Notas para o acompanhamento das aulas de
C´
alculo Diferencial e Integral 1
Sum´
ario
1 N´umeros Reais e Fun¸c˜oes 5
1.1 Conjuntos Num´ericos . . . 5
1.2 Intervalos, Desigualdades e Valor Absoluto . . . 7
1.3 Fun¸c˜oes . . . 8
1.4 Algumas Fun¸c˜oes Especiais . . . 10
1.4.1 Fun¸c˜oes Constantes . . . 10
1.4.2 Fun¸c˜oes Lineares . . . 10
1.4.3 Fun¸c˜oes Afins . . . 11
1.4.4 Fun¸c˜oes Quadr´aticas . . . 11
1.4.5 Fun¸c˜oes Polinomiais . . . 12
1.4.6 Fun¸c˜oes Racionais . . . 12
1.4.7 Fun¸c˜oes Potˆencias . . . 14
1.4.8 Fun¸c˜oes Exponenciais . . . 15
1.4.9 Fun¸c˜oes Logar´ıtmicas . . . 15
1.4.10 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas . . . 16
1.5 Fun¸c˜oes Inversas . . . 17
1.6 Fun¸c˜oes Pares e Fun¸c˜oes ´Impares . . . 19
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Fun¸c˜oes . . . 21
2 Limites de Fun¸c˜oes 27 2.1 O Conceito de Limite . . . 27
2.2 Limites laterais . . . 30
2.3 Fun¸c˜oes Cont´ınuas . . . 31
2.4 Teorema do Confronto e Aplica¸c˜oes . . . 34
2.5 Limites no Infinito . . . 37
2.6 Limites Infinitos . . . 39
2.7 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais . . . 41
2.8 O Limite lim x→+∞ 1+ 1 x x (2o. Limite Fundamental) . . . . 43
2.9 Teorema do Valor Intermedi´ario, Teorema do Anulamento e Teorema de Weierstrass. . . 44
2.10 Express˜oes Indeterminadas . . . 46
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Limites . . . 48
3 Fun¸c˜oes Derivadas 53 3.1 No¸c˜oes Geom´etricas . . . 53
3.2 Fun¸c˜ao Derivada . . . 55
3.3 Derivada e Continuidade . . . 56
3.4 Derivadas de Algumas Fun¸c˜oes Especiais . . . 57
3.5 Derivadas de Fun¸c˜oes Trigonom´etricas . . . 58
3.6 Regra da Cadeia . . . 60
3.7 Derivadas de Fun¸c˜oes Inversas . . . 60
3.8 Derivadas def(x) =exef(x) =ln(x) . . . . 63
3.9 Derivada de f(x) =g(x)h(x). . . 63
3.10 Derivadas de Fun¸c˜oes Hiperb´olicas . . . 64
3.11 Derivadas de Ordens Superiores . . . 65
3.12 Deriva¸c˜ao Impl´ıcita . . . 67
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Derivadas . . . 68
4.2 Taxas Relacionadas . . . 72
4.3 M´aximos e M´ınimos Locais . . . 76
4.4 Teoremas de Rolle e do Valor M´edio . . . 77
4.5 Fun¸c˜oes Mon´otonas: crescimento e decrescimento . . . 78
4.6 Concavidades em Gr´aficos de Fun¸c˜oes . . . 82
4.7 Ass´ıntotas N˜ao Verticais . . . 84
4.8 Tra¸cados de Gr´aficos de Fun¸c˜oes . . . 86
4.9 Regras de L’Hospital para C´alculo de Limites . . . 89
4.10 Problemas de Otimiza¸c˜ao . . . 91
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Aplica¸c˜oes da Derivada . . . 94
5 Integrais Indefinidas 101 5.1 Primitivas . . . 101
5.2 Algumas Primitivas Imediatas . . . 102
5.3 T´ecnicas de Integra¸c˜ao . . . 103
5.3.1 M´etodo da Substitui¸c˜ao (ou M´etodo da Mudan¸ca de Vari´aveis) . . . 103
5.3.2 M´etodo da Integra¸c˜ao por Partes . . . 107
5.3.3 M´etodo da Integra¸c˜ao de Fun¸c˜oes Racionais por soma de Fra¸c˜oes Parciais . . . 109
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Integrais Indefinidas . . . 112
Cap´ıtulo 1
N´
umeros Reais e Fun¸c˜
oes
Neste cap´ıtulo faremos um breve estudo preliminar das fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real. Na verdade, trata-se de uma pequena revis˜ao de Ensino M´edio, `as vezes chamada depr´e-c´alculona Universidade, em que o estudante com boa base matem´atica n˜ao encontrar´a nada de novo. Come¸caremos apresentando os conjuntos num´ericos e os intervalos de n´umeros reais que, frequentemente, s˜ao utilizados como dom´ınio e contra-dom´ınio dos diversos tipos de fun¸c˜oes que abordaremos mais adiante. Bons livros e materiais de Ensino M´edio podem (e devem) ser utilizados para complementar este cap´ıtulo.
1.1
Conjuntos Num´
ericos
A teoria envolvendo a constru¸c˜ao matem´atica rigorosa dos conjuntos num´ericos, suas opera¸c˜oes e propriedades foge aos objetivos deste curso introdut´orio. Tal estudo ´e visto em disciplinas mais avan¸cadas de Teoria dos N´umeros e An´alise Real (ouAn´alise Complexa).
Abaixo segue um resumo de tais conjuntos.
Conjunto do n´umeros naturais:
N={1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
Alguns autores consideram0 (zero) como n´umero natural.
Conjunto dos n´umeros inteiros:
Z={. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
A palavra n´umeros em alem˜ao ´e escrita comozahlen.
Conjunto dos n´umeros racionais:
Q=a
b:a, b∈Zeb6=0 .
Existe uma rela¸c˜ao de equivalˆencia importante emQ:
a b =
c
d ⇐⇒ad=bc.
Assim, por exemplo, 1 2=
3
6, pois1.6=2.3.
Todo n´umero racional pode ser escrito em uma forma decimal, sendo esta forma “finita” ou “infinita” formando uma d´ızima peri´odica. Por exemplo,
1 2 =0, 5
7
8 =0, 875 1
3=0, 3333 . . . 41
333=0, 123123123 . . .
Existem n´umeros que n˜ao s˜ao racionais. Por exemplo, o comprimento da hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Tal n´umero ´e indicado por√2 e ´e uma raiz da equa¸c˜aox2=12+12
(esta equa¸c˜ao ´e proveniente doTeorema de Pit´agoras), ou seja, x2=2.
Ö2
Mas como saber se√2 n˜ao pode ser escrito na forma a
b coma, b∈Zeb6=0? Necessitamos de uma demonstra¸c˜ao
matem´atica.
Suponhamos que existam a, b∈Zcom b6=0 de tal modo que ab =√2.
Sabemos que todo n´umero inteiro maior do que 1 pode ser fatorado em produto de n´umeros primos e tal fatora¸c˜ao ´e ´unica a menos de permuta¸c˜ao dos fatores (este ´e o conhecido Teorema Fundamental da Aritm´etica). Assim, a =
p1p2. . . pn e b=q1q2. . . qm com pi, qj n´umeros primos. Logo,
a b =
√ 2⇒a2
b2 =2⇒
(p1p2...pn)2
(q1q2...qm)2 =2⇒
p1p1p2p2...pnpn
q1q1q2q2...qmqm =2⇒p1p1p2p2. . . pnpn=2q1q1q2q2. . . qmqm.
Ocorre que na ´ultima igualdade, a quantidade de fatores iguais a2no primeiro membro ´e par, enquanto que no segundo membro ´e ´ımpar. Uma contradi¸c˜ao que surgiu do fato de supormos que √2´e um n´umero racional. Logo, conclu´ımos
que √2n˜ao´e um n´umero racional.
Ali´as, o leitor perceber´a facilmente que o racioc´ınio desenvolvido acima pode ser repetido para qualquer n´umero da forma√pcompprimo.
Podemos associar os n´umeros racionais a pontos de uma reta. Para tanto, basta fixarmos dois pontosAeBdistintos na reta e associarmos os n´umeros0e1, respectivamente. Com isto, estabelecemos umaunidade de medida geom´etrica sobre a reta que, por meio de seus m´ultiplos e subm´ultiplos, permite a localiza¸c˜ao dos demais n´umeros racionais sobre a reta. Os n´umeros racionais positivos est˜ao associados a pontos da semirreta com origem emA que passa por B, enquanto que os n´umeros racionais negativos est˜ao associados a pontos da semirreta com origem emAque n˜ao passa por B. A figura abaixo esclarece o procedimento acima.
0 1 2 3
-1 -2 -3
-0 5,
A B
2 5,
5 2
Existem pontos da reta que n˜ao est˜ao associados a n´umeros racionais. Tais pontos est˜ao associados aos chamados n´umeros irracionais.
`
A reuni˜ao do conjunto dos n´umeros racionais e do conjunto dos n´umeros irracionais chamamos de conjunto dos n´umeros reais e indicamos porR.
A reta associada ao conjunto dos n´umeros reais, conforme descrevemos acima, chamamos dereta real oueixo.
