ApostilaMatemática-AlgebraLinearI

(1)

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem ´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

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´

E proibida a reproduç ão desta publicaç ão, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr évia autorizaç ão, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revis ão, Supervisor de Produç ão, Capa e Ilustraç ões: Reginaldo J. Santos

ISBN 85-7470-018-5

Ficha Catalogr ´afica

Santos, Reginaldo J.

S237i Introduç ão à Álgebra Linear / Reginaldo J. Santos - Belo Horizonte: Imprensa Universit ária da UFMG, 2008.

1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

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Pref ´acio viii

1 Matrizes e Sistemas Lineares 1

1.1 Matrizes . . . 1

1.1.1 Operac¸ ˜oes com Matrizes . . . 3

1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . 10

1.1.3 Aplicac¸ ˜ao: Cadeias de Markov . . . 16

Ap êndice I: Notaç ão de Somat ório . . . 33

1.2 Sistemas de Equac¸ ˜oes Lineares . . . 35

1.2.1 M ´etodo de Gauss-Jordan. . . 39

1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . 50

1.2.3 Sistemas Lineares Homog ˆeneos . . . 52

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2 Invers ˜ao de Matrizes e Determinantes 77

2.1 Matriz Inversa . . . 77

2.1.1 Propriedades da Inversa . . . 79

2.1.2 Matrizes Elementares e Invers ˜ao (opcional) . . . 82

2.1.3 M ´etodo para Invers ˜ao de Matrizes . . . 86

2.1.4 Aplicaç ão: Interpolaç ão Polinomial . . . 96

2.1.5 Aplicac¸ ˜ao: Criptografia . . . 98

2.2 Determinantes . . . 107

2.2.1 Propriedades do Determinante . . . 113

2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . 127

2.2.3 Matriz Adjunta e Invers ˜ao (opcional) . . . 129

Ap êndice II: Demonstraç ão do Teorema 2.11 . . . 144

2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional) . . . 148

2.3.1 Operac¸ ˜oes Matriciais em Blocos . . . 148

2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos . . . 151

2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos . . . 152

3 Espac¸osRn ₁₅₉ 3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o . . . 159

3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸ ˜ao por Escalar . . . 160

3.1.2 Norma e Produto Escalar . . . 179

3.2 Equac¸ ˜oes de Retas e Planos . . . 202

3.2.1 Equac¸ ˜ao do Plano . . . 202

3.2.2 Equac¸ ˜oes da Reta . . . 208

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3.3.1 Combinac¸ ˜ao Linear . . . 226

3.3.2 Independ ˆencia Linear. . . 231

4 Subespac¸os 246 4.1 Base e Dimens ˜ao . . . 246

Ap ˆendice III: Outros Resultados . . . 272

4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna . . . 280

4.2.1 Posto e Nulidade . . . 281

4.2.2 Aplicac¸ ˜ao a Sistemas Lineares . . . 284

4.2.3 A Imagem de uma Matriz . . . 289

4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos (opcional) . . . 296

5 Ortogonalidade 314 5.1 Produto Escalar emRn _{. . . .} ₃₁₄

5.1.1 Produto Interno . . . 314

5.1.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . 323

5.2 Subespac¸os Ortogonais . . . 333

5.2.1 Subespac¸os Fundamentais. . . 338

5.2.2 Problema de Quadrados M´ınimos . . . 339

5.3 Mudanc¸a de Coordenadas . . . 352

5.3.1 Rotac¸ ˜ao . . . 358

5.3.2 Translac¸ ˜ao . . . 360

5.3.3 Aplicaç ão: Computaç ão Gr áfica - Projeç ão Ortogr áfica . . . 363

6 Transformaç ões Lineares (opcional) 374 6.1 Definiç ão, Exemplos e Propriedades . . . 374

(6)

6.1.1 Definic¸ ˜ao e Exemplos. . . 374

6.1.2 Propriedades . . . 379

6.2 A Imagem e o N ´ucleo . . . 392

6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade . . . 397

6.3 Composiç ão de Transformaç ões Lineares . . . 405

6.3.1 Matriz de uma Transformac¸ ˜ao Linear. . . 405

6.3.2 Invertibilidade . . . 411

6.3.3 Semelhanc¸a . . . 417

7 Diagonalizaç ão 425 7.1 Diagonalizaç ão de Matrizes . . . 425

7.1.1 Motivac¸ ˜ao . . . 425

7.1.2 Autovalores e Autovetores . . . 428

7.1.3 Diagonalizac¸ ˜ao . . . 437

7.1.4 Diagonalizac¸ ˜ao de Operadores (opcional) . . . 448

7.1.5 Forma Can ˆonica de Jordan (opcional) . . . 450

7.2 Diagonalizaç ão de Matrizes Sim étricas . . . 465

7.2.1 Motivac¸ ˜ao . . . 465

7.2.2 Matrizes Ortogonais . . . 467

Ap ˆendice IV: Autovalores Complexos . . . 477

7.3 Aplicaç ão na Identificaç ão de C ônicas . . . 483

Respostas dos Exerc´ıcios 499

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Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduç ão à Álgebra Linear ou de ´

Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas n ão é necess ário, ser acompanhado um programa como o MATLABr∗, SciLab ou o Maxima.

O conte údo é dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da álgebra matricial s ão demonstradas. A resoluç ão de sistemas lineares é feita usando somente o m étodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at é que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este m étodo requer mais trabalho do que o m étodo de Gauss (transformando a matriz, apenas, at é que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb ém é usado no estudo da invers ão de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo é tamb ém estudado o determinante, que é definido usando cofatores. As demonstraç ões dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a crit ério do leitor, feitas somente para matrizes_{3 × 3}.

O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e noRn_{. Os vetores s ˜ao definidos inicialmente}

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de forma geom étrica, assim como a soma e a multiplicaç ão por escalar. S ão provadas algumas propriedades geometricamente. Depois s ão introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definiç ão de base. O produto escalar é definido tamb ém geometricamente. S ão estudados tamb ém retas e planos no espaço. Depois, o conceito de vetor é generalizado para oRn_.

O conceito de depend ência e independ ência linear é introduzido de forma alg ébrica, acompanhado da interpretaç ão geom étrica para os casos deR2 _e_R3_.

No Cap´ıtulo 4 s ão tratados os conceitos de subespaços e de base de subespaços. S ão estudados os espaços linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do cap´ıtulo os Espaços Vetoriais Abstratos s ão definidos. No Cap´ıtulo 5 s ão abordados o produto escalar e bases ortonormais. Al ém de subespaços ortogonais e quadrados m´ınimos.

Transformaç ões Lineares deRn_emRm_{s ão estudadas no Cap´ıtulo 6. O Cap´ıtulo 7 traz um estudo}

da diagonalizaç ão de matrizes em geral e a diagonalizaç ão de matrizes sim étricas atrav és de uma matriz ortogonal. É feita uma aplicaç ão ao estudo das seç ões c ônicas.

Os exerc´ıcios est ão agrupados em tr ês classes. Os “Exerc´ıcios Num éricos”, que cont ém exerc´ıcios que s ão resolvidos fazendo c álculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-putador ou de uma m áquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Te óricos”, que cont ém exerc´ıcios que reque-rem demonstraç ões. Alguns s ão simples, outros s ão mais complexos. Os mais dif´ıceis complemen-tam a teoria e geralmente s ão acompanhados de sugest ões. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABr”, que cont ém exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABr ou outro software. Os comandos necess ários a resoluç ão destes exerc´ıcios s ão tamb ém fornecidos juntamente com uma explicaç ão r ápida do uso. Os exerc´ıcios num éricos s ão imprescind´ıveis, enquanto a resoluç ão dos outros, de-pende do n´ıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

O MATLABr é um software destinado a fazer c álculos com matrizes (MATLABr = MATrix LABo-ratory). Os comandos do MATLABr s ão muito pr óximos da forma como escrevemos express ões alg ébricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados às rotinas pr é-definidas,

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pa-cotes para c álculos espec´ıficos. Um pacote chamadogaalcom funç ões que s ão direcionadas para o estudo de Geometria Anal´ıtica e Álgebra Linear pode ser obtido na web na p ágina do autor, as-sim como um texto com uma introduç ão ao MATLABr e instruç ões de como instalar o pacote gaal. O MATLABr n ão é um software gratuito, embora antes a vers ão estudante vinha gr átis ao se com-prar o guia do usu ário. Atualmente o SciLab é uma alternativa gratuita, mas que n ão faz c álculo simb ólico. O Maxima é um programa de computaç ão alg ébrica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Álgebra Linear. Na p ágina do autor na web podem ser encontrados pacotes de funç ões para estes programas al ém de links para as p áginas do SciLab e do Maxima e v árias p áginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.

