. Foram coletadas 155 amostras do solo onde depósitos de Cádmio, Cobre, Chumbo e Zinco foram mensurados durante a inunda¸cão de alta-magnitude em De- zembro de 1993 (Middelkoop, 2000). Dos metais pesados mensurados o Chumbo e o Zinco serão utilizados como variáveis atributo para as análises e, por questão de praticidade no ajuste dos modelos teóricos, as variáveis irão passar por uma trans- forma¸cão logaritmica e haverá uma amostragem sistemática, come¸cando na primeira coleta de amostra do solo, com intervalo igual a 3. A Figura 3.1 ilustra onde foram mensuradas as amostras.

Figura 3.1: Rio Meuse

(26)

3.1.2 Eleva¸ c˜ ao da Superf´ıcie

Os dados deste exemplo foram tirados do estudo de Davis (1973). Eles dão a mensura¸cão da superf´ıcie de eleva¸cão z_i em cada um dos 52 pontos de localiza¸cão (x_i, y_i) dentro de um quadrado com tamanho dos lados igual a 6,7 unidades de distância. Cada unidade de distância representa 50 pés (aproximadamente 15,24 metros), enquanto que uma unidade dez representa 10 pés (aproximadamente 3,05 metros) de eleva¸cão.

Figura 3.2: Eleva¸c˜ao da superf´ıcie nos pontos de coleta

A Figura 3.2 representa os dados. Cada coordenada é representada por um c´ırculo com centro no ponto de localiza¸cão e raio proporcional a z_i. As eleva¸cões observadas variam entre 690 e 960 unidades. O objetivo desta análise é de construir um mapa de eleva¸cão cont´ınuo por toda a região do quadrado.

(27)

3.2 M´ ETODOS

Para esse estudo, serão utilizadas as técnicas de m´ınimos quadrados ponderados e máxima verossimilhan¸ca para a estima¸cão dos parâmetros do variograma. O primeiro método consiste em minimizar (2.14) através de:

• Definir o lag e o lag distancepara gerar um variograma experimental;

• Definir parˆametros iniciais com base no variograma experimental;

• Criar uma fun¸cão que fa¸ca a equa¸cão receber os parâmetros a cada itera¸cão;

• Utilizar o método de otimiza¸cão não-linear de Newton-Raphson para minimizar a fun¸cão;

• Obter os parˆametros otimizados;

• Aplicar oAIC_{M QP} para avaliar a qualidade de ajustamento do modelo te´orico ao experimental.

Para o segundo método, que não depende da estima¸cão de um variograma experimental, será utilizada a seguinte metodologia para maximizar (2.21):

• Definir a matriz de distˆancias entre pontos h;

• Definir os parˆametros iniciais;

• Definir qual modelo da fun¸cão de correla¸cãoR(φ) será utilizado;

• Criar uma fun¸cão que fa¸ca a equa¸cão receber os parâmetros a cada itera¸cão;

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• Utilizar o método de otimiza¸cão não-linear de Newton-Raphson para maximizar a fun¸cão;

• Obter os parˆametros otimizados;

• Aplicar o AICM V para avaliar a qualidade de ajustamento do modelo aos dados.

Com base nos AIC⁰s encontrados para os dois métodos de estima¸cão, não é poss´ıvel verificar qual método se ajusta melhor aos dados devido ao fato de que ambas metodologias de AIC (2.18) e (2.26) não são comparáveis. Uma abordagem poss´ıvel para a compara¸cão seria aplicar os parâmetros encontrados pelo método de m´ınimos quadrados na fun¸cão de log-verossimilhan¸ca sem otimiza¸cão e obter um AIC_{M V} comparável à metodologia de máxima verossimilhan¸ca. Encontrado o melhor conjunto de parâmetros otimizados com base na qualidade do ajuste, será poss´ıvel realizar a análise da variável regionalizada na superf´ıcie utilizando a técnica Krigagem Ordinária.

3.3 ALGORITMO IML

O algoritmo desenvolvido foi constru´ıdo utilizando-se o procedimento IML (In- teractive Matrix Language), dosoftware SAS 9.4, pois os códigos implementados em IML são facilmente adaptáveis para outras linguagens de programa¸cão. O algoritmo

é composto por uma macro que encontra os melhores parâmetros de entrada para a krigagem pelo método de máxima verossimilhan¸ca com base na distribui¸cão dos dados de interesse.

