ATPS C.Numerico

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Engenharia Mecânica

2ª Série

Cálculo Numérico

A Atividade Prática Supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico de ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas, acompanhadas pelo professor, e que tem por objetivos:

Favorecer a autoaprendizagem do aluno.

Estimular a corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado. Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo.

Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas para o exercício profissional.

Promover a aplicação da teoria na solução de situações que simulam a realidade.

Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem

Para atingir estes objetivos, a ATPS propõe um desafio e indica os passos a serem percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida profissional.

AUTORIA:

Gesiane de Salles Cardin Denzin Faculdade Anhanguera de Limeira

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Cálculo Numérico

Competências e Habilidades

Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à Engenharia.

Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia. Desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas.

Participação

Esta atividade será, em parte, desenvolvida individualmente pelo aluno e, em parte, pelo grupo. Para tanto, os alunos deverão:

• organizar-se, previamente, em equipes de 4 a 5 participantes; • entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina e • observar, no decorrer das etapas, as indicações: Individual e Equipe.

Desafio

O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com a cor escura ou não. Quando um leitor óptico, também chamado de scanners, passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 (zero) e a de uma barra escura, no número 1.

Observar na figura ao lado, um exemplo simplificado de um código em um sistema de código linear com 31 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda

para a direita irá ler:

0101000110101001110101000110101. Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 1010110001010111001010110001010.

Marcos é proprietário da empresa de importação chamada “Vendomundo”.

Anos atrás, visando mais eficiência na localização dos contêineres e diminuição dos erros gerados por interferência humana, Marcos contratou os serviços de uma empresa com expertise no desenvolvimento de soluções inteligentes para logística portuária e recintos alfandegados.

Os códigos de barras lineares, bidimensionais e outras tecnologias, como GPS (Sistema de Posicionamento Global, em português), passaram a ser utilizados pela importadora desde então, como uma das formas de localização de produtos, unidades logísticas, registro de contêineres, documentos, serviços e cargas. Essa tecnologia, sem

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No sistema de código de barras linear, para organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns deles podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda. Para exemplificar, apresentamos o código: 01001000111100010010. Temos aqui um exemplo de um código de barras linear

palíndromo.

Curiosamente, a listagem de um novo lote de contêineres da empresa de Marcos, recentemente desembarcado no porto de Santos, associava um código linear palíndromo a um dos contêineres.

O desafio proposto neste caderno de atividades é: “descubra o código linear palíndromo com 34 barras” que chamou a atenção de Marcos pela sua excentricidade.

Para tanto, sete desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número: 0 ou 1. Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda para a direita) que irão compor o código de barras linear palíndromo que foi associado a um dos contêineres recentemente desembarcado no porto de Santo pela importadora “Vendomundo”.

Objetivo do desafio

Encontrar o código de barras linear palíndromo que chamou a atenção do proprietário da importadora “Vendomundo”, quando checou a listagem dos contêineres desembarcados no porto de Santos em um determinado dia.

Livro-texto da disciplina

A produção desta ATPS é fundamentada no livro-texto da disciplina, que deverá ser utilizado para solução do desafio:

FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007.

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

Aulas-temas: Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, os conceitos básicos de álgebra linear que irão servir de suporte para a compreensão dos métodos numéricos trabalhados pelo professor da disciplina em cada aula tema da disciplina de Cálculo Numérico.

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PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Fazer as atividades apresentadas a seguir.

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos e princípios gerais de cálculo numérico. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da álgebra linear em cálculo numérico.

2. Elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Esta pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Fazer o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar a página:

• Geogebra. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTcVk/

edit?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013.

Passo 2 (Equipe)

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e independência linear de dois e três vetores no _R3

:

a) b)

c)

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De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetoresv₁ e v₂ apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

II – os vetores v₁, v₂e v₃ apresentados no gráfico (b) são LI;

III – os vetores v₁, v₂ e v₃ apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente dependentes);

2. Desafio B

Dados os vetores ur=

(

4,7,−1

)

e vr =

(

3,10,11

)

, podemos afirmar que ur e vr são linearmente independentes. 3. Desafio C Sendo w1 =(3,−3,4)E r e w2 =(−1,2,0)E r

, a tripla coordenada de wr =2wr₁−3wr₂ na base E é

E ) 8 , 12 , 9 ( − . Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

1. Desafio A:

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Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada. Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

2. Desafio B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

3. Desafio C:

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de

Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico, com as seguintes

informações organizadas:

1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software, caso este tenha sido utilizado na resolução de algum desafio da etapa 1);

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 2 (tempo para realização: 05 horas)

Aulas-temas: Sistemas de Numeração e Erros.

Esta etapa é importante para que você entenda, de forma prática, o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, isto é, não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a, b].

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PASSOS

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos de análise de arredondamento em ponto flutuante. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de erros. Sugestão de leitura do material complementar:

• CULMINATO. José Alberto. Cálculo Numérico. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtS29QeTNNbG9Yd

jA/edit?usp=sharing>. Acesso em: 19 abr. 2013.

2. Observar os dois casos apresentados abaixo: (a) Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 _m2

; 45.239,04 _m2

e 45.238,9342176 _m2

.

(b) Caso B

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios:

∑

3000 1 5 , 0 e

∑

3000 1 11 , 0 : Ferramenta de Cálculo

∑

3000 1 5 , 0

∑

3000 1 11 , 0 Calculadora 15.000 3.300 Computador 15.000 3.299,99691

3. Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

• Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio, na mesma?

• Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença apresentada no caso B?