No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus conheci-mentos. Os Exerc´ıcios Num éricos e os Exerc´ıcios usando o MATLABrest ão resolvidos ap ós o último cap´ıtulo utilizando o MATLABr. Desta forma o leitor que n ão estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABre do pacotegaal.

Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correç ões, cr´ıticas e su-gest ões, entre eles Helder C. Rodrigues e Francisco Satuf, Joana Darc A. S. da Cruz e Lucia Brasil.

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Sugest ˜ao de Cronograma para 60 Horas

Cap´ıtulo 1 Seç ões 1.1 e 1.2 8 aulas Cap´ıtulo 2 Seç ões 2.1 e 2.2 8 aulas Cap´ıtulo 3 Seç ões 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Seç ões 4.1 e 4.2 8 aulas Cap´ıtulo 5 Seç ões 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 7 Seç ões 7.1 a 7.3 12 aulas

Total 60 aulas

Sugest ˜ao de Cronograma para 90 Horas

Cap´ıtulo 1 Seç ões 1.1 e 1.2 10 aulas Cap´ıtulo 2 Seç ões 2.1 e 2.3 12 aulas Cap´ıtulo 3 Seç ões 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Seç ões 4.1 a 4.3 12 aulas Cap´ıtulo 5 Seç ões 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 6 Seç ões 6.1 a 6.3 15 aulas Cap´ıtulo 7 Seç ões 7.1 a 7.3 12 aulas

Total 85 aulas

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Março 2008 Foi acrescentada a subseç ão opcional ’Forma Can ônica de Jordan’. Foram corrigidos

alguns erros.

Julho 2007 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na seç ão de Determinantes. Foram acrescentados um exerc´ıcio na seç ão de Determinantes, um na de Produto Escalar em Rn_{, quatro na de}

Diagonalizaç ão e um na de Diagonalizaç ão de Matrizes Sim étricas. Foram corrigidos alguns erros.

Março 2007 A Seç ão 1.1 de Matrizes e a Seç ão 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na seç ão 1.2

o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz na forma escalonada reduzida. As seç ões 4.1, 5.1 e 5.3 foram reescritas e acrescentada uma aplicaç ão à computaç ão gr áfica. Foi acrescentada a sub-seç ão opcional ’Diagonalizaç ão de Operadores’ à seç ão 7.1. Foram acrescentados dois exerc´ıcios na seç ão de Matrizes, um na de Invers ão de Matrizes, um na de Base e Dimens ão, tr ês na de Mudança de Coordenadas. Foram corrigidos alguns erros.

Maio 2004 Foram acrescentadas aplicaç ões à criptografia (Exemplo na p ágina98) e a cadeias de Markov (Exemplos1.9na p ágina16,1.16na p ágina55e7.8na p ágina444). Foi acrescentado um exerc´ıcio na seç ão 1.1. Foi inclu´ıda a demonstraç ão de que toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na p ágina 26 que passou para o Ap êndice III da seç ão 5.2. O Teorema 1.4 agora cont ém as propriedades da relaç ão “ser equivalente por linhas” com a demonstraç ão. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A seç ão ’Base e Dimens ão’ foi reescrita. Foi acrescentada a Proposiç ão4.9na p ágina275que é útil na obtenç ão de uma base para um subespaço. O Teorema 4.3 do Ap êndice III passou para o texto obrigat ório da seç ão 4.3 e é agora o Teorema4.2na p ágina258. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns

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exerc´ıcios à seç ão 4.3. Os exemplos7.4na p ágina434e7.5na p ágina441foram modificados. A seç ão ’Diagonalizaç ão de Matrizes’ ganhou mais um exerc´ıcio te órico.

Julho 2003 V árias correç ões incluindo respostas de exerc´ıcios. A seç ão ’Base e Dimens ão’ foi

re-escrita. Foi acrescentada uma seç ão de Espaços Vetoriais Abstratos no Cap´ıtulo 4. A seç ão ’Diagonalizaç ão de Matrizes’ ganhou mais dois exerc´ıcios te óricos. A seç ão ’Diagonalizaç ão de Matrizes Sim étricas’ ganhou um ap êndice sobre ’Autovalores Complexos’.

Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear’ para ser usado numa disciplina de Introduç ão à Álgebra Linear ou Álgebra Matricial.

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Matrizes e Sistemas Lineares

1.1 Matrizes

Uma matrizA,_{m ×n}(mporn), ´e uma tabela demnn ´umeros dispostos emmlinhas encolunas

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn      .

Ai- ´esima linha deA ´e

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parai = 1, . . . , me aj- ´esima coluna deA ´e      a1j a2j .. . amj      ,

paraj = 1, . . . , n. Usamos tamb ém a notaç ãoA = (aij)_m×n. Dizemos queaijou[A]ij é o elemento ou a entrada de posiç ãoi, jda matrizA.

Sem = n, dizemos queA ´e uma matriz quadrada de ordemne os elementosa11, a22, . . . , ann

formam a diagonal (principal) deA.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A = 1 2 3 4 , B = −2 1 0 3 , C = 1 3 0 2 4 −2 , D = 1 3 −2 , E =   1 4 −3   eF = 3 .

As matrizesA eB s ão _{2 × 2}. A matrizC é _{2 × 3}, D é _{1 × 3}, E é _{3 × 1}e F é_{1 × 1}. De acordo com a notaç ão que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima s ão

a12= 2,c23 = −2,e21 = 4,[A]22= 4,[D]12= 3.

Uma matriz que s ó possui uma linha é chamada matriz linha, e uma matriz que s ó possui uma coluna é chamada matriz coluna, No Exemplo1.1a matrizD é uma matriz linha e a matrizE é uma

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matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna s ˜ao chamadas de vetores. O motivo ficar ´a claro na

Seç ão3.3na p ágina222.

Dizemos que duas matrizes s ão iguais se elas t êm o mesmo tamanho e os elementos correspon-dentes s ão iguais, ou seja,A = (aij)m×n eB = (bij)p×q s ão iguais sem = p, n = q eaij = bij

parai = 1, . . . , mej = 1, . . . , n.

Vamos definir operaç ões matriciais an álogas às operaç ões com n úmeros e provar propriedades que s ão v álidas para essas operaç ões. Veremos, mais tarde, que um sistema de equaç ões lineares pode ser escrito em termos de uma única equaç ão matricial.

Vamos, agora, introduzir as operac¸ ˜oes matriciais.

1.1.1 Operac¸ ˜

oes com Matrizes

Definiç ão 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m×n e B = (bij)m×n é

definida como sendo a matriz_{m × n}

C = A + B

obtida somando-se os elementos correspondentes deAeB, ou seja,

cij = aij+ bij,

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Exemplo 1.2. Considere as matrizes: A = 1 _{2 −3} 3 4 0 , B = −2 1 5 0 _{3 −4}

Se chamamos deCa soma das duas matrizesAeB, ent ˜ao

C = A + B = 1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5 3 + 0 _{4 + 3 0 + (−4)} = −1 3 2 3 _{7 −4}

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Definiç ão 1.2. A multiplicaç ão de uma matrizA = (aij)_m×npor um escalar (n úmero)α é definida pela matriz_{m × n}

B = αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matrizApelo escalarα, ou seja,

bij = α aij,

parai = 1, . . . , mej = 1, . . . , n. Escrevemos tamb ém[αA]ij = α aij. Dizemos que a matrizB é um m últiplo escalar da matrizA.