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3.3.1 Macro Maxlikfit

A macro maxlikfit realiza, através do método de máxima verossimilhan¸ca, a estima¸cão e otimiza¸cão dos parâmetros beta, sill, range e nugget que servem como parâmetros iniciais para a utiliza¸cão da técnica krigagem. Encontrar o melhor conjunto de parâmetros é primordial para se obter uma interpola¸cão de dados mais precisa e com menores erros de estima¸cão.

Os parâmetros necessários para a execu¸cão da macro são:

%macro maxlikfit(tab=, var=, long=, lat=, beta=, sill=, range=, nugget=, model=, kappa=, optim=, tabout=);

em que: tab é o banco de dados que contém as observa¸cões do atributo em estudo coletadas na amostra, assim como suas respectivas coordenadas geográficas; var

é o nome da variável atributo em estudo contida no banco de dados; long é a variável correspondente à coordenada de longitude; lat é a variável correspondente

`

a coordenada de latitude;betaé a variável correspondente ao coeficiente intercepto da regressão, que também pode ser interpretado como a média;sill,rangeenugget especificam os valores iniciais para patamar, alcance e efeito pepita utilizados na maximiza¸cão da fun¸cão de log verossimilhan¸ca. Caso não sejam especificados, a macro encontra estimativas iniciais para esses parâmetros. Os parâmetros sill e nugget podem assumir valores maiores ou iguais a 0, já orange deve ser maior do que 0;modelespecifica qual o modelo que será utilizado como fun¸cão de correla¸cão. Os modelos implementados são: o modelo gaussiano (gaussian), o modelo exponencial (exponential), o modelo seno (sine), o modelo esférico (spherical), o modelo cúbico

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(cubic) e o modelo mátern (matern); kappaé o valor numérico para o parâmetro adicional de suaviza¸cão da fun¸cão de correla¸cão. Só é requerido para a fun¸cão de correla¸cão mátern e deve ser não-negativo e diferente de 0; optimé um parâmetro booleano para indicar se é desejado realizar a otimiza¸cão dos parâmetros iniciais.

Caso igual a true ocorrerá a otimiza¸cão dos parâmetros iniciais através do método de otimiza¸cão não-linear de Newton-Raphson. No caso false a otimiza¸cão não será realizada e o valor da fun¸cão de log verossimilhan¸ca e o AIC_{M V} serão calculados com base nos parâmetos iniciais; tabout corresponde ao nome que se deseja dar a tabela deoutput.

Problemas relacionados à convergência do método de otimiza¸cão podem ocorrer dependendo dos parâmetros iniciais. É importante ter bom senso na hora de definir os parâmetros ou conhecer melhor o fenômeno em estudo a fim de evitar poss´ıveis convergências para parâmetros que não traduzem a realidade do estudo.

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Cap´ıtulo 4

AN ´ ALISE DOS RESULTADOS

4.1 Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo serão apresentados os resultados obtidos pela da técnica de krigagem ordinária com base nos métodos de M´ınimos Quadrados (MQP) e Máxima Verossimilhan¸ca (MV) através da macro variogram demonstrada por Kaqui (2014) e da macro implementada nesse trabalho. Foram utilizadas duas variáveis com atributo, a primeira é o logaritmo do Chumbo presente nas amostras do rio Meuse e a segunda diz respeito à eleva¸cão de uma determinada superf´ıcie.

Primeiramente foi realizada uma breve análise descritiva sobre as variáveis e em seguida foram levantados poss´ıveis semivariogramas teóricos para o ajuste aos dados através da técnica de MQP. Com o modelo escolhido, temos uma aproxima¸cão para a fun¸cão de distribui¸cão dos dados a partir da qual é poss´ıvel realizar estimativas para os dados não observados com seus respectivos erros de mensura¸cão através da krigagem. Em seguida foi utilizada a técnica de MV com fun¸cão de correla¸cão análoga ao modelo de semivariograma escolhido e, através do critério de informa¸cão de Akaike (AIC) e pela amplitude das estimativas da krigagem, pode-se observar

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qual t´ecnica melhor se ajusta aos dados.

