Aspectos do pensamento algébrico revelados por professores-estudantes de um curso de formação continuada em Educação Matemática MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Taís Freitas de Carvalho Castro

Aspectos do pensamento algébrico revelados por

professores-estudantes de um curso de formação

continuada em Educação Matemática

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Taís Freitas de Carvalho Castro

Aspectos do pensamento algébrico revelados por

professores-estudantes de um curso de formação

continuada em Educação Matemática

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a orientação da Profa. Dra. Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão.

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Banca Examinadora

_________________________________________

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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Dedico esse trabalho ao meu querido marido

Richard, meu grande incentivador, que com

paciência e tolerância me apoiou

incondicionalmente. E aos meus amados

filhos Vitor e Rafael que vivenciaram minhas

dificuldades e conquistas e compreenderam

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AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, a Deus por iluminar a minha vida em todos os momentos.

Aos meus pais Cláudio e Lúcia pela minha existência e educação.

À minha orientadora Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão pela orientação precisa e exigente e pelos preciosos momentos de aprendizagem.

Às professoras Celina Aparecida Almeida Pereira Abar e Auriluci de Carvalho Figueiredo, pelas observações durante o exame de qualificação, que trouxeram importantes contribuições para a pesquisa.

Aos professores-estudantes e à professora da disciplina que participaram desse estudo, pela colaboração.

Às amigas Kelly Rosa e Adriana Hamazaki que conheci durante o mestrado, pelo companheirismo, incentivo e apoio.

Aos colegas do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GEPEA), pelas valiosas contribuições durante as reuniões do grupo.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, que com toda experiência e sabedoria contribuíram para meu crescimento profissional.

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À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela concessão da bolsa.

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RESUMO

Esse estudo tem o objetivo de analisar que aspectos do pensamento algébrico os professores-estudantes de um curso de formação continuada em Educação Matemática que participaram da pesquisa apresentaram ao resolverem problemas envolvendo a Álgebra. Esse objetivo se desdobra nas seguintes questões de pesquisa: Que aspectos do pensamento algébrico são explicitados nas resoluções dos professores-estudantes? Que aspectos da linguagem algébrica são explicitados em suas justificativas às resoluções? O uso da tecnologia contribuiu para a resolução de um dos problemas propostos? Em que sentido? Quanto ao pensamento algébrico adotamos como fundamentação teórica Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005). Os dados foram coletados em uma disciplina de um curso de pós-graduação stricto sensu em Educação Matemática durante a resolução de problemas comprometidos com a manifestação do pensamento algébrico. Participaram da investigação 15 professores daí a denominação professores-estudantes. Dos protocolos coletados constam as resoluções escritas dos problemas e questionários nos quais são requeridas explicações e justificativas matemáticas. Os resultados mostram que diversos aspectos caracterizadores do pensamento algébrico foram explicitados nos procedimentos dos professores-estudantes e que esses nem sempre utilizaram a linguagem algébrica simbólica ao resolverem problemas envolvendo a Álgebra. Além disso, mostram que eles tiveram dificuldades em explicar os porquês de seus procedimentos e de dar justificativas matemáticas. Quanto ao uso da tecnologia, constatamos que este nem sempre auxilia na resolução de problemas matemáticos.

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ABSTRACT

This study aims to analyse the professors-students algebraic thoughts aspects in a Mathematics Education Continuing Formation Course when solving some Algebra problems. This objective have theses questions to be answered: Which are the professors-students algebraic thoughts aspects? Which are the algebraic language justifications used? Did the technology using help to solve at least one of the problems? In what? We used the theory by Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) and Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) to discuss about algebraic thoughts. The data were colected during a post-graduation class in Mathematics Education when the algebraic thoughts were used in order to solve some mathematical problems. Fifiteen professors took part in the study that is why the nomination professors-students. From the colected forms there are written solutions on the problems and a quizz where mathematical explations and justifications were required. The conclusions show that many aspects of the algebric thoughts classificators are shown in the professors-students procedures and they didn’t always use the algebraic language when solving Algebra problems. Besides, the study shows that they had difficulties in explaining the reasons of their procedures and in justifying mathematical resolutions. When comes to technology, we could notice that it not always helps in the mathematical problems resolution.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Ilustração referente ao Problema 2 ...42

Figura 4: Ilustração do aplicativo apresentado no Problema 2...66

Figura 5: Protocolo do questionário referente à resolução do Problema 2, Professor “K” ...81

Figura 6: Protocolo do questionário referente à resolução do Problema 2, Professor “N” ...81

Figura 7: Protocolo de resolução do Problema 3, Professor “M”...87

Figura 8: Protocolo de resolução do Problema 4, Professor “A”. ...92

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Aspectos caracterizadores do pensamento algébrico ...32

Quadro 2: Formação dos professores-estudantes participantes da pesquisa...37

Quadro 3: Atuação profissional dos professores-estudantes participantes da pesquisa ...39

Quadro 4: Grau de generalização dos professores-estudantes que representaram e operaram com a forma genérica do número ímpar ...50

Quadro 5: Professores-estudantes que representaram, mas não operaram com a forma genérica do número ímpar ...52

Quadro 6: Professores-estudantes que não usaram a forma genérica do número ímpar ...53

Quadro 7: Desenvolvimento de uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente ...54

Quadro 8: Percepção e expressão de regularidades ou invariâncias ...55

Quadro 9: Percepção e expressão das estruturas de um problema ...56

Quadro 10: Transformação de uma expressão em outra mais simples ...58

Quadro 11: Produção de mais de um modelo para um mesmo problema ...59

Quadro 12: Síntese dos indicadores revelados pelos professores-estudantes nas resoluções do Problema 1...61

Quadro 13: Grade de análise - indicadores baseados nos aspectos caracterizadores do pensamento algébrico segundo Fiorentini, Fernandes e Cristóvão. (2005) referentes ao Problema 1 ...64

Quadro 14: Grau de generalização dos professores-estudantes que representaram e operaram com as formas genéricas das áreas das figuras ...68

Quadro 15: Professores-estudantes que não usaram as formas genéricas das áreas das figuras...70

Quadro 16: Estabelecimento de relações/comparações entre expressões ou padrões geométricos...73

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Quadro 18: Síntese dos indicadores revelados pelos professores-estudantes nas resoluções do Problema 2...78 Quadro19 Resolução representativa dos professores-estudantes referente ao

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SUMÁRIO

CAPÍTULO I ...15

PROBLEMÁTICA ...15

1.1 PROBLEMÁTICA...15

1.2 PESQUISAS NO TEMA DO PENSAMENTO ALGÉBRICO...18

1.2.1 Pesquisas em âmbito nacional...18

1.2.2 Pesquisas no sítio do programa pós-graduação em Educação Matemática da PUC-SP...22

1.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...27

CAPÍTULO II ...34

METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS DE PESQUISA ...34

2.1 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA ...35

CAPÍTULO III ...48

RESULTADOS DAS ANÁLISES DOS DADOS...48

3.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DOS PROTOCOLOS REFERENTES AO PROBLEMA 1...49

3.1.1 Considerações sobre os resultados apresentados no Quadro 4...50

3.1.9 Síntese dos indicadores revelados nas resoluções do Problema 1 ...60

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3.2.5 Síntese dos indicadores revelados no Problema 2 ...77

3.2.6 Considerações sobre o uso do aplicativo na aplicação do Problema 2 ....80

3.3.2 Outras considerações sobre os resultados da análise das resoluções do Problema 3...85

3.4 ANÁLISE DOS PROTOCOLOS REFERENTES AO PROBLEMA 4...88

3.5 ANÁLISE DOS PROTOCOLOS REFERENTES AO PROBLEMA 5...94

3.5.3 Síntese dos indicadores revelados no Problema 5 ...98

3.6 SÍNTESE DOS INDICADORES REVELADOS NAS RESOLUÇÕES DOS 5 PROBLEMAS ...102

CAPÍTULO VI ...104

CONCLUSÕES ...104

REFERÊNCIAS...110

ANEXO A – Termo de consentimento...115

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CAPÍTULO I

PROBLEMÁTICA

1.1 PROBLEMÁTICA

A busca por aprimoramento profissional foi a principal razão do nosso ingresso no mestrado acadêmico em Educação Matemática. Além disso, almejamos, com o mestrado, atuar em cursos de formação de professores do ensino básico e seguir rumo ao doutorado, com o objetivo ulterior de atuar em cursos de pós-graduação.

