Publicações do PESC Pré-Despacho para Sistemas Hidrotérmicos Considerando a Rede Elétrica

PRE-DESPACHO

PARA SISTEMAS HIDROTÉRMPCOS

CONSIDERANDO A REDE

ELETRICA

LEONTINA MARIA VIANA G R A Z I A D I O P I N T O

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA

COORDENAÇAO

DOS PROGRAMAS DE P ~ S

-

G R A D U A Ç ~ O DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO PARTE DOS R E Q U I S I T O S NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. S C . )

APROVADA POR : L . NELSON MACULAN F I L H O ( P R E S I D E N T E ) BRIAN STOTT

c----

R I O DE J A N E I R O , R J

-

B R A S I L JULHO DE 1 9 8 1

P I N T O , LEONTINA MARIA VIANA G R A Z I A D I O

ré-~es~acho

p a r a S i s t e m a s ~ i d r o t é r m i c o s C o n s i d e r a d o a R e d e ~ l é t r i c a ( R i o de J a n e i r o ) 1 9 8 1 . v i i i 1 9 2 p . 2 9 , 7 c m (COPPE-UFRJ

-

M . S c . , E n g e n h a r i a de S i s t e m a s , 1 9 8 1 )

.

T e s e

-

U n i v . Fed. R i o de J a n e i r o , Fac. E n g e n h a r i a 1. P r é - ~ e s p a c h o I . C O P P E / U F R J 11 . ~ í t u l o ( s é r i e )

iii

A meus p a i s .& Anna P a u l a

E s t e t r a b a l h o x e s u l t a d a s idé$.as s u g e r i d a s p e l o enge-

nh.eiro Mário Veiga F e r r a z P e r e i r a , o r 2 e n t a d o r d e s t a t e s e , c u j o

c o n s t a n t e a p o l o , f n c e n t l v o e c o l a b o r a ç ã o tornaram possirvel a s u a r e a l i z a ç ã o .

O s e n g e n h e i r o s Brian S t o t t , Ongun A l s a ç , ~ o ã o . Lui z

Marinho e Luiz Maurqcio Thomê, do Departamento de S i s t e m a s do

CEPEL, foram r e s p o n s á v e i s p e l a e l a b o r a ç ã o e desenvolvimento dos

modelos d e Fluxo d e p o t ê n c i a e Redespacho &imo d e s c r i t o s nos

~ a p i t u l o s 111 e I V . A c o l a b o r a ç ã o d e s t e s p e s q u i s a d o r e s f o i i n -

d i s p e n s á v e l à r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o .

O p r o f e s s o r Nelson Maculan, da COPPE/UFRJ, t e v e impor-

t a n t e p a r t i c i p a ç ã o no a l g o r i t m o de decomposição.

O t e x t o do c a p í t u l o I11 ( ~ n á l i s e da Rede) b a s e i a - s e nos

t r a b a l h o s do p r o f e s s o r A l c i s M o n t i c e l l i , c u j a s c r i t i c a s e s u g e s

tÕes foram extremamente ú t e i s na e l a b o r a ç ã o d e s t a t e s e .

O s dados u t i l i z a d o s no c a s o exemplo foram f o r n e c i d o s pe -

10s e n g e n h e i r o s do DEST e DENE/ELETROBRÁS.

O s e n g e n h e i r o s Gerson Couto de O l i v e i r a e Valmir Car-

n e i r o Barbosa c o n t r i b u í r a m s i g n i f i c a t i v a m e n t e na e l a b o r a ç ã o do

t e x t o .

O e s t a g i á r i o J o r g e da Fonte Ramos t e v e v a l i o s a p a r t i c i -

pação na implementação do programa.

O s c o l e g a s do CEPEL deram p r o v a s c o n s t a n t e s de amizade e e s t i m u l o d u r a n t e t o d o o desenvolvimento do t r a b a l h o .

E s t a t e s e contou com o a p o i o e i n c e n t i v o do CEPEL,atra-

vés

de uma b o l s a de pôs-graduação em 1980.

Ana Maria C o s t a D a n i e l l i e Lenize M a r t i n s S i l v a s ã o a s r e s p o n s á v e i s p e l o e x c e l e n t e t r a b a l h o g r á f i c o .

S I N O P S E

O pré-despacho de

um

sistam hidrotérmico t a com objetivo estabe-

lecer uma programação horária das usinas que atenda, simul&n8amenter 2s res

-

trições

do despacho elétrico e à s metas semanais de geração estabelecidas pe

-

10 planejamento da operação.

O problema do pré-despacho f o i dividido em duas fases : & l i s e de

Viabilidade e P&-despacho ~ u t d t i c o . Na d l i s e de viabilidade, simula-se

a operação horãria do sistema a p a r t i r de uma programação horãria pré-estabe -

lecida. Esta programação deve obedecer à s metas energéticas e pode ser obti-

d a através de um pré-despacho em que todas as restrições elétricas foram re- laxadas e somente foram mantidas a s metas energétícas.

A cada hora, um programa de análise da rede verifica s e algum l i m i -

t e de fluxo nas linhas f o i violado. Nestes casos, a geração é rermnejada d e

mdo a f i c a r o mais próximo p s s 5 v e l (desvio quadrático) do p n t o de opera

-

ção especificado. O s desvios de cada gerador redespachado são automaticamen-

te contabilizados. Se a+s a simulação do Último perhdo os desvios acumula-

dos em relação

ãs

metas de geração energéticas forem psquenos, pode-se a f i r -

m a r que a programação corrigida atende aos requisitos do pré-despacho.

A análise de viabilidade u t i l i z a um mcdelo de fluxo de carga linea-

rizado para estimar os fluxos de potência a t i v a na rede. O s problemas de re-

despacho Õtimr, são resolvidos por uma versão especializada do Dual Sirrrplex

,

que permite manter a estrutura de esparsidade da rede elétrica.

$Bn alguns casos, entretanto, a soma dos desvios horários pode s e r

significativa e a s metas de geração deixam de s e r atendidas. O pré-despacho

automático tem

com

objetivo produzir programações horárias que atendam s i

-

multâneamente à s metas energéticas e às restrições elétricas. Este problema

é formulado

como

um problema de progrmção linear de grande porte e resolvL

do através de decomposição de Dantzig-Wolf e. O s subproblemas nas i t e r a ç õ e s

de DW correspondem a problemas de redespacho Ó t i m semelhantes aos encontra-

dos

na

análise de viabilidade.

The predisp$ch o£ a, hydrothermal s y s t m t r i e s to establish an hour

-

l y generation schedule t h a t does not violate e l e c t r i c a l constralnts and

meets weekly generatjlon targets f o r each plant.

This problem was solved i n two stages: Feasibility Analysis and Au-

-

tamatic Predispatch. The f e a s i b i l i t y analysis correspnds t o the hourly sirmi

lation o£ the system operation for a preestablished generation schedule.This

schdule mustmeet the weekly generation targets and may be produced by a r e -

laxed version of the predispatch i n which a11 e l e c t r i c a l constraints have

been ãropped, t h a t is, only the weekly generation targets a r e enforced.

For each hour, a netmrk analysis m d e l i s used t o verify w e t h e r

there i s any overload i n the system. The overloads are then eliminated by an

optimal generation rescheduling program t h a t minimizes the deviation f rom

the given operating p i n t . The adjusted schedule w i l l be considered adequate

i f the m u l a t i v e deviation of each generalar by the end of t h e s i m u l a t e d

week is mll, which means srnall deviations f r m the weekly targets.

Active p e r f lows i n the netmrk a r e estimated by a l i n e a r i zed

load-f low mdel. The optimal rescheduling problems are solved by a customi

-

zed version of the Dual Simplex m e t h o d that preserves the sparsity o£ t h e e l e c t r i c a l netmrk.

Whenwer the deviations from the weekly targets are too large, t h e

automtic predispatch i s used to produce an hourly schedule thatmeets b o t h

weekly targets and e l e c t r i c a l constraints. This problan i s modeled a s a lar-

ge scale linear problem and solved by Dantzig-Wolfe decompsition. The sub

-

problems i n the DW iterations are similar to the optimal hourly r e d i s p a t c h

problem solved i n the f e a s i b i l i t y analysis.

A case study w i t h the brasilian Southeast system is presented and

v i i

C A P ~ T U L O I I

.

D E S C R I Ç ~ O DA METODOLOGTA

...

3

11.1

.

D e s c r i ç ã o G e r a l

...

3

1 1 . 2

-

Modelo de A n á l i s e de V i a b i l i d a d e

...

4

I1

.

3

-

A n a l i s e d a Rede

...

5

T I . 4

-

Redespacho &imo

ora rio

...

8

1 1 . 4 . 1

-

~ e s c r i ç ã o G e r a l

...

8 1 1 . 4 . 2

-

~ o r m u l a ç ã o do Problema

...

8

...

11.5

-

ré-Despacho Automático 1 0 REPRESENTAÇÃO DA REDE

...