Exemplo 1.3. O produto da matrizA =   −2 1 0 3 5 −4 

pelo escalar₋₃ ´e dado por

−3 A =   (−3)(−2) (−3) 1 (−3) 0 (−3) 3 (−3) 5 (−3)(−4)  =   6 −3 0 −9 −15 12   .

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Definiç ão 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o n úmero de colunas da primeira matriz é igual ao n úmero de linhas da segunda,A = (aij)_m×peB = (bij)_p×n é definido pela matriz_{m × n}

C = AB

obtida da seguinte forma:

cij = ai1b1j+ ai2b2j+ . . . + aipbpj, (1.1)

parai = 1, . . . , mej = 1, . . . , n. Escrevemos tamb ´em[AB]ij = ai1b1j+ ai2b2j+ . . . + aipbpj.

A equaç ão (1.1) est á dizendo que o elemento i, j do produto é igual à soma dos produtos dos elementos dai- ésima linha deApelos elementos correspondentes daj- ésima coluna deB.

   c11 . . . c1n .. . cij ... cm1 . . . cmn    =        

a11 a12 . . . a1p

..

. . . . ...

ai1 ai2 . . . aip

..

. . . . ...

am1 am2 . . . amp              b11 b21 .. . bp1 . . . . . . . . . . . . b1j b2j .. . bpj . . . . . . . . . . . . b1n b2n .. . bpn     

A equaç ão (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notaç ão de somat ório.

[AB]ij = ai1b1j+ ai2b2j+ . . . + aipbpj = p X k=1

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e dizemos “somat ´orio dekvariando de1apdeaikbkj”. O s´ımbolo

p X

k=1

significa que estamos fazendo

uma soma em que o ´ındicek est á variando dek = 1at ék = p. Algumas propriedades da notaç ão de somat ório est ão explicadas noAp êndice I na p ágina33.

Exemplo 1.4. Considere as matrizes:

A = 1 _{2 −3} 3 4 0 , B =   −2 1 0 0 3 0 5 −4 0   .

Se chamamos deCo produto das duas matrizesAeB, ent ˜ao

C = AB = 1 (−2) + 2 · 0 + (−3) 5 1 · 1 + 2 · 3 + (−3) (−4) 0 3 (−2) + 4 · 0 + 0 · 5 3 · 1 + 4 · 3 + 0 (−4) 0 = −17 19 0 −6 15 0 .

Observaç ão. No exemplo anterior o produtoBA n ão est á definido (por que?). Entretanto, mesmo quando ele est á definido,BApode n ão ser igual aAB, ou seja, o produto de matrizes n ão é

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Exemplo 1.5. SejamA = 1 2 3 4 eB = −2 1 0 3 . Ent ˜ao, AB = −2 7 −6 15 e BA = 1 0 9 12 .

Vamos ver no pr óximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-mente um processo de produç ão.

Exemplo 1.6. Uma ind ústria produz tr ês produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X s ão utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B s ão necess ários na produç ão dexkg do produto X,ykg do produto Y ezkg do produto Z.

X Y Z gramas de A/kg gramas de B/kg 1 1 1 2 1 4 = A X =   x y z   kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos AX = x + y + z 2x + y + 4z gramas de A usados gramas de B usados

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Definiç ão 1.4. A transposta de uma matrizA = (aij)_m×n é definida pela matriz_{n × m}

B = At

obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,

bij = aji,

parai = 1, . . . , nej = 1, . . . , m. Escrevemos tamb ´em[At_]ij _{= aji}_.

Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes

A = 1 2 3 4 , B = −2 1 0 3 e C = 1 3 0 2 4 −2 s ˜ao At = 1 3 2 4 , Bt = −2 0 1 3 e Ct =   1 2 3 4 0 −2   .

A seguir, mostraremos as propriedades que s ão v álidas para a álgebra matricial. V árias proprie-dades s ão semelhantes àquelas que s ão v álidas para os n úmeros reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferenças. Uma propriedade importante que é v álida para os n úmeros reais, mas n ão é v álida para as matrizes é a comutatividade do produto, como foi mostrado noExemplo 1.5. Por ser compacta, usaremos a notaç ão de somat ório na demonstraç ão de v árias propriedades. Algumas propriedades desta notaç ão est ão explicadas noAp êndice I na p ágina33.

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1.1.2 Propriedades da ´

Algebra Matricial

Teorema 1.1. SejamA,B eCmatrizes com tamanhos apropriados,αeβescalares. S ão v álidas as seguintes propriedades para as operaç ões matriciais:

(a) (comutatividade)A + B = B + A;

(b) (associatividade)A + (B + C) = (A + B) + C;

(c) (elemento neutro) A matriz¯0,_{m × n}, definida por[¯0]ij = 0, parai = 1, . . . , m,j = 1, . . . , n ´e tal que

A + ¯0 = A,

para toda matrizA,_{m × n}. A matriz¯0 ´e chamada matriz nula_{m × n}.

(d) (elemento sim ´etrico) Para cada matrizA, existe uma ´unica matriz _−A, definida por_[−A]ij = −aijtal que

A + (−A) = ¯0.

(e) (associatividade)α(βA) = (αβ)A;

(f) (distributividade)(α + β)A = αA + βA;

(g) (distributividade)α(A + B) = αA + αB;

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(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivopa matriz,_{p × p}, Ip =      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . . . . ... 0 0 . . . 1      ,

chamada matriz identidade ´e tal que

A In= ImA = A, para toda matrizA = (aij)_m×n.

(j) (distributividade)A(B + C) = AB + AC e(B + C)A = BA + CA;

(k) α(AB) = (αA)B = A(αB);

(l) (At₎t _{= A}_;

(m) (A + B)t _{= A}t _{+ B}t_;

(n) (αA)t _{= α A}t_;

(o) (AB)t _{= B}t_At_;

Demonstraç ão. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo s ão iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Ser ão usadas v árias propriedades dos n úmeros sem cit á-las explicitamente.

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(a) [A + B]ij = aij+ bij = bij+ aij = [B + A]ij;

(b) [A + (B + C)]ij = aij+ [B + C]ij = aij+ (bij+ cij) = (aij+ bij) + cij = [A + B]ij+ cij = [(A + B) + C]ij;

(c) SejaX uma matriz_{m × n}tal que

A + X = A (1.2)

para qualquer matriz A,_{m × n}. Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij+ xij = aij,

ou seja,xij = 0, parai = 1 . . . , mej = 1 . . . , n. Portanto, a única matriz que satisfaz (1.2) é a matriz em que todos os seus elementos s ão iguais a zero. Denotamos a matrizXpor ¯0.

(d) Dada uma matrizA,_{m × n}, sejaXuma matriz_{m × n}, tal que

A + X = ¯0 . (1.3)

Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij+ xij = 0 ,

ou seja,xij _{= −a}ij, parai = 1 . . . , me j = 1 . . . , n. Portanto, a ´unica matriz que satisfaz

(1.3) é a matriz em que todos os seus elementos s ão iguais aos sim étricos dos elementos de

A. Denotamos a matrizXpor_−A.

(27)

(f) [(α + β)A]ij = (α + β)aij = (αaij) + (βaij) = [αA]ij+ [βA]ij = [αA + βA]ij.

(g) _{[α(A + B)]ij} _{= α[A + B]ij} _{= α(aij}_{+ bij) = αaij}_{+ αbij} _{= [αA]ij}_{+ [αB]ij} = [αA + αB]ij.

(h) A demonstraç ão deste item é a mais trabalhosa. SejamA,BeCmatrizes_{m × p},_{p × q}e_{q × n} respectivamente. A notaç ão de somat ório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta.

[A(BC)]ij = p X k=1 aik[BC]kj = p X k=1 aik( q X l=1 bklclj) = p X k=1 q X l=1 aik(bklclj) = = p X k=1 q X l=1 (aikbkl)clj = q X l=1 p X k=1 (aikbkl)clj = q X l=1 ( p X k=1 aikbkl)clj = = q X l=1 [AB]ilclj = [(AB)C]ij.

(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que ´e definido por

δij =

1, sei = j 0, se_{i 6= j} como[In]ij= δij. Assim,

[AIn]ij = n X k=1 aik[In]kj = n X k=1 aikδkj = aij.

