CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
ESTEBAN DE JESUS GARCIA HERNANDEZ
Comutatividade Fraca em Teoria de Grupos
Campinas
2020
Comutatividade Fraca em Teoria de Grupos
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientadora: Dessislava Hristova Kochloukova
Este exemplar corresponde à versão
final da Dissertação defendida pelo
aluno Esteban de Jesus Garcia
Her-nandez e orientada pela Profa. Dra.
Dessislava Hristova Kochloukova.
Campinas
2020
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Garcia Hernandez, Esteban de Jesus,
G165c GarComutatividade fraca em teoria de grupos / Esteban de Jesus Garcia Hernandez. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
GarOrientador: Dessislava Hristova Kochloukova.
GarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Gar1. Teoria dos grupos. 2. Comutatividade fraca. 3. Álgebra homológica. I. Kochloukova, Dessislava Hristova, 1970-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Weak commutativity in group theory Palavras-chave em inglês:
Group theory
Weak commutativity Homological algebra
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Dessislava Hristova Kochloukova [Orientador] Pavel Zalesski
Artem Lopatin
Data de defesa: 02-03-2020
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9865-3653 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7004930688641279
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). DESSISLAVA HRISTOVA KOCHLOUKOVA
Prof(a). Dr(a). PAVEL ZALESSKI
Prof(a). Dr(a). ARTEM LOPATIN
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Agradeço primeiramente a Deus pelos inumeráveis ensinamentos e experiências que tive durante este periodo de formação, os quais têm sido determinantes para o meu crescimento espiritual, pessoal e profissional. À Santíssima Virgem Maria pela sua proteção tanto física quanto mental.
Ao CNPq pelo apoio financeiro (processo 143136/2018-6), elemento essencial para o desenvolvimento deste projeto. Ao IMECC-UNICAMP por abrir-me as suas portas e pela excelente acolhida.
A todos os professores que fizeram parte da minha formação no curso de mestrado em Matemática, de maneira especial, à minha orientadora, Profa. Dra. Dessislava Hristova Kochloukova, pela sua constante atenção, paciência e dedicação; a sua colaboração, ensinamentos e direção foram fundamentais para que este trabalho pudesse ser feito.
À minha família, em particular, à minha mãe Luz Myriam, e ao meu irmão Danilo, pela atenção, compreensão e conselhos valiosos ao longo desta etapa da minha vida.
Concluindo, agradeço a todas essas pessoas que fizeram parte, de uma ou outra forma, dessa caminhada: amigos, colegas, professores de português (mais especificamente, às professoras Patricia Aparecida de Aquino e Meirélen Salviano Almeida e ao professor Daniel dos Santos) e até conhecidos, porque suas participações na minha vida, por mais curtas que tenham sido, têm sido importantes para o meu processo de autoconstrução como ser social.
Estudamos a construção da comutatividade fraca de grupos sugerida pelo professor Sidki nos anos 80. Discutimos vários resultados obtidos por Bridson, Kochloukova, Lima, Oliveira e Sidki sobre essa construção. Além disso, estudamos a propriedade homológica FPm
definida por Bieri e descrevemos resultados básicos da álgebra homológica necessários para desenvolver a teoria de grupos de tipo FPm.
We study the weak commutativity construction in group theory defined by professor Sidki in the 801s. We discuss various results about this construction obtain by Bridson,
Kochloukova, Lima, Oliveira and Sidki. Furthermore, we study the homological property FPm defined by Bieri and describe some basic results of homological algebra that are
necessary to develop the theory of groups of type FPm.
Introdução . . . 10
1 GERADORES E RELAÇÕES . . . 11
1.1 Grupos Livres . . . 11
1.2 Grupos Finitamente Apresentáveis . . . 13
1.3 Produto Livre de Grupos . . . 14
1.4 Extensões HNN. . . 16 2 ÁLGEBRA HOMOLÓGICA . . . 19 2.1 Categorias e Functores . . . 19 2.2 Produtos Tensoriais . . . 21 2.3 Hom e b. . . 22 2.3.1 Somas e Produtos . . . 23 2.3.2 Functores Exatos . . . 24 2.3.3 Adjunta . . . 25 2.3.4 Limites Diretos . . . 25 2.3.5 Limites Inversos . . . 27
2.4 Módulos Projetivos, Injetivos e Planos . . . 28
2.4.1 Módulos livres . . . 28 2.4.2 Módulos Projetivos . . . 29 2.4.3 Módulos Injetivos . . . 29 2.4.4 Módulos Planos . . . 30 2.5 Homologia . . . 30 2.5.1 Functores de Homologia . . . 30 2.5.2 Functores Derivados . . . 33 2.6 Ext . . . 36 2.7 Tor . . . 37
2.8 Grupos de Homologia, Cohomologia e Aplicações . . . 39
2.8.1 Grupos de Homologia . . . 39 2.8.2 Grupos de Cohomologia . . . 41 2.8.3 Aplicações . . . 42 2.9 Sequências Espectrais . . . 44 3 O GRUPO X pGq . . . 46 3.1 Definições Preliminares . . . 46 3.2 Resultados Preliminares . . . 47
4.1 Policíclico-Por-Finito . . . 60 4.2 Finitamente Apresentável . . . 67 4.3 Propriedade FP3 . . . 72 4.4 Grupos Finitos . . . 79 4.5 Propriedade FP2 . . . 88 4.6 Grupos Perfeitos . . . 91 REFERÊNCIAS . . . 93
Introdução
Nesta dissertação abordamos o tópico de comutatividade fraca em grupos. O conceito surgiu em um artigo de Said Sidki (SIDKI, 1980) em 1980. Por definição
X pGq “ xG, Gψ
| rg, gψs “ 1 @g P Gy. onde ψ : G Ñ Gψ é isomorfismo de grupos e ψpgq “ gψ.
Esta construção foi pouco estudada até recentemente, quando novos resultados surgiram, veja os artigos de Lima-Oliveira (LIMA B.; OLIVEIRA,2014), Kochloukova-Sidki (KOCHLOUKOVA D. H.; SIDKI, 2017) e Bridson-Kochloukova (BRIDSON M. R.;
KO-CHLOUKOVA, 2018). Vale a pena observar que em (KOCHLOUKOVA D. H.; SIDKI,
2017) e (BRIDSON M. R.; KOCHLOUKOVA, 2018) foram usados métodos homológicos.
O fato de que a construção deX pGq tem ligação com a teoria de homologia foi observado ainda por Rocco (ROCCO, 1982) que provou que X pGq tem subseção isomorfa a H2pG, Zq.
Nesta dissertação descrevemos algumas propriedades da construção X pGq e procuramos, sempre que possível, exibir demonstrações homológicas, até para fatos mostrados por Sidki em (SIDKI, 1980), em que foram usados métodos não homológicos.
Devemos ressaltar que a construçãoX pGq está relacionada ao produto tensorial não-abeliano, que foi bastante estudado nos últimos 20-30 anos. Embora o conceito de produto tensorial não-abeliano pode ser estudado sem métodos homológicos, a sua definição foi motivada por problemas homológicos, além disso, os primeiros estudos envolvendo este tipo de produto usaram métodos homológicos, veja (ELLIS,1987).
No capítulo 1 desenvolvemos conceitos básicos da teoria geométrica de grupos, como grupos finitamente apresentáveis, produto livre de grupos e extensões HNN. No capítulo 2 descrevemos conceitos elementares da álgebra homológica, seguindo o livro de Rotman (ROTMAN, 1979), começando com categorias e functores e terminando com conceitos complexos como os de sequências espectrais. No capítulo 3 definimos X pGq e estudamos propriedades básicas dessa construção.
A parte principal da dissertação é o capítulo 4, onde demonstramos vários resultados sobre X pGq. Assim, mostramos que se G P P, então X pGq P P, onde P é uma das classes: grupos policíclicos-por-finitos, grupos finitamente apresentáveis, grupos finitos, grupos com a propriedade FP2 e grupos perfeitos. Além disso, mostramos que se F é um
1 Geradores e Relações
1.1
Grupos Livres
Nesta seção, vamos definir o conceito de grupo livre desde dois pontos de vista seguindo o livro de Cohen (COHEN, 1989). Tais abordagens podem, no começo, parecer diferentes, mas, no final, estão estreitamente relacionadas. A primeira definição vem do contexto de pares universais, enquanto que a segunda, é feita por meio de uma construção particular.