Com a krigagem realizada, é feita uma diferen¸ca das estimativas e erros padrão entre os métodos a fim de verificar a qualidade de interpola¸cão.

4.2 Resultados

4.2.1 Rio Meuse - Chumbo

A primeira abordagem que será feita nos dados de chumbo, após aplica¸cão de logaritmo, será um estudo exploratório. Na Tabela 4.1 encontra-se algumas estat´ısticas de tendência central e dispersão. Segundo o teste de normalidade de Kolmogorov- Smirnov igual a 0,141 (p-valor<0,010) é poss´ıvel constatar que há evidências, a um n´ıvel de significância de 5%, para rejeitar a hipótese de que os dados seguem uma distribui¸cão normal.

Tabela 4.1: Estat´ısticas Descritivas do log de Chumbo Estat´ıstica Valor

n 52

Média 2,117 Mediana 2,139 Desvio Padrão 0,308 M´ınimo 1,681 Máximo 2,683

O pr´oximo passo ´e ajustar um modelo de semivariograma que melhor se adequa

`

a distribui¸cão dos dados em estudo. A Tabela 4.2 apresenta os principais modelos de semivariograma, seus parâmetros otimizados pela técnica de MQP supracitada na se¸cão 2.4.1 e seus respectivosAIC⁰s.

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Tabela 4.2: Modelos de semivariograma para o log de Chumbo Modelo Patamar Alcance Efeito Pepita AIC_{M QP} Gaussiano 0,128 897,193 0,037 -125,315

Seno 0,110 632,899 0,039 -128,457

Exponencial 0,221 3794,784 0,026 -108,481 Esf´erico 0,128 1091,929 0,026 -111,951 C´ubico 0,126 1203,394 0,036 -124,877

O modelo que mais se ajustou aos dados foi o Seno devido ao seu quadrado médio dos res´ıduos ser menor que os demais, o que levou a obter um AIC_{M QP} menor. Pode-se observar na Figura 4.1 um bom ajuste do semivariograma teórico ao semivariograma experimental com 12lagselag distance de 90,749. Com o modelo ajustado, tem-se uma fun¸cão que reflete como é a distribui¸cão da variável chumbo.

Figura 4.1: Modelo de semivariograma te´orico ajustado ao experimental para o log de Chumbo

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Compara¸cão entre os Métodos de Estima¸cão

Como foco do estudo é desejável saber qual metodologia se sobressai no quesito de melhor estimador dos parâmetros do semivariograma. A máxima verossimilhan¸ca não necessita dos parâmetros iniciaislag elag distance como no método de m´ınimos quadrados. O método faz uma estima¸cão com base nos pontos observados sem a necessidade de se ajustar um modelo. A Tabela 4.3 apresenta os parâmetros otimizados para os dois métodos de estima¸cão. Pode-se observar que o alcance da MV é maior do que dos MQP e também que o patamar, parâmetro que simboliza a variância, é menor na MV. A média e o efeito pepita estão bem próximos. OAIC_{M V}_c, conforme explicado no final da se¸cão 3.2, sugere que a máxima verossimilhan¸ca encontrou os melhores parâmetros para aplica¸cão na técnica de krigagem.

Tabela 4.3: Estimativas dos m´etodos de estima¸c˜ao pelo modelo Seno para o log de Chumbo

Método de estima¸cão Média Patamar Alcance Efeito Pepita AICM Vc

M´ınimos Quadrados 2,117 0,110 632,899 0,039 17,043 M´axima Verossimilhan¸ca 2,140 0,072 716,343 0,037 14,911

Na Figura 4.2 observa-se através da técnica de krigagem, com umgrid de 127.617 pontos, as estimativas do log do chumbo com seus respectivos erros de estima¸cão pelo método de m´ınimos quadrados. Para as estimativas, é poss´ıvel constatar que próximo às margens do rio, há uma maior concentra¸cão de chumbo, enquanto que quanto mais longe do rio há uma menor concentra¸cão. Este pensamento pode ser embasado pelas estimativas de erro padrão da krigagem, que mostram que o erro é menor próximo aos pontos de coleta, e quanto mais distantes desses pontos, maior

´e o erro de estima¸c˜ao.

