Edição 26, volume 1, artigo nº 10, Julho/Setembro 2013
D.O.I: 10.6020/1679-9844/2610
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MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA
DE ENSINO NA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO - UMA
APLICAÇÃO PRÁTICA
MATHEMATICAL MODELING
AS
TEACHING
METHODS
IN
2nd
SERIES
OF
HIGH SCHOOL
-
A
PRACTICAL APPLICATION
Nilson Sergio Peres Stahl¹, Estefane Costa Rosa Domingues², Patrícia Maria dos Santos3, Sandra Maria Schröetter4
¹Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro - UENF, Campos dos Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil, nilson8080@gmail.com
²Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro - UENF, Campos dos Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil, estefanedomingues@yahoo.com.br 3Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF, Campos dos
Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil, patriciajfrancisco@ig.com.br
4Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF, Campos dos
Goytacazes, Rio de Janeiro, Brasil, sandra-tter@hotmail.com
Resumo – Este trabalho apresenta uma aplicação da Modelagem Matemática como metodologia alternativa de ensino de matemática. Ocorreu no Instituto Superior de Educação Professor Aldo Muylaert (ISEPAM) na Cidade de Campos dos Goytacazes no Estado do Rio de Janeiro. Foi utilizada como sujeitos de pesquisa uma turma do 2º ano do ensino médio enfocando o conteúdo “progressão geométrica”. Optamos por uma abordagem qualitativa na análise dos dados e na investigação como um todo. A coleta de dados se deu por meio do diário de bordo do professor. Constatou-se que houve construção do conhecimento em matemática e a compreensão dos conteúdos ministrados em sala com reflexo direto nas notas obtidas pelos educandos. O sucesso do projeto ocorreu, a nosso ver, pela contextualização do problema gerador e sua aplicação prática numa questão ambiental. A metodologia proporcionou motivação e trabalho colaborativo entre os educandos, entre outros aspectos. De acordo com os resultados, acreditamos que a Modelagem Matemática pode ser utilizada, quando possível, em sala de aula como meio de construção de conhecimento em Matemática e ainda contribuir para uma mudança de atitude tanto docente quanto discente, pois os professores experimentaram um modo diferente de ensinar e os alunos adquiram um novo olhar para com a matemática em sala de aula.
Página 194 de 220 Metodologia de ensino. Crescimento bacteriano. Progressão Geométrica.
Abstract – This paper presents an application of mathematical modeling as an alternative methodology for teaching Mathematics. The research occurred In Instituto de Educação Aldo Muylaert (ISEPAM) in the City of Campos dos Goytacazes in the State of Rio de Janeiro. The subject of the research was a class of 2nd year high school focusing on "geometric progression". We chose a qualitative approach in data analysis. The data collection was made through the logbook teacher. The research show that we may get construction of knowledge and understanding of Mathematics taught in the classroom. The success of the project occurred by the context of the problem generator and its practical application in an environmental issue. The methodology provided motivation and collaborative work among students. According to the results mathematical modeling can be used, whenever possible, in the classroom as a means of building knowledge in mathematics and contribute to a change attitudes, teachers experienced a different way to teach and students get a new way to study Math.
Keywords: Mathematics education. Mathematical modeling. Teaching methodology. Bacterial growth. Geometric progression.