Definição 1. Dados um conjunto X, um grupo G e uma função i : X Ñ G. Dizemos que
o par pG, iq é livre sobre um conjunto X, se para cada função f : X Ñ H, onde H é um grupo, existe um único homomorfismo de grupos φ : G Ñ H que estende f , ou seja, tal que f “ φ ˝ i.
É fácil ver que quando um par livre existe, ele está unicamente determinado a menos de isomorfismo. Além disso, observe que a função f : X Ñ ZX dada por f pxq “ fx,
onde fx : X Ñ Z está dada por fxpyq “ 1 quando x “ y, e fxpyq “ 0 em outro caso,
é uma função injetiva, portanto, da definição de par livre segue que a função i deve necessariamente ser injetiva. Isso nos permite ver i como se fosse uma função inclusão.
A seguir, vamos fazer uma construção que vai providenciar as ferramentas necessárias para estudar grupos livres.
Consideremos um conjunto X e uma copia isomorfa a X, que denotaremos por
X´1, de modo que X X X´1 “ H. Seja M pX Y X´1q o conjunto de todas as sequências finitas de elementos de X Y X´1, ou seja, elementos da forma px1
i1, . . . , x
n
inq, onde k“ ˘1 para 1 ď k ď n. Denotaremos usualmente a n´tupla px1
i1, . . . , x n inq por x 1 i1 ¨ ¨ ¨ x n in, e será chamada de palavra, sendo n o seu comprimento. Observe que, por enquanto, n P Z`.
Definimos agora a palavra vazia, denotada por 1, como a sequência vazia e diremos que o comprimento da palavra vazia é 0. As vezes denotaremos o comprimento de uma palavra
w por |w|.
Uma palavra w “ x1
i1¨ ¨ ¨ x
n
in é dita reduzida se, para 1 ď r ď n ´ 1 temos que ou ir`1 ‰ ir, ou se ir`1 “ ir, então r`1 ‰ ´r; a palavra vazia também é chamada de
reduzida.
Suponha agora que w e w1 são palavras tais que w1 é obtida de w apagando
ou agregando os pares de elementos da forma xr
irx
r`1
ir`1 tais que ir`1 “ ir e r`1 “ ´r. Dizemos então que w1 foi obtida de w por uma sequência de operações elementares.
Consideremos a seguinte relação de equivalência: para duas palavras w e w1,
dizemos que w „ w1 se, e somente se, w “ w1 ou w1 é obtida de w por uma sequência de
operações elementares. É fácil verificar que esta relação é de equivalência. A classe de equivalência de uma palavra w será denotada por rws e o espaço quociente do conjunto
M pX Y X´1q pela relação „ será denotado por F pXq.
Definimos em F pXq a operação dada por rusrws “ ruws. Tal operação está bem definida e faz com que F pXq se torne um grupo. Neste grupo, o elemento neutro é a classe da palavra vazia e o inverso da classe rx1
i1¨ ¨ ¨ x n ins é rx ´n in ¨ ¨ ¨ x ´1 i1 s.
Observe que se i : X Ñ F pXq é a projeção natural, então pode ser mostrado que o par pF pXq, iq é, de fato, livre sobre X.
Antes de dar o conceito de grupo livre, devemos fazer a seguinte observação: ao trabalhar com os elementos de F pXq (que são classes de equivalências), basta simplesmente considerar as palavras reduzidas que eles contém. Isso vem do fato de que cada classe de equivalência contém exatamente uma palavra reduzida. Assim, de agora em diante, quando trabalharmos com classes de equivalências de palavras, vamos indentificá-las com a palavra reduzida contida nelas.
Definição 2. Dizemos que um grupo G é um grupo livre se existir um isomorfismo
entre G e F pXq, para algum conjunto X.
Se i : F pXq Ñ G é um isomorfismo, então dizemos que o conjunto ipXq é uma
base de G e a sua cardinalidade é chamada de posto do grupo livre G.
Observe que o posto de um grupo livre está bem difinido, pois dados dois conjutos X e Y , temos que F pXq é isomorfo a F pY q se, e somente se, |X| “ |Y |.
Para concluir, temos um teorema que fornece uma caracterização dos grupos livres.
Teorema 1. Seja X um subconjunto de um grupo G. As seguintes afirmações são
equiva-lentes
1. G é um grupo livre com base X.
2. Cada elemento de G pode ser unicamente escrito na forma x1
i1 ¨ ¨ ¨ x n in para alguns n ě 0, xir P X e r “ ˘1, tais que r`1 ‰ ´r se ir`1 “ ir. 3. G é gerado por X e se x1 i1 ¨ ¨ ¨ x n
in “ 1, então existe r P t1, . . . , nu tal que ir`1 “ ir e
r`1 “ ´r.
1.2
Grupos Finitamente Apresentáveis
O conceito de grupo livre visto na seção anterior pode ser usado para fornecer uma descrição completa de qualquer grupo, dando assim uma ferramenta fundamental para fazer novas construções algébricas.
Nesta seção vamos introduzir a terminologia necessária para dar a descrição mencionada anteriormente.
Definição 3. Sejam G um grupo, X um conjunto e F pXq um grupo livre com base X.
Considere R Ď F pXq e seja
RF pXq :“ tf´1rf | r P R, f P F pXqu.
Considere agora N :“ xRF pXqy. Observe que N é o menor subgrupo normal de F pXq
contendo R. O grupo N é chamado de fecho normal de R em F pXq. Definimos então o símbolo xX | Ry por
xX | Ry :“ F pXq
N .
Logo, se existirem conjuntos X e R tais que G » xX | Ry, escreveremos G “ xX | Ry e diremos que xX | Ry é uma apresentação para G.
O conjunto X na definição anterior é chamado de conjunto de geradores e o conjunto de palavras R de conjunto de relações. Em geral, um grupo pode possuir mais de uma apresentação, no entanto, é possível provar que quaisquer duas apresentações de um grupo podem ser obtidas, uma da outra, por uma sequência de Transformações de Tietze. Detalhes sobre Transformações de Tietze podem ser achados em (COHEN,1989).
O seguinte teorema nos garante que a construção anterior se pode aplicar para qualquer grupo, e assim, todo grupo possui pelo menos uma apresentação.
Teorema 2. Qualquer grupo G é o quociente de algum grupo livre.
Demonstração. Considere a função identidade id : G Ñ G. Da definição de grupo
livre F pGq e do Primeiro Teorema de Isomorfismos, temos que G » F pGq
ker φ, onde φ é o homomorfismo que estende id.
Da prova anterior segue que G “ xG | ker φy.
Definição 4. Um grupo G é dito finitamente apresentável se existir uma apresentação
Neste caso, se G “ xX | Ry é finitamente apresentável com X “ tx1, . . . , xnu e
R “ tr1, . . . , rmu, podemos escrever a apresentação xX | Ry das seguintes formas:
xx1, . . . , xn | r1, . . . , rmy, xx1, . . . , xn | r1 “ 1, . . . , rm “ 1y
ou ainda
xx1, . . . , xn| u1 “ v1, . . . , um “ vmy,
onde ri “ uiv´1i para i P t1, . . . , mu.
Teorema 3. Seja G um grupo com apresentação xX | Ry, onde |X| ă 8. Então G é
finitamente apresentável se, e somente se, existe um subconjunto finito ˜R de R tal que G “ xX | ˜Ry.
Teorema 4. Seja G um grupo, e 1 Ñ H Ñ G Ñ K Ñ 1 uma sequência exata curta. Se
H e K são finitamente apresentáveis, então G é finitamente apresentável.
Para terminar, vamos enunciar um teorema que dá condições necessárias e sufi-cientes para que uma função com domínio, o conjunto dos geradores de uma apresentação, e contradomínio, um grupo qualquer, possa se estender para um homomorfismo de grupos.