(28)

(j) [A(B + C)]ij = X k=1 aik[B + C]kj =X k=1 aik(bkj+ ckj) =X k=1 (aikbkj + aikckj) = = p X k=1 aikbkj + p X k=1

aikckj = [AB]ij+ [AC]ij = [AB + AC]ij.

A outra igualdade ´e inteiramente an ´aloga a anterior e deixamos como exerc´ıcio.

(k) [α(AB)]ij = α p X k=1 aikbkj = p X k=1 (αaik)bkj = [(αA)B]ij e [α(AB)]ij = α p X k=1 aikbkj = p X k=1 aik(αbkj) = [A(αB)]ij.

(l) [(At₎t_]ij _{= [A}t_]ji_{= aij}_.

(m) [(A + B)t_]ij _{= [A + B]ji} _{= aji}_{+ bji} _{= [A}t_]ij_{+ [B}t_]ij_. (n) [(αA)t]ij = [αA]ji= αaji= α[At]ij= [αAt]ij.

(o) [(AB)t_]ij _{= [AB]ji} ₌ p X k=1 ajkbki = p X k=1 [At]kj[Bt]ik = p X k=1 [Bt]ik[At]kj = [BtAt]ij.

A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanhoAeB ´e definida por

(29)

ou seja, ´e a soma da matrizAcom a sim ´etrica da matrizB.

SejamAuma matriz_n×nepum inteiro positivo. Definimos a pot ˆenciapdeA, porAp _{= A . . . A} | {z } p vezes

.

E parap = 0, definimosA0 _{= In}_.

Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizesAeB, quadradas, vale a igualdade

(A + B)(A − B) = A2− B2. (1.4)

Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos

(A + B)(A − B) = (A + B)A + (A + B)(−B)

= AA + BA − AB − BB = A2+ BA − AB − B2

Assim,_{(A + B)(A − B) = A}2_{− B}2 se, e somente se,_{BA − AB = 0}, ou seja, se, e somente se,

AB = BA. Como o produto de matrizes n ão é comutativo, a conclus ão é que a igualdade (1.4), n ão vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que n ão comutem entre si. Sejam

A = 0 0 1 1 e B = 1 0 1 0 .

Para estas matrizes

A + B = 1 0 2 1 , _{A − B =} −1 0 0 1 , A2 = A = 0 0 1 1 , B2 = B = 1 0 1 0 . Assim, (A + B)(A − B) = −1 0 −2 1 6= −1 0 0 1 = A2_{− B}2.

(30)

1.1.3 Aplicac¸ ˜ao: Cadeias de Markov

Exemplo 1.9. Vamos supor que uma populaç ão é dividida em tr ês estados (por exemplo: ricos, classe m édia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo, s ó dependa dos estados. Este processo é chamado cadeia de

Mar-kov.

Seja tij a probabilidade de mudanc¸a do estado j para o estado i em uma unidade de tempo

(gerac¸ ˜ao). Cuidado com a ordem dos ´ındices. A matriz

T = 1

2

3   t11 t12 t13 t21 t22 t23 t31 t32 t33   1

2

3

é chamada matriz de transiç ão. Como exemplo vamos considerar a matriz de transiç ão

T = 1

2

3    1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2    1

2

3

(1.5)

A distribuiç ão da populaç ão inicial entre os tr ês estados pode ser descrita pela seguinte matriz:

P0 =   p1 p2 p3  

est á no estado 1 est á no estado 2 est á no estado 3

(31)

A matrizP0 caracteriza a distribuiç ão inicial da populaç ão entre os tr ês estados e é chamada vetor

de estado. Por exemplo,

P0 =   1 3 1 3 1 3  

est á no estado 1 est á no estado 2 est á no estado 3

(1.6)

representa uma populaç ão dividida de forma que1/3da populaç ão est á em cada estado. Ap ós uma unidade de tempo a populaç ão estar á dividida entre os tr ês estados da seguinte forma

P1 =   t11p1+ t12p2+ t13p3 t21p1+ t22p2+ t23p3 t31p1+ t32p2+ t33p3  

estar á no estado 1 estar á no estado 2 estar á no estado 3

Lembre-se quetij ´e a probabilidade de mudanc¸a do estadojpara o estadoi. Assim o vetor de estado

ap ´os uma unidade de tempo ´e dada pelo produto de matrizes:

P1 = T P0.

Por exemplo se a matriz de transiç ão,T, é a matriz dada por (1.5) e a matriz de estado inicial,P0, é a matriz dada por (1.6), ent ão ap ós uma unidade de tempo a matriz de estado ser á dada por

P1 = T P0 =    1 2 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 4 1 2       1 3 1 3 1 3    =    1 4 1 2 1 4   

Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transiç ão é a mesma, ent ão ap ósk unidades de tempo a populaç ão estar á dividida entre os tr ês estados segundo a matriz de estado

(32)

Assim a matrizTk_{d á a transiç ão entre}_k_{unidades de tempo.}

Veremos naSeç ão7.1na p ágina425como calcular rapidamente pot ênciaskde matrizes e assim como determinar a distribuiç ão da populaç ão ap ósk unidades de tempo parak um inteiro positivo qualquer.

Exerc´ıcios Num ´ericos (respostas na p ´agina

500 )

1.1.1. Considere as seguintes matrizes

A = 2 0 6 7 , B = 0 4 2 −8 , C = −6 9 −7 7 −3 −2 D =   −6 4 0 1 1 4 −6 0 6  , E =   6 9 −9 −1 0 −4 −6 0 −1  

Se for poss´ıvel calcule:

(a) _{AB − BA},

(b) _{2C − D},

(c) (2Dt_{− 3E}t₎t_, (d) D2_{− DE}_.

(33)

1.1.2. Conhecendo-se somente os produtosAB e AC, como podemos calcularA(B + C), Bt_At_, Ct_At _e_(ABA)C_?

1.1.3. Considere as seguintes matrizes

A = −3 2 1 1 2 −1 , B =   2 −1 2 0 0 3   C =   −2 1 −1 0 1 1 −1 0 1  , D =   d1 0 0 0 d2 0 0 0 d3   E1 =   1 0 0  , E₂ =   0 1 0  , E₃ =   0 0 1   Verifique que:

(a) AB ´e diferente deBA.

(b) AEj é a j- ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3 e EitB é a i- ésima linha de B, para i = 1, 2, 3(o caso geral est á noExerc´ıcio1.1.16na p ágina26).

(c) CD = [ d1C1 d2C2 d3C3 ], em queC1 =   −2 0 −1  ,C2 =   1 1 0  eC3 =   −1 1 1  , s ˜ao as

(34)

(d) DC =   d1C1 d2C2 d3C3  , em que C1 = _{−2 1 −1} , C2 = 0 1 1 e

C3 = _{−1 0 1} s ão as linhas de C (o caso geral est á noExerc´ıcio 1.1.17 (b) na p ágina27).

(e) Escrevendo B em termos das suas colunas, B = [ B1 B2 ], em que B1 =   2 2 0   e B2 =   −1 0 3 

, o produtoAB pode ser escrito comoAB = A [ B1 B2 ] = [ AB1 AB2 ]

(o caso geral est ´a noExerc´ıcio1.1.18(a) na p ´agina28).

(f) escrevendoAem termos das suas linhas,A1 =

−3 2 1 eA2 =

1 2 −1 , o produtoAB pode ser escrito como AB =

A1 A2 B = A1B A2B

(o caso geral est ´a no

Exerc´ıcio1.1.18(b) na p ´agina28). 1.1.4. Sejam A = 1 −3 0 0 _{4 −2} e X =   x y z  .

Verifique quexA1+ yA2+ zA3 = AX, em queAj ´e aj- ´esima coluna deA, paraj = 1, 2, 3

(35)

1.1.5. Encontre um valor dextal queABt _{= 0}_{, em que}

A = _{x 4 −2} e B = _{2 −3 5} . 1.1.6. Mostre que as matrizesA = 1

1 y y 1

, em que y é uma n úmero real n ão nulo, verificam a equaç ãoX2 _{= 2X}_.

