O problema do volume

(1)

Fun¸c˜

oes de V´

arias Vari´

aveis

FVV BC 0407

01/04/2016

FVV BC 0407 Fun¸cões de Várias Variáveis 01/04/2016 1 / 1

Integrais M´

ultiplas-Parte I

Oitava Aula

O problema da ´

area

FUV

f : [a,b]_→R fun¸c˜ao cont´ınua

f(x,y)_≥0 em [a,b] Ent˜ao

Z b

a

f(x)dx

é a área da região _Ado plano compreendida entre

◮ o eixox

◮ o gr´afico da fun¸c˜ao f ◮ as retas x=aex =b

O problema do volume

f :_{R ⊂}R2 →R fun¸c˜ao cont´ınua, onde

R= [a,b]_×[c,d] ´e um retˆangulo

f(x,y)_≥0 em_R(então, o gráfico de f é uma superf´ıcie, situada acima do retângulo _R.)

Consideremos o s´olido W determinado

◮ pelo gr´afico def ◮ pelo retˆanguloR

◮ pelos planosx=aex =b ◮ pelos planosy=c ey =d

(2)

Fun¸c˜

ao limitada

Dizemos quez =f(x,y) é umafun¸cão limitada no retângulo_{R ⊂}R2

se, existe uma constante real positivaM tal que

|f(x,y)_{| ≤}M, qualquer que seja (x,y)_{∈ R}

Observa¸cão: Toda fun¸cão cont´ınua em _Ré limitada.

Integral dupla sobre um retˆ

angulo

z =f(x,y) fun¸c˜ao limitada em_R= [a,b]_×[c,d] Parti¸c˜ao de [a,b]: _P1={x0,x1,· · · ,xn}, onde

a=x0 <x1 <· · ·<xn =b e xj+1−xj =

b₋a n

Parti¸c˜ao de [c,d]: _P2 ={y0,y1,· · · ,yn}, onde

c =y0 <y1 <· · ·<tn =d e yj+1−yj =

d ₋c n

Então_P1× P2 é uma parti¸cão de n2 subretângulos do retângulo R

Ovolume do paralelep´ıpedo de base ∆x _·∆y e alturaf(cjk) ´e

f(cjk)∆x·∆y

Formemos a soma

Sn = n−1

X

j=0 n−1

X

k=0

f(cjk) ∆x ·∆y

!

=

n−1

X

j,k=0

f(cjk) ∆x·∆y

| {z }

∆A

=

n−1

X

j,k=0

f(cjk) ∆A

Uma soma deste tipo ´e chamadaSoma de Riemann def sobre _R.

Observemos que o valor deS depende da escolha dec .

Defini¸c˜ao

Dizemos que uma fun¸c˜aoz =f(x,y) limitada em _R= [a,b]_×[c,d] ´e

integr´avel sobre_Rse

s = lim

n→+∞

n−1

X

j,k=0

f(cjk) ∆A existe

e este limite independe da escolha dos pontoscjk. Escrevemos

s =

Z Z

R

f(x,y)dx dy.

e chamamos deintegral dupladef sobre_R.

(3)

Assim, quando f(x,y)_≥0, a integral dupla

Z Z

R

f(x,y)dx dy =

Z Z

R

f(x,y)dA

nos dá o volume do sólido W (delimitado superiormente pelo gráfico def, inferiormente pelo retângulo _Re lateralmente pelos planos x =a, x =b,

y =c, y =d).

Propriedades da Integral Dupla

1. Linearidade: f,g fun¸c˜oes integr´aveis sobre_R

a eb constantes

Ent˜ao

◮ af +bg ´e integr´avel sobreR ◮

Z Z

R

(a f +b g)dx dy =a

Z Z

R

f(x,y)dx dy+b

Z Z

R

g(x,y)dx dy 2. Monotonicidade: f,g fun¸c˜oes integr´aveis sobre_R

f(x,y)_≥g(x,y); para todo (x,y)_{∈ R} Ent˜ao

◮

Z Z

R

f(x,y)dx dy ≥

Z Z

R

g(x,y)dx,dy

3. Aditividade: O retângulo_Ré subdividido em 2 retângulos_R1 e R2

f integr´avel sobre_R1 e sobreR2

Ent˜ao

◮ f ´e integr´avel sobreR ◮

Z Z

R

f(x,y)dx dy=

Z Z

R₁

f(x,y)dx dy+

Z Z

R₂

f(x,y)dx dy

Integrais Iteradas

O Teorema a seguir nos dá um método prático para calcular algumas integrais duplas, através de duas integra¸cões sucessivas de fun¸cões de uma variável:

Teorema de Fubini

Seja z =f(x,y) uma fun¸c˜ao cont´ınua em_R= [a,b]_×[c,d]. Ent˜ao

Z Z

R

f dx dy =

Z b

a

Z d

c

f(x,y)dy

dx =

Z d

c

Z b

a

f(x,y)dx

dy

As integrais acima usualmente s˜ao chamadasintegrais iteradaspois temos

(4)

Exemplo 1

Seja _R= [₋1,1]_×[0,π₂]. Calcule

Z Z

R

(x sen y ₋y ex)dx dy.

