Mecânica dos Fluidos I

Mecânica dos

Fluidos I

Prof. D.Sc. Cláudio C. Pellegrini

Introdução e conceitos

fundamentais

Capítulo 1

Definição e objetivos da

Mecânica dos Fluidos

Ramos da Física

Física

Relativi-dade

Mecânica Quântica

Mecânica Clássica

Eletromag-netismo

Termo-dinâmica

Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos Sólidos

Definição e objetivos

• MFL é a ciência que estuda forças e movimento em

fluidos

• Fluidos são líquidos ou gases

• Objetivo em engenharia: determinar a relação entre o

escoamento e as forças resultantes

( , , , )x y z t ( , , , )x y z t

Definição de fluido

Fases de uma substância

• Fluido: líquido ou gás, por enquanto

• Fases de uma substância

– Sólidos: ligações intermoleculares fortes – Gases: ligações muito fracas

– Líquidos: ligações fracas

• Sólidos: possuem forma predeterminada

• Líquidos: amoldam-se ao recipiente e apresentam interface com o ambiente

Fases de uma substância

• Sólidos: as moléculas são arranjadas num padrão que se repete. Pequenas distâncias e forças intermoleculares

fortes mantém a forma aproximadamente fixa

• Líquidos: moléculas movem-se umas em relação às outras mas o volume não varia muito devido às forças intermoleculares relativamente fortes, por isso eles amoldam-se ao recipiente

O que é um fluido?

• Substancias podem ser sólidas ou fluidas

• A distinção é a forma como elas reagem a esforços

cisalhantes:

– Sólidos de deformam

– Fluidos se deslocam, por menor que a força seja

• Sólidos: tensão proporcional à deformação

• Fluidos: tensão proporcional à taxa de deformação

Em fluidos, ( )

Em sólidos,

t t

O que é um fluido?

• Experimento: material é colocado entre placas

horizontais, uma móvel e uma fixa; a placa superior é deslocada por uma tensão tangencial

• Definição: a substância é um fluido se ela se desloca continuamente sob ação da tensão, por menor que seja a força que a originou

• O movimento de um fluido é chamado escoamento

Condição de não deslizamento

• Evidências experimentais: um fluido em contato com

um sólido ou outro fluido imiscível tem velocidade relativa zero na interface

• O atrito, a mobilidade e a pequena massa das

moléculas são os responsáveis

(int) 0

flu

id

o

Condição de não deslizamento

sup

Superfície sólida:

( , , 0) ( , , 0) ( , , 0)

sup sup

u x y u

v x y v

w x y w

sup

Superfície porosa:

( , , 0) ( , , 0) ( , , 0)

sup sup

transp

u x y u

v x y v

w x y w w

fluido

x z

y

f3 01’30” a 01’ 50” 03’45” a 04’40” 06’ 07” a 06’ 38”

1 1 2 1,sup

2 1 2 2,sup

3 1 2 3,sup

Coordenadas generalizadas: ( , , 0)

( , , 0)

( , , 0) _transp

v x x v

v x x v

v x x v

(int) 0

r V

Ocorre em todo tipo de geometria

Ocorre também com a temperatura e outras propriedades

Visualização dos escoamentos

Seção 1.3

Visualização

• Trajetória: caminho percorrido por uma partícula fluida

• Linha de emissão: conjunto de posições das partículas que

passaram por um ponto fixo do escoamento

• Linha temporal: conjunto de

partículas adjacentes marcadas no mesmo instante

• Linha de corrente: linha tangente ao vetor velocidade

• Em regime permanente: Tr = LE =

Trajetórias

• Caminho percorrido por uma partícula fluida

• Mesmo conceito da Mecânica dos Sólidos

0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) t

p p _t p

t

p p p

t t

p p _t p

x t x u dt

y t y v dt

z t z w dt

Tr S_p( )t x t y t z t_p( ), ( ), ( )_{p p}

x z y 0 p S

0 0, 0, 0

p xp yp zp

S

p

Linhas de emissão

• Conjunto de posições das partículas que passaram

por um ponto fixo do escoamento

• Podem ser geradas em grupo

0 0 0 0 0 0

Para partículas 1, passando pelo

mesmo ponto: ( ) ( ) ( ) i i i t

i i i

p p p

t t

i i i

p p _t p

t

i i i

p p p

t

i N

x t x u dt

y t y v dt

z t z w dt

( ) ( ), ( ), ( ) , 1,

i i i i

p t x t y t z tp p p i N

S

1 2

1 1 1 1

LE( )t S_p( ),t S_p( ),t ,SN_p ( )t 7_{( )} 7_{( ), ( ), ( )}7 7

p t x t y t z tp p p

S

x z

Linhas temporais

• Conjunto de partículas adjacentes marcadas no

mesmo instante

• Geralmente são geradas em sequencia

0

0 0

0

Para partículas 1, distribuidas no espaço:

( )

( )

i

i t

i i i

p p p

t t

i i i

p p _t p

i M

x t x u dt

y t y v dt

( ), ( ) , 1,

i i i

p x t y tp p i M

S

1 2

1 1 1 1

LT( )t S_p( ),t S_p( ),t ,SM_p ( )t

1 2

2 2 2 2

LT( )t S_p( ),t S_p( ),t ,SM_p ( )t

1 2 3 M 3 x z y 3 2 ( ) p t S 1 1 0 0

Linhas de corrente

• Linha tangente ao vetor velocidade a cada instante

• Logo, o escoamento não atravessa as LCs

• Tubos de corrente: superfícies formadas por LCs

originadas em uma curva fechada

• Por semelhança de triângulos:

dr dx dy dz

V u v w

Em 2D: dy v y y_LC( )x

dx u

Em 3D: ( ) ( , )

etc.

