Defini¸c˜ao 2

O ´INDICE DOS OPERADORES DE TOEPLITZ

INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA USP MAT 554 – PANORAMA DE MATEM ´ATICA

AULA DE 9 DE NOVEMBRO DE 2020

1. Preliminares de An´alise Funcional

Defini¸c˜ao 1. Um espa¸co de Hilbert ´e um espa¸co vetorial (complexo) H com produto interno h·,·i que se torna um espa¸co m´etrico completo se munido da distˆancia

d(x, y) =kx−yk, kzk=hz, zi^1/2, x, y, z∈H.

Defini¸c˜ao 2. {x₁, x2,· · · }´e um conjunto ortonormal completo do espa¸co de Hilbert H se

hx_j, x_ki=

( 0 se j6=k 1 se j=k e se

x∈H, hx, x_ki= 0, k = 1,2,· · · =⇒ x= 0.

Proposi¸c˜ao 1. O conjunto[x₁, x₂,· · ·] das combina¸c˜oes lineares de um conjunto ortonormal com- pleto {x₁, x₂,· · · } de um espa¸co de Hilbert H ´e denso em H. Reciprocamente, se β ={x₁, x₂,· · · }

´e um conjunto ortonormal e [x₁, x₂,· · ·]´e denso em H, ent˜ao β ´e completo.

Dado M um subespa¸co de H, definimos M^⊥ ={x∈H; hx, yi= 0 para todo y ∈M}.

Proposi¸c˜ao 2. Seja M um subespa¸co fechado do espa¸co de Hilbert H. Dado x ∈ H, existe um

´

unico x_M ∈M tal quex−x_M ∈M^⊥.

A aplica¸c˜aoP :H →H definida porP x=x_M ´e linear, satizfazkP xk ≤ kxkpara todox∈H, P²=P, ImP =M e kerP =M^⊥. Ela ´e chamada deproje¸c˜ao ortogonal sobre M.

Proposi¸c˜ao 3. Seja H um espa¸co de Hilbert, seja T :H →H linear. S˜ao equivalentes:

• T ´e cont´ınua.

• T ´e cont´ınua em 0.

• Existe C≥0 tal que kT xk ≤Ckxk para todox∈H

1

2 IME-USP, 2^◦SEMESTRE DE 2020

Define-se uma norma no espa¸co vetorialB(H) de todas as transforma¸c˜oes lineares satisfazendo as trˆes condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 3 por

kTk= sup

x6=0

kT xk kxk .

Proposi¸c˜ao 4. Dado T ∈ B, existe um ´unico T^∗ ∈ B(H) tal que iT x, yi = hx, T^∗yh para todos x, y∈H.

Defini¸c˜ao 3. Um operador compacto em H ´e uma transforma¸c˜ao linear K :H → H tal que, para toda bola B contida em H, o fecho deT(B) ´e compacto. Denotamos por K(H) o conjunto de todos os operadores compactos emH.

Proposi¸c˜ao 5. K(H)´e um ideal fechado da ´algebraB(H). Um operador T ∈ B(H) ´e compacto se e somente se existemTn∈ B(H), ImTn de dimens˜ao finita, tais que lim

n→∞kT_n−Tk= 0.

Teorema 1. Se K∈ K(H), ent˜ao I+K ´e um operador de Fredholm de ´ındice zero.

Defini¸c˜ao 4. F(H) ={T ∈ B(H); tal queT ´e um operador de Fredholm}

Teorema 2. Sejam T ∈ B(H) tal que I −T S e I −ST s˜ao operadores compactos para algum S∈ B(H). Ent˜ao T ´e um operador de Fredholm.

Teorema 3. F(H) ´e aberto em B(H). O ´ındice de Fredholm ind : F(H) → Z ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Existe uma curva cont´ınua contida em F(H) conectando dois operadores de Fredholm T₁, T₂ ∈ F(H) se e somente se indT₁ = indT₂

2. A ´algebra de Toeplitz abstrata

SejaH um espa¸co de Hilbert que possui um sistema ortonormal completo{e₀, e₁, e₂,· · · }.

Proposi¸c˜ao 6. Existe um ´unico S∈ B(H) tal queSej =ej+1, j= 0,1,· · ·. S satisfaz kSxk=kxk para todo x∈ H eS^∗ ´e dado por S^∗e₀ = 0 eS^∗e_j =ej−1, j= 1,2,· · ·.

Defini¸c˜ao 5. A ´algebra de Toeplitz gerada por S ´e a menor sub´algebra fechada T de B(H) que cont´emS, S^∗ e a identidade I.