1 3 ~ n t r o d u ç ã o

...

1 3 Fluxo de Carga L i n e a r i z a d o

...

1 3 ~ n t r o d u ç ã o

...

1 3 O Problema do Fluxo de p o t ê n c i a

...

1 4

- ...

L i n e a r i z a ç a o 1 8

...

~ e s o l u ç ã o do Problema 20 R e t i r a d a de L i n h a s p o r C o n t i n g ê n c i a s ou ~ a n u t e n ç ã o

...

2 2

...

~ n t r o d u ç ã o 2 2

...

Método da Compensação 23

...

Problema d e I l h a m e n t o 26

...

REDESPACHO ÕTIMO 28 ~ n t r o d u ç ã o

...

28 D u a l i d a d e

...

28

...

~ n t r o d u ~ ã o 28

...

C o n s t r u ç ã o do Problema Dual 2 9 P r o p r i e d a d e s do p a r de Problemas

...

29

Resolução do Problema Dual

...

3 1 O Dual Simplex

...

34

Base Reduzida

...

35

~ n t r o d u ç ã o

...

35

~ p l i c a ç ã o da Base Reduzida a o Problema Prima1

...

36

v i i i

J37-3.3 . ~ p l i c g ç a o da Base peduzjda qo Problema,

Puql . . . 37

...

Resolução do Redespacho btimo 39

~ n t r o d u ç ã o

...

39 Relaxação

...

39 Algoritmo de Otimização

...

4 1

...

Formação da Base I n i c i a l 4 2 C á l c u l o do Ponto de Operação

...

43 T e s t e de Otimalidade e . s e l e ç ã o da R e s t r i ç ã o a s e r A t i v a d a

...

4 6

...

S e l e ç ã o da R e s t r i ç ã o a s e r Relaxada 48 ~ x t e n s õ e s do Redespacho Utimo

...

55 P r i o r i d a d e s e C o r t e de Carga

...

55 Redespacho P r e v e n t i v o

...

55

...

unções

O b j e t i v o Não-Lineares 57

...

PRE-DESPACHO

AUTOMÃTICO 58

.

_...

I n t r o d u ç a o 58

....

~ é t o d o de Decomposição de Dantzig-Wolfe 59 ~ n t r o d u ç ã o

...

59 O P r i n c i p i o de Decomposição de Dantzig-Wolfe 6 0

...

Montagem do Problema R e s t r i t o

.-

67 O Algoritmo de ~ e c o m . ~ o s i ç ~ o de Dantzig-Wolfe 68

...

O Algoritmo do Pré-Despacho ~ u t o m á t i c o 72

...

~ n t r o d u ç ã o 7 2

...

Formulação I n c r e m e n t a l 73 ~ e s o l u ç ã o do Problema

...

73 ~ n t e r p r e t a ç ã o da s o l u ç ã o

...

79

...

Extensões do Pré-Despacho Automático 7 9

CAPÍTULO V I . CASO EXEMPLO

...

80

O planejamento da o p e r a ç ã o tem como o b j e t i v o e s t a b e l e -

ter metas de g e r a ç ã o media a cada p e r í o d o (semana ou

m ê s )

p a r a

a s u s i n a s h i d r á u l i c a s e t é r m i c a s do s i s t e m a de g e r a ç ã o . O c á l -

c u l o d e s t a s metas deve l e v a r em c o n t a e f e i t o s de longo p r a z o

( p r o b a b i l i d a d e de de£ i c i t f u t u r o

,

v a l o r e s p e r a d o da g e r a ç ã o

t é r

-

mica, e t c . )

,

médio p r a z o ( c o n t r a t o s a n u a i s de demanda e e n e r g i a

e n t r e empresas, cronogramas de manutenção) e c u r t o p r a z o (oon -

t r o l e d i á r i o de c h e i a s , problemas o p e r a t i v o s e despacho)

.

O p r o -

c e s s o de d e c i s ã o pode s e r r e p r e s e n t a d o p o r uma c a d e i a h i e r a r q u i -

zada de modelos, onde o n í v e l de d e t a l h e c r e s c e medida que o

h o r i z o n t e de i n f l u ê n c i a d i m i n u i . A informação s o b r e e f e i t o s d e

"longo" p r a z o (além do h o r i z o n t e de d e c i s ã o de cada n í v e l ) e

f o r n e c i d a p e l o s r e s u l t a d o s do n í v e l a n t e r i o r . A f i g u r a 1-1

a p r e s e n t a m a p o s s í v e l c a d e i a de procedimentos p a r a o c á l c u l o

de metas de g e r a ç ã o . ~ambém e s t á r e p r e s e n t a d o de maneira esque

-

m á t i c a o t i p o de informação n e c e s s á r i o em cada n í v e l . c á l c u l o da Geração Térmica Tota1,Ge- r a ç ã o Hidráulica T o t a l e Intercâmbio e n t r e Subsistemas

T

i

~ e s a g r e g a ç ã o Geração Hidráulica + T o t a l p a r a o s v s l i r i o s ~eservatórios 1nformaçÕes Agrega&: E n e r g i a Armazenadaem cada S u b s i s t e m a , E n e r g i a A f l u e n t e no p e r í o d o A n t e r i o r , Cargas T o t a i s , e t c . Representação Detalha- da dos ReservatÕrios, L i m i t e s de Fluxos por Re g i ão

,

Representação S i m p l i f i c a d a da Curva de Carga p o r Região Representação da Rede de Transmissão

,

Carga

orár ria

p o r B a r r a

,

E s t a d o Detalhado do S i s tema

F i g u r a 1-1- CADEIA DE PROCEDIMENTOS PARA O

A s d e c i s õ e s do p r i m e i r o n í v e l correspondem

5

e s t r a t é -

g i a de o p e r a ç ã o a longo p r a z o , i s t o é, d e c i s õ e s q u a n t o 5 propor -

ç ã o de e n e r g i a de origem h i d r o e l ê t r i c a e t e r m i c a . E s t e p r o b l e

-

ma é a t u a l m e n t e r e s o l v i d o p o r modelos de programação dinâmica

e s t o c á s t i c a , que procuram minimizar o v a l o r e s p e r a d o do c u s t o

de o p e r a ç ã o (composto de g e r a ç ã o t é r m i c a e ~ e n a l i z a ç ã o p o r de-

f i c i t no a t e n d i m e n t o ) ( C E P E L / E L E T R O B ~ S

'

)

.

O segundo modelo p r o c u r a " d e s e s t o c a r " de maneira Õ t i -

ma a e n e r g i a h i d r á u l i c a armazenada no s i s t e m a , i s t o é, d e p l e c i o

-

n a r o s r e s e r v a t ó r i o s de maneira a a t e n d e r a o t o t a l de g e r a ç ã o

h i d r á u l i c a d e c i d i d o no n í v e l a n t e r i o r e minimizar a p e r d a de

e n e r g i a armazenada ( T R I N K E N R E I C H & PEIXEIRA^)

.

A a l o c a ç ã o das

unidades t é r m i c a s n e s t e n í v e l é f e i t o p o r c u s t o i n c r e m e n t a l

c r e s c e n t e de g e r a ç ã o a t é a proporção e s t i p u l a d a no n í v e l a n t e - r i o r .

O o b j e t i v o do t e r c e i r o n í v e l de modelos é e s t a b e l e c e r

uma programação h o r á r i a que r e s p e i t e a s r e s t r i ç õ e s e l é t r i c a s e

o p e r a t i v a s do despacho e obedeça à s metas de g e r a ç ã o média f o r

-

n e c i d a s p e l o n í v e l a n t e r i o r . O modelo de pré-despacho pode p o r

t a n t o s e r v i s t o como um elemento de l i g a ç ã o e n t r e o planejamen-

t o da operação e a programação da o p e r a ç ã o , que f o r n e c e r á a _gg

-

11.1 DESCRIÇÃO GERAL

O s modelos de pré-despacho a t u a l m e n t e a d o t a d o s ( S I L V A &

TRINKENREICH 3; NIKRITSCHEK, RODRIGUES & AMADO^) u t i l i z a m uma r e

_-

p r e s e n t a ç ã o muito s i m p l i f i c a d a da r e d e ( l i m i t e s de f l u x o e n t r e

r e g i õ e s ) .

E

p o s s í v e l , p o r t a n t o , que a s s o l u ç õ e s o b t i d a s p o r e s

-

t e s modelos sejam e l e t r i c a m e n t e i n v i ã v e i s , i s t o é, levem a s o

-

b r e c a r g a s nas l i n h a s de t r a n s m i s s ã o . E s t e problema pode a g r a -

v a r - s e em s i t u a ç õ e s d e c o n t i g ê n c i a ou manutenção, quando o s i s

-

tema e s t á operando mais próximo a s e u s l i m i t e s .