Todo n´umero irracional pode ser aproximado por n´umeros racionais e possui uma representa¸c˜ao decimal “infinita” que n˜ao formad´ızima peri´odica. Por exemplo,
√
2=1, 41421356 . . . √3=1, 73205080 . . . √5=2, 23606797 . . . π=3, 14159265 . . . e=2, 71828182 . . .
Ainda h´a o conjunto dosn´umeros complexos:
C=a+bi:a, b∈Rei=√−1
Em resumo:
N Z Q R C
´
E interessante recordar as “opera¸c˜oes usuais” nesses conjuntos num´ericos:
Nadi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao;
Zadi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e subtra¸c˜ao;
Qadi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, subtra¸c˜ao e divis˜ao;
Radi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, subtra¸c˜ao, divis˜ao e radicia¸c˜ao (para n´umeros positivos);
Cadi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, subtra¸c˜ao, divis˜ao e radicia¸c˜ao.
Exemplo 1.1 Representa¸c˜ao decimal de n´umeros racionais. Escrevamos os n´umeros racionais
0, 42 0, 888 . . . 0, 62555 . . . 0, 999 . . .
em forma de fra¸c˜ao com numerador e denominador inteiros.
(1)0, 42= 42 100 =
21 50.
(2)x=0, 888 . . .⇒10x=8, 888 . . . Logo,10x−x=8, 888 . . .−0, 888 . . .⇒9x=8⇒x= 89. Portanto,0, 888 . . .= 8
9.
(3) x = 0, 62555 . . . ⇒ 100x = 62, 555 . . . e 1000x = 625, 555 . . . Logo, 1000x−100x = 625, 555 . . .−62, 555 . . . ⇒ 900x=563⇒x= 563900.
Portanto,0, 62555 . . .= 563 900.
(4)x=0, 999 . . .⇒10x=9, 999 . . . Logo,10x−x=9, 999 . . .−0, 999 . . .⇒9x=9⇒x=1. Portanto,0, 999 . . .=1.
1.2
Intervalos, Desigualdades e Valor Absoluto
H´a subconjuntos deRque s˜ao especiais para o desenvolvimento da teoria envolvendo C´alculo Diferencial e Integral. S˜ao osintervalos. Sejama < bn´umeros reais.
(1){x∈R:a < x < b}= ]a, b[´e chamado de intervalo aberto de extremosaeb.
b a
R
(2){x∈R:a≤x≤b}= [a, b]´e chamado de intervalo fechado de extremosaeb.
b a
R
De modo an´alogo:
(3){x∈R:a < x≤b}= ]a, b]
b a
R
(4){x∈R:a≤x < b}= [a, b[
b a
R
(5){x∈R:a≤x}= [a,+∞[
a
R
(6){x∈R:a < x}= ]a,+∞[
a
R
(7){x∈R:x < b}= ]−∞, b[
b
R
(8){x∈R:x≤b}= ]−∞, b]
b
R
(9)R= ]−∞,+∞[
R
Inequa¸c˜oes do 1o. grau, ouinequa¸c˜oes lineares, s˜ao desigualdades redut´ıveis a uma das seguintes formas:
ax > b, ax≥b, ax < b, ax≤b.
Observemos que se multiplicarmos uma inequa¸c˜ao por um n´umero real c positivo, n˜ao mudamos o “sentido” da inequa¸c˜ao, fato que n˜ao ocorre quandoc´e negativo, ou seja:
ax > b⇒
acx > bc, sec > 0
acx < bc, sec < 0 e, de modo an´alogo, comax≥b, ax < b, ax≤b.
Exemplo 1.2 Encontremos os valores dextais que2(x−1)< 5x+3.
Definimos o m´odulo ouvalor absoluto de um n´umero realxcomo sendo
|x|=
x, sex≥0
−x, sex < 0 .
Por exemplo,|5|=5e|−7|=7.
Proposi¸c˜ao 1.1 (Propriedades do m´odulo) Sejak > 0(kreal positivo apenas). (1)|a|=k⇐⇒a=k oua= −k.
(2)|a|< k⇐⇒−k < a < k. (3)|a|> k⇐⇒a > koua <−k. (4)√a2=|a|.
Exemplo 1.3 Resolvamos|2x−3|> 7.
Temos, de acordo com a Propriedade (3)de m´odulo, que:
|2x−3|> 7⇐⇒2x−3 > 7ou2x−3 <−7⇐⇒ x > 5 ou x <−2 .
Conclus˜ao: x∈]−∞,−2[∪]5,+∞[. Observe que o conjunto solu¸c˜ao n˜ao ´e um intervalo.
1.3
Fun¸c˜
oes
A defini¸c˜ao de fun¸c˜ao ´e uma das mais importantes da Matem´atica. Segue abaixo:
Sejam XeY conjuntos ex7−→yuma regra que associa a cadaelementox∈Xum ´unicoelementoy∈Y. `
A terna(X, Y, x7−→y)chamamos defun¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao pode ser indicada por
f:X−→Y, dada porf(x) =y, ou ainda,
f: X −→ Y
x 7−→ y
.
O conjuntoX´e chamado dedom´ınio da fun¸c˜ao f.
O conjuntoY ´e chamado de contra-dom´ınioda fun¸c˜ao f.
O conjuntoImf={f(x)∈Y:x∈X}⊂Y ´e chamado de conjunto imagemda fun¸c˜ao f. O elemento f(x)∈Y ´e chamado deimagem do elementox∈Xpela fun¸c˜ao f.
Exemplo 1.4 Sejam X={0, 1, 2, 3, 4},Y={5, 6, 7, 8}ef:X→Y tal que
x y=f(x)
0 8 1 8 2 5 3 5 4 6
0 1 2 3 4
5 6 7 8
X Y
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8
4 3 2
4 3 2 1
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4
1 0
-1
5 6
7 8
Z
N -1
Exemplo 1.6 Sejam X={1, 2, 3},Y ={1, 2, 3}ef:X→Y tal que
x y=f(x)
1 1 1 2 2 3 3 3
1
2
3
3
2
1 X
Y 0 1
1 2 3
2 3
Observemos que neste exemplof n˜ao ´e fun¸c˜ao, pois ao elemento1∈Xn˜ao est´a associado um ´unico elemento deY.
Os conceitos de fun¸c˜aoinjetiva,sobrejetivaebijetiva´e a base para uma categoria important´ıssima de fun¸c˜oes: aquelas que podem ser “invertidas”. Elas desempenham um papel extremamente importante em nossos estudos. As defini¸c˜oes seguem abaixo:
Seja f:X→Y, dada porf(x) =y, uma fun¸c˜ao.
Quando elementos distintos do dom´ınio Xest˜ao associados a elementos distintos do contra-dom´ınio Y dizemos que f
´e uma fun¸c˜aoinjetiva (ou injetora). Matematicamente:
x6=y⇒f(x)6=f(y) ou, equivalentemente, f(x) =f(y)⇒x=y.
Quando o conjunto imagem de f coincide com seu contra-dom´ınio, isto ´e,Imf=Y, dizemos quef´esobrejetiva(ou sobrejetora).
Quando f´e injetiva e sobrejetiva dizemos quef´ebijetiva (ou bijetora, ou ainda quef´e uma bije¸c˜ao).
Exemplo 1.7 A fun¸c˜aof:N→N, dada porf(x) =x2´e injetiva.
De fato, sejamx1, x2∈Ntal que
f(x1) =f(x2)⇒x21=x22⇒
q
x2 1=
q
x2
2⇒|x1|=|x2|⇒x1=x2,
pois x1, x2> 0.
A fun¸c˜aofn˜ao ´e sobrejetiva, pois, por exemplo,2∈Ne n˜ao ´e quadrado de n´umero natural, ou seja,6 ∃x∈Ntal que f(x) =x2=2. Portanto, Imf6=N.
Naturalmente,f n˜ao ´e bijetiva.
Exemplo 1.8 A fun¸c˜aof:N∪{0}→N, dada porf(x) =x+1´e bijetiva. De fato, sejamx1, x2∈N∪{0}tal que
f(x1) =f(x2)⇒x1+1=x2+1⇒x1=x2.
Portanto,f´e injetiva.
Composi¸c˜ao de Fun¸c˜oes
Sejam f:A→Beg:C→Dfun¸c˜oes tais queB⊂C. Podemos definir uma nova fun¸c˜aog◦f:A→D tal que
g◦f(x) =g(f(x)),
chamada defun¸c˜ao composta degcomf.
x A
B C D
f x( ) g(f x( ))
gof
g f
Exemplo 1.9 Sejam as fun¸c˜oesf:N→N, dada porf(x) =x2eg:N
→Q, dada porg(x) = x x2+1.
Temos definida a composta degcomf pois o conjunto imagem defest´a contido no dom´ınio de g. Portanto,g◦f:N→Q´e dada por
g◦f(x) = x2 x2+1,
pois g◦f(x) =g(f(x)) =g x2= x2 x2+1.
Observemos que f◦gn˜ao est´a definida, pois o conjunto imagem degn˜ao est´a contido no dom´ınio de f.
