07 integrais superficie

Integrais de superfície

Prof. Dr. Gustavo A. Lanfranchi

2

Integral de superfície.

Superfícies, área.

Integral de superfície.

Fluxo de uma grandeza vetorial.

Teorema de Gauss.

Superfícies parametrizadas

Assim como é possível descrever uma curva por uma função r(t), pode-se representar uma superfície por uma função vetorial de duas variáveis r (u,v). Seja: ⃗r (u , v )=x (u , v )^i+ y (u , v )^j+z(u , v) ^k

O conjunto de pontos (x,y,z) em R³ :

x=x (u , v ) y= y (u, v) z=z (u , v )

É a superfície parametrizada S e as equações são as equações paramétricas de S.

Superfícies parametrizadas

Exercício 1: identifique a superfície com equação vetorial:

⃗r (u , v )=2 cosu ^i+v ^j+2 sen u ^k x=2cos u y=v z=2 sen u

Para qualquer ponto em y: x2+z2=4 cos2u+4 sen2u=4

Exercício 2: determine uma representação paramétrica da esfera: x2+ y2+z2=a2

ρ=a x=a senϕcosθ y=a senϕsenθ z=a cosϕ

Superfícies parametrizadas

Exercício 3: determine uma representação paramétrica do cilindro:

Exercício 4: determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico:

x2+2 y2=z

x=x y= y z=x2+2 y2 r ( x , y )=x ^i+ y ^j+(x2+2 y2) ^k x2+ y2=4 0≤z≤1

r=2 x=2cosθ y=2 senθ z=z 0≤θ≤2π r (θ, z)=2cosθ^i+2 senθ^j+z ^k

Superfícies de revolução

Quando uma curva é girada ao redor de eixo, uma superfície é formada – superfície de revolução.

A esfera, por exemplo, é uma superfície de revolução de uma circunferência.

y=

_√

a2−x2

Superfície de revolução também podem ser parametrizadas. Suponha uma superfície S obtida pela revolução da curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, em torno do eixo x, sendo θ o ângulo de rotação.

Superfícies de revolução

Exercício 5: determine as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva y = sen x, 0 ≤ x ≤ 2π, em torno do eixo x.

x=x y=f ( x)cosθ z=f ( x)senθ

Planos tangentes

Dada uma superfície parametrizada S, determinada por uma função vetorial

r(u,v), é possível determinar um plano tangente em um ponto P₀, com vetor posição r(u₀,v₀). ⃗ r_v=∂x ∂v (u0, v0)^i+ ∂ y ∂v (u0, v0) ^j+ ∂z ∂v (u0, v0) ^k O vetor tangente a C₁ (curva com u constante) em P₀, é dado pela derivada parcial de r em relação à v.

É possível fazer o mesmo com uma curva C₂ (com v constante) em P₀. P vetor tangente será dado pela derivada parcial de r em relação à u.

⃗ r_u=∂ x ∂u(u0, v0) ^i+ ∂ y ∂u (u0, v0) ^j+ ∂z ∂u (u0, v0) ^k

Se r_u x r_v ≠ 0 então a superfície S é chamada lisa e, nesse caso, o plano tangente é o que contém os vetores r_u e r_v e o vetor normal ao plano tangente é dado por r_u x r_v .

Planos tangentes

Exercício 6: determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas x = u² , y = v² , z = u + 2v no ponto (1, 1, 3).

⃗ r_v=∂x ∂v (u0, v0)^i + ∂ y ∂v (u0, v0)^j+ ∂ z ∂v (u0, v0) ^k = ∂u2 ∂v ^i+ ∂v2 ∂v ^j+ ∂(u+2 v) ∂v ^k ⃗ r_v=2 v ^j+2 ^k ⃗ r_u×r⃗_v=

|

⃗_i ⃗_j ⃗_k 2u 0 1 0 2 v 2

|

⃗ r_u=∂ x ∂u(u0, v0)^i + ∂ y ∂u (u0, v0)^j+ ∂z ∂u (u0, v0) ^k = ∂u2 ∂u ^i+ ∂v2 ∂u ^j+ ∂(u+2 v) ∂u ^k ⃗ r_u=2u^i + ^k =(4 uv ) ^k−2 v ^i−(4 u) ^j ⃗_{ponto (1,1,3)} =−2 ^i−4 ^j+4 ^k

⃗_{equação do plano} −2( x−1)−4( y−1)+4 ( z−3)=0 x+2 y−2 z+3=0

Área de superfície

Dada uma superfície parametrizada S, determinada pela equação: ⃗r (u , v )=x (u , v ) ^i+ y (u , v )^j+z(u , v) ^k (u , v)∈D a área da superfície é: A( S)=

_∬

D

|r⃗_u×r⃗_v|dA

Se a superfície S for dada com uma equação z = f(x,y), então as equações paramétricas serão: x=x y= y z=f ( x , y) A( S)=

_∬

D

√

(

∂z ∂x

)

2 +

(

∂ z ∂ y

)

2 +1dA

Área de superfície

Exercício 7: determine a área de uma esfera de raio a.

