Produtos Escalares
Resumo1. Ângulo entre Vetores; 2. Prpriedades do Produto Escalar; 3. Vetores Perpendicula-res (Ortogonais); 4. Projeções Ortogonais; 5. Trabalho; 6. Escrevendo VetoPerpendicula-res como uma Soma de Vetores Ortogonais.
1 Ângulo entre Vetores
Quando dois vetores não nulos u e v são colocados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam, eles formam um ângulo θcom medida 0 ≤ θ ≤ π. Esse ângulo é o ângulo entre u e v.
Teorema 1. O ângulo θ entre dois vetores não nulos u = hu1, u2ie v = hv1, v2i
é dado por θ = arc cosu1v1+u2v2
|u||v| .
De nição. O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u e v (u ponto v) dos vetores u = hu1, u2ie v = hv1, v2ié o número u1v1+ u2v2.
Exemplo. Encontrando produtos escalares
• u = h2, −3ie v = h3, 4i então u.v = 2.3 + (−3) .4 = −6 • (2i + 3j) . 1 5i − 2j = 2. 1 5+ 3 (−2) = − 28 5
Corolário. O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é θ = arc cos u.v |u||v| .
Exemplo. Encontrando um ângulo de um triângulo
Encontre o ângulo θ no triângulo ABC determinado pelos vértices A = (0, 0), B = (3, 5)e C = (5, 2).
Solução. O ângulo θ é o ângulo entre os vetores−→CAe−CB−→.
As componentes desses vetores são: −→CA = (−5, −2)e−CB = (−2, 3)−→ . Os módulos dos vetores−→CAe−CB−→são respectivamente
−→ CA = q (−5)2+ (−2)2= √ 29e −−→ CB = q (−2)2+ 32=√13
O produto escalar dos vetores−→CAe−CB−→é−→CA.−CB = (−5) . (−2)+(−2) .3 = 4−→ Usando o Corolário do Teorema 1, θ = arccos√ 4
29.√13
' 78, 1º ou 1,36 radianos.
Prova do Teorema 1
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo da gura a baixo
encontramos
|w|2= |u|2+ |v|2− 2 |u| . |v| cosθ
2 |u| . |v| cosθ = |u|2+ |v|2− |w|2 como w = u − v ⇒ w = hu1− v1, u2− v2i .Assim |u|2= q u2 1+ u 2 2 2 = u21+ u22 |v|2= q v2 1+ v22 2 = v12+ v22 |w|2= q (u1− v1)2+ (u2− v2)2 2 = (u1− v1)2+ (u2− v2)2 |w|2= u21− 2u1v1+ v21 + u 2 2− 2u2v2+ v22 |u|2+ |v|2− |w|2= 2 (u1v1+ u2v2)
3
portanto
2 |u| . |v| cosθ = |u|2+ |v|2− |w|2= 2 (u1v1+ u2v2)
|u| . |v| cosθ = u1v1+ u2v2
cosθ = u1v1+ u2v2 |u| . |v| Assim,θ = arc cosu1v1+u2v2
|u|.|v| .
2 Propriedades do Produto Escalar
Se u,v e w são quaisquer vetores e a for um escalar, então 1. u.v = v.u
2. (au) .v = u. (av) = a (u.v) 3. u. (v + w) = u.v + u.w 4. u.u = |u|2
5. 0.u = 0
3 Vetores Perpendiculares (Ortogonais)
Dois vetores não nulos u e v são perpendiculares ou ortogonais se o ângulo entre eles é π
2.
De nição. Dois vetores u e v, são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, u.v = 0.
Exemplo. Aplicando a de nição de ortogonalidade
a) u = h2, −3i e v = h6, 4i são ortogonais, pois u.v = (2) (6) + (−3) (4) = 12 − 12 = 0
b) u = 3i + 5j e v = −1 3i +
1
5j são ortogonais, pois u.v = (3) − 1 3 + (5)
1 5 = 0
c) O vetor 0 é ortogonal a qualquer vetor u, pois pela propriedade (5) 0.u = 0.