O ´INDICE DOS OPERADORES DE TOEPLITZ 3

A menos de isomorfismos, T n˜ao depende da escolha deHe do conjunto ortonormal completo.

Teorema 4. [2, Theorem 7.23]K(H)⊂ T e existe um *isomorfismo de ´algebras T

K(H) −→C(S¹) que leva [S]na fun¸c˜ao identidade z7→z.

3. Operadores de Toeplitz Defina em C(S¹) o produto interno

(1) hf, gi= 1

2π Z 2π

0

f(e^iθ)g(e^iθ)dθ.

Para cada k ∈ Z, seja e_k ∈C(S¹) definida por e_k(z) = z^k, z ∈ S¹. O conjunto {e_k;k ∈ Z}

´e ortonormal. As combina¸c˜oes lineares dos elementos deste conjunto s˜ao chamadas de polinˆomios trigonom´etricos.

Teorema 5. [3, Theorem 4.25]Dados f ∈C(S¹) e >0, existe polinˆomio trigonom´etrico p tal que

|f(z)−g(z)|< para todoz∈S¹.

Corol´ario 1. O conjunto dos polinˆomios trigonom´etricos ´e denso em C(S¹) munido da m´etrica induzida pelo produto interno (1).

Demonstra¸c~ao: kf −gk²≤

sup

z∈S¹

|f(z)−g(z)|

2

.

O espa¸co com produto interno C(S¹,h·,·i) n˜ao ´e completo. Seu completamento ´e L²(S¹).

Segue do Corol´ario 1 que {e_k;k∈Z} ´e um conjunto ortonormal completo de L²(S¹).

Defini¸c˜ao 6. O espa¸co de HardyH²´e o menor subespa¸co fechado deL²(S¹) que cont´em o conjunto ortonormal {e₀, e1, e2,· · · }. Denotamos por P a proje¸c˜ao ortogonal de L²(S¹) emH²

Segue que {e₀, e₁, e₂,· · · }´e um sistema ortonormal completo de H².

Defini¸c˜ao 7. Dada φ∈C(S¹), o operador de Toeplitz com s´ımbolo φ, Tφ ∈ B(H²), ´e definido por T_φ(f) =P(φf).

Definindo kφk∞= sup

z∈S¹

|φ(z)|, temos

(2) Tφ≤ kφk_∞, φ∈C(S¹).

E f´´ acil ver que Te1(e_k) =e_k+1,k = 0,1,2,· · ·, Te−1(e0) = 0 e Te−1(e_k) =ek−1, k= 1,2,· · ·. Tamb´em valeTe_k =T_e^k₁ e Te−k =T_e^k₋₁, para todo inteiro positivo k.

4 IME-USP, 2^◦SEMESTRE DE 2020

Se f, g ∈ {e₀, e1, e2,· · · } ou se f, g ∈ {e₀, e−1, e−2,· · · }, segue ent˜ao que Tf g =TfTg =TgTf. Para k um inteiro positivo, TekTe−k =I e Te−kTek =I −P_k, em queP_k ´e a proje¸c˜ao ortogonal de H² no espa¸co gerado por{e₀.e₁,· · ·, ek−1}. Se ke l s˜ao inteiros positivos, temos que

Te−(j+k)Tek =Te−l(I−Pk), e Te−kTek+l =Tel

A conclus˜ao ´e que, se f, g∈ {e_k;k∈Z},

(3) T_{f g} −T_fT_g ∈ K(H²)

Por linearidade, segue que (3) vale tamb´em se f e g forem polinˆomios trigonom´etricos. Como toda fun¸c˜ao cont´ınua pode ser uniformente aproximada por polinˆomios trigonom´etricos, segue de (2) que (3) vale para todas f e g em C(S¹). Da´ı e segue que, sef ∈C(S¹) ef(z) 6= 0 para todo z ∈S¹, ent˜ao

TfT_1/f =T_f(1/f)+K =I+K, para algum K ∈ K(H²).

Segue ent˜ao do Teorema 2 queTf ´e um operador de Fredholm se f nunca se anula.

Se γ :S¹ →C´e C¹ por partes nunca se anula, ent˜ao n(γ) = 1

2πi Z

γ

f(z) z dz

´e um inteiro, chamadon´umero de rota¸c˜aode γ. Aproximando uma fun¸c˜ao cont´ınua, etc.

Pelo Teorema ...

Referˆencias

[1] H. O. Cordes. Elliptic pseudo-differential operators – An abstract theory. Springer Lecture Notes in Mathematics 756, 1979.

[2] R. G. Douglas. Banach algebra techniques in operator theory. Academic Press, 1972.

[3] Rudin, Real and Complex Analysis.