V

dr dx r f x g y z

Comparação

• Em regime permanente Tr = LE = LC

• Mas em regime transiente...

(0, 5 0, 8 )

(1, 5 2, 5 sin(2 ) 0, 8 ) 0

x

t y

V i

Exemplo 4.4 Çengel

(0,5 0, 8 )x (1,5 0, 8 )y 0

V i j k

Trace as LC para o campo de velocidades dado

1, 5 0, 8 0, 5 0, 8

dy v y

dx u x

1, 5 0, 8 0, 5 0, 8

dy dx

y x

1 ln 1, 5 0, 8 ln 0, 5 0, 8

0, 8 0, 8

y x

C

2 ln 1,5 0, 8y ln 0,5 0, 8x C

1

3

ln (1, 5 0, 8 )y lnC (0, 5 0, 8 )x

3 1

(0, 5 0, 8 )

1, 5 0, 8y C x

3

1

1, 5 0, 8

(0, 5 0, 8 ) y

C x

1, 875

0, 4 0, 64 C y

x

O valor escolhido para define a LC

Exercício 4.36 Çengel

Trace as trajetórias para o campo de velocidades dado

2

4 (5 3) 3

p x y t

V i j k

0 0

( ) t

p p _t p

x t x u dt

0 0

( ) t4 4 , certo ?

p p _t

x t x xdt xt

O certo é u_p dx_p /dt

4x_p dx_p /dt

4dt dx_p /x_p

0 0

4(t t ) ln(x_p /x_p )

/

p p

v dy dt

/ (5 3)

p p

dt dy y

0 0

5(t t ) ln[(5y_p 3) / (5y_p 3)]

2 3 3

0 0

3t dz_p /dt z_p z_p t t

Tr ( ), ( ), ( ) .

Podemos tb criar um curva paramétrica

p x t y t z tp p p

S

0 0

0 0

4( ) ln( / )

5( ) ln((5 3) / (5 3))

p p

p p

t t x x

t t y y

0 0

0

ln((5 3)( / ) / (5 3)) 9

p p p p

y x x y

t t

3 3

0 0

p p

z z t t

3

0 0 0 3

0 0 0

ln((5 3) / (5 3 ))

9

p p p p p

P p

x y x y x

z z t t

0 0 0

Representação gráfica

• Campo é uma distribuição

contínua no espaço-tempo de uma determinada grandeza

• Campos escalares: temperatura,

pressão, massa específica (e derivados), concentração, etc.

• Campos vetoriais: velocidade,

aceleração, força, quantidade de movimento, etc.

• Campos tensoriais: tensão, taxa

de deformação, etc.

Representação gráfica

• Gráficos de perfil

– Mostra como uma grandeza

escalar varia em uma dimensão do espaço em um dado instante

• Gráficos vetoriais

– Mostra como uma grandeza vetorial varia em até duas

dimensões em um dado instante

• Gráficos de contorno

Exercícios recomendados

• Exercícios recomendados: 2.3 _– 2.20 (Fox, 7ª edição)

• Exercícios recomendados: 4.35, 37, 38, 40, 42, 43,

44, 47 (Cengel, 3ª edição)

• Exercícios recomendados: 1.80 _– 1.84 (White, 4ª

Classificação dos escoamentos

Seção 1.4

Classificação dos escoamentos

• Quanto à relevância do atrito

– Com atrito

– Sem atrito

• Quanto ao tipo de fronteira

– Interno

– Externo

• Quanto à variação de volume

– Compressíveis

– Incompressíveis

• Quanto ao regime

– Laminar

– Turbulento

Seção

Classificação dos escoamentos

• Quanto à dependência temporal

– Permanente

– Transiente

• Quanto à dependência espacial

– Escoamento 3D

– Escoamento 2D

– Escoamento 1D

• Quanto aos componentes do campo de velocidades

– 3-direcional

– 2-direcional

Escoamentos internos e externos

• Escoamento interno: limitado por fronteiras físicas

• Escoamento externo: ao redor de corpos

Quanto à variação de volume

• Escoamentos (in) compressíveis: (sem) com

variações significativas de massa por unidade de volume

• Líquidos podem ser considerados incompressíveis

com alto grau de precisão. Gases são sempre compressíveis

• Porém gases podem escoar incompressivelmente.

Depende do número de Mach. Detalhes

Quanto à dependência temporal

• Escoamento permanente:

• Escoamento transiente:

( , , ), , , , , , , , ,

Logo, 0

p

f x y z u v w p T c

t

Exemplos

•

Escoamentos transientes

– Partida e parada de bombas, ventiladores, turbinas, compressores, caldeiras, condensadores, trocadores de calor, etc.

– Atmosfera e oceano

– MCIs e outras máquinas alternativas

– Sistema cardiovascular e respiratório

•

Escoamentos permanentes

– Operação de bombas, ventiladores, etc.

