Fluidos I Mecânica dos

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(1)Mecânica dos Fluidos I Prof. D.Sc. Cláudio C. Pellegrini Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos – DCTEF Junho - 2018.

(2) Conteúdo • Introdução: slide 3 • Estática dos fluidos: slide 153.

(3) Introdução e conceitos fundamentais Capítulo 1 Capítulo 1.

(4) Definição e objetivos da Mecânica dos Fluidos Seção 1.1.

(5) Ramos da Física Física. Relatividade. Mecânica Quântica. Cinemática. Mecânica Clássica. Eletromagnetismo. Mecânica dos Fluidos. Mecânica dos Sólidos. Estática. Dinâmica. Termodinâmica.

(6) Definição e objetivos • MFL é a ciência que estuda forças e movimento em fluidos • Fluidos são líquidos ou gases • Objetivo em engenharia: determinar a relação entre o escoamento e as forças resultantes V(x, y, z, t ). F(x, y, z, t ).

(7) Definição de fluido Seção 1.2.

(8) Fases de uma substância •. Fluido: líquido ou gás, por enquanto. •. Fases de uma substância – Sólidos: ligações intermoleculares fortes – Gases: ligações muito fracas – Líquidos: ligações fracas. •. Sólidos: possuem forma predeterminada. •. Líquidos: amoldam-se ao recipiente e apresentam interface com o ambiente. •. Gases: amoldam-se ao recipiente e ocupam todo o espaço disponível.

(9) Fases de uma substância • Sólidos: as moléculas são arranjadas num padrão que se repete. Pequenas distâncias e forças intermoleculares fortes mantém a forma aproximadamente fixa • Líquidos: moléculas movem-se umas em relação às outras mas o volume não varia muito devido às forças intermoleculares relativamente fortes, por isso eles amoldam-se ao recipiente • Gases: moléculas bastante espaçadas e forças intermoleculares fracas, por isso ocupam o espaço disponível.

(10) O que é um fluido? • Substâncias podem ser sólidas ou fluidas • A distinção é a forma como elas reagem a esforços cisalhantes: – Sólidos de deformam – Fluidos se deslocam, por menor que a força seja. • Sólidos: tensão proporcional à deformação • Fluidos: tensão proporcional à taxa de deformação. Em fluidos,. t. Em sólidos,. t. (d. dt ).

(11) O que é um fluido? • Experimento: material é colocado entre placas horizontais, uma móvel e uma fixa; a placa superior é deslocada por uma tensão tangencial • Definição: a substância é um fluido se ela se desloca continuamente sob ação da tensão, por menor que seja a força que a originou. • O movimento de um fluido é chamado escoamento F.

(12) Condição de não deslizamento • Evidências experimentais: um fluido em contato com um sólido ou outro fluido imiscível tem velocidade relativa zero na interface Vr (int). 0. • O atrito, a mobilidade e a pequena massa das moléculas são os responsáveis.

(13) Condição de não deslizamento Vr (int). 0. V. (u, v, w). z fluido. impermeável: usup vsup w sup. Superfície u(x , y, 0) v(x , y, 0) w(x, y, 0). permeável: usup vsup w sup wtransp. Coordenadas generalizadas: v1(x 1, x 2, 0) v1,sup v2 (x 1, x 2 , 0) v2,sup v3 (x 1, x 2 , 0) v 3,sup transp. y. x. fluido. Superfície u(x , y, 0) v(x , y, 0) w(x, y, 0). f3 01’30” a 01’ 50” 03’45” a 04’40” 06’ 07” a 06’ 38”. Ocorre em todo tipo de geometria Ocorre também com a temperatura e outras propriedades: r (int) = 0 Quando falha?. u. u , z. 1,15l.

(14) Visualização dos escoamentos Seção 1.3 Seção 4.2.

(15) Visualização • Trajetória: caminho percorrido por uma partícula fluida. • Linha de emissão: conjunto de posições das partículas que passaram por um ponto fixo do escoamento • Linha temporal: conjunto de partículas adjacentes marcadas no mesmo instante • Linha de corrente: linha tangente ao vetor velocidade • Em regime permanente: Tr = LE = LC. Streamlines airfoil.

(16) Trajetórias • Caminho percorrido por uma partícula fluida • Mesmo conceito da Mecânica dos Sólidos x p (t ). xp0. y p (t ). yp 0. z p (t ). zp0. Sp 0. t t0 t t0 t t0. u pdt v pdt. Tr. Sp (t ). x p (t ), y p (t ), z p (t ). w pdt. x p 0, y p 0, z p 0. Sp 0. u. dx dt. Sp. z. y. x.

(17) Linhas de emissão • Conjunto de posições das partículas que passaram por um ponto fixo do escoamento • Podem ser geradas em grupo Para partículas i. 1, N passando pelo. mesmo ponto: x pi (t ). x pi 0. y pi (t ). y pi 0. i p. z (t ). z. i p0. t. i u dt p i. t0 t t0i. v pi dt. t. i w dt p i. t0. Sip (t ). x pi (t ), ypi (t ), z pi (t ) , i. S7p (t ). x p7 (t ), yp7 (t ), z p7 (t ) , por ex.. LE(t1 ). S1p (t1 ), S2p (t1 ),. 1, N z. , SNp (t1 ) y. x.

(18) Linhas temporais • Conjunto de partículas adjacentes marcadas no mesmo instante • Geralmente são geradas em sequencia Para partículas i i p. i p0. x (t ). x. y pi (t ). y pi 0. Sip. 1, M distribuidas no espaço:. t. i u dt p i. t0 t. i v dt p i. t0. x pi (t ), ypi (t ) , i. 1. 1, M. 2. LT(t1 ). S1p (t1 ), S2p (t1 ),. , SM (t1 ) p. LT(t2 ). S1p (t2 ), S2p (t2 ),. , SM (t2 ) p. z. SM p0. y. No exemplo, S1p (t ). S3p (t2 ). 3. S1p 0, SM (t ) p. x M. 3.

(19) Linhas de corrente • Linha tangente ao vetor velocidade a cada instante • Logo, o escoamento não atravessa as LCs • Tubos de corrente: superfícies formadas por LCs originadas em uma curva fechada • Por semelhança de triângulos: dr V Em 2D:. dy dx. Em 3D: dr etc.. v u V dx u. y. dx u. dy v. dz w. yLC (x ) r. f (x ). g(y, z ).

(20) Comparação • Em regime permanente Tr = LE = LC • Mas em regime transiente... V. (0, 5 (1, 5. 0, 8x )i 2, 5 sin(2 t ). 0, 8y) j. 0k.

(21) Exemplo 4.4 Çengel V. 0, 8x )i. (0,5. (1,5. 0, 8y) j. 0k. dy dx. v 1, 5 0, 8y u 0, 5 0, 8x dy dx 1, 5 0, 8y 0, 5 0, 8x. 0, 8y. ln 1, 5. ln (1, 5. 0, 8y). 1 1, 5 0, 8y 1, 5. 0, 8x. 0, 8 0, 8y. ln 1,5. ln 0,5 1. 1 C 3 (0, 5. 0, 8x. ln C 3 (0, 5. C 3 (0, 5. 0, 8x ). 1, 875. C 0, 4 0, 64x. O valor escolhido para C define a LC. ln 0, 5. 0, 8. y. C1 C2. 0, 8x ). 0, 8x ) 0, 8y. Trace as LC para o campo de velocidades dado.

(22) Exercício 4.36 Çengel Vp x p (t ) x p (t ). 4x i. 3) j. (5y t. xp0. t0 t. xp0. t0. O certo é up 4x p. dx p / dt. 4dt. dx p / x p. 4(t. t0 ). vp. dy p / dt. dt. dyp / (5yp. 5(t. t0 ). 3t 2 k. u pdt 4xdt. 3t 2. dz p / dt. Tr. Sp. ln(x p / x p 0 ). x p (t ), y p (t ), z p (t ) .. t0 ). ln(x p / x p 0 ). 5(t. t0 ). ln((5y p. 3) / (5y p 0. 9(t. t0 ). ln((5yp. 3)(x p / x p 0 ) / (5yp 0. t. ln((5y p. t0. 3)). 3)(x p / x p 0 ) / (5y p 0. 3)). 3)). 9. zp0. t3. 3). t03 Trace as trajetórias para o campo de velocidades dado. 3)]. zP. t03. 4(t. zp 3) / (5yp 0. t3. zp0. Podemos tb criar um curva paramétrica. 4xt, certo ?. dx p / dt. ln[(5yp. zp. zp0. t0. ln((5x py p. 3) / (5x p 0y p 0 9. 3x p 0 )). 3. t03.

(23) Representação gráfica • Campo é uma distribuição contínua no espaço-tempo de uma determinada grandeza • Campos escalares: temperatura, pressão, massa específica (e derivados), concentração, etc. • Campos vetoriais: velocidade, aceleração, força, quantidade de movimento, etc. • Campos tensoriais: tensão, taxa de deformação, etc.. Temperature field.