Neste texto trabalharemos com fun¸c˜oes do tipof:X⊂R→R, que s˜ao chamadas defun¸c˜oes reais de uma vari´avel real. Observemos que o gr´afico de tais fun¸c˜oes pode ser representado no plano cartesiano:
Graff={(x, f(x)) :x∈X}⊂R×R=R2.
1.4
Algumas Fun¸c˜
oes Especiais
A menos que se diga o contr´ario, nas pr´oximas subse¸c˜oes trabalharemos sempre comdom´ınios maximaisemR, isto ´e, as fun¸c˜oesfque iremos definir ter˜ao sempre omaior dom´ınio poss´ıvel emRpara o qual a express˜ao anal´ıtica deffa¸ca sentido. Tamb´em trabalharemos com o contra-dom´ınio de fcomo sendoR. Assim, os coment´arios sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade def ser˜ao feitos tendo em mente essas considera¸c˜oes.
1.4.1
Fun¸c˜
oes Constantes
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =b,
sendob∈Rconstante.
O gr´afico de uma fun¸c˜ao constante no plano cartesiano ´e uma reta paralela (ou coincidente) ao eixo das abscissas (eixo x), passando pelo ponto de ordenadabdo eixo das ordenadas (eixoy).
x y
b
Observemos que fun¸c˜oes constantes n˜ao s˜ao injetivas e nem sobrejetivas (portanto, n˜ao s˜ao bijetivas).
1.4.2
Fun¸c˜
oes Lineares
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =ax,
sendoa∈Rconstante.
x y
1 q a
0
Observemos que fun¸c˜oes lineares s˜ao bijetivas quandoa6=0 (prove isso). Quandoa=0 temos a fun¸c˜ao linear nula, que ´e um caso particular de fun¸c˜ao constante.
Lembremos, tamb´em, que o coeficiente angular a do gr´afico def ´e tal que a= tg(θ), sendo θ a medida do ˆangulo orientado no sentido anti-hor´ario a partir do eixoxque o gr´afico def forma com esse eixo (veja figura acima).
1.4.3
Fun¸c˜
oes Afins
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =ax+b,
sendoa, b∈Rconstantes. (1)
O gr´afico de uma fun¸c˜ao afim no plano cartesiano ´e uma reta com coeficiente angular igual aa, passando pelo ponto de ordenada bdo eixo y(isto ´e,f(0)) e, quandoa6=0, passando pelo ponto de abscissa −b
a do eixox(isto ´e, a raiz
da equa¸c˜aof(x) =0).
x y
- /b a b
Observemos que fun¸c˜oes afins s˜ao bijetivas quandoa6=0 (prove isso). Quandoa=0, fun¸c˜oes afins s˜ao, na verdade, fun¸c˜oes constantes. Quandob=0, temos fun¸c˜oes lineares.
1.4.4
Fun¸c˜
oes Quadr´
aticas
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =ax2+bx+c,
sendoa, b, c∈Rconstantes ea6=0.
O gr´afico de uma fun¸c˜ao quadr´atica no plano cartesiano ´e uma par´abola com v´ertice no ponto V = −b 2a,−
∆ 4a
passando pelo ponto de ordenada cdo eixoy. Quandoa > 0 temos a concavidade da par´abola para cima e, quando a < 0, para baixo. Quando o gr´afico de uma fun¸c˜ao quadr´atica intersecta o eixox, essa intersec¸c˜ao ocorre em pontos de abscissas iguais `as ra´ızes reais def(x) =0.
-D/4a c
x1 x
y
x2 - /b 2a
V
-D/4a
c x1
x y
x2
- /b 2a V
0 c
x y
- /b 2a
V
0
c
x y
- /b 2a V
-D/4a
c
x y
- /b 2a
V -D/4a
c
x y
- /b 2a V a > 0
> 0 D
a > 0 0 D =
a > 0 < 0 D
a < 0 > 0 D
a < 0 0 D =
a < 0 < 0 D
Observemos que fun¸c˜oes quadr´aticas n˜ao s˜ao injetivas e nem sobrejetivas.
1
1.4.5
Fun¸c˜
oes Polinomiais
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0,
sendoan, an−1, . . . , a1, a0∈Rconstantes.
Fun¸c˜oes constantes, lineares, afins e quadr´aticas s˜ao casos particulares de fun¸c˜oes polinomiais.
Exemplo 1.10 Consideremos as seguintes fun¸c˜oes:
(i)f:R→R, comf(x) =x3(gr´afico em preto na figura abaixo).
(ii)g:R→R, comg(x) = 1 2x
3−x2−1
2x+1 (gr´afico em vermelho na figura abaixo);
(iii)h:R→R, comh(x) = 1 2x
4− 5 2x
2+2(gr´afico em azul na figura abaixo).
y y y
x -1 1 2 x -2 -1 x
0 1 2
1
2
1
1
f g h
Observemos que os gr´aficos das fun¸c˜oes intersectam o eixos das abscissas (eixos x) nos pontos cujas abscissas s˜ao as ra´ızes das equa¸c˜oes polinomiaisf(x) =0, g(x) =0eh(x) =0(verifique!).
J´a os pontos onde os gr´aficos das fun¸c˜oes intersectam os eixos das ordenadas (eixosy) s˜ao os pontos cujas ordenadas s˜aof(0),g(0)eh(0)(verifique!).
1.4.6
Fun¸c˜
oes Racionais
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:X⊂R→Rcom
f(x) = pq((xx)) ,
sendop(x)eq(x)polinˆonios de tal modo queq(x)6=0 para qualquerx∈X.
Fun¸c˜oes polinomiais s˜ao casos particulares de fun¸c˜oes racionais. Neste caso,q(x) =1para qualquerx∈R.
Exemplo 1.11 Consideremosf:R∗→Rcom
f(x) = x1n
nos casos em quen=1, 2,3 e4.
n=3 n=2
-1
-1 0 1
1 x
y
n=2
n=1
n=1
n= 4 n= 4
n=3 n=3 -1
-1 0 1
1 x
y
-1 0 1
1 x
y
n= 4
-1
-1 0
1 1
x y
n=1 -1 n=2
0 1 1
x y
No caso em quen=1 o gr´afico def(x) = 1x (em cor preta) ´e constituido pelos dois ramos de uma hip´erbole (provar isso ´e um bom exerc´ıcio!). J´a para n=2, a fun¸c˜aof(x) = x12 possui imagens positivas apenas (gr´afico na cor verde).
Nos casosn=3, f(x) = x13 possui gr´afico em azul en=4,f(x) = 1
x4 possui gr´afico em vermelho.
Observemos que os gr´aficos das fun¸c˜oes acima n˜ao intersectam os eixos das abscissas (eixosx). Isto significa que as equa¸c˜oesf(x) =0 n˜ao possuem ra´ızes (verifique!).
Observemos tamb´em que os gr´aficos das fun¸c˜oes acima n˜ao intersectam os eixos das ordenadas (eixos y). Isto ´e decorrˆencia do fato dex=0n˜ao pertencer ao dom´ınio das fun¸c˜oes.
Exemplo 1.12 Consideremosf:X1⊂R→Reg:X2⊂R→R, dadas por
f(x) = x23x+2x+3−8 e g(x) = x−5 x2+2x−15,
respectivamente.
Os gr´aficos defe degest˜ao ilustrados na figura abaixo (as retas pontilhadas verticais n˜ao fazem parte dos gr´aficos).
y
x x
y
-5 3
-4
2
f g
-1
- /3 8
1 3/
5
Notemos que o dom´ınio X1da fun¸c˜aof n˜ao pode conter as ra´ızes de q1(x) =x2+2x−8, que s˜ao −4 e2, ou seja,
X1=R−{−4, 2}. J´a o dom´ınioX2degn˜ao pode conter as ra´ızes deq2(x) =x2+2x−15, que s˜ao−5e3, ou seja,
X2=R−{−5, 3}.
1.4.7
Fun¸c˜
oes Potˆ
encias
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:X⊂R→Rcom
f(x) =xa,
sendoa∈R∗ constante.
Casos particulares de fun¸c˜oes potˆencia: Paraa=1temos quef´e uma fun¸c˜ao linear. Paraa=2temos quef´e uma fun¸c˜ao quadr´atica. Paraa∈Z+ temos quef´e uma fun¸c˜ao polinomial. Paraa∈Z− temos quef´e uma fun¸c˜ao racional.