– Atmosfera e oceano em certos (raros) casos

Quanto à dependência espacial

• Depende do número de dimensões espaciais das

quais o escoamento depende

• Escoamento 3-D:

• Escoamento 2-D:

• Escoamento 1-D:

• Variável  uniforme:

( , , , ), , , , , , , , ,_p

f x y z t u v w p T c

( , , ) 0

f x y t

z

( , ) 0

f x t

z y

( ) 0

f t

Escoamento 1-D

—

2-D

Quanto aos componentes de V

• Escoamento 3-direcional:

• Escoamento 2-direcional:

• Escoamento 1-direcional:

u v w

V i j k

Apenas velocidade

u v

V i j

u

V i

Não implica _zu _yu 0

Esta definição é minha, não está nos livros. Também

Unidades

Unidades

• Leitura recomendada: item 1-6 de Çengel e Cimbala

Modelagem e Solução de

Problemas

Modelagem

Solução de Problemas

• Leitura recomendada: itens 1-8 e 1-9 de Cimbala e

Çengel

Step 1: Problem statement Step 2: Schematic

Step 3: Assumptions and approximations Step 4: Physical laws

Step 5: Properties Step 6: Calculations

Step 7: Reasoning, verification, and discussion

Propriedades

Seção 1.7

Grandezas Físicas e Propriedades

• Grandezas físicas são definidas especificando duas

operações:

– Comparação: g_A = g_B ou g_A  g_B

– Adição: g_A + g_B = g_C

• Exemplos

– GF escalar: temperatura, pressão...

– GF vetorial: velocidade, força...

– Não são grandezas físicas: formato, cor, ...

• Propriedades: GFs que apresentam o mesmo valor

independente da história do sistema físico

– Ex.: pressão, temperatura, volume, massa, energia

– CEx:. fluxos (massa, energia, quant. movim.)

The Physical Basis of Dimensional Analysis, Ain A. Sonin

Propriedades

• Estado: conjunto E de propriedades de um

sistema, necessário e suficiente para descrever inequivocamente sua condição

• O estado é quase sempre um subconjunto

próprio do conjunto de propriedades de um sistema, i.e., E  P mas E  P

• Mudança de estado = processo

– Reversíveis ou irreversíveis

– Abertos ou fechados (ciclos)

– Propriedades são independentes do processo

• Propriedades podem ser intensivas ou

extensivas

Referenciais Euleriano e Lagrangeano

No referencial Euleriano ( , )t ( , , , )x y z t

V V x V

Na descrição Euleriana, as propriedades do

escoamento são descritas como função da posição e do tempo.

Na descrição Lagrangeana, partículas

individuais são acompanhadas em seu movimento ao longo do tempo.

0 0

0 0

No referencial Lagrangeano

( , ) e ( , )

em que ( )

p p p p p p

p p

t t

t

S S S V V S

S S

Aqui olhamos para o ponto no espaço

Aqui olhamos para a partícula

Sólidos

Fluidos

Campo de Aceleração

A aceleração de uma partícula é

/

p p

a dV dt

Pela Regra da Cadeia,

p p p

p p p

dx dy dz

d dt

dt t dt x dt y dt z dt

V V V V V

a

Como a posição independe do referencial,

, , e

p p p

x x y y z z

u v w

t x y z

V V V V

a

Mas as props. da partícula coincidem localmente e em todo instante com as do campo, logo a dV/dt

local advec

Campo de Aceleração

d

u v w

dt t x y z

V V V V V

a

0

t V

No referencial Euleriano o escoamento é permanente No referencial Lagrangeano

(partículas) o escoamento é acelerado

0

p p

Operador Derivada Material

d

u v w

dt t x y z

V V V V V

Mas, no formalismo dos operadores,

u v w u v w

x y z x y z

V V V

V

( , , ) , ,

u v w u v w

x y z x y z V

( )

d D

dt Dt t

V V V

V V

Posteriormente este termo ganhará significado físico

Propriedades mais relevantes

x y z t u x y z t v x y z t w x y z t

x y z t a x y z t a x y z t a x y z t

V i j k

a i j k ( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

x y z

r z

z u v w

v v v v v v v v v V V V V x z y Termodinâmicas: , ,

, , , ,_{p v}

T p

u h s c c

Transporte: , ,k D_AB

Eq. generalizada de estado:

( , , , , , , , , , ,p T u h s c c k_{p v} D_AB,...) 0

4 4 3 4 9

No referencial Euleriano as propriedades são

: , : ou :

E

Massa específica

3 0

3

( , ) 1.000 kg m ,

( , ) 1,225 kg m

ag atm

ar atm atm

P T

P T

1,7

o o

1.000 0, 0178 4

em C, 0 100 C

ag T

T T

/

287 J/kg.K

ar g

ar

P R T

R

o o

0

Em que,

101.325 Pa,

4 C, 15 C

atm

atm

P

Hipótese do contínuo

Meios Reais e Contínuos

• Os materiais são compostos de moléculas separadas

por espaço vazio

• Isso cria um problema matemático com a visão

Euleriana e ao se calcular derivadas e integrais

• Supõe-se, então, o meio como sendo contínuo:

– A matéria formando o meio preenche toda a região

Propriedades em meios reais

L

0

Como calcular

lim ?