Solu¸c˜ao: Como f(x,y) =x sen y₋y ex _{´e cont´ınua em} _R_{, pelo}

Teorema de Fubini temos que

Z Z

R

(x sen y ₋y ex)dx dy =

Z π 2

0

Z 1

−1

(x sen y₋y ex)dx

dy

= π

2

8

1

e −e

Observa¸c˜ao: Por Fubini tamb´em temos

Z Z

R

(x sen y₋y ex)dx dy =

Z 1

−1

"Z π 2

0

(x sen y₋y ex)dy #

dx

= π

2

8

1

e −e

Exemplo 2

Determine o volume do s´olido W que ´e determinado

◮ pelo parabol´oide el´ıpticoz = 16−x2−2y2

◮ pelos planosx= 2,y = 2 e os trˆes planos coordenados.

Solu¸c˜ao: Como z = 16₋x2₋2y2_≥0 em _R= [0,2]_×[0,2], ent˜ao

Volume deW =

Z Z

R

f(x,y)dA

=

Z 2

0

Z 2

0

(16₋x2₋2y2)dx dy

= 48

Integral dupla sobre regi˜

oes mais gerais

Seja D_⊂R2 uma regi˜ao fechada e limitada. Logo,D pode ser

cercada por uma regi˜ao retangular _R.

Definamos uma nova fun¸c˜ao ˜f como dom´ınio_R por

˜

f =

(

f(x,y) se(x,y)_∈D

0 se(x,y)_{∈ R −}D

Observemos que

◮ f˜´e cont´ınua, exceto, possivelmente, na fronteira deD ◮ f˜´e limitada

◮ f˜´e integr´avel sobreR Definimos

Z Z

D

f(x,y)dA

| {z }

independe da escolha de_R

=

Z Z

R

˜

(5)

Regi˜

ao Tipo I

ϕ1, ϕ2: [a,b]→Rcont´ınuas ϕ1 ≤ϕ2

D =_{(x,y)_∈R2 : a_≤x _≤b eϕ1(x)≤y ≤ϕ2(x)}

↑

Regi˜ao Tipo I

Observe que D´e uma regi˜ao fechada e limitada.

Regi˜

ao Tipo II

φ1, φ2 : [c,d]_→Rcont´ınuas

φ1≤φ2

D=_{(x,y)_∈R2 : c _≤y _≤d e φ1(y)≤x ≤φ2(y)}

↑

Regi˜ao Tipo II

Observe que D ´e uma regi˜ao fechada e limitada.

Teorema

D_⊂R2 regi˜ao fechada e limitada

f :D_⊂_R2 _→_Rfun¸c˜ao cont´ınua

(i) SeD é uma região Tipo I, então

Z Z

D

f(x,y)dA=

Z b

a

Z ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x,y)dy dx

(ii) SeD é uma região Tipo II, então

Z Z

D

f(x,y)dA=

Z d

c

Z φ2(y)

φ1(y)

f(x,y)dx dy

Observa¸c˜

ao:

Seja D uma regi˜ao Tipo I ef(x,y) = 1 para todo (x,y)_∈D. Ent˜ao

Z Z

D

1dx dy =

Z b

a

Z ϕ2(x)

ϕ1(x)

dy dx

=

Z b

a

[y]ϕ2(x) ϕ1(x) dx

=

Z b

a

(6)

Exemplo 1

Calcule _{Z Z}

D

(x+y)dx dy,

onde D é o triângulo de vértices (₋1,0),(0,1) e (1,0).

Solu¸c˜ao: Observemos que para 0_≤y _≤1 temos que

φ1(y)

| {z }

y−1

≤x _≤φ2(y)

| {z }

1−y .

EntãoD=_{(x,y)_∈R2 : 0_≤y _≤1 e (y ₋1)_≤x _≤(1₋y)_}é uma região do Tipo II. Logo

Z Z

D

(x+y)dA=

Z 1

0

Z φ1(y)

φ2(y)

(x+y)dx dy = 1 3.

Observa¸c˜

ao:

A regi˜aoD pode ser dividida em:

D1 ={(x,y)∈R2 : −1≤x ≤0 e 0≤y ≤x+ 1} regi˜ao tipo I

D2 ={(x,y)∈R2 : 0≤x ≤1 e 0≤y ≤1−x} regi˜ao tipo I

tais queD =D1∪D2. Ent˜ao

Z Z

D

(x+y)dA =

Z Z

D1

(x +y)dA+

Z Z

D2

(x+y)dA

=

Z 0

−1

Z x+1

0

(x +y)dy dx +

Z 1

0

Z 1−x

0

(x+y)dy dx

=1₃

Exemplo 2

Encontre o volume do s´olido limitado pelos cilindros

(

x2+y2=a2 x2+z2 =a2

Figura: S´olidoW

Solu¸c˜

ao

O volume do sólido pedido é 8 vezes o volume do sólido W (ver figura)

Base do s´olido: (Regi˜ao Tipo I)

D=_{(x,y) : 0_≤x _≤a e 0_≤y _≤√a2₋_x2_}

Para cada (x,y)_∈D, a altura do s´olidoW ´e dada por

z =f(x,y) =√a2₋_x2

Ent˜ao

Z Z

D

p

a2₋_x2_{dx dy} ₌

Z a

0

Z √a2₋_x2

0

p

a2₋_x2_{dy dx}

=

Z a

0

(a2₋x2) ˙d x = 2a

3