ρ=a x=a senϕcosθ y=a senϕsenθ z=a cosϕ

r (θ,ϕ)=a senϕcosθ^i+a senϕ senθ^j+a cosϕ ^k D=[0,π]x [0,2π]

⃗ r_ϕ×r⃗_θ =

|

⃗_i ⃗_j ⃗_k ∂ x ∂ϕ ∂ y ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂ x ∂θ ∂ y ∂θ ∂z ∂θ

|

=

|

⃗_i ⃗_j ⃗_k

a cosϕcosθ a senϕsenθ −a senθ

−a cosϕsenθ a senϕcosθ 0

|

=a2sen2ϕcosθ^i+a2sen2ϕsenθ ^j+a2senϕcosϕ ^k →

|r⃗_ϕ×r⃗_θ|=

√

a4sen4ϕcos2θ+a4sen4ϕsen2θ+a4sen2ϕcos2ϕ =a2senϕ A( S)=

_∬

D |⃗r_u× ⃗r_v|dA A( S)=

_∫

o 2π

∫

o π a2senϕdϕdθ =a2

∫

o 2π dθ

∫

o π senϕd ϕ =a2(2π)2=4πa2

Área de superfície

Exercício 8: determine a área da parte do paraboloide z = x² + y² que está abaixo do plano z = 9. A( S)=

_∬

D

√

(

∂z ∂ x

)

2 +

(

∂ z ∂ y

)

2 +1dA x=x y= y z=x2+ y2 → ∂z ∂x=2 x ∂ z ∂ y=2 y → A(S)=

_∬

D

√

(2 x)2+(2 y)2+1dA =

_∬

D

√

4 (x2+ y2+1)dA Em coordenadas polares: A( S)=

_∫

o 2π

∫

0 3

√

1+4 r2rdr dθ =

∫

o 2π dθ

∫

0 3 r

_√

1+4 r2dr =

∫

o 2π dθ

∫

1 37 1 8 u 1/2_du

(

1+4 r2=u 8r dr=du

)

=2π 1 8 2 3

[

u 3 /2

_]

1 37 =π 6 (37

√

37−1)

Integrais de superfície

A relação entre a área de uma superfície parametrizada e a integral de superfície é semelhante àquela entre a integral de linha e o comprimento de um arco.

Para superfícies parametrizadas, suponha uma dada pela equação:

Tem-se então a relação:

∬

S f ( x , y , z) dS=

_∬

D f (⃗r (u , v))|r⃗_u×r⃗_v|dA ⃗r (u , v )=x (u , v ) ^i+ y (u , v )^j+z(u , v) ^k (u, v)∈D

∬

S 1dS=A (S)=

_∬

D |r⃗_v×r⃗_v|dA

A integral de superfície também pode ser utilizada para calcular o centro de massa, a massa, o momento de inércia, etc.

m= 1

Integrais de superfície

Exercício 9: calcule a integral de superfície abaixo na esfera de raio unitário x² + y² + z² = 1 .

_∬

s

x2dS

x=a senϕcosθ y=a senϕ senθ z=a cosϕ

r (θ,ϕ)=a senϕcosθ^i+a senϕ senθ^j+a cosϕ ^k

⃗ r_ϕ×r⃗_θ =

|

⃗_i ⃗_j ⃗_k ∂ x ∂ϕ ∂ y ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂ x ∂θ ∂ y ∂θ ∂z ∂θ

|

=

|

⃗_i ⃗_j ⃗_k

cosϕcosθ senϕsenθ −senθ

−cosϕsenθ senϕcosθ 0

|

=senϕ

∬

S f ( x , y , z) dS=

_∬

D f (⃗r (u , v))|r⃗_v×r⃗_v|dA =

∬

D

(senϕcosθ)2senϕdA

=

∫

0 2π cos2θdθ

∫

o π sen2ϕsenϕdϕ =1 2

∫

₀ 2π (1+cos 2θ)dθ

∫

o π 1 2(1−cos2ϕ)senϕd ϕ =1 2

[

θ+ 1 2 sen 2θ

]

₀ 2π

[

−cosϕ+ 1 3 cos 3 ϕ

]

0 π =4π 3

Integrais de superfície

Quando a superfície for dada por uma gráfico, a parametrização será:

∬

S f ( x , y , z) dS=

_∬

D f ( x , y , g( x , y))

√

(

∂z ∂x

)

2 +

(

∂z ∂ y

)

2 +1dA x=x y= y z=g( x , y) →

Exercício 10: calcule a integral de superfície abaixo em z = x + y², 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 .