O problema do pré-despacho f o i d i v i d i d o em duas f a s e s :

n a p r i m e i r a , chamada ~ n á l i s e de V i a b i l i d a d e , s i m u l a - s e a o p e r a

-

ção h o r á r i a do s i s t e m a a p a r t i r de uma programação p r é - e s t a b e l e -

c i d a . E s t a programação i n i c i a l deve a t e n d e r à s metas energé-

t i c a s e pode s e r f o r n e c i d a p o r algum dos modelos s i m p l i f i c a d o s

de pré-despacho j á e x i s t e n t e s . A cada h o r a , o programa v e r i f i -

c a s e algum l i m i t e d e f l u x o n a s l i n h a s f o i v i o l a d o . N e s t e s c a -

s o s , a g e r a ç ã o é remanejada de forma a f i c a r o mais p e r t o p o s s í -

v e l ( d e s v i o q u a d r á t i c o ) do ponto de o p e r a ç ã o especificad-o.. Se

não f o r p o s s í v e l e l i m i n a r a s s o b r e c a r g a s a t r a v é s de remanejamen -

t o s nas g e r a ç õ e s , é f e i t o o c o r t e de c a r g a d e maneira a minimi-

z a r a p o t ê n c i a d e s c o n e c t a d a . A cada r e d e s p a c h o , o s d e s v i o s de

cada g e r a d o r s ã o automaticamente c o n t a b i l i z a d o s

.

Se após a s i -

mulação do ú l t i m o p e r í o d o o s d e s v i o s acumulados e m r e l a ç ã o à s

metas de g e r a ç ã o e n e r g é t i c a s forem pequenos, pode-se a f i r m a r q u e a programação c o r r i g i d a a t e n d e a o s r e q u i s i t o s de prê-despacho.

Em a l g u n s c a s o s , e n t r e t a n t o , mesmo que o despacho Ó t i

-

mo p r o c u r e f i c a r o mais próximo p o s s í v e l da programação e s p e c i -

f i c a d a , a soma dos d e s v i o s h o r ã r i o s pode s e r s i g n i f i c a t i v a e a s

metas de g e r a ç ã o deixam de s e r a t e n d i d a s . O Modelo de

ré-~es-

pacho Automático tem como o b j e t i v o p r o d u z i r programações horá-

r i a s que atendem simultaneamente

às

metas e n e r g é t i c a s e à s r e s

-

t r i ç õ e s e l é t r i c a s . Eské: problema é formulado como um problema

de programação l i n e a r de grande p o r t e e r e s o l v i d o a t r a v é s de de

-

composição de Dantzig-Wolfe. 0 s sub-problemas nas i t e r a ç õ e s de

aos enmnixados na análise de viabilidade

A &lise de viabilidade é feita através do seguinte

...-*e. U.".'. INICIO * ..-.S.* f.... v ."".qpw*..*.*." CALCULA PRE-DESPACHO * * SIMPLIFICADO " *..e"t.II *-. 1 1 I 1 I L v -***-** LWP * 0 0 I-.I. NO. *

.-.

DE HORAS ** 9 * -ANALISA * *DESPACHO PARA A' HORA I

:

-. t -* . 1 I I I 1 V

.*.

2 -. .

-

*. .' HOUVE *. NA0 *. SíSRECARGi41 ."-"e *. * REaESPACHOii * OTIMO * COIITCB.ILIZ4 * DESVIOS

:

* T M P R I M E RESULTADOS' * *.** ....."C . . I 1 I FIGURA 11-1 A~@LIsE DE VIABILIDADE

-

' F I M

..

*.**.**....i"

Pode-se o b s e r v a r na f i g u r a 11-1 que a a n a l i s e d e v i a b i _- l i d a d e u t i l i z a duas f e r r a m e n t a s b á s i c a s : um modelo de ~ n á l i s e de Rede de ~ r a n s m i s s ã o e um programa de Redespacho Õtimo.

1 1 . 3

ANALISE

DA REDE

Quando a s r e s i s t ê n c i a s s é r i e e as a d m i t â n c i a s shunt dos ramos s ã o d e s p r e z a d a s , a d i s t r i b u i ç ã o dos f l u x o s de p o t ê n c i a a- t i v a numa r e d e pode s e r aproximadamente c a l c u l a d a p e l o modelode f l u x o de p o t ê n c i a l i n e a r i zado (MONTICELLI ) onde, P- v e t o r de i n j e ç õ e s l f q u i d a s ( g e r a ç ã o - c a r g a ) de p o t ê n c i a a t i v a em cada nó. 0- v e t o r de â n g u l o s d e t e n s ã o em cada nó. H- m a t r i z c a p a c i d a d e do s i s t e m a .

ykm- capacidade do ramo k-m.

x

-

r e a t â n c i a s é r i e do ramo k-m. km K

-

c o n j u n t o das b a r r a s l i g a d a s

ã

b a r r a k ( i n c l u s i v e )

.

A s o l u ç ã o do s i s t e m a l i n e a r (11-1) pode s e r u t i l i z a d a no c á l c u l o dos f l u x o s d e p o t ê n c i a . O f l u x o de potênc5a a t i v a Fkm no ramo k-m é dado p o r : onde

e k

-

- - 'rn 'km é chamada a a b e r t u r a a n g u l a r da l i g a ç ã o k-m.

Estudos com o s i s t e m a b r a s i l e i r o mostraram que o s e r r o s p e r c e n t u a i s na e s t i m a ç ã o dos f l u x o s de p o t ê n c i a a t i v a s ã o peque

nos p a r a s i s t e m a s de a l t a t e n s ã o , notadamente n a s l i n h a s mais

c a r r e g a d a s , que s ã o a s de maior i n t e r e s s e na a n ã l i s e d a s o b r e -

c a r g a (PARKER, TANABE & S C H I L L I N G ~ )

.

A s o l u ç ã o do s i s t e m a li -

n e a r ( o b t e n ç ã o dos f a t o r e s t r i a n g u l a r e s )

6

f e i t a p o r t é c n i c a s

que preservam a e s p a r s i d a d e do s i s t e m a e permitem uma grande

economia com termos de memória e e s f o r ç o computacional (TERRY,

BARBOSA & P E R E I M ~ )

.

E

também p o s s í v e l o b t e r rapidamente s o l u ç õ e s p a r a c a s o s

de c o n t i n g ê n c i a ou manutenção, que implicam em r e t i r a d a s de li -

nhas da c o n f i g u r a ç ã o ( M O N T I C E L L I ~ )

.

Uma v a r i a ç ã o na c a p a c i d a d e

do ramo i ( c o l o c a d o e n t r e o s nós k-m) produz uma v a r i a ç ã o no e s -

t a d o da r e d e de t r a n s m i s s ã o dado p o r :

onde Yi é a d i f e r e n ç a de ângulos no ramo i a n t e s da mudança,

Z =H -1 e o v e t o r e _i é dado p o r :

k m

O v e t o r Zei em (11-3) é a s o l u ç ã o x do s i s t e m a

o b t i d a usando-se o s f a t o r e s t r i a n g u l a r e s de H .

C o n c l u i - s e p o r t a n t o que a a n á l i s e do e s t a d o da r e d e

após a mudança ( 0 = 0'

+

A O ) pode s e r f e i t a sem r e c a l c u l a r o s

f a t o r e s t r i a n g u l a r e s de H ; somente a equação ( 1 1 - 4 ) deve s e r

r e s o l v i d a .

E s t a f a t o tem grande i m p o r t â n c i a na a n á l i s e de v i a b i l i -

v e z e s p a r a d i f e r e n t e s i n j e ç õ e s com algumas m o d i f i c a ç õ e s eventu- a i s n a c o n f i g u r a ç ã o . A f i g u r a 11-2 i l u s t r a como e s t e f a t o pode s e r l e v a d o em c o n t a n a a n a l i s e de v i a b i l i d a d e . .-A-J..CC---. * ' I N I C I O * "."*9."--"*.*" I 1 v ..-.r~~*c-f-.**9.' L E I T U R A DA 'CONFIG. B A S I C A E CALC. DOS FATOLES ' T R I A N G . D E H ".."**rCI*-.* 1 1 * 0 0 I-l.NO. * LOOP DE PERIODOS '---a L E I T U R A DA "

CAP.GA POR BARR!

" L E I T U R A DO PONTO DE * OPERACAO * CALCULO DA 0 ' -1NJEC.40 L I O U I D A " ' I I v r+*r.~3*..*q"-i+ *OBTENCAO DE e * * ATRAVES DOS

.

FATORES *TRIANGULARES D E * H

*.-..

t.ih*..*C* I 2 1 v W * . f 4 ~ " . - * * . * - _H3 .

'.

*. CORPECA0 NO .'ALTER. -. 'VETOR 0 P E L O S I M . * r t ~ 9 . * METODO DA '"C---* .EONFIGURACAO..*' COMPENSACAO

:

. ? .

-.