1.1.7. Mostre que seAeB s ˜ao matrizes que comutam com a matrizM = 0 1 −1 0 , ent ˜aoAB = BA.

1.1.8. (a) Determine todas as matrizesA,_2×2, diagonais (os elementos que est ˜ao fora da diagonal s ˜ao iguais a zero) que comutam com toda matrizB,_{2 × 2}, ou seja, tais queAB = BA, para toda matrizB,_{2 × 2}.

(b) Determine todas as matrizesA, _{2 × 2}, que comutam com toda matrizB, _{2 × 2}, ou seja, tais queAB = BA, para toda matrizB,_{2 × 2}.

1.1.9. Verifique queA3 _{= ¯0}_{, para}

A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  .

O caso geral est ´a noExerc´ıcio1.1.29na p ´agina32.

(36)

Uma vez inicializado o MATLABr, aparecer á na janela de comandos um prompt>> ouEDU>>. O prompt significa que o MATLABr est á esperando um comando. Todo comando deve ser finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas_↑e _↓. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas_←, _→, Delete e Backspace. O MATLABr faz diferença entre letras mai úsculas e min úsculas.

No MATLABr, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸ ˜ao. O comando

>> help

(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes dispon´ıveis. Ajuda sobre um pacote espec´ıfico ou sobre um comando ou func¸ ˜ao espec´ıfica pode ser obtida com o comando

>> help nome,

(sem a v´ırgula e sem o prompt>>) em quenomepode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou func¸ ˜ao.

Al ém dos comandos e funç ões pr é-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal

com funç ões espec´ıficas para a aprendizagem de Geometria Anal´ıtica e Algebra Li-´ near. Este pacote pode ser obtido gratuitamente atrav és da internet no endereço

http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduç ão ao MATLABre instruç ões de como instalar o pacotegaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o comandohelp gaalno prompt do MATLABrd á informaç ões sobre este pacote.

Mais informac¸ ˜oes sobre as capacidades do MATLABrpodem ser obtidas em [3,24].

Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulaç ão de matri-zes. Outros comandos ser ão introduzidos a medida que forem necess ários.

(37)

>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando os elementosa11, a12, ..., amn e a armazena numa vari ´avel de nome A. Por exemplo, >> A=[1,2,3;4,5,6]cria a matrizA =

1 2 3 4 5 6

;

>> I=eye(n)cria a matriz identidadenporne a armazena numa vari ´avelI;

>> O=zeros(n)ou>> O=zeros(m,n)cria a matriz nulanpornoumporn, respectivamente, e a armazena numa vari ´avelO;

>> A+B ´e a soma deAeB,

>> A*B ´e o produto deAporB,

>> A.’ ´e a transposta deA,

>> A-B ´e a diferenc¸aAmenosB,

>> num*A ´e o produto do escalarnumporA,

>> A^k ´e a pot ˆenciaAelevado ak.

>> A(:,j) ´e a colunaj da matrizA,>> A(i,:) ´e a linhaida matrizA.

>> diag([d1,...,dn])cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal s ˜ao iguais aos elementos da matriz[d1,...,dn], ou seja, s ˜aod1,...,dn.

>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos s ão armazenados no formato simb ólico. A funç ãonumericfaz o processo inverso.

>> solve(expr) determina a soluç ão da equaç ão expr=0. Por exemplo,

>> solve(x^2-4)determina as soluç ões da equaç ãox2_{− 4 = 0}_; Comando do pacote GAAL:

>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n)cria uma matriz npor n oum por n, respectivamente, com elementos inteiros aleat ´orios entre₋₅e5.

1.1.10. Use o MATLABrpara calcular alguns membros da seq ¨u ˆenciaA, A2_{, . . . , A}k_{, . . .}_{, para} (a) A = 1 1₂ 0 1₃ ; (b) A = ₁ 2 1 3 0 −15 .

(38)

A seq ¨u ˆencia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?

1.1.11. Calcule as pot ˆencias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!) o menor inteirok > 1tal que (use o comando>> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na vari ´avelA): (a) Ak _{= I3}_{, em que} A =   0 0 1 1 0 0 0 1 0  ; (b) Ak _{= I4}_{, em que} A =     0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0    ; (c) Ak _{= ¯0}_{, em que} A =     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0    .

1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABrpara tentar ter uma id éia do qu ão comum é encontrar matrizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABrdigite a seguinte linha:

(39)

(n ão esqueça das v´ırgulas e pontos e v´ırgulas!). O que esta linha est á mandando o MATLABr fazer é o seguinte:

• Criar um contadorce atribuir a ele o valor zero.

• Atribuir às vari áveisAeB,1000matrizes_{3 × 3}com entradas inteiras e aleat órias entre₋₅ e5.

• SeAB=BA, ou seja,AeBcomutarem, ent ˜ao o contadorc ´e acrescido de1.

• No final o valor existente na vari ´avelc ´e escrito.

Qual a conclus ão que voc ê tira do valor obtido na vari ávelc?

1.1.13. Faça um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes é diagonal, isto é, os elementos que est ão fora da diagonal s ão iguais a zero. Use a seta para cima_↑para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABrde forma a obter algo semelhante à linha:

>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....

Qual a conclus ão que voc ê tira do valor obtido na vari ávelc?

1.1.14. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes ´e diagonal. Use a seta para cima _↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABrde forma a obter a seguinte linha:

>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c

Aqui s ão impressas as matrizesAeBquando elas comutarem. Qual a conclus ão que voc ê tira deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?

(40)

1.1.15. Use o MATLABrpara resolver os Exerc´ıcios Num ´ericos.

Exerc´ıcios Te ´

oricos

1.1.16. SejamE1 =        1 0 0 .. . 0        , E2 =        0 1 0 .. . 0        ,. . . ,En =        0 0 .. . 0 1        matrizes_{n × 1}.

(a) Mostre que se

A =     

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn     

é uma matriz_{m × n}, ent ãoAEj é igual à colunajda matrizA.

(b) Mostre que se B =      b11 b12 . . . b1m b21 b22 . . . b2m .. . . . . ... bn1 bn2 . . . bnm      ,

´e uma matriz_{n × m}ent ˜aoEt

(41)

1.1.17. Seja D =      λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. . . . . ... 0 . . . 0 λn     

uma matriz diagonal_{n × n}, isto é, os elementos que est ão fora da diagonal s ão iguais a zero. Seja A =     

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . . . ...

an1 an2 . . . ann      .

(a) Mostre que o produtoAD ´e obtido da matrizAmultiplicando-se cada colunaj porλj, ou seja, seA = [ A1 A2 . . . An ], em queAj =    a1j .. . anj  

 ´e a colunaj deA, ent ˜ao

AD = [ λ1A1 λ2A2 . . . λnAn].

(42)

seja, seA =      A1 A2 .. . An     

, em queAi = [ ai1 . . . ain ] ´e a linhaideA, ent ˜ao

DA =      λ1A1 λ2A2 .. . λnAn      .

1.1.18. SejamAeB matrizes_{m × p}e_{p × n}, respectivamente.

(a) Mostre que a j- ´esima coluna do produto AB ´e igual ao produto ABj, em que Bj =    b1j .. . bpj  

 é aj- ésima coluna deB, ou seja, seB = [ B1 . . . Bn ], ent ão

AB = A[ B1 . . . Bn] = [ AB1 . . . ABn ];

(43)

[ ai1 . . . aip] é ai- ésima linha deA, ou seja, seA =      A1 A2 .. . Am      , ent ão AB =      A1 A2 .. . Am      B =      A1B A2B .. . AmB      .

1.1.19. Seja A uma matriz _{m × n} e X =    x1 .. . xn  

 uma matriz n × 1. Prove que AX =

n X j=1

xjAj, em queAj é aj- ésima coluna deA. (Sugest ão: Desenvolva o lado direito e

chegue ao lado esquerdo.)

1.1.20. (a) Mostre que seA ´e uma matriz_{m × n}tal queAX = ¯0, para toda matrizX,_{n × 1}, ent ˜ao

A = ¯0. (Sugest ˜ao: use oExerc´ıcio16na p ´agina26.)