1. Introdução
Diante de nossa experiência ao longo dos anos, como regente em aulas de Matemática, pudemos observar a dificuldade dos educandos na compreensão dos conteúdos ministrados em sala de aula. São muito frequentes observações dos alunos no sentido de quanto à matemática é “difícil de compreender e sem sentido”. Naturalmente, tais dificuldades podem decorrer de inúmeras ações pedagógicas. Em nosso ponto de vista, uma das possíveis causas pode ser devido à aula eminentemente expositiva, em que os conteúdos são ministrados aos alunos de modo a enfocar essencialmente o rigor Matemático e pouca ou nenhuma aplicação de ordem prática dos conceitos, quando de sua apresentação. Neste contexto, acreditamos que uma postura muito mais progressista - partindo do pressuposto de que a educação é parte da própria experiência humana - de um ensino centrado no interesse do educando ou do grupo, desenvolvido a partir da necessidade de sua adaptação ao meio e da possibilidade de desenvolver as relações interpessoais, seja uma proposta pedagógica mais favorável. Nesta perspectiva, os alunos não trabalham mais sozinhos, mas em grupo, em processo de cooperação, onde as atividades não são programadas, mas se desenvolvem conforme o interesse
Página 195 de 220 despertado, reproduzindo muitas vezes as condições reais de existência desses mesmos alunos.
2. Justificativa
O Ideb (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica) é um indicador de qualidade educacional, medido a cada dois anos, que combina informações de desempenho em exames padronizados (Prova Brasil e Saeb). Em 2011 o ideb do estado do Rio de Janeiro nos anos finais do ensino fundamental das escolas estaduais foi de 3.2, não atingindo a meta que era de 3.3. Além disso, em relação ao ano de 2009 só obteve um aumento de 0.1. Já o ensino médio obteve ideb de 3.2 ficando 0.1 acima da meta projetada. Ainda no ranking dos estados nos anos finais do ensino fundamental o estado do rio de janeiro, está na sétima posição, enquanto no ensino médio regular, ocupa a oitava posição. Mesmo com uma pequena melhora em relação ao IDEB de 2009, muitos alunos ainda continuam chegando ao ensino médio sem ao mesmo possuírem os conhecimentos básicos em matemática, principalmente na realização das quatros operações (soma, subtração, multiplicação e divisão).
Em maio de 2011 foi divulgado o resultado de uma avaliação denominada “saerjinho”, numa referência ao SAERJ (Sistema de Avaliação do Estado do Rio de Janeiro). Os dados apresentados na figura 1 não são diferentes daqueles obtidos em índices de avaliações anteriores, ou seja, o ensino médio está a exigir maior atenção das autoridades governamentais diante do elevado porcentual de notas entre 0 e 3,3 nas três primeiras séries do ensino médio.
Figura 1 - Resultado da Avaliação Saerjinho – Ensino Médio em Matemática Fonte: Adaptado - Central Globo de Jornalismo (17/05/2011).
Página 196 de 220 Diante desse contexto a utilização de metodologias alternativas que venham a médio e longo prazo contribuírem para o processo de construção do conhecimento dos educandos e propicie melhoria em seu desempenho acadêmico nos parece uma atitude cientifica significativa.
3. Metodologia
A pesquisa foi desenvolvida em uma turma do 2º ano do ensino médio do Instituto Superior de Educação Professor Aldo Muylaert (ISEPAM) na Cidade de Campos dos Goytacazes/RJ. O professor aplicou modelagem matemática, enquanto metodologia de ensino/aprendizagem, no 3º bimestre do ano letivo de 2011. Os tópicos previstos para aquele bimestre, segundo o plano de curso, consistia em gráficos e progressões. Para a utilização da Modelagem Matemática foi escolhido um projeto que envolvesse o assunto. Naquela oportunidade ocorria um surto de contaminação do broto de feijão pela bactéria Escherichia Coli na Alemanha. Após uma provocação do professor e alguma reflexão da turma escolheu-se esse tema como problema gerador. Essa bactéria causou a infecção de pelo menos 3.200 pessoas levando a óbito 38. Este acontecimento propiciou um momento importante de modo a mostrar aos educandos que a matemática ensinada pelo professor, em sala de aula, pode ser uma ferramenta importante para resolver problemas do seu cotidiano ou um fato de relevância, nesse caso, envolvendo saúde pública e qualidade de vida. Foi proposto aos educandos, com relação a Escherichia coli, o seguinte tema gerador: “Determinar quantas bactérias uma pessoa terá em seu organismo após 5 horas de infecção”1
. Para o desenvolvimento de um modelo que solucionasse o problema os alunos foram divididos em grupos sendo solicitada uma pesquisa, via web ou por qualquer outro meio, sobre a bactéria, com o objetivo de verificar, entre outros aspectos, como esse organismo se reproduz no organismo humano. De acordo com dados levantados pelos alunos, uma célula de Escherichia coli divide-se em duas a cada vinte minutos, aproximadamente. Esse processo está representado na tabela 1.