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Estimativas Erro Padr˜ao

Figura 4.2: Krigagem Ordinária através do método de m´ınimos quadrados para o log de Chumbo

Para a Figura 4.3, a metodologia de máxima verossimilhan¸ca obteve estima¸cões dentro de uma amplitude menor do que a apresentada pelos m´ınimos quadrados, com isso tiveram mais dados coletados que ultrapassaram o limite máximo de estima¸cão proposto pelo método. Porém quando se compara as estimativas de erro padrão, é poss´ıvel verificar que a variabilidade de interpola¸cão é menor nesse método.

A Tabela 4.4 retrata as principais estat´ısticas descritivas das estimativas e erros das duas técnicas. Para as estimativas, as médias, medianas e desvios padrão tiveram diferen¸cas em torno de 0,008 e a amplitude dos valores para MQP foi maior do que para MV e, inclusive, ficaram mais próximos dos valores de m´ınimo e máximo observados nos dados, o que significa uma melhor estima¸cão. Para os erros padrão, houve uma redu¸cão de aproximadamente 0,039 na média e mediana, o desvio padrão

(36)

caiu quase que pela metade e a amplitude dos erros estimados foi menor para MV em cerca de 0,051.

Figura 4.3: Krigagem Ordinária através do método de máxima verossimilhan¸ca para o log de Chumbo

Tabela 4.4: Estat´ısticas Descritivas das Estimativas da Krigagem Ordin´aria para o log de Chumbo

Estat´ıstica Estimativa MQP

Estimativa MV

Erro Padr˜ao MQP

Erro Padr˜ao MV

M´edia 2,113 2,120 0,280 0,242

Mediana 2,117 2,122 0,284 0,244

Desvio Padr˜ao 0,172 0,160 0,041 0,023

M´ınimo 1,670 1,718 0,212 0,204

M´aximo 2,516 2,490 0,334 0,275

Amplitude 0,846 0,772 0,122 0,071

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Diferen¸ca entre os M´etodos de Estima¸c˜ao

Uma maneira mais efetiva de compara¸cão dos dois métodos é saber qual é a diferen¸ca de estima¸cão e de erro padrão nos próprios pontos estimados, por isso será calculada a diferen¸ca de cada um dos 127.617 pontos entre a MV e os MQP e será realizada a análise visual e descritiva dessas informa¸cões.

Diferen¸ca Estimativas = Estimativa MV - Estimativa MQP Diferen¸ca Erros = Erro MV - Erro MQP

Vale ressaltar que quando essa diferen¸ca for negativa, significa que o valor encontrado para os MQP foi maior do que para a MV e quando esse valor for positivo a interpreta¸cão é inversa. Outra no¸cão é a de que, quanto menor for o valor da diferen¸ca, maior é a semelhan¸ca de estima¸cão das duas técnicas para o ponto em estudo e quanto maior for o valor da diferen¸ca, significa que há diferen¸ca de estima¸cão.

Tabela 4.5: Estat´ısticas Descritivas das Diferen¸cas (MV - MQP) para o log de Chumbo

Estat´ıstica Diferen¸ca entre Estimativas Diferen¸ca entre Erros Padr˜ao

M´edia 0,006 -0,037

Mediana 0,012 -0,040

Desvio Padr˜ao 0,070 0,018

M´ınimo -0,204 -0,063

M´aximo 0,191 -0,008

Amplitude 0,395 0,055

Segundo a Tabela 4.5 e a Figura 4.4 é poss´ıvel inferir que, para as estimativas, nos locais onde a colora¸cão tende ao azul, significa que os MQP estimaram valores maiores para a concentra¸cão de chumbo, e nos locais onde a colora¸cão tende ao branco, a MV estimou valores maiores. Também é poss´ıvel observar que nas regiões

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próximas ao rio, a colora¸cão ficou no meio termo, ou seja, a estima¸cão dos métodos foi próxima. Os valores de m´ınimo e máximo tiveram distâncias parecidas com rela¸cão a média e essa teve um valor próximo ao zero.