(24) Campo de SST.

(25) Representação gráfica • Gráficos de perfil – Mostra como uma grandeza escalar varia em uma dimensão do espaço em um dado instante. • Gráficos vetoriais – Mostra como uma grandeza vetorial varia em até duas dimensões em um dado instante. • Gráficos de contorno – Mostra as iso-curvas de uma grandeza escalar em até duas dimensões em um dado instante.

(26) Exercícios recomendados • • •. Exercícios recomendados: 2.3 – 2.20 (Fox, 7ª edição) Exercícios recomendados: 4.35, 37, 38, 40, 42, 43, 44, 47 (Cengel, 3ª edição) Exercícios recomendados: 1.80 – 1.84 (White, 4ª edição).

(27) Classificação dos escoamentos Seção 1.4 Seção 1.4.

(28) Classificação dos escoamentos • Quanto à relevância do atrito – Com atrito – Sem atrito. Seção. • Quanto ao tipo de fronteira – Interno – Externo. • Quanto à variação de volume – Compressíveis – Incompressíveis. • Quanto ao regime – Laminar – Turbulento. Seção.

(29) Classificação dos escoamentos • Quanto à dependência temporal – Permanente – Transiente. • Quanto à dependência espacial – Escoamento 3D – Escoamento 2D – Escoamento 1D. • Quanto aos componentes do campo de velocidades – 3-direcional – 2-direcional – 1-direcional.

(30) Escoamentos internos e externos • Escoamento interno: limitado por fronteiras físicas. • Escoamento externo: ao redor de corpos. • Depende, obviamente, do domínio tratado.

(31) Quanto à variação de volume • Escoamentos (in)compressíveis: (sem) com variações significativas de massa por unidade de volume • Líquidos podem ser considerados incompressíveis com alto grau de precisão. Gases são sempre compressíveis • Porém gases podem escoar incompressivelmente. Depende do número de Mach. Detalhes posteriormente.

(32) Quanto à dependência temporal • Escoamento permanente: f (x, y, z ), Logo,. t. u, v, w, p,T , , , c p , 0. • Escoamento transiente: f (x, y, z, t ), para ao menos um.

(33) Exemplos • Escoamentos transientes – Partida e parada de bombas, ventiladores, turbinas, compressores, caldeiras, condensadores, trocadores de calor, etc. – Atmosfera e oceano – MCIs e outras máquinas alternativas – Sistema cardiovascular e respiratório. • Escoamentos permanentes – Operação de bombas, ventiladores, etc. – Atmosfera e oceano em certos (raros) casos. • Depende do domínio tratado.

(34) Quanto à dependência espacial • Depende do número de dimensões espaciais das quais o escoamento depende • Escoamento 3-D:. f (x, y, z, t ),. • Escoamento 2-D:. f (x, y, t ). • Escoamento 1-D:. f (x, t ). • Variável  uniforme:. f (t ). u, v, w, p,T , , , cp ,. z. z. 0. 0. y z. y. z. 0.

(35) Escoamento 1-D.

(36) Escoamento 2-D.

(37) Escoamento 1-D—2-D. Depende do sistema de coordenadas.

(38) Quanto aos componentes de V • Escoamento 3-direcional: V. ui. vj. • Escoamento 2-direcional: V. ui. vj. • Escoamento 1-direcional: V. ui. wk. Não implica. Apenas velocidade. zu. yu. 0. Esta definição é minha, não está nos livros. Também depende do sistema de coordenadas.

(39) Unidades Seção 1.5.

(40) Unidades • Leitura recomendada: item 1-6 de Çengel e Cimbala. L M T.

(41) Conversão de Unidades.

(42) Conversão de Unidades.

(43) Modelagem e Solução de Problemas Seção 1.6.

(44) Modelagem • Leitura recomendada: item 1-7 de Çengel e Cimbala.

(45) Solução de Problemas • Leitura recomendada: itens 1-8 e 1-9 de Cimbala e Çengel Step 1: Problem statement Step 2: Schematic Step 3: Assumptions and approximations Step 4: Physical laws Step 5: Properties Step 6: Calculations Step 7: Reasoning, verification, and discussion Modelagem.

(46) Propriedades Seção 1.7 Capítulo 2.

(47) Grandezas Físicas e Propriedades • Grandezas físicas são definidas especificando duas operações: – Comparação: gA = gB ou gA  gB – Adição: gA + gB = gC. • Exemplos – GF escalar: temperatura, pressão... – GF vetorial: velocidade, força... – Não são grandezas físicas: formato, cor, .... +. =?. The Physical Basis of Dimensional Analysis, Ain A. Sonin. • Propriedades: GFs que apresentam o mesmo valor independente da história do sistema físico – Ex.: pressão, temperatura, volume, massa, energia – CEx:. fluxos (massa, energia, quant. movim.).

(48) Propriedades • Estado: conjunto E de propriedades de um sistema, necessário e suficiente para descrever inequivocamente sua condição • O estado é quase sempre um subconjunto próprio do conjunto de propriedades de um sistema, i.e., E  P mas E  P • Mudança de estado = processo Visc. reversible – Reversíveis ou irreversíveis – Abertos ou fechados (ciclos) – Propriedades são independentes do processo. • Propriedades podem ser intensivas ou extensivas.

(49) Totalmente reversível?.

(50) Referenciais Euleriano e Lagrangeano Na descrição Lagrangeana, partículas individuais são acompanhadas em seu movimento ao longo do tempo. No referencial Lagrangeano Sp Sp (Sp 0 , t ) e Vp Vp (Sp 0 , t ) em que Sp 0. Aqui olhamos para a partícula. Sólidos. Sp (t0 ) Fluidos. Na descrição Euleriana, as propriedades do escoamento são descritas como função da posição e do tempo.. Aqui olhamos para o ponto no espaço. No referencial Euleriano V. V(x, t ). V(x, y, z, t ) Seção 4.1.

(51) Campo de Aceleração A aceleração de uma partícula é ap. dVp /dt. Mas as props. da partícula coincidem localmente e em todo instante com as do campo, logo a dV/dt. Pela Regra da Cadeia, a. dV dt. V dt t dt. V dx p x p dt. V dy p y p dt. Como a posição independe do referencial, xp a. a. x, y p V t. alocal. y, z p V u x. aadvec. z e V v y. V w z. V dz p z p dt.

(52) Campo de Aceleração a. ap. Vp t. 0. dV dt. V t. u. V x. v. V y. w. V z. No referencial Lagrangeano (partículas) o escoamento é acelerado No referencial Euleriano o escoamento é permanente. V t. 0.

(53) Operador Derivada Material dV dt. V t. u. V x. v. V y. w. Mas, no formalismo dos operadores, V u x. V v y. u. v. dV dt. x. DV Dt. y. V w z. w. V t. u. x. (u, v, w ). z. (V. v. x. Novo operador. w. y. ,. V z. y. )V. Posteriormente este termo ganhará significado físico. ,. z. z. V. V.

(54) Propriedades mais relevantes z. No referencial Euleriano as propriedades são fE :. 4. , fV :. 4. 3. ou fT :. 4. 9. Cinemáticas: V(x, y, z, t ). u(x, y, z, t )i. v(x, y, z, t ) j. a(x, y, z, t ). ax (x, y, z, t )i. ay (x, y, z, t ) j. Termodinâmicas: T , p, u, h, s, cp , cv. dm , v d g, d. az (x, y, z, t )k. y. 1. V V V V. k, , DAB. Eq. generalizada de estado:. (u, v, w ) (vx , vy , vz ) (vr , v , vz ) (v , v , vz ). ref. Corolário:. Transporte:. (p,T , , u, h, s, cp , cv , k, , DAB ,...). x. w(x, y, z, t )k. v. 0. dW d d dm. v. ref. d. d. kg m3 N m3 m3 kg 1.

(55) Massa específica. ag. 1.000. T em oC, 0 ag (Patm ,T0 ) ar (Patm ,Tatm ). 0, 0178 T T. 4. 1,7. ar. Rar. 100o C. 1.000 kg m3 , 1,225 kg m3. P / RgT 287 J/kg.K. Em que, Patm 101.325 Pa, T0. 4o C, Tatm. 15o C.

(56) Hipótese do contínuo Seção 1.8.

(57) Meios Reais e Contínuos • Os materiais são compostos de moléculas separadas por espaço vazio • Isso cria um problema matemático com a visão Euleriana e ao se calcular derivadas e integrais • Supõe-se, então, o meio como sendo contínuo: – A matéria formando o meio preenche toda a região – O meio pode ser indefinidamente dividido e todas as partes conservam as mesmas propriedades.