Exemplo 1.13 Consideremosf:X⊂R→R comf(x) =xa nos casos em quea= −1 2, −
1 3, −
1 5,
1 5,
1 3 e
1
2. Os seis
gr´aficos dessas fun¸c˜oes est˜ao ilustrados na figura abaixo, sendo um de cada cor. Na ´ultima figura todos os gr´aficos est˜ao em um mesmo sistema de coordenadas, para que possamos entender melhor a dinˆamica de varia¸c˜ao dea para os valores considerados.
a= /1 2 a= /1 3
a= /1 5
a= - /1 5 a= - /1 3 a= - /1 2
a = - /1 5 a= - /1 3
a= /1 3
a= /1 5
-1
-1
0 1
1 x
y
a= /1 3 -1
-1 0 1
1 x
y
a= /1 2
0 1
1 x
y
a= - /1 5 -1
-1
0 1
1
x y
a= /1 5
-1 -1
0 1
1 x
y
a= - /1 2
0 1
1 x
y
a= - /1 3 -1
-1
0 1
1
x y
No caso em que a= 1
2 o gr´afico def(x) =
√
x(em cor magenta) ´e parte de uma par´abola, sendo queX= [0,+∞[. J´a para a= −1
2 o dom´ınio def(x) = 1 √
x ´e X= ]0,+∞[ =R+ (gr´afico em verde escuro). Nestes dois casos n˜ao podemos
estender o dom´ınio aos n´umeros reais negativos pois, caso contr´ario, ter´ıamos n´umeros complexos na imagem def. Nos casosa= 13 (gr´afico em azul) ea= 15 (gr´afico em preto) o dom´ınio def´eX=R.
J´a nos casos em que a= −1
3 (gr´afico em vermelho) ea= − 1
5 (gr´afico em verde claro), o dom´ınio def´eX=R∗.
O exemplo acima permite algumas observa¸c˜oes interessantes. De um modo geral, quandoa∈Qest´a escrito em forma de fra¸c˜ao simplificada (isto ´e, numerador e donominador primos entre si) e com denominador par, ent˜ao o dom´ınio de f´eX= [0,+∞[quandoa > 0, eX= ]0,+∞[quandoa < 0. Com denominador ´ımpar,X=Rquandoa > 0, eX=R∗ quandoa < 0.
1.4.8
Fun¸c˜
oes Exponenciais
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R→Rcom
f(x) =ax,
sendoa > 0ea6=1constante real.
Constantes anegativas n˜ao s˜ao consideradas em nossos estudos para que evitemos valores complexos na imagem de f, como por exemplo(−1)12 =√−1=i.
J´a a = 1 ou a = 0 (com x > 0) conduzem a fun¸c˜oes constantes que, por sua vez, n˜ao s˜ao consideradas fun¸c˜oes exponenciais.
Exemplo 1.14 Consideremosf :R→Rcom f(x) =ax, com a= 0, 2; a=0, 5; a= 0, 7; a= 1, 5; a =2 ea =e,
cujos gr´aficos s˜ao dados abaixo.
a= ,0 5
0 x
y
1
a= ,1 5
0 x
y
1 a 2
=
0 x
y
1 a e
=
0 x
y
1 a = ,0 7
0 x
y
1 a= ,0 2
0 x
y
1
Observemos que quando 0 < a < 1o gr´afico de f´e decrescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto de ordenada 1. Observemos tamb´em que, quanto mais a est´a pr´oximo de1, tanto mais o gr´afico def est´a pr´oximo do gr´afico da fun¸c˜ao constanteg(x) =1,∀x∈R(que corresponde ao gr´afico def(x) =1x).
De modo an´alogo, quandoa > 1o gr´afico def´e crescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixoy) tamb´em no ponto de ordenada1.
Um destaque especial para o ´ultimo gr´afico, que corresponde ao gr´afico da fun¸c˜ao exponencial de base e, ou seja, f(x) =ex. Esta fun¸c˜ao ser´a muito importante para estudos posteriores.
Por fim, observemos que se considerarmosf:R→R+ as fun¸c˜oes exponenciais s˜ao bijetivas (prove isso!).
1.4.9
Fun¸c˜
oes Logar´ıtmicas
S˜ao fun¸c˜oes do tipof:R+→Rcom
f(x) =loga(x),
sendoa > 0ea6=1constante real. Lembremos que
loga(x) =y⇔ay=x.
Desta forma, para que trabalhemos restritos ao conjunto dos n´umeros reais e tenhamos a fun¸c˜ao logar´ıtmica bem definida, precisamos, de fato, da restri¸c˜aoa > 0ea6=1.
Exemplo 1.15 Consideremosf : R+ →R comf(x) =loga(x), com a= 0, 2; a= 0, 5; a =0, 7; a = 1, 5; a= 2 e
a= ,0 5
0 y
a= ,1 5 a =2 a=e
1
0 y
0 y
0 x
y
a = ,0 2
0 x
y
1 a= ,0 7
0 y
1
1 1 1
Observemos que quando 0 < a < 1 o gr´afico def ´e decrescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixo x) no ponto de abscissa 1. Observemos tamb´em que, quanto maisa est´a pr´oximo de 1, tanto mais o gr´afico def est´a pr´oximo da reta vertical que passa pelo ponto de abscissa1do eixox.
De modo an´alogo, quandoa > 1o gr´afico def´e crescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixox) tamb´em no ponto de abscissa1.
Um destaque especial para o ´ultimo gr´afico, que corresponde ao gr´afico da fun¸c˜ao logar´ıtmica na base e, ou seja, f(x) =loge(x), que ´e chamada de fun¸c˜ao logar´ıtmica natural e denotada porf(x) =ln(x). Esta fun¸c˜ao tamb´em ser´a
muito importante para estudos posteriores.
Por fim, todas as fun¸c˜oes logar´ıtmicas s˜ao bijetivas (prove tamb´em isso!).
1.4.10
Fun¸c˜
oes Trigonom´
etricas
Fun¸c˜oes Peri´odicas
Seja uma fun¸c˜aof:X⊂R→Rtal que existe um n´umero real positivopque cumpre a condi¸c˜ao
f(x+p) =f(x) (∗)
para qualquerx∈X.
Naturalmente esta mesma condi¸c˜ao ´e cumprida para qualquer m´ultiplo positivo mp(m∈N)dep, pois
f(x+mp) =f(x+ (m−1)p+p) =f(x+ (m−1)p) =f(x+ (m−2)p+p) =f(x+ (m−2)p) =· · ·=f(x+2p) =f(x+p+p) =f(x+p) =f(x).
Uma fun¸c˜ao f que cumpre a propriedade descrita acima ´e chamada de fun¸c˜ao peri´odica e o menor n´umero real positivo pque satisfaz(∗)´e chamado deper´ıodo da fun¸c˜aof.
Fun¸c˜ao Seno
´
E a fun¸c˜aof:R→Rtal que
f(x) =sen(x).
A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica de per´ıodo p= 2π. Sua imagem ´e o intervalo I= [−1, 1]. Seu gr´afico esta esbo¸cado na figura abaixo.
x y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/ p
-p/2 -p -3 2p/ -2p -5 2p/
1
Fun¸c˜ao Cosseno
´
E a fun¸c˜aof:R→Rtal que
f(x) =cos(x).
A fun¸c˜ao cosseno ´e peri´odica de per´ıodop=2π. Sua imagem ´e o intervaloI= [−1, 1]. Seu gr´afico esta esbo¸cado na figura abaixo.
x y
0 p/2 3 2p/ 2p 5 2p/ p
-p/2 -p -3 2p/ -2p -5 2p/
1
-1
Fun¸c˜ao Tangente
´
E a fun¸c˜aof:X⊂R→Rtal que
f(x) =tg(x),
sendoX=R−π
2+kπ:k∈Z .
A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodop=π. Sua imagem ´eR. Seu gr´afico esta esbo¸cado na figura abaixo.
x y
0
p/2 3 2p/
2p
5 2p/ p
-p/2
-p -3 2p/ -2p
-5 2p/
Tarefa Importante. Considere as fun¸c˜oes
f(x) =a+bsen(cx+d)
g(x) =a+bcos(cx+d)
h(x) =a+btg(cx+d)
Utilizando o softwareGeoGebra, estude o comportamento dinˆamico dos gr´aficos das fun¸c˜oes acima fazendo com que os parˆametrosa,b,cedvariem. Fa¸ca um resumo de suas conclus˜oes.
As conclus˜oes as quais vocˆe chegou valem apenas para as fun¸c˜oes trigonom´etricas?
1.5
Fun¸c˜
oes Inversas
Sejaf:A⊂R→B⊂Ruma fun¸c˜ao bijetiva. Logo, podemos definir a fun¸c˜aog:B⊂R→A⊂Rtal que
f(a) =b⇐⇒g(b) =a.
x y
0 A a=g b( )
B
f a( )=b
A fun¸c˜ao g´e chamada de inversa da fun¸c˜ao f e indicada por g= f−1. Assim, se f´e invert´ıvel (ou seja, bijetiva) temos
f(x) =y⇐⇒f−1(y) =x.
Com isso,
f◦f−1(y) =f f−1(y)=f(x) =y=Id(y)
e
f−1◦f(x) =f−1(f(x)) =f−1(y) =x=Id(x)
sendo Id : R → R a fun¸c˜ao linear identidade, cujo gr´afico no plano cartesiano ´e a reta bissetriz dos quadrantes ´ımpares (portanto, coeficiente angular igual a1).
Propriedade geom´etrica das fun¸c˜oes invert´ıveis.