(b) SejamB eC matrizes_{m × n}, taisBX = CX, para todoX, _{n × 1}. Mostre queB = C. (Sugest ˜ao: use o item anterior.)

1.1.21. Mostre que a matriz identidade In é a única matriz tal que A In = InA = Apara qualquer matriz A, _{n × n}. (Sugest ão: Seja Jn uma matriz tal que A Jn = JnA = A. Mostre que Jn = In.)

(44)

1.1.22. SeAB = BAep ´e um inteiro positivo, mostre que(AB)p _{= A}p_Bp_.

1.1.23. SejamA, B eCmatrizes_{n × n}.

(a) (A + B)2 _{= A}2_{+ 2AB + B}2_{? E se}_{AB = BA}_{? Justifique.} (b) (AB)C = C(AB)? E seAC = CAeBC = CB? Justifique. (Sugest ˜ao: Veja oExemplo1.8na p ´agina15.)

1.1.24. (a) SeAeB s ˜ao duas matrizes tais queAB = ¯0, ent ˜aoA = ¯0ouB = ¯0? Justifique.

(b) SeAB = ¯0, ent ˜aoBA = ¯0? Justifique.

(c) SeA ´e uma matriz tal queA2 _{= ¯0}_{, ent ˜ao}_{A = ¯0}_{? Justifique.}

1.1.25. Dizemos que uma matrizA,_{n × n}, é sim étrica seAt _{= A}_{e é anti-sim étrica se}_At _{= −A}_. (a) Mostre que se A é sim étrica, ent ão aij = aji, para i, j = 1, . . . n e que se A é

anti-sim ´etrica, ent ˜ao aij _{= −a}ji, para i, j = 1, . . . n. Portanto, os elementos da diagonal

principal de uma matriz anti-sim ´etrica s ˜ao iguais a zero.

(b) Mostre que seAeBs ão sim étricas, ent ãoA + BeαAs ão sim étricas, para todo escalar

α.

(c) Mostre que seAeB s ão sim étricas, ent ãoAB é sim étrica se, e somente se,AB = BA.

(d) Mostre que seAeBs ão anti-sim étricas, ent ãoA + BeαAs ão anti-sim étricas, para todo escalarα.

(45)

(f) Mostre que toda matriz quadradaApode ser escrita como a soma de uma matriz sim étrica e uma anti-sim étrica. (Sugest ão: Observe o resultado da soma deA + At _com_{A − A}t_.) 1.1.26. Para matrizes quadradasA = (aij)_n×n definimos o traço de A como sendo a soma dos

ele-mentos da diagonal (principal) deA, ou seja,tr(A) = n X

i=1 aii.

(a) Mostre quetr(A + B) = tr(A) + tr(B).

(b) Mostre quetr(αA) = αtr(A).

(c) Mostre quetr(At_{) = tr(A)}_.

(d) Mostre quetr(AB) = tr(BA). (Sugest ˜ao: Prove inicialmente para matrizes_{2 × 2}.)

1.1.27. SejaAuma matriz_{n × n}. Mostre que seAAt _{= ¯0}_{, ent ão}_{A = ¯0}_{. (Sugest ão: use o traço.) E se}

a matrizAfor_{m × n}, com_{m 6= n}?

1.1.28. J á vimos que o produto de matrizes n ão é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes s ão comutativos. Mostre que:

(a) SeD1 eD2s ˜ao matrizes diagonais_{n × n}, ent ˜aoD1D2 = D2D1.

(b) SeA ´e uma matriz_{n × n}e

B = a0In+ a1A + a2A2+ . . . + akAk,

(46)

1.1.29. Uma matrizA ´e chamada nilpotente seAk _{= ¯0}_{, para algum inteiro positivo}_k_{. Verifique que a} matriz A =        0 1 0 _{· · · 0} 0 0 1 _{· · · 0} .. . ... . . . ... ... 0 0 0 _{· · · 1} 0 0 0 _{· · · 0}        n×n , ´e nilpotente.

(47)

Ap êndice I: Notaç ão de Somat ´

orio

S ão v álidas algumas propriedades para a notaç ão de somat ório:

(a) O ´ındice do somat ório é uma vari ável muda que pode ser substitu´ıda por qualquer letra:

n X i=1 fi = n X j=1 fj.

(b) O somat ´orio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somat ´orios:

n X i=1 (fi+ gi) = n X i=1 fi+ n X i=1 gi. Pois, n X i=1 (fi+ gi) = (f1+ g1) + . . . + (fn+ gn) = (f1+ . . . + fn) + (g1+ . . . + gn) = n X i=1 fi+ n X i=1 gi. Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de n ´umeros.

(c) Se no termo geral do somat ório aparece um produto, em que um fator n ão depende do ´ındice do somat ório, ent ão este fator pode “sair” do somat ório:

n X i=1 figk = gk n X i=1 fi. Pois, n X i=1 figk = f1gk + . . . + fngk = gk(f1 + . . . + fn) = gk n X i=1

fi. Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relaç ão a soma de n úmeros.

(48)

(d) Num somat ´orio duplo, a ordem dos somat ´orios pode ser trocada: n X i=1 m X j=1 fij = m X j=1 n X i=1 fij. Pois, n X i=1 m X j=1 fij = n X i=1 (fi1+ . . . + fim) = (f11+ . . . + f1m) + . . . + (fn1+ . . . + fnm) = (f11+ . . . + fn1) + . . . + (f1m+ . . . + fnm) = m X j=1 (f1j+ . . . + fnj) = m X j=1 n X i=1

fij. Aqui foram aplicadas as

(49)

1.2 Sistemas de Equac¸ ˜

oes Lineares

Muitos problemas em v árias áreas da Ci ência recaem na soluç ão de sistemas lineares. Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.

Uma equaç ão linear emnvari áveisx1, x2, . . . , xn é uma equaç ão da forma

a1x1+ a2x2+ . . . + anxn = b ,

em quea1, a2, . . . , aneb s ˜ao constantes reais;

Um sistema de equaç ões lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equaç ões

lineares, ou seja, é um conjunto de equaç ões da forma

        

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

..

. ... = ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

em queaij ebk s ˜ao constantes reais, parai, k = 1, . . . , mej = 1, . . . , n.

Usando o produto de matrizes que definimos na seç ão anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equaç ão matricial

(50)

em que A =     

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn      , X =      x1 x2 .. . xn      e B =      b1 b2 .. . bm      .

Uma soluç ão de um sistema linear é uma matrizS =      s1 s2 .. . sn     

tal que as equaç ões do sistema s ão

satisfeitas quando substitu´ımosx1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn. O conjunto de todas as soluç ões do sistema é chamado conjunto soluç ão ou soluç ão geral do sistema. A matrizA é chamada matriz

do sistema linear.

Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equaç ões e duas inc ógnitas

x + 2y = 1

2x + y = 0

pode ser escrito como

1 2 2 1 x y = 1 0 .

A soluç ão (geral) do sistema acima é_{x = −1/3}ey = 2/3(verifique!) ou

X = −13 2 3 .

(51)

Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto soluç ão do primeiro, mas que seja mais f ácil de resolver. O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente uma s érie de operaç ões, que n ão alteram a soluç ão do sistema, sobre as equaç ões. As operaç ões que s ão usadas s ão:

• Trocar a posiç ão de duas equaç ões do sistema;

• Multiplicar uma equac¸ ˜ao por um escalar diferente de zero;

• Somar a uma equaç ão outra equaç ão multiplicada por um escalar.

Estas operaç ões s ão chamadas de operaç ões elementares. Quando aplicamos operaç ões

ele-mentares sobre as equaç ões de um sistema linear somente os coeficientes do sistema s ão alterados, assim podemos aplicar as operaç ões sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de

matriz aumentada, ou seja, a matriz

[A | B] =     

a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2

.. . . . . ... ... am1 am2 . . . amn bm      .

(52)

Definiç ão 1.5. Uma operaç ão elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operaç ões:

(a) Trocar a posic¸ ˜ao de duas linhas da matriz;

(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

(c) Somar a uma linha da matriz um m ´ultiplo escalar de outra linha.