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Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na mantissa e expoente no intervalo

[

−6,6

]

, pode se afirmar que:

I – o menor e o maior número em módulo nesta representação são dados de forma respectiva por: 6 10 1 , 0 × − e 6 10 99999 , 0 × ;

II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por

6

10 12346 ,

0 × e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado

por 6

10 12345 ,

0 × ;

III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 8

10 4 ,

0 × .

Resolver o desafio apresentado no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como

certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente

registrados para posteriormente serem apresentados ao professor da disciplina.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de

Relatório 2 – Sistemas de Numeração e Erros, com as seguintes informações

organizadas:

1. as justificativas para as diferenças encontradas nos casos A e B, do passo 1; 2. os cálculos realizados para a solução do passo 3;

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ETAPA 3 (tempo para realização: 05 horas)

Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, conceitos introdutórios de sistemas lineares, tais como: a caracterização matemática de um sistema linear; a notação matricial de um sistema linear; classificação de um sistema quanto à solução – compatível ou não compatível.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos introdutórios de sistemas lineares. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de sistemas lineares na Engenharia da Computação.

2. Apresentar um caso real de aplicação de sistemas lineares.

3. Utilizar o Software Geogebra como uma ferramenta de apoio para a resolução dos desafios propostos no próximo passo. Para download do software, acessar o link:

• Geogebra. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTcVk/edit

?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013

Ler o desafio proposto:

Considerar um circuito elétrico representado por:

     = − = − = + + 120 65 0 3 3 1 2 2 2 1 1 3 2 1 i z i z i z i z i i i onde, i₁_, 2 i _e 3 i _{são as correntes e} ₁₀ 1 = z _, ₈ 2 = z _{, e} ₃ 3 =

z _{, as impedâncias pelas quais as}

correntes passam.

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar: I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

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II – a matriz inversa de A, denotada por

          − = − 15 , 0 07 , 0 1 08 , 0 09 , 0 25 , 0 07 , 0 02 , 0 20 , 0 1 A _;

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por:

13,9. 4,11; ; 79 , 9 ₂ ₃ 1= i = i =− i Passo 3 (Equipe)

Resolver o desafio proposto no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor ao final desta etapa.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de

Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1, com as

seguintes informações organizadas:

1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software, caso este tenha sido usado na resolução do desafio proposto);

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4 (tempo para realização: 05 horas)

Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, métodos numéricos para resolver problemas de sistemas de equações lineares utilizando o Método Exato da Decomposição LU e o Método Exato de Eliminação de Gauss.

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PASSOS

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de cada um dos métodos de solução de sistemas lineares.

2. Apresentar casos reais de aplicações dos dois métodos de solução de sistemas de equações lineares: método exato e método interativo.

3. Fazer o download do Software VCN_5p1. Este software servirá de apoio para a resolução do desafio apresentado nesta etapa. Para download do software, acessar o

link:

• VCN_5P1. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0BzbowUl2pexdUVVSTThDeHZwWHM/edit?us

p=sharing>. Acesso em: 09 abr. 2013.

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A Dada a matriz             = 5 , 2 5 , 3 1 1 0 4 1 2 1 5 2 2 0 3 1 2 A _.

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

I – a matriz L é dada por:

            1 1 5 , 0 5 , 0 0 1 0 1 1 0 1 2 1 0 0 1 ;

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II – a matriz U é dada por:

            2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 3 1 2 2. Desafio B Considerar os sistemas: (a)      = + + = + + = + − 11 4 2 3 2 5 2 8 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x (b)        − = + − − = − + + − = + − + = + + 3 3 3 4 3 1 2 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

I – a solução do sistema (a) é x1=0,999999, x2 =−1 e x3 =3 .

II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a solução;

III – a solução do sistema (b) é x₁=−0,4; x₂ =2,1; x₃ =0,6 e x₄ =0,3 ;

IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10.

Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como

certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente

registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.

Para o desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

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Para o desafio B:

Associar o número 1, se a afirmação I estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação I estiver errada. Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa. Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada. Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa. Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada.

Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de

Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2, com as

seguintes informações organizadas:

1. O texto criado a partir da pesquisa realizada no passo 1.

2. Os cálculos realizados utilizando o software de cálculo numérico VCN_5p1 para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software).

3. Apresentar o código de barras linear palíndromo completo, já com os últimos dezessete algarismos devidamente colocados. Lembrar que o código de barras linear é palíndromo e o cumprimento correto de todas as etapas, fornecerão apenas os dezessetes primeiros algarismos do código. Os demais números deverão ser logicamente deduzidos pela própria definição de um número palíndromo.

Padronização

O material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido de acordo com as normas da ABNT, com o seguinte padrão (exceto para produções finais não textuais):

em papel branco, formato A4;

com margens esquerda e superior de 3cm, direita e inferior de 2cm; fonte Times New Roman tamanho 12, cor preta;

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se houver citações com mais de três linhas, devem ser em fonte tamanho 10, com um recuo de 4cm da margem esquerda e espaçamento simples entre linhas;

com capa, contendo:

nome de sua Unidade de Ensino, Curso e Disciplina; nome e RA de cada participante;

título da atividade;

nome do professor da disciplina;

cidade e data da entrega, apresentação ou publicação.

Para consulta completa das normas ABNT, acesse a Normalização de Trabalhos

Acadêmicos Anhanguera. Disponível em:

<http://issuu.com/normalizacao/docs/normaliza____o_de_trabalhos_acad__m>. Acesso em: 22 ago.

2014.

Vale lembrar: constitui plágio a apropriação de ideias alheias sem a indicação do autor e da

fonte de onde foi retirada a informação referenciada. Para saber mais, assista ao vídeo de