V

dm m

dV V

m V

Hipótese do Contínuo

• HC: todas as propriedades

apresentam distribuição contínua por partes no espaço

• Pode haver saltos e

descontinuidades, porém localizados e em número finito

• Redefine-se então:

0

0

lim lim

L L

L L

m V F p

A

m V

L₀ L

Vapor

Água

z

1

Continuidade: lembrando

Dizemos que a funçao é contínua em , , se e somente se as

condições a seguir forem satisfeitas:

(i) ( ) existe (ii) lim ( ) existe (iii) lim ( ) ( )

A condição (ii) implica, evidentement

x a x a

f x a a

f a f x

f x f a

e, que lim ( ) lim ( )

x a x a

f x L f x

Se as funções e são contínuas em , , são também contínuas as funções compostas ( ), ( ), ( ), ( / ), se ( ) 0

f g x a a

f g f g f g f g g a

Uma função será contínua no intervalo real fechado [ , ] se ela for contínua

em todos os pontos do intervalo aberto ( , ), contínua à direita em e à esquerda em .

a b

a b a

b

Continuidade à esquerda:

(i) ( ) existe (ii) lim ( ) existe (iii) lim ( ) ( )

x b x b

f b f x

f x f b Continuidade à direita:

(i) ( ) existe (ii) lim ( ) existe (iii) lim ( ) ( )

x a x a

f a f x

f x f a

Uma função será contínua por partes em um intervalo se ela for contínua em

Continuidade: lembrando

Funções contínua por partes.

Funções descontínuas

em x c

Função contínua

Limites de validade, gases

• Ar atmosférico a 15 C e 1 atm

– Existem 3x1016 _{moléculas por mm}3

– Livre caminho médio: l = 8x10-8 m

– Distância média entre moléculas: d = 3x10-9 m, ou seja, l = 25d

• Em um cubo de aresta l, existem 15.000 moléculas

• Teoria cinética: flutuações em  da ordem de 0,8%

• Em um cubo de aresta 0,1l, existem 15 moléculas

• Flutuações em  da ordem de 25%

l

m V

Limites de validade, gases

• Logo, l pode ser usado para estabelecer o limite de

validade da HC

• A métrica para avaliar a validade da HC em gases é

o número de Knudsen: Kn = l/L

• Redefine-se, então

lim , etc

L l m V

l

A 100 km de altitude, l _{= 10 cm}

Limites de validade

• Para os líquidos a análise anterior não é válida mas

o limite de validade é ainda menor do que para os gases

• Em geral, trata-se de identificar o volume elementar

representativo (REV) de cada material, um volume que representa um composto estatisticamente, i.e., que inclui uma amostra de toda a sua

Compressibilidade

Compressibilidade isotérmica

Sistema compressível simples:

( , )

p f v T

Logo:

p p

dp dv dT

v T

v

T v

T

p

E E Av v

v

( ) ( )

dp A dv B dT

Coef. de compressibilidade isotérmica

Coef. de compressibilidade isocórica

Inverso da variação percentual (positiva) do volume com a pressão em

processos isotérmicos Coeficiente (%) de

Compressibilidade isotérmica

2

1 Mas

HC

dv dv d dv

d

v _v v v

v

T T

p p

E v

v Inverso da variação % da

massa esp. com a pressão em processos isotérmicos

v

T T

p p

E v

v

v

T

p

E v

Alguns Valores

( _g )

v g

T _T

R T p

E R T p

Material (MPa)

Sólidos Rocha 105

Líquidos

Água 2,24.103

Água do mar 2,42.103

Glicerina 4,59.103

Mercúrio 28,5.103

Óleo lubrificante 1,44.103

Gases Ar atmosférico 1,01.10

-1

Outros à P_atm 1,01.10-1

Para um gás ideal isotérmico, p R T_g

v E

Mater

ial

in

co

m

pr

ess

ív

Fluidos e escoamentos compressíveis

• Definição: fluido incompressível tem E_v > 103

• Definição: escoamento incompressível tem d  0

• No escoamento incompressível:

grande

ou seja 0

0 v

v

T

E p

E d

dp

Mas, por conservação da energia, dp 0 dV 0, logo

Fluido incompr. Esc. incomp.

Fluidos e escoamentos compressíveis

• A condição dV  0  V  cte. Ocorre em baixas

velocidades ou na ausência de obstáculos, logo

• Escoamento incompressível é

– Fluido incompressível e/ou

– Baixas velocidades

• “Baixa velocidade”?

Seja / . Pode-se mostrar (MFL-2) que

1, 02 , para 0, 3 (erro aceitável)

comp incomp

M V c

Forças e Tensões

Seção 1.10

Forças

• Forças de corpo: agem sobre a totalidade do corpo,

independente de contato (atração gravitacional, elétrica, magnética, ...)

• Forças de superfície: agem sobre a superfície do

Tensões

• Forças de superfície podem ser divididas em

componentes normal e tangencial

• Define-se então:

• Investiguemos melhor esse conceito

0

0 lim

lim

t t

t

L L

n n

n

L L

dF F

dA A

dF F

Área

• Sabemos que a força é um vetor

• Se quisermos orientar espacialmente a área, ela

precisa assumir caráter vetorial também

• Dada uma área A, definimos A como o vetor com

modulo igual a A e direção perpendicular à área

(plana):

(A A A_x, _y, _z)

A

x z

y

A • Vamos mostrar que A_x, A_y e A_z

são as projeções da área A

Área

x z

A_y

A_z A_x

y

A

Sejam , e os ângulos diretores e seja

( _x, _y, _z). Para o vetor, cos _z

a b c

A A A c A

A A

Como 90º, para a área,

cos sin Proj_z

c b

c b

A A

x z

Proj_z

c

b

b A |A|

A_z

Tensores

Então, a área é um vetor. Qual seria o significado de ?

d d

T F A

Há uma definição geral para divisão de vetores?