O pr óximo teorema garante que ao aplicarmos operaç ões elementares às equaç ões de um sis-tema o conjunto soluç ão n ão é alterado.

Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D, s ˜ao tais que a matriz aumentada

[C | D] é obtida de_{[A | B]} aplicando-se uma operaç ão elementar, ent ão os dois sistemas possuem as mesmas soluç ões.

Demonstraç ão. A demonstraç ão deste teorema segue-se de duas observaç ões:

(a) SeX é soluç ão de um sistema, ent ão X tamb ém é soluç ão do sistema obtido aplicando-se uma operaç ão elementar sobre suas equaç ões (verifique!).

(53)

(b) Se o sistema CX = D, é obtido de AX = B aplicando-se uma operaç ão elementar às suas equaç ões (ou equivalentemente às linhas da sua matriz aumentada), ent ão o sistema

AX = Btamb ém pode ser obtido deCX = Daplicando-se uma operaç ão elementar às suas equaç ões, pois cada operaç ão elementar possui uma operaç ão elementar inversa do mesmo tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).

Pela observaç ão (b),AX = BeCX = Dpodem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operaç ão elementar sobre as suas equaç ões. E pela observaç ão (a), os dois possuem as mesmas soluç ões.

Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluç ão s ão chamados sistemas equivalentes. Portanto, segue-se do Teorema 1.2 que aplicando-se operaç ões elementares às equaç ões de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.

1.2.1 M ´etodo de Gauss-Jordan

O m étodo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicaç ão de operaç ões elementares às linhas da matriz aumentada do sistema at é que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de f ácil resoluç ão.

Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas n ão nulas possuam como primeiro elemento n ão nulo (chamado piv ô) o n úmero1. Al ém disso, se uma coluna cont ém um piv ô, ent ão todos os seus outros elementos ter ão que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma ind ústria.

(54)

Exemplo 1.11. Uma ind ústria produz tr ês produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X s ão utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produç ão de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa ind ústria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos noExemplo1.6na p ágina 8, usando matrizes o esquema de produç ão pode ser descrito da seguinte forma:

X Y Z gramas de A/kg gramas de B/kg preço/kg   1 1 1 2 1 4 2 3 5   = A X =   x y z   kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos AX =   x + y + z 2x + y + 4z 2x + 3y + 5z  =   1000 2000 2500   gramas de A usados gramas de B usados arrecadaç ão

Assim precisamos resolver o sistema linear

   x + y + z = 1000 2x + y + 4z = 2000 2x + 3y + 5z = 2500

cuja matriz aumentada ´e

  1

1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500  

(55)

1a.eliminac¸ ˜ao:

Vamos procurar para piv ô da 1a.linha um elemento n ão nulo da primeira coluna n ão nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para “traz ê-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a1ele ser á o primeiro piv ô. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a.coluna, que é a coluna do piv ô, para isto, adicionamos à 2a.linha,₋₂vezes a 1a.linha e adicionamos

`a 3a._{linha, tamb ´em,}₋₂_{vezes a 1}a. _linha. −2×1a.linha+2a.linha_−→2a.linha

−2×1a._linha₊₃a._linha_−→₃a._linha

   1 1 1 1000 0

−1 2 0 0 1 3 500    2a.eliminac¸ ˜ao:

Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para piv ô um elemento diferente de zero na 1a.coluna n ão nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posiç ão 2,2. Como temos que “fazer” o piv ô igual a um, vamos multiplicar a 2a. _{linha por}₋₁_.

−1×2a.linha_−→2a.linha   1 1 1 1000 0 1 −2 0 0 1 3 500  

Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a._{coluna, que ´e a coluna do piv ˆo, para isto,}

soma-mos à 1a._linha,₋₁_{vezes a 2}a._{e somamos à 3}a._{linha, tamb ém,}₋₁_{vezes a 2}a._. −1×2a.linha+1a.linha_−→1a.linha

−1×2a._linha₊₃a._linha_−→₃a._linha

  1 0 3 1000 0 1 −2 0 0 0

5 500   3a.eliminac¸ ˜ao:

(56)

Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a.e a 2a.linha. Escolhemos para piv ô um elemento diferente de zero na 1a. coluna n ão nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posiç ão 3,3 e como temos de “fazer” o piv ô igual a1, vamos multiplicar a 3a._{linha por}_1/5_.

1 5×3a.linha−→3a.linha   1 0 3 1000 0 1 −2 0 0 0 1 100  

soma-mos `a 1a.linha,₋₃vezes a 3a.e somamos `a 2a.linha,2vezes a 2a..

−3×3a._linha₊₁a._linha_−→₁a._linha 2×3a.linha+2a.linha_−→2a.linha

  1 0 0 700 0 1 0 200 0 0 1 100  

Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema

   x = 700 y = 200 z = 100

que possui soluc¸ ˜ao geral dada por

X =   x y z  =   700 200 100  .

(57)

A ´ultima matriz que obtivemos no exemplo anterior est ´a na forma que chamamos de escalonada

reduzida.

Definiç ão 1.6. Uma matriz A = (aij)_m×n est á na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condiç ões:

(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas n ˜ao nulas;

(b) O piv ô (1o.elemento n ão nulo de uma linha) de cada linha n ão nula é igual a1;

(c) O piv ô de cada linha n ão nula ocorre à direita do piv ô da linha anterior.

(d) Se uma coluna cont ém um piv ô, ent ão todos os seus outros elementos s ão iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas n ˜ao necessariamente (b) e (d), dizemos que ela est ´a na forma escalonada.

Exemplo 1.12. As matrizes   1 0 0 0 1 0 0 0 1   e   1 3 0 2 0 0 _{1 −3} 0 0 0 0  

(58)

s ˜ao escalonadas reduzidas, enquanto   1 1 1 0 −1 2 0 0 5   e   1 3 −1 5 0 0 −5 15 0 0 0 0  

s ão escalonadas, mas n ão s ão escalonadas reduzidas.

Este m étodo de resoluç ão de sistemas, que consiste em aplicar operaç ões elementares às linhas da matriz aumentada at é que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, é conhecido como m étodo de Gauss-Jordan.

Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema

   x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 −2y − 10z = −8

A sua matriz aumentada ´e _

 1

3 13 9 0 1 5 2 0 _{−2 −10 −8}   1a.eliminac¸ ˜ao:

Como o piv ô da 1a.linha é igual a1e os outros elementos da 1a.coluna s ão iguais a zero, n ão h á nada o que fazer na 1a._{eliminaç ão.}

   1 3 13 9 0

1 5 2 0 −2 −10 −8   

(59)

2a.eliminac¸ ˜ao:

Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para piv ô um elemento n ão nulo da 1a._{coluna n ão nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posiç ão 2,2. Como ele é igual a} 1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do piv ô. Para isto somamos à 1a. linha,

−3vezes a 2a. e somamos `a 3a.linha,2vezes a 2a..

−3×2a. _linha₊₁a. _linha_−→₁a._linha 2×2a.linha+3a.linha_−→3a.linha

  1 0 −2 3 0 1 5 2 0 0 _{0 −4}  

Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema

   x _{− 2z =} 3 y + 5z = 2 0 = −4

que n ão possui soluç ão.

Em geral, um sistema linear n ão tem soluç ão se, e somente se, a última linha n ão nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma_{[ 0 . . . 0 | b}0_m], comb0

m 6= 0. Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema

   3z _{− 9w =} 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45 x + 3y ₋ z + 5w = ₋₇

(60)

A sua matriz aumentada ´e   0 0 _{3 −9} 6 5 _{15 −10 40 −45} 1

3 ₋₁ 5 ₋₇   1a.eliminac¸ ˜ao:

Como temos que “fazer” o piv ô igual a um, escolhemos para piv ô o elemento de posiç ão 3,1. Preci-samos “coloc á-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a.linha com a 1a. .

1a.linha_←→4a.linha   1

3 ₋₁ 5 ₋₇ 5 _{15 −10 40 −45} 0 0 _{3 −9} 6  

Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a.coluna, que é a coluna do piv ô, para isto, adici-onamos à 2a.linha,₋₅vezes a 1a..