(58) Propriedades em meios reais m. Como calcular dm lim V 0 dV. V. L. L0. L. m ? V.

(59) Hipótese do Contínuo • HC: todas as propriedades apresentam distribuição contínua por partes no espaço. m. V. • Pode haver saltos e descontinuidades, porém localizados e em número finito • Redefine-se então: lim. L. p. L0. lim. L. L0. m V F A. L0 z. Vapor 1 atm. Água. L. 0, 6 kg/m3. 1.000 kg/m3.

(60) Continuidade: lembrando. Funções descontínuas em x c. Funções contínua por partes.. Função contínua Derivada descontínua em x. 0.

(61) Limites de validade, gases • Ar atmosférico a 15 C e 1 atm – Existem 3x1016 moléculas por mm3 – Livre caminho médio: l = 8x10-8 m – Distância média entre moléculas: d = 3x10-9 m, ou seja, l = 25d. • Em um cubo de aresta l, existem 15.000 moléculas • Teoria cinética: flutuações em  da ordem de 0,8% • Em um cubo de aresta 0,1l, existem 15 moléculas • Flutuações em  da ordem de 25% l. m. V. 25% 0, 8%. L.

(62) Limites de validade, gases • Logo, l pode ser usado para estabelecer o limite de validade da HC. • A métrica para avaliar a validade da HC em gases é o número de Knudsen: Kn = l/Lcarac • Redefine-se, então lim. L. l. l. m. V , etc. A 100 km de altitude, l = 10 cm. Quando a HC falha, a condição de não deslizamento deixa de ser válida.

(63) Limites de validade • Para os líquidos a análise anterior não é válida mas o limite de validade é ainda menor do que para os gases • Em geral, trata-se de identificar o volume elementar representativo (REV) de cada material, um volume que representa estatisticamente um composto, i.e., que inclui uma amostra de toda a sua heterogeneidade microestrutural.

(64) Compressibilidade Seção 1.9.

(65) Compressibilidade isotérmica Sistema compressível simples: p. f (v,T ). Coef. de compressibilidade isotérmica. Logo: p dv v. dp. ETv. Ev. Coef. de compressibilidade isocórica. p dT T. p v v. 1 v. Mas T. Coeficiente (%) de compressibilidade isotérmico. Inverso da variação percentual (positiva) do volume com a pressão em processos isotérmicos. Logo,. d. HC. d dv v. Ev. dv v2. dv v. p T. Inverso da variação % da massa esp. com a pressão em processos isotérmicos.

(66) Ev. Material Sólidos. Líquidos. Gases. Rocha. 105. Água. 2,24.103. Água do mar. 2,42.103. Glicerina. 4,59.103. Mercúrio. 28,5.103. Óleo lubrificante. 1,44.103. Ar atmosférico. 1,01.10-1. Outros à Patm. 1,01.10-1. Para um gás ideal isotérmico, p. Ev. ( RgT ). p T. (MPa). RgT T. RgT. p. Material incompressível. Alguns Valores.

(67) Fluidos e escoamentos compressíveis • Definição: fluido incompressível tem Ev grande,  103 • Definição: escoamento incompressível tem d  0 • No escoamento incompressível: Ev. p. ou seja. d. Ev grande. 0. dp. T. Mas, por conservação da energia, dp. Esc. incomp.. 0 0. dV. Fluido incompr. dV. 0. 0, logo.

(68) Fluidos e escoamentos compressíveis • A condição dV  0  V  cte. Ocorre em baixas velocidades ou na ausência de obstáculos, logo • Escoamento incompressível é – Fluido incompressível e/ou – Baixas velocidades. • “Baixas velocidades”? Seja M V /c. Pode-se mostrar (MFL-2) que Pcomp 1, 02 Pincomp , para M 0, 3 (erro aceitável).

(69) Forças e Tensões Seção 1.10 Seção 6.3.

(70) Forças •. Forças de corpo: agem sobre a totalidade do corpo, independente de contato (atração gravitacional, elétrica, magnética, ...). •. Forças de superfície: agem sobre a superfície do corpo, devido ao contato deste com outro (atrito, pressão, reações externas, ...).

(71) Tensões •. •. Forças de superfície podem ser divididas em componentes normal e tangencial Define-se então:. t. n. •. dFt dA dFn dA. lim. L. L0. lim. L. L0. Investiguemos melhor esse conceito. Ft A Fn A.

(72) Área • Sabemos que a força é um vetor • Se quisermos orientar espacialmente a área, ela precisa assumir caráter vetorial também • Dada uma área A, definimos A como o vetor com modulo igual a A e direção perpendicular à área (plana): A. (Ax , Ay , Az ). z. • Podemos mostrar que Ax, Ay e Az são as projeções da área A nos planos coordenados. A. x. y.

(73) Área Sejam a, b e c os ângulos diretores e seja A. (Ax , Ay , Az ). Para o vetor, A cos c. Como c. b. A cos c. Az. 90º, para a área, A sin b. Então, Az. Projz Projz , CQD. z. z. Az. |A|. A. b. Ay A. Ax. c. x b. Az. x Projz. y.

(74) Tensores Então, a área é um vetor. Qual seria o significado de T. dF dA ?. Há uma definição geral para divisão de vetores? Sejam B Calcular. (Bx , By , Bz ) e C B C. (C x ,C y ,C z ). D significa obter D tal que B. D. C. Pode-se pensar em definir um novo operador matemático ou uma nova entidade matemática D para validar B D C. A escolha precisa ter consistência matemática e sentido físico. Sabe-se que com B. D. Logo, a divisão usando. C tem-se B. Ce B. D.. só estaria definida para B e C perpendiculares. However, with complex vectors, vector division can be uniquely defined using the usual rules of complex division. (http://mathworld.wolfram.com/VectorDivision.html).

(75) Tensores Mas B. D. C tem solução (não única) se D for uma matriz e. for a multiplicação tradicional de matrizes por vetores coluna B1 B2. D11 D12 D21 D22. D13 C 1 D23 C 2. B3. D31 D32. D33 C 3. D11C 1. D12C 2. D13C 3. B1. D21C 1. D22C 2. D23C 3. B2. D31C 1. D32C 2. D33C 3. B3. sistema indeterminado 3 x 9 Qual o sentido disso com dF = TdA ? dFx. 11. 12. 13. dAx. dFy. 21. 22. 23. dAy. dFz. 31. 32. 33. dAz.

(76) Tensores Escolha da ordenação: (x, y, z ) T. (1,2, 3). 11. 12. 13. xx. xy. xz. 21. 22. 23. yx. yy. yz. 31. 32. 33. zx. zy. zz. Por definição: Finalmente,. ij. ij. dFm /dAn pois T = dF/dA, com i, j, m, n variando em (x, y, z ) dFi /dAj ou dFj /dAi , pois. dFi /dAi nos restringe a tensões normais. Assim, T. dFx. dFx. dFx. dFx. dFy. dFz. dAx dFy. dAy dFy. dAz dFy. dAx dFx. dAx dFy. dAx dFz. dAx dFz. dAy dFz. dAz dFz. dAy. dAy. dFx. dAy dFy. dAx. dAy. dAz. dAz. dAz. dAz. ou. dFz.

(77) Tensores dFx Mas. ij. dFi /dAj. dFy dFz. implica dFx. Se. ij. dFx dAx. dAx. dFx dAy. dFx dFy. dFj /dAi. dFz. implica dFx. dFx dAx. dAx. dFy dAx. T. dFx. dFx. dFx. dAx dFy. dAy dFy. dAx dFz. dAy dFz. dAz dAx dFy dAy dAz dAz dFz. dAx. dAy. dAz. dAy. dFx dAz. dAz. 3 dFx. dFx. dFy. dFz. dAx dFx. dAx dFy. dAy dFx. dAy dFy. dAx dAx dFz dAy dAy dAz dFz. dAz. dAz. dAz. dAy. dFz dAx. dAz. dFx. 1. xx. xy. xz. yx. yy. yz. zx. zy. zz. 3. Possibilidade rejeitada. OK. Logo. ij. dFj /dAi.

(78) Propriedades. ij. dFj /dAi ou T. dFx. dFy. dFz. dAx dFx. dAx dFy. dAx dFz. dAy. dAy. dFx. dAy dFy. dAz. dAz. dAz. dFz. xx. xy. xz. xx. xy. xz. yx. yy. yz. yx. yy. yz. zx. zy. zz. zx. zy. zz. As tensões ii (diagonal principal) são normais e as ij são tangenciais 1 Redefine-se pressão: p xx yy zz 3. Para fluidos em repouso. ij. 0. Mostraremos posteriormente que. xx. yy. zz. p. Equilibrando momentos pode-se mostrar que T é simétrico em fluidos, i.e., xy. yx ,. xz. zx ,. yz. zy.