Com base nos erros-padrão das estimativas é observado que todos eles foram superestimados para o método de MQP e também fica n´ıtido no gráfico que, próximo

`

as margens do rio, a diferen¸ca do erro entre os métodos foi pequena e, quanto maior a distância das margens do rio, o método de MQP tem estimativas maiores de erro do que a MV.

Verificando a normalidade das diferen¸cas entre os métodos, segundo o teste de Kolmogorov-Smirnov igual a 0,031 (p-valor<0,010), é poss´ıvel constatar que as estimativas não seguem uma distribui¸cão normal. Observando também o intervalo de confian¸ca pelo testet de student igual a 33,456 (p-valor<0,001), no qual a hipótese de que a média das estimativas é iguais à zero, é rejeitada a um n´ıvel de significância de 5%, ou seja, há evidências para dizer que a média da diferen¸ca das estimativas não é igual à zero e, em média, as estimativas da MV são maiores do que as encontradas pelos MQP. Para as diferen¸cas entre os erros padrão também não existe normalidade, segundo o teste de Kolmogorov-Smirnov igual a 0,151 (p-valor<0,010), e o teste t de student igual a -730,416 (p-valor<0,001) sugere que a média das diferen¸cas não é igual a zero, ou seja, o erro padrão das estimativas é, em média, maior no método de MQP do que na MV.

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Figura 4.4: Krigagem Ordin´aria da diferen¸ca entre os m´etodos (MV - MQP) - ltpb

4.2.2 Eleva¸ c˜ ao da Superf´ıcie

O primeiro passo para a análise dos dados de eleva¸cão da superf´ıcie será um estudo exploratório. Na Tabela 4.6 tem-se algumas estat´ısticas descritivas da variável.

Segundo o teste de Kolmogorov-Smirnov igual a 0,097 (p-valor>0,150) não há evidências, a um n´ıvel de significância de 5%, para rejeitar a hipótese de que os dados seguem uma distribui¸cão normal.

Tabela 4.6: Estat´ısticas Descritivas da eleva¸c˜ao Estat´ıstica Valor

n 52

M´edia 827,077 Mediana 830,000 Desvio Padr˜ao 61,997

M´ınimo 690,000 M´aximo 960,000

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Em seguida ajustamos modelos de semivariograma e verificamos qual deles melhor se adequa à distribui¸cão dos dados coletados. A Tabela 4.7 apresenta os dois modelos mais relevantes de semivariograma do estudo, seus parâmetros otimizados por MQP e seus respectivosAIC⁰s.

Tabela 4.7: Modelos de semivariograma para a eleva¸c˜ao Modelo Patamar Alcance Efeito Pepita AICM QP

Gaussiano 7531,592 7,227 454,442 84,231 Seno 5426,014 4,544 458,867 80,082

O modelo que mais se ajustou aos dados foi o Seno devido ao menor AIC_{M QP}. Pode-se observar na Figura 4.5 o ajuste do semivariograma teórico ao semivariograma experimental com 6 lags e lag distance de 1,220. Com o modelo ajustado, tem-se uma fun¸cão de distribui¸cão do comportamento do atributo eleva¸cão.

Figura 4.5: Modelo de semivariograma te´orico ajustado ao experimental para a eleva¸c˜ao

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Compara¸cão entre os Métodos de Estima¸cão

A Tabela 4.8 mostra os parâmetros otimizados dos métodos. É poss´ıvel observar que a média e o efeito pepita estimados por MV são maiores, em contra partida, o patamar e o alcance dos MQP são maiores. Como o patamar é interpretado como a variância, os MQP possuem uma variabilidade muito maior do que a MV. OAIC_{M V}_c sugere que a máxima verossimilhan¸ca encontrou os melhores parâmetros.

Tabela 4.8: Estimativas dos métodos de estima¸cão pelo modelo Seno para a eleva¸cão Método de estima¸cão Média Patamar Alcance Efeito Pepita AIC_{M V}_c

M´ınimos Quadrados 827,077 5426,014 4,544 458,867 508,725 M´axima Verossimilhan¸ca 847,790 3129,840 3,832 462,930 505,683

A Figura 4.6 apresenta as estimativas da eleva¸cão e seus respectivos erros de krigagem pelos MQP com umgrid de 161.002 pontos. Para as estimativas, é poss´ıvel observar que quanto mais próximo ao topo central menor é a eleva¸cão, e quanto mais próximo do canto inferior esquerdo maior é a eleva¸cão. Os erros padrão da krigagem sugerem que no centro do mapa os valores são menores até um determinado valor de raio e a partir disso o erro de estima¸cão come¸ca a aumentar.