−5×1a. _linha₊₂a. _linha_−→₂a._linha    1 3 ₋₁ 5 ₋₇ 0 0

−5 15 −10 0 0 3 ₋₉ 6    2a.eliminac¸ ˜ao:

Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. _{linha. Escolhemos para piv ˆo um elemento}

diferente de zero na 1a. _{coluna n ão nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posiç ão 2,3.}

(61)

−(1/5)×2a.linha_−→2a.linha   1 3 −1 5 −7 0 0

1 ₋₃ 2 0 0 3 ₋₉ 6  

adici-onamos `a 1a.linha a 2a. e `a 4a. linha,₋₃vezes a 2a.. 2a.linha+1a.linha_−→1a.linha

−3×2a. _linha₊₄a. _linha_−→₄a._linha

  1 3 0 2 ₋₅ 0 0 _{1 −3} 2 0 0 0 0 0  

Esta matriz ´e escalonada reduzida. Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema seguinte

x + 3y _{+ 2w = −5}

z − 3w = 2.

A matriz deste sistema possui duas colunas sem piv ôs. As vari áveis que n ão est ão associadas a piv ôs podem ser consideradas vari áveis livres, isto é, podem assumir valores arbitr ários. Neste exemplo as vari áveisyewn ão est ão associadas a piv ôs e podem ser consideradas vari áveis livres. Sejamw = α ey = β. As vari áveis associadas aos piv ôs ter ão os seus valores dependentes das vari áveis livres,z = 2 + 3α,_{x = −5 − 2α − 3β}. Assim, a soluç ão geral do sistema é

X =     x y z w    =     −5 − 2α − 3β β 2 + 3α α   

(62)

Em geral, se o sistema linear tiver soluç ão e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada possuir colunas sem piv ôs, as vari áveis que n ão est ão associadas a piv ôs podem ser consideradas

vari áveis livres, isto é, podem assumir valores arbitr ários. As vari áveis associadas aos piv ôs ter ão

os seus valores dependentes das vari ´aveis livres.

Lembramos que o sistema linear n ão tem soluç ão se a última linha n ão nula da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma_{[ 0 . . . 0 | b}0_m], comb0

m 6= 0, como noExemplo

1.13na p ´agina44.

Observaç ão. Para se encontrar a soluç ão de um sistema linear n ão é necess ário transformar a matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz est á nesta forma, o sistema associado é o mais simples poss´ıvel. Um outro m étodo de resolver sistemas lineares consiste em, atrav és da aplicaç ão de operaç ões elementares à matriz aumentada do sistema, se chegar a uma matriz que é somente escalonada (isto é, uma matriz que satisfaz as condiç ões(a)e (c), mas n ão necessariamente(b)e(d)daDefiniç ão1.6). Este m étodo é conhecido como m étodo de Gauss.

O pr óximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluç ão n ão pode ter um n úmero finito de soluç ões.

Proposic¸ ˜ao 1.3. SejamAuma matriz_{m × n}eB uma matriz_{m × 1}. Se o sistema linearA X = B

(63)

Demonstrac¸ ˜ao. Seja

Xλ _{= (1 − λ)X}0 + λX1, paraλ ∈ R.

Vamos mostrar que Xλ é soluç ão do sistema A X = B, para qualquer _{λ ∈ R}. Para isto vamos mostrar queA Xλ = B.

Aplicando as propriedades (i), (j) das operaç ões matriciais (Teorema1.1na p ágina10) obtemos

A Xλ _{= A[(1 − λ)X}0+ λX1] = A(1 − λ)X0+ AλX1 = (1 − λ)A X0+ λA X1

ComoX0eX1 s ão soluç ões deA X = B, ent ãoA X0 = BeA X1 = B, portanto

A Xλ _{= (1 − λ)B + λB = [(1 − λ) + λ]B = B,}

pela propriedade (f) doTeorema1.1.

Assim o sistemaA X = B tem infinitas soluç ões, pois para todo valor de_{λ ∈ R},Xλ é soluç ão e Xλ_−Xλ0 = (λ −λ0)(X1−X0), ou seja,Xλ 6= X_λ0, paraλ 6= λ0. Observe que paraλ = 0,Xλ = X0,

paraλ = 1, Xλ = X1, para λ = 1/2, Xλ = 1₂X0 + 1₂X1, para λ = 3, Xλ _{= −2X}0 + 3X1 e para λ = −2,Xλ = 3X0− 2X1.

NoExemplo3.4na p ágina169temos uma interpretaç ão geom étrica desta demonstraç ão.

Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operaç ões elementares à matriz aumentada do sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.

(64)

1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas

Definiç ão 1.7. Uma matrizA = (aij)_m×n é equivalente por linhas a uma matrizB = (bij)_m×n, se

Bpode ser obtida deAaplicando-se uma seq ü ência de operaç ões elementares sobre as suas linhas.

Exemplo 1.15. Observando osExemplos1.11,1.14e1.13, vemos que as matrizes

  1 1 1 2 1 4 2 3 5  ,   0 0 _{3 −9} 5 15 −10 40 1 3 ₋₁ 5  ,   1 3 13 0 1 5 0 −2 −10  

s ˜ao equivalentes por linhas `as matrizes

  1 0 0 0 1 0 0 0 1  ,   1 3 0 2 0 0 _{1 −3} 0 0 0 0  ,   1 0 −2 0 1 5 0 0 0  ,

respectivamente. Matrizes estas que s ˜ao escalonadas reduzidas.

Cuidado:elas s ão equivalentes por linhas, n ão s ão iguais!

A relaç ão “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificaç ão deixa-mos como exerc´ıcio para o leitor:

(65)

• SeA é equivalente por linhas aB, ent ãoB é equivalente por linhas aA(simetria);

• SeA é equivalente por linhas aB eB é equivalente por linhas aC, ent ãoA é equivalente por linhas aC(transitividade).

Toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a demonstraç ão, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular das matrizes aumentadas dosExemplos 1.11,1.14 e1.13. NoTeorema4.10na p ágina278 mostra-mos que essa matriz escalonada reduzida é a única matriz na forma escalonada reduzida equivalente aA.

(66)

Teorema 1.4. Toda matriz A = (aij)_m×n ´e equivalente por linhas a uma ´unica matriz escalonada reduzidaR = (rij)_m×n.

O pr óximo resultado ser á usado para provar alguns resultados no cap´ıtulo de invers ão de matrizes.

Proposiç ão 1.5. SejaR uma matriz_{n × n}, na forma escalonada reduzida. Se_{R 6= I}n, ent ãoRtem

uma linha nula.

Demonstraç ão. Observe que o piv ô de uma linhaiest á sempre numa colunajcom_{j ≥ i}. Portanto, ou a última linha de R é nula ou o piv ô da linhan est á na posiç ão n, n. Mas, neste caso todas as linhas anteriores s ão n ão nulas e os piv ôs de cada linhaiest á na colunai, ou seja,R = In.

1.2.3 Sistemas Lineares Homog ˆeneos

Um sistema linear da forma

        

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

..

. ... = ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

(67)

´e chamado sistema homog ˆeneo. O sistema (1.7) pode ser escrito comoA X = ¯0. Todo sistema

homog êneo admite pelo menos a soluç ão X =      x1 x2 .. . xn      =      0 0 .. . 0     

chamada de soluc¸ ˜ao trivial.

Portanto, todo sistema homog êneo tem soluç ão. Al ém disso ou tem somente a soluç ão trivial ou tem infinitas soluç ões

Observaç ão.Para resolver um sistema linear homog êneoA X = ¯0, basta escalonarmos a matrizA

do sistema, j á que sob a aç ão de uma operaç ão elementar a coluna de zeros n ão é alterada. Mas, é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operaç ões elementares, para se levar em consideraç ão esta coluna de zeros que n ão vimos escrevendo.

Teorema 1.6. SeA = (aij)_m×n, é tal quem < n, ent ão o sistema homog êneoAX = ¯0tem soluç ão diferente da soluç ão trivial, ou seja, todo sistema homog êneo com menos equaç ões do que inc ógnitas tem infinitas soluç ões.