Esses motivos, aliados à importância que atribuímos à Álgebra nos levaram a optar pelo Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Nesse grupo, o projeto O que se

entende por Álgebra? levanta questões sobre a formação do professor de matemática no Brasil, além de destacar a crescente desvalorização da Álgebra em todos os segmentos de ensino após a década de 1960 (período em que ganhou importância devido à valorização do formalismo) e o início de sua revalorização pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998). Esses referenciais baseados em pressupostos construtivistas, tanto no ensino da Álgebra quanto em outros campos da Matemática, demandam novas concepções de ensino.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), fazendo um panorama da educação escolar no Brasil, destacam que

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Segundo Maranhão, Machado e Coelho (2004, p.2) “[...] os novos conceitos e referenciais de cunho construtivista para o ensino básico incitam novos processos formativos de professores em todos os cursos, não apenas os de formação inicial, mas também os de formação continuada.” Esse contexto demanda uma “[...] urgência de estudos, nessa orientação, sobre a formação inicial do professor de Matemática e sobre programas de formação continuada de professores”.

Essas autoras destacam, após uma leitura dos títulos das teses e dissertações produzidas no Brasil no período de 1998 a 2001, que:

[...] é incipiente ainda a produção científica, pretendida neste projeto, que tem a intenção de abarcar estudos sobre a Aritmética e a Álgebra, investigando suas dimensões, as visões, as tendências no ensino e seu impacto na aprendizagem, bem como as articulações de noções e concepções matemáticas de professores, de alunos e, também, presentes em documentos curriculares, nos variados segmentos de ensino [...] (p. 9).

A abordagem construtivista amplia o sentido do termo conhecimento que deve levar em consideração além do conhecimento científico, o conhecimento cotidiano do aluno, seus valores, suas relações com mundo etc. Dessa forma, surge a necessidade de uma nova postura do professor para fazer frente a essa realidade. Baseados nessas exigências construtivistas, os PCN sugerem uma reflexão sobre o ensino da Álgebra:

Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e equações de uma forma meramente mecânica. (BRASIL, 1998, p. 117).

Ao tratarem da Álgebra no Ensino Fundamental, os PCN ressaltam sua importância como um espaço bastante significativo para o desenvolvimento e exercício da capacidade de abstração e generalização do aluno, além de lhe possibilitar aquisição de uma ferramenta poderosa para resolução de problemas. Propõem abordagens como identificação e generalização das propriedades aritméticas, observação de regularidades, investigação de padrões em seqüências

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numéricas e representações geométricas para a introdução da linguagem algébrica. Sugerem o ensino de expressões, equações, inequações e sistemas lineares através da resolução de problemas que abarquem contextos dentro e fora da matemática.

As necessidades de uma nova postura do professor com relação à construção do conhecimento, e de pesquisas no plano da formação continuada do professor, aliadas ao início da revalorização da Álgebra, nos levaram a escolha do tema:

Aspectos do pensamento algébrico revelados por professores-estudantes de

um curso de formação continuada em Educação Matemática2.

A evolução histórica do ensino e aprendizagem da Álgebra segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) revela que sempre foi dada prioridade a Álgebra como uma linguagem já constituída, enfatizando suas propriedades e regras de manipulação, ou seja, o seu caráter estrutural. Ensinavam-se muitas técnicas e poucos significados. Essas constatações levaram vários pesquisadores em Educação Matemática a repensarem o ensino e aprendizagem da Álgebra.

Autores como L. Lee, J. Mason, D. Fiorentini entre outros ressaltam a importância do desenvolvimento do pensamento algébrico para a compreensão da Álgebra. A necessidade de observar seqüências, descobrir padrões, fazer generalizações, por exemplo, são fundamentais para que as variáveis ganhem significado.

Lee (2001) defende que nos primeiros anos de escolaridade, o pensamento algébrico deve ser incentivado e desenvolvido. Para isso, sugere questões do tipo: E

se? , É sempre assim? a partir da observação de padrões, de semelhanças e diferenças e da manipulação das operações (desfazendo-as e revertendo-as). A autora afirma que a forma de comunicação desse pensamento deve ser a linguagem algébrica, mas sugere que haja uma evolução natural desta, em lugar de forçar a representação de símbolos literais e suas manipulações.

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Para Mason, Graham e Johnston-Wilder (2007), o pensamento algébrico, em particular, o reconhecimento e articulação da generalidade, está próximo dos alunos que já chegam à escola trazendo consigo um grande potencial para pensar algebricamente. Esses alunos só precisam ser encorajados e incentivados a desenvolver essas potencialidades num ambiente que seja favorável. Sugerem também que a expressão da generalidade deve ser natural e prazerosa.

Mason, Graham e Johnston-Wilder (2007, tradução nossa) defendem que a generalização é fundamental para a matemática, pois faz parte de todos os tópicos matemáticos e afirmam que “uma lição sem que os alunos tenham a oportunidade de expressar a generalidade não é uma lição matemática.”3

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p.88) vão além e definem pensamento algébrico como: “[...] um tipo especial de pensamento que pode se manifestar não apenas nos diferentes campos da matemática como também em outras áreas do conhecimento.” Para detectá-lo e desenvolvê-lo, os autores apontam elementos caracterizadores desse tipo de pensamento (percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, presença do processo de generalização, etc.). Nesse aspecto, é essencial compreender como deve ser a relação entre pensamento e linguagem algébrica, uma relação dialética, que será apresentada mais adiante, no item fundamentação teórica.

1.2 PESQUISAS NO TEMA DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

A seguir apresentamos dissertações e teses que tratam do pensamento algébrico em diferentes contextos visando levantar o que vem sendo estudado pelos pesquisadores em Educação Matemática sobre o tema.

1.2.1 Pesquisas em âmbito nacional

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Fizemos uma busca no sítio da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) utilizando como palavra-chave: pensamento algébrico. Em seguida, selecionamos as pesquisas encontradas a partir de 2002 com a finalidade de atualizar as leituras feitas por Maranhão, Machado e Coelho (2004) no que se refere ao tema. Por fim, selecionamos as pesquisas no âmbito da Educação Matemática e obtivemos os resumos dos trabalhos que passamos a relatar de maneira sintética.

