Sistemas com ganho discretamente variado: uma técnica de análise

3ISTDAS 0011 GANHO DilSClt:IIT.AMilf'l'II VA.lIADO :

Yyt

TIOIICA D~ AllALl$J

JO SI LUCJ.5 140UIÃO lU.IOJL DT'l'O

Uma tese_ submetiia ae

.

Cerpe Decente eia

Oeerdena,9ãe C!les ?r,c+-•t.na~ :Pés-Oraduades de ln~enharia ia U.P.I.J. c•m• parte des

:. ·~ ..,

requisites péé8si;)iries. para a eptepça, 11'1 ,rau à.e Mestre em Ci&noia ( 11.

l!e. ) •

J.GIW>JCIJIUTO

A meus pais, pe·r tuê.e •

FÔlha

t!

tulo •••••••••••••• º ••• º ••• º ••••••• • • º ••••••••••.••.•••.••••.• º • • • i Agradec:Ltnento • •• º •••• •·•. • • • • ••• •. •·• ••••• .,. • ••• • ., •.•••• •. • .. º • •••••• • • • • i i Índice

amiário

o••••o••••••••••••••••o•••••••••o••••••••••o•o••• .. •••••••••••••

o•~•oo•••••••.,•••••••••••••••••••••••••••••••••••o••••o•••oo-•• I Introdução • definiçoes ••••• •·• •• º • ... •• •·•• •·• ... ••.

..

Oap.

Oap.

Cap.

Gap. Oap. II

IIÍ

,

.

Analise

da resposta do sistema estudado

••••••••••o•••••••

Primeiro _{tipo de aplicações (.AGGD)}

_{••••••••º••••••·••••·•}

IV

_Segundo tipo de aplicações (Chopper) o • • . • • • • • • • • • • • • • • - • V - Conclusões

.

... .

1 2

3

16

21 Bibliografia ••••••••••••••.••••.••••••••• •-• ..••••••••• •-• •• •·• ••••• •-·• • ...

30

&

àesenv0lvide, para sistemas lineares variantes n0 tempe que aâmitam em@-àêl© apresentad©. Aplicações dêste mét0de si0 apresentadas, 00m0 exemple,p,!_ ra amplifioaà@res cem ganho digitalmente contr0lad0, e amplificaderes tipe ch0pper.

Capítulo I - INTRODUÇÃO E DEI!'IHIÇÕ~S I.l - Sistema a ser estudado

- Apresentação do mod;lo

-3-Seja o sistema S (representado na. Fig 1 (a) , cujos estJgios

s-L. -_l

(a)

(b)

Fig I.l

1. , i= 1, 2, ..

º,

n são passiveis de decomposição em subsistt!lmas, como indicado J.

na Fig 1 (b) , onde

(a)

G.

e um subsistema,

,

J.. cuja entrada

E.

l -

1

(t) e cuja saida

E!

(t) se relacionam

da forma

abaixo :

J. E! (t) ::: g.(t) E. 1(t) , ]. J. ].- i = 1, 2, ••• , n (l) onde 0

io

_t

_<

_e:-,

ºn

e _{l -}t

t

.e: t"~ _,:, • • • • • o 1) • • • '& • • • • • • • • • • • g. (t) ;:: · J. ºilc _(2~ ••••••••••••••••••••••

sendo os c:i.k constantes reais finitas.

(b) H. ~ um subsistema linear, invariante no tempo, caracteri-1.

zado por sua resposta ao impulso hi(t) , de

saida E.(t)

se encontrem relacionadas por:

J.

sendo

h.(t)=O _{]. .} \f

t

<

o

maneira que sua entrada E' (t) e sua i

(3)

Io2 - Caracteristicas do modêlo (a) Garacteristicas de S

(i)

Consideremos como entrada do sistemas, a função ,

en-,

trada de _{11 ,} e, como suas saídas,

as

saidas de seue estagies r , .

L.,

i

=

1, 2, •••

n

1

e, dessa maneira, teremos n saidas:

E_i_,

_{E2 , E}

_{3 , ••• ,}

En º Por extensão, escre-veremos:

E

_o

=

tf

(5)

(ii) Resüringiremos as funções de entrada do sistema, ~quelas funções

4'

limitadas no intervalo ( - 00 ,

t] ,

ou seja, exigiremos ;

(-00

,12]

(iii) Das definições anteriores,

se

depreende ser linear o

• , N ,

sistema

S,

Ja que o sao os seue elementos conectados em cascata,

G.

e

H.

ºSe, e,n

1 1

tretanto, variante no tempo,

j;

que o são os subsistemas

G . •

1 (b) Caracteristicas de

G . •

1

(i) Uma forma alternativa de

se

expressar g.(t) J. onde

,

alem de g. = -

L

dik u, 1 k=O K - ciO ci k-1 - cik k

=

O

k

=

1, 2, •••

p k

=

O,l, .• _., p

,

e a saguinte: (6) (.7) (B)*

*Ocaso em que um ganho constante existe no sistema, para todo t anterior a

to-.,

dos os outros considerados, pode ser tratado, fazendo-se, formalmente, 'C"O

= -

co

-5-(ii) G. pode ser interpretado, como veremos nas aplicações, J.

como um sistema cujo ganho salta bruscamente, em cada instante ~ , do valor ci k-l para o wlor cik: , dando portanto um salto de - dik = cik - ci k-l º (c) Caracteristicas de

H . •

J;

que, como foi indicado anteriormente, h.(t) =

O

J. 1

if t

<O,

o sistema

H. ,

alem de linear,

,

e

,

causal. Podemos escrever tambem:

,

J. Ei (t) :::

J

t

hi (t-t1 )

Ei

(t1 ) dt1 ₍₉₎ -00 o que decorre de equivalente a

(4).

h. (

t-t

1 ) = O V-

t

1

>

_t

J.

