Cálculo III - Poli - 2020

Cálculo III - Poli - 2020

Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br https://www.ime.usp.br/∼glaucio

Departamento de Matemática IME - USP

19 de fevereiro de 2020

Integrais Duplas

Definição (Retângulos)

Umretânguloouitervalo bidimensionalé um produtoI₁×I₂, ondeI₁,I₂⊂Rsão intervalos.

Definição (Partições e Pontilhamentos) SejaR= [a,b]×[c,d]um retângulo compacto.

• UmapartiçãodeR é um produtoP=P₁×P₂onde P₁={a=x₀<· · ·<xm=b}é uma partição de[a,b]e P₂={c=y₀<· · ·<yn=d}é uma partição de[c,d].

• Umpontilhamentoda partiçãoP=P₁×P₂é um produto ξ =ξ₁×ξ₂ondeξ₁é pontilhamento deP₁eξ₂é um pontilhamento deP₂.

Partições e Pontilhamentos (cont.)

Definição (Partições e Pontilhamentos)

• Osretângulosousubintervalosda partiçãoPsão os produtosP_ij := [xi−1,x_i]×[yj−1,y_j], para 1≤i≤me 1≤j ≤n.

• Anormada partiçãoP é|P|:= max{|P₁|,|P₂|}.

Definição (Integrabilidade no sentido de Riemann) SejamR = [a,b]×[c,d]ef :R →R.

• DadosP ={(x_i,y_j)|0≤i≤m,0≤j≤n}partição deRe {ξ_i,j = (ξ_i, ξ_j)|1≤i≤m,1≤j≤n}pontilhamento deP, a soma de Riemanndef com respeito a(P, ξ)é

S(f,P, ξ) :=

m

X

i=1 n

X

j=1

f(ξ_i,j) (x_i−x_i−1)(y_j−x_j−1)

| {z }

área do(i,j)-ésimo retângulo deP

.

• f diz-seRiemann-integrávelse existir o limite das somas de Riemann def, i.e. se a seguinte condição for satisfeita:

∃`∈R,∀ >0,∃δ >0,∀P partição deRcom|P|< δ,

∀ξpontilhamento deP,

S(f,P, ξ)−` < . Caso afirmativo, diz-se que`é limite das somas de Riemann def.

Proposição

O limite das somas de Riemann de f : [a,b]×[c,d]→R, caso exista, é único.

Definição (Integral de Riemann)

Sef : [a,b]×[c,d]→Rfor Riemann-integrável, chamamos o limite das suas somas de Riemann deintegral de Riemannde f.

Notação

• RR

[a,b]×[c,d]f(x,y)dA(x,y)ouRR

[a,b]×[c,d]fdAou RR

[a,b]×[c,d]f;

• R

[a,b]×[c,d]f(x,y)dA(x,y)ouR

[a,b]×[c,d]fdAouR

[a,b]×[c,d]f. Teorema (uma condição suficiente para integrabilidade) Se f : [a,b]×[c,d]→Rfor contínua, então f é integrável.

Interpretação Geométrica

Interpretação Geométrica

SejaR:= [a,b]×[c,d].f :R →Rfor Riemann-integrável e maior ou igual a zero, interpretamosR

RfdAcomo ovolumeda região do espaço

{(x,y,z)∈R³|(x,y)∈R,0≤z ≤f(x,y)}.

Soma superior e inferior, Integral superior e inferior

Definição (Soma superior e inferior)

Sejamf : [a,b]×[c,d]→Ruma função limitada eP partição de[a,b]×[c,d]e{P_i,j |1≤i≤m,1≤j≤n}o conjunto dos retângulos deP. Definimos asoma superiore asoma inferior def com respeito aP, respectivamente, por:

• S(f,P) :=Pm i=1

Pn

j=1M_i,jA(P_i,j),

ondeM_i,j := sup{f(x)|x ∈P_i,j}eA(P_i,j)denota a área de P_i,j.

• S(f,P) :=Pm i=1

Pn

j=1m_i,jA(P_i,j), ondem_i,j := inf{f(x)|x ∈P_i,j}.

Soma superior e inferior, Integral superior e inferior

Definição (Integral superior e inferior)

Sejamf : [a,b]×[c,d]→Ruma função limitada. Definimos a integral superiore aintegral inferiordef, respectivamente, por:

• R

[a,b]×[c,d]f := inf{S(f,P)|P partição de[a,b]×[c,d]}.

