Primeiras noções de geometria pratica, 1907

(1)

O l a v o P R E I R E y . <

, Primeiras Noçôes

4 9 0 e x e r c i c i o s

92 problemas rosolvic'os

3 8 1 g r a v u r a ? À F r a n c i s c i o A I . V E S , & O R I O D E J A N E I R O " ' i f , — O v . o o a , R U A D A B A H J A ! R Ï D E E M * , i . .

B*ELLO HORISONTE (I'.IN-Asil S>0 lA !l

1 9 0 7

f

(2)

Primeiras Noçôes

d e - •

(3)

• V II-; I '.*1

/ l ^ ^

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h .:[ i f l a â à S U

Oiavo F R EI R E

P r i m e i r a s N o ç ô e s

d e

Geoietria Pratica

4 9 0 e x e r c i c i o s

92 problemas resolvidos

3 8 1 ê r r a v u r a s F r a n c i s c o A L V E S & C » RIO DE JANEIRO 314, ~ RDA DO Ouvidor,

R U A D A B A H I A

BBLLO HGRISQNTE (MINAS)

rua de s. bento, 65

SAC PAULO

(4)

Ao dilecto Mestre e AmigOj

0 I I I " e E x " S h r

Dr. ./. J. de MENEZES VIEIRA,

em testemunho de gratidào O.D. C. 0 Olavo Outubro — O L A V O ,

Teu livrinho — Primeiras noçôes de Geometria é

um bom inslrumcnto de ensiuo e uma prova da

conquis-ta que vfio fazendo entre nos os sâos principios

peda-gogicos.

Gonseguiste libertar-te dos velhos moldes quanto ao methodo, aos exemplos, ao eslyio e ao sestro de arran-jar compendios por empreitada e à la minute ; aceita

meus sinceros parabens !

Sinto, entretanto, que tivesses em um ponlo transU i gido com a rotina', preferindo problemas abstractos às queslôes praticas, cuja resoluçâo se oflerece todos os

d i a s n a v i d a s o c i a l .

Receiasle por ventura os sarcasmos de que foi

vicli-ma o excellente M. Desargues, o consciencioso

propa-gandista da geometria appUcada as artes? Que le importaria semelhante affronta?

Aos teus censores respondenas corn as textuaes

pala-v r a s d o i l l u s t r e G l a i r a u t e m 1 7 4 1 :

Qu'EucIide se donne la peine de démontrer que les

cercles qui se coupent n'ont pas le même centre, qu'un

triangle renfermé dans un autre a la somme de ses côtés plus petite que celle des côtés de cet autre; on ne sera

i p a s s u r p r i s .

La géométrie avait à convaincre des sophistes obs

' Nâo transigi em absoluto porque pretendo publicar uma aerie de problemaa de oaracter essenciabjiente pratioo.

0 . F R E I R E

(5)

— 8

-unos qu, se faisaient gloire de se refuser aux vérités

les plus évidentes. 11 fallait donc alors que la géomé

trie .eut, comme la logique, des raisonnements pour

fermer la bouche à la chicane. Mais les choses ont

change de face. Tout l'aisonnement qui tombe sur ce

que le bon sens seul décide d'avance est aujourd'hui en

puie perte et n est propre qu'à obscurcir la véiûté et

dégoûter les lecteurs. »

E na verdade, meu arnigo, la géométrie du bon sens,

a geomeiria realmente descriptiva e inluitiva é a unica

que deve ter o direilo de entradanas escolas prlniarias.

' ste é G parecer do teu velho inestre e amigo dedicado.

M k x e z k s V i e i k a .

N. C. — 26 Outubro 1894.

A l g ' u m a s o p i n i ô e s s o b r e

a primeira ediçào

Jornal do Commercio. 29 de março de 1895 :

Os Srs. Alves & G" acabâo de éditai- um livre muito

util, do Sr. Olavo Freire. Intitula-se Pri7neiras noçOes

de Geomeiria Pratica e dû ao ensino da geometria

ele-mentar a facilidade que os estudantes nâo encontrâo em

outres compendios.

O Sr. Olavo Freire, pela clareza da sua exposiçâo e

pela excellencia do methodo que iidoptou, soube tornar o seu hvro urna obra didaetica de mérite

verdadeira-mente excepcional. Por elle a geometria elementarpéde

ser ensinada com grande vanlagem nas escolas de

ins-trucçâo primaria, e sabem todos quanto o conhecimento

da geometria impôe-se hoje a todas as profîssôes.

Como em outres compendios d'essa sciencia, o livro é

ornado de muitas gravuras, cerca de 260, explicativas e exemplificativas.