A pesquisa de Schwantes (2003) objetivou entender o que caracteriza e sustenta o pensamento algébrico e como ele pode ser desenvolvido no ensino fundamental. O percurso investigativo constituiu-se em um enfoque no qual a produção de significados foi compartilhada entre os participantes, numa interlocução dinâmica que visou à qualidade no processo ensino-aprendizagem. Daqui pode-se depreender que se tratou de uma pesquisa aplicada a estudantes do ensino fundamental. Os resultados revelaram que é possível, pela posse da linguagem simplificada, identificar os significados produzidos na interlocução através da observação e comunicação das idéias matemáticas presentes em situações-problema.

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compreenderem melhor as especificidades do saber algébrico e os conduzam à superação das dificuldades ou obstáculos identificados.

Trentin (2005) investigou se o ensino do tópico Expressões Algébricas, abordado por uma seqüência didática elaborada pelo pesquisador e, posteriormente, comparada com o ensino oferecido pelos livros didáticos, instrumentalizaria uma forma de pensar, definida por Pensamento Algébrico. O pesquisador aplicou a seqüência, elaborada a partir de situações-problema, para um grupo de alunos, que chamou de experimental, enquanto o outro grupo, o de referência, teve o assunto introduzido a partir do material didático adotado pela instituição de ensino. Antes, porém, os dois grupos foram submetidos a um pré-teste. Após a introdução do tópico, ambos foram submetidos a um pós-teste cujos resultados foram analisados sob os seguintes aspectos: desempenho geral de cada grupo, desempenho por item, por objetivo, a evolução de cada grupo por questão e a análise da qualidade dos resultados obtidos. As análises permitiram concluir que a abordagem apresentada pela seqüência didática elaborada pelo pesquisador fornece indícios de contribuição para a instrumentalização do Pensamento Algébrico.

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Santos (2007) investigou a introdução do pensamento algébrico nos livros didáticos de matemática, e a influência que sua abordagem e o discurso dos autores causam no ensino e aprendizagem da álgebra em sala de aula. Além disso, investigou a influência dos livros didáticos na concepção algébrica do professor e em suas ações pedagógicas. O estudo baseou-se na análise dos discursos de professores e das informações orais e escritas de alunos e na análise do conteúdo dos manuais didáticos e do discurso dos autores dos livros adotados. A pesquisadora estabeleceu diálogos com professores e alunos sobre as dificuldades no ensino e aprendizagem da álgebra e sobre o entendimento do professor em relação ao desenvolvimento do pensamento algébrico. A análise dos dados revelou alguns aspectos de como os docentes pesquisados concebem o ensino da álgebra, suas crenças algébricas e como estas estão impregnadas de mitos, conjecturas e preconceitos devido à sua formação acadêmica e à forma simplificada como a álgebra vem sendo apresentada. A análise indicou também que as ações pedagógicas desses professores refletem um currículo prescrito e/ou influenciado pelo livro didático. A pesquisadora sugere, nas considerações finais, atividades visando contribuir para o desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno. Além disso, ressalta que o uso do livro didático de forma sábia e consciente pode ser fundamental no trabalho com a Álgebra, mas que o professor deve utilizar também outros recursos no ensino da matemática.

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diferenciada proporcionou uma aprendizagem mais significativa das idéias algébricas do que a abordagem tradicional.

1.2.2 Pesquisas no sítio do programa pós-graduação em Educação Matemática da PUC-SP

Fizemos uma busca no sítio do programa de pós-graduação em Educação Matemática da PUC-SP, utilizando como palavras-chave pensamento algébrico, generalização de padrões, expressões, equações, inequações e Álgebra. Selecionamos, em seguida, as dissertações e teses a partir de 2002, com o mesmo objetivo das buscas no sítio da CAPES, ou seja, atualizar as leituras feitas por Maranhão, Machado e Coelho (2004) no que se refere ao tema. Ao final, após as leituras dos resumos, destacamos aquelas que se relacionavam com o pensamento algébrico.

No seio do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA) do programa de pós-graduação em Educação Matemática da PUC-SP, do qual fazemos parte, encontramos várias dissertações e teses com o tema pensamento algébrico. São os trabalhos de: Mondanez (2003), Nakamura (2003), Santos (2005), Almeida (2006), Perez (2006), Figueiredo (2007), Ribeiro (2007), Silva (2007), Aquino (2008), Santolin (2008) e Santos (2008).

A generalização de padrões é um dos aspectos do pensamento algébrico que serão utilizados como base teórica de nossa investigação. Sua importância para a introdução da Álgebra é atestada por vários autores e sugerida nos PCN.

Vale e Pimentel (2005) consideram que os padrões são a base do pensamento algébrico e afirmam que a generalização surge com o reconhecimento de padrões e a identificação de relações.

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Mondanez (2003), Nakamura (2003), Aquino (2008) e Santolin (2008) que desenvolveram suas pesquisas com alunos do Ensino Fundamental e Perez (2006) que investigou alunos do Ensino Médio, aplicaram atividades envolvendo observação e generalização de padrões com o objetivo de estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Dentre os resultados, essas pesquisas revelaram avanços dos alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico bem como uma diversidade de estratégias de resolução.

Almeida (2006) desenvolveu o tema generalização de padrões com professores do Ensino Fundamental, buscando investigar se eles utilizavam em suas aulas, atividades que envolviam o tema e, em caso afirmativo, quais as previsões dos professores sobre as estratégias de resolução dos alunos. A pesquisadora concluiu que os professores utilizavam esporadicamente esse tipo de atividade e que supuseram que seus alunos utilizariam principalmente as estratégias de desenho e contagem.

Santos (2008) investigou um grupo de professores em formação continuada ao realizarem pesquisas em sua própria sala de aula a respeito de atividades de observação e generalização de padrões. Essa experiência levou os professores a notarem a importância do tema e passarem a considerar questões que envolvem padrões em suas aulas como parte da rotina escolar. Além disso, observou-se uma mudança no olhar dos professores durante a análise dos protocolos, que passaram a observar e buscar compreender o raciocínio dos alunos, ao invés de classificar as resoluções apenas como certas ou erradas. Nessa pesquisa, supomos que, ao trabalharem em suas aulas com atividades que estimulam o pensamento algébrico dos alunos, os professores perceberam a importância de observar como esse pensamento se desenvolve, ou seja, o processo, ao invés de olhar apenas o resultado final das resoluções.

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fundamentalismo e o rigor, associava o ensino de equações às suas transformações e propriedades estruturais de forma descontextualizada e estática.

Para Maranhão (2007, p.1), “Expressões, equações e inequações têm um papel importante no desenvolvimento de diversos campos da matemática e do conhecimento humano em geral”. A autora defende que a articulação desses tópicos com problemas de outras áreas do conhecimento contribuem, por exemplo, para que os conceitos de variável, incógnita e parâmetro ganhem sentido.

Ribeiro (2007) pesquisou as diferentes formas de conceber a noção de equação, que chamou de multisignificados das equações. Segundo o pesquisador, “[...] não podemos limitar o estudo de equações aos seus procedimentos e técnicas de resolução, se desejarmos que os estudantes sejam capazes de utilizar essa idéia matemática de forma significativa [...]” (p.89) .Dessa forma, sustenta como argumento de pesquisa que: “Embora não seja um objeto do saber, a noção de equação possui vários significados e deve tomar lugar junto aos objetos de ensino”( p.89). Após categorizar e nomear os multisignificados das equações, o pesquisador conclui que no processo de ensino e aprendizagem da Álgebra deve-se considerar o significado axiomático-postulacional. Nele, a idéia de equação pode ser trabalhada com os seus vários significados de forma integrada, afirmando que “[...] não precisamos nos preocupar em definir equação, mas sim, tomá-la como uma noção primitiva, o que nos permite o trabalho em sala de aula dessa idéia matemática”. (p. 131)

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Os estudos das concepções de Educação Algébrica de professores revelam como eles concebem o ensino da Álgebra. Nesses estudos emergem relações entre pensamento e linguagem algébrica como podemos observar nos trabalhos a seguir.