∬

s y dS

∬

S f ( x , y , z) dS=

_∬

D f ( x , y , g( x , y))

√

(

∂ z ∂ x

)

2 +

(

∂z ∂ y

)

2 +1dA ∂ z ∂x=1 ∂z ∂ y=2 y→

∬

_S y dS=

∬

_D y

√

(1) 2 +(2 y)2+1dA =

∫

0 1

∫

0 2 y

_√

2+4 y2dy dx =

∫

0 1 dx

_∫

0 2 y

_√

2(1+2 y2)dy =

√

2

∫

0 2 y

_√

1+2 y2dy

(

1+2 y2=u 4 y dy=du

)

→ =

√

2 1 4 2 3

(

u 3/2

)

₁9 =13 3

√

2 =

_√

2 1 4

∫

₁ 9

√

u du

Integrais de superfície

No caso de um campo vetorial, a

superfície deve ser orientada, isto é, com dois lados.

Em cada ponto da superfície existem dois vetores normais unitários n₁ e n₂ = - n₁.

Imagine um fluido com densidade ρ(x,y,z) e campo de velocidade v(x,y,z) escoando através de uma superfície orientada S. A vazão desse fluido será ρ.v.

Para uma pedaço pequeno da superfície S₀, pode-se aproximar a vazão na direção do vetor normal por:

(ρ⃗v⋅⃗n) A( S₀)

∬

S ρ⃗v⋅⃗n dS=

∬

S ρ(x , y , z)⃗v ( x , y , z)⋅⃗n( x , y , z)dS

Integrais de superfície

Essa é a vazão através da superfície S. E a integral é a integral de superfície ou integral de fluxo.

∬

S

⃗

F⋅⃗n dS

Se a vazão (ρ.v) for escrita como um campo vetorial F, a integral fica:

Portanto: se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor unitário n, então a integral de superfície de F em S é:

∬

S ⃗ F⋅d ⃗S=

_∬

S ⃗ F⋅⃗n dS Esse é o fluxo de F através de S.

Se a função r(u,v) for conhecida, então:

∬

S ⃗ F⋅d ⃗S=

_∬

D ⃗ F⋅(r⃗_u×r⃗_v)dA

Integrais de superfície

Exercício 11: calcule o fluxo do campo vetorial F (x,y,z) = zi +yj + xk através da esfera de raio unitário x² + y² + z² = 1 .

r (θ,ϕ)=a senϕcosθ^i+a senϕsenθ^j+a cosϕ ^k 0≤ϕ≤π , 0≤θ≤2π, a=1 ⃗

r_ϕ×r⃗_θ=a2sen2ϕcosθ^i+a2sen2ϕ senθ ^j+a2senϕcosϕ ^k

∬

S ⃗ F⋅d ⃗S=

_∬

D ⃗ F⋅(r⃗_ϕ×r⃗_θ)dA

∬

S ⃗ F⋅d ⃗S=

_∬

D

cosϕsen2ϕcosθ + senϕsenθsen2ϕsenθ + senϕcosθsenϕcosϕdA

=

∫

0 2π

∫

0 π

(2cosϕsen2ϕcosθ + sen3ϕsen2θ)d ϕ d θ =2

_∫

0 2π cosθd θ

∫

0 π cosϕsen2ϕdϕ +

∫

0 2π sen2θdθ

∫

0 π sen3ϕdϕ =0+

∫

0 2π sen2θdθ

∫

0 π sen3ϕdϕ =1 2

∫

₀ 2π (1+cos 2θ)d θ

∫

o π senϕ 1 2(1−cos 2ϕ)d ϕ = 1 2

[

θ+ 1 2 sen 2θ

]

₀ 2π

[

−cosϕ+ 1 3 cos 3 ϕ

]

0 π = 4π 3

Integrais de superfície

As integrais de superfície podem também ser aplicadas no estudo de fluxo de calor. Ele é definido com o campo o vetorial:

E a taxa de transmissão térmica é dada pela integral: ⃗

F=−K ∇ ⃗u K : condutividade térmica

∬

S ⃗ F⋅d ⃗S=−K

_∬

S ∇ ⃗u⋅d ⃗S

Em física, dado um campo elétrico E, o seu fluxo e a Lei de Gauss são: Φ_E=

∬

S ⃗ E⋅d ⃗S

_∬

S ⃗ E⋅d ⃗S=_εqi 0

Teorema de Gauss

O teorema de Gauss (ou da divergência) relaciona a integral de superfície com a integral tripla do divergente do campo vetorial.

∬

S ⃗ F⋅⃗n dS=

_∭

B div ⃗F dV

Exercício 12: utilizando o teorema da divergência calcule a integral de superfície do campo F (x,y,z) = x i + yj + z² k na superfície do cilindro x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

∬

S ⃗ F⋅⃗n dS=

_∭

B div ⃗F dV _{div ⃗F=}∂Fx ∂ x + ∂ F_y ∂ y + ∂F_z ∂z =1+1+2 z→

∬

S ⃗ F⋅⃗n dS=

_∬

k

∫

0 1 (2+2 z)dzdx dy =

∬

k

[

2 z+z2

]

₀1dx dy =3

∫

0 2π

∫

0 1 r dr dθ =3

∫

0 2π dθ

∫

0 1 r dr =3.2π .

[

r 2 2

]

₀ 1 =3π