Teorema 5. Seja G “ xX | Ry e suponha que f : X Ñ H é uma função cujo contradomínio
é um grupo dado. Então f se estende para um homomorfismo ψ : G Ñ H se, e somente se, ˜f prq “ 1 para todo r P R, onde ˜f : F pXq Ñ H é a extesão de f ao grupo livre F pXq.
1.3
Produto Livre de Grupos
Sabemos que dados dois grupos quaisquer H e K, podemos definir um novo grupo, chamado de produto direto de H e K, e tal definição pode ser feita usando objetos livres ou providenciando uma construção que satisfaça certas propriedades. Nesse sentido, queremos definir um tipo de produto entre dois grupos quaisquer a partir das suas apresentações, e para tal efeito vamos dar uma definição em termos de pares livres e, logo depois, usaremos uma construção para garantir a sua existência.
Definição 5. Sejam H e K dois grupos. Um grupo L é chamado de produto livre de
H e K se existirem homomorfismos iH : H Ñ L e iK : K Ñ L satisfazendo a seguinte
propriedade: para quaisquer homomorfismos α : H Ñ G e β : K Ñ G, onde G é um grupo qualquer, existe um único homomorfismo γ : L Ñ G tal que α “ γ ˝ iH and β “ γ ˝ iK.
No caso que o grupo L existir, vamos denotá-lo por H ˚ K.
Observe que usando a unicidade dos pares livres, podemos garantir que o grupo H ˚ K está unicamente determinado a menos de isomorfismo, assim, basta construir
um grupo que satisfaça a condição dada na definição anterior. Vamos então fazer tal construção:
Sejam H “ xX | Ry e K “ xY | Sy e suponha que X XY “ H (isto último pode ser feito trocando um dos conjuntos por outro que esteja em correspondência biunívoca com ele). Considere agora o grupo L com apresentação
xX Y Y | R Y Sy.
Usando as inclusões iX : X Ñ L, iY : Y Ñ L, a definição de par livre e o Teorema5, segue
que L é um produto livre para H e K.
Uma observação importante é que a definição anterior pode se estender para considerar produtos livres de mais de dois grupos, neste caso, se tHiuiPI é uma família de
grupos, então o produto livre deles será denotado por ˚iPIHi. Os grupos Hi são chamados
de fatores.
A seguir, vamos descrever o produto livre de dois grupos em termos de palavras, e para isso faremos um procedimento análogo àquele que fizemos com grupos livres.
Sejam H e K grupos. Chamamos de palavra alternada ou expressão
al-ternada em H ˚ K um produto da forma h1k1¨ ¨ ¨ hmkm onde cada hi P H e ki P K. O
número de termos numa expressão alternada é chamado de comprimento da palavra. Consideramos também a expressão vazia e dizemos que tem comprimento zero.
Dizemos que uma expressão h1k1¨ ¨ ¨ hmkm é reduzida se olhando os elementos
hi e ki como elementos dos grupos H e K respectivamente, temos que hi ‰ 1 e ki ‰ 1
para cada i fora de h1 e km. A expressão vazia é reduzida por definição.
O seguinte teorema nos garante que basta trabalhar com expressões alternadas reduzidas quando trabalharmos com elementos do produto livre H ˚ K.
Teorema 6. Cada elemento de H ˚ K é igual a uma única expressão alternada reduzida.
Aqui entenderemos por unicidade o seguinte: se duas expressões alternadas são iguais em H ˚ K, digamos h1k1¨ ¨ ¨ hmkm “ h11k 1 1¨ ¨ ¨ h 1 nk 1 n,
então m “ n, hi “ h1i e ki “ k1i para cada i.
Vamos agora apresentar uma versão do teorema anterior que fornece uma visão mais clara de como é a estrutura algébrica de um produto livre.
Teorema 7 (Caracterização de Produtos Livres). Um grupo G é o produto livre de dois
dos seus subgrupos H e K se, e somente se, valem as seguintes duas condições:
1. G é gerado por H e K, no sentido de que todo elemento de G é igual a alguma expressão alternada h1k1¨ ¨ ¨ hmkm.
2. Se h1k1¨ ¨ ¨ hmkm “ 1 como elementos de G, então existe i P t1, . . . , ku tal que hi “ 1
ou ki “ 1.
A seguinte observação dá uma relação entre o conceito de homomorfismo de grupo e produto livre.
Observação 1. Usando a propriedade que define o produto livre ou a construção em
termos de expressões alternadas, é possível provar que se φ : G1 Ñ H1 e ψ : G2 Ñ H2 são
homomorfismos de grupos, então existe um único homomorfismo h : G1˚ G2 Ñ H1˚ H2,
ás vezes denotado por φ ˚ ψ, tal que h ˝ iG1 “ iH1 ˝ φ e h ˝ iG2 “ iH2˝ ψ, onde iG1, iG2 são
as inclusões de G1 e G2 no produto livre G1˚ G2, e iH1, iH2 são as inclusões dos grupos H1
e H2 no produto livre H1˚ H2.
Para terminar esta seção, vamos mostrar duas construções que, em certo sentido, generalizam o produto livre, e que serão usadas mais adiante.
Primeiro fazemos a seguinte definição: se G “ xX | Ry e R1 Ď F pXq, então
xG | R1y :“ xX | R Y R1y.
Agora, sejam G1 “ xX1 | S1y e G2 “ xX2 | S2y, onde assumimos que X1 X X2 “ H. Logo
se R Ď F pX1Y X2q, definimos
xG1, G2 | Ry :“ xX1Y X2 | S1Y S2Y Ry.
Observe que se R “ H, temos que xG1, G2 | Ry é exatamente o produto livre de G1 e G2.
Pode ser mostrado que xG1, G2 | Ry »
G1 ˚ G2
N , onde N é o fecho normal em G1˚ G2 da
imagem R0 de R em G1˚ G2.
Vamos dar outro significado ao símbolo xG1, G2 | Ry. Para tal efeito considere
G1, G2 grupos dados (não precisamos exibir eles usando apresentações) e R um subconjunto
do produto livre G1˚ G2. Se N é o fecho normal de R em G1˚ G2, então definimos
xG1, G2 | Ry :“
G1˚ G2
N .
Observe que para saber qual dos dois significados o símbolo xG1, G2 | Ry tem quando
usarmos ele numa situação ou outra, só devemos identificar o conjunto no qual R pertence.
1.4
Extensões HNN
Nesta seção vamos introduzir uma construção que vai nos fornecer mais uma ferramenta para estudar grupos e suas propriedades, para tal efeito vamos seguir as notas de aula de Miller (MILLER III, 2004). A grosso modo, dado um grupo B e um par de subgrupos C1 e C2 isomorfos com um isomorfismo σ : C1 Ñ C2, o objetivo é construir um
outro grupo que contenha B e tal que os subgrupos C1 e C2 sejam conjugados por um
elemento que respeite, em certo sentido, o isomorfismo σ.
Uma primeira definição do objeto que pretendemos construir é a seguinte
Definição 6. Seja B um grupo, C1, C2 subgrupos isomorfos de B e t um símbolo fixo.
Consideremos σ : C1 Ñ C2 um isomorfismo entre C1 e C2. Definimos a extensão HNN
com base B, letra estável t e subgrupos associados C1 e C2 como o grupo Γ que
tem como apresentação
Γ “ xB, t | t´1
ct “ σpcq, @c P C1y.
Definindo C “ C1, o grupo Γ pode ser denotado por Γ “ B˚C.
Vale ressaltar que na definição de B˚C, basta considerar somente as relações
t´1ct “ σpcq com c variando em algum conjunto de geradores de C 1.
É possível verificar que o grupo B˚C é isomorfo ao quociente do produto livre
B ˚ xty pelo subgrupo normal gerado por tt´1ctσpcq´1
| c P C1u. Isto garante a existência
de B˚C.
Uma outra forma de construir o grupo B˚C é partindo de apresentações. Assim,
se escrevermos B na forma B “ xX | Ry e considerarmos C “ C1 “ xY y (sendo Y Ď F pXq)
e σ : C1 Ñ C2 um isomorfismo (sendo C2 ď xXy), então pode-se verificar que
B˚C “ xX Y ttu | R, t´1yt “ σpyq @y P Y y
onde a união X Y ttu é uma união disjunta.