Santos (2005) investigou concepções do professor de matemática sobre o ensino da Álgebra. Dentre os resultados, todos os professores, no total de 28, apresentaram a concepção de “Álgebra como Aritmética Generalizada” e 23 deles apresentaram a concepção de “Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas”4 de acordo com a fundamentação teórica adotada. A pesquisadora mostrou-se preocupada com esses resultados uma vez que, segundo ela, a primeira pode levar o aluno a recorrer sempre a casos particulares deixando de generalizar, supondo ser uma forma facilitadora da aprendizagem, e a segunda poderá “[...] desenvolver, no aluno, apenas a capacidade de memorização, que segundo Ausubel é o nível mais elementar da ocorrência de aprendizagem, pois, tende a ser facilmente esquecida”. (SANTOS, 2005, p. 99).

Figueiredo (2007) pesquisou saberes e concepções de Educação Algébrica mobilizados em um curso de licenciatura em Matemática, por alunos, professores e coordenadores. A pesquisadora, apoiando-se em pesquisas anteriores, afirma que as dificuldades com tópicos de Álgebra apresentadas por alunos dos diversos segmentos de ensino podem estar relacionadas com suas próprias concepções de Educação Algébrica e de seus professores. Usou diversos referenciais, entre eles o de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) que também interessam à presente pesquisa. Dentre os resultados que apresentou, com base nesses autores, a pesquisadora concluiu que, quanto aos professores houve o predomínio da concepção Fundamentalista-estrutural e quanto aos alunos da Linguístico-pragmática. Tais concepções de Educação Algébrica, de acordo com os autores, enfatizam a linguagem em detrimento do pensamento algébrico.

Dentre os saberes revelados pelos alunos, Figueiredo (2007) constatou que estes sentem necessidade de serem capazes de justificar os porquês das atividades que realizam e não apenas saber resolvê-las. A pesquisadora acredita que os

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alunos estejam se referindo a “[...] um trabalho que articule os aspectos sintático e semântico da Álgebra elementar [...]” (p. 272). Nesse caso, podemos perceber que os próprios alunos têm consciência da necessidade de desenvolver o pensamento algébrico (“os porquês”) aliado ao trabalho de manipulação algébrica.

A revisão bibliográfica revelou que diversos pesquisadores têm se dedicado a temas que abarcam o pensamento algébrico e seu ensino. Isso atesta a relevância de investigarmos o tema. Das pesquisas relatadas nesse estudo, apenas a investigação de Santos (2008) trabalhou com professores em formação continuada, porém o foco foi a generalização de padrões. Assim como a de Santos (2008), as pesquisas desenvolvidas no seio do GEPEA trouxeram importantes contribuições para o projeto O que se entende por Álgebra?. Porém este tem se revelado profícuo por não possuir pesquisas que focalizem a manifestação e desenvolvimento do pensamento algébrico de professores em formação continuada. Por esse motivo, o projeto carece de nossa investigação, uma vez que demanda estudos sobre modos de pensar do professor, conforme afirmam Maranhão, Machado e Coelho (2004):

O estudo no plano do professor pesquisa conhecimento e modos de pensar de professores com relação aos assuntos em que ensina, suas escolhas, suas formas de avaliação. Visa-se reconhecer como são integrados os saberes e modos de pensar do professor [...] (p. 13).

Dentro dessa perspectiva, a investigação tem a intenção de olhar para a expressão do pensamento do professor, mais especificamente do pensamento algébrico do professor em formação continuada. Com esse propósito, analisamos resoluções de problemas comprometidos com a manifestação desse pensamento, que envolvem expressões matemáticas, equações e inequações. Dessa forma, dentro do projeto O que se entende por Álgebra?, esse estudo se insere no subprojeto Expressões, equações e inequações, linha de pesquisa A Matemática na

estrutura curricular e formação de professores.

Maranhão (2007) ressalta a importância dos tópicos expressões, equações e inequações não só na matemática, mas também em outros campos do conhecimento, quando afirma que:

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humano em geral. Se, de um lado, esses tópicos são ferramentas para a resolução de problemas intra e extra matemáticos, de outro, problemas de outras áreas do conhecimento humano contribuem para que conceitos como os de variável, incógnita e parâmetro ganhem sentido. (p.1)

Atualmente, a tecnologia é um recurso que faz parte do ensino da matemática. Sobre esse aspecto, Maranhão, Machado e Coelho (2004) destacam:

O uso recente de computadores e calculadoras no ensino levanta questões sobre as contribuições das novas tecnologias para o ensino e aprendizagem de Matemática, para não mencionar a possibilidade de que essa introdução gere por si só novos problemas de compreensão e raciocínio. (p.3)

Nesse sentido, Mason, e Johnston-Wilder (2006) apresentam um substancial interesse na relação entre o pensamento matemático e a geometria dinâmica no ensino e aprendizagem da matemática.

A obra citada vem acompanhada de um CD-ROM abordando geometria dinâmica, que permite a visualização e variação das figuras conforme o enunciado de problemas propostos que se voltam para a formação continuada de professores. Um desses problemas é abordado na presente pesquisa. Por isso, não deixamos de lado a análise sobre o uso de um recurso tecnológico, buscando detectar se a exploração do movimento de uma figura contida no CD-ROM citado auxilia ou se de alguma maneira restringe a resolução de um dos problemas pelos professores-estudantes.

Neste quadro, definimos nosso objetivo que é analisar que aspectos do

pensamento algébrico os professores-estudantes de um curso de formação continuada em Educação Matemática explicitam ao resolverem problemas envolvendo a Álgebra.

A seguir, apresentamos as idéias dos autores em que nos apoiamos para desenvolver nosso trabalho.

1.3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

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continuada e Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) relativos ao tema do pensamento algébrico.

Sobre o modo de conceber a formação, Nacarato e Paiva (2006, p. 14) destacam que “[...] é preciso não dicotomizá-la – classificando-a em ‘inicial’ e ‘continuada’ -, e sim considerá-la como um continuum (GARCIA, 1999) ou como permanente (IMBERNÓN, 2004)”. Assim, essas autoras situam as pesquisas sobre professores em formação continuada dentre aquelas relacionadas à formação docente, tendo em vista essa concepção de desenvolvimento contínuo do professor.

Segundo Nacarato e Paiva (2006), o GT 75 - que tem como um dos objetivos

incentivar, discutir, analisar e divulgar/socializar pesquisas e estudos de experiências inovadoras, com ênfase em processo de formação inicial e continuada

–, categorizou os trabalhos apresentados no II SIPEM6 em diversas linhas temáticas. Dentre elas, acreditamos que nossa pesquisa se aproxima da seguinte: Pesquisas

realizadas com participantes de cursos e/ou projeto, que abarca pesquisas com professores participantes de cursos de formação continuada.