I.3 -

Operadpres associados a G. e H . •

1 1

(10)

Para simplificar a notação, vamos introduzir agora dois

ope-n

1tf A ,4 N

radores, 'íl'i e l~i, como aqueles que, operan~o sobre as funçoes de entrada dos

N ' N

blocos Gi e Hi , nos fornecem as respectivas sa1das, ou seja, aquêles operadores tais que as equações

~i [ Ei-1 (t)

J

= E! _J. (t)

e

}0. [

_J. E! (t) ] _{1. .}

=

E. (t)

1

sejam, pela definição, equivalentes ;s equações (2) e (3) • Assim,

íl .

E. l

=

g. E. l

õ 1 1- 1

1-J1o.

E!

=

J

t h. (t-t1 ) E! (t') dt' J. 1 -00 l. J.

~ Expressão das saidas E

₁

,

de Li• Substituindo (11) elJl (12) , Ei

=

1(,i[ ~i

Ei_l]

=

*·

₁

n.

_{l i}

E. 1

1-

---(11) (12) (13) (14)

**

(15)

** -

Por conveni;ncia, a dependência funcional em

t ,

(t) , ser: omitida. Assim,

g-{

=

gi (t) , Ei# = Ei (t) , etc., Depend;ncias funcionais em outras vari;veis se-rão assinaladas.

Portanto, aplicando i v;zes a equação (15), e observando que fizemos E = o teremos : Ei = '){,, i

q,

i )'bi-1 ~i-1 º • • '}bl q,l

4>

ou ainda, Ei =

CL~

<

Tu

j ~j

f

e

se convencionarmos representar por i

}I;_Wl

'

(16)

(17)

o operador correspondente

~

aplicação sucessiva e ordenada dos operadores CW)_{1 ,}

'Wl

_2,

• •• , 'YY)

i , ou seja, o operador mi rw) i-l • • •

o/Yl

l • - Jiplicação sucessiva dos operadores

q~j

e

JÍ?

j

(a) operador ~j º de maneira que ou (i) Definamos: i g\t

=lf

g J. j:-.;=1 j l

º'

_ik =

ir

_·-1 , J-d

*

_ik

=

e*

_{i k-J.}

- e*

_:Lk 'C L tL t O - ,. l o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • _._ • • • • g~ = l. -Ck

f

t L~+l

...

,

... .

(18) (19) (20) (21) (ii) Apliquemos, nessa ordem, a uma função~, os operadores

(J;_ , ~

2 , ••

•ii .

O resultado dessa

aplic•t~.

ser; :

~i ii-1 ••• ~l

=

(t

gj)

4'

=

g!f

(22)

em virtude das definições de () . e gtl' º

tJ

l.

(b) operador

)bj.

Definiremos simple~mente,

tp

i' como o resultado da aplicação su-cessiva elos operadores

)bj,

j = l, 2, ••• , i sÔbre a função de entrada

~

0

Então, _i

1

i = <

!

raj )

~

=

i

i

16

i-1 ....

161

lf

(23)

I.4 - Plano geral do trabalho

,

O presente trabalho se encontra dividido em cinco capitulos, a saber

I - Introdução e defjniçÕes :. introduz, como foi visto, o sistema S, suas equações fundamentais, al~m dos operadores que caracterizam os blocos de S.

,

II - em que a resposta de Se obtida para o caso geral.

,

III e IV - onde a teoria vista e aplicada a dois tipos essen-cialmente distintos de aplicações: sistemas onde se desja obter uma saida multipla

..

da entrada, por um fator variavel com o tempo, de intervalo para intervalo, e sis temas onde, em oposição, se deseja apenas amplificar (por um fator constante) a entrada do sistema. Representa o primeiro tipo, o chamado amplificador de ganho digitalmente controlado, e o segundo, o amplificador do tipo chopper, que utiliza um amplificador ac de maneira a obter amplificação numa faixa dj_stinta de frequên-cias, incluindo mesmo o zero. Para ambos os casos, problemas tipicos simples são examinados.

V - Conclusões, onde se faz uma revista geral dos resultados, e se mencionam as possibil1dades de aplicação e extensão dêste trabalho.

Capítulo II - ANÁLISE DA RG.SPOSTh DO SISTF.Má ESTUDADO II.l - Introdução

Nêste capitulo, utilizando os elementos d.ntroduzidos no

ca-, ,

pitulo anterior, chegamos inicialmente a um resultado valido para qmüquer siste-ma

s,

expresso na forma de um teorema, com auxilio do qual a resposta do sistema

,

~ obtida como a soma de duas parcelas essencialmente distintas, cujas principais propriedades são analisadas.

II.2 - Lema

Sejam os operadores

¼

e

4 ,

definidos por :

:l/o

f. =

L:

h(t-t') f(t1

) dt1 (1)

p

~

f = g f , sendo g = -

T

d .k uk ( 2, 3)

li=()

onde

os

d.k são constantes reais finitasº

Êsses

operadores satisfazem a relação abaixo :

onde

Demonstra cão :

Temos, por. substituição direta:

¼~r-4dbr= Jbl gr) -g~f

=

=

.Jb

Í -

i

d k uk f

1

+.

:f

d k u.

¼,t

=

l

k=O • k=O • 1C

=

ta

d.k

l

llic

)b ; -

¼ (

f

llic

~

em vtitude da linearidade de¼. Em consequência de (1),

ou ainda, e

assim,

1f>lru

1

J

=

o

%

lr

uk}

=

:V--

t

L~

"¼ (

f uk

1

uk

)ti

C}r - ~Jbr

=

(4)

(5) (6):, (7) (8)

-9-Oorol:rio l : Se considerarmos (ver nota

*,

cap I ) z: _o = -

ro ,

u _o

=

l e portanto,

v

=

O • Nêsta caso, a relação (4) se escreve :

o p

Yoqr-iJíor= {;

1

d.kl\:·lb(rvk]

(9) Gorol;rio 2 : Se tivermos :

1b

= ~-J j

4 -

m~\ qm (

g

=

gj '

d .k

=

djk ) f

= '-{'

j-1 poderemos escrever : € •• JJ (10) onde definimos _p f j j =

ho

d~k

~

Kbl

t{'j-1 vk} (11)

,ll,3

Teorem~ : Os operadores ~j e

¼j ,

e a função

tf

satisfazem a relação

~i; : .• _· (

_,.

