Axonometrias Obliquas.pps

GEOMETRIA DESCRITIVA A

11.º Ano

Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas)

GENERALIDADES

A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico.

x ≡ x_p O ≡ O_p z P r y ≡ yp z_p Pp yz xz xy

A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo x_p, y_p e z_p são as perspectivas dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no

plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um

ângulo recto.

xp

yp

z_p

DIRECÇÃO E

INCLINAÇÃO DAS

RECTAS

PROJECTANTES

A direcção das rectas

projectantes representa o ângulo

que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes, o plano α neste caso) fazem com os

planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o

ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos

outros dois eixos. A direcção das

rectas projectantes é dada por

um par de ângulos (γ e β). A inclinação das rectas

projectantes representa o ângulo

(θ) que as rectas projectantes (que são paralelas entre si) fazem com o plano de projecção, o plano

axonométrico. A inclinação das rectas projectantes vai

determinar o coeficiente de deformação. x ≡ xp O ≡ Op z P r y ≡ y_p zp P_p yz xz xy α γº βº θº

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é igual a 45º. A perspectiva de P (P_p) está em V.G., não havendo necessidade de coeficiente de deformação. x ≡ xp O ≡ Op z P r y ≡ y_p zp P_p yz xz xy α 45º 45º

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é superior a 45º. A perspectiva de P (P_p) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de redução. x ≡ x_p O ≡ O_p z P r y ≡ y_p z_p Pp yz xz xy α αº

Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é inferior a 45º. A perspectiva de P (P_p) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de ampliação. x ≡ xp O ≡ Op z P r y ≡ y_p zp _P p yz xz xy α αº

TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado:

Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva

planométrica (ou militar);

Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se da perspectiva cavaleira.

x ≡ xp O ≡ Op z P r y ≡ yp zp P_p yz xz xy

Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros eixos fazem entre si um ângulo de 90º.

xp

y_p zp

Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um

ângulo de 90º. xp y_p z_p O z ≡ zp x ≡ x_p y_p y Pp r yz O ≡ O_p P xy xz

INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS

PROJECTANTES

A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente.

z

x

y

Inclinação das rectas projectantes: 45º. Coeficiente de deformação do eixo y: 1. z x y

Inclinação das rectas projectantes: 63º 26’. Coeficiente de deformação do eixo y: 0,5. z x y

Inclinação das rectas projectantes: 26º 34’.

Coeficiente de deformação

do eixo y: 2.

Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26’, com o coeficiente de

deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente.

Direcção das rectas projectantes: 120º com o

semieixo positivo x e 150º com o semieixo positivo z.

z

x

y

O

Direcção das rectas projectantes: 45º com o

semieixo positivo x e 135º com o semieixo positivo z.

Direcção das rectas projectantes: 135º com o

semieixo positivo x e 45º com o semieixo positivo z. z x O y z x y O

REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA

AXONOMETRIA CLINOGONAL

Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à face do paralelograma onde aquelas existem).

x ≡ x_p O z P y ≡ y_p z_p yz xz xy P3 P2 P1 ≡ P1p A Ap P2p Pp P3p x y z O P1 P P₃ A P2

PERSPECTIVA CAVALEIRA

Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas

projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo z.

x y z O z ≡ z_p x ≡ xp y_r y P_p rr yz O P xy xz

O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação,

rebate-se o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico.

yr A_r 60º rr P A P1 P2 P3 A Ar y_p A_p P₃ P1 P_3p P1p P₂ ≡P_2p

Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.

x y z O A2 yr P_r r_r 50º P A₁ A₃ A

Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano

axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos

outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º.

x y z O M₂ y_r Pr rr 60º P M1 M3 M

Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o

semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas projectantes é de 45º. x y z O y_r P_r r_r 45º P

DIRECÇÃO DE AFINIDADE

A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva.

A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer

plano coordenado rebatido para o plano axonométrico.

x yp z O y_r1 Ar1 60º r_r Ap

Para determinar a direcção de afinidade é

necessário rebater um plano coordenado (o plano

xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.

A charneira é o eixo x.

O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do

plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.

Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano

xy.

É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira.