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), no artigo intitulado Contribuição para um

Repensar... a Educação Algébrica Elementar, apresentam alguns elementos que possibilitam repensá-la a partir de uma análise comparativa entre as concepções de Educação Algébrica identificadas durante a história do ensino da Matemática e as concepções de Álgebra relativas a algumas leituras do seu desenvolvimento histórico.

A comparação entre as concepções de Educação Algébrica revelou que em todas ocorre uma redução do pensamento algébrico à linguagem algébrica. Partindo de uma linguagem simbólica já constituída, essas concepções reduzem o ensino-aprendizagem da Álgebra ao transformismo algébrico7. A ênfase recai sobre o caráter sintático (estrutural) da Álgebra e não sobre o caráter semântico

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Grupo de Trabalho “Formação do professor que ensina Matemática”, da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)

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II Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática

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(significação). Da mesma forma, a análise das relações entre as concepções de Álgebra e de Educação Algébrica mostra que há uma consonância entre elas no sentido de privilegiar a linguagem sobre o pensamento algébrico.

A partir dessas constatações, esses autores sugerem que para repensar a Educação Algébrica deve-se repensar a relação entre pensamento e linguagem. E ressaltam que há uma tendência no ensino da Álgebra tradicional a acreditar que o pensamento algébrico só se manifesta através da linguagem algébrica, mas, por outro lado, afirmam que a linguagem, em princípio, é a expressão de um pensamento. Assim, defendem que existe uma relação não de subordinação, mas dialética, entre pensamento e linguagem algébrica, na qual o pensamento pode se desenvolver independente da linguagem e vice-versa, porém um ajuda no desenvolvimento do outro.

Os autores indicam alguns elementos caracterizadores desse tipo de pensamento: “percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização” (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 87).

Após caracterizar o pensamento algébrico, Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) o definem como “[...] um tipo especial de pensamento que pode se manifestar não apenas nos diferentes campos da Matemática, como também em outras áreas do conhecimento”. (p.88)

Ao analisar sete situações que possibilitam a manifestação do pensamento algébrico, constatam que nos seus enunciados e/ou resoluções, esses elementos revelam-se em diferentes linguagens. Baseados nisso, sustentam que o pensamento algébrico pode ser expresso de outras formas além da linguagem algébrica, tais como: linguagem natural, aritmética e geométrica.

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no currículo escolar. E afirmam que, como não é necessário dominar a linguagem algébrica para expressar o pensamento algébrico, seu desenvolvimento deve ser incentivado desde o início da vida escolar.

Com essas reflexões, Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) concluem que é preciso enfocar a relação entre pensamento e linguagem, pois o ensino da Álgebra não pode se restringir à existência de uma linguagem algébrica já constituída e ao domínio de regras e técnicas de manipulação.

Porém esses autores ressaltam a importância de se desenvolver gradativamente uma linguagem que seja mais apropriada à expressão do pensamento algébrico para uma aprendizagem significativa da Álgebra, quando afirmam que:

[...] se a introdução precoce e sem suporte concreto a uma linguagem simbólica abstrata pode funcionar como freio à aprendizagem significativa da Álgebra, o menosprezo ao modo de expressão simbólico-formal constitui-se também em impedimento para o seu pleno desenvolvimento. (1993, p. 89)

Ressaltam que, a partir de um determinado momento, a linguagem algébrica simbólica desempenha um papel fundamental na formação do pensamento algébrico abstrato. Isto porque ela permite: abreviar resoluções devido ao simbolismo conciso; facilitar a simplificação de cálculos pela possibilidade das transformações de expressões simbólicas em outras equivalentes e simplificadas; operar com quantidades variáveis, possibilitando a compreensão de situações que envolvam variação.

Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) retomam a relação dialética entre pensamento algébrico e linguagem, afirmando, com base em Vygotsky (1993)8, que se de um lado a linguagem é expressão de idéias algébricas na resolução de problemas, de outro, à medida que o aluno desenvolve uma linguagem apropriada para sua expressão, o pensamento algébrico ganha força.

Para Vygotsky (1993), pensamento e linguagem são interpendentes, um promovendo o desenvolvimento do outro e vice-versa. Ou seja, no processo ensino-aprendizagem, a linguagem não antecede necessariamente o

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pensamento, embora a apropriação da linguagem possa potencializar e promover o desenvolvimento do pensamento algébrico. (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 4-5)

Baseados em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), tendo em vista desenvolver a interdependência entre linguagem e pensamento algébrico, Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), apresentam uma quarta concepção de Educação Algébrica. Nela, o ensino da Álgebra deve iniciar a partir de tarefas exploratório-investigativas9_que

problematizem “fatos tidos como aritméticos ou geométricos”10 (p. 7) que busquem garantir a manifestação dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico, tais como: fazer generalizações numéricas, representar grandezas, incógnitas e variáveis. Além disso, deve-se incentivar o aluno a fazer o caminho inverso, buscando produzir vários significados e sentidos para expressões algébricas e trabalhar com as transformações das expressões algébricas em outras equivalentes, enfatizando nesse momento o transformismo algébrico.

Segundo Ponte (2003), as tarefas podem ser de quatro tipos diferentes: exercícios, problemas, explorações e investigações. Os exercícios são tarefas mais fáceis e de estrutura fechada; os problemas, também, são de estrutura fechada, porém com maior grau de dificuldade; as explorações são mais livres e menos sistemáticas, geralmente utilizadas para introdução de um tema novo ou problematização e produção de significado para conceitos matemáticos; as investigações são situações-problema11 abertas e desafiadoras que dão liberdade aos alunos de fazer inúmeras tentativas de exploração e investigação.

Para referir-se ao tipo de tarefa sugerida para a introdução da Álgebra, sem fazer distinção entre exploração e investigação, Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), baseados em Ponte (2003), cunham o termo tarefas exploratório-investigativas.

A respeito do termo problema, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM 2006), baseados no desenvolvimento dos novos paradigmas

9

Sentido do termo no próximo parágrafo.

10

No nosso entender, ao citarem “fatos tidos como aritméticos”, os autores queiram se referir a relações numéricas e propriedades das operações, ou seja, proposições/sentenças aritméticas válidas matematicamente. Analogamente para “fatos geométricos”.

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educacionais construtivistas e perante as limitações dos problemas fechados, propõem o trabalho com “problemas abertos” e “situações-problemas”. Ressaltam que o aluno diante desses dois tipos de problemas deve fazer tentativas, formular hipóteses, testá-las e validar seus resultados, atuando como o matemático no exercício de sua profissão, guardando-se as devidas proporções. Afirmam, ainda, que:

O problema do tipo “aberto” procura levar o aluno à aquisição de procedimentos para a resolução de problemas. [...] O conhecimento passa a ser entendido como uma importante ferramenta para a resolução de

problemas, e não mais como algo que deve ser memorizado para ser

aplicado em momentos de “provas escritas”.

[...] a situação problema [...] leva o aluno à construção do novo conhecimento matemático. De maneira bastante sintética, podemos caracterizar uma situação-problema como uma situação geradora de um problema cujo conceito, necessário à sua resolução, é aquele que queremos que o aluno construa. (BRASIL, 2006, p. 84).

Ressaltando que o pensamento algébrico pode ser desenvolvido gradativamente, Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) ampliam os aspectos caracterizadores do pensamento algébrico presentes em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), apresentando-os como compilamos no Quadro 1.