4 Projeções ortogonais
A projeção ortogonal de u =−P Q−→em um vetor não nulo v =−→P S é o vetor−→P R determinado ao se traçar uma perpendicular de Q até P S.
Observação. Usamos a notação P rojvu (projeção ortogonal de u em v) para
representar o vetor−→P R.
Observação. Se u representa uma força, então a P rojvurepresenta a força
efe-tiva na direção de v.
Observação. Se o ângulo θ entre u e v for agudo, P rojvu tem comprimento
|u| cosθ e direção v |v|.
P rojvu = (|u| cosθ)
v |v| como
|u| cosθ = |u| |v| cosθ |v| , cosθ = u.v |u| |v| temos que P rojvu = u.v |v| v |v| P rojvu = u.v |v|2 ! v
Observação. Se θ é obtuso, cosθ < 0 e P rojvutem comprimento − |u| cosθ e
direção − v |v|. P rojvu = u.v |v|2 v
5
Observação. O número |u| cosθ = u.v
|v| é chamado de componente escalar de u
na direção de v.
Exemplo. Encontrando Projeções ortogonais e Componentes Escalares Encontre a projeção ortogonal de uma força F = 2i + 3j em v = 5i − 2j e a componente escalar de F na direção de v.
P rojvF = F.v |v|2 v F.v = (2i + 3j) . (5i − 2j) = (2) (5) + (3) (−2) = 4 |v|2= q 52+ (−2)2 2 = √292= 29 P rojvF = 294 (5i − 2j) = 2029i − 298j |F | cosθ = F.v |v|
|F | cosθ = (2i + 3j) .(5i−2j)√ 29 =
4 √
29
5 Trabalho
De nição. Trabalho Realizado por uma Força Constante
O trabalho realizado por uma força constante F que atua em um desloca-mento D =−P Q−→é
W = F.D = |F | |D| cosθ onde θ é o ângulo entre F e D.
Exemplo. Aplicando a De nição de Trabalho
Se |F | = 40N (newtons) , |D| = 3 e θ = 60º, o trabalho realizado por F que atua de P a Q é W = |F | |D| cosθ W = (40) (3) cos60 W = (120) 1 2 W = 60J (joules)
6 Escrevendo um Vetor como uma Soma de Vetores
Ortogonais
Ao estudar o movimento de uma partícula ao longo de um caminho no plano (ou espaço), é desejável conhecer os componentes do vetor aceleração na direção da tangente ao caminho (em um ponto) e da normal ao caminho. O vetor aceleração pode então ser expresso como a soma das componentes (vetoriais)
tangencial e normal (as quais re etem propriedades geométricas importantes sobre a natureza do próprio caminho, tal como a curvatura).
Em geral para os vetores u e v , o vetor u − projvué ortogonal à projeção
ortogonal projvu( a qual tem a mesma direção de v.
Assim u = projvu + (u − projvu) u = u.v |v|2 ! v + u − u.v |v|2 ! v ! Observação. u.v |v|2 vé paralelo a v eu −u.v |v|2 v é ortogonal a v. Exemplo. Soma de Vetores Ortogonais
Um objeto está se movendo ao longo da curva y = x2 2 +
1
2. Sabendo que o
coe ciente angular da reta tangente à curva em (1, 1) é 3
2 o vetor tangente ao
caminho no ponto (1, 1) é v = 2i + 3j . Se u = 4i − j é a aceleração no ponto em que uma partícula se move ao longo do caminho, expresse u como a soma de um vetor paralelo a v e um vetor ortogonal a v.