Ao compararmos a Figura 4.7 com a Figura 4.6 a única diferen¸ca aparente está na parte inferior do gráfico de estimativas. Para a metodologia de MV foram obtidas estimativas e erros padrão dentro de uma amplitude menor do que a apresentada pelos MQP.

A Tabela 4.9 apresenta as estat´ısticas descritivas das estimativas e erros das técnicas. Para as estimativas, as médias, medianas e desvios padrão ficaram próximas, sendo que os menores valores foram encontrados pela MV. A amplitude

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Figura 4.6: Krigagem Ordinária através do método de m´ınimos quadrados para a eleva¸cão

dos valores para MQP foi maior do que para MV, o que sugere melhor estima¸cão se esses valores de m´ınimo e máximo forem mais próximos aos encontrados nos dados.

Para os erros padrão, a média e a mediana foram maiores e o desvio padrão foi me- nor para a MV, o que significa que a variabilidade dos erros, mesmo com pequena diferen¸ca com rela¸cão aos MQP, é menor para a técnica de MV.

Tabela 4.9: Estat´ısticas Descritivas das Estimativas da Krigagem Ordin´aria para a eleva¸c˜ao

Estat´ıstica Estimativa MQP

Estimativa MV

Erro Padr˜ao MQP

Erro Padr˜ao MV

M´edia 844,148 842,859 24,917 25,070

Mediana 860,646 859,508 23,665 23,876

Desvio Padr˜ao 53,393 50,953 2,985 2,830

M´ınimo 722,535 724,213 22,242 22,409

M´aximo 938,658 920,560 41,483 39,569

Amplitude 216,123 196,347 19,241 17,160

(43)

Figura 4.7: Krigagem Ordinária através do método de máxima verossimilhan¸ca para a eleva¸cão

Diferen¸ca entre os M´etodos de Estima¸c˜ao

A interpreta¸cão para as diferen¸cas de estimativas e erros padrão é análoga àquelas apresentada no estudo de caso anterior. Segundo a Figura 4.8 é poss´ıvel notar que, para as estimativas, nos locais onde a colora¸cão tende ao azul, significa que os MQP estimaram valores maiores para a eleva¸cão da superf´ıcie, enquanto que nos locais onde a colora¸cão tende ao cinza, a MV estimou valores maiores. Na parte central da figura de estimativas, há áreas de transi¸cão onde os valores tendem a uma colora¸cão entre cinza e azul, o que sugere que nessas faixas os dois métodos tiveram estimativas mais próximas.

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Figura 4.8: Krigagem Ordinária da diferen¸ca entre os métodos (MV - MQP) para a eleva¸cão

Analisando os erros padrão das estimativas foi verificado que há uma área, em um formato de trevo, onde os erros calculados foram próximos para os métodos. Quando nos aproximamos das extremidades, é poss´ıvel constatar que os MQP tiveram valores maiores de erro do que a MV, porém, há uma área na parte central inferior onde a MV obteve estimativas maiores de erro.

Aplicando o teste de Kolmogorov-Smirnov igual a 0,062 (p-valor<0,010) nas diferen¸cas entre os métodos é poss´ıvel constatar que as estimativas não seguem uma distribui¸cão normal. Verificando também o intervalo de confian¸ca t de student igual a -100,732 (p-valor<0,001) no qual a hipótese de que a média das estimativas é iguais

`

a zero é rejeitada, ou seja, como mostra a Tabela 4.10 as estimativas dos MQP são, em média, maiores do que as encontradas pela MV. Observando também os valores

(45)

de m´ınimo, m´aximo e a mediana podemos chegar na mesma conclus˜ao.

Para as diferen¸cas entre os erros padrão, conforme pode ser visto pelo teste de Kolmogorov-Smirnov igual a 0,263 (p-valor<0,010), também não existe normalidade e o teste t de student igual a 305,734 (p-valor<0,001) sugere que a média das diferen¸cas não é igual a zero, ou seja, o erro padrão das estimativas é, em média, maior no método de MV do que nos MQP.