Sejam ( , , ) e ( , , )

Calcular significa obter tal que

x y z x y z

B B B C C C

B C

B

D D

C

B D C

Pode-se pensar em definir um novo operador matemático ou uma nova

entidade matemática para validar .

A escolha precisa ter consistência matemática e sentido físico.

D B D C

However, with complex vectors, vector division can be uniquely defined using the usual rules of complex division. (http://mathworld.wolfram.com/VectorDivision.html)

Sabe-se que com tem-se e .

Logo, a divisão usando só estaria definida para e perpendiculares

B D C B C B D

Tensores

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

Mas tem solução (não única) se for uma matriz e

for a multiplicação tradicional de matrizes por vetores coluna

B D D D C

B D D D C

B D D D C

B D C D

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Qual o sentido disso com ?

x x y y z z dF dA dF dA dF dA

dF = TdA

Temos que / ou / , com , variando em ( , , ), pois

Homogeneidade dimensional

/ nos restringe a tensões normais Escolha da ordenação: ( , , ) (1,2, 3)

ij i j j i

i i

dF dA dF dA i j x y z

dF dA

x y z

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

sistema indeterminado 3 x 9

Tensores

/ ou /

Logo, ou

ij i j ij j i

x x x _x y _z

x y z _{x x x}

y y y _x y _z

x y z y y y

z z z _x y _z

x y z _{z z}

dF dA dF dA

dF dF dF _dF dF _dF

dA dA dA _{dA dA dA}

dF dF dF _dF dF _dF

dA dA dA dA dA dA

dF dF dF _dF dF _dF

dA dA dA _{dA dA dA}

T

z

Mas /

x x x

x y z

x x

y y y

ij i j y y

x y z

z z

z z z

x y z

dF dF dF

dA dA dA

dF dA

dF dF dF

dF dA dF dA

dA dA dA

dF dA

dF dF dF

dA dA dA

1 3

implica 3

Possibilidade rejeitada

x x x

x x y z x

x y z

dF dF dF

dF dA dA dA dF

Tensores

Se /

implica OK

y

x z

x x x

x x

y

x z

ij j i y y

y y y

z z

y

x z

z z z

y

x z

x x y z x

x x x

dF

dF dF

dA dA dA

dF dA

dF

dF dF

dF dA dF dA

dA dA dA

dF dA

dF

dF dF

dA dA dA

dF

dF dF

dF dA dA dA dF

dA dA dA

Tensores - propriedades

/

y

x z

x x x

xx xy xz xx xy xz

y

x z

ij j i yx yy yz yx yy yz

y y y

zx zy zz zx zy zz

y

x z

z z z

dF

dF dF

dA dA dA dF

dF dF

dF dA e T

dA dA dA dF

dF dF

dA dA dA

As tensões (diagonal principal) são normais e as são tangenciaisii ij

1

Redefine-se pressão:

3 xx yy zz

p

Para fluidos em repouso 0 Mostraremos posteriormente que

ij

xx yy zz p

Equilibrando momentos pode-se mostrar que é simétrico em fluidos, i.e.,

, ,

xy yx xz zx yz zy

Convenção de sinais

• Plano positivo: normal

externa no sentido positivo e v.v.

• Tensão positiva: se o plano e o sentido da força são ambos

positivos ou negativos

• Tensão negativa: caso contrário:

x z

y

n_x n_z

Uma outra interpretação

0

1

2

Escalares: um componente 3 Vetores: tres componentes 3 Tensores: nove componentes 3

Generalizando:

Tensor de ordem zero = escalar, sem direção

Tensor de ordem um = vetor, uma direção Tensor de ordem dois = diade, duas direções Tensor de ordem três = triade, três direções

Tensor de ordem , n-iade, direçõesn n

Produto escalar-vetor: altera a magnitude do vetor, não a direção Produto vetor-vetor: altera a magnitude do vetor, e a direção a 90º

Produto tensor-vetor: altera a magnitude e a direção do vetor (dF = TdA)

Tensão superficial e capilaridade

Tensão superficial

• Denomina-se interface à região que

separa dois líquidos imiscíveis ou um líquido de um gás

• Admite-se que a interface é uma descontinuidade: não possui

espessura, massa, energia e momento linear.

• Uma força interfacial aparece devido à atração diferenciada sobre as

moléculas do líquido na interface,

criando uma “película”

• A tensão superficial é a força por

unidade de comprimento para manter a interface unida (ou a energia por

unidade de área)

Surface tension1

tg dF Y

Tensão superficial

Sendo Y dFtg e supondo constante, Y F 2bY dl

Supondo F constante ao longo do estiramento,

o trabalho de estiramento é 2 . Daí a interpretação de energia por unidade de área.