*".r.*.**..***** _{*. .*} 1 N A 0 I 1

>,

I _I v *+r*+Jp*.".c*-r * A N A L I S E DE :' V I A B I L I D A D E E REDEÇPACHO ' OTIMO ."....*.. -.. ..v

1 1 . 4 REDESPACHO

TIM MO HORARIO

1 1 . 4 . 1 ~ e s c r i ç ã o

_---

_---

G e r a l

O problema do redespacho é formulado como urn problema

de programação l i n e a r s e p a r ã v e l , onde a s v a r i á v e i s de d e c i s ã o

s ã o a s v a r i a ç õ e s na g e r a ç ã o e o modelo de f l u x o de c a r g a

é

li-

n e a r i z a d o em t o r n o do ponto de o p e r a ç ã o e s p e c i f i c a d o

AP = HA0

onde,

AP = [Apl AP2

. . .

AP,] T

AP. = é a v a r i a ç ã o da g e r a ç ã o na b a r r a i .

1

n = é o número de b a r r a s do s i s t e m a .

H =

6

a m a t r i z c a p a c i d a d e .

A função o b j e t i v o é do t i p o

onde a s c u r v a s de c u s t o de cada unidade s ã o f o r n e c i d a s p o r _{s e g}

n e n t o s l i n e a r e s . Desta forma,

6

p o s s í v e l r e p r e s e n t a r c u s t o s de operação ou p e n a l i z a r o d e s v i o em r e l a ç ã o a pontos de o p e r a ç ã o previamente e s p e c i f i c a d o s . Existem

t r ê s

t i p o s de r e s t r i ç õ e s :

-

Balanço de p o t ê n c i a n

E

f á c i l v e r que L

Bi

APi= 0 , onde o s c o e f i c i e n t e s

B

r e

i=l i

-

f l e t e m a s p e r d a s do s i s t e m a . E s t a r e s t r i ç ã o pode s e r e s -

P a r a cada g e r a d o r i :

onde L i e Li s ã o r e s p e c t i v a m e n t e o s l i m i t e s i n f e r i o r e

-9 9

s u p e r i o r d e cada g e r a d o r . Observe-se que e s t e s l i m i t e s

s ã o dados em forma d e d i f e r e n ç a s em r e l a ç ã o a o p o n t o de o p e r a ç ã o i n i c i a l , p o i s AP é a v a r i a ç ã o na g e r a ç ã o . Em termos m a t r i c i a i s : onde I é a m a t r i z i d e n t i d a d e .

-

R e s t r i ç õ e s de Fluxo P a r a c a d a ramo i (.ligando a b a r r a k à b a r r a m ) :

A equação ( 1 1 - 1 0 ) pode s e r c o l o c a d a em função de A 0 , p o i s

-I

e observando que A0 = H AP = Z A P , obtêm-se

AFi = 1 e Z A P i A s s i m como em (11-3), a s o l u ç ã o de e:

z

pode s e r o b t i d a a p a r t i r dos f a t o r e s t r i a n g u l a r e s de H. Em n o t a ç ã o m a t r i _- c i a l , as r e s t r i ç õ e s de f l u x o s ã o r e p r e s e n t a d a s p o r :

E

i m p o r t a n t e o b s e r v a r que a m a t r i z Af é " c h e i a " , e n q u a n t o a e x p r e s s ã o (11-11) é e s p a r s a . Como o número de r e s t r i - ç õ e s de f l u x o e f e t i v a m e n t e v i o l a d a s é em g e r a l pequeno, a e x p r e s s ã o (11-11) é u t i l i z a d a p a r a v e r i f i c a r a v i a b i l i _- dade dos f l u x o s e a e x p r e s s ã o (11-13) s 6 é u t i l i z a d a s e f o r n e c e s s á r i o " a t i v a r " a r e s t r i ç ã o ( c o l o c á - l a n a b a s e ) . O a l g o r i t m o d e r e s o l u ç ã o u t i l i z a d o é basicamente O

Dual Simplex. s e r ã v i s t o no c a p i t u l o I V que a e s t r u t u r a do p r o blema p e r m i t e a i n d a o uso de "upper bounding" e b a s e r e d u z i d a .

Como mencionado na ~ n t r o d u ç ã o , o pré-despacho a u t o m á t i -

co deve p r o d u z i r programações h o r á r i a s que atendam s i m u l t a n e a - mente à s metas e n e r g é t i c a s e à s r e s t r i ç õ e s e l é t r i c a s .

O h o r i z o n t e de e s t u d o é d i v i d i d o em T p e r í o d o s ( h o r a s , p o r exemplo )

.

P a r a cada p e r í o d o pode-se, como no Modelo de A n á l i s e de V i a b i l i d a d e , e s p e c i f i c a r a c o n f i g u r a ç ã o no c a s o b a s e ou a l t e r a d a devido a c o n t i n g ê n c i a s ou manutenção. Desta f o r -

ma é p o s s i v e l p r o d u z i r um pré-despacho v i á v e l e l é t r i c a e e n e r g é -

O problema do pré-despacho é formulado com: T Min C c .P t=l t onde, P t

-

é o v e t o r de g e r a ç õ e s na h o r a t . G

-

é

o v e t o r de metas e n e r g é t i c a s . C

-

é um v e t o r de c u s t o s n

-

é o número de u s i n a s (dimensão de P , G e c ) . T

-

é o número de p e r í o d o s . SPt

-

c o r r e s p o n d e a o c o n j u n t o de soluçÕes v i á v e i s p a r a o sub

-

problema d e despacho na h o r a t . P a r a u m s i s t e m a com 1 0 0 l i n h a s e 40 g e r a d o r e s , o núme- r o de r e s t r i ç õ e s em cada subproblema é i g u a l a 280 : 2 x 40 r e s

-

t r i ç õ e s de p o t ê n c i a

-

l i m i t e s i n f e r i o r e s u p e r i o r

-

e , analoga- mente, 2 x 1 0 0 r e s t r i ç õ e s de f l u x o .

P a r a um programa de g e r a ç õ e s h o r á r i a s numa semana (168

h o r a s ) , o número t o t a l de r e s t r i ç õ e s é i g u a l a 47.080 : 168x280

r e s t r i ç õ e s e l é t r i c a s

+

4 0 r e s t r i ç õ e s e n e r g é t i c a s . O número de

v a r i á v e i s de c o n t r o l e ( g e r a d o r e s ) é i g u a l a 6 . 7 2 ' 0 (40 g e r a d o r e s

p o r 1 6 8 p e r í o d o s )

.

A s dimensões do problema(I1-15) d i f i c u l t a m s u a r e s o l u

ç ã o p o r métodos d i r e t o s de programação l i n e a r . Pode-se n o t a r

,

e n t r e t a n t o , que a e s t r u t u r a do problema

é

adequada ao uso de

p o i s o s subproblemas e l é t r i c o s s ã o i n d e p e n d e n t e s e n t r e s i e e x i s -

t e apenas um pequeno número de r e s t r i ç õ e s de acoplamento, que

s ã o a s metas e n e r g é t i c a s . F o i , p o r t a n t o , adotado o a l g o r i t m o de

decomposição Prima1 de D a n t z i g -Wolfe, que s e r ã . a p r e s e n t a d o em

Como d e s c r i t o em 1 1 . 3 , a r e d e de t r a n s m i s s ã o é r e p r e - s e n t a d a p o r um modelo l i n e a r i z a d o ( M O N T I C E L L 1 5 ) , que p r o p o r c i o - na uma grande redução d e e s f o r ç o computacional e uma p r e c i s ã o a

a c e i t á v e l .

Casos que implicam em m o d i f i c a ç õ e s na c o n f i g u r a ç ã o , co -

mo c o n t i n g ê n c i a s ou manutenção, s ã o r e s o l v i d o s a t r a v é s de ~ é t o -

do de ~ompensaqão (MONTICELLI e t a l l 6 , e s i t u a ç õ e s de i s o l a -

mento do s i s t e m a s ã o r e s o l v i d a s a t r a v é s da Rede ~ i c t l c i a . (PEREL

RA e t a 1 1 7 )

1 1 1 . 2 FLUXO DE CARGA L I N E A R I Z A D O

O f l u x o de p o t ê n c i a a t i v a em uma l i n h a de t r a n s m i s s ã o em EAT/UAT é aproximadamente p r o p o r c i o n a l

3

a b e r t u r a a n g u l a r na l i n h a e s e d e s l o c a no s e n t i d o dos â n g u l o s maiores p a r a o s ângu - 10s menores. A r e l a ç ã o e n t r e o s f l u x o s de p o t ê n c i a a t i v a e a s a b e r t u r a s a n g u l a r e s é do mesmo t i p o da que e x i s t e e n t r e o s £ l u -

xos de c o r r e n t e e a s d i f e r e n ç a s de t e n s ã o , em u m c i r c u i t o de c o r r e n t e c o n t i n u a , p a r a o q u a l é v á l i d a a L e i de Ohm. E s t a p r o -

p r i e d a d e p o s s i b i l i t a o desenvolvimento de um modelo aproximado, chamado f l u x o de c a r g a DC, que p e r m i t e e s t i m a r com p r e c i s ã o a c e i t á v e l p a r a m u i t a s a p l i c a ç õ e s e b a i x o c u s t o computacional a d i s t r i b u i ç ã o dos f l u x o s de p o t ê n c i a a t i v a e m um s i s t e m a d e t r a n s m i s s ã o . E s t e t i p o de modelo l i n e a r i z a d o tem e n c o n t r a d o m u i -

t a s a p l i c a ç õ e s na a n á l i s e de s i s t e m a s e l é t r i c o s de p o t ê n c i a t a n -

t o em planejamento como em funções avan.çadas de c o n t r o l e em tem -

O problema do f l u x o de p o t ê n c i a é formulado a t r a v é s de um s i s t e m a de e q u a ç õ e s não l i n e a r e s c o r r e s p o n d e n t e s

5s

l e i s de K i r c h o f f

.