Tabela 4.10: Estat´ısticas Descritivas das Diferen¸cas (MV - MQP) para a eleva¸c˜ao Estat´ıstica Diferen¸ca entre Estimativas Diferen¸ca entre Erros Padr˜ao

M´edia -1,288 0,151

Mediana -0,579 0,212

Desvio Padr˜ao 5,129 0,198

M´ınimo -18,098 -1,914

M´aximo 10,208 0,401

Amplitude 28,306 2,315

(46)

Cap´ıtulo 5

CONCLUS ˜ OES

Em geral os dois métodos tiveram desempenhos próximos quando analisadas as estimativas da krigagem de maneira visual, o que confere certa complexidade ao se decidir qual o melhor método. Por isso um melhor objeto de estudo apresentado foi a diferen¸ca entre as estimativas dos métodos. Quando é realizada uma análise visual dos erros padrão, embora os formatos possam ser semelhantes quando apresentados de maneira separada, o método de máxima verossimilhan¸ca consegue reduzir o erro de suas estimativas de maneira pontual e à medida que a interpola¸cão se afasta da massa de dados amostrados o erro aumenta de maneira mais controlada. Em contrapartida, o que se pode perceber dos dois estudos de caso, é que os erros de estima¸cão por m´ınimos quadrados são em geral maiores e quando distanciamos dos pontos de dados coletados esse aumento do erro é mais acentuado. Como ambos os métodos tiveram melhores resultados através do modelo seno, o pressuposto de normalidade dos erros não foi levado em considera¸cão.

A fim de saber qual a melhor técnica, primeiro é preciso explicitar os prós e contras de cada um deles. O método de minimos quadrados possui uma larga di- fusão e implementa¸cão em softwares por ser de fácil compreensão e baixo custo

(47)

computacional. Quando tratamos de análise espacial o método é utilizado para a otimiza¸cão dos parâmetros encontrados no semivariograma experimental. O grande problema existente se dá pelo fato de ser preciso ajustar um modelo que é baseado em parâmetros iniciais subjetivos. Existem métodos que ajudam a estipular lags e lags distance, porém não existe uma regra geral bem fundamentada. Cada estudo tem suas caracter´ısticas e isso acarreta em abordagens distintas. No inicio o ajuste desses parâmetros era feito pelo olhar (by eye), o que dependia da subjetividade do pesquisador. Em seguida aplicou-se a regra do histograma para casos em que existia normalidade nos dados e, por último, automatizaram o método by eye com parâmetros de folga para encontrar os melhores parâmetros. Após ser escolhido o conjunto de parâmetros iniciais, é feita a otimiza¸cão e selecionado o melhor modelo de semivariograma a fim de encontrar a pseudo fun¸cão de distribui¸cão dos dados.

O método de máxima verossimilhan¸ca quebra esse paradigma da utiliza¸cão de um semivariograma e utiliza a modelagem para encontrar os parâmetros da krigagem que representam a real distribui¸cão dos dados. Os seus contras estão na dificuldade em encontrar suporte teórico para sua aplica¸cão na krigagem e a dificuldade de convergência pelos métodos de otimiza¸cão, pois se não forem estipulados parâmetros iniciais próximos aos parâmetros ótimos, a convergência pode ser dispendiosa ou pode ocorrer a convergência para parâmetros secundários.

O foco deste trabalho foi buscar na teoria existente a forma de utiliza¸cão do método de máxima verossimilhan¸ca e apresentá-lo de maneira descomplicada, além de implementar uma macro em SAS/IML para a utiliza¸cão deste método até então

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presente somente no pacote geoR do software R. Os resultados obtidos pela macro maxlikfit foram comparados com a fun¸cão likfit do pacote geoR e foram iguais ou próximos devido ao método de convergência. O código desenvolvido em SAS/IML

é útil pois amplia as op¸cões de técnicas de estima¸cão espacial para os usuários do SAS, pode ser atualizado com outros modelos teóricos e é de fácil conversão para outras linguagens.

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Oficina de Textos.