MAT0147 - C´alculo Diferencial e Integral II para Economia Lista 14 - 2014
1. Determine o valor m´aximo e o valor m´ınimo da fun¸c˜ao f com as condi¸c˜oes explicitadas.
(a) f(x, y, z) =xyz; x2+ 2y2+ 3z2 = 6 (b) f(x, y, z) =x2y2z2; x2+y2+z2 = 1
(c) f(x, y, z) =x2+y2+z2; x4+y4+z4 = 1
2. Determine o valor m´aximo e o valor m´ınimo de f(x, y, z) =x2−2x+y2−4y+z2−6z em K ={(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 ≤56}.
3. Encontre, se existirem, os pontos de m´aximo e de m´ınimo de f em C.
(a) f(x, y, z) =x+y+z e C ={(x, y, z)∈R3, tais que x2+y2 = 1 e 4x+ 4y=z2}; (b) f(x, y, z) =x3+y3+z3 eC ={(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 = 1 e x+y+z = 1};
(c) f(x, y, z) =xz+y e
C ={(x, y, z)∈R3tais quex2+y2+z2= 1 e (x−1)2+y2+(z−1)2 = 1};
(d) f(x, y, z) =x2+y2+z2 eC ={(x, y, z)∈R3 tais que x+y+z = 1 e x−y+ 3z = 3}. 4. Encontre o m´aximo e o m´ınimo de f(x, y, z) = 2x+y−z2 no compacto K.
(a) K ={(x, y, z)∈R3 tais que 4x2+y2−z2+ 1 = 0, z > 0 e 2z = 2x+y+ 4}. (b) K ={(x, y, z)∈R3 tais que 4x2+y2−z2+ 1 = 0, z > 0 e 2z ≤2x+y+ 4}. 5. Seja f(x, y, z) = x2+y2+ 2z2−4xy−4z. Achar o m´aximo e o m´ınimo de f em:
(a) {(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 = 4} (b) {(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 ≤4}
(c) {(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 = 4 e z ≥ 12} (d) {(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 ≤4 e z ≥ 12}
(e) {(x, y, z)∈R3 tais que x2+y2+z2 = 4 e z ≥x+y}
6. Determine as dimens˜oes do paralelep´ıpedo de volume m´aximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsoide 9x2+ 36y2+ 4z2 = 36.
7. Determine as dimens˜oes do paralelep´ıpedo de volume m´aximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces est´a contida no planoz = 0 e a corres- pondente face oposta tem os seus v´ertices no paraboloide z = 4−x2−y2,z >0.
Resolva os exerc´ıcios 8,9 e 10 a seguir, assumindo que cada problema proposto tem solu¸c˜ao. ´E poss´ıvel provar que essas solu¸c˜oes existem. Tente fazˆe-lo.
8. Dˆe as dimens˜oes da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser constru´ıda com 27cm2 de papel˜ao.
9. Uma caixa retangular de papel˜ao sem tampa deve ter volume igual a 32000cm3. Dˆe as dimens˜oes da caixa que minimizam a quantidade de papel˜ao utilizado.
10. Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 p´es c´ubicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de
´area pelo teto ´e cinco vezes maior que a perda de calor pelo ch˜ao. A perda de calor pelas quatro paredes ´e trˆes vezes maior que a perda de calor pelo ch˜ao. Determine as dimens˜oes do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
11. Determine o m´ınimo de f(x, y, z) = (y+z −3)2 com as condi¸c˜oes x2 +y +z = 2 e x+y2 + 2z = 2. Existe o m´aximo def com essas mesmas condi¸c˜oes?
Respostas
1. (a) valor m´ax: √23, m´ın: −√23; (b) valor m´ax: 271, valor m´ın: 0; (c)valor m´ax: √
3, m´ın: 1.
2. valor m´ınimo: f(1,2,3) =−14; valor m´aximo: f(−2,−4,−6) = 112.
3. (a) ptos de m´ın.: (0,1,−2) e (1,0,−2), pto de m´ax: (√12,√12,2√4 2);
(b) ptos de m´ın: (23,23,−13), (23,−13,23), e (−13,23,23), ptos de m´ax: (0,0,1), (0,1,0) e (1,0,0);
(c) pto de m´ın: (12,−√12,12), pto de m´ax: (12,√12,12) (d) pto de m´ın: (13,−16,56) e n˜ao tem m´aximo.
4. (a) valor m´ın: f(1 +√27,2 +√
7,4 +√
7) =−19−6√ 7, valor m´ax: f(1−√27,2−√
7,4−√
7) =−19 + 6√ 7;
(b) valor m´ın: f(1 + √27,2 +√
7,4 +√
7) =−19−6√ 7, valor m´ax: f(14,12,
q3
2) =−12.
5. (a) pto de m´ax: (0,0,−2), ptos de m´ın: (43,43,23) e (−43,−43,23);
(b) os mesmos que em (a);
(c) pto de m´ax: (√2√152,−√2√15
2,12) e (−√2√15 2,√2√15
2,12), ptos de m´ın: (43,43,23) e (−43,−43,23);
(d) os mesmos que em (c);
(e) ptos de m´ax: (−13±√315,−13∓√315,−23), pto de m´ın: (−43,−43,23).
6. v´ertices em :
±√23,±√13,±√ 3
7. v´ertices em: (±1,±1,0) e (±1,±1,2).
8. 3×3×32. 9. 40×40×20. 10. 10×10×10. 11. (−12,1,34).