Temos, a s s i m , p a r a c a d a b a r r a k do s i s t e m a : o n d e , k = 1, 2,

...,

n , sendo n o número de b a r r a s do s i s t e m a . Qk = c o n j u n t o de b a r r a s d i r e t a m e n t e l i g a d a s à b a r r a k . 'kl vm

-

magnitude d a s t e n s õ e s n a s b a r r a s t e r m i n a i s d a l i g a ç ã o k-m. 'krn

-

f l u x o de p o t ê n c i a a t i v a da l i g a ç ã o k-m. Qkm

-

f l u x o de p o t ê n c i a r e a t i v a d a l i g a ç ã o k-m. -

_-

'km

-

'k

'

m

-

a b e r t u r a a n g u l a r n a l i g a ç ã o k - m , i g u a l à d i f e r e n - ç a e n t r e o s â n g u l o s d a s t e n s õ e s n o d a i s n a s h a r - r a s k e m. Pk

-

i n j e ç ã o l í q u i d a ( g e r a ç ã o - c a r g a ) de p o t ê n c i a a t i v a na b a r r a k . Qk

-

i n j e ç ã o l i q u i d a d e p o t ê n c i a r e a t i v a na b a r r a k . bsh

-

s u s c e p t â n c i a dos e l e m e n t o s " s h u n t " l i g a d o s

à

b a r r a k . k O s f l u x o s Pkm e Qkm s ã o f u n ç õ e s n ã o - l i n e a r e s d e vk

'

m e 'km e podem s e r c a l c u l a d o s f a z e n d o - s e a r e p r e s e n t a ç ã o da l i g a ç ã o k-m a t r a v é s do modelo T - e q u i v a l e n t e a p r e s e n t a d o n a f i g u -

m i s s ã o ou um t r a n s f o r m a d o r .

FIGURA 111-1

-

MODELO IT EQUIVALENTE

z

-

~ m p e d â n c i a s é r i e k m r km

-

~ e s i s t ê n c i a s é r i e X km

-

r e a t â n c i a s é r i e

-

s u s c e p t â n c i a em d e r i v a ç ã o ( s h u n t ) bkm A a d m i t â n c i a s é r i e da l i g a ç ã o k-m é dada p o r :

onde gkm e a c o n d u t â n c i a s é r i e da l i g a ç ã o k-m e

é

dada por:

A c o r r e n t e I

_km

6

c a l c u l a d a a p a r t i r das t e n s õ e s t e r m i - n a i s E k e Em e dos p a r â m e t r o s do modelo da l i g a ç ã o : onde, A i n j e ç ã o l i q u i d a de c o r r e n t e na b a r r a k r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 111-2 pode s e r o b t i d a a p l i c a n d o - s e a p r i m e i r a L e i de K i r c h o f f

.

F I G U R A 111-2- INJEÇÃO DE CORRENTE NA BARRA k

Logo :

O u na forma m a t r i c i a l :

onde ; I

-

v e t o r das i n j e ç õ e s de c o r r e n t e c u j o s componentes s ã o I _{k '} E

-

v e t o r das t e n s õ e s n o d a i s c u j o s componentes s ã o E k ' Y

-

m a t r i z a d m i t â n c i a n o d a l , c u j o s elementos s ã o dados p o r : ( 1 1 1 - 1 2 ) - 'km

-

Gkm

-

jBkm sendo,

Ykm =:-Y km' k

#

I-ri

A s i n j e ç õ e s de c o r r e n t e podem a i n d a s e r e s c r i t a s como: onde K é o c o n j u n t o de t o d a s a s b a r r a s m a d j a c e n t e s b a r r a k , i n c l u s i v e a p r ó p r i a b a r r a k , ou s e j a : U t i l i z a n d o - s e a s e x p r e s s õ e s de E m e 'krn dadas p e l a s equações (111-8) e ( 1 1 1 - 1 2 ) : A p o t ê n c i a complexa na b a r r a k é dada p o r :

Logo : I d e n t i f i c a n d o - s e a s p a r t e s r e a l e i m a g i n á r i a , obtêm-se a s equações do f l u x o de p o t ê n c i a : Pk = Vk L Vm (Gkm cos

ekrn

-

Bkm s e n 0 ) msK krn Qk = Vk L Vm (Gkm s e n

ekm

+

Bkm cos Bkm) msK

O Modelo de Fluxo de p o t ê n c i a L i n e a r i z a d o (modelo DC)

é u t i ! l i z a d o p a r a c a l c u l a r o s f l u x o s de p o t ê n c i a a t i v a no s i s t e -

ma. A l i n e a r i z a ç ã o é o b t i d a a p l i c a n d o - s e à equação ( 1 1 1 - 2 0 )

algumas h i p ó t e s e s s i m p l i f i c a d o r a s :

(i) A s magnitudes d a s t e n s õ e s e m t o d a s a s b a r r a s s ã o con- s i d e r a d a s conhecidas e i g u a i s a 1 pu. (.ii) A r e a t â n c i a s é r i e x e a r e s i s t ê n c i a s é r i e r da. li krn k m

-

gaçáo k-m s ã o t a i s que xkm >> r km

'

o que é t í p i c o pg r a s i s t e m a s em EAT/U.AT. C.iii) A s a b e r t u r a s a n g u l a r e s . n a s l i g a ç õ e s s ã o s u f i c i e n t e m e n -

t e pequenas p a r a que s e j a p o s s i v e l f a z e r a aproxima

-

ç ã o

-

s e n 0 km

-

'km ( 1 1 1 - 2 2 ) A a p l i c a ç ã o d a s h i p ó t e s e s acima reduz a e x p r e s s ã o (-111-20.)- a :

T e s t e s comparativos mostram que r e s u l t a . d o s ligeirarnen- t e melhores s ã o o b t i d o s quando o s elementos " s h u n t " s ã o despre- zados, o que j u s t i f i c a a aproximação

Definindo-se a c a p a c i d a d e de t r a n s m i s s ã o da l i g a ç ã o k-m como:

obtém-se

U t i l i z a n d o - s e a forma m a t r i c i a l , obtém-se a equação do Modelo de Fluxo de p o t ê n c i a L i n e a r i z a d o

onde,

0

-

v e t o r c u j o s componentes s ã o o s ângulos das

P

-

v e t o r das i n j e ç õ e s de p o t ê n c i a a t i v a P k ' H

-

m a t r i z c a p a c i d a d e

-

o b s e r v a ç ã o : (111-27) t e n s õ e s n o d a i s 0 k' do s i s t e m a c u j o s elementos s ã o dados p o r m (111-28)

O s i s t e m a (-111-27) tem dimensão n-1, p o i s uma das b a r r a s é e s c o l h . i d a como r e f e r ê n c i a a n g u l a r ( 0 = O )

.

s ã o , p o r t a n

t o , e x c l u x d a s da m a t r i z H a l i n h a e a c o l u n a r e f e r e n t e s

5

b a r r a d e r e f e r ê n c i a . Note-se, q u e , como o â n g u l o n e s t a bar -

r a

é

f i x o , a i n j e ç ã o de p o t ê n c i a não é e s p e c i f i c a d a , mas c a l c u l a d a p e l a a p l i c a ç ã o da equação de b a l a n ç o de p o t ê n

-

c i a onde r

é

a b a r r a de r e f e r ê n c i a . A r e s o l u ç ã o do problema de Fluxo de p o t ê n c i a L i n e a r i z a - do

é

dada p e l a equação P a r a s i s t e m a s normais, a dimensão da m a t r i z H t o r n a p r o i b i t i v a a s u a i n v e r s ã o .

~ l é m

d i s s o , e l a a p r e s e n t a normalmen- t e um a l t o g r a u de e s p a r s i d a d e ( g r a n d e número de elementos nu- l o s )

,

enquanto que a s u a i n v e r s a é c h e i a .

Por e s t e s m o t i v o s , a r e s o l u ç ã o da equação (111-31) e f e i t a a t r a v é s de métodos de f a t o r a ç ã o t r i a n g u l a r de m a t r i z e s e s -

p a r s a s que s ã o baseados na i d é i a c l á s s i c a da e l i m i n a ç ã o d e Gauss

(TERRST, BARBOSA &

PEREIRA^

)

.