Quadro 1. Aspectos caracterizadores do pensamento algébrico

Fonte: (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 5)

Aspectos caracterizadores do pensamento algébrico

Estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos;

Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema;

Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema;

Produzir vários significados para uma mesma expressão numérica;

Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas;

Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples;

Desenvolver algum tipo de processo de generalização;

Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias;

Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente.

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Com base no referencial teórico, pretendemos perseguir o nosso objetivo, que é de analisar que aspectos do pensamento algébrico os professores-estudantes de um curso de pós-graduação stricto sensu em Educação Matemática apresentam ao resolverem problemas envolvendo a Álgebra. Esse objetivo se desdobra nas seguintes questões de pesquisa:

1. Que aspectos do pensamento algébrico são explicitados nas resoluções dos professores-estudantes?

2. Que aspectos da linguagem algébrica são explicitados em suas justificativas às resoluções?

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CAPÍTULO II

METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS DE PESQUISA

Esta pesquisa é diagnóstica, pois busca analisar aspectos do pensamento algébrico revelados nos procedimentos de resolução de problemas por parte dos professores-estudantes de um curso de formação continuada em Educação Matemática.

De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2007), uma pesquisa é diagnóstica “[...] quando o pesquisador, diante de uma problemática ainda pouco definida e conhecida, resolve realizar um estudo com o intuito de obter informações ou dados mais esclarecedores e consistentes sobre ela” (p.69). Como já foi exposto na problemática, não encontramos pesquisas que focalizem aspectos do pensamento algébrico revelados por professores dentro do subprojeto Expressões, equações e

inequações e do projeto O que se entende por Álgebra?12 que demanda pesquisas sobre modos de pensar do professor. Sendo assim, o projeto carece de informações esclarecedoras sobre esse assunto.

Por essa razão em particular, o referido projeto demanda a realização de pesquisas diagnósticas. Desta maneira, o tipo de pesquisa escolhido está em consonância com o interesse desse projeto.

Maranhão, Camejo e Machado (2008) atestam a eficiência do uso de instrumentos de análise desse tipo de pesquisa quando, ao diagnosticarem como alunas de um curso de formação de professores analisam produções de alunos do 2º ano do ensino fundamental, afirmam que não só o instrumento atingiu o objetivo a que se propunha como trouxe à tona outras idéias dessas alunas. E concluem: “Ousamos afirmar que essa percepção foi até mais importante do que o objetivo estabelecido para essas análises, pois fez emergir idéias recônditas dessas professoras-alunas [...]” (p. 167).

12

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2.1 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA

Os dados da pesquisa foram coletados em uma universidade, durante a resolução de cinco problemas por parte dos estudantes de um curso de pós-graduação stricto sensu em Educação Matemática. Escolhemos uma das disciplinas deste curso em conjunto com a orientadora, pelo fato de ela abordar problemas comprometidos com a manifestação de aspectos do pensamento algébrico pelos estudantes, através de justificativas dos seus procedimentos nas resoluções dos problemas.

Gostaríamos de ressaltar que por investigarmos o pensamento algébrico de professores em um curso de pós-graduação stricto sensu de uma instituição de ensino superior devemos considerar variáveis importantes na pesquisa, tais como: o fato de ter se realizado em aulas regulares semanais, envolvendo notas na disciplina selecionada. Por isso, apelamos ao contrato didático (no sentido de Brousseau13) estabelecido, o que diferencia este grupo de professores dos outros cursos de formação continuada em que essas variáveis não se apresentam. A relação entre professor, aluno e saber se estabelece pautada em trabalhos e atividades avaliadas.

Participaram desta investigação, estudantes, todos professores de matemática, os quais denominamos, por essa razão, professores-estudantes. A escolha dos sujeitos se deu pela necessidade de pesquisas que contemplem os modos de pensar do professor nos diversos níveis de formação conforme sugere o projeto O que se entende por Álgebra? do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica da PUC-SP. Quinze professores-estudantes participaram da pesquisa. Ao longo dessa investigação, usamos letras para designar esses professores buscando preservar sua privacidade.

Os professores-estudantes receberam um termo de consentimento que constava da aceitação da participação voluntária nesse estudo, esclarecendo sobre seus objetivos e intenções e dando garantias de sigilo quanto aos seus nomes, cujo

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modelo consta no Anexo A. Além disso, ficou acordada também a possibilidade de entrevista pessoal caso necessitássemos de maiores esclarecimentos sobre os protocolos coletados.

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Quadro 2: Formação dos professores-estudantes participantes da pesquisa

Profes-

sor Formação Instituição formação Ano de

A Graduação: Licenciatura em Matemática _{Graduação: Bacharelado em Matemática} PUC/SP _PUC/SP 1987 – 1990 _{2006 – 2007}

B Graduação: Licenciatura em Matemática

Especialização:Educação Matemática

USP

Centro Un. Fund. Santo André

1985 – 1990

2003 – 2005

C Graduação: Licenciatura em Matemática

Especialização:Educação Matemática

Centro Un. Fund. Santo André

PUC/SP.

1992 – 1996

2006 – 2006

D Graduação: Matemática Un. Estadual de Londrina 2004 – 2007

E Graduação: Licenciatura em Matemática Un. Federal de Rondônia 2001 – 2005

F Graduação: Licenciatura em Matemática

Especialização: Educação Matemática

Faculdades Oswaldo Cruz

2002 – 2005

2006 – 2007

G Graduação: Matemática Mackenzie 2000 – 2003

H Graduação: Licenciatura em Física USP 1999 – 2004

I Graduação: Licenciatura em Matemática Centro Un. Fund. Santo André 1992 – 1995

J Graduação: Licenciatura em Matemática

Universidade de Guarulhos

Universidade de Guarulhos

1999 – 2002

2002 – 2003

K Graduação: Licenciatura em Matemática

Centro Un. Fund. Santo André

2001 – 2004

2005 – 2006

L Graduação: Licenciatura em Matemática USP 1996 – 2002

M

Graduação: Licenciatura em Ciências

Graduação: Habilitação Matemática

Graduação: Pedagogia com Habilitação em Administração Escolar

Especialização: Gestão Educacional

Faculdades Integradas de Ourinhos

Fac. Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Jacarezinho

Fac. de Filosofia, Ciências e Letras de Piraju

Unicamp

1987 – 1990

1993 – 1994

2000 – 2001

2005 – 2007

N Graduação: Licenciatura em Ciências

Habilitação em Matemática

Especialização: Formação de Formadores em Educação de Jovens e Adultos

Fac. Paulistana de Ensino

Universidade de Brasília

PUC/SP

1987 – 1990

2004 – 2004

2006 – 2006

O

Graduação: Licenciatura em Matemática

Especialização: Matemática

Especialização: Gestão escolar

Universidade de Taubaté

Fac. de Eng. Química de Lorena

Universidade de Taubaté

1995 – 1998

1999 – 2000

2006 – 2008

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graduados em Matemática e 1 em Física. Podemos observar também que das 10 instituições em que ocorreram as graduações 6 são instituições públicas, sendo: 2 federais, 2 estaduais e 2 municipais.

Outro aspecto relevante observado no Quadro 2 é que dos 8 professores-estudantes que possuem especialização, 6 deles a fizeram na área de Educação Matemática.