• R

[a,b]×[c,d]f := sup{S(f,P)|Ppartição de[a,b]×[c,d]}.

Soma superior e inferior, Integral superior e inferior

Proposição

Sejam f : [a,b]×[c,d]→Rlimitada e P ⊂Q partições de [a,b]×[c,d]. Então:

• S(f,P)≤S(f,P);

• S(f,P)≤S(f,Q)e S(f,P)≥S(f,Q).

Corolário

Seja f : [a,b]→Rlimitada. Então R

[a,b]×[c,d]f ≤ R

[a,b]×[c,d]f .

Soma superior e inferior, Integral superior e inferior

Proposição

Seja f : [a,b]×[c,d]→Rlimitada. Então f é integrável se, e somente se, R

[a,b]×[c,d]f = R

[a,b]×[c,d]f . Caso afirmativo, tem-se Z

[a,b]×[c,d]

f = Z

[a,b]×[c,d]

f = Z

[a,b]×[c,d]

f.

Corolário

Seja f : [a,b]→Rlimitada. Então f é integrável se, e somente se, para todo >0, existe P partição de[a,b]×[c,d]tal que S(f,P)−S(f,P)< .

Propriedades da Integral Dupla

• Essencialmente, valem as mesmas propriedades da integral de Riemann na reta.

• SejaQ= [a,b]×[c,d]. Então{f :Q→R|f integrável}é um subespaço vetorial deR^Q, e a integral de Riemann é linear.

• Sef ≤g são ambas integráveis emQ, entãoR

Qf ≤R

Qg.

• Desigualdade triangular: sef e|f|forem ambas integráveis emQ, então

Z

Q

fdA ≤

Z

Q

|f|dA.

Teorema de Fubini

Teorema (Fubini)

Sejam Q= [a,b]×[c,d]e f :Q→Rintegrável.

• Se existirem as integrais iteradasRb a

Rd

c f(x,y)dy dx , então

Z

Q

fdA= Z b

a

Z d

c

f(x,y)dy dx.

• Se existirem as integrais iteradasRd c

Rb

a f(x,y)dx dy , então

Z

Q

fdA= Z d

c

Z b

a

f(x,y)dx dy.

Teorema de Fubini

Interpretação Geométrica

Com a notação do teorema anterior, sef ≥0:

• Rb a

Rd

c f(x,y)dy

dx é a integral em[a,b]da função que associax ∈[a,b]à área da seção ortogonal ao eixo Ox passando porx da região

{(x,y,z)∈R³|(x,y)∈Q,0≤z ≤f(x,y)}.

• Rd c

Rb

a f(x,y)dx

dy é a integral em[c,d]da função que associay ∈[c,d]à área da seção ortogonal ao eixo Oy passando pory da região

{(x,y,z)∈R³|(x,y)∈Q,0≤z ≤f(x,y)}.

Conjuntos de Medida Nula

Definição (Conjuntos de Medida Nula)

Diz-se queA⊂R²é umconjunto de medida nulase, para todo >0, existir uma coleção enumerável de retângulos(Q_i)i∈Ntal queA⊂ ∪_i∈NQ_i eP∞

i=1m(Q_i)< , ondem(Q_i)denota a área do retânguloQ_i.

Observação

• P∞

i=1m(Q_i)denota o limite da sequência n∈N7→Pn

i=1m(Q_i).

• É equivalente, na definição acima, usar bolas no lugar de retângulos.

• Conjuntos deconteúdonulo: mesma definição com “finita”

no lugar de “enumerável”.

Condição Necessária e Suficiente para Integrabilidade

Teorema (critério de Lebesgue)

Seja f : [a,b]×[c,d]→Rlimitada. Então f é integrável se, e somente se, o conjunto D_f ⊂[a,b]×[c,d]dos pontos de descontinuidade de f tiver medida nula.

Algumas Propriedades dos Conjuntos de Medida Nula

1. Conjuntos enumeráveis têm medida nula.

2. A união enumerável de conjuntos de medida nula tem medida nula.

3. Um subconjunto de um conjunto de medida nula tem medida nula.

4. A imagem de um conjunto de medida nula por movimentos rígidos é um conjunto de medida nula.

5. Retas têm medida nula.

6. O gráfico de uma função contínua[a,b]→Rtem medida nula.

7. Imagens de curvas de classe C¹têm medida nula.

Algumas Propriedades dos Conjuntos de Medida Nula

Interpretação Geométrica

Um subconjunto deR²tem medida nula se, intuitivamente, for um conjunto de “área” nula.