O gr´afico de uma fun¸c˜ao f invert´ıvel e o gr´afico de sua inversa f−1 s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao ao gr´afico da fun¸c˜ao
identidade.
x y
0 A
B
gráfico def
x y
0 x
y
0
B A
gráfico def-1
f f-1
Id
Exemplo 1.16 Sejamf:R+ →R+ comf(x) =x2 (que ´e bijetiva com esse dom´ınio e contra-dom´ınio) e sua inversa f−1:R
+→R+ comf−1(x) =√x. Temos
f◦f−1(x) =f f−1(x)=f √x= √x2=x e
f−1◦f(x) =f−1(f(x)) =f x2=√x2=|x|=x
gráfico def
x y
0 gráfico def-1
f
f-1 Id
1 1
x y
0 1
1
x y
0 1
1
Exemplo 1.17 Sejam f : R → R+ com f(x) = ax, sendo a > 0 e a 6= 1 (que ´e bijetiva com esse dom´ınio e contra-dom´ınio) e sua inversaf−1:R
+→Rcomf−1(x) =loga(x).
Temos
f◦f−1(x) =f f−1(x)=f(loga(x)) =aloga(x)=x
e
f−1◦f(x) =f−1(f(x)) =f(ax) =loga(ax) =x
gráfico def
x y
gráfico def-1
Id
1
1 0
f
f-1
x y
1 0 x
y
1
0
1.6
Fun¸c˜
oes Pares e Fun¸c˜
oes ´Impares
Seja f:I⊂R→Ruma fun¸c˜ao eI um intervalo sim´etrico em rela¸c˜ao `a origem, ou seja, um intervalo com extremos
−aea coma > 0ou, ent˜ao, I=R.
Dizemos que f´e umafun¸c˜ao par quandof(−x) =f(x)para qualquerx∈I. Dizemos que f´e umafun¸c˜ao ´ımpar quandof(−x) = −f(x)para qualquerx∈I.
Observa¸c˜ao: o dom´ınio da fun¸c˜aof n˜ao precisa ser, necessariamente, um intervalo. O dom´ınio pode ser outro, desde que: sexest´a no dom´ınio, ent˜ao−xtamb´em est´a no dom´ınio. Por exemplo,X=ZouX= [−5,−2]∪[2, 5]podem ser dom´ınios de fun¸c˜oes pares ou ´ımpares, de acordo com a defini¸c˜ao acima.
Propriedade geom´etrica das fun¸c˜oes pares.
O gr´afico de uma fun¸c˜ao par ´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo das ordenadas (eixo y).
y
x -x x
f x( ) = (f x- )
Propriedade geom´etrica das fun¸c˜oes ´ımpares.
O gr´afico de uma fun¸c˜ao ´ımpar ´e sim´etrico em rela¸c˜ao `a origem do sistemas de coordenadas.
y
x -x
x f x( )
f x(- ) =-f x( )
Exemplo 1.18 Sejamf:R→Rtal quef(x) =cos(x)eg:R→Rtal queg(x) =x2.
A fun¸c˜ao cosseno ´e par, poisf(−x) =cos(−x) =cos(x) =f(x)para qualquerx∈R. De modo an´alogo, g(−x) = (−x)2=x2=g(x)para qualquerx∈R.
x y
0 p/2 3 2p/ 2p 5 2p/ p
-p/2 -p -3 2p/ -2p -5 2p/
1
-1
1
-1 x
y
-2 1 2
4 f
Exemplo 1.19 Sejamf:R→Rtal quef(x) =sen(x)eg:R→Rtal queg(x) =x3. A fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar, pois f(−x) =sen(−x) = −sen(x) = −f(x)para qualquerx∈R. De modo an´alogo, g(−x) = (−x)3= −x3= −g(x)para qualquerx∈R.
x y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/ p
-p/2 -p -3 2p/ -2p -5 2p/
1
-1
y
x 0
1 1
g
Se¸c˜
ao de Exerc´ıcios Propostos:
Fun¸
c˜
oes
Exerc´ıcio 1.1 Mostre que:
(i)Sea´e um n´umero inteiro par, ent˜aoa2´e par;
(ii)Sea´e um n´umero inteiro ´ımpar, ent˜ao a2´e ´ımpar.
(iii)√3´e um n´umero irracional. Exerc´ıcio 1.2 Verdadeiro ou falso?
(i)A soma de dois n´umeros irracionais ´e um n´umero irracional.
(ii)A soma de um n´umero racional com um n´umero irracional ´e um n´umero irracional.
(iii)O produto de um n´umero racional n˜ao nulo com um n´umero irracional ´e um n´umero irracional.
(iv)O produto de dois n´umeros irracionais n˜ao nulos ´e um n´umero irracional. Exerc´ıcio 1.3 Resolva:
(i) 3x+3 < x+6
(ii) x−3 > 3x+1
(iii) x−1 x−2> 0
(iv) (2x+1) (x−2)< 0
(v) (2x−1) x2+1≥0 (vi) 2xx−3 ≤3
Exerc´ıcio 1.4 Divida xn−an porx−a, sendoa∈R, nos casos em quen=2,3 e4 e conclua que: (i)Quandon=2temos
x2−a2= (x−a) (x+a).
(ii)Quandon=3temos
x3−a3= (x−a) x2+ax+a2.
(iii)Quando n=4 temos
x4−a4= (x−a) x3+ax2+a2x+a3.
Observa¸c˜ao: N˜ao ´e dif´ıcil generalizar este exerc´ıcio paran≥2 natural qualquer:
xn−an = (x−a) xn−1+axn−2+a2xn−3+· · ·+an−3x2+an−2x+an−1
sendo que os termosajxk que aparecem no segundo membro s˜ao tais quej, k≥0 ej+k=n−1.
Exerc´ıcio 1.5 Simplifique:
(i) x2−1 x−1
(ii) xx32−−84
(iii) 4x2−9 2x+3
(iv) (x+hh)2−x2
(v) 1 x2 −1
x−1
(vi) 1 x2−
1 9
x−3
(vii) 1 x−
1 5
x−5
(viii) 1 x−
1 p
x−p
(ix) 1 x2− p12
x−p
(x) 1 x−1
x−1
(xi) 1 x+h−
1 x
h
(xii) (x+hh)3−x3
(xiii) (x+h)2−(h x−h)2
(xiv) xx4−−pp4
Exerc´ıcio 1.6 Resolva:
(i)x2−4 > 0 (ii)x2> 1 (iii) x2−9
x+1 < 0 (iv) x2−4 x2+4 > 0
Exerc´ıcio 1.7 Utilizando o fato de que se x1 e x2 s˜ao ra´ızes do polinˆomio de segundo graup(x) = ax2+bx+c,
sendoa6=0, ent˜ao p(x) =a(x−x1) (x−x2), fatore:
(i)x2−3x+2 (ii)x2−x−2 (iii)x2−2x+1 (iv)x2−6x+9
Exerc´ıcio 1.8 Resolva as inequa¸c˜oes:
(i)x2−3x+2 < 0 (ii)x2−5x+6≥0 (iii)x2−x−2≥0 (iv)3x2+x−2 > 0
Exerc´ıcio 1.9 A afirma¸c˜ao: “Para todox∈R,x6=2, x2x+−x2+1> 3⇐⇒x2+x+1 > 3(x−2)” ´e verdadeira ou falsa?
Exerc´ıcio 1.10 Resolva:
(i)|x|≤1 (ii)|2x−1|< 3 (iii)|3x−1|<−2 (iv)|3x−1|< 1 3
Exerc´ıcio 1.11 Expresse cada um dos conjuntos abaixo em nota¸c˜ao de intervalo.
(i){x∈R:4x−3 < 6x+2} (ii){x∈R:|x|< 1} (iii){x∈R:|2x−3|≤1} (iv)x∈R:3x−1 <x3 Exerc´ıcio 1.12 Mostre que a m´edia geom´etrica entre dois n´umeros positivos ´e menor ou igual `a m´edia aritm´etica dos mesmos, ou seja, mostre que se xeys˜ao n´umeros positivos, ent˜ao√xy≤x+2y.
Exerc´ıcio 1.13 Calcule:
(i) f(−1) ef 21, sendof(x) = −x2+2x (ii) f(a+b)−abf(a−b), sendof(x) =x2eab6=0
(iii) g(0) eg√2, sendog(x) = x x2+1
(iv) f(a+b)−abf(a−b), sendof(x) =3x+1 eab6=0 Exerc´ıcio 1.14 Abaixo temos fun¸c˜oes f: X⊂R −→R. Dˆe o maior conjunto dom´ınioX poss´ıvel em cada um dos casos. Diga tamb´em se f ´e uma fun¸c˜ao injetiva, sobrejetiva ou bijetiva (justifique) e utilizando um software para visualiza¸c˜ao de gr´afica de fun¸c˜oes (por exemplo,GeoGebra), visualize seu gr´afico.