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Quadro 3: Atuação profissional dos professores-estudantes participantes da pesquisa

Professor Atuação profissional Nível de Atuação Rede de

Ensino

Período

A

Professor de Matemática Professor de Matemática Professor de Matemática

Fundamental Fundamental Fundamental/Médio Particular Particular Estadual

03/2005 - 08/2007 09/2002 - 12/2002 05/1991 - 02/1992

B Professor de Matemática

Professor de Matemática

Fundamental/Médio

Pré-vestibular

Particular

Particular

1990 – atual

1989 – 1992

C Professor de Matemática Fundamental/Médio Estadual 1993 – atual

D

Aux. de assessoria em Mat.

Fundamental/Médio

Fundamental/Médio Estadual Particular 02/2008 - 06/2008 04/2008 – atual

E Professor de Matemática Fundamental/Médio Municipal 2006 – atual

F Professor de Matemática Fundamental/Médio Estadual 2006 – atual

G

Prof. de Mat. e Lógica

Professor de Matemática Professor de Matemática

Superior Fundamental/Médio Superior Particular Estadual Particular

2003 – 2005

2004 – 2008 2008 – atual

H

Prof. de Mat. e Física

Prof. de Mat. e Física Prof. de Mat. e Física

Fundamental/Médio Fundamental/Médio Pré-vestibular Particular Estadual Particular

1999 – 2005

2000 – atual 2003 – atual

I Professor de Matemática Fundamental/Médio Estadual 1996 – atual

J Professor de Matemática_{Professor de Matemática} Fundamental/Médio _{Fundamental/Médio} Estadual _Particular 2003 – atual _{2004 - atual}

K Professor de Matemática _{Professor de Matemática} Fundamental/Médio _{Fundamental/Médio} Particular _Estadual 2004 – 2005 _{2005 – atual}

L Professor de Matemática Médio Particular 2002 – atual

M

Coord.Pedagógico

Fundamental/Médio Fundamental/Médio Fundamental Estadual Estadual Estadual

1991 – 2000

2001 – 2008

2009 - atual

N

Professor de Matemática Analista Pedagógico Fundamental/Médio EJA Formação de professores Estadual Estadual Particular

1989 – 2003

2003 – atual 1995 – atual

O

Prof. de Mat. e Física Prof. de Mat. e Física

Coordenação Pedagógica Fundamental/Médio Fundamental/Médio Fundamental/Médio Estadual Municipal Municipal

1995 – atual 2001 – atual

2003 - 2004

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“D” que atuava como Auxiliar de assessoria em Matemática;o professor “M”, que há 10 anos atuava como Coordenador Pedagógico; o professor “N”, que há 5 anos lecionava para o Ensino de Jovens e Adultos (EJA) e há 13 anos atuava como Analista Pedagógico.

Na época da coleta dos dados (2º semestre de 2008), dos 15 professores-estudantes participantes da pesquisa, 10 atuavam na rede estadual de ensino, sendo: 7 professores de Matemática, 2 professores de Matemática e Física e 1 Coordenador Pedagógico de Matemática.

A professora da disciplina que investigamos possui um currículo bastante rico, com uma vasta experiência profissional e diversas publicações importantes. É graduada em Matemática, doutora em Educação Matemática e possui pós-doutorado em Educação. Atua ministrando aulas em curso de pós-graduação em Educação Matemática há treze anos, além de participações em conselhos, comissões e consultorias. Suas publicações se constituem de diversos artigos, livros e trabalhos, nas quais figuram autores como Brousseau e Douady. Cremos que por esse motivo, a professora em suas aulas valoriza as descobertas, explicitações e debates entre os estudantes, na resolução de problemas14 a eles propostos.

Nas aulas, a professora segue uma abordagem em que as produções dos estudantes (resoluções) são elaboradas e entregues sem correção. Depois a classe participa de debates e reelaborações e vai se aproximando de resoluções mais completas e estruturadas. Além disso, nas aulas, são discutidos diversos quadros teóricos com base nos quais os estudantes elaboram análises de suas próprias produções. Essas análises, no entanto, não foram utilizadas nessa pesquisa por não ser o foco do nosso estudo.

Durante os encontros (aulas), a pesquisadora atuou como observadora, tendo participado ao todo de seis encontros de duas horas cada. Os dados foram coletados ao final de cada encontro e são cópias xerografadas das produções dos

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estudantes (resoluções de problemas individuais e em grupo, reelaborações, questionários e análises). Dentre elas, selecionamos as resoluções individuais sem correção de cinco problemas e os respectivos questionários. Durante as aulas, conversávamos com a professora quando surgia algum questionamento. Anotávamos essas conversas e logo após seu término redigíamos seu conteúdo na forma aqui apresentada.

Os protocolos com as resoluções dos problemas selecionados foram coletados para fins de diagnóstico, conservando a denominação dada pela professora da disciplina. Ao perguntá-la sobre o porquê dessa denominação, ela respondeu: “Chamo simplesmente de problemas, os problemas abertos que foram propostos aos meus alunos [...]. Problemas abertos para mim são os que o professor não indica a solução nem o método de resolução. Visam à pesquisa dos alunos e o debate entre eles”. No nosso entender, essa referência a problemas abertos relaciona-se com aquela utilizada nos PCNEM (2006) em que o professor não indica métodos nem técnicas de resolução. Esclarecemos que esse documento também admite orientação teórica francesa.

A professora ressaltou que não considera o Problema 4 aberto por sugerir um método de resolução: o uso da fórmula, porém acha válida a sua aplicação para despertar nos professores-estudantes a percepção das diferenças com relação aos problemas abertos, sobretudo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento algébrico.

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Problema 115

Um aluno diz que encontrou 3 números ímpares cuja soma é 20. É dado a você esse problema. Qual é sua solução? Explique sua resposta e conte como a obteve.

Problema 216

Na figura, ABCD é um quadrado e E é um ponto sobre AB tal que AE>EB. Em uma das figuras, E é localizado de modo a formar um quadrado e, na outra, um retângulo com a reta BD sendo seu eixo de simetria. Qual figura interna tem maior área, o quadrado ou o retângulo?

Figura 1: Ilustração referente ao Problema 2

15

Problema extraído de Freitas (2008, p. 117) in: Machado (2008) que foi utilizado em pesquisa que analisa tipos de provas e registros de representação utilizados por alunos franceses com idades entre 14 e 15 anos, cujas séries correspondem no Brasil ao 9º ano do Ensino Fundamental e ao 1º ano do Ensino Médio.

16

Problema extraído do livro Developing Thinking in Geometry de Mason e Johnston-Wilder (2006,

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Problema 317

O projeto de um jardim retangular de 6m por 15m prevê que seja aumentado com pedras ornamentais formando retângulos, conforme indicado na figura em cinza.

Sabendo-se que a área ocupada pelas pedras é de 46m² e que a largura dos retângulos acrescentados é a mesma, calcule as medidas dos lados desses retângulos.

Problema 4

A altura h (em metros), que uma bola de futebol atinge quando é chutada para cima com certa velocidade, será dada em função do tempo t (em segundos) pela fórmula: h= −4,9 t2 + 19,6 t. Quanto tempo a bola permanece no ar?

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Problema 518

Observe a seqüência abaixo:

...

(1º) (2º) (3º)

a) Você poderia encontrar maneiras de continuar essa seqüência? Quais seriam?

b) Dê o número de bolinhas de uma seqüência que continue a representada acima, mantendo a forma triangular descrita pelas bolinhas e que tenha n bolinhas, em cada um dos catetos do triângulo descrito no n-ésimo termo.