1
Após esse período de infecção sintomas como vômito, dor no estômago, dor na barriga, Infecção urinária, entre outros, podem ocorrer.
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Tabela 1. Divisão da bactéria Escherichia Coli em função do tempo.
Tempo Aproximado (min.) Quantidade aproximada de Bactérias
0 1 20 2 40 4 60 8 80 16 100 32 120 64
Fonte: Adaptado dehttp://ciencia.hsw.uol.com.br/evolucao4.htm
Os grupos, em ambiente informatizado e com a ajuda de uma planilha eletrônica, construíram a figura 2 que apresenta o diagrama dos pontos obtidos a partir da tabela 1. Os educandos logo observaram uma tendência de crescimento exponencial e, como consequência, poderiam utilizar um modelo tendo como base a Progressão Geométrica, ou seja,
(1)
Dessa forma, os educandos puderam calcular a razão da progressão, nesse caso, o valor 2. Logo, o modelo que representa o desenvolvimento da bactéria Escherichia coli foi obtido, e está descrito na equação (2):
(2)
onde o número de bactérias at está em função do tempo t em minutos.
Figura 2 - Diagrama de pontos que representa o crescimento da bactéria Escherichia coli. Fonte: grupos de alunos, atores da pesquisa.
Página 198 de 220 Obtido o modelo, os educandos resolveram o problema gerador. Após 5 horas, com aproximadamente 15 divisões celulares, obtiveram a15= 16.384
bactérias.
4. Metodologia qualitativa
A pesquisa qualitativa busca o entendimento das razões e motivos que levam o indivíduo a terem um determinado comportamento. É uma pesquisa que não se preocupa com dados numéricos, quantificáveis. Algumas de suas vantagens são: a oportunidade do pesquisador em observar, interpretar a linguagem “não verbal” de seu objeto de pesquisa; a sinergia entre o pesquisador e o objeto em estudo; o aprofundamento das respostas e etc.
Para (D’ Ambrosio, 1996), a pesquisa qualitativa é focalizada no indivíduo, com toda sua complexidade, e na sua inserção e interação com o ambiente sociocultural e natural. Logo, naturalmente a interação pesquisador-pesquisado é fundamental e por isso essa modalidade é chamada pesquisa-ação.
Segundo (Patton, 1990), a validade da pesquisa qualitativa depende do cuidado da construção instrumental de modo que os instrumentos de medida sejam aqueles próprios para a sua avaliação. No trabalho qualitativo o pesquisador é o instrumento. A validade no método qualitativo, portanto, depende do alcance dada habilidade, competência e rigor do pesquisador na execução do trabalho de campo.
Para (Medeiros 2010, pág.26), a pesquisa qualitativa:
não requer o uso de métodos e técnicas estatísticas. O ambiente natural é a fonte direta para coleta de dados e o pesquisador é o instrumento-chave. É descritiva. Os pesquisadores tendem a analisar seus dados indutivamente. O processo e seu significado são os focos principais de abordagem.
Segundo o autor, na pesquisa qualitativa a postura do pesquisador deve ser, entre outros aspectos, de observar e analisar o fenômeno em estudo em termos descritivos, seja por meio de questionários ou observações.
5. Coleta de dados
Neste trabalho de pesquisa, dado suas características, optamos por uma abordagem qualitativa. A coleta de dos dados foi feita por meio das informações contidas no
Página 199 de 220 diário de bordo2 e em questionários respondidos pelos alunos com objetivo, entre outros, de analisar a opinião dos mesmos em relação à aula tradicional e a aula com a aplicação da Modelagem Matemática como metodologia de ensino.