O seguinte resultado, além de proporcionar uma propriedade que é satisfeita pelos elementos da extensão HNN e que está diretamente relacionada à forma na qual tais elementos podem ser únicamente representados, vai nos indicar que o grupo B pode ser mergulhado na extensão HNN B˚C.
Teorema 8. Seja B˚C extensão HNN com base B, letra estável t e subgrupos associados
C “ C1 e C2 com isomorfismo σ : C1 Ñ C2. Então
1. A função inclusão de B em B˚C induz um mergulho de B em B˚C, e t gera um
subgrupo cíclico infinito de B˚C.
2. Seja w uma palavra qualquer em B˚C que envolve t, isto é, um dos símbolos t ou
t´1 aparece como uma subpalavra de w. Se w “ 1 em B˚C, então w contém uma
subpalavra da forma piq t´1ct ou da forma piiq tct´1
, onde c é uma palavra em X (aqui estamos escrevendo B na forma B “ xX | Ry) e tal que no caso piq c coincide em B com um elemento de C1, e no caso piiq c coincide em B com um elemento de
O seguinte teorema fornece a forma na qual os elementos de B˚C podem ser
representados de maneira única
Teorema 9. (Forma Normal) Enxergando B como um subgrupo de Γ “ B˚C, temos que
todo g P Γ pode ser unicamente escrito na forma
g “ b0t0b1¨ ¨ ¨ bn´1tn´1bn,
onde n ě 0, i P t´1, 1u (para n “ 0, a expressão acima é só b0) e
• bnP B
• bi P D se i “ ´1, e bi P E se i “ 1. Onde D é uma transversal que corresponde
às classes laterais à direita de C1 em B e E é uma transversal que corresponde às
classes laterais à direita de C2 em B. Aqui assumimos que 1 P D X E.
• Se i´1“ ´i, então bi ‰ 1.
Antes de terminar esta seção, é importante indicar que a definição de extensão HNN pode ser estendida. Assim, é possível definir a extenão HNN para qualquer par de subgrupos isomorfos Aα e Bα de um grupo B e um conjunto de símbolos ttαu.
2 Álgebra Homológica
2.1
Categorias e Functores
Nesta seção vamos introduzir os conceitos de categorias e functores e apresenta-remos alguns exemplos de tais objetos seguindo o livro de Rotman (ROTMAN, 1979). Nos exemplos e no decorrer desta seção, toda vez que falarmos de anel, vamos estar trabalhando com um anel associativo com identidade.
Definição 7. Uma categoria C consiste de uma classe de objetos ObjpCq,
conjun-tos de morfismos HomCpA, Bq que são disjuntos dois a dois, onde A, B P ObjpCq, e
composições
HomCpA, Bq ˆ HomCpB, Cq Ñ HomCpA, Cq
pf, gq ÞÑ gf
satisfazendo as seguintes propriedades:
• Para cada A P ObjpCq existe um morfismo identidade 1A P HomCpA, Aq tal que
f 1A“ f e 1Ag “ g para todos f P HomCpA, Bq e g P HomCpC, Aq.
• Para todos f P HomCpA, Bq, g P HomCpB, Cq e h P HomCpC, Dq, temos que phgqf “
hpgf q.
Dados A, B P ObjpCq, denotaremos os elementos de f P HomCpA, Bq por
f : A Ñ B. Quando for claro a categoria na qual estamos trabalhando, escreveremos
HompA, Bq em lugar de HomCpA, Bq.
Exemplo 1. 1. C “ Sets. Os objetos são conjuntos, os morfismos são funções entre conjuntos e as composições são composições de funções usuais.
2. C “ Ab. Os objetos são grupos abelianos, os morfismos são homomorfismos de grupos e as composições são composições de funções usuais.
3. C “ MR. Os objetos são R´módulos à direita, os morfismos são R´homomorfismos
e as composições são composições de funções usuais. Análogamente podemos definir a categoria de R´módulos à esquerda RM.
Definição 8. Dadas duas categorias C e D, um functor F : C Ñ D é uma função
1. Se A P ObjpCq, então F A P ObjpDq.
2. Se f : A Ñ B é um morfismo em C, então F f : F A Ñ F B é um morfismo em D. 3. Se f : A Ñ B e g : B Ñ C são morfismos em C, então F pgf q “ pF gqpF f q.
4. Se A P ObjpCq, então F p1Aq “ 1F A.
Um functor é usualmente chamado de functor covariante.
Exemplo 2. 1. Os functores Hom. Dada uma categoria C e A P ObjpCq, definimos o functor F : C Ñ Sets por F pCq “ HompA, Cq para todo C P ObjpCq, e se f : C Ñ D é um morfismo de C, definimos F f : HompA, Cq Ñ HompA, Dq por F f pgq “ f g. Usualmente denotaremos F f por f˚
2. Se C “ MR, então os functores Hom tomam valores na categoria Ab. Pois,
HomRpA, Cq é um grupo abeliano se definimos g ` h por pg ` hqpaq “ gpaq ` hpaq e
se verifica que f˚ é um homomorfismo de grupos abelianos. Um resultado semelhante
se pode fazer para a categoria de R´módulos à esquerda.
Definição 9. Dadas duas categorias C e D, um functor contravariante F : C Ñ D é
uma função com as seguintes propriedades: 1. Se A P ObjpCq, então F A P ObjpDq.
2. Se f : A Ñ B é um morfismo de C, então F f : F B Ñ F A é morfismo de D. 3. Se f : A Ñ B e g : B Ñ C são morfismos de C, então F pgf q “ pF f qpF gq. 4. Se A P ObjpCq, então F p1Aq “ 1F A.
Exemplo 3. Dada uma categoria C e B P ObjpCq, definimos o functor F : C Ñ Sets por
F A “ HompA, Bq para todo A P ObjpCq, e se f : A Ñ A1 é um morfismo de C, definimos
F f : HompA1, Bq Ñ HompA, Bq por F f pgq “ gf para todo g P HompA1, Bq. Usualmente
denotaremos F f por f˚.
Finalizamos esta parte com uma definição
Definição 10. Uma categoria C é pré-aditiva se cada HomCpA, Bq é um grupo (aditivo)
abeliano e as propriedades distributivas são satisfeitas quando forem bem definidas. Se
C e D são categorias pré-aditivas, dizemos que um functor (contra ou co) F : C Ñ D é
aditivo se F pf ` gq “ F pf q ` F pgq para todo par de morfismos f e g pertencendo ao
2.2
Produtos Tensoriais
Nesta seção vamos dar uma construção do produto tensorial para grupos abelianos livres.
Lembremos que se G é um grupo abeliano e X é um subconjunto de G, dizemos que G é um grupo abeliano livre com base X se cada g P G pode se escrever de forma única como
g “ ÿ
xPX
mxx,
onde mx P Z são iguais a zero, exceto por um número finito de mx.
Pode-se provar que para todo conjunto X existe um grupo abeliano livre com base X.
Definição 11. Seja R um anel. Se A é um R´módulo à direita, B é um R´módulo à
esquerda e G um grupo abeliano, então uma função R´biaditiva é uma função f : A ˆ B Ñ G
tal que para todo a, a1
P A, b, b1 P B, e r P R,
1. f pa ` a1, bq “ f pa, bq ` f pa1, bq
2. f pa, b ` b1
q “ f pa, bq ` f pa, b1q
3. f par, bq “ f pa, rbq.
Definição 12. O produto tensorial de A P MRe B PRM é um grupo abeliano A bRB
e uma função R´biaditiva h que resolve o seguinte “problema do mapeamento universal”: A ˆ B h // f ## A bRB f1 zz G
para todo grupo abeliano G e toda função R´biaditiva f , existe um único homomorfismo f1 que faz o diagrama comutar.
Pode-se verificar que o produto tensorial de A P MR e B P RM existe e é
único a menos de isomorfismo.