12) . ·w onde Prova

1

i E: •

=

lí

··}{o

iJ _._._ 1 m m-J-..·

(por induçâ'.o finita)

(13)

(a) para i=l, a relação

(12)

se escreve:

Jbl

lb.

q}O - ~l 1'fol

l{)

O

=

~\1

(14)

,

o

que

e

um

caso particular de

(10),

quando se faz j=l.

(b) suponhamos

que

(12) seja v;lida para

um

dado i.

Provare-mos que

ela~ então

vJlida

para i+l.

(12) pode

ser escrita:

i

*

+

:::::..L ,.~

=

gi 10 i e. ' j=l ij (15) i

.¼

-*

i+l gi+l { -

E

iJ' J=l

Examinaremos agora, de per si, as duas parcelas do segundo membro. Em vista de

(4),

fazendo

chegaremos a : _{- p .}

Ji,i+ll ~+l

4'i)

=

~+l ¼i+l tf1 +

~

d!+l k

"k

~+l [

~i

vk)

=

== g* 10 +

t

i+l li+l i+l i+l

(17)

Por outro lado,

(1$) observando-se

(13).

Substituindo agora (18) e (17) em (16), obteremos :

i~l

ou ainda,

como

::: gi+l \f>i+l +

2-;_

Éi+l j

(T[

!b.

n \

D

~lf

n .

j

Jb)

,n

=

~

j=l J v{j) 1 j=l ÔJ j=l

jj

1 j=l

t

que riamos obterº

f

i+l j

(e) Dessa forma, vistos (a) e (b) , o m;todo da indução fini-ta mostra a validade de (12) para qualquer i.

II.4 -

Expressão final das respostas

de S - Ei

Como visto no Capitulo I (Eq.I.22),

E.

Jf

tfo.

n

_l

1

1 lj=l J ~OJ

j

Combinando a equação acima com o teorema anterior

(Eq.

15),

temos: i E. ::: gir 10. +

L

fJ..

j 1 1 11 j=l

E ..

=(

+t

}(?

íl )

f ..

J.J

\m=J+l

m

Õm

JJ onde

(I.22)

(20) (21)

-11-e

_{f ..}

=

L

p di!k ul

d0 .

,..

r

(íl. l vk

l

J J k=O .~ {: J

L

i J- (22)

Dessa forma, a resposta fica decomposta em duas parcelas, cujas caracteristicas e propriedades principais relacionamos abaixo:

i i

(a) A primeira parcela, g~ ~-, ou seja,

ll

íl.

-li-

/\J,...

,o ,

i 1 j=l

K"J

j=l 4~ 1 e

a saida do sistema representado na Fig II.4, e iguala o produto de uma funçaÕ do tempo,

g!,

pela resposta ~ide UJil sistema invariante no tempo.

i*~i

1

·

ar--r--'

~

--

-1

4v.

r

Fig II.4

(b). €:: jj pode ser decomposto em uma soma de funções que se anulam idênticamente antes dos instantes Z'k. Cada uma dessas,funçÕes depende

,_

exclusivamente do sal to

djk

a ela associado, independendo das outras transições que o sistema sofreu ou ainda vai sofrer9

(e} Se aplicarmos os resultados do Ap;ndice II.A ao c:lculo

de fij a partir de ~jj , veremos que a propriedade da decomposiçio do tipo con-siderado ainda permanece, sendo que agora, entretanto, cada uma das parcelas, que

, N

vai multiplicar uk contera nao apenas o fator djk , como anteriormente, e sim ta,m b;m os valores de todos os sal tos ocorridos para

t

~ tk , nos est;gios que o si-nal atravessou, ou seja, ~ij vai ser função de djk e dos saltos dmlc , j+l~· m ~ i.

te relacionada com a

sistemas invariantos

...

,...

,

A importancia das propriedades listadas acima esta diretamen-utilizaç:o desta teoria, como se pode ver:

i

(a) ~i =

1T

~J. co ~ a resposta do sistema composto pelos suJ2

J=l l

_,

no tempo, e pode portanto, ser calculada por metodos mais s=i:Jn

,

ples, metodos operacionais, por exemplo as transformadas de Laplace (simples ou bi-lateral), acrescendo ainda que~ e os ~j são certamente funções mais simples do que, pv~ exemplo, E. ou g.Ei.

J. 1

(b) Sabemos que para usar a trc:,nsformada de Laplace (simples), devemos ter como funções de entrada(e de saida) funções id;nticamente nulas para

ne-gativo. Dessa forma, podemos calcular por interm;dio das transformadas de Laplace, os [ .. depois de

1J obtidos os E jj •

(e) Naqueles sistemas em que cada H. (s) = [, [h.

(t)]

~

uma fun

- 1 J..

-N l? , N 1• d n N ,

çao racional de s, cada Gjj e uma combinaçao inear as runçoes proprias do sistema,

em cada intervalo [ c:-k , C:::k+l) , enquanto € ij

t

uma combinação linear das funções priprias do sistema Hj_ (s) Hj+l (s) ••• Hi (s) , no mesmo intervalo. Êstes fatos de-correm de q_ue uk

Jb

j

lf

vk]; mna combinação linear das funções próprias de H/s) ,

N , A, li,

uma vez que nao ha termo forçado para

t

~

i::k: ,

por ser f vk = O nesse intervalo. for outro lado, a resposta de Hi ( s) a mna das funções pr~prias de~,H/s)

~

uma fun-ção pr~pria de Hi (s) H/ s) para quaisquer i e j , ou então wna combinação linear delas.

lü;rn do ser usada nas simplificações descrites ac:i.Ino, a decom-po siçê'o efetua da nas

,

,.

saídas do sistema , Ei , pode ser usada naqueles casos em que

~-...

um dos termos pode ser identificado com a resposta desejado do sistema (Ver Cap III) ou. então ser nula, ou ainda desprezivel em relaç~o aos outros t;rmos (Gap IV)

II.5 - Um ~nico instante de transição ( p=l)

'

,

Vamos agora examinar um caso particular em que somente e neceJl s;rio uma transição nas funções gi o Usaremos a mesma notação que anteriormente,

o-, . k d d , . bt 1 d

mitindo entreatanto o ind11.ce =1, quan o esnecessario, para o er a gumas as pro-priedades caracteristicnsdo sistema, nêste caso.

onde u = u₁ = u (t

,

Alem disso, agora,

e

Ass:i.In,

- d. u

J..