A m a t r i z H pode s e r f a t o r a d a da s e g u i n t e maneira: H = LDU (111-32) onde : L

-

m a t r i z t r i a n g u l a r i n f e r i o r ( d i a g o n a l u n i t á r i a ) D

-

m a t r i z d i a g o n a l U

-

M a t r i z t r i a n g u l a r s u p e r i o r (.diagonal , u n i t á r i a )

Como a m a t r i z H. é s i r n g t r i c a :

o s f a t o r e s L e U tarnbgm s ã o e s p a r s o s , a p e s a r de a p r e s e n t a r e m um g r a u de e s p a r s i d a d e menor que o da m a t r i z H . I s t o t o r n a v a n t a - j o s a a adoção de t é c n i c a s de e s p a r s i d a d e , p e l a s q u a i s apenas o s elementos não n u l o s s ã o armazenados e operados.

U t i l i z a n d o - s e (111-321, a equação (111-27) pode s e r e s _- c r i t a como: q u e , p o r s u a v e z , pode s e r r e s o l v i d a em d o i s e s t á g i o s ( r e c w r s ã o d i r e t a / i n v e r s a ) : onde 8 ' é um v e t o r o b t i d o na f a s e i n t e r m e d i á r i a do c á l c u l o . A s equações (111-35) e (111-36) s ã o r e s o l v i d a s f a c i l

-

mente, g r a ç a s à e s t r u t u r a t r i a n g u l a r das m a t r i z e s L e U . Obtido o v e t o s 8 , a a b e r t u r a a n g u l a r e o f l u x o de po- t ê n c i a a t i v a na l i g a ç ã o j ( r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 111-3) s ã o da _- d o s , r e s p e c t i v a m e n t e , p o r : FIGURA I I I - 3 - LIGAÇÃO j

Como mencionado em 1 1 . 3 , o s e r r o s p e r c e n t u a i s dos $ 1 ~ xos de p o t ê n c i a a t i v a s ã o normalmente pequenos p a r a s i s t e m a s de

a l t a t e n s ã o , notadamente nas l i n h a s mais s o b r e c a r r e g a d a s (que

concentram o maior i n t e r e s s e na a n á l i s e de s e g u r a n ç a ) - .

I?

conse -

g u i d a a s s i m uma grande s i m p l i f i c a ç ã o nos c ~ l c u l o s com uma p r e -

c i s ã o b a s t a n t e a c e i t á v e l .

Deve-se n o t a r a i n d a que p a r a s i s t e m a s de b a i x a t e n s ã o

a s h i p ó t e s e s s i m p l i f i c a d o r a s não s ã o muito a p r o p r i a d a s e o mode -

10 l i n e a r i z a d o não a p r e s e n t a bons r e s u l t a d o s . Nestes c a s o s , e

em c a s o s onde s ã o d e s e j a d o s o s v a l o r e s de t e n s ã o e p o t ê n c i a r e a -

t i v a ,

6

recomendável a u t i l i z a ç ã o do modelo AC ou a s u p o s i ç ã o &

o u t r a s h i p ó t e s e s s i m p l i f i c a d o r a s .

111.3 RETIRADA DE LINHAS POR CONTINGÊNCIAS OU MANUTENÇÃO

A a l t e r a ç ã o da c o n f i g u r a ç ã o do s i s t e m a devido a o a p a r e -

cimento de c o n t i n g ê n c i a s ou s i t u a ç ã o de manutenção em q u a l q u e r

d a s l i n h a s da r e d e i m p l i c a em m o d i f i c a ç õ e s na m a t r i z c a p a c i d a d e

do s i s t e m a . Ao i n v é s de r e f a t o r á - l a , é u t i l i z a d o o método da

compensação, que p e r m i t e o c á l c u l o do p o n t o de o p e r a ç ã o do sis-

tema sem que sejam n e c e s s á r i a s m o d i f i c a ç õ e s nos f a t o r e s t r i a n g u -

l a r e s da m a t r i z . Note-se que e s t e método é v a n t a j o s o p a r a l e -

v e s a l t e r a ç õ e s na c o n f i g u r a ç ã o . Em c a s o s de mudanças s i g n i f i c a

-

t i v a s , é a c o n s e l h á v e l uma nova montagem e t r i a n g u l a r i z a ç ã o da

m a t r i z .

É p o s s í v e l que c o n t i n g ê n c i a s s e v e r a s dividam o s i s t e m a

em d o i s ou mais s u b s i s t e m a s i s o l a d o s : o chamado problema de

i l h a m e n t o . Neste c a s o , a m a t r i z H t o r n a - s e s i n g u l a r e é impos-

s í v e l r e s o l v e r o s i s t e m a ( 1 1 1 - 2 7 ) . E s t e problema é r e s o l v i d o p e -

l a RGde ~ i c t í c i a ( P E R E I R A e t a 1 17). AS g e r a ç õ e s em cada b a r r a e

o s f l u x o s em cada l i n h a podem a s s i m s e r c a l c u l a d o s mesmo em c a -

s o s de i s o l a m e n t o de s i s t e m a s .

Note-se que s e r ã o t r a t a d o s a q u i apenas o s c a s o s de mo-

d i f i c a ç õ e s n a s l i n h a s do s i s t e m a . P a r a m o d i f i c a ç õ e s n a s g e r a

-

ç õ e s , a s i m p l e s e s p e c i f i c a ç ã o d e novas p o t ê n c i a s g e r a d a , máxima

Supondo-se Ay o acréscimo i n t r o d u z i d o na c a p a c i d a d e

o

km

da l i g a ç ã o k-m e H a m a t r i z c a p a c i d a d e do s i s t e m a o r i g i n a l , a m a t r i z H do s i s t e m a modificado dado p o r : onde, A m a t r i z AH pode a i n d a s e r e s c r i t a como:

onde ekm é um v e t o r de dimensão n-1, com a s e g u i n t e e s t r u t u r a :

Observação:

Se uma das b a r r a s f o r a de r e f e r ê n c i a , c o l o c a - s e

51

na p o s i ç ã o c o r r e s p o n d e n t e à o u t r a b a r r a .

apenas

Mantendo-se c o n s t a n t e s a s i n j e ç õ e s de p o t ê n c i a , o s _po;

t o s de operação do s i s t e m a o r i g i n a l e modificado s ã o dados, r e s

_-

o

onde 0 e 8 ~ão~respectivamente, os ângulos nodais do sistema original e modificado. Fazendo-se:

e substituindo-se (111-43) e (.III-39) em (111-42), tem-se:

H ' '0

+

,,'H

+

+

A H A B

= P (111-44) Introduzindo-se a equação (111-41) em (111-44) :

H O A B

+

A H ~ O

+

AHAB

=

O

obtem-se:

o

H A0 = -nH(e0

+

A0)

o

Definindo-se a matriz Z como

e substituindo-se a equação (111-40) em (111-46), chega-se a:

A e

=

-

o

eT (e0

+

A O )

AYkm ekm km (111-48)

Considerando-se que:

T

ré-multiplicando-se ambos o s l a d o s da equação (-111-511 p o r ekm:

chega-se a :

- u

"km T O 'km

+ AYkm ekm ekm

A equação (111-53) pode a i n d a s e r e s c r i t a como:

I n t r o d u z i n d o - s e (111-54) em (111-51)

,

obtém-se f i n a l m e n t e :

o

'km ekm

o

Note-se que o c á l c u l o da m a t r i z Z não é n e c e s s á r i o . O

p r o d u t o

é

s i m p l e s e r á p i d o , uma vez que a m a t r i z H'

já

f o i montada e £a

t o r a d a p a r a a r e s o l u ç ã o do f l u x o de p o t ê n c i a DC p a r a o s i s t e m a

o r i g i n a l .

P a r a o c á l c u l o f i n a l dos â n g u l o s n o d a i s , b a s t a u t i l i -

111.3.3 Problemas de Xlhamento

_{-_--_----}

_---

T O

O termo ekm Z ekm da equaçgo CIII-551 tem uma importan _-

t e i n t e r p r e t a ç ã o f l s i c a : r e p r e s e n t a a impedância e q u i v a l e n t e en _-

t r e o s nós k e m do c i r c u i t o c o r r e s p o n d e n t e a o modelo l i n e a r i z a

_-

do do s i s t e m a [MONTICELLI

,

DECKMANN & G A R C I A ~ ~ )

.