Teorema 10. Se A P MR então existe um functor F :RM Ñ Ab definido por
se f : B Ñ B1 é um R´homomorfismo entre R´módulos à esquerda B e B1,
F f “ 1Ab f.
Similarmente, para B P RM existe um functor G : MR Ñ Ab com GpAq “ A bRB e
Gg “ g b 1B (onde g : A Ñ A1 é um R´homomorfismo).
Teorema 11. Se A P MR e B é um pR ´ Sq bimódulo (de maneira breve, AR e RBS),
então A bRB é um S´módulo à direita, onde
pa b bqs “ a b pbsq.
Similarmente, na situação SAR e RB, então A bRB é um S´módulo à esquerda, onde
spa b bq “ psaq b b.
Em particular, dados AR e RBS, o functor bRB toma valores em MS;
similar-mente, dados SAR e RB, o functor AbR toma valores em SM.
Definição 13. Se R é um anel comutativo e A, B e G são R´módulos, então uma função
f : A ˆ B Ñ G é R´bilinear se f é R´biaditiva e
rf pa, bq “ f pra, bq “ f pa, rbq, @ r P R, a P A, b P B.
Teorema 12. Se R é comutativo e A, B são R´módulos, então A bRB resolve o
pro-blema do mapeamento universal tanto para funções R´bilineares quanto para funções R´biaditivas.
Teorema 13. 1. Dados RAS e RB, então HomRpA, Bq é um S´módulo à esquerda se
definimos psf qpaq “ f pasq;
2. Dados RAS e BS, então HomSpA, Bq é um R´módulo à direita se definimos pf rqpaq “
f praq;
3. Dados AR e SBR, então HomRpA, Bq é um S´módulo à esquerda se definimos
psf qpaq “ spf paqq;
4. Dados SA eSBR, então HomSpA, Bq é um R´módulo à direita se definimos pf rqpaq “
pf paqqr.
2.3
Hom e b
Nesta seção vamos trabalhar somente com módulos à esquerda, portanto diremos “módulo” em lugar de “R´módulo à esquerda”. Porém é possível obter resultados similares
2.3.1
Somas e Produtos
A seguir, vamos mostrar a forma na qual os functores Hom e b se comportam com produtos diretos ź e somas diretas ž de módulos.
Teorema 14. Se λj é a j´ésima injeção Aj Ñ
ž
Aj e se B é um módulo, então a função
θ : HompžAj, Bq Ñ
ź
HompAj, Bq
dada por
ϕ ÞÑ pϕλjq
é um isomorfismo de grupos abelianos.
Além disso, se todos os Aj são bimódulos ou se B é um bimódulo, segue que o
isomorfismo θ do Teorema 14é um isomorfismo de módulos.
Teorema 15. Se pj é a j´ésima projeção
ź Aj Ñ Aj e se B é um módulo, então a função θ : HompB,źAjq Ñ ź HompB, Ajq dada por ϕ ÞÑ ppjϕq
é um isomorfismo de grupos abelianos.
Além disso, se todos os Aj são bimódulos ou se B é um bimódulo, segue que o
isomorfismo θ do Teorema 15é um isomorfismo de módulos. Agora, para o functor b temos o seguinte resultado
Teorema 16. Seja A um R´módulo à direita e sejam tBj : j P Ju R´módulos à esquerda.
A função θ : A bR ž Bj Ñ ž pA bRBjq dada por a b pbjq ÞÑ pa b bjq
é um isomorfismo de grupos abelianos. Existe um isomorfismo semelhante se a soma estiver escrita na primeira variável.
Além disso, se A ou cada Bj é um bimódulo, segue que o isomorfismo θ do
2.3.2
Functores Exatos
Nesta subseção vamos definir o que é um functor exato e vamos ver se os functores Hom e b têm esta propriedade. Para tal efeito, vamos considerar só functores definidos entre categorias de módulos.
Primeiro vamos dar o conceito de sequência exata de módulos.
Definição 14. Dois R´homomorfismos
M1 f
Ñ M Ñ Mg 2
são exatos em M se Imf “ ker g. Uma sequência de R´homomorfismos (possivelmente infinita) ¨ ¨ ¨ Ñ Mn`1 fn`1 ÝÑ Mn fn ÝÑ Mn´1 Ñ ¨ ¨ ¨
é exata se cada par de R´homomorfismos adjacentes é exato.
Definição 15. Um functor F é exato à esquerda se a exatidão da sequência
0 Ñ A ÝÑ Bα ÝÑ Cβ
implica a exatidão da sequência
0 Ñ F A ÝÑ F BF α ÝÑ F C;F β
Por outro lado, um functor F é exato à direita se a exatidão da sequência A ÝÑ Bα ÝÑ C Ñ 0β
implica a exatidão da sequência
F AÝÑ F BF α ÝÑ F C Ñ 0F β
No caso de functores contravariantes, temos a seguinte definição
Definição 16. Um functor contravariante F é exato à esquerda se a exatidão da
sequência
A ÝÑ Bα ÝÑ C Ñ 0β
implica a exatidão da sequência
0 Ñ F C ÝÑ F BF β ÝÑ F A;F α
Por outro lado, um functor contravariante F é exato à direita a exatidão da sequência
0 Ñ A ÝÑ Bα ÝÑ Cβ
implica a exatidão da sequência
Dizemos então que um functor é exato se ele é exato à esquerda e à direita. Levando em conta estas definições, podemos apresentar os seguintes resultados
Teorema 17. HompM, q é um functor exato à esquerda e Homp , M q é um functor
con-travariante exato à esquerda, para todo módulo M .
Teorema 18. Os functores M bR e bRN são functores exatos à direita.
2.3.3
Adjunta
Definição 17. Sejam F : U Ñ C e G : C Ñ U functores. O par ordenado pF, Gq é um
par adjunto se, para cada A P ObjpU q e C P ObjpCq existe uma função bijetiva
τ :“ τA,C : HomCpF A, Cq Ñ HomUpA, GCq
satisfazendo as seguintes duas propriedades 1. Para todo f : A1
Ñ A em U o seguinte diagrama comuta: HomCpF A, Cq pF f q˚// τ HomCpF A1, Cq τ HomUpA, GCq f˚ //HomUpA1, GCq
2. Para todo g : C Ñ C1 em C o seguinte diagrama comuta:
HomCpF A, Cq g˚ // τ HomCpF A, C1q τ HomUpA, GCq pGgq˚// HomUpA, GC1q.
Em particular, se B “ SBR é um bimódulo, então pBbR, HomSpB, qq é um
par adjunto.
O seguinte teorema mostra uma propriedade muito importante que satisfazem os pares adjuntos.
Teorema 19. Sejam F : RM Ñ SM e G : SM Ñ RM functores. Se pF, Gq é um par
adjunto, então F é exato à direita e G é exato à esquerda.
2.3.4
Limites Diretos
Nesta subseção (e na seguinte) vamos apresentar mais duas propriedades que satisfazem os pares adjuntos. Para tal efeito, precisamos dar algumas definições preliminares.
Definição 18. Seja I um conjunto quase-ordenado e C uma categoria. Um sistema
direto em C com conjunto índice I é um par ttFiuiPI, tϕijui,jPIu (ou simplesmente
tFi, ϕiju) satisfazendo as seguintes propriedades:
1. Para cada i P I, Fi P ObjpCq.
2. Para cada i, j P I com i ď j, temos que ϕij P HomCpFi, Fjq e ϕij satisfaz o seguinte:
• ϕi
i : Fi Ñ Fi é o morfismo identidade para cada i P I,
• se i ď j ď k, existe um diagrama comutativo
Fi ϕi k // ϕi j Fk Fj ϕjk >>
Definição 19. Seja F “ tFi, ϕiju um sistema direto numa categoria C. O limite direto
deste sistema, denotado por lim
Ñ Fi, é um objeto (também denotado por limÑ Fi) junto com
uma família de morfismos αi : Fi Ñ lim
Ñ Fi com αi “ αjϕ
i
j (sempre que i ď j) satisfazendo
o seguinte problema de mapeamento universal:
lim Ñ Fi β // X Fi αi aa fi ?? ϕi j Fj αj XX fj GG
para cada objeto X e cada família de morfismos fi : Fi Ñ X com fi “ fjϕij sempre que
i ď j, existe um único morfismo β : lim
Ñ Fi Ñ X fazendo o diagrama de acima comutar.