ê:j_)

= u (

t -

e:: ) sendo ~ = - et> e Z:l

=

r: º

v = l - u

- d~ u J.

i E. = g~•

,o.

+

L

E. • •

i i 1i j=l J.J onde i

f . .

=

li

.Jfu

e: E • . J.J m=j+l m '-1Il J J Gomo

E ..

= O lf,

t

~ e::: e JJ g m = e

m1

Tf-t~c::::.,

i teremos é. ij Sejam agora.,

..

..

Em termos dest~s., onde É •• J.J

l

i

=T

m=j+l

ºm1

mll

~

.. = u

U,. [

f.

l V ] JJ J

J-S ..

=

[T

")h

l

€jJ' J.J m=j+l m

t ..

=A .. _~ij J.J J.J i Aij

=

d~ _J

·-ir

_ºm1

m=j+l

1f,lll

}/êjj

=O

ift~c:::,

(26) (27) (28) (29) (30)

(31)

(32) (33)

...

Dessa maneira, neste caso particulur, podemos decompor cada f .. , em um produ-J.J

-to A.. ~.. , onde : J.J J.J (a) A •• J.J (b)

3iJ

, ~

so depende das funçoes g_{1 , g2 , ••• gi •}

depende da função de entrada~ e dos sistemas H₁ , H 2, ••• Hi , e do instante <::: em que se realiza a transição.

O caso A .. = l , cm que € ••

=

5 .. ,

~ um caso particular 1J J.J J.J

muito importante. Êle pode ser alcançado fazendo-se, por exemplo,

t

L C

g_{2 -}- g -

_{3 -}

_••o

= g = l _n

,

.

-e pode ser usado como base teorica para dcterminaçao experimental de

s..

de vez J.J

' • H ' • ,

t

que, se tivermos uma unica transiçao em um unico estagio j, e ob ivermos experimen-talmente €.. , podnremos simplesmente obter todos os

·-g .. ,

e depois, calcular os

J 1J

E. . a partir das transições sofr.tdas pelo sistema. 1J

ft • t

II-A - Apendice ao Capitulo II p II.A.l - Demonstração:. Se x =

2_

~

1,c

k=O

decomposição semelhante:

-15-p e y

=L.

yk

~

, z = x y admite uma

k=O

~ onde zk

=

L

~

Ym

m=O

=

=

p

II.A.2 - Demonstração : Se x admite a decomposição

(=o

~(t)

1,c

então,

1b

g,.

x admite decomposição da mesma forma.

p

ou seja,

fu~

x =

~ ~

16[

zk

1,J

já

que %[zk

uk1

=

uk

1b

l

zk

~J

em virtude da causalidade de

Kb

º

Capítulo III - Primeira típ~ de aplioaç0es ( AOCD)

I I I . l - lntreduçãe

O amplificador de canho dícitalmente º*ntralado, (também ehamad0 amplifio~der 00m centrôle aut9mátioa ie canhe dicital - AGCD) é um sistema em que a sa!ta pede influir sabre e seu «anhe total, «e maneira a manter e seu nível de saída entre niveis prêfixadea, submetide.aàicienalme.a te à restriçãe de s0mente variar• canh• por petênoias àe deiso i'um caso particular de uma série de sistemas ( amplificadores) euje canhQ é brusca-mente varia.de, de uma_ maneira <iepenàen·te, eenforme e sistema, da saída eu de um comando extern0. Tais sistemas.têm em cemum e fate de que mudanças de ganhe devem ser transmitidas à saída, e pertant0, de que as mudanças àe

ca-nhe em seus estqies amplificadores sãe essenciais, ~end0 os fatores que de vem cemper a mudança de canhe total aparente à saída. A varieàade desiste-mas assim oonstituides, tem uma c0nstante: a precisãe de canh0 pede ser

ob-tida ãessa maneira é bastante superior àquela que pode ser ebtida cem canhes continuamente variadas, precisão esta difícil de ser obtida.

 análise de um sistema dêase tipe, pretjetade ceme é, para a ebtençie de um sinal determinad0, deve incluir a definição de um êrro, e,!_ paz de medir,nêste eaao,

a

inabilidade da saída de atingir imediatamente

a-pés cada transição, 0 valar da saída 00rresp0ndente ae nove «anho instalada

nc sistema, meàinde per tant0 a diferença entre a saída atual do sistema, e uma· saída desejada, que àeve ser definida incluindo as variaçees de ganhe, que se des$jam aparentes à saída, e também aquelas deformaç9es que 0

siste-ma introduz

no

sinal, mesme quando não há nenhuma transiçãe. lste se&"Unde aspecto pode ser aceite, em consequência de fate de que nenhum sistema fiai

ce,

a ganhe c0nstante, que seja, é capaz de reproduzir fielmente uma entra-da aplicaentra-da a êle. lo n0ss0 sistema, tais deformaç0es ainda vão existir, e

oontinuarãe aparentes, mesm© quando das transições s@fridas, mas nã0 devem ser inoluidas em um êrr0 cuja :finalidade é analisar o efei t0 de uma mudança de ganho na sistema, e assim na saída desejada.

-17-tema ie que tratamos acima, e .nêsse easo, em geral, 0s bleoes

o

_{1 representarie} atenuadores variáveis que se alternarão cem est~gios amplificadores H1 , carac-terizados per suas funções de transferência H1(s).

De acôrdo com as considerações acima, a saída desejada pode

ser eL

=-l

l('.>~ , para o estágio Li' e e\\,:::.