No c a s o de i l h a m e n t o k-m, a c a p a c i d a d e e q u i v a l e n t e p a c i d a d e da l i n h a r e t i r a d a : l o g o : O s i s t e m a f i c a d e s c o n e c t a d o e mo i l u s t r a d a na f i g u r a causado p o r c o n t i n g ê n c i a na l i n h a e n t r e o s nós k e m é a p r ó p r i a c a d i v i d i d o em d o i s s u b s i s t e m a s , co-

FIGURA 1 1 1 - 4

-

SITUAÇÃO DE ILHAMENTO

Aplicando-se a equação (111-57) em (111-55)

,

obtém-se :

E s t e problema é r e s o l y i d o p e l a Rede F i c t i c i a ( P E R E I R A

e t a l 1 7 ) . c o n s i d e r a - s e a nova c a p a c i d a d e da l i n h a não exatamente i g u a l

a

z e r o , mas i g u a l a um v a l o r s u f i c i e n t e m e n t e pequeno p a r a que p o s s a , na p r á t r c a , s e r d e s p r e z a d o , como p o r exemplo:

A

N e s t e c a s o , a nova c a p a c i d a d e da l i g a ç ã o e i g u a l a

l o m 4

_{v e z e s a s u a c a p a c i d a d e normal, e pode s e r c o n s i d e r a d a p r z}

t i c a m e n t e n u l a sem que o s i s t e m a s e t o r n e matematicamente i s o l a

_-

do.

Note-se que e s t a nova c a p a c i d a d e deve s e r e s c o l h i d a de acordo com o s i s t e m a , p o i s um v a l o r d e s p r e z í v e l p a r a determina- da c o n f i g u r a ç ã o pode s e r c o n s i d e r a d o r e l e v a n t e p a r a o u t r a .

IV. 1 INTRODUÇÃO

Como v i s t o em 1 1 . 4 , o problema do redespacho é formula _-

do como um problema de programação l i n e a r s e p a r á v e 1 , o n d e a s v a

_-

r i á v e i s de d e c i s ã o s ã o a s v a r i á v e i s na geração:(STOTT &MARINHO*)

n

Min f =

iC1

ci (APi)

A b a l AP = O ( b a l a n ç o de p o t ê n c i a ) L < I A P < E _- ( r e s t r i ç õ e s de g e r a ç ã o ) -9 - 9 L < A AP <

zf

( . r e s t r i ç õ e s de f l u x o ) -f - f - (IV-1$ O s próximos i t e n s descrevem o s a l g o r i t m o s u t i l i z a d o s n a

r e s o l u ç ã o d e s t e problema; o s i t e n s I V . 2 e IV.3 fazem uma

rá-

p i d a r e v i s ã o nos c o n c e i t o s de Dualidade e Base R e d u z i d a e o i t e m

I V . 4 d e s c r e v e a e s t r u t u r a e s p e c í f i c a do problema.

I V . 2 DUALIDADE

Associado a c a d a problema de programação l i n e a r e x i s t e

um o u t r o problema, conhecido como o s e u d u a l . O problema o r i -

g i n a l é chamado p r i m a l .

P R I M A L

Max

cx

DUAL

I V . 2 . 1 c o n s t r u @ o do Prohlema Duai

--____-

_{--_____---}

(31

Cada r e s t r i ç ã o p r i m a l c o r r e s p o n d e a uma v a r i s v e l dual.

( i i ) O v e t o r d e c o n s t a n t e s d a s r e s t r i ç õ e s p r i m a i s b t r a n s - forma-se no v e t o r de c o e f i c i e n t e s da função o b j e t i v o d u a l , a s e r minimizada.

(iii) O v e t o r de c o e f i c i e n t e s , da função o b j e t i v o prima1 trans -

forma-se no v e t o r de c o n s t a n t e s das r e s t r i ç õ e s d u a i s . A t a b e l a I V - 1 i l u s t r a a c o r r e s p o n d ê n c i a e n t r e o s d o i s problemas :

o

C 1 C 2

...

C r

I +

MAX S i m e t r i a da Dualidade: o d u a l do d u a l é o p r ó p r i o p r o

_-

blema p r i m a l

.

Se f o r uma s o l u ç ã o v i á v e l p a r a o p r i m a l e uma so- l u ç ã o v i á v e l p a r a o d u a l , e n t ã o :

(.iiil Se

2

for m a solução viável para o p r a a l e

7

Uma SO-

lução viável para o dual tais que

então será solução Ótima do primal e

7

solução óti- ma do dual.

(ivl Dado

um

par de problema primal-dua1,uma e some,nte uma das afirmações

é

verdadeira:

.

nenhum dos problemas admite solução viável.

.

um

dos problemas não admite solução viável e o outro admite soluções viáveis, mas o Õtimo não é finito.

.

os dois problemas admitem solução Õtima finita. (.v) Teorema Fraco das Folgas Complementares

-

Uma condição necessária e suficiente para que

x

e

-

T sejam respectivamente soluções Ótimas do primal e

do dual

é

que verifiquem:

(vi) Teorema Forte das Folgas Complementares

-

Se os problemas primal e dual não são vazios existe pelo menos um par de soluçÕes Ótimas

x

e

7

verifi

-

cando as relações:

-T > O

IV.2.4 Resolução do Problema Dual

_{--- ---}

Uma maneira de resolver o problema dual

é\

a aplicação do &todo Simplex Revisado apresentado na figura 177-2. Para uma dada iteração, a matriz A e os vetores T e b são particionados

em componentes básicas e não-básicas, como mostrado na figura

Ainda para esta iteração,as atualizações dos vetoses c, b e b são dadas, respectivamente, por:

* n < r r m f * * - * = r n * SELECAO DA *

:

V A R I A V E L DUAL ' A ENTRAR

:

NA BASE I : b = m i n b i + r i . I.-..-.**-*-* 1 I

...

DZ *. **-3-m+..r ." T E m *. . * +mglrrn- * DE *. S I M * SOLUCAO O T I M A *" *. OTTMALIDADE .*---->' ENCDNTQADA *- *

<

F I M

i

*. ..bi'0?."." - -**- *. .* m-tt*--u * N A 0 i 1 1 i I V ***+-m***m *ATUALIZACAO DA * * L I N H A R *CORRfS?ONDENBE

:

* A V A R I A V E L . * - * ar= ar~-'

:

******.*t.*..*tl i

f

.=. F2 *. nsr.~3"""rr-c***> .* T E S T E *. * nnrF4C""x-* .* DE '. N A 0 *PRIMAL INVIAVE!-w D U M *--

>f

FIM * I L I M I T A D O .?-***.*rCII *. .* *'*-.tmt.-r SIM 1 SELECAO DA **..*.**...i,**..' * P I V O T E I A EM '

-

TORNO Dt

rS

:

FIGURA IV-2

APLICAÇÃO DO SIMPLEX REVISADO AO PROBLEMA DUAL

e as variáveis

nB

e n valem N

A matriz B é denominada Matriz Base e as variáveis ?rB e rN são, respectivamente, as variáveis básicas e não-básicas.

TV. 2 . 5 O

_{--- ---}

Dual S i m ~ l e x

O s protilemas prima1 e d u a l possuem a mesma s o l u ç ã o Ô t i

-

ma. A s u a formulação m o s t r a que ambos s e aproximam do mesmo ponto p o r d i f e r e n t e s caminhos: enquanto o p r i m a l p a r t e de uma s o l u ç ã o v i á v e l

(si

2

O , V i ) e melhora sucessivamente a função o b j e t i v o a t é que o ótimo s e j a alcançado ( E j

-

> O , V i ) , o d u a l

I

p a r t e de uma s o l u ç ã o Õtima sob o ponto de v i s t a p r i m a l (Ei>,O .Vi)

e a t i v a a s r e s t r i ç õ e s de v i a b i l i d a d e p r i m a l uma a uma, a t é que t o d a s a s condições de v i a b i l i d a d e p r i m a l

(bi

2

O , V i ) sejam r e s p e i t a d a s . Neste ponto, a s o l u ç ã o é Ótima e v i á v e l p a r a ambos os problemas (MACULAN & PEREIF?A~ O )

.

O Algoritmo Dual Simplex pode s e r v i s t o como um método de r e s o l u ç ã o do problema p r i m a l por r e l a x a ç ã o : ( i ) s o l u ç ã o i n i c i a l do a l g o r i t m o : s o l u ç ã o ótima do p r o b l e - ma p r i m a l , r e l a x a d a s a s r e s t r i ç õ e s de v i a b i l i d a d e (Ci

>

O , V i ) ( i i ) Escolha da r e s t r i ç ã o r mais v i o l a d a Se não e x i s t i r nenhuma r e s t r i ç ã o v i o l a d a , a ; s o l u ç ã o Õtima f o i e n c o n t r a d a . 4 ( i i i ) ~ e l e ç ã o da r e s t r i ç ã o s a s e r r e l a x a d a : a e s c o l h a e f e i t a e n t r e a s e l e g í v e i s , ou s e j a , a q u e l a s q u e , quan- do r e l a x a d a s não violam s e u s l i m i t e s . s ã o e l e g í v e i s a s r e s t r i ç õ e s j t a i s que

Note-se que, c a s o não e x i s t a nenhuma r e s t r i ç ã o e l e g i - v e l , o problema é i n v i á v e l .