W F x bY x Y A

A energia é usada para realocar as moléculas, trazendo-as do

interior para a superfície à medida que ela aumenta

A tensão superficial é uma propriedade binária, ou seja, depende dos dois fluidos

em contato

Efeito capilar

• Além das forças coesivas responsáveis pela tensão

superficial, existem forças adesivas:

– Forças coesivas: entre moléculas do mesmo fluido

– Forças adesivas: entre moléculas de fluidos diferentes

• A diferença entre forças coesivas e adesivas origina

um deslocamento do fluido no contato líquido-gás-sólido

– Se  < 90º, diz-_{se o líquido “molha” o sólido.}

– Se  > 90º, ele não molha

2

Igualando peso e componente vertical da força

de tensão superficial:

( ) 2 cos

g R h RY

2 cosY h

gR

tg

dF Y

Ângulo de contato

• Com líquido, sólido e gás em contato, as diferentes forças

adesivas criam um ângulo de contato, , para equilibrar as forças

• Tudo isso só se manifesta em pequenas escalas de

comprimento!

Viscosidade

Atrito Fluido

F_x

A experiência mostra que a tensão cisalhante

é proporcional à taxa de deformação do fluido:

( )

Em sólidos,

yx yx

d dt G

s+ds

s

ds = du.dt

d Para quaisquer camadas de fluido distantes ,

dy ds du dt

d

dy dy

dy

Logo, d du

dt dy

yx

Atrito Fluido

x

y

dF du

dA dy

F_x

A_y

Área molhada

Velocidade paralela à força

Direção perpendicular à força

Viscosidade dinâmica

Logo,  representa a capacidade do fluido de resistir a esforços tangenciais

yx

Alguns Valores

2 2

N.s/m Pa.s kg/m.s

m /s

Água e Ar

2

0

3 0

273 273

ln 1, 704 5, 306 7, 003 ,

1, 788.10 kg/m.s, 273 373 K

T T

T

0,7 3/2

0

0 0 0 0

5

0 0

ou ,

1, 71.10 kg/m.s, 273 K, 110, 4 K

T S

T T

T T T S

Líquidos

0 ( ), 0 0 20 C,

precisão de 6% em 0 100 C

T T

T

0

0

ln exp C T 1 ,

Gases

–

Lei de potência

0 0

, n

T T

Gases

–

Fórmula de Sutherland

3/2

0 0

0

( / )T T (T S)

Viscosidade

• Viscosidade é uma medida de resistência à

deforma-ção do fluido

• Depende fortemente da temperatura e fracamente da

pressão para líquidos e gases rarefeitos

• Para o ar por exemplo, se P₁ = 1 atm e P₂ = 50 atm, ₂

= 1,1₁

• Nos líquidos está relacionada com as forças coesivas

entre as moléculas, nos gases com o seu movimento aleatório

x

y

dF du

Fluidos Newtonianos

• Observa-se que só vale para certos tipos de fluidos, denominados Newtonianos

• Newtonianos : água (líquida e vapor), gasolina,

álcool, óleo mineral, ar atmosférico, GN, GLP

• Não Newtonianos : petróleo bruto, lama de

perfuração, sangue, a maioria dos cosméticos e dos alimentos líquidos

( / )

Fluidos não Newtonianos

• Plásticos de Bingham: (pseudo-fluido)

• Exs.: lama de perfuração, suspensão de argila,

dentifrício

• Dilatantes:

• Exs.: suspensão de areia e de amido

• Pseudo-plasticos:

• Exs.: suspensão de polímeros, coloidais e pasta de

papel

• A viscosidade aparente, , pode depender do

tempo também

( / ) ,n 1

yx k du dy n

0 ( / )

yx du dy

( / ) ,n 1

yx k du dy n

1

( / )n

k du dy

Exemplo 1.8

Aplicação direta

Óleo SAE 30 a 20 ºC entre superfícies sólidas planas, V =

3 m/s, h = 2 cm.

Calcule a tensão de atrito 1

h : fluido newtoniano

du dy

2

h : perfil linear de velocidades

( ) (0)

0

u h u

u V

y h h

( )

y f x

y

x

x y

tan y/ x

Da tab. 1.4, 0,29 kg/(m.s) 0,29 3

0, 02

V h

43 Pa

Perfil linear de velocidades

(0) 0

( )

u a by

u

u h V

0 a b 0

V a b h

0

/

a

b V h

y u V h du V dy h 0 '( ) lim

x

y f x

Problema 2.28 Fox (ampliado)

Escoamento em canal

Água a 15 ºC, u_max = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2.

Perfil quadrático de velocs.

Obtenha as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a força de atrito sobre as superfícies

do canal

0

1

2

3

h : condição de não deslizamento

h : simetria do perfil h : ( )

h : fluido newtoniano yx f A

y

x h

2

u a by cy

0 0

1 max

: ( /2) 0

: ( /2) 0

: (0)

h u h

h u h

h u u

2 max ₂ 4 1 y u u h 2 max 2 1 u y u h 2 2 2 max

0 /2 /4

0 /2 /4

0 0

a bh ch

a bh ch

u a b c

max a u 2 max 2 max Somando:

0 2 2 /4

4 /

u ch

c u h

Subtraindo: 0 0 bh b 2 max max ₂

4y

u u u

Problema 2.28 Fox (ampliado)

y

x h

2 max

u u a by

2 max

2 max

1

0 1 /4

4 /

a

u bh

b u h

2 max ₂ 2 max 4 1 2 1 y u u h u y u h

Escoamento em canal

Água a 15 ºC, u_max = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2.

Perfil quadrático de velocs.