4!

I.{)-'\,\, vai representar a s1a,ída te tal des.!!_

jadat Observamos que:

(a)

(h

*

caracteriza as mudanças de canho aofrida,s entre os

estág-ios l e L

(b)

\()i

inclui as deformações que os estágios amplificadores H1(s) introduzem no sinal, mesmo quando

«

₁= constante.

Des s;;.i, maneira, fi êrro será d efi nid0 com@ E.;_ .::

ti_

e~,

sendo o êrro devido às mudanças de ganho sofridas pelo sistema. A seção seguinte é ded,1 cada às definições, e à expressão de f-é, , obtida através dos resulta.doa ele capí tulo anterior • .As demais seções examinam exemplos dêste tipo de aplicação.

III.2 - Definição de êrro, e sua expressão

. . Definimos _{a saída deseja.da para o está~io L1} de sistema

s,

como aendoei)_fr~:iri'~, onde (), e

Jbj

são os operadores definidos no capítulo I,

l.1=-' j ':;.\

~

01

J

~ ~

&

a entrada

db

sistema.

Definimos o êrro €.;_, devido às transições sofridas pelo si.2, tema

s,

à saída de 1_{1 , como sendo igual} à diferença entre a saída _{atual E1} e

a saída desejada e., 1

€i: =-

t.l -

ei

De acôrdo com (II.20), ~- se escreve:

•

sendo é'.,j como f:_ •• 'j (1) (2)

Convém obse;tvar que, nestas condições, ~i ~ o êrr0 total à

saída de 11 ,

Ejj

é o êrro introduzido pelo estári0 j, observado à saída de Lj, e

EU~

o resultado d~ propagação do êrro até o estágio

Li,

onde é observado, sendo portanto o êrro a;cerado por Lj ,observado em

Li •

111,

O:

êrro

total, à saída de :3 ( ou de Ln ) é E""'--=-j~

½ ,

igual à aoma dos êrros gerados nos eatá,:ioa anteriores, observados à saída do siste-ma.

III.) - Jrro de um sistema composto por estágios de primeira ordem, idênticos. Seja, em particul~r, e sistema 3 representado na p~rina se,;uinte.

Fig. III.3

@nde es estágios H1 (idênticos) são earacterizadoe por sua fun9ão de transfe-rência oemum,

H( s:) ,

e as funções g₁ sofrem uma únioa. transição em t- z •

ção de

)b

j ,

mas, como surerido no t-z- à

madamente,

De acôrdo oom o encontrado na seção II.

5 ,

r;.J,

= l,{_

)bj. [

,o,

v-)

= u,

rt

()l G-ôl(+--t'\o'.

(·P)

~(+')

dt'

=

~j-1 .

too

'J-1 :

- oc (t--'Z:-) )

=

~i

l

z:.) & u., (

l--

z:. ( 3)

Para calcular ~j , podemes empre,:ar as inter;raia de def'-dini-entretanto,

é

mais simples usar as transformadas de Laplace, capitule anterior, fazendo-se eorre:aponder, por simplicida.de,

( 5) (6)

dem deduzir da expressão de Ei. e àa aproxims.ção a.cima.

III.~ - Análise dos resulta.d.os obtidos.

Consideremos o amplificador de ganho bruscamente variado da seção anterior. Vimos, e~tão, quê o êrro é dado por

onde

Éi,:::

z.

Âtj~j

L"'\

l

t>ll\·-~)) l-j

l

c-J)

~

se tefininnos, para facilitar a análise, X.::. IX

li--

t) •

-19-Fodemos ver, das expressões encontradas para

Si:_j ,

que

·s;i:

(ou ~j) é uma fu~9ã0 deoresoente de x (ou de

t),

para x 70, passanà0 por um; máxime em x•O. (~j

=

4!i•{c:,) ), no instante da transição. Além disso,

TlJ

(1,tj) se anula. para x-0 , passa per um máxime (ou mínimo::, con:ferme a sinal de

tl/.J-c) ),

e decai exponencialmente para zero, quande ;i__,, a::>. Observando

~~i

=

-.e. [

.J..=i - ,

l

(10)

Q"l, lj 'X,

J

que se anula para x=i-j, vemos que e máximo, nêsse instante, é

e~-')

i-J

-(

C-j)

w.4'5:·

=

\Q,ld.

J . é (11)

'J J

li -

j}

! .

Ias condições ãa aproxima9ã.0 feita na seção anterior ( ~jx l{J ) , _

'tlJ·

~ f'unçãQ a-penas de 1-j, eu seja, de número de estágios que 0 êrro atravessa, desde que

é

gerado, até o estágio em que é observado.

Vamos acora considerar o caso em que o sistema, em t-~, S,!,

*

*

*

fre· uma mudança de canho, passando de um ganho

e""'º

para um ca.nho

~,:::t,LC.M,

e em que se aupae::que +i,penas o estágio k sofre uma tra.nsiçio, passando. de .ganho

~º

para o canho \-l~o • Censià.eraremoa ainda válida a aproximação l(l.i'lt-~ , vista ante-riormente. Teremos:

Ci:o -:::.

ci,

₎

i.t-

k

µe~

-:::. _C~1 ( C-::.

k)

:portanto,

e~

_{LO = Ci:,,} ~ i,.:: ~ ',li;

V,

C~-o :::. Ct:, ~

t

~

k.

de manéira que

tl[

=

df

-::::: Assim, ~,j ::: ~;~ :::. Dessa maneira, '\,\,

o

*

\,

~

C.~o

l \_

P-\

1\

c,\fv\o :::. e,i:o

l \ -

}A

l

lvl-::.~+ 1

*

VI,

e\¼)

l\-\A-)

J~

.g~

-'\,\,-~ ~

'L

j,_;_ v,=.o

-J

t

em valor absoluto, para

e~~

·2:_

~

171

=

.i :.\ "

l

~

)\( \'

X

ou,

e\,\.