(i) f(x) =3x
(ii) f(x) = −x+1
(iii) f(x) =
x, sex≤2 3, sex > 2
(iv) f(x) = x2−1 x−1
(v) f(x) = |xx−−11| (vi) f(x) = x−11
(vii) f(x) =|x−1|+|x−2|
(viii) f(x) =√x+2
(ix) f(x) =1+ 1 x2
(x) f(x) =p|x|
(xi) f(x) =√x2 (xii) f(x) = √3
x2
(xiii) f(x) = (x+1)2−2
(xiv) f(x) =x|x| Exerc´ıcio 1.15 Abaixo temos fun¸c˜oesf:R−→R. Determine o maior ou o menor valor de f:
(i)f(x) =x2−3x+2 (ii)f(x) = −x2−4x−5 (iii)f(x) =x2+6x+9 (iv)f(x) =x2+x+1
Exerc´ıcio 1.16 Sejam as fun¸c˜oes f : X → R eg: Y ⊂ R. Determine o “maior” conjunto dom´ınio X de modo que Imf⊂Y. Em seguida dˆe a fun¸c˜ao compostag◦f nos seguintes casos:
(i)f(x) =x+3 eg(x) = x+22 (ii)f(x) =x2 eg(x) =√x−1
Exerc´ıcio 1.17 Encontre o maior dom´ınio poss´ıvel no conjunto dos n´umeros reais e o conjunto imagem das fun¸c˜oes dadas pelas seguintes express˜oes:
(i) f(x) =1+x2
(ii) f(x) =1−√x
(iii) f(x) =√5x+10
(iv) f(x) =√x2−3x
(v) f(x) = 4 3−x
(vi) f(x) = 2 x2−16
Exerc´ıcio 1.18 Encontre o maior dom´ınio poss´ıvel nos reais e trace o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes:
(i) f(x) =5−2x
(ii) f(x) =1−2x−x2
(iii) f(x) =p|x|
(iv) f(x) =√−x
(v) f(x) = |xx|
(vi) f(x) = |1x|
Exerc´ıcio 1.19 Trace o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes:
(i) f(x) =
x, se0≤x≤1 2−x, se1 < x≤2
(ii) f(x) =
1−x, se0≤x≤1 2−x, se1 < x≤2
(iii) f(x) =
4−x2, sex≤1
x2+2x, sex > 1
(iv) f(x) =
1
x, sex < 0
x, sex≥0
Exerc´ıcio 1.20 Identifique as fun¸c˜oes pares e as fun¸c˜oes ´ımpares. Justifique.
(i) f(x) =3
(ii) f(x) =x−5
(iii) f(x) =x2+1 (iv) f(x) =x2+x
(v) f(x) =x3+x (vi) f(x) =x4+3x2−1
(vii) f(x) = 1 x2−1
Exerc´ıcio 1.21 Encontre o maior dom´ınio poss´ıvel no conjunto dos n´umeros reais e o conjunto imagem das fun¸c˜oes f+g,f.g,f/g eg/f sendo:
(i) f(x) =xeg(x) =√x−1
(ii) f(x) =√x+1eg(x) =√x−1
(iii) f(x) =2eg(x) =x2+1 (iv) f(x) =1 eg(x) =1+√x Exerc´ıcio 1.22 Sendo:
(i) f(x) =x+5 eg(x) =x2−3, encontre:
f(g(0)) eg(f(0)) ; f(g(x)) eg(f(x)) ;
f(f(−5)) eg(g(2)) ; f(f(x)) eg(g(x)).
(ii) f(x) =x−1eg(x) = x+11, encontre:
f g 12 eg f 12; f(g(x)) eg(f(x)) ;
f(f(2)) eg(g(2)) ; f(f(x)) eg(g(x)).
Exerc´ıcio 1.23 Encontre a express˜ao def◦g◦hsendo:
(i) f(x) =x+1,g(x) =3xeh(x) =4−x
(ii) f(x) =3x+4,g(x) =2x−1eh(x) =x2
(iii) f(x) =√x+1,g(x) = 1
x+4 eh(x) = 1 x
(iv) f(x) = x3−+x2,g(x) = x2x+21 eh(x) =
√ 2−x
Exerc´ıcio 1.24 Sejam f(x) =x−3, g(x) =√x,h(x) =x3ej(x) =2x. Expresse cada uma das fun¸c˜oesy=y(x)
abaixo como composta de uma ou mais fun¸c˜oes def,g,hej.
(i) y=√x−3
(ii) y=2√x
(iii) y= √4x
(iv) y=4x
(v) y=
q
(x−3)3
(vi) y= (2x−6)3
(vii) y=2x−3
(viii) y=√x3 (ix)y=x9
(x) y=x−6
(xi) y=2√x−3
(xii) y=√x3−3
Exerc´ıcio 1.25 Complete a tabela (caso n˜ao exista, preencha com ∄): θ −7π
6 −π −
5π 6 − 3π 4 − 2π 3 − π 2 − π 3 − π 4 − π 6 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π
sen(θ)
cos(θ)
tg(θ)
cotg(θ)
sec(θ)
cossec(θ)
Exerc´ıcio 1.26 (i)Sabendo que sen(x) = 3
5 comx∈
π
2, π
, encontre cos(x)e tg(x).
(ii)Sabendo que tg(x) =2comx∈π,3π2 , encontre sen(x)e cos(x).
(iii)Sabendo que cos(x) = 1
3 comx∈
−π 2, 0
, encontre sen(x)e tg(x).
(iv)Sabendo que cos(x) = −5
13 comx∈
π
2, π
, encontre sen(x)e tg(x).
(v)Sabendo que tg(x) = 12 comx∈0,π2, encontre sen(x)e cos(x).
(vi)Sabendo que sen(x) = −12 comx∈π,3π2, encontre cos(x)e tg(x). Exerc´ıcio 1.27 Trace o gr´afico e encontre o per´ıodo das seguintes fun¸c˜oes:
(i) f(x) =sen(2x) (ii) f(x) =sen x
2
(iii) f(x) =cos(πx) (iv) f(x) =cos πx
2
(v) f(x) = −sen πx 3
(vi) f(x) = −cos(2πx)
Exerc´ıcio 1.28 Simplifique:
(i) cos x−π2 (ii) cos x+π2
(iii) sen x+π2 (iv) sen x−π2
(v) sen 3π 2 −x
(vi) cos 3π 2 +x
Exerc´ıcio 1.29 Utilizando as f´ormulas trigonom´etricas, calcule:
(i) sen 7π 12
; (dica: use sen π 4+
π 3
)
(ii) cos 11π 12
; (dica: use cos π 4 +
2π 3
)
(iii) cos π 12
(iv) sen 5π12
(v) cos2 π 8
(vi) sen2 3π 8
Exerc´ıcio 1.30 Em um mesmo sistema de coordenadas esboce os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes. Dˆe tamb´em o dom´ınio e conjunto imagem de cada uma.
Exerc´ıcio 1.31 Trace os gr´aficos e, a partir deles, diga se as fun¸c˜oes abaixo s˜ao injetivas:
(i) f(x) =
3−x, sex < 0 3, sex≥0
(ii) f(x) =
2x+6, sex≤−3 x+4, sex >−3
(iii) f(x) =
1−x
2, sex≤0 x
x+2, sex > 0
(iv) f(x) =
2−x2, sex≤1
x2, sex > 1
Exerc´ıcio 1.32 Encontre a fun¸c˜ao inversaf−1, juntamente com seu dom´ınio e conjunto imagem das fun¸c˜oesfabaixo.
Verifique se vocˆe acertou por meio da composta f f−1(x)=f−1(f(x)) =x.
(i) f(x) =x5 (ii) f(x) = √5
2x3+1
(iii) f(x) =x3+1
(iv) f(x) = 12x− 72
(v) f(x) = x12 sendox > 0 (vi) f(x) = 1
x3, sendox6=0
(vii) f(x) =x2−2x sendox≤1 (iv) f(x) =x4, sendox≥0
Exerc´ıcio 1.33 Simplifique:
(i) ln(sen(θ)) −lnsen5(θ)
(ii) ln 3x2−9x+ln 1 3x
(iii) 12ln 4x2−ln(2) (iv) ln(8x+4) −2ln(2)
(v) ln(sec(θ)) +ln(cos(θ))
(vi) 3ln√3
x2−1−ln(t+1)
(vii) eln(πx)−ln(2)
(iv) ln e2ln(x) Exerc´ıcio 1.34 Isoleynas seguintes express˜oes:
(i) ln(y) =2x+4
(ii) ln(1−2y) =x
(iii) ln y2−1−ln(y+1) =ln(sen(x)) (iv) ln(y−1) −ln(2) =x+ln(x)
(v) e2y=4 (vi) 100e10y=200
(vii) e−0,3y=27 (iv) e(ln(0,2))y=0, 4
Exerc´ıcio 1.35 Encontre as fun¸c˜oes (isso inclui os dom´ınios) que modelam os seguintes problemas:
(i)Colocar a ´area e o per´ımetro de um triˆangulo equil´atero em fun¸c˜ao do comprimento de um de seus lados.
(ii)Colocar lado e a ´area de um quadrado em fun¸c˜ao do comprimento de uma de suas diagonais.
(iii)Colocar o comprimento de uma das arestas, a ´area da superf´ıcie e o volume de um cubo em fun¸c˜ao do comprimento de uma de suas diagonais.
(iv) Um ponto P est´a no gr´afico de f(x) = √x, x > 0. Coloque cada uma das coordenadas de P em fun¸c˜ao do coeficiente angular da reta que liga P `a origem do sistema de coordenadas.