(79) Convenção de sinais. z. n-x. • O plano é positivo: normal externa no sentido positivo e v.v.. nz. nx. • Tensão positiva: se o plano e o sentido da força são ambos positivos ou negativos. x. y. • Tensão negativa: caso contrário:.

(80) Tensões Positivas.

(81) Tensão superficial.

(82) Viscosidade Seção 1.12.

(83) Atrito Fluido Fx. A experiência mostra que a tensão cisalhante é proporcional à taxa de deformação do fluido: ( d dt ) yx Em sólidos,. yx. G. Para quaisquer camadas de fluido distantes dy, ds du dt d dy dy Logo,. d dt. du dy. s+ds yx. du dy. ds = du.dt. d. dy s.

(84) Atrito Fluido Fx. yx. du dy. Ay. Viscosidade dinâmica. dFx dAy Área molhada. du dy. Velocidade paralela à força. Direção perpendicular à força. Logo,  representa a capacidade do fluido de resistir a esforços tangenciais.

(85) Alguns Valores. Viscosidade cinemática. N.s/m2 m2 /s. Pa.s. kg/m.s.

(86) Água. ln. 1, 704 0. 0. 1, 788.10. 3. 273 5, 306 T kg/m.s, 273. e. Ar. 2. 273 7, 003 , T T 373 K. 0,7. 0 0. S. T T ou T0 T0 0 5 1, 71.10 kg/m.s, T0 110, 4 K. 3/2. T0. S. T S 273 K,. ,.

(87) Líquidos. exp C. ln 0. T0 T. 1 ,. (T0 ), T0 20 C, precisão de 6% em 0 T 0. 100 C.

(88) Gases – Lei de potência. n. 0. T T0. 0. (T0 ), T0. , 293 K, precisão de 4% em 250. T. 1000 K.

(89) Gases – Fórmula de Sutherland. 3/2. 0. (T /T0 ). (T0. T. S. S).

(90) Viscosidade dFx dAy. du dy. • Viscosidade é uma medida de resistência à deformação do fluido • Depende fortemente da temperatura e fracamente da pressão para líquidos e gases rarefeitos • Para o ar por exemplo, se P1 = 1 atm e P2 = 50 atm, 2 = 1,11 • Nos líquidos está relacionada com as forças coesivas entre as moléculas, nos gases com o seu movimento aleatório.

(91) Dependência com T.

(92) Fluidos Newtonianos (du /dy) só vale para certos • Observa-se que yx tipos de fluidos, denominados Newtonianos. • Newtonianos : água (líquida e vapor), gasolina, álcool, óleo mineral, ar atmosférico, GN, GLP • Não Newtonianos : petróleo bruto, lama de perfuração, sangue, a maioria dos cosméticos e dos alimentos líquidos.

(93) Fluidos não Newtonianos Obedecem a leis tensão-deformação diferentes. • Plásticos de Bingham: yx 0 (du/dy) (pseudo-fluido) • Exs.: lama de perfuração, suspensão de argila, dentifrício • Dilatantes: yx k(du/dy)n , n 1 • Exs.: suspensão de areia e de amido • Pseudo-plasticos: yx k(du/dy)n , n 1 • Exs.: suspensão de polímeros, coloidais e pasta de papel • A viscosidade aparente, tempo também. k(du /dy)n. 1. , pode depender do.

(94) Visualização.

(95) Exemplo 1.8 f '(x ). h1: fluido newtoniano. lim x. y. du dy h2 : perfil linear de velocidades. u(h ) h. u y Da tab. 1.4, V h. u(0) 0. 0. y x. y. f (x ). y x. V h. tan. y/ x. x. 0, 29 kg/(m.s). 0, 29 3 0, 02. 43 Pa Perfil linear de velocidades u. a. by. u(0). 0. 0. a. u(h ). V. V. a. b 0. a. 0. u. b h. b. V /h. du dy. y h V h. V. Aplicação direta Óleo SAE 30 a 20 ºC entre superfícies sólidas planas, V = 3 m/s, h = 2 cm. Calcule a tensão de atrito.

(96) Problema 2.28 Fox (ampliado) u. a. cy 2. by. h0 : u(h /2). 0. h0 : u( h /2) h1 : u(0). a. 0 umax. a. 0. umax. u. umax. umax 1. bh /2. 2. ch /4. u. bh /2. 2. umax. a. 0. u. a. ch /4. b 0. umax. c 02. 1. 4y 2. umax. h2. 4y 2 h2. 2y h. h0 : condição de não deslizamento h1: simetria do perfil h2 : yx f (A) h3 : fluido newtoniano. 2. y. x. h. Somando: 0 c. 2umax. 4umax / h. Subtraindo: 0 b. 2ch 2 /4. bh 0. 2. Escoamento em canal Água a 15 ºC, umax = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2. Perfil quadrático de velocs. Obtenha as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a força de atrito sobre as superfícies do canal.

(97) Problema 2.28 Fox (ampliado) u. by 2. umax a. h0 : u(h /2). 0. h0 : u( h /2) h1 : u(0). 0 0. u. umax. bh 2 /4. umax a. 2. bh /4. umax a. 0. umax 1 u. umax. 1. 4y 2. h0 : condição de não deslizamento h1: simetria do perfil h2 : yx f (A) h3 : fluido newtoniano. h2 2y h. 2. y. x. a. 1. 0. umax 1. u. 0. umax a. umax. b. Bola de cristal?. bh 2 /4. 4umax /h 2 umax. h. umax. 4y 2 h2. Escoamento em canal Água a 15 ºC, umax = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2. Perfil quadrático de velocs. Obtenha as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a força de atrito sobre as superfícies do canal.

(98) Problema 2.28 Fox u umax. 1. Fsup. dFx. yx. Finf. dAy. F. h2. yx dA. h3 yx. F F Fsup Finf. 2. 2y h. 4 1,14 10. h2 : yx f (A) h3 : fluido newtoniano. yx A. Forças exercidas pelo fluido (p/ direita). A. Fsup. y. n n. 8umax (h / 2) h2 8umax ( h / 2) h2. 1,14 10. 3. kg/(m.s). 0, 0137 N. 0, 0137 N. 8umaxy h2 A. 0, 05 ( 0, 3). 0, 005. du dy du A dy A. 3. h. x. Finf A<0. 4 umax A h 4 umax A h. A >0. Escoamento em canal Água a 15 ºC, umax = 0,05 m/s, h = 5 mm, área de 0,3 m2. Obtenhas as ctes. no perfil de velocidades. Calcule a força de atrito sobre as superfícies do canal.

(99) Problema 2.33 Fox dF dA. yx. F. yx dA. du dy. h2 yx. F. Fsup. h4. yx A. F. A. sup. du dy. u A y. 0 V A (b t ) t. sup. F. 4. 2 1,005 0, 0254 19, 05 10. 3. 10, 45 m/s L. A >0. t. AV b. V 0 0 ( b). 2 wLV b. 33, 36 3, 048 10. Vmax. b. y A<0. A. 2 wL. Vmax h3. Finf. Fmaxb. Vmax. Finf. du A dy. Fsup. Fsup. h1. h1: yx uniforme h2 : fluido newtoniano h3 : perfil linear de veloc. h4 : cond. n-deslizamento. x. b. nsup. Fmax. ninf. AV b Aplicação de tinta. Fmax. Fmax = 33,36 N, b = 0,3048 mm, w = 25,4 mm, L = 19,05 mm,  = 1,005 N.s/m2. Calcule a veloc. máxima de tração.

(100) Problema 2.38 Fox Acil. T. R. T. T T T. r dFat A. RA. h4. dA 0 h2. 0 dv. dr. 2 R2h. 2 R2h v r. dv. Gráfico da fig. A.2:. dr. 3, 8 10. 250 rpm. R 0 2 R2h R (R a ). h5. T. T. h1. R A h3. 0. 2. 2 R 3h a 0, 03813 0,1524 0, 38 26,18 0, 0000254. 1. dFat R. R+a. N.s/m2. 250(2 /60) 1/s 26,18 Htz. T. T. \. T. h1: r da area molhada cte. h2 : yx unif. - sem bordas h 3 : fluido newtoniano h 4 : perfil linear de veloc. h5 : cond. n-deslizamento. h. O torque aplicado ao cilindro interno equilibra o torque de atrito:. R. 20, 74 N.m. Viscosímetro Cilindro interno a 250 rpm, folga preenchida com óleo de rícino a 32 C. R = 3.81 cm, a = 0,0254 mm, h = 152,4 mm. Calcule o torque T necessário.

(101) Problema 2.46 Fox O torque no cone deve equilibrar o torque de atrito, logo r dFat. dFat. dFat. dA h4. h2. ( r. dFat. ( v / z )dA. ( r /r tan ) dA r. dA. 2 rdr / cos. T. h3. cos tan. T. dA. /tan. 2 sin. R 0. 2. dr. z r. ( v / z )dA. 0)/h(r ) dA. T. T.  h. T. . R. tan. /tan. dA. rdA. dr. r (2 r )dr r 2dr. R3 3 sin. h2 : fluido newtoniano h3 : perfil linear de veloc. h4 : cond. n-deslizamento. 2 rdr/cos 2 rdr. Viscosímetro de cone. Calcule o torque.