~ cl,\,i) - CIAI J ~ (t)

G-0 que mostra que tanto maior será,

o valor de€...., quanto menor fôr k, de maneira que a melhor

(12) (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

j~k

(19)

(21)

qualquer x, (eu

t),

situação será quan-do tivermos k,máximo, igual a n. Uma transição, dessa forma, conduz ao menor êrro, quando se realiza, integralmente, no ultimo est~io.

Podemos provar, nêste caso, que os

miximos

de¾ não tem correspondente em ~:

<.

o

₍₂₂₎

!lrro relativo. Um êrra relativo padaria. ser definido como

elA.

/(ct

1 ({lvJt-)) ,

di-vidindo o êrre _ ( a.bsolute) encontrado, pelo valer da. sa!d.a àesejada. no instan-te considera.de. Jlais o6mode, entretant0, é usar para representar

tf}t-)

~ valor

de ~lt:,) e definir um êrro relativo

e"'"

e-t,

'{'l

t-) nas condições da aproximagão feita.

Para o easo particular acima,

cl -

e!(\-}"-)

.i,c:

~ Í

/*

l '\

e

c;.,-1/1. - J .J / (,,'IA.\

l(>

t, 1

depenàe de um fator \-:::. l~ , sendo

µ.

Of_b,IL

1 _para e

_OL

_I~\

para

(23)

(2~)

(25)

(26) Quando se leva a cab0 uma diminuição de ganho, por um

fa-tor

µ, ,

o êrro relativo & bem maior que q_ua.ndo o ganho aumenta, pelo mesmo

fator. Dessa maneira, como uma norma para a escôlha de uma rotina ãas mu4an-ças de i'anhe de um sistema real, deveremos_ escolher par& as diminuições de canho, os est,gios mais próximos do último • .il&m disso, notemos apenas que como

év..,

proporcional a

l(>lt:-) (

aproximadamente) se e instante ~ ~ esc0lhido d.e manei~a a anular ou minimizar

~l~),

o mesmo acontecerá, (aproximadamente), a

~

..

Evidentemente, uma análise bem mais detalhada pode ser

fei

ta, ma~ isso não

é

o desejado aqui, onde eia apenas tii111ra como um exemple de aplioâgão da teoria vista.

Capítulo IV -

Segundo tipo de aplicacêts; chopper IV.l - Introdução

O amplificador d. o. a vibrador s:f.ncrono pode ter âescri to o 13e1,1 funcionamento, dizendo-se que êle amplifica sinais de baixa frequência (d.e.) usando-os para modular um sinal em forma de onda quadrada, que é en-tão amplificado por um amplificador a.e. (cuja faixa de passagem não inclui, em geral, as frequências da entrada). Um estágio posterior faz a demodulªyão e a filtragem do sinal, de maneira que a. saída reproduz a entrada

amplifica-da. lfão nos cabe aqui discutir ou demonstrar as qualidades e desvantagens do sistema, nem sequer a sua realização prática. Interessa-nos apenas mostrar que a teoria desenvolvida anteriormente permite analisar o seu comportamento, sendo aplicada aqui de maneira inteiramente diversa da encontrada no capítulo anterior.

Por simplicidade, êate capítulo se divide em quatro seções, à. saber:

IV~l esta introàu9ã0

IV&2 - generalidades sôbre a apliêação da.teoria ao tipo de sistema aqui estudado

IV.3 - uma análise sucinta de um modêlo extremamente simpl,i ficado

IV.4 - oomentários dos resultados de

IV.3,

em que se estu-d.am as características principais tio sistema em estado permanente ou transi tê-rio

IV.2 - Generalidades

Um sistema como o amplificador ohopper sumáriamente ãescr,i te em IV.l, pode ser representado pelo sistema S estudade anteriormente, como abaixo, (fazendo-se, naturalmente, n~2)

Fig.IV.2

º1

e 02 represent~m @s estágios modulador e demodulador.

As funções ~

₁

(t)

e g₂

(t)

que os definam, em geral,

serio

semelhantes ou

i-guais. Exemplos para. êles são os ohoppers, simétrico e assimétrico:

(a)

chopper assimétrico :

~~

~T

~

t

t,,

( .2.v.-t

1) T

'h

~ _,1

_t.2.v.'\'1)1

_f.

_t

_L

_.i(\A--1-,)

_T

₍₁₎

<t-2-:.

\- <à-1

(b) ohopper simétrico : \ -1 } +I

~1

~

t

L

l'2¾-4l)T

( LM_..i.,

1\1

f:.

t

L

!Ll

'IA-\-\) ·1 ( 3)

(4)

lim continuação,

n

1 e H2 representam o estágio amplificador (~.o.) e o filtro. De forma geral, _H1 será um sistema passabania ou passaalt0, e _H2 será um sistema pas~abaixo,destinado a eliminar as frequências mais altas introduzidas no processo.

Ie caso prático, a função

tf

de entrada será constituída de frequ~noias inteiramente fora da faixa de passagem de

n

₁, e, nessas condições,

potii ereme s tomar :

( 5)

como uma aproximação suficiente. lo caso em que~• constante, a aproximação se tornará em igualàade, isto é, teremos realmente

%

1 l{J:::. O e

lfessas oondigÕ·es, escreveremos :

(6)

e portanto,

( 7)

Como vemes, aqui reside a distinção essencial entre êste tipo de aplieaçÕos e o anterior, de vez que naquêle, o têrmo mais importante

da resposta é aqui nu.lo ou desprezív·el, e a resposta clesejaà.a do sistema de-ve ser procurada no têrmo E:'.i.1 , que n~quele caso era apena.a uma parcela de êrre.