Obtenha as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a força de atrito sobre as superfícies

do canal 0

0

1 max

: ( /2) 0

: ( /2) 0

: (0)

h u h

h u h

h u u

2 max 2 max max max 0 /4 0 /4 0

u a bh

u a bh

u u a

2 max max ₂

4y

u u u

h

0

1

2

3

h : condição de não deslizamento

h : simetria do perfil h : ( )

h : fluido newtoniano yx f A

Problema 2.28 Fox

h : ( )

h : fluido newtoniano

yx f A 2 x yx y h yx yx dF dA

F dA A

max 2

8u y

F A h y x h max max sup ₂ max max inf ₂

8 ( / 2) 4

8 ( / 2) 4

u h u A

F A

h h

u h u A

F A

h h

3

1,14 10 kg/(m.s)

3 sup

inf

4 1,14 10 0, 05 ( 0, 3)

0, 0137 N 0, 005

0, 0137 N

F F n sup F inf F

Forças exercidas pelo fluido (p/ direita)

A < 0

A > 0

n

Escoamento em canal

Água a 15 ºC, u_max = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2.

Obtenhas as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a

Problema 2.33 Fox

Aplicação de tinta

F_max = 33,36 N, b = 0,3048 mm, w = 25,4

mm, L = 19,05 mm,  = 1,005 N.s/m2.

Calcule a veloc. máxima de tração 2 h yx du du F A dy dy 1 2 3 4

h : ( )

h : fluido newtoniano h : perfil linear de veloc. h : cond. n-deslizamento

yx f A

1 h yx yx yx dF dA

F dA A

3 h sup

sup sup

du u

F A A

dy y max 2 wLV F F b max max 2 F b V wL 4 max ₃ max

33, 36 3, 048 10

2 1,005 0, 0254 19, 05 10

10, 45 m/s

V V b max F L b 4 h sup 0 ( ) V AV F A

b t t b y

x

sup

n

sup inf

F F F

inf

0

0 ( )

V AV

F A

b b

inf

n

A < 0 A > 0

Problema 2.38 Fox

Viscosímetro

Cilindro interno a 250 rpm, folga preenchida com óleo de rícino a 32 C. R = 3.81 cm, a =

0,0254 mm, h = 152,4 mm.

Calcule o torque T necessário

O torque aplicado ao cilindro interno equilibra o torque de atrito:

0

cil

at A

T r dF

1 h

0

A

T R dA

2 h

0

T R A

3 h

2

2

dv dv

T RA R h

dr dr

4 h

2

2 v

T R h

r 5 h 2 0 2 ( ) R

T R h

R R a

3

2 R h T

a

1 2

Gráfico da fig. A.2:

3, 8 10 N.s/m

3

2 0, 0381 0,1524 0, 38 26,18 0, 0000254

T

250 rpm 250(2 /60) 1/s 26,18 Htz

20, 74 N.m

T 1 2 3 4 5

h : da area molhada cte. h : ( ) - bordas h : fluido newtoniano h : perfil linear de veloc. h : cond. n-deslizamento

Problema 2.46 Fox

Viscosímetro de cone.

Calcule o torque

O torque no cone deve

equilibrar o torque de atrito, logo

at

T r dF

2 3

h h

( / ) ( / )

at

dF dA v z dA v z dA

4 h

( 0)/ ( )

at

dF r h r dA

( / tan ) /tan

at

dF r r dA dA

/tan

tan

T r dA rdA

(2 ) cos tan

T r r dr

2 0

2 sin

R

T r dr

3 2 3 sin R T dr  R r  dr z h 2 3 4

h : fluido newtoniano h : perfil linear de veloc. h : cond. n-deslizamento

2 / cos

dA rdr

2 rdr

Problema 2.44 Fox (Ampliadão)

Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar

sem resistência.

Calcule V(t) e a(t)

1

2

3

4

h : ( )

h : fluido newtoniano h : perfil linear de veloc. h : cond. n-deslizamento

yx f A

1 2

3 4

h h

h h

at yx yx b b

b b

du

F dA A A

dy u V A A y h para /

F ma m

gm T m dV dt

para /

at

F ma M

T F M dV dt

Eliminando :

( ) /

at

T

gm F M m dV dt

( )

b

AV dV

gm M m

h dt ( ) / b M m dV dt

gm AV h

, ;

( )

b A

dV gm

dt A B

A BV M m h M m

0 0

1

ln A BV V t t

B

1

ln A BV t

B A

eBt

A BV

A

0 0

V _dV t

dt

Problema 2.44 Fox

( ) 1 exp

( )

b

b

A hmg

V t t

A h M m

( ) exp

( ) ( )

b A mg

a t t

M m h M m

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 20 40 60 80 100 120 Veloc. (m/s) Acel. (m/s2)

m 10 kg

M 20 kg

h 0,001 m A 0,01 m2

Visc. 0,25 Pa.s

Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar

sem resistência.

Calcule V(t) e a(t)

eBt 1

A V B ; ( ) b A gm A B

M m h M m

( )

dV dV

dt A BV a t

A BV dt

eBt

A BV

Problema 2.44 Fox

0 0

S t

S dS Vdt

0 ₀ 0 e e 1 t Bt t Bt A A

S S dt t

B B B

; ( ) b A gm A B

M m h M m

Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar

sem resistência.