Solução. Como u.v = 8 − 3 = 5 e |v|2
= 4 + 9 = 13, temos u = 5 13 (2i + 3j) + (4i − j) − 5 13 (2i + 3j) u = 10 13i + 15 13j + 4i − j −10 13i − 15 13j u = 10 13i + 15 13j + 42 13i − 28 13j
Observação. O primeiro vetor na soma é paralelo a v, porque é 5
13ve o segundo
vetor é ortogonal a v, pois (2i + 3j) . 42 13i −
28 13j = 0.
Exercício. Calculos
Nos exercícios de 1-6, encontre: (a) v.u, |v| e |u|;
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(c) A componente escalar de u na direção de v; (d) O vetor projvu. 1. v = 2i − 4j e u = 2i + 4j 2. v = 2i + 10j e u = 2i + 2j 3. v = −i + j e u =√2i +√3j 4. v = 5i + j e u = 2i +√17j 5. v =D√1 2, 1 √ 3Ee u = D 1 √ 2, − 1 √ 3 E 6. v =D√1 2, 1 √ 2E e u = D− 1 √ 2, − 1 √ 2 E
Exercício. Ângulo entre vetores
Encontre os ângulos entre vetores nos exercícios de 1-4 1. v = 2i + j e u = i + 2j
2. v = 2i − 2j e u = 3i 3. v =√3i − 7j e u =√3i + j 4. v = i +√2je u = −i + j
Exercício. Encontre a medida dos ângulos do triângulo cujos vértices são A = (−1, 0) , B = (2, 1)e C = (1, −2).
Exercício. Encontre as medidas dos ângulos entre as diagonais do retângulo cujos vértices são A = (−1, 0) , B = (2, 1) , C = (3, 4) e D = (4, 1).
Exercício. Na gura abaixo parece que v1+ v2 e v1− v2 são ortogonais. É
mera coincidência ou existem circunstâncias nas quais podemos esperar que a soma de dois vetores seja ortogonal à sua diferença? Justi que sua resposta.
Exercício. Suponha que AB seja o diâmetro de um círculo de com centro 0 e que C seja um ponto sobre um dos dois arcos que ligam A e B . Mostre que −→
Exercício. Uma arma com velocidade de saída de 1200 pés/s é disparada a um ângulo de 8º acima da horizontal. Encontre as componentes vertical e horizontal da velocidade.
Exercício. Suponha que uma caixa esteja sendo erguida sobre um plano incli-nado como mostrado na gura. Encontre a força W necessária para fazer com que a componente da força paralela ao plano inclinado seja igual a 2,5 lb.
Exercício. Mostre que o vetor v = ai + bj é perpendicular à reta bx + ay = c estabelecendo que o coe ciente angular do segmento de reta representando v é o recíproco negativo do coe ciente angular da reta dada.
Exercício. Mostre que o vetor v = ai + bj é paralelo à reta bx − ay = c estabelecendo que o coe ciente angular do segmento da reta representando v é o mesmo que o coe ciente angular da reta dada.
Exercício. Nos exercícios de 1 - 4 , encontre uma equação da reta que passa por P perpendicularmente a v. A seguir esboce a reta. Inclua v em seu esboço como um vetor com ponto inicial na origem.
1. P = (2, 1) , v = i + 2j 2. P = (−1, 2) , v = −2i − j 3. P = (−2, −7) , v = −2i + j 4. P = (11, 10) , v = 2i − 3j
Exercício. Nos exercícios de 1 - 4, encontre uma equação da reta que passa por P paralelamente a v. A seguir esboce a reta. Inclua v em seu esboço como um vetor com ponto inicial na origem.
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2. P = (0, −2) , v = 2i + 3j 3. P = (1, 2) , v = −i − 3j 4. P = (1, 3) , v = 3i − 2j
Exercício. Encontre o trabalho realizado por uma força F = 5i (magnitude 5 N) ao mover um objeto ao longo da reta de origem ao ponto (1, 1)(a distância deve estar em metros).
Exercício. Quanto trabalho é necessário para deslizar um engradado 20m ao longo de um cais puxando-o com uma força de 200 N em um ângulo de 30º com a horizontal.