Observemos apenas, para concluir, que se não tivermos

X,

1~~ O polil.eremos sempre levar avante o oê!loulé, e obter os têrmos

ez..

e E..i-z..

eia respesta. Entretant0, realmente, repetim0s, o valor

de{),-i%,~

poder~, em C,!

ral, ser d«sprezado, frente a f'.i_{1 ,} e a~: respasta será dada por éz._{1 •}

IV.3 -

Análise de um eas0 extremamente simplificado

Censideraremea nesta seção, e na secuinte, um caso particu-lar eJtremamente simplif4cado daquêle encontrado em IV.2 • Faremos, 00m

efei-to, do primeil'o I - _{de transferência de H}

1 e H2 ,irau as funçoes

'

quais sejam, \-\, (.ç) -::.

s

-::. \-

--!-'+

~

S-k ~

(8)

\--\2

l

s) = O(

(9)

.!; -1- \\(

e cem que as funções g

'C

L Ü

~ Í f.

t"

L(~-1: \)

Í

(10)

\~-\-l)í

~

\- L

ll

IM-+ l)T , lvl:0,1, ...

Podemas exprimir também

r«

₁

(t)=c

₂(t) na forma já us~da anteriormente,

ro W

4-:: -

L

d.~~

=-

L

(-\)1<

u. (t---

k-T)

(11)

\.:.:.o 1':-=-o

0 que nes permite escrever

(k-~1)

&.

·l' ::

l-

1) (12) ~') Para que se tenha realmente%\

~~O,

tomaremea para a a-nálise, l.p-:z. Lfo = constante, come função cie entra.eia. A resposta a

tfc.l{)

0 seri

.i.-presentada nesta seção, e suas propriedades principais, na seção seguinte.

Temes :

(13)

(14)

e Assim, (16) Portanto,

Ep

'li,,_

q.,_

i;,,

~

~i. [

4-

lo

d . ._

ti._

'Xi.[~¾)]

(17)

De aeêrdo com o apêndice IV-A, temp.s, para qT f t , (q+l)T

,: _

,_

_fX'lt--q,T)

~

.-

~lt--t4-1)

e.. 1.. _ 1.i.

4

6

+

º'1-

G (18)

onde, 00nforme a pariàad.e de q, (q • 2p eu , ... 2p+l) ,

*) -

_{Nêste caso, u0} T J O, e pori o · · ss , e 130ma -r o se ex en e -. es e zero, mes-tó i t d d d ma :para o cálculo de éjj ( no cas&, é.₁₁ ) •

- Â soma indicada ( até infinito) representa apenas a soma até q, sende o intervale [ qT , {q+l)T ) o i11terval0 que centém e ponto

t

considera.ão.

Bip -;::;

lX~º

IX-~

B'lf·H-=-

o

lstes resultados

\+1::,-foT

serão analisaàos e oomentades na ae9ão sel'fl,inte. IV. ,4 - A.nâli se dos resulta.d.os obtidos.

(21)

(22)

1m vista das express0es encentradae n0 final ia s~ção an-terior, pedemgs dizer que

(a)

Durante o intervale em que

c

₂

fo

(intervalos onde q

&

par) a resposta do sistema, uma superposi9ãa à~s expenenciais

característi-( ~ 11,T ) .1 • • ( -~T )

cas do amplifioa.d.Gr ~ 1v , e 1;1.e filtro passa.baixo G. , e nes inte1: valos em que q é

ímpar,

_{(onde ~2}

-o),

apenas a segun~a expenen0ial se aprese!!. ta, em virtude do desac0plament0 efetuade per g2•0.

(b) Pede-se verificar que a saída 1

2

é

uma

funçi0

contínua

(23)

e que

(24)

o que j4 era, naturalmente, esperade.

(e) À medida que q oresee, Ã _q e B _q têm dois p0nt0s de acu-mulagão, eaàa um. la realidade, podemos observar que:

=

~

l

_l__

r' ·-

GcxT

·i -

-E _

_2-off \ :,

«-~

l

l+6fí

l

i- 60(1 \-GZOlT \

=- IX\(}o E O(Í

r

6 O<T 1 ) - P.,

+-Q(-~ l-G°'TL \4-6°'T l.+G~T

1

e

Lw.

Âl,\)-\'I ;. l)[~º-~--400 ot-~

l

l~b~Tt ,~:::

1

+

t-6

_{::T \}

=

-

(){ \{)º GlXT

l

\

~

G~T

j

-!X-~ 1-t:0(1 l-+ G"''T

~IM-

Bip

_{. 1XlPo}

+

-

B

\ -f,T

...

p ·--\

OCI

0<.-0

_{-t t}

~-(25)

(26)

(27)

e, em

sendo

estada permanente,

»

_{2 peãe ser} esorit0:

~

=- p.,

+

G. -NTo

+

E,+ é-

~+-o

nes intervalos pares

ti. -=- Â- 6

-~+---0

nes intervales ímpares

t_{0 a tempo contada a} partir do ínici© de intervalo.

(29)

( 30) (d) o _{val<?'médio de E2 poàe ser caloulad0, c@mo sendo,} em estado permanente: r- T

-

. 11 (

-+ -

txto

Ei.

=- _I (\ E

+

:l.T o

( 31)

_l

--h

l

_oc:T

1-t

6 2.~T O(

-

~\

1-

<::

p.>T

] =

~

lfo

=- é

+

G

.

, i í

_I+

_{€: ~T ~} \ ..+ E ~•

de maneira que K será o efetivo «anho do sistema.

Bum

sistema

r~àl,

deveria-mos ainda aeresoentar a êste fator K, e ganhe do amplificaâor a.o., que, ne nosso exemplo, foi ternado unitário, ,, portanto, teríamos um canho efetivo KK0 , chamandG de K0 êsse outro fatoro

IV-A - A.pêndice

Cáloul0 _{de 12 ; lste} apênàice centém a demonstração da expressão apresentada na seção IV.3 •

Come ponte de partida, temos,

t,

~

)b,

l

_{4 [}

,1_,,

'-'lc

%,

e

~,i-.

1

J

onde Come Ora, como ~

k

k - \ - (-1)

·z

d,

\M

~

l

('--\)V\,\-\,

1 ""' 'h-t::.O 'Z

T

~

(\\A-1,)

1

(-d'- -

é~ fo !c:.T

&

•'lv\ G ::. ~ -'lvl::.o 1 + e f!>T

e, além disso, usando a transformada de Laplace ( utilizando JOmo tempo t-kT) 1j [

~

/M

+--

llT)

)

J

r'~,

r

rx ·

~

J - -'

l~

lj__ _

_i \) _

teremes :

601- é LL(t-k-T

=--

.J..