Como a s u b s t i t u i ç ã o da r e s t r i ç ã o s p e l a r e s t r i ç ã o r

s e l e c i o n a - s e a r e s t r i ç ã o c o r r e s p o n d e n t e a o menor a c r é s -

cimo :

ou, c o n s i d e r a n d o - s e que

br

é uma c o n s t a n t e :

( i v ) ~ i x a ç ã o da r e s t r i ç ã o mais v i o l a d a no l i m i t e (n. e n t r a x na b a s e ) e r e l a x a ç ã o da r e s t r i ç ã o e l e g í v e l correspon- d e n t e a o menor a c r é s c i m o ã função o b j e t i v o ( T d e i x a S a b a s e )

.

( v ) Retorno a o p r o c e s s o ( i i ) B i m p o r t a n t e n o t a r que a s v a r i á v e i s b á s i c a s d u a i s c o r -

respondem a o s m u l t i p l i c a d o r e s p r i m a i s conhecidos como "preços".

I s t o pode s e r f a c i l m e n t e v e r i f i c a d o n a equação (IV-13).

I V . 3 BASE R E D U Z I D A

Devido a o acréscimo de v a r i á v e i s de f o l g a a o problema

o r i g i n a l e à e x i s t ê n c i a , em muitos c a s o s , d e r e s t r i ç õ e s do t i p o

x

-

> - L ou x

-

<

E,

a b a s e B a p r e s e n t a f r e q u e n t e m e n t e ( a p ó s uma

e v e n t u a l r e o r d e n a ç ã o em s u a s l i n h a s e c o l u n a s ) a s e g u i n t e e s t r u -

Pode-se a p l i c a r aos v e t o r e s x B I a mesma l i n h a aRou coluna

a

da m a t r i z A c, ção a n t e r i o r . C , b e B

'

p a r t i ç ã o e a q u a l q u e r r e o r d e n a

-

O t r a t a m e n t o c o n v e n i e n t e d e s t a e s t r u t u r a p e r m i t e a r e - dução de memória e e s f o r ç o c o m p ~ t a c i o n a l ~ redução e s t a t a n t o maior quanto menor f o r a dimensão da m a t r i z R em r e l a ç ã o à ,da m a t r i z B (LAND & POWELL

~ p l i c a s ã o

_{- ----}

_...

da Base Reduzida ao Problema Prima1

( i ) c á l c u l o da s o l u ç ã o ~ á s i c a

-

A s o l u ç ã o b á s i c a prima1

e

dada

U t i l i z a n d o - s e a Base Reduzida:

p e l a equação:

tem-se ; Cii) ~ t u a l i z a ç ã o da coluna a : C

-

A a t u a l i z a ç ã o da coluna a

e

f e i t a a t r a v é s da equa- C ção

través

da a p l i c a ç ã o da Base Reduzida:

chega-se a:

IV.3.3 ~ p l i c a g ã o

_{_ _ _ - _ -}

_...

da Base Reduzida ao Problema Dual

(.i) c á l c u l o da solução ~ á s i c a

pode ser e s c r i t a como Logo : ( i i ) ~ t u a l i z a ç ã o d a l i n h a a Q :

-

A a t u a l i z a ç ã o d a l i n h a a é dada p o r : R A p l i c a n d o - s e a Base Reduzida obtém-se: ( I V - 32)

IV. 4 RESOLUÇÃO DO REDESPACHO ÓTIMO

O problema do Redespacho &imo

é

r e s o l v i d o a t r a v é s do a l g o r i t m o Dual Simplex, u t i l i z a n d o - s e ~ e l a x a ç ã o e Base Reduzida.

A s o l u ç ã o i n i c i a l p a r a o Dual Simplex é o p o n t o de opg r a ç ã o Õtimo p a r a o sistema, r e l a x a d a s a s r e s t r i ç õ e s d e f l u x o n a s l i n h a s . O s f l u x o s n a s l i n h a s mais s o b r e c a r r e g a d a s s ã o e n t ã o t r a z i d o s p a r a o s e u l i m i t e , a t é que t o d a s a s s o b r e c a r g a s se j am e l i m i n a d a s .

Como o número de r e s t r i ç õ e s do problema de Redespacho &imo é m u i t o g r a n d e , u t i l i z a - s e o p r o c e s s o de r e l a x a ç ã o i l u s t r a d o na f i g u r a I V - 3 : (STOTT, MARIi'JlZ3 c"r ALSAÇ 2,

.

( i ) Forma-se um c o n j u n t o d e r e ~ s t r i ç õ e s R , composto da res

-

t r i ç ã o de b a l a n ç o d e p o t ê n c i a , r e s t r i ç õ e s de g e r a ç ã o , r e s t r i ç õ e s d e l i n h a com f l u x o acima d e 9 0 % de s e u li - m i t e . Todas as o u t r a s r e s t r i ç õ e s de f l u x o s ã o r e l a x a - d a s . ( i i ) R e s o l v e - s e o problema d e o t i m i z a ç ã o Min cAP ( i i i ) Analisam-se a s r e s t r i ç õ e s r e l a x a d a s e m ( i ) . Se nenhu - ma v i o l a ç ã o f o r e n c o n t r a d a , a s o l u ç ã o é ó t i m a . Caso c o n t r á r i o , o p r o c e s s o v o l t a a o i t e m ( i ) p a r a o i n i c i o d e nova i t e r a ç ã o .

* * W ~ * m + r * * C * INICTO * 8 * H n X * M f * t * * * 1 1 I 1 1 1 1 v *nn+gzwt****ct* * F A Z DESPACHO * * OTIMO INICIAL * *SEM CONSIDERAR * * RESTRICOES D E " * FLUXO *

*""...-*..*.---

I 1 I I v *rrr*w"cr*m+ * - F O R M A O * SUBCONJUNTO

-

CRITICO

..

* MONITORADO R * * * C*C*tlltt*t*tl***lC* I I 1 1 I V . x . 2

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...-

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f. SJ3RECARGA7 .*---- > 59LUCPlO OTLMAII i---

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*' S I M I 1 1 I I v **t*rEmf*aeIC*a " RESOLVE O * * PROBLEMA D E " "OTI#XZACAO PARAf * O SUBCONJVNTO I * MONITORADO *****r*********** I 1

F I G U R A I V - 3

-

UTILIZAÇÃO DE RELAXAÇÃO NA

RESOLUÇAO

DO

IV.

4 . 3 Alqoritmo

--

de ~ t i m i z a s ã o

--

Sabe-se que o problema tem n v a r i á v e l ~ de c o n t r o l e AP.

O quadro Simplex t e r á p o r t a n t o n equaç6es p a r a que e s t a s v a r i á -

v e i s possam s e r d e t e r m i n a d a s , uma das q u a i s s e r ã o b r i g a t o r i a m e n -

t e o b a l a n ç o d e p o t ê n c i a . Desta forma, s e r ã o a t i v a d a s n-1 r e s

-

t r i ç õ e s de f l u x o ou g e r a ç ã o p a r a que o s i s t e m a p o s s a s e r monta- do. Entende-se p o r " a t i v a r uma r e s t r i ç ã o " a s u b s t i t u i ç ã o d o

-

s i n a l de d e s i g u a l d a d e p e l o de i g u a l d a d e , o que c o r r e s p o n d e a f i x a ç ã o no l i m i t e (máximo ou mínimo) :

-

A A P L = > A A P = L

Nota-se que " a t i v a r " uma r e s t r i ç ã o no d u a l c o r r e s p o n d e no p r i

-

mal a r e t i r a r da b a s e a v a r i á v e l de f o l g a c o r r e s p o n d e n t e a e s t a r e s t r i ç ã o , igualando-a a z e r o .

A cada i t e r a ç ã o , o ponto de o p e r a ç ã o e v o l u i p a r a u m no

-

vo v é r t i c e . I s t o s i g n i f i c a que uma d a s r e s t r i ç õ e s a t i v a s s e r á

r e l a x a d a e uma nova r e s t r i ç ã o s e r á a t i v a d a . O p r o c e s s o de o t i -

mização é f e i t o p e l o a l g o r i t m o Dual Simplex a t r a v é s d a s seguin-

t e s e t a p a s , que s e r ã o d e t a l h a d a s a s e g u i r .

(.i) ~ o r m a ç ã o de uma b a s e i n i c i a l .

(ii). c á l c u l o do, Ponto de o p e r a ç ã o .

( i i i ) T e s t e de O t i m a l i d a d e : s e a s o l u ç ã o e n c o n t r a d a f o r Õ t i - ma, o p r o c e s s o p á r a ; c a s o c o n t r á r i o , p a s s a a o i t e m ( i v )

.

( i v ) ~ e l e ç ã o de uma r e s t r i ç ã o a s e r a t i v a d a e de uma r e s

-

t r i ç ã o a s e r r e l a x a d a . (-v)- Retorno a o p r o c e s s o ( i ) .