Pode-se provar que o limite direto de um sistema direto de módulos tFi, ϕiju
existe.
Teorema 20. Sejam U e C categorias e F : U Ñ C e G : C Ñ U functores. Se pF, Gq é
um par adjunto, então F preserva limites diretos.
Em particular, para todo R´módulo à direita B, o functor BbR preserva
2.3.5
Limites Inversos
Definição 20. Seja I um conjunto quase-ordenado e C uma categoria. Um sistema
inverso em C com conjunto índice I é um par ttFiuiPI, tψjiui,jPIu (ou simplesmente
tFi, ψ j
iu) satisfazendo as seguintes propriedades:
1. Para cada i P I, Fi P ObjpCq.
2. Para cada i, j P I com i ď j, temos que ψij P HomCpFj, Fiq e ψij satisfaz o seguinte:
• ψi
i : Fi Ñ Fi é o morfismo identidade para cada i P I,
• se i ď j ď k, existe um diagrama comutativo
Fk ψk i // ψk j Fi Fj ψji ??
Definição 21. Seja F “ tFi, ψjiu um sistema inverso numa categoria C. O limite inverso
deste sistema, denotado por lim
Ð Fi, é um objeto (também denotado por limÐ Fi) junto com
uma família de morfismos αi : lim
Ð Fi Ñ Fi com αi “ ψ
j
iαj (sempre que i ď j) satisfazendo
o seguinte problema de mapeamento universal:
lim Ð Fi αj αi !! X β oo fj fi Fi Fj ψji OO
para cada objeto X e cada família de morfismos fi : X Ñ Fi com fi “ ψijfj sempre que
i ď j, existe um único morfismo β : X Ñ lim
Ð Fi fazendo o diagrama de acima comutar.
Pode-se provar que o limite inverso de um sistema inverso de módulos tFi, ψ j iu
existe.
Teorema 21. Sejam U e C categorias e F : U Ñ C e G : C Ñ U functores. Se pF, Gq é
um par adjunto, então G preserva limites inversos.
Em particular, para todo R´módulo à esquerda B, o functor HomRpB, q
Para terminar esta seção, mostremos uma relação entre o limite direto e o limite inverso de um sistema de módulos.
Teorema 22. Para qualquer módulo B, Homplim
Ñ Aj, Bq » limÐ HompAj, Bq.
2.4
Módulos Projetivos, Injetivos e Planos
Nesta seção vamos introduzir os conceitos de módulo projetivo, injetivo e plano, e veremos que tais conceitos estão fortemente relacionados aos functores HomRpM, q,
HomRp , N q e M bR.
2.4.1
Módulos livres
Fazemos inicialmente uma generalização do conceito de grupo abeliano livre.
Definição 22. Um R´módulo à esquerda A é livre se ele é isomorfo a uma soma de
copias de R. Além disso, se Rai » R e A “
ž
iPI
Rai, então o conjunto tai : i P Iu é
chamado de uma base de A.
Pode-se provar que para todo conjunto X existe um módulo livre A com base
X, mais ainda, é possível verificar o seguinte resultado
Teorema 23. Todo módulo M é o quociente de um módulo livre.
Na definição de módulo livre introduzimos o termo base, e devido à relação de módulo com o conceito de espaço vetorial, faz sentido se perguntar se quaisquer duas bases possuem a mesma cardinalidade.
Definição 23. Um anel R tem número de base invariante ou IBN (pelas siglas em
inglês) se para todo R´módulo à esquerda e livre A, quaisquer duas bases de A tem a mesma cardinalidade. Neste caso, a dimensão de A, denotada por dimpAq, é definida como o cardinal de alguma das bases de A.
Numa disciplina de Álgebra Linear conseguimos provar que se R é um corpo ou um anel de divisão, então R tem IBN, no entanto, é possível demonstrar o mesmo resultado supondo só que R é um anel comutativo.
O seguinte resultado é o análogo àquele de Álgebra Linear que indica que todo conjunto gerador de n elementos num espaço vetorial de dimensão n tem que ser uma base desse espaço.
Teorema 24. Seja R um anel comutativo e A um R´módulo livre de dimensão n. Se
Voltando para o estudo dos functores Hom e b, podemos verificar que o funtor Hom tem uma propriedade a mais quando uma de suas variáveis for um módulo livre.
Teorema 25. Se F é um módulo livre, então o functor HompF, q é exato.
2.4.2
Módulos Projetivos
Definição 24. Um módulo P é dito projetivo se para todo par de módulos B, C, e
R´homomorfismos β : B Ñ C e α : P Ñ C com β sobrejetivo, existe um R´homomorfismo γ : P Ñ B tal que α “ βγ. O diagrama que descreve esta propriedade é
P α γ B β //C //0
Um exemplo de módulos projetivos são os módulos livres.
Teorema 26. Um módulo P é projetivo se, e somente se, HompP, q é exato.
Como todo módulo livre é projetivo, poderíamos nos perguntar se a recíproca é válida. Para dar resposta a tal pergunta, precisamos introduzir um outro conceito
Definição 25. Dados A, B módulos e i : A Ñ B injetivo, dizemos que A é um somando
direto de B se B “ ipAq ‘ C para algum submódulo C de B.
Logo, a resposta a nossa pergunta aparece no seguinte teorema.
Teorema 27. Um módulo P é projetivo se, e somente se, é um somando direto de um
módulo livre. Além disso, todo somando direto de um módulo projetivo é projetivo.
2.4.3
Módulos Injetivos
Definição 26. Um módulo E é injetivo se para todo módulo B e todo submódulo A de
B, qualquer R´homomorfismo f : A Ñ E pode ser estendido para um R´homomorfismo g : B Ñ E. O diagrama que descreve esta propriedade é
E 0 //A f OO //B g ``
Um primero exemplo de um módulo injetivo é o grupo dos números racionais Q visto como um Z´módulo, mas precisamos mais ferramentas para provar isto.
Teorema 28. Um módulo E é injetivo se, e somente se, o functor Homp , Eq é exato.
A seguinte definição vai nos permitir estabelecer outra propriedade que satisfa-zem os módulos injetivos.
Definição 27. Seja M um R´módulo, m P M e r P R. Dizemos que m é divisível por
r se rm1
“ m para algum m1 P M ; dizemos que o módulo M é divisível se cada m P M é
divisível por cada r P R que não é divisor de zero.
Em particular, se R é um domínio de ideais principais, então um R´módulo
D é divisível se, e somente se, é injetivo.
Teorema 29. Todo R´módulo M à esquerda pode ser mergulhado num R´módulo injetivo.
Mais precisamente, provamos que existe um mergulho de M em HomZpR, Dq, onde D é algum Z´módulo divisível.
2.4.4
Módulos Planos
Diferentemente dos módulos projetivos e injetivos, a definição de módulo plano está mais relacionada ao functor M bR.
Definição 28. Um R´módulo à direita B é plano se o functor BbR é exato.
Uma definição semelhante à anterior pode ser feita para R´módulos à esquerda. O seguinte teorema fornece um exemplo de um R´módulo plano.
Teorema 30. Todo anel R é um R´módulo plano.
2.5
Homologia
Ao longo desta seção, usaremos o termo “módulo” em lugar de “R´módulo à esquerda”, onde R é um anel fixo, e “homomorfismo” em lugar de “R´homomorfismo”. Vamos supor também que todos os functores são aditivos.
2.5.1
Functores de Homologia
Definição 29. Um complexo (ou complexo de cadeias) é um par pA, dq, onde A “
tAnunPZ é uma sequência de módulos e d “ tdnunPZ é uma sequência de homomorfismos
dn: AnÑ An´1 tais que dndn`1 “ 0. Escreveremos
A “ ¨ ¨ ¨ Ñ An`1 dn`1 ÝÑ An
dn
Em particular, toda sequência exata de módulos é um complexo.