(v)Um ponto Pest´a na reta de equa¸c˜ao 2x+4y=5. Coloque a distˆancia dePat´e a origem do sistema de coordenadas em fun¸c˜ao de x.
(vi)Um ponto P est´a no gr´afico de f(x) =√x−3. Coloque a distˆancia de P a Q(4, 0)em fun¸c˜ao de x.
Exerc´ıcio 1.36 Um objeto move-se em movimento retil´ıneo do ponto (0, 0) ao ponto (x, 10), 0 ≤ x ≤ 30, com velocidade constante de 1 m/s. Em seguida, move-se em movimento retil´ıneo do ponto(x, 10)ao ponto (30, 10)com velocidade constante de 2 m/s. Expresse o tempo total, gasto no percurso, T(x)em fun¸c˜ao de x. Suponha que a unidade adotada no sistema de coordenadas seja o metro.
Exerc´ıcio 1.37 A energia cin´eticaK de uma massa em movimento ´e diretamente proporcional ao quadrado de sua velocidade v. Sabendo-se que parav =18 m/s temos K=12960 J(joules), existe algum valor para a velocidade de tal modo que a energia cin´etica seja40vezes esse valor?
Exerc´ıcio 1.38 Suponha que vocˆe tem um fio de arame de comprimento30 me queira construir um retˆangulo com esse fio. Escreva a ´area desse retˆangulo em fun¸c˜ao de um de seus lados.
Exerc´ıcio 1.39 Suponha um jardim retangular de20 m2sendo o fundo delimitado por um muro, as laterais por uma
cerca que tem custo de R$ 5, 00 o m e a frente por uma cerca que tem custo deR$ 10, 00o m. Escreva o custo da cerca em fun¸c˜ao do comprimento da frente do jardim.
Exerc´ıcio 1.40 Deseja-se levar eletricidade de um pontoAa um pontoCambos situados em margens opostas de um rio com100 mde largura. Sabe-se que o pontoCest´a a1 kmrio abaixo em rela¸c˜ao ao pontoAe que a rede el´etrica deve passar por um ponto B (no trecho do rio entreAe C) situado na margem do mesmo lado que C. O custo do fio que ser´a utilizado sob a ´agua custaR$ 5, 00 o me o custo do fio que ser´a utilizado em terra custaR$3, 00 o m. Escreva o custo total do fio em fun¸c˜ao da distˆancia entreBeC.
(Obs.: suponha que o rio seja retil´ıneo entre AeC)
Exerc´ıcio 1.41 Deseja-se confeccionar um cartaz retangular com2 m2de ´area. As margens superior e inferior devem
Exerc´ıcio 1.42 Deseja-se construir uma caixa sem tampa em formato de um paralelep´ıpedo a partir de uma cartolina retangular 20 cm×30 cm. Para tanto, recorta-se quatro quadrados de ladox cmde cada canto da cartolina e com o restante confecciona-se a caixa. Expresse o volume da caixa em fun¸c˜ao dex.
Exerc´ıcio 1.43 Uma viagem organizada por um agˆencia de turismo custar´a R$ 1.500, 00 para cada estudante, se viajarem no m´aximo150estudantes. Se viajarem entre150e225estudantes, o custo por estudante ser´a reduzido em R$5, 00para cada um que exceda os150iniciais. Escreva o custo total da viagem em fun¸c˜ao do n´umero de estudantes. O que ocorreria com o custo da viagem se acaso o n´umero de estudantes fosse maior que225?
Exerc´ıcio 1.44 Considere um triˆangulo retˆangulo is´oscelesABC tal queA= (−2, 0), B= (2, 0) eCcom ordenada positiva sobre o eixo y. Um retˆanguloPQRS est´a inscrito no triˆangulo ABCde tal modo que sua baseRS est´a sobre a hipotenusa ABdo triˆangulo,P∈BCeQ∈AC. SendoP= (x, y), expresse a ´area do retˆangulo em fun¸c˜ao dex.
Exerc´ıcio 1.45 Um terreno no formato de um triˆangulo retˆangulo is´osceles ser´a cercado. A cerca usada para cercar os lados adjacentes ao ˆangulo reto custam R$ 20, 00o metro. J´a a cerca usada para cercar o terceiro lado custaR$ 50, 00o metro. Expresse o custo total da cerca em fun¸c˜ao do comprimento deste terceiro lado do terreno.
Exerc´ıcio 1.46 Uma livraria consegue vender300 livros de um determinado autor a R$ 40, 00cada. Para cadaR$ 1, 00 a mais no pre¸co unit´ario h´a uma queda de5 unidades na quantidade de livros vendida. Expresse o valor total vendido em fun¸c˜ao do n´umero de reais a mais no pre¸co original de cada livro.
Exerc´ıcio 1.47 Um bal˜ao decola de um campo plano e mantem-se em trajet´oria ascendente vertical com velocidade de 2 m/s. A500 metros do ponto de decolagem h´a um teodolito (instrumento que mede ˆangulos) medindo o ˆangulo de subida do bal˜ao (o v´ertice deste ˆangulo de subida est´a no pr´oprio teodolito). Expresse o ˆangulo de subida do bal˜ao em fun¸c˜ao do tempo.
Cap´ıtulo 2
Limites de Fun¸c˜
oes
Neste cap´ıtulo come¸camos, verdadeiramente, a estudar C´alculo Diferencial e Integral, introduzindo um dos conceitos mais importantes de toda a Matem´atica: o conceito de limite. Estas notas n˜ao tem preten¸c˜ao de se aprofundar nos mais diversos detalhes que um estudo sobre limites de fun¸c˜oes. Este objetivo, ali´as, ´e atingido em disciplinas deAn´alise Real, geralmente vistas em cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matem´atica. Sendo assim, o leitor interessado nas demonstra¸c˜oes das proposi¸c˜oes e teoremas, bem como justificativas para algumas de nossas observa¸c˜oes, deve procurar material de An´alise, ou ent˜ao, um bom livro de C´alculo.
2.1
O Conceito de Limite
O conceito de limite est´a intrinsicamente ligado `a ideia de aproxima¸c˜ao. Mais especificamente, no caso das fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real,f:X→Y, estamos prioritariamente interessados em responder `a seguinte pergunta:
Se x∈X se aproxima de um n´umero afixo, ent˜ao f(x)∈Y se aproxima de algum n´umero L?
No caso afirmativo, como calcular L?
A pergunta n˜ao ´e t˜ao simples o quanto aparenta. De fato, uma resposta precipitada (e errada) seria: “sexse aproxima dea, ent˜aof(x)se aproxima def(a)”. Essa resposta tem dois problemas principais: primeiro,an˜ao precisa estar em X e, portanto,f(a)pode nem existir... e, segundo, mesmo quef(a)exista,f(x)pode n˜ao se aproximar desse valor. Ali´as, n˜ao temos garantia sequer de quef(x)se aproxime de algum n´umero!
´
E claro que precisamos especificar melhor o que significa um n´umero se “aproximar” de outro no contexto citado acima. Antes, por´em, vamos a um exemplo simples de motiva¸c˜ao.
Consideremos a fun¸c˜aof:R∗→Rdada porf(x) = x2+3x
x . Neste caso, n˜ao existef(0).
Quandoxse aproxima de0, ent˜aof(x)se aproxima do “n´umero” 02+3.0
0 =
0
0. E aqui come¸cam os problemas. O que ´e
exatamente 0
0? Certamente, isso n˜ao ´e um n´umero real! Veremos mais adiante que trata-se de uma “indetermina¸c˜ao”.
Mas, neste caso, ´e poss´ıvel “eliminar a indetermina¸c˜ao” por meio de uma simples fatora¸c˜ao:
f(x) = x2+3x
x =
x(x+3)
x x=
6
=0x+3.
Logo, intuitivamente, para xpr´oximo de0, mas diferente de0,f(x)est´apr´oximo de0+3=3.
y
x 0
3 f x( )
gráfico def
-3 x
Quando xtende a 0(e escrevemos x→0),f(x)tende a3 (e escrevemosf(x)→3), ou seja, olimite def(x)quando xtende a0´e 3e escrevemos
lim
x→0 x2+3x
Para escrever esta ideia de modo mais rigoroso, recordemos que a no¸c˜ao de distˆancia entrea, b∈R´e dada pelo m´odulo da diferen¸ca entre estes n´umeros, ou seja,|a−b|. Assim, dizer quexest´apr´oximode0significa que|x−0|´e um valor pequeno. Analogamente, dizer que f(x)est´apr´oximode3 significa que|f(x) −3|´e, tamb´em, um valorpequeno.
Sejam f:X⊂R→Rfun¸c˜ao real de uma vari´avel real ea∈R tal que]a−r, a+r[∩X6=∅para qualquerr > 0. (1)
Dizemos que f(x)tem limiteL∈Rquandox tendeaa, e escrevemos
lim
x→af(x) =L ,
sempre que: para∀ε > 0,∃δ > 0tal que (2)
0 <|x−a|< δ⇒|f(x) −L|< ε.