6. Modelagem matemática
Segundo BASSANEZI e FERREIRA (1988), a modelagem matemática busca, a partir de um problema não matemático, sua solução por meio de um modelo dentro de uma teoria matemática conhecida que facilite sua obtenção. Os autores lembram que os métodos existentes em dada teoria podem não ser suficientes para a resolução do problema e não convergir para os resultados desejados. Neste caso, recomendam os autores, volta-se ao problema inicial, simplificando-o sem, contudo, descaracterizá-lo, mas tornando-o matematicamente tratável. Um diagrama possível da Modelagem Matemática está representado na figura 3.
Figura 3 - Diagrama do processo de modelagem matemática. Fonte: BIEMBENGUT, 1997.
De acordo com o Diagrama do processo de modelagem matemática, a autora esclarece as diversas etapas:
1ª etapa: Interação com o assunto
Definida a situação que se pretende pesquisar, deve ser feita uma pesquisa sobre o assunto indiretamente (livros, internet, jornais e revistas) e diretamente (dados experimentais obtidos por especialistas da área).
2
Observações realizadas e anotadas pelo professor durante a matematização e a aplicação do modelo em sala de aula.
Página 200 de 220 Subdividido esta etapa em duas (reconhecimento da situação problema e familiarização), estas não obedecem a uma ordem rígida nem tampouco se finda ao passar para etapa seguinte. A situação-problema torna cada vez mais clara, ao passo que se vai interagindo com os dados.
2ª etapa: Matematização
É subdivida em formulação do problema e resolução, é mais complexa e “desafiante”. A fase da “tradução” da situação problema para linguagem matemática é indispensável à intuição e a criatividade
A formulação e a avaliação de hipótese são importantes considerar:
1. Classificar as informações (relevantes e não relevantes) identificando fatos envolvidos;
2. Decidir quais os fatores a serem perseguidos – levando hipóteses; 3. Identificar constantes envolvidos;
4. Generalizar e selecionar variáveis relevantes;
5. Selecionar símbolos apropriados para estas variáveis, 6. Descrever estas relações em termos matemáticos.
Deve-se terminar esta subfase com um conjunto de expressões aritméticas e fórmulas ou equações algébricos, ou gráficos, ou representações, ou programa computacional que levam a solução ou permitem a dedução de uma solução.
3ª etapa: Modelo Matemático
Ao finalizar o modelo é necessário verificar em que nível este se aproxima da situação problema representada e, a partir dai, poder utilizá-lo. Se o modelo não atender as necessidades que o gerou, o processo deve ser retomado a 2 ª etapa, mudando a hipótese, variáveis etc.
O modelo, segundo (D’Ambrosio, 1986), seria o ponto de ligação entre as informações captadas pelo indivíduo e sua ação sobre sua realidade. O modelo situa-se no nível do indivíduo e é criado por ele como um instrumento de auxílio para a compreensão da realidade. O processo de modelagem, ou seja, o caminho de criação do modelo, ainda segundo o autor, é o processo mediante o qual se definem as estratégias de ação do sujeito sobre a realidade.
Página 201 de 220 Vendo a necessidade de situações que possibilitem a construção do conhecimento pelos alunos e, percebendo a modelagem matemática como possibilidade para isso, (Barbosa, 2004, pg. 4) esclarece que:
O ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas as atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo.
Observamos que a modelagem é todo o processo que resultará na obtenção do modelo, para iniciarmos o processo há a necessidade de uma situação problema, na qual os alunos são motivados a investigar as possibilidades de representá-la matematicamente. Logo, a modelagem matemática pode envolver outras metodologias como problematização, investigação, ambientes computacionais, simulações numéricas, entre outras.