LJ>-1-o(

.s+~

-

[

~-OI.~+()(

t+fo)

-_ (), \ e.-

r,.l+-lcT)_

é- ~l-1--lt.í)\ _r_ I::; )

u

(-hk:Tl

~-<X k - ~\LT (_,, ,.. 6

\+

&

pr

l+ C-1) t< :2,

Se su:r>usermes t ocrntid0 ne intervalo [ qT , (q+l)T ) , escreveremos :

\+

(-\J lt. ) ( -t<Ít--!Lf) _

fb(+-l~T))

É - E

2-.

4t ·

-~·t:-Vam0s agora calcular os fatores que multiplicam é e G na expressão acima, oalculande as somas indicadas abaixe •

~ ~

z [

1-- ,s~k'T (_,) 1' -

.1-+

~<)

I<]

t=- l>l\t.T

=

k:--=-O

1-+

G ~T ] [ 1- é l)(lq_+í)í . l-1- 6 loL-fo) (~-1-i) T (-\)

~

-=

1 +I G (b T 1-<::-ôlT 1-+ é

toc - ~)

T T

'f.

J_ ( ,_

~

O( l4+1)T

+

I+

6.0ll'4+ 1) /-) ')

J

- 2 1- éllc'.T l--4- G,blT

~

\ ~\c.T

l '\

k I<: ] íl.\ií

s

=-

l \-

G ..,... - \ ) .- 1-+ ( -í) b 1" :::

~

~=-O \-t é

~

I

2-\

Í

1- é~{ iq.+ \) T _ l-+ ~,)

~

]

=

\+

~

P.,T

l

1- E. (b'í _..L

l-1-

6 f1>(1-+1)Í

+

,l+éfol':\-+1)T{-l)tq.]

2 l-6/bT 1-+E-jbT

Cam aux!lie dêsses resultad0s, p0derem0s escrever:

ande

¾:

O(IPo

-

O(_ {b

-

(>('-Po e o/-~

~:-.:.!;

\::ti=

Í~l-_;;..é_~(-:-e?t-f-=-1)_t - \+(-l)q.J-~

[1-t~( ...

t,]T

~

1+lllfl:\_,~l

-

~

G

)f-t-E~Tl

l-e~T '2 2 1-

elhT

Hf:r,

Se levarmos em conta a paridade (ou não) de q, eu seja, fazendo q•2p (q•2p+l),

eu

Bip

=

V.- Conolus@ea

Como foi visto anteriormente, 0 ponto fundamental ãêste

trabalhe é o estabelecimento de uma relação entre os operadores característ!,. cos do sistema estudado.

lata relação, apresentada na forma de um teorema, é váli-da para os sistemas passíveis da decomposição em blocos apresentada no Cap. I . Nessa ocasiãe foram feit~s várias_hipáteses, para assegurar a validade do teorema, como passamos a discutir:

O teorema é válido, de acârdo com as hipóteses feitas, P,! ra os op~radores

1(o

correspondentes a sistema lineares, causais, invariantes no tempo.

ls

duas primeiras restrições, necessárias à demonstração, foi, por oomodid~de, acrescentada a última., que não é essencial para a. demonstração do teorema.

As restrições feitas a

q,,

eu à sua função característica gi(t) (continuidade e constância por intervalos), foram feitas de maneira a incluir os casos em que transições são levadas a efeito, em um ou em váries estágios,.simultâ.neamente ou nie, e a particularização para um único instante de transição permite analisar não apenas êsse caso específico, mas também o caso em que as transições si.o suficientemente afastadil,s entre si no tempe, de maneira que uma influi àesprezívelmente sobre a outra.

Da maneira como f0ram a.presentadas, es instantes de transi

ção são

supostos conhecidos,

mas

na realidade basta que êles sejam

função

de

um sinal externo qualquer, que pode até mesmo ser a entrada eu outro sinal de pendem·~e dela. Dessa maneira, esoolhende: se convenientemente os instantes de t~ansiçia, podemos analisar aquêles sistemas não lineares, que sejam pa~sí veia de equivalência a um sistema variante no tempo, como 0 oensiderado.

Quanta às aplicações apresentadas nos Capa. III e IV, sua análise figura apena.s como e:J;ernplo de utilizaçã© da «eoomp@siçãe do sinal pe1: mi tida pelo teorema estudado.

Assim, no Cap. III, uma saída desejada e um êrra são defi nidos, e e última calculada, para uma amplificador de 1anh0 bruscamente (0u discretamente) variade, e, por outro lado, no Cap. IV, a saída é calculada, para um modêlo simples de amplificador chopper, em estado permanente e esta-ão transitárie, e seu ranho efetivo é determinado.

O trabalho vist0, pode ser ceneralizado e (0u) extendido, a nosso ver, nas seguintes direções principais:

(a)

extensão a sistemas não lineares passíveis de equiva-lência a sistema lineares variantes n0 tempo, eeme o sistema aqui estuàad@.

-29-(b) extensão aos sistemas variantes no tempo, em que

g.(t)

se transforme em uma funçi0 contínua.

1

(e) exame à0 cas0 em que aa comutaçâes.de ~anha sio fei tas em instantes e (eu) valeres escolhidos aleatóriamente.

lH:BLIOGRAlf'IA

lo Geophysics, Dez, 1965 - Abstraets ef papers presented at the 35th Annual Intern~ti0nal SIG meetingo

2. Linear System Analysis - C.A.Deseer e L.A.Zadeh, KcGraw-Hill

3o

Principles and Techniques of Ap:plied lfathemi.,tics - JSern~.rd Friedman , J0hn

W;Uey

4.

i~near Differential ~quations - Kenneth 5. Killer, Ierten

5,

Operational Caloulus - Van der Pele Eremmer, Cambrid«e