Definição 30. Se A e A1 são complexos, um homomorfismo de cadeias f : A Ñ A1
é uma sequência de homomorfismos fn : An Ñ A1n, para cada n P Z, de modo que o
seguinte diagrama comuta:
¨ ¨ ¨ //An`1 dn`1 // fn`1 An dn // fn An´1 fn´1 //¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ //A1 n`1 d1 n`1 // A1 n d1 n // A1 n´1 //¨ ¨ ¨
Se definirmos Comp (ou R´Comp) como a classe de todos os complexos e homomorfismos de cadeias (com as composições apropriadas), temos que Comp é uma categoria pré-aditiva.
Definição 31. Se pA, dq é um complexo, o n´ésimo módulo de homologia dele é
HnpAq “
ker dn
Im dn`1
.
Como dndn`1 “ 0, temos que Im dn`1 Ď ker dn, logo a definição anterior faz
sentido. Os elementos de ker dn são chamados de n´ciclos, e os elementos de Im dn`1 são
chamados de n´fronteiras. Usaremos a seguinte notação ker dn“ ZnpAq “ Zn Im dn`1“ BnpAq “ Bn e assim HnpAq “ ZnpAq BnpAq .
Definição 32. Se f : A Ñ A1 é um homomorfismo de cadeias, defina
Hnpf q : HnpAq Ñ HnpA1q
por
zn` BnpAq ÞÑ fnpznq ` BnpA1q.
Hnpf q é chamado de homomorfismo induzido por f , e será denotado usualmente por
f˚.
Naturalmente, é necessário verificar que f˚ está bem definido, mas logo de ter
feito isto, conseguimos provar mais uma coisa:
Com o intuito de nos aprofundar no estudo dos módulos de homologia, precisa-mos dar uma definição
Definição 33. Dizemos que uma sequência de complexos A1 f
ÝÑ AÝÑ Ag 2 é exata se as sequências de módulos A1 n fn ÝÑ An gn ÝÑ A2n
são exatas para cada n P Z.
A seguir, vamos definir um operador que vai nos permitir passar, de certa forma, de um módulo de homologia de índice maior para um módulo de homologia de índice menor.
Teorema 32. Seja 0 Ñ A1 i
ÝÑ A ÝÑ Ap 2 Ñ 0 uma sequência exata de complexos. Para
cada n existe um homomorfismo
Bn: HnpA2q Ñ Hn´1pA1q definido por z2 ` BnpA2q ÞÑ i´1n´1dnp´1n z 2 ` Bn´1pA1q.
Definição 34. Os homomorfismos Bn: HnpA2q Ñ Hn´1pA1q são chamados de
homomor-fismos de conexão.
Nos seguintes teoremas vamos indicar duas propriedades associadas aos homo-morfismos de conexão.
Teorema 33. (Sequência Exata Longa) Se 0 Ñ A1 i
ÝÑ A ÝÑ Ap 2 Ñ 0 é uma sequência
exata de complexos, então existe uma sequência exata de módulos
¨ ¨ ¨ Ñ HnpA1q i˚ ÝÑ HnpAq p˚ ÝÑ HnpA2q Bn ÝÑ Hn´1pA1q i˚ ÝÑ Hn´1pAq Ñ ¨ ¨ ¨ .
Teorema 34. (Naturalidade de B) Considere o diagrama comutativo com linhas exatas 0 //A1 i // f A p // g A2 h //0 0 //C1 j //C q //C2 //0
Então existe um diagrama comutativo de módulos com linhas exatas:
¨ ¨ ¨ //HnpA1q i˚ // f˚ HnpAq p˚ // g˚ HnpA2q h˚ Bn // Hn´1pA1q f˚ //¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ //HnpC1q j˚ // HnpCq q˚ // HnpC2q Bn // Hn´1pC1q //¨ ¨ ¨
O seguinte teorema nos fornece condições nas quais podemos construir uma sequência exata que envolve os núcleos e conúcleos de alguns homomorfismos inicialmente dados.
Teorema 35. (Lema da Cobra) Considere o diagrama comutativo de módulos com linhas
exatas: A1 // α A p // β A2 γ //0 0 //C1 i //C //C2
Existe uma sequência exata
ker α Ñ ker β Ñ ker γ Ñ cokerα Ñ cokerβ Ñ cokerγ,B
onde B : a2
ÞÑ i´1βp´1a2
` Imα.
Além disso, se A1 Ñ A é injetivo, então ker α Ñ ker β é injetivo, e se C Ñ C2 é sobrejetivo, então cokerβ Ñ cokerγ é sobrejetivo.
Para terminar esta seção, vamos apresentar uma propriedade relacionada aos homomorfismos induzidos. Mas antes, precisaremos da seguinte definição
Definição 35. Seja f : A Ñ A1
um homomorfismo de cadeia; f é homotópicamente
nulo se existem homomorfismos sn: An Ñ A1n`1 tais que
fn“ d1n`1sn` sn´1dn, @n.
Se f e g são homomorfismos de cadeia A Ñ A1, então f é homotópica a g se f ´ g é
homotópicamente nula. A família tsn : n P Zu forma uma homotopia.
Pode-se verificar que ser homotópico é uma relação de equivalência no grupo HompA, A1
q de todos os homomorfismos de cadeia A Ñ A1.
Teorema 36. Se f e g são homomorfismos de cadeia A Ñ A1 homotópicos, então
f˚ “ g˚ : HnpAq Ñ HnpA1q, @n P Z.
2.5.2
Functores Derivados
Nesta seção, vamos definir uns functores especiais com a ajuda do functor Hn
definido na seção anterior. No entanto, precisamos dar uns conceitos preliminares. Seja M um módulo. Uma resolução projetiva de M é uma sequência exata
na qual cada módulo Pn é um módulo projetivo. Por outro lado, uma resolução injetiva
de M é uma sequência exata
0 Ñ M Ñ E0 Ñ E1 Ñ E2 Ñ ¨ ¨ ¨ na qual cada En é um módulo injetivo.
Agora, se A é um complexo e F é um functor, então definimos F pAq por
F pAq “ ¨ ¨ ¨ Ñ F pAnq F dn
ÝÑ F pAn´1q Ñ ¨ ¨ ¨ .
Pode-se verificar que F pAq também é um complexo.
Mais uma outra definição que vamos precisar é a seguinte:
Se X “ ¨ ¨ ¨ Ñ X1 Ñ X0 Ñ M Ñ 0 é um complexo, então definimos o complexo
XM “ ¨ ¨ ¨ Ñ X1 Ñ X0 Ñ 0. Similarmente, se Y “ 0 Ñ N Ñ Y0 Ñ Y1 Ñ ¨ ¨ ¨ é um
complexo, definimos o complexo YN “ 0 Ñ Y0 Ñ Y1 Ñ ¨ ¨ ¨ .
Pode-se verificar que se X “ ¨ ¨ ¨ X1 Ñ X0 ÝÑ A Ñ 0 e X 1 “ ¨ ¨ ¨ X11 Ñ X 1 0
1
ÝÑ
A1
Ñ 0 são complexos, existe um homomorfismo de cadeia f : XA Ñ X1A1 tal que
f “ 1f
0. (2.1)
Além disso, quaisquer dois de tais homomorfismos de cadeia são homotópicos.
Levando em conta o feito anteriormente e fixando um functor T , vamos construir o functor derivado à esquerda LnT .
Definição 36. Para cada módulo A, escolhe uma resolução projetiva P de A e defina
pLnT qA “ HnpT PAq “
kerpT dnq
ImpT dn`1q
.
Além disso, para f : A Ñ B escolhe um homomorfismo de cadeia f : PAÑ PB
(satisfa-zendo p2.1q) e defina
pLnT qf : pLnT qA Ñ pLnT qB
por
pLnT qf “ HnpT f q “ pT f q˚.
Podemos verificar que pLnT qf está bem definido. Além disso, pode-se verificar
que se T é um functor, então LnT é um functor aditivo para cada n.