7. Resultados da pesquisa
Pela análise e reflexão dos resultados obtidos por meio do diário de bordo e questionários podemos constatar que houve construção do conhecimento em matemática. A compreensão dos conteúdos ministrados em sala de aula teve reflexo direto nas notas obtidas pelos educandos. O sucesso do projeto ocorreu, a nosso ver, pela contextualização do problema gerador e sua aplicação prática numa questão ambiental. A qualidade de vida, tomada como temática coadjuvante, mostrou-se também motivadora ensejando aos alunos uma postura de interação com trabalho colaborativo.
As observações realizadas pelo professor mostraram, também, algumas dificuldades iniciais na aplicação do projeto, por parte dos educandos, na identificação dos dados e seu tratamento no que diz respeito à conversão de um problema de origem na Biologia, portanto a princípio não matemático, para uma situação real. Apresentaram dificuldades em relacionar a matemática da sala de aula com a realidade de seu dia a dia, uma questão, a nosso ver, ainda ligada ao ensino tradicional.
Pelo explicitado acreditamos que a Modelagem Matemática pode e deve ser utilizada, quando possível, em sala de aula como meio de construção de
Página 202 de 220 conhecimento em Matemática e ainda contribuir para uma mudança de atitude tanto docente quanto discente. Os professores experimentaram um modo diferente de ensinar e os alunos adquiram um novo modo de aprender além de um olhar diferenciado para com a matemática em sala de aula.
Referências
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BASSANEZI, RODNEY C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria S; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no ensino. São Paulo: Editora Contexto, 2003.
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Sobre os autores
Nilson Sergio Peres Stahl - Graduação em Licenciatura em Matemática pelo Centro Universitário da Fundação Octávio Bastos (1988), graduação em Licenciatura em Ciências e Matemática 1º Grau pela Universidade São Francisco (1982), graduação em engenharia civil pela Universidade São Francisco (1984), mestrado em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Campinas (1996) e doutorado em Educação pela Universidade Estadual de Campinas (2003). Atualmente é professor associado iii da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro onde é coordenador geral do PARFOR. Tem experiência na área de Educação Matemática, com ênfase em Ensino/aprendizagem, atuando em ensino, pesquisas, projetos de extensão e orientações de Mestrado nos seguintes temas: educação matemática, objetos de aprendizagem, modelagem matemática no ensino, modelos computacionais em meio ambiente, cognição no ensino/aprendizagem da Matemática e trabalho virtual colaborativo.
Sandra Maria Schröetter - Licenciatura em Matemática - Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões - URI. Especialista em Educação Matemática- Faculdade de Filosofia de Campos - FAFIC. Especialista em Educação Ambiental- Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense-
Página 204 de 220 IFF. Aluna Especial- Mestrado em Cognição e Linguagem- Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF- Campos doa Goytacazes. Professora de Ensino fundamental e Médio do Instituto Superior de Educação Professor Aldo Muylaert _ ISEPAM – Campos dos Goytacazes. Tem experiência na área de Educação Matemática com ênfase em Representação Semiótica, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem, geometria e educação.
Estefane Domingues - Bolsista de Iniciação Científica. Licenciatura em Matemática – Universidade Estadual do Norte Fluminense. Participou de diversos Projetos de Extensão Envolvendo Metodologias Alternativas de Ensino- UENF. Professora de Ensino Fundamental e Médio da rede pública em Quissamã. Mestranda do Programa de Pós Graduação em Cognição e Linguagem- Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF- Campos doa Goytacazes. Tem experiência na área de Educação Matemática com ênfase em Representação Semiótica, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem, aplicativos gráficos e educação.
Patrícia Maria dos Santos - Graduada em Licenciatura de Matemática pela Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Participou de projetos de extensão pela Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Mestre em Cognição em Linguagem pela Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. Atualmente é professora de matemática l do Município de Conceição de Macabu / RJ e tutora do curso de capacitação para professores no polo de Macaé. Tem experiência na área de Educação Matemática, com ênfase em Representação Semiótica, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem e educação.