Calcule V(t) e a(t) 0

eBt 1

A

S S t

B B

0

( )exp 1

( )

( )

b

b

A

h M m t

h M m gmh

S t S t

A A 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Análise Matemática

0

0 (0) e 1 0

A

V V

B

0 (0) 0

m

a a A BV A g

M m

0

e 1

( )

( ) e 1 ;

( )

Bt

Bt A

S t S t

B B

A V t

B

a t A BV

com e

( )

b A gm

A B

M m h M m

lim e 1

t

A A hmg

V V

B B A

lim 0

t

a a A BV

0

0 0

e 1

(0) A 0

S S S

B B 0 0 e 1 lim 1 t A

S S S t

B B

S V t

B

Análise Matemática

0 n-visc

0

0

lim e 1

0 0 A V V ( ) n-visc 0

Pela regra de L'Hopital

(e 1)/ lim / B t Ad d V dB d n-visc 0

V a t

eBt 1

A V B ( ) n-visc 0

lim e 1

( ) B t A V B n-visc 0

Pela regra da cadeia

(e 1) 1

lim

/

Bt

d dB

V A

dB d dB d

0 n-visc

0

lim eBt e

V At At At

; ( ) b A gm A B

M m h M m

n-visc

Conclusão

• Calcular os esforços gerados pelo escoamento

significa conhecer o campo de velocidades A

dF du du

F dA

Exercícios recomendados

Camada Limite

Seção 1.13

Camada Limite Dinâmica

x

z

U_

_d

CLD

Esc. livre ou

potencial U

U_

Camada Limite Dinâmica

• Região do escoamento em que os efeitos do atrito

viscoso não podem ser desprezados

• Região em que o gradiente (a variação) de velocidade

perpendicular à superfície não pode ser desprezado

• Região dinamicamente afetada pela superfície

• Região 0  z  (x), em que u(x,) = 0,995 U(x)

• Na ausência de gradiente longitudinal de pressão

(dp/dx = 0), tem-se d/dx  0

Camada Limite Térmica

• Região do escoamento em que os efeitos da TRC não podem ser desprezados

• Região em que o gradiente de temperaturas perpendicular à superfície não pode ser desprezado

• Região termicamente afetada pela superfície, com 0  z  _t(x), em que T(x,_t ) = 0,995 T_(x)

• Na ausência de gradiente longitudinal de pressão (dp/dx = 0) tem-se d_t /dx  0

0

q k dT dz

x

z

U_, T_ T

_t

CLT

Separação da Camada Limite

• Sobre um cilindro a baixas

velocidades:

– V_P = 0, logo P_P é máxima

– V_Q é máxima, logo P_Q é mínima

– Com pouco atrito, tudo é aprox. simétrico em torno do eixo vertical

– Assim, P_R > P_Q mas, por inércia o

escoamento segue

• Aumentando a velocidade:

– V_P = 0, V_Q é máxima

– Com muito atrito, a inércia é insuficiente para manter o

escoamento e a simetria se quebra

– Recirculação e separação

Camadas Limites

• A CL aparece em todo tipo de

escoamento, desde que haja rápida variação na propriedade envolvida (velocidade, temperatura, umidade, concentração, etc.)

– Escoamentos internos e externos

– Corpos rombudos ou carenados

– Superfícies estacionárias ou em movimento

• A CL é uma região muito fina

Regimes Laminar e Turbulento

Seção 1.14

Primeiras Observações

• Por volta de 1880 um dos principais

problemas práticos da MFL permanecia em aberto

• Em um escoamento com baixa

velocidade, a perda de energia por atrito é proporcional à velocidade

• Quando a velocidade é aumentada, a

Osborne Reynolds (1842-1912)

• Reynolds observou diferenças de

comportamento no escoamento à medida que a velocidade variava

• Observou que a viscosidade e

outras propriedades do fluido também interferiam

• Em um famoso experimento,

Reynolds (1883) mostrou que haviam dois regimes de

escoamento: o laminar e o turbulento

Primeiras Observações

• Reynolds observou que a mudança de regime estava associada a pequenas instabilidades externamente impostas ao

escoamento, que se amplificavam até dominá-lo

• Em seu experimento, estas instabilidades estavam associadas às irregularidades do material e ao formato da entrada do tubo

• O escoamento poderia ser mantido laminar até altas velocidades se as instabilidades fossem minimizadas

• Em geral: instabilidades associadas a geometria, vibrações, ruído, irregularidades superficiais, máquinas usadas para impulsionar o fluido, estado inicial do fluido, etc.

Número de Reynolds

Neste experimento, 2000 < Re < 4000

Vamos supor que a turbulência possa ser quantificada

por um número adimensional exprimindo a relação entre as forças totais em e as forças viscosas em :

/

Re z , ( )

zr z

z r

m dv dt

f A A z r 2 /

Re z , pois _{rz zr} rz

m dv dt

R

/ Re

/ 2

z z z

z

Lv v L v D

O O

v R

Re v Dz

F_tot F_visc

, RC

z z z z z

dv v dt v dr v d v dz

dt t dt r dt dt z dt

z z z z z

r z

dv v v v v v

v v

dt t r r z

2

Em ordem de grandeza, ( / )

Re z z , pois _{z r} e rz

m v v z

O v v v

R

Por unidade de volume, com ( , , ) /

Re

/ z z

z

f x y z

L v v z

O v r 2 / Re / z z z

m v v z

O