Definição 37. Se T “ bRB, então definimos TorRnp , Bq :“ LnT . Em particular,
TorRnpA, Bq “ kerpdnb 1q Impdn`1b 1q , onde ¨ ¨ ¨ Ñ P2 d2 ÝÑ P1 d1
ÝÑ P0 Ñ A Ñ 0 é a resolução projetiva que foi inicialmente
Observe que, a princípio, a definição de LnT (e, consequentemente, de TorRnp , Bq)
no módulo A depende da resolução projetiva inicialmente escolhida, no entanto, é possível provar que, em certo sentido, este não é o caso. Em particular, é possível provar que a definição de TorRnpA, Bq é independente da resolução projetiva que seja escolhida para A.
Vamos construir agora outra família de functores derivados. Fazendo um pro-cesso semelhante àquele dado antes e definindo Sn “ S´n (sendo S qualquer símbolo),
vamos fixar para cada módulo A uma resolução injetiva E : 0 Ñ A Ñ E0 ÝÑ Ed0 1 d
1
ÝÑ
E2 Ñ ¨ ¨ ¨ .
Definição 38. Dado um functor T , os functores derivados à direita RnT estão definidos assim: se A é um módulo, então
pRnT qA “ HnpT EAq “
kerpT dn
q ImpT dn´1q.
E se f : A Ñ B, é possível definir um homomorfismo de cadeia f : EAÑ EB (satisfazendo
uma propriedade análoga a (2.1)) que é único a menos de homotopia. Assim, podemos definir
pRnT qf : pRnT qA Ñ pRnT qB
por
pRnT qf “ HnpT f q.
Podemos verificar que pRnT qf está bem definido. Além disso, pode-se verificar
que se T é um functor, então RnT é um functor aditivo para cada n, que é independente
da resolução injetiva inicialmente escolhida para cada módulo A.
Definição 39. Se T “ HomRpC, q, então definimos ExtnRpC, q :“ R
nT . Em particular, ExtnRpC, Aq “ kerpd n ˚q Impdn´1 ˚ q onde 0 Ñ A Ñ E0 ÝÑ Ed0 1 d 1
ÝÑ E2 Ñ ¨ ¨ ¨ é a resolução injetiva inicialmente escolhida para
A.
Similarmente, pode-se verificar que a definição de ExtnRpC, Aq é independente da resolução injetiva inicialmente escolhida para o módulo A.
A seguir, vamos definir RnT quando T é contravariante.
Definição 40. Se T é contravariante, então
pRnT qC “ kerpT dn`1q ImpT dnq
onde ¨ ¨ ¨ Ñ P2
d2
ÝÑ P1
d1
ÝÑ P0 Ñ C Ñ 0 é a resolução projetiva que foi inicialmente
escolhida. E se f : A Ñ B é um homomorfismo, é possível definir um homomorfismo de cadeia f : PA Ñ PB (satisfazendo (2.1)) que é único a menos de homotopia. Assim,
podemos definir
pRnT qf : pRnT qB Ñ pRnT qA
por
pRnT qf “ HnpT f q.
Pode-se verificar que se T é um functor contravariante, então cada RnT é um
functor aditivo contravariante que é independente das escolhas das resoluções projetivas.
Definição 41. Se T “ HomRp , Aq, então definimos ExtnRp , Aq :“ R
nT . Em particular, ExtnRpC, Aq “ kerppdn`1q˚q Imppdnq˚q onde ¨ ¨ ¨ Ñ P2 d2 ÝÑ P1 d1
ÝÑ P0 Ñ C Ñ 0 é a resolução projetiva que foi inicialmente
escolhida para C.
De novo, a definição de ExtnRpC, Aq não depende da escolha da resolução projetiva para C.
Para terminar esta seção fazemos a seguinte observação: se T é um functor, então L0T é exato à direita e R0T é exato à esquerda. Por outro lado, se T é um functor
contravariante, temos que R0T é exato à esquerda.
2.6
Ext
Na seção anterior, demos duas definições para o functor Ext. A primera delas foi
ExtnRpA, Bq “ H´npHompA, EBqq,
onde E é uma resolução projetiva de B, e a outra definição foi ExtnRpA, Bq “ H´npHompPA, Bqq,
onde P é uma resolução projetiva de A.
Uns dos objetivos desta seção é indicar que as duas definições coincidem. Por enquanto, vamos usar uma notação temporária para a segunda definição:
Com o intuito de simplificar as notações anteriores vamos omitir o índice R.
Primeiro vamos apresentar algumas propriedades elementares. O seguinte resultado mostra que tanto Ext quanto ext se anulam quando o índice é um inteiro negativo.
Teorema 37. Se n é negativo, então ExtnpA, Bq “ 0 “ extnpA, Bq para todo A, B. Os seguintes resultados mostram que os functores Ext e ext coincidem com os functores Hom quando o índice é escolhido apropriadamente.
Teorema 38. 1. Ext0pA, q é naturalmente equivalente a HompA, q.
2. ext0p , Bq é naturalmente equivalente a Homp , Bq.
Vale ressaltar que se B é injetivo, então ExtnpA, Bq “ 0 para todo módulo A e todo n ě 1. Mais ainda, se A é projetivo, então extnpA, Bq “ 0 para todo módulo B e todo n ě 1.
Teorema 39. Seja 0 Ñ A Ñ E0 Ñ E1 Ñ ¨ ¨ ¨ uma resolução injetiva e ¨ ¨ ¨ Ñ P1 Ñ P0 Ñ
C Ñ 0 uma resolução projetiva. Então para todo n ě 0
HnpHompPC, Aqq » HnpHompC, EAqq.
Assim, as duas definições de Extn possuem o mesmo valor no par pC, Aq.
Antes de apresentar uma forma explícita para calcular um dos functores Ext, é importante indicar que os functores Extn se comportam como os functores Hom com respeito às sumas diretas e produtos diretos, além disso, se supormos que o anel R é comutativo, podemos garantir que ExtnRpA, Bq é um R´módulo.
Teorema 40. Se B é um grupo abeliano, então
Ext1
ZpZ{mZ, Bq »
B mB.
2.7
Tor
Assim como com os functores Ext, podemos dar duas definições para o functor Tor:
TorRnpA, Bq “ HnpA bRQBq
e
onde P e Q são resoluções projetivas.
Uns dos objetivos desta seção é indicar que as duas definições coincidem. Por enquanto, vamos usar uma notação temporária para a segunda definição:
torRnpA, Bq “ HnpPAbRBq
Com o intuito de simplificar as notações anteriores vamos omitir o índice R.
Primeiro vamos apresentar algumas propriedades elementares. O seguinte resultado mostra que tanto Tor quanto tor se anulam quando o índice é um inteiro negativo.
Teorema 41. Se n é negativo, então TornpA, Bq “ 0 “ tornpA, Bq para todo A, B.
Os seguinte resultado mostra que os functores Tor e tor coincidem com os functores b quando o índice é escolhido apropriadamente.
Teorema 42. 1. Tor0pA, q é naturalmente equivalente a AbR.
2. tor0p , Bq é naturalmente equivalente a bRB.
Vale ressaltar que se B é projetivo, então TornpA, Bq “ 0 para todo módulo A
e todo n ě 1. Mais ainda, se A é projetivo, então tornpA, Bq “ 0 para todo módulo B e
todo n ě 1.
Teorema 43. Sejam ¨ ¨ ¨ Ñ P1 Ñ P0 Ñ A Ñ 0 e ¨ ¨ ¨ Ñ Q1 Ñ Q0 Ñ B Ñ 0 duas
resoluções projetivas. Então para todo n ě 0
HnpA bRQBq » HnpPAbRBq.
Assim, as duas definições de Torn possuem o mesmo valor no par pA, Bq.
Pode-se verificar que se R é comutativo, então TorRnpA, Bq » TorRnpB, Aq para
todo n ě 0 e todos A, B R´módulos.
Agora vamos apresentar outras propriedades dos functores Tor.
Teorema 44. Se F é plano, então TornpF, Bq “ 0 para todo n ě 1 e todo B.
O Teorema 44 é importante na demonstração do fato de que o functor Tor é independente da escolha da resolução plana de quaisquer das suas variáveis.