(102) Problema 2.44 Fox (Ampliadão) F gm. ma para m T. F T. dV A BV. m dV /dt. V. ma para M. Fat. 0. M dV /dt. Eliminando T : gm. Fat. Fat. (M yx dA. m) dV /dt. h1. yx Ab h3. gm. AV b h. (M. (M m) dV gm AV / h b. h2. Ab. m). dt. du Ab dy h u 4 V Ab y h. dt,. dV A BV. 1 ln A B. BV. 1 A BV ln B A. A. BV A. gm. A t 0 V. M. t. Ab h(M m). dt t. 0. m. ;B. t 0. h1: yx f (A) h2 : fluido newtoniano h3 : perfil linear de veloc. h4 : cond. n-deslizamento. eBt. dV dt Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar sem resistência. Calcule V(t) e a(t).

(103) Problema 2.44 Fox A. BV eBt A A Bt e 1 B. V. hmg 1 Ab. V (t ). Veloc. (m/s). Acel. (m/s2). 45. 3,5. 40. 3,0. 35 2,5. 30. exp. Ab h(M m). 25. 2,0. 20. 1,5. 15. t. 1,0. 10. 0,5. 5 0. 0,0 0. dV A BV. (M. gm M. dV dt. mg. a(t ). A. dt. m. ;B. m). A. exp. Ab h(M m). BV Ab. h(M m). a(t ). t. m M h A Visc.. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 10 kg 20 kg 0,001 m 0,01 m2 0,25 Pa.s. Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar sem resistência. Calcule V(t) e a(t).

(104) Problema 2.44 Fox S S0. S. S0. S (t ). S0. gm M. 0. S0. S. A. t. dS. m. ;B. Vdt A Bt e B. 1 dt. A eBt 1 B B. t. t 0. gmh t A. h(M m )exp. t. t 0. 0. Ab t h(M m ). 10. 20. 30. 40. 1. Ab. Ab h(M. A eBt B B. Desloc. (m). 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0. m). Blocos acelerando. Cabo inextensível, polia sem atrito, ar sem resistência. Calcule V(t) e a(t).

(105) Análise Matemática S (t ) V (t ) a(t ). V0 V. a0 a. V (0). lim a. t com A. A Bt e 1 ; B A BV. 1. A e B. t. t. S0. A 0 e B. lim V. a(0). A eBt 1 B B. A. BV0 A. BV. 0 A B. 1. hmg A. m. A. M 0. m. g. gm M. Ab. e B. m. h(M m). A e0 1 B B. S (0). S0. S. lim S. S0. S0. t. t. V. 0. S0. A e 1 B B 1 B Cuidado!. t.

(106) Análise Matemática V. Vn-visc. lim V. Vn-visc. lim. 0. A 0 e 0. A eB( 0 B( ). 0 0. 1 )t. 1. Vn-visc. lim. 0. )t. 1. Vn-visc. lim At eBt. Vn-visc. a0t. At e0. 0. At. Obtenha Sn-visc como exercício. Pela regra de L'Hopital Ad(eB(. A Bt e B. 1)/d. dB /d. Pela regra da cadeia Vn-visc. d(eBt 1) dB 1 lim A 0 dB d dB /d A. gm M. m. ;B. Ab h(M. m).

(107) Conclusão dF dA. du dz. F A. du dA dz. • Calcular os esforços gerados pelo escoamento significa conhecer o campo de velocidades.

(108) Exercícios recomendados •. Exercícios recomendados: 1.38 – 1.61 (4ª edição).

(109) Camada Limite Seção 1.13 Seção 10.6.

(110) Camada Limite Dinâmica U. U. z. U. Esc. livre ou potencial. CLD. d. x f3 10’37” e 11’58’’.

(111) Camada Limite Dinâmica • Região do escoamento em que os efeitos do atrito viscoso não podem ser desprezados • Região em que o gradiente (a variação) de velocidade perpendicular à superfície não pode ser desprezado • Região dinamicamente afetada pela superfície • Região 0  z  (x), em que u(x,) = 0,995 U(x) • Na ausência de gradiente longitudinal de pressão (dp/dx = 0), tem-se d/dx  0 ( du dz ). 0.

(112) Camada Limite Térmica q. T. Esc. livre ou potencial. z. U , T. k dT dz. CLT. t. x. • Região do escoamento em que os efeitos da TRC não podem ser desprezados • Região em que o gradiente de temperaturas perpendicular à superfície não pode ser desprezado • Região termicamente afetada pela superfície, com 0  z  t(x), em que T(x,t ) = 0,995 T(x) • Na ausência de gradiente longitudinal de pressão (dp/dx = 0) tem-se dt /dx  0. 0.

(113) Separação da Camada Limite • Sobre um cilindro a baixas velocidades: – VP = 0, logo PP é máxima – VQ é máxima, logo PQ é mínima – Com pouco atrito, tudo é aprox. simétrico em torno do eixo vertical – Assim, PR > PQ mas, por inércia o escoamento segue. • Aumentando a velocidade: – VP = 0, VQ é máxima – Com muito atrito, a inércia é insuficiente para manter o escoamento e a simetria se quebra – Recirculação e separação. PLT CM.

(114) Camadas Limite • A CL aparece em todo tipo de escoamento, desde que haja rápida variação na propriedade envolvida (velocidade, temperatura, umidade, concentração, etc.) – Escoamentos internos e externos – Corpos rombudos ou carenados – Superfícies estacionárias ou em movimento. • A CL é uma região muito estreita • A CL não é uma linha de corrente.

(115) Regimes Laminar e Turbulento Seção 1.14 Seção 8.4-5.

(116) Primeiras Observações • Por volta de 1880 um dos principais problemas práticos da MFL permanecia em aberto • Em um escoamento com baixa velocidade, a perda de energia por atrito é proporcional à velocidade • Quando a velocidade é aumentada, a perda torna-se aprox. proporcional ao quadrado da velocidade.

(117) Osborne Reynolds (1842-1912) • Reynolds observou diferenças de comportamento no escoamento à medida que a velocidade variava • Observou que a viscosidade e outras propriedades do fluido também interferiam • Em um famoso experimento, Reynolds (1883) mostrou que haviam dois regimes de escoamento: o laminar e o turbulento f3 13’03”.

(118) Primeiras Observações • Reynolds observou que a mudança de regime estava associada a pequenas instabilidades externamente impostas ao escoamento, que se amplificavam até dominá-lo • Em seu experimento, estas instabilidades estavam associadas às irregularidades do material e ao formato da entrada do tubo • O escoamento poderia ser mantido laminar até altas velocidades se as instabilidades fossem minimizadas • Em geral: instabilidades associadas a geometria, vibrações, ruído, irregularidades superficiais, máquinas usadas para impulsionar o fluido, estado inicial do fluido, etc. • Mas, afinal, que parâmetro quantifica se um escoamento é laminar ou turbulento?.

(119) Número de Reynolds Fvisc. Vamos supor que a turbulência possa ser quantificada por uma relação entre as forças axiais e radiais: Re. Re. m dvz /dt zr Az. m dvz /dt rz. dvz. R. 2. f (A). ,. ,. pois. dt. vz dr r dt. dvz. vz. vz. v. dt. t. r. r. vr. Re. rz. vz dt t dt. Ftot. R2. vz / r. vz d dt. vz dz , RC z dt vz. vz z. Re. O. Re. O. L vz. vz / z vz / r. Lvz vz /L vz /R. Em ordem de grandeza, Re. O. m (vz vz / z ) rz. R. 2. ,. f (x, y, z ). Por unidade de volume, com. zr. vz. O. m vz vz / z. pois vz. vr e v. Re. Neste experimento, 2000 < Re < 4000. O. vz D 2. vz D. r z.

(120) Flutuações na velocidade 10 Escoamento permanente. u (m/s) 8. 6. 4. 2. 0 0. 100. 200. 8 u (m/s) 300. 400. t(s) 500. Escoamento transiente. 6. 4. 2. 0 0. 100. 200. 300. 400. t (s) 500.

(121) Decomposição de Reynolds No esc. permanente: (x, t ). (x). '(x, t ). No esc. transiente: (x, t ) sendo a flutuação de. (x, t ). lenta e a de. Tem que existir um 'gap'.. u v w p T. u u' v v' w w' p p' T T'. 1 T dt, 0 T com o menor valor de T que faça a média ficar estável. '(x, t ), ' rápida..

