EM aula14

Elementos de Matemática

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2018.1

Turma XM

Objetivo

Leis de de Morgan

Nos exercícios da aula anterior deduzimos, através das tabelas verdade as Leis de de Morgan

∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q

Propriedades das operações ∧ e ∨

Destacamos as seguintes propriedades das operações ∧ e ∨

1 Comutatividade I P ∨ Q ≡ Q ∨ P I P ∧ Q ≡ Q ∧ P 2 Associatividade I (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) I (P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R) 3 Dsitributividade I P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) I P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Justicativas

A comutatividade é óbvia. Vamos provar uma das propriedades de associatividade e uma das propriedades de distributividade. As demais cam como exercícios.

Faremos as justicaticas através de tabelas verdade construídas de acordo com a propriedade a ser justicada. O número de linhas será 2n _{onde n é o número de proposições na expressão. O}

número de colunas será o número de termos somado com o número de operações na expressão. Por exemplo, a tabela verdade da associatividade tem 8 linhas e 11 colunas.

Tabela verdade da associatividade: (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R

Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 4a _{coluna comparando os valores da 2}a_{e da 6}a _{e da 8}a

coluna comparando os valores da 7a _{e da 10}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 4}a _{e da 8}a

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da associatividade: (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 4a _{coluna comparando os valores da 2}a_{e da 6}a _{e da 8}a

coluna comparando os valores da 7a _{e da 10}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 4}a _{e da 8}a

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da associatividade: (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 4a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 6}a _{e da 8}a

coluna comparando os valores da 7a _{e da 10}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 4}a _{e da 8}a

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da associatividade: (P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 4a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 6}a _{e da 8}a

coluna comparando os valores da 7a _{e da 10}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 4}a _{e da 8}a

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Tabela verdade da distributividade: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R

Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 2a _{coluna comparando os valores da 1}a_{e da 4}a _{e da 10}a

coluna comparando os valores da 8a _{e da 12}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 10}a

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da distributividade: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 2a _{coluna comparando os valores da 1}a_{e da 4}a _{e da 10}a

coluna comparando os valores da 8a _{e da 12}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 10}a

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da distributividade: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 2a _{coluna comparando os valores da 1}a _{e da 4}a _{e da 10}a

coluna comparando os valores da 8a _{e da 12}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 10}a

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabela verdade da distributividade: P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q e R Depois resolvemos os parênteses

Então resolvemos os valores da 2a _{coluna comparando os valores da 1}a _{e da 4}a _{e da 10}a

coluna comparando os valores da 8a _{e da 12}a

Finalmente resolvemos a 6a _{coluna comparando os valores da 2}a _{e da 10}a

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Operações com ⇒: Regras de Inferência

Em se tratando de demonstrações, destacamos 4 regras de inferência duas das quais já vimos usando

modus ponens: (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q

modus tollens: (∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒∼ P

prova por contradição: (P ⇒ (Q∧ ∼ Q)) ⇒∼ P prova por contraposição: (∼ Q ⇒∼ P ) ⇒ (P ⇒ Q)

Operações com ⇒: Regras de Inferência

Em se tratando de demonstrações, destacamos 4 regras de inferência duas das quais já vimos usando

modus ponens: (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q modus tollens: (∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒∼ P

prova por contradição: (P ⇒ (Q∧ ∼ Q)) ⇒∼ P prova por contraposição: (∼ Q ⇒∼ P ) ⇒ (P ⇒ Q)

Operações com ⇒: Regras de Inferência

Em se tratando de demonstrações, destacamos 4 regras de inferência duas das quais já vimos usando

modus ponens: (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q modus tollens: (∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒∼ P

prova por contradição: (P ⇒ (Q∧ ∼ Q)) ⇒∼ P

Operações com ⇒: Regras de Inferência

Em se tratando de demonstrações, destacamos 4 regras de inferência duas das quais já vimos usando

modus ponens: (P ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ Q modus tollens: (∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒∼ P

prova por contradição: (P ⇒ (Q∧ ∼ Q)) ⇒∼ P prova por contraposição: (∼ Q ⇒∼ P ) ⇒ (P ⇒ Q)

Tabela Verdade do modus tollens

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q, ∼ P e ∼ Q

Depois resolvemos os parênteses mais internos Então resolvemos os parênteses mais externos

Finalmente resolvemos a 7a _{coluna comparando os valores da 3}a _{e da 7}a

(∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ ∼ P

0 1 1 1 0 1

1 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0

Tabela Verdade do modus tollens

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q, ∼ P e ∼ Q Depois resolvemos os parênteses mais internos

Então resolvemos os parênteses mais externos

Finalmente resolvemos a 7a _{coluna comparando os valores da 3}a _{e da 7}a

(∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ ∼ P

0 1 1 1 1 0 1

1 0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0

Tabela Verdade do modus tollens

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q, ∼ P e ∼ Q Depois resolvemos os parênteses mais internos

Então resolvemos os parênteses mais externos

Finalmente resolvemos a 7a _{coluna comparando os valores da 3}a _{e da 7}a

(∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ ∼ P

0 1 0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 0

Tabela Verdade do modus tollens

Inicialmente preenchemos os valores das proposições P , Q, ∼ P e ∼ Q Depois resolvemos os parênteses mais internos

Então resolvemos os parênteses mais externos

Finalmente resolvemos a 7a _{coluna comparando os valores da 3}a _{e da 7}a

(∼ Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ ∼ P

0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 1 0

Exercícios

1 Faça as demonstrações que faltam nessa aula 2 Prove (Lei da permutação)

(P ⇒ (Q ⇒ R)) ≡ (Q ⇒ (P ⇒ R))

3 Prove (Lei da importação)

(P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ∧ Q) ⇒ R)

4 Prove (Lei da exportação)

((P ∧ Q) ⇒ R) ⇒ (P ⇒ (Q ⇒ R))

5 Prove (Lei do silogismo)