TEC501 - Eletrˆ
onica para Processamento de Sinais
Prof. Dr. Delmar Broglio Carvalho
1 Sum´ario
2 Aproxima¸c˜ao de Butterworth Caracter´ısticas
Determina¸c˜ao da ordem
Determina¸c˜ao da Fun¸c˜ao Ganho
3 Aproxima¸c˜ao de Chebyshev Caracter´ısticas
Determina¸c˜ao da ordem
Caracter´ısticas
Monotonicidade em toda a banda;
Magnitude mais plana poss´ıvel na banda de passagem; N˜ao possui zeros finitos na fun¸c˜ao de transferˆencia; Os polos s˜ao distribu´ıdos equidistantes sobre uma circunferˆencia com centro na origem do plano s;
Para o projeto normalizado a circunferˆencia tem raio unit´ario; Fun¸c˜ao caracter´ıstica (K(Ω)) dada por:
A correspondente fun¸c˜ao de perdas (H(Ω)) ´e dada por:
|H(Ω)|2 = 1 +ε2·Ω2n (2)
A normaliza¸c˜ao para Amax = 3,01dB resulta em um valor para ε= 1 e a fun¸c˜ao perdas emdB fica:
A(Ω) = 10·log 1 + Ω2n
(3)
Operando algebricamente as express˜oes (6) e (7) (se¸c˜ao anterior) em conjunto com a express˜ao (3), a determina¸c˜ao da ordem fica assim estabelecida:
Amin= 10·log 1 +ε2·Ω2sn
(4)
onde:
Determina¸c˜
ao da ordem
Substituindo (5) em (4) a ´unica vari´avel a ser determinada ´e a ordemn, assim calculada:
n≥ log
100,1Amin−1
/ 100,1Amax −1 2 log Ωs
(6)
M´ınima ordem necess´aria
Determina¸c˜
ao da Fun¸c˜
ao Ganho
A determina¸c˜ao da fun¸c˜ao ganho pode ser obtida de trˆes formas:
a) Atrav´es do c´alculo das ra´ızes normalizadas do polinˆomio
H(s)·H(−s) = 1 + −s2n
ondes=jΩ (7)
Escolha das ra´ızes
Exemplo do c´alculo das ra´ızes usando Octave >n=2;
>p=[1 0 0 0 1]; >roots(p) ans=
-0.70711 + 0.70711i -0.70711 - 0.70711i 0.70711 + 0.70711i 0.70711 - 0.70711i
Polinˆomio H(s) a partir das ra´ızes escolhidas
H(s) = (s−(−0,70711 +0,70711))·(s−(−0,70711−0,70711))
b) Atrav´es da equa¸c˜ao de recorrˆencia:
H(k) =cos[(k−1)·(π/2n)]
sin(kπ/2n) ·Hk−1 (k= 1, . . . ,n−1) (8)
c) Atrav´es da determina¸c˜ao anal´ıtica direta das ra´ızes normalizadas desk
sk =e[ π
2·2k+(nn−1)] (k = 1,2, . . . ,2n) (9)
A fun¸c˜ao de transferˆencia passa-baixas normalizada ´e:
T(s) = Ka0
H(s) K ≡ganho em baixas frequˆencias (10)
Caracter´ısticas
Aproxima¸c˜ao polinomial;
Equiripple na banda de passagem;
N˜ao possui zeros finitos na fun¸c˜ao de transferˆencia;
Os polos s˜ao distribu´ıdos equidistantes sobre uma elipse, cujos focos (F1 e F2) est˜ao sobrejω com centro na origem do plano
s;
Fun¸c˜ao caracter´ıstica (K(Ω)) dada por:
K(Ω) =ε·Cn(Ω) =ε·cos(n·cos−1(Ω))para|Ω| ≤1 (11)
A correspondente fun¸c˜ao de perdas (H(Ω)) ´e dada por:
|H(Ω)|2 = 1 +ε2·Cn2(Ω) (13)
O n´umero de pontos em que a fun¸c˜ao apresenta 0 dB ´e igual a ordem do filtro;
Fun¸c˜oes de ordem par apresentam uma atenua¸c˜aoAmax na frequˆenciaω = 0;
A correspondente fun¸c˜ao de perdas ´e dada por:
A(Ω) = 10·log 1 +ε2·Cn2(Ω)
(14)
Como A(Ωs)≥Amin, a atenua¸c˜ao m´ınima pode ser descrita como:
Amin≤10·log 1 +ε2·Cn2(Ωs)
(15)
de acordo com (11) e (12) tem-se:
Amin≤10·log 1 +ε2·cosh2(n·cosh−1(Ωs))
Determina¸c˜
ao da ordem
Colocandoεem fun¸c˜ao de Amax em (5) e isolando n em (16) a ordem fica assim expressa:
n≥ cosh
−1 100,1Amin−1/ 100,1Amax−11/2
cosh−1(Ωs) (17)
M´ınima ordem necess´aria
Determina¸c˜
ao da Fun¸c˜
ao Ganho
A determina¸c˜ao da fun¸c˜ao ganho pode ser obtida de duas formas:
a) Atrav´es do c´alculo das ra´ızes normalizadas do polinˆomio
H(s)·H(−s) = 1 +ε2·C2
n(Ω)|Ω2=
−¯s2 (18)
Fun¸c˜aoCn(Ω)
Determinada pela rela¸c˜ao de recorrˆencia:
b) Atrav´es da determina¸c˜ao anal´ıtica direta das ra´ızes normalizadas desk =σk±ωk, onde:
k = 1,2,· · ·,
n/2 paranpar (n+ 1)/2 paran´ımpar
σk =±sen
(2k−1)π
2n ·senh 1 n
·senh−1
1
ε
(20)
ωk =cos
(2k−1)π
2n ·cosh 1 n
·senh−1
1
ε
(21)
A fun¸c˜ao de transferˆencia passa-baixas normalizada ´e:
T(s) = G0
H(s) G0 ≡ganho em baixas frequˆencias (22)
G0 =
a0 =|Qni=1si| para n´ımpar
H(s) = n Y
i=1
(s−si) =sn+an−1s
n−1+· · ·+a
1s+a0 (23)
A desnormaliza¸c˜ao ´e feita simplesmente pela seguinte substitui¸c˜ao:
T(s) =T(s)|s=s/ωp (24)