(122) Transição • O movimento fluido muito frequentemente contém pequenas instabilidades • As instabilidades incipientes podem ser suprimidas se a dissipação viscosa de energia for suficientemente alta • Caso contrário elas se amplificarão até irromper em turbulência • A maioria dos fluidos possui baixa viscosidade, logo a maioria dos escoamento é turbulento.

(123) Transição • A transição pode ocorrer de dois modos • Modo intermitente – Com Re suficientemente grande, bolhas de turbulência aparecem, se desenvolvem e finalmente se reúnem, tornando o escoamento turbulento (ex.: tubos e CL’s) – Há uma região de transição: a turbulência é intermitente, aparecendo entremeada com o escoamento laminar. • Modo abrupto – Um certo limite de Re é atingido e o caos desenvolve-se uniformemente em todo o escoamento (ex.: a cortina de água, o viscosímetro) – Em geral, configurações laminares complexas ocorrem antes que o caos domine (ex.: o viscosímetro e a convecção natural).

(124) Conclusões preliminares • O escoamento pode ocorrer em 3 regimes – Laminar – Transição – Turbulento. • O número de Reynolds quantifica o regime. Para tubos: – – – –. Escoamento sempre laminar: Re < 2000 Escoamento sempre turbulento: Re > 4000 Presença dos 3 regimes: 2000 < Re < 4000 No último caso, a distância percorrida pelo fluido também é um fator r z.

(125) Conclusões preliminares • Escoamentos turbulentos (laminares) apresentam – Maior (menor) número de Reynolds – Maior (menor) dissipação de energia por atrito – Maior (menor) mistura de quantidades. • Tanto na natureza quanto na tecnologia, escoamentos laminares são a exceção.

(126) CL sobre placa plana. Re. 1. 105. Re. 3. 106. Re. U x. A média mais aceita é Re = 5x105. f3 13’53” f3 17’09’’.

(127) CL turbulenta.

(128) CL em jato livre A free jet into quiescent fluid. The horizontal length of the field of view is about 15 cm.. False-color image of the far-field of a submerged turbulent jet, made visible by laser induced fluorescence (LIF).. f3 17’31”.

(129) Separação X Turbulência. Na CL a parte não separada pode ser laminar ou turbulenta, mas a parte separada é sempre turbulenta.

(130) Cinco principais características 1 Aleatoriedade • A velocidade varia aleatoriamente no tempo e no espaço e dois experimentos sucessivos não apresentam as mesmas características locais • O escoamento é deterministicamente imprevisível: pequenas mudanças no estado inicial do sistema produzem variações imprevisíveis no escoamento subsequente • Entretanto, médias temporais das propriedades comportam-se de maneira previsível. t = t1 t = t2. u médio.

(131) Cinco principais características 2 Tridimensionalidade e transitoriedade • O escoamento instantâneo é sempre 3-D, 3-d e transiente mesmo que o escoamento médio não seja • O escoamento é sempre rotacional, devido aos turbilhões V V(x, y, z, t ). V(x, y, z, t ). V '(x, y, z, t ). V. V(x, y, z ) ou V(x, y) ou V(x ) ou cte. mas V '. V. (u, v , w) ou (u , v , 0) ou (u , 0, 0) mas V '. V '(x, y, z, t ). (u ', v ', w '). 0.

(132) Cinco principais características 3 Elevada capacidade de mistura • Os turbilhões característicos da turbulência aumentam em uma ou mais ordens de grandeza a capacidade de mistura do processo de difusão molecular característico do escoamento laminar • Porém, a difusividade turbulenta é uma propriedade do escoamento e não do fluido • Grande importância prática em processos de mistura, sistemas de injeção de combustível, etc..

(133) Cinco principais características 4 Dissipação de energia •. A energia cinética é continuamente “dissipada” nos menores turbilhões, sob a forma de calor ou energia interna, através do atrito viscoso • Por isso turbulência tem que ser continuamente alimentada pelo escoamento médio, caso contrário ela decai.

(134) Cinco principais características 5 Multiplicidade de escalas • Os turbilhões ocorrem numa ampla gama de escalas de comprimento • A transferência de energia do escoamento médio para o turbulento ocorre nas grandes escalas; a dissipação de energia nas pequenas • Há uma transferência contínua de energia dos turbilhões grandes para os pequenos formando uma cascata de energia.

(135) A Primeira Verificação • Inclui questões teóricas • A correção considera as hipóteses • Não é permitido o uso de calculadora; os problemas são literais. Não a traga para a prova.

(136) Verificações • Hipóteses – Enuncie e mostre onde foram aplicadas – A correção não é feita apenas pelo resultado. • Dou as fórmulas, mas: – Não explico o significado dos símbolos – Não dou fórmulas de UC’s anteriores (F = m dV/dt, dM = Fdr, P = FV), áreas, integrais, derivadas, etc. – Não dou fórmulas para as definições básicas como , d, e. – Não dou as constantes mais comuns: agua, g, Patm, etc. – Quando for permitido usar material de consulta, não dou explicações de uso.

(137) Dicas para Provas Literais • Atenção com o que é dado e com o que é incógnita • Não invente símbolos, use os que o problema informa. Se precisar criar algum, defina-o • Numere as equações e cite-as pelo numero se necessário • Se as expressões matemáticas começarem a ficar muito grandes, separe-as em pedaços. Sd . W g. . Vd. 0. 1. VdV  AV 2  BV  C  , em que:.   A  a  C Atot  Crr CS  Ap  2  B  b, C  c  C W rr   CS2 C Atot  C Ap  C A   e0 RA  Vd  1, 2Vestol  1, 2 2W / (CS ,max  Ap ) .

(138) Verificações • As variáveis da disciplina – Nas provas costumam ser referenciadas pelo nome em vez do símbolo – É preciso saber a diferença entre  e d,  e , etc.. • Conversão de unidades – Forneço fatores de transformação do Sistema Imperial – Não forneço para o SI, seja CGS, MKS ou técnico. • Correção: questão (ou parte) sem memória de cálculo é considerada errada..

(139) Estática dos fluidos Capítulo 2.

(140) Definição e aplicações Seção 2.1.

(141) Definições • Estática dos fluidos é o estudo dos fluidos em repouso • Pressão é a força normal por unidade de área exercida por um fluido: p dFn /dA • Pressão manométrica: pman. pabs. patm. • Como um fluido não suporta tensões tangenciais sem se movimentar: 0 0 xx T. 0. yy. 0. 0. 0. zz. • Entretanto, a pressão é um escalar. [ p ] = N/m2 = Pa = bar = atm = kgf/cm2.

(142) Aplicações • Projeto de prensas, elevadores, atuadores hidráulicos e manômetros • Cálculo dos esforços sobre corpos e superfícies submersas • Flutuação e estabilidade de corpos imersos • Distribuição de pressão no oceano e na atmosfera.

(143) Visão geral • Provar que a pressão é um escalar • Obter fórmulas para o cálculo de pressões p p. p0 p0e. gh, z /H. , p. p0. T0. z. T0. z0. g /Rg. • Calcular os esforços sobre superfícies submersas F. pC A. I x sin. ycp. pC A. • Calcular o empuxo E. Vi. f. ; xcp. I xy sin pC A.

(144) Distribuição de pressões em um fluido em repouso Seção 2.2.

(145) Pressão vetorial? xx. 0. 0. 0. yy. 0. 0. 0. zz.  Fx  Fz. 0 0. T. p. dF dA dW d.  Fx  Fz. F. A. W. p dA A. pA. d.  0  pxbz  pnbs sin .  0  pzb x  pnb s cos   . z  s sin  , x  s cos .  px  pn   z p  p    z n 2. x z b 2.  px  pn    px  pn lim    z pz  pn z  0 p  p      z n x  0  2. pn  px  pz Generalizando para 3D: pn  px  py  pz.

(146) Pressão escalar • Logo, a pressão num fluido independe da direção, ou seja, é um escalar • O tensor tensão estático: Test. p. 0. 0. 0. yy. 0. 0. 0. 0. zz. 0. xx. 0 p 0. 0 0. p. p. 1 3. • Para fluidos em movimento define-se, consistentemente p. 1 3. xx. yy. zz. xx. yy. zz. .

(147) Equação de governo geral dF. 0. dFx. 0. pdydz. p. dFx. 0. pdydz. p. dFy. 0. pdxdz. p. dFz. 0. pdxdy. p. dF. dF dv. dF dv. dpx dydz. p dx dydz x p dy dxdz y. p dz dxdy z. p i x. p j y. p z. p i x. p j y. p z. f. gk. p. p. g. p dxdydz x p dydxdz y. p z. gdxdydz. g k dxdydz. Expansão em ST ou RC. g dzdxdy. 0 z. g k. x. 0 dy. 0 dz. y. i. y. j. z. k.

(148) Equação de governo geral Generalizando, p p gx , x y. g. p. gy e. Com o eixo z vertical p p p 0 e x y z. dp dz. g. Como modelar?. p z. gz. p g. dp dz. p(z ) g.