Desta forma, dizer que lim
x→af(x) = L significa que podemos fazer f(x) arbitrariamente pr´oximo de L, tomando x
suficientemente pr´oximo dea, por´em, diferente dea.
x
0 a
L
x y
a+d a-d
L-e L+e f x( )
gráfico def
O exemplo abaixo ´e bastante simples e ser´a o ´unico, em nossas notas, onde calcularemos limites de fun¸c˜oes utilizando a defini¸c˜ao.
Exemplo 2.1 Sejam f, g : R →R tal que f(x) = k, sendo k constante real e g(x) =x. Seja a ∈ R. Mostremos, utilizando a defini¸c˜ao acima, que
lim
x→af(x) =k e xlim→ag(x) =a.
De fato, no primeiro caso: dadoε > 0, tomando-se qualquerδ > 0, temos
0 <|x−a|< δ⇒0 < ε⇒|k−k|< ε⇒|f(x) −k|< ε.
No segundo caso: |g(x) −a|< ε⇐⇒ |x−a|< ε⇐⇒
x6=a 0 <|x−a|< εou seja, dado ε > 0, tomando-seδ= ε, temos
por essa cadeia de equivalˆencias que
0 <|x−a|< δ⇒|g(x) −a|< ε.
Antes de introduzirmos nossos primeiros exemplos com c´alculos de limites de fun¸c˜oes, precisamos dos seguintes resul-tados matem´aticos:
Proposi¸c˜ao 2.1 (Unicidade do limite) Sejam f: X ⊂R →R e a∈ R tais que exista lim
x→af(x). Ent˜ao, este limite ´e
´ unico.
Proposi¸c˜ao 2.2 (Propriedade operat´orias dos limites) Sejamfegfun¸c˜oes tais que lim
x→af(x) =Lexlim→ag(x) =M.
(1) lim
x→a(f(x)±g(x)) =xlim→af(x)±xlim→ag(x) =L±M. (limite da soma ´e soma dos limites)
(2) lim
x→af(x)g(x) =xlim→af(x)xlim→ag(x) =LM. (limite do produto ´e produto dos limites) (
3)
(3) Se M 6= 0, ent˜ao lim
x→a f(x)
g(x) = lim
x→af(x)
lim
x→ag(x)
= ML. (limite do quociente ´e quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero)
1
Esta condi¸c˜ao garante que existem pontosxdo dom´ınio defarbitrariamente pr´oximos dea. 2
0 <|x−a|significax6=a.
3Aqui temos um caso particular interessante: sef(x) =k,k∈R, temos
lim
x→akg(x) =kxlim→ag(x) =kM, pois lim
Com o aux´ılio das propriedades operat´orias dos limites e o conhecimento de alguns limites de fun¸c˜oes simples, como os do Exemplo 2.1 acima, ´e poss´ıvel calcular limites de fun¸c˜oes mais elaboradas. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 2.2 (i)Consideremosf:R−{1}→Rtal quef(x) = 2x3x−−2x1 2. Observemos que lim
x→1
2x3−2x2
x−1 apresenta “indetermina¸c˜ao” 0
0 que pode ser contornada do seguinte modo:
lim
x→1
2x3−2x2 x−1 =xlim→1
2x2(x−1)
x−1 =xlim→12x
2= lim
x→12xlim→1xxlim→1x=2.1.1=2.
1 x
y
2
gráfico def
(ii)Consideremosf:R−{a}→Rtal quef(x) = x2x−−aa2. A “indetermina¸c˜ao” de lim
x→a x2−a2
x−a ´e, tamb´em, 0
0 e pode ser eliminada por meio de fatora¸c˜ao:
lim
x→a x2−a2
x−a =xlim→a
(x−a)(x+a)
x−a =xlim→a(x+a) =xlim→ax+xlim→aa=a+a=2a.
(iii)Consideremosf:R−{2}→Rtal quef(x) = x3−8 x−2.
Aqui a “indetermina¸c˜ao” de lim
x→2 x3−8
x−2 ´e 0
0 e, como nos itens acima, por meio de fatora¸c˜ao:
lim
x→2 x3−8
x−2 =xlim→2
(x−2)(x2+2x+4)
x−2 =xlim→2 x
2+2x+4= lim
x→2xxlim→2x+xlim→22xlim→2x+xlim→24=2.2+2.2+4=12.
Observa¸c˜ao: neste item, recordemos quex3−a3= (x−a) x2+ax+a2.
Exemplo 2.3 Nem sempre um limite apresenta uma “indetermina¸c˜ao” que precisa ser trabalhada. Consideremos, por exemplo,f:R→Rtal quef(x) =x2+1.
Temos
lim
x→2 x
2+1= lim
x→2xxlim→2x+xlim→21=2.2+1=5
e, neste caso, quando xse aproxima de2, ent˜ao f(x)se aproxima de22+1=5, que ´e exatamentef(2).
Daqui em diante, n˜ao iremos mais explicitar as propriedades operat´orias com tantos detalhes nos c´alculos dos limites, conforme fizemos acima. Por exemplo, no ´ultimo limite, utilizamos que limite da soma ´e soma dos limites e que limite do produto ´e produto de limites, o que permite detalhar lim
x→2 x
2+1= lim
x→2xxlim→2x+xlim→21=2.2+1=5. Entretanto,
vamos simplificar e escrever apenas lim
x→2 x
2+1=5, ocultando as propriedades operat´orias.
Exemplo 2.4 Sendoa6=0, calculemos o dom´ınio maximalXdefe lim
x→af(x)para: (i)f(x) =
1 x−
1 a
x−a (ii)f(x) =
1 x2−
1 a2
x−a
Com rela¸c˜ao ao item(i)temosX=R−{0, a}(por causa dos denominadores) e
lim
x→a 1 x−
1 a
x−a =xlim→a a−x
ax
x−a =xlim→a − 1 ax
= −a12.
Com rela¸c˜ao ao item(ii)temosX=R−{0, a}(novamente, por causa dos denominadores) e
lim
x→a 1 x2 −
1 a2
x−a =xlim→a a2−x2
a2x2
x−a =xlim→a
(a−x)(a+x)
a2x2
x−a =xlim→a − a+x a2x2
= −2a
a4 = −a23.
Exemplo 2.5 Calculemos o dom´ınio maximalXdef(x) = x3−5x2+8x−4 x4−5x−6 e lim
x→2f(x).
As ra´ızes do denominador x4−5x−6s˜ao: 2,−1,−1 2+
√ 11 2 i,−
1 2−
√ 11
2 i (duas reais e duas complexas). Verifique.
Logo,X=R−{2,−1}. Al´em disso,x4−5x−6= (x−2) (x+1) x2+x+3.
Fatorando o numerador x3−5x2+8x−4temosx3−5x2+8x−4= (x−1) (x−2)2
. Verifique. Temos
lim
x→2
x3−5x2+8x−4 x4−5x−6 = lim
x→2
(x−1)(x−2)2
(x−2)(x+1)(x2+x+3) = lim x→2
(x−1)(x−2)
(x+1)(x2+x+3) = lim x→2
(x−1)(x−2) (x+1)(x2+x+3) =
0 27 =0.
Exemplo 2.6 Calculemos lim
h→0
(a+h)3−a3
h , sendoa∈R.
Temos
lim
h→0
(a+h)3−a3 h =hlim→0
((a+h)−a)((a+h)2+(
a+h)a+a2) h =hlim→0
(a+h)2+ (a+h)a+a2=a2+a2+a2=3a2.
2.2
Limites laterais
Recordemos a defini¸c˜ao de limite lim
x→af(x).
Se impusermos a restri¸c˜aox > a, estamos fazendoxtender aapela direitae denotamos este limite com esta restri¸c˜ao por
lim
x→a+f(x).
Se a restri¸c˜ao forx < a, estamos fazendoxtender aapela esquerda e escrevemos
lim
x→a−f(x).
Os limites acima recebem o nome delimites laterais `a direita e `a esquerda def, respectivamente, ema. Estes limites podem existir ou n˜ao. Caso um deles n˜ao exista ou caso difiram, ent˜ao lim
x→af(x)n˜ao existe. Naturalmente,
lim
x→af(x)existe⇐⇒x→lima+f(x) =x→lima−f(x) =xlim→af(x).
Observa¸c˜ao: alguns autores chamam de limites superior e inferior os limites laterais `a direita e `a esquerda, respectivamente.
Exemplo 2.7 Os limites laterais def(x) = |xx| no ponto0s˜ao: lim
x→0+f(x) =xlim→0+ |x|
x =xlim→0+
x
x =xlim→0+1=1. lim
x→0−f(x) =xlim→0− |x|
x =xlim→0− −x
x =xlim→0−−1= −1.
Como lim
x→0+f(x)6=xlim→0−f(x), temos que n˜ao existe limx→0f(x).
+
x y
gráfico def
-1 1
0
-Observa¸c˜ao:
|x|=x, sex≥0 |x|= −x, sex < 0 .
Exemplo 2.8 Os limites laterais def(x) =|x|no ponto0 s˜ao: lim
x→0+f(x) =xlim→0+|x|=xlim→0+x=0. lim
x→0−f(x) =xlim→0−|x|=xlim→0−−x=0. Como lim