A recta d é a recta que dá a direcção de

afinidade. _y

r

A_r d

A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de

afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de

120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.

x

y_p z

O P2

A perspectiva do ponto P é também a projecção frontal do ponto P.

Para determinar a direcção de

afinidade é necessário primeiro rebater

um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y. A charneira é o eixo x.

O eixo yr é o eixo y rebatido pelo

rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.

A_r é o ponto A rebatido pelo

rebatimento do plano xy, com o mesmo afastamento do ponto P, e em V.G. É necessário rebater o plano

projectante do eixo y (o plano yyp), com

o eixo y_p como charneira, obtendo A_r1, depois Ap, para finalmente obter a recta

d.

A recta d é a recta que dá a direcção

de afinidade.

Por fim é a determinação da perspectiva do ponto P. ≡ y_r P1r Ar yr1 A_r1 50º r_r Ap d P₁ P₃ P

Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira , recorrendo à direcção de

afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz

135º com as partes positivas dos outros dois eixos.

x y z O A₂ ≡ yr Pr1 A_1r y_r1 P_r 60º rr P d A1 A₃ A

PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA

A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao

plano axonométrico.

Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas

projectantes de 63º 26’ 6’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5.

z

x O

É dada uma pirâmide quadrangular regular,

situada no 1.º triedro, com a base contida num plano

horizontal ν.

Os pontos A (2; 2; 7) e B (6; 2; 7) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base.

O vértice da pirâmide tem cota nula.

Representa a pirâmide numa

perspectiva cavaleira,

considerando que o plano axonométrico é o plano xz. As projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo x e de 130º com semieixo positivo

z. x y z O A₂ B₂ V₂ A1r B1r D_1r C_1r V_1r ≡ C₂ ≡ D2 fν ≡ y_r Pr y_r1 P_r1 P d ≡ Vr D1 C1 A1 B₁ V A D C B p_ν 50º

É dado um prisma

hexagonal regular, situado no 1.º tiedro, com 8 cm de altura e bases contidas em planos frontais.

A base de menor

afastamento é o hexágono [ABCDEF], que está

contido no plano xz.

Os pontos A (3; 0; 1) e B (1; 0; 3) são dois vértices consecutivos do hexágono [ABCDEF].

Representa o prisma numa

perspectiva cavaleira.

As projectantes têm 60º de inclinação.

A direcção das

projectantes é de 140º com o semieixo positivo y e de 130º com semieixo positivo z. x y z O ≡ xr A3 A2r B_2r B₃ C2r D2r E2r F_2r C₃ D3 E₃ F3 Pr x_r1 Pr1 P d A1 B1 C1 D1 ≡ E₁ F1 A B C D E F pφ hφ A’₁ B’1 C’1 D’1 E’F’₁ 1 A’ B’ C’ D’ E’ F’ 60º

PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar)

Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas

projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo y.

x ≡ x_p O z P y ≡ y_p z_p yz xz xy P3 P2 P₁ ≡P_1p A A_p P2p Pp P3p x y z O P1 zr A_r 60º r_r A P3 P₂ P zr A r

PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA

A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas

projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas

axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.

Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 56º 18’ 36’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2/

3.

z

x

O

É dado um objecto

constituído por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1.º

tiedro.

Os pontos A (6; 2; 0) e B (1; 2; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD], contido no plano xy.

O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo. A base da pirâmide é o quadrado [JKLM], cujos vértices são os pontos

médios da face superior do cubo.

A pirâmide tem 7 cm de altura, e o seu vértice tem cota superior à base.

Representa o objecto numa perspectiva planométrica normalizada. _x y z O A₁ ≡ A B1 ≡ B D1 ≡ D C₁ ≡ C V₁ J₁ K_{1 L1} M₁ R S T U S’ U’ V₂ V L M J K

Considera o objecto ao lado, representado por três das suas vistas (projecções): horizontal, frontal e lateral direita.

As dimensões apresentadas são em centímetros, e as coordenadas de A (0; 0; 0). Representa o objecto numa

perspectiva planométrica.

As projectantes têm 60º de

inclinação.

A direcção das projectantes é de 135º com as partes

positivas dos eixos x e y.

A1 A₂ A3 4 _{4 3 3} 4 4 2 2 2

x y z O ≡ A ≡ z_r z_r1 60º r_r d