(149) Fluidos incompressíveis Seção 2.3.

(150) Equação de governo dp dz p p0. g z. dp. gdz. z0. p. p0. g(z. p. p0. g(z 0. p. p0. gh. p. p0. gh. z0 ) z). p0. h. Caso p0 pman. patm usamos p. pman. patm e. h.

(151) Gases ideais Seção 2.4.

(152) Gás Ideal Isotérmico dp dz. g com. dp p. p. gdz RgT0. p dp p0. p RgT0. ln p p ln p0. Tomando z 0. g dz z0 R T g 0 z. p. p0 exp. ln p0 g (z 0 RgT0. g (z RgT0 z). 0 e com. 287, 05 J/kg.K e. T0. 15 º C. com H. z). RgT0. Rg. p z0 ). g(z 0. 288,15 K. p0e. z /H. 8, 4341 km. Na atmosfera, a aproximação isotérmica apresenta erro < 2% até 3.750 m. Por outro lado, a aproximação incompressível atinge 2% de erro a 1.750 m e 12% a 3.750 m..

(153) Atmosfera Padrão dp dz e T. g com T0. 15 C,. dp p. p ln p0. p0. o. 6, 5 C/km. gdz Rg (T0 p. ln. z,. o. T0. ln p. p RgT. z). g ln T0 Rg. T0 g ln Rg T0. z. z z0. z z0. p p0 p. ln. p0. g /Rg. T0. z. T0. z0. T0. z. T0. z0. g /Rg.

(154) Atmosfera Padrão Tomando z 0. T p. T0 p0. 288,15 K, p0. 6, 5 oC/km. 101.325 Pa,. z T0. z. g /Rg. T p0 T0. T0. p RgT. a. 0 : T0. kRgT. p0. T RgT T0. g /Rg. g /Rg. p0. T RgT0 T0. g com Rg g /Rg. 5,256. 1 0. T0. z T0. g /Rg. 1.

(155) Atmosfera padrão.

(156) Manômetros Seção 2.5.

(157) Barômetro de Torricelli Pressão atmosférica global média ao nível médio do mar Patm 101325 Pa 1013,25 mb. p. pv. gh.

(158) Manômetros laboratoriais.

(159) Manômetros de Bourdon.

(160) Problema 3.13 (White) p. p0. h. p1 p2esq p2esq p2dir. ad1. p2dir p3 Hgd2 ______________. p1. patm. p1man Mas p1man. p1man p1man. Hg. Hg. d2. d2. g. ad1. ad1. d a g, logo. dHg a gd2 a g(dHgd2. 46, 346 kPa. a gd1. d1 ).

(161) Esforços sobre superfícies submersas Seção 2.6.

(162) Colocação do problema p. p0. hC. h(y ). dF. F. x. cp. C. y. dA.

(163) Módulo da força resultante p. dF dA. F. p0A. F. F. A. sin. p0A p0A. sin hC A. (p0. hC )A. F F (x, y, z ). pdA. (p0. dA. A. C. A. A. pC A. h )dA. p0A. hdA. Centróide de área: yC A p. p0. hC. h(y ). dF. F. superf. x. Em um lado da placa. cp. O centroide não é o ponto de aplicação!. A. C. y. dA. A. y dA.

(164) Lembrando centróides Observe que C está sobre qualquer linha de simetria Mas mediana não é bissetriz!. x. x.

(165) Ponto de aplicação em y Mx. dM x. ycpF. y 2 dA. sin. A. ycpF. y dF. A. yp dA. A. Momento de inércia de área:. (eixo x passando por C). A. ycpF. y(p0. h )dA. I xx. A. ycpF. p0. y dA. yh dA. A. ycpF. 0. y(. sin. C. y )dA. p. p0. A. ycpF. sin. hC. A. ycpF. sin. C. y 2 dA. y dA. C. pC A. y dA. sin A. ycpF. I xx sin. ycp. A. p0yC A. A. y 2dA. h(y ). dF. F. A. y 2 dA. 0 A. x. cp. C. y. dA. y. C.

(166) Ponto de aplicação em x My. xcpF. dM y. A. A. xcpF. x dF. xp dA. A. Produto de inércia de área (eixo y passando por C). A. xcpF. x (p0. h )dA. I xy. A. xcpF. p0. x dA. xh dA. A. xcpF. p0xC A 0. x(. C. p. sin. A. xcpF. sin. C. pC A. y )dA hC. x dA. C. I xy sin. p0. A. xcpF. xydA. x dA. sin. sin. A. xcp. A. A. xcpF. xy dA. sin. xy dA. h(y ). dF. F. A. xy dA. 0 A. x. cp. C. y. dA. C. y.

(167) Momentos e Produtos pelo C I xx sin. ycp. pC A. I xy sin. xcp. pC A Mas. I xy. A. xydA. 0. se houver simetria em torno de x ou y. Logo, o CP está sobre os eixos de simetria existentes. Mediana  bissetriz..

(168) Momentos e Produtos.

(169) Centroide de Áreas Compostas yC A. yC A yC A. A. y dA. A1. y dA. yC 1A1. yC. A2. y dA. yC 2A2. 1 A. An. yC 6A6. xC. yCn An. A1 A2. A6 A3. n. yCi Ai. A4 A5. i 1. Em que Ai 0 para as áreas e Ai 0 para os furos 1 A. y dA. Furo. y. n. xCi Ai i 1. x.

(170) Centroide de Áreas Compostas. A<0 A>0.

(171) Mom. Inércia de Áreas Compostas I xx. A. I xx. y 2 dA. A1. I xx. y 2 dA. I xx ,1. A2. y 2 dA. I xx ,2. An. I xx ,6. y 2 dA. I xx ,n. A1 A2. A6 A3. n. I xx. I xx ,i i 1. n. I yy. I xx ,i ,. I. A5. n. I xy. i 1. Em que I. A4. I xy,i i 1. y. 0 para as áreas e. 0 para os furos. x.

(172) Exemplo 3.5 (F&Mc) F. pC A. (p0. hC )A. L sin 2 (D 0.5L sin ) A. hC. D. F. p0. F. 1, 013 105. 9, 8 1.025(2. F. 2, 0265 106. 6, 0270 105. F. 2, 6292 106 N. FR. F. FR. 2, 0265 106. FR. 6, 0270 105 N. 0, 5 4 sin 30) 5 4. Um lado. p0A 6, 0270 105. 2, 0265 106. Dois lados, óbvio. Comporta retangular articulada em A com largura 5 m, submersa em água do mar e sob atmosfera. Calcule F e seu pto. de aplicação. Calcule também FR.

(173) Exemplo 3.5 (F&Mc) ycp. I x sin pC A. ycp. bL3 sin 12pC A. ycp ycp1. ycp ycp 2. Ix. 1 3 bL 12. 1.025 9, 8 5 43 sin 30 12 2, 6292 106 0, 051 m 1.025 9, 8 5 43 sin 30 12 6, 0270 105 0,222 m. xcp. I xy sin. I xy. pC A 0, pq x é eixo de simetria. xcp. 0m.

(174) Exemplo 2.6 (P&W) F. pC A. (p0. hC )A. h. C. hC. yC sin. D. hC. D. hC. D. 2h / 3 sin. 5. 2 3 sin 530 3. y sin. cp. ycp xcp. h / 3 sin. b/2. hC F. h. h. pman. [0 F. 7 sin 53. 9810 7 sin 530 ]. 2 3 2. =D. 0. b=. 164,527 kN Comporta triangular articulada na base. Calcule a resultante F e a força necessária P. Despreze o peso da comporta (sério?).. =h. h/3.

(175) Exemplo 2.6 (P&W) I xx sin. ycp. pC A 9810 (2 33 / 36) sin 530 164.527 0.071 m. ycp ycp. cp. b/2 h. |ycp | xcp. b/2. =D. 1 3. 0, 024 m. M0 3P. 0. Ph. 164,527(1 P. F (h /3 |ycp |) 0, 071). 50,949 kN. ycp xcp. Sabemos que C e cp mediana. Por semelhança de triângulos: |xcp |. h. C. b=. =h. b/2. h/3.

(176) Exemplo V2 2011.1 F. pC A. (p0. D. y cos. hC. D. (h /(3 cos ))cos. hC. 3. 2/3. A A. FR. pman. [0. W. (H /3)cos D. 11 / 3. sec 400. CP P. h/3. 0, 83 9.810(11/3)]sec 400. FR. H. FR. C. h. hC. 1 1 bH bh /cos 2 2 0,5 1 2 / cos 400. H/3. . hC )A. D. A. Reservatório de óleo (d = 0,83) fechado por comporta (triangulo isósceles, peso 1500 N) articulada em A. Qual a mínima força horizontal P para manter a comporta fechada?. =D. 38, 973 kN =h.