Com relação ao problema 2, indagamos à professora da disciplina sobre o porquê da escolha, dado que foi retirado de uma obra sobre Geometria. A professora então justificou afirmando que: “o problema é ideal para a exploração da generalidade na interação entre os domínios algébrico e geométrico visto que trata da comparação de medidas consideradas genericamente”.

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Após as resoluções dos problemas 1 e 2, os professores-estudantes responderam a um questionário que demandou que explicassem como pensaram em cada passagem19 e depois que indicassem as justificativas matemáticas de cada uma delas (o modelo encontra-se no Anexo B). Nos problemas 3, 4 e 5, os professores-estudantes fizeram essas explicações e as justificativas matemáticas das passagens durante as resoluções.

Essa técnica de pesquisa se assemelha à utilizada na pesquisa de Fontalva (2006) denominada “thinking aloud”, por meio da qual o sujeito participante da pesquisa, ao resolver uma questão, deve justificar ao lado seu pensamento por escrito a cada passagem da resolução. Na pesquisa de Fontalva (2006) não foi solicitado como deveria ser a justificativa, deixando à escolha do aluno e o objetivo desse procedimento foi analisar se nas justificativas “[...] estudantes do Ensino Médio explicitam ferramentas tais como conceitos e propriedades ou explicitam apenas termos relativos a técnicas de resolução de inequações [...]” (p. 31). Em nossa pesquisa, por se voltar para professores, quando solicitamos as justificativas, a intenção era que elas fossem matemáticas, pois o questionário solicitava: “Indique as justificativas matemáticas que validam essas passagens” (conforme modelo do questionário no Anexo B).

Os problemas 1 e 2 foram aplicados no mesmo dia de aula (13/08/2008), cujo tempo de duração foi de 2 horas. Esses problemas visavam à vivência de aulas, com base nas teorias que norteavam a prática da professora. Seguiram-se análises de procedimentos dos alunos, debates e intervenções da professora. A dinâmica de aplicação foi a seguinte:

a) A professora solicitou aos professores-estudantes que resolvessem os problemas propostos individualmente.

b) A professora apresentou para a turma um recurso tecnológico que permitia a visualização da variação da figura, conforme o enunciado do Problema 2. Esse

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recurso é recomendado por Mason e Johnston-Wilder (2006) no livro do qual o problema foi extraído e o aplicativo consta em CD-ROM que o acompanha20.

c) As resoluções foram entregues à professora.

d) Coletamos cópias xerografadas das resoluções referentes aos dois problemas que passaram a constituir parte dos protocolos para nossas análises.

O questionário referente ao Problema 1 (modelo encontra-se no Anexo B) foi requerido dos professores-estudantes após as resoluções, ou seja, eles não foram devolvidos no mesmo dia da resolução do problema, por esse motivo apenas 6 professores-estudantes entregaram os questionários respondidos. Para que esse fato não se repetisse, as respostas ao questionário do problema 2 foram exigidas pela professora como tarefa de aula no dia 30/09/2008 e, todos os que estavam presentes entregaram (14 no total).

Os problemas 3, 4 e 5 foram aplicados no mesmo dia (04/11/2008) e o período de aula também foi de 2 horas. A dinâmica de aplicação ocorreu como detalhamos a seguir:

a) Os problemas foram aplicados como avaliação de conhecimento individual.

b) A professora solicitou que as explicações das passagens e as justificativas matemáticas fossem realizadas durante a resolução dos problemas (havia um espaço destinado às resoluções e outro ao lado para as justificativas).

c) Coletamos cópias xerografadas das resoluções referentes aos dois problemas que passaram a constituir parte dos protocolos para nossas análises.

Nas aulas que sucederam a entrega das resoluções e dos questionários sobre os problemas 1 e 2 seguiram-se explicitações, debates e reelaborações das resoluções por parte dos professores-estudantes. O mesmo ocorreu nas aulas que se sucederam a entrega das resoluções e dos questionários sobre os problemas 3, 4

20

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e 5. Acreditamos que essas trocas de idéias e reelaborações possam ter interferido no processo de desenvolvimento do pensamento algébrico desses professores-estudantes. No entanto, nos ativemos a “fotografias” de momentos deste processo.

Ativemo-nos às produções escritas dos professores-estudantes, dada a técnica privilegiada em nossa pesquisa “thinking aloud” que se adapta à questão desta pesquisa diagnóstica.

Para analisar os dados de nossa investigação nos baseamos na modalidade de análise de conteúdo, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 137) é “[...] uma técnica que tem como principal função descobrir o que está por trás de uma mensagem, de uma comunicação, de uma fala, de um texto, de uma prática etc.” No caso de nossa pesquisa diagnóstica, fazemos uma busca dos aspectos caracterizadores do pensamento algébrico já definidos no quadro teórico, porém, algumas das categorias em que agrupamos os dados foram adaptadas de acordo com as informações que emergiram dos dados.

Quanto a essa forma de organização, Fiorentini e Lorenzato (2007) afirmam que a vantagem é:

[...] que as categorias construídas emergem do material de análise, e não da literatura propriamente dita, embora, nesse processo, o diálogo com a literatura e outras formas de classificação seja conveniente e necessário. (p. 139-140)

[...] que ela permite, independente da opção teórica ou metodológica de cada estudo, comparar, por contraste, os diferentes olhares e resultados produzidos. Isso não significa ecletismo. Significa acima de tudo, respeito à diversidade e às múltiplas formas de produzir conhecimentos dentro de um campo específico, como o da EM. (p. 140).

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CAPÍTULO III

RESULTADOS DAS ANÁLISES DOS DADOS

Nesse capítulo apresentamos nossas descobertas a partir das análises dos protocolos de resolução referentes aos problemas propostos. Os Problemas 1 e 2 que são problemas gerais e, portanto propícios ao desenvolvimento do pensamento algébrico, permitiram uma análise mais profunda devido a riqueza de detalhes que emergiram dos dados.

Os protocolos referentes aos Problemas 3 e 4 apresentaram poucas variações significativas, pela própria natureza dos enunciados, o que nos conduziu a uma análise mais restrita.

Voltamos a encontrar aspectos significativos nos protocolos referentes ao Problema 5, o que possibilitou-nos fazer algumas comparações com os resultados das análises dos demais problemas.

Esclarecemos que as resoluções escolhidas para compor os quadros de resultados das análises referentes aos problemas propostos são as mais típicas de cada grupo (em termos de proximidade em relação às demais de cada categoria) e evidenciam com mais detalhes os indicadores encontrados.

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3.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DOS PROTOCOLOS REFERENTES

AO PROBLEMA 1

Apresentamos a seguir os resultados da análise dos protocolos coletados referentes às resoluções do Problema 1. Inicialmente, buscamos em cada um destes protocolos os aspectos caracterizadores do pensamento algébrico segundo Fiorentini, Fernandes e Cristóvão. (2005), destacados no Quadro 1, que foram usados como indicadores. Alguns deles foram alterados segundo as categorias que emergiram do material analisado. Apresentamos o que encontramos, em quadros seguidos de considerações sobre cada um deles.

Para ser confortável ao leitor, transcrevemos os indicadores constantes do Quadro 1 que têm similaridade com o que encontramos nos protocolos:

1. Desenvolver algum tipo de processo de generalização.

2. Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente.

3. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias.

4. Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema.

5. Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples.