Função Real de Uma Variável Real - Parte I
Prof
aScheila V. Biehl
scheilabiehl08@gmail.com
Depto de Matemática e Estatística
Universidade Estadual de Ponta Grossa
Função Real de Uma Variável Real
Função Real de Uma Variável Real.
Conceito, domínio e imagem.
Representação gráfica. Esboço de curvas. Simetria.Funções Crescentes e Decrescentes.
Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Novas funções a partir de funções conhecidas. Composição e inversão de funções.
Função Real de Uma Variável Real
Quatro maneiras de representar uma função:
No mundo real, as funções surgem quando uma quantidade depende da outra.
Exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r . Aleique
relacionar e A é dada pela equação A(r ) = πr2(r > 0). Dizemos queA é uma função de r.
2 NUMERICAMENTE: por uma tabela de valores;
3 VISUALMENTE: através de um gráfico;
Função Real de Uma Variável Real
Quatro maneiras de representar uma função:
No mundo real, as funções surgem quando uma quantidade depende da outra.
Exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r . Aleique
relacionar e A é dada pela equação A(r ) = πr2(r > 0). Dizemos queA é uma função de r.
1 ALGEBRICAMENTE: por uma equação / fórmula explícita;
2 NUMERICAMENTE: por uma tabela de valores;
3 VISUALMENTE: através de um gráfico;
Função Real de Uma Variável Real
Quatro maneiras de representar uma função:
No mundo real, as funções surgem quando uma quantidade depende da outra.
Exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r . Aleique
relacionar e A é dada pela equação A(r ) = πr2(r > 0). Dizemos queA é uma função de r.
1 ALGEBRICAMENTE: por uma equação / fórmula explícita;
2 NUMERICAMENTE: por uma tabela de valores;
Função Real de Uma Variável Real
Quatro maneiras de representar uma função:
No mundo real, as funções surgem quando uma quantidade depende da outra.
Exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r . Aleique
relacionar e A é dada pela equação A(r ) = πr2(r > 0). Dizemos queA é uma função de r.
1 ALGEBRICAMENTE: por uma equação / fórmula explícita;
2 NUMERICAMENTE: por uma tabela de valores;
3 VISUALMENTE: através de um gráfico;
Quatro maneiras de representar uma função:
No mundo real, as funções surgem quando uma quantidade depende da outra.
Exemplo: a área A de um círculo depende de seu raio r . Aleique
relacionar e A é dada pela equação A(r ) = πr2(r > 0). Dizemos queA é uma função de r.
1 ALGEBRICAMENTE: por uma equação / fórmula explícita;
2 NUMERICAMENTE: por uma tabela de valores;
3 VISUALMENTE: através de um gráfico;
Função Real de Uma Variável Real
Por uma tabela.
A população mundial P depende do tempo t. A tabela abaixo fornece estimativas da população mundial P(t) no instante t, para determinados anos. Por exemplo:
P(1.950) ≈ 2.560.000.000
Ano População (bilhões)
1930 2,070 1940 2,300 1950 2,560 1960 3,040 1970 3,710 ... ... 2000 6,080
Para cada valor do tempo t, existe um valor de P correspondente e dizemos que P é uma função de t.
Por um gráfico.
A aceleração vertical a do solo registrada por um sismógrafo durante um terremoto é uma função do tempo t decorrido.
A figura abaixo mostra o gráfico gerado pela atividade sísmica durante um terremoto que abalou Los Angeles em 1994.
Função Real de Uma Variável Real
Por meio de palavras.
O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w . Embora não haja uma fórmula simples relacionando w e C , o correio tem uma fórmula que permite calcular C quando é dado w .
Por meio de palavras.
O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w . Embora não haja uma fórmula simples relacionando w e C , o correio tem uma fórmula que permite calcular C quando é dado w .
Função Real de Uma Variável Real
Definição.
Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f (x ), em um conjunto E.
Notação: y = f (x ) em um ponto x Variável independentes: x
Variável dependentes: y
Domínio e Imagem
Domínio: conjunto D (subconjunto de R).
Imagem: conjunto de todos os valores possíveis de f (x ) quando x varia por todo o domínio (E = {f (x )|x ∈ D}).
Visualização: diagrama de flechas.
Gráfico: conjunto de pares {(x , f (x ))|x ∈ D}.
Função Real de Uma Variável Real
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Sejam dados dois conjuntos A e B.
Injetora. Para todo y ∈ B existe um único x ∈ A tal que y = f (x ) (a 6= b → f (a) 6= f (b)).
Sobrejetora. Imagem igual ao Contradomínio (cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio).
Bijetora. Cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio (e vice-versa).
Esboço do gráfico de uma função f
→ fornece visualização do comportamento da função.
Valor numérico de uma função f :
Função Real de Uma Variável Real
Exemplo 1. Para as funções abaixo, esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função.
(a) f (x ) = 2x − 1 (b) g (x ) = x2
Exemplo 2. Encontre o domínio das funções:
(a) f (x ) =√2x − 1 (b) g (x ) = 1 x2− x
Exemplo 3. Seja f (x ) = x2− 4, determine f (3), f (−2), f (a).
Exemplo 4. Se f (x ) = 2x2− 5x + 1 e h 6= 0, calcule f (a+h)−f (a)
h .
Exemplo 5. Uma caixa retangular aberta (na parte superior) tem um volume de 10m3. O comprimento da base é o dobro da sua largura. O
material da base custa R$10,00 o m2e o material das laterais custa
R$6,00 o m2. Expresse o custo total do material como uma função do
Teste da reta vertical
Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x s.s.s. nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
Função Real de Uma Variável Real
Exemplo: observe que a equação x = y2− 2 implica y2= x + 2, de
modo que y = ±√x + 2.
Na figura (a): a parábola x = y2− 2 não é o gráfico de uma função;
Na figura (b): a parte superior da parábola x = y2− 2 é o gráfico
da função y =√x + 2;
Na figura (c): a parte inferior da parábola x = y2− 2 é o gráfico da função y = −√x + 2.
Função Real de Uma Variável Real
Exemplo: observe que a equação x = y2− 2 implica y2= x + 2, de
modo que y = ±√x + 2.
Na figura (a): a parábola x = y2− 2 não é o gráfico de uma função;
Na figura (b): a parte superior da parábola x = y2− 2 é o gráfico
da função y =√x + 2;
Função Real de Uma Variável Real
Exemplo: observe que a equação x = y2− 2 implica y2= x + 2, de
modo que y = ±√x + 2.
Na figura (a): a parábola x = y2− 2 não é o gráfico de uma função;
Na figura (b): a parte superior da parábola x = y2− 2 é o gráfico
da função y =√x + 2;
Na figura (c): a parte inferior da parábola x = y2− 2 é o gráfico da função y = −√x + 2.
Funções Definidas por Partes
São funções definidas por fórmulas distintas em diferentes partes de seus domínios.
Exemplo 6: Seja f a função definida por:
f (x ) =
1 − x se x ≤ 1 x2 se x > 1
Calcule f (0), f (1), f (2) e esboce o gráfico.
Função Real de Uma Variável Real
Simetrias
Função Par: f (−x ) = f (x ) (simetria em relação ao eixo y )
Exemplo: a função f (x ) = x2, pois:
Simetrias
Função Ímpar: f (−x ) = −f (x ) (simetria em relação à origem)
Exemplo: a função f (x ) = x3, pois:
Função Real de Uma Variável Real
Funções Crescentes
Considere o intervalo I. Pela figura tem-se f crescente no intervalo [a, b] e [c, d ], e decrescente no intervalo [b, c].
Função Crescente: f (x1) < f (x2) sempre que x1< x2 em I.