(177) Exemplo V2 2011.1 I xx sin( /2. ycp. ). bH 3 cos 36hC A. hC A. 1 (2/cos 400 )3 cos 400. ycp. 36(11 / 3)sec 400. A H/3. 0, 0791 m. . H. FR. C. h. MA. W. 0. Ph. W y sin. FR y. Ph. h W sin 3 cos. 2P. 1, 5 (2/3) tan 40º. P. |ycp |. h FR 3 cos. 38, 973 2/(3 cos 40º) P. CP. 18, 080 kN. |ycp |. y. =D. 0, 0791 =h. H /3. h /3 cos.

(178) Superfícies curvas F Mas Fx Fy Fz. Fx. A. p dA. F iFx F i F j F k. i. A A. Fx. A. jFy. kFz e. Área projetada. p dA. p i dA. Fs. A. pdAs ,. s. x, y, z. pdAx. Área projetada. Como aplicar aos cálculos?.

(179) Superfícies curvas Sobre a cunha fluida: F. 0. Sobre a coluna fluida: M. FH FV. 0. F1 W1. FH. FV. Ay F0. pC Ax. Vcol. f. P0Ay. F1'. y W2. F0. Ax. W1. CG. F1. W2 xcp. FV. FH colinear F1 FV equilibra momento com W1,W2 e F0. F. ycp. cp de Ax. xcp em. My. 0. FH '. FH. ycp. x.

(180) Exemplo 2.7. Represa, com x0 = 3 m, y0 = 7,2 m, w = 15 m. Obtenha F e cp. x0. FH FH. FV. y. FH. cp. y. y0. y0 x / x 0. 2. x. FH. 0, 5 9.802 7,22. FV. 2/ 3 9.802 7,2 3 15 : FV. 15 : FH. hC )y0w y0 )y 0w 2. pman. (0. FV. p0Ay. FV. 0. FV. FH. pC Ax (p0. W. 3, 81 MN. 2,12 MN. V. W W. V 2x 0y0. W W. 3. w. W. Acunhaw.

(181) Exemplo 2.7 y. x0. x. ycp. 0,0 cp. ycp. FV FH. ycp0,0. cp. y0 y. y0 x / x 0. 2. x. xcp xcp. CG da cunha 3x 0 / 8. xcp0,0. 3 3/8. 1,125 m. ycp. cp de Ax. I x sin pC A wy 03 sin 90 12 y 0 / 2 y 0w. ycp. y0 / 6. ycp. 7,2/ 6. C ycp. 1,2 m (abaixo de C do Ax ). ycp0,0. 2, 4 m. Represa, com x0 = 3 m, y0 = 7,2 m, w = 15 m. Obtenha F e cp.

(182) x0. F. y. FH. Linha de ação e cpsup arc tan(FV / FH ). FV. 290. cp. y0. cpsup. cpsup : solução de y ycp. y 0 (x /x 0 )2 y. (FV / FH )(x. xcp ). x (xcp , ycp )sup. F. FH2. FV2. F. (3, 81)2. F. 4, 36 MN. (2,12)2. (1, 629; 2,121) m.

(183) Exemplo 3.7 (F&Mc) Largura, b = 5 m e a=4m Peso desprezível... Determine Fa. MO : Fa l. Articulação. Fa. FH (ycp0,0 l ). FH ycp. FV xcp. FV (xcp0,0 l ).

(184) Exemplo 3.7 (F&Mc) FH. pC Ax. FH. man 0. 0. (p. FH. 0, 5 bD. FV FV De x. 2 5. FH. FV. D/2)(bD). 3, 920 10 N. p2Ay. 0. man 0. (p. ycp. cp de Ax. ycp. D /6. ycp. 0, 67 m ( C de Ax ) ycp0,0. VW D)(bxa ). (2Dxa /3)b. (i). bDxa / 3 y 2 / a segue-se D2 / a. xa. bD 3 / 3a. FV. FV. (ii). 2, 613 105 N xa. 1, 33 m.

(185) Exemplo 3.7 (F&Mc) xcp0,0 obtido por. MO. MO : FV xcp0,0. 2Dxa. bD 3 0,0 xcp 3a 0,0 cp. x D. 3. 2. xa2 3a 2 xC 3xa / 5 xcp0,0D 2 3a xcp0,0 3. W xC. D4 2a 2 D2 2a. b xC. 2xa xC 3 3D 2 / 5a. x. F2 xa /2 D(bxa ) 2. xa. 3D 2 10a. xcp0,0. 1,20 m. Fa. FH (ycp0,0 l ). FV (xcp0,0 l ). Fa. [3, 920(1, 33 5) 2, 613(1,2 5)]105. W FV xa. (2Dxa /3)b (i ) bD 3 / 3a D2 / a. 2D 4 5a 2 2D 2 5a. 0,0 cp. D2 10a xa. (ii ). Fa. 1, 67 105 N.

(186) Regra do Fluido Faltante FV. F2. FV. p2Ay. x0. FW. FV. f. FV. f. FV. f. Vc. y0 x 0b. V Vff. FV. f. Vc. f. Vc. f. FH f. (V. Vc ). FW. y0. Wff F2. Regra: a força vertical agindo sobre uma barragem “invertida” é igual ao peso do fluido faltante Fluido faltante (Pellê, 2013): trace planos paralelos aos eixos coordenados nos limites da região molhada, nas coordenadas apropriadas. O fluido faltante é a diferença entre a região assim definida e o fluido..

(187) Outros Exemplos.

(188) Comportas Circulares Como todas as forças elementares apontam para O, a reta de suporte da força resultante também passa por O.

(189) Flutuação e estabilidade Seção 2.7.

(190) Força de flutuação Flutuação é a resultante das forças atuando sobre um corpo parcial ou totalmente submerso. Considere um corpo qualquer submerso e o volume ocupado por ele. Como a pressão só depende da posição, as forças externas sobre o corpo e sobre o volume (de fluido) são idênticas. Como o volume esta em equilíbrio estático, FB W V para cima f c. Como o peso é vertical,. FB. Vc k. f. Como o volume esta em equilíbrio rotacional, FB atua no C do volume: xCV. V. xdV ;. yCV. V. ydV ;. zCV. V. zdV. Peso do fluido deslocado.

(191) Corpos em flutuação Se. FB. W : corpo flutua. FB. W : corpo afunda. FB. W : equilíbrio. Se flutua: FB W f. dc. Vc. f. V. c c. 1,. densidade relativa ao fluido. Se. 1 : corpo flutua. dc. 1 : corpo afunda. dc. 1 : equilíbrio. V. V. gas em. Como FB. c. dc. FB. liq sub. liq. geralmente,. gas. Vsub. liq. Em equilíbrio W V. c c. Vsub /Vc. FB. Vsub. liq. c. /. liq. % Vsub. Para densidade relativa ao fluido Vsub /Vc dc.

(192) Fluidos em Movimento de Corpo Rígido • Leitura recomendada: item 3-7 de Çengel e Cimbala.

(193) Exercícios recomendados • Comportas planas: 2.48 – 2.81 (White 4ª edição) • Comportas curvas: 2.82 – 2.100 (White 4ª edição).

(194) A Segunda Verificação • Tabelas de centroides e momentos de inércia fornecidas junto com a prova. Devolver • Máxima calculadora permitida: Casio fx-991ES PLUS • Calculadoras gráficas como HP 50G ou TI Inspire CX não são permitidas. • Erros mais comuns: – Cálculo de somatório de momentos; – Confundir profundidade do centroide com outras profundidades – Confundir centroide da área curva projetada com centroide da área da cunha.

(195) Equações Integrais de Governo Capítulo 3.

(196) Vista geral • Obter uma expressão para a lei da conservação da massa no VC d 0    d    V  dA SC dt VC. • Definir vazões e velocidade média Qm  m    V  dA A. QV     V  dA A. V. 1 V  dA  A A. • Obter uma expressão para a lei da variação da quantidade de movimento no VC Fc  Fs . d  V d   V V  dA  VC SC dt.

(197) Sistema e Volume de Controle Seção 3.1.

(198) Sistemas • Sistema é uma quantidade de matéria ou região do espaço escolhida para estudo e pode ser fixo ou móvel – Sistema fechado: massa escolhida (massa de controle) – Sistema aberto: região escolhida (volume de controle). • O restante do universo é denominado vizinhança • A superfície que separa o sistema da vizinhança é denominado fronteira e pode ser deformável ou indeformável.

(199) Sistemas fechados e abertos • Sistema fechado – – – –. Massa escolhida Volume variável Permeável à energia Impermeável à massa. • Sistema aberto (ou volume de controle) – – – –. Região escolhida para análise Massa variável Permeável à energia e à massa Fronteira = Sup. de controle.

(200) Sistema e VC.

(201)