0 Paiz, 7 de abril de 1895 ; Primeiras noçôes de Geometria Pratica. O Sr

Olavo Freire, conhecido e reputado professor de desenlw

e tiabalhos manuaes, soube com pericia compendial-em

159 paginas, in-8o, todas as noçôes elementares de geo

m e t r i a p r a t i c a . ®

O volume que temos présente constitue trabalho

(6)

— 1 0 —

Os numerosos exercicios e problemas praticos

U a m a n n ï i c a d a s f f r a v u r a s a u e e n c ( » r r a o

e a s U s n u u i e r o s u s v . p i w . i c i u

nitidas e bem applicadas gravuras que encerra o

coni-uendio do Sr. Olavo Freire elucidam cabalmente a ma

teria cuio ensino, amenisado d'essa forma, torna-se

ta-refa àgradavel e facil ao professor e ao discipulo.

P efaciao livre do professor Olavo Freire o emerilo

educ'acionisla Dr. Menezes Viera, cujas palavras

consti-o.pm ura brade de animaçao ao joveii professor e penhor

valioso daulilidade de seu Irabalho.

0 Democrat^ Fed^i'al (S. Panic), 15 de maio 1805 : Geomclria pralica dos estiinados e populares ediiores

srs Alves & C" Rccebemos um pequeno compendio escolar com o litulo Pfimiras noçôes de Geometi'ia

Pralica. deslinado, como se v6, aos estabelecimeiUos de instrucçâo primaria.

0 livro, corapilado pelo sr. Olavo Freire, contem 318 exercicios, 71 problemas e 233 gravuras. Desenvolve intuitivamente todos os elemenlos indispcnsaveis aos

priraeiros conhecimentos de malhematica linear, exem-pUficando os problemas com bôas gravuras elucidalivas.

Pela sua clareza de exposiçào e pela dislribuiçâo me thodica das materias, torna-se o présenté opusculo um

livro de grande uiiUdade para os principiantes, princi

palmente si considorarmos que no genero, raros sâo os auctores, que se prestam pela precisâo e clareza, â apren dizagem dosjovens esludantes.

Recommendando, pois, aos srs. professores, o livro

do sr. Olavo breire, •''Sradecemos aos sympalhicos edi

iores a valiosa offerla.

1 PRIMEIRAS NOÇÔES

d e

GEOMETRIA PRATIGA

G A P I T U L O I P R I M E I R A S D E F I N I Ç Ô E S

SUMMARIO ; Espaço. ~ Corpo. — ExtensÂo.

— V o l u m e . — S u p e r f i c i e . — L i n h . a .

PONTO.

Si collocamos um tinteiro sobre uma

mesa, elle fica em uma posiçâo definida no

e s p a ç o .

A mesa esta no es

paço limitado pela

sala; esta, no espaço

comprehendido pelaescola; a escola, sobre a

Terra ; e a Terra, em continuo iiiovimento pelo

e s p a ç o .

D'esta sorte todas ^s cousas estâo no

(7)

- 1 2

-espaço : porém que -espaço? — Onde

principia ou acaba?

0 espaço, sem ter começo nem Hm, enceira

todas as causas e estende-se em fodas as direcçoes.

Todas as cousas que occupam um certo

lugar no espaço chamam-se COrpOS.

Assim um tiiiteiro, uma

H P t i n n i e s a , u m l i v r o ,

xyL/i ^\J, folba, etc. occupam

um certo lugar no espaço e

Sâo por isso chamades COrpos, {fig. 1).

Fi|:. 1- Uma pedra ; uma iin» bomem : corpos. E X E R C I C I O S :

1. — Este livro occupa espaço? que nome

recebe?

2. — Queéuracorpo?

— 1 3 —

3. — Dae alguns exeraplos de corpos : na aula no

j a r d i m , n o p a t e o . '

4. — Um lapis sera um corpo? — porque ?

O espace occupado por um corpo

chama-se extensào.

Extensâo.

com uma, duas ou

très dimensôes, isto é, comprimento;

compH-meiito e largura-, e finalmente comprimento

largura e espessura.

1 . 2 . 3 .

E X E R C I C I O S :

Que nome tem o espaço occupado por um corpo?

Quantas dimensôes pôde ter uma extensâo?

C o m o s e c h a m a m ?

' A extensâo corn très dimensôes, isto é,

comprimento, largura

\/ n! n m P ® espessura ou

profun-Y \J Ê U 11 i didade recebe o nome

d e v o l u m e .

(8)

— 1 5 — — 1 4 —

pai-ede, o soalho e o tecto de uma sala é urn

v o l u m e .

, A qltura ou profundidade é em certos ca

SOS denoniinada espessura.

Assim dizemos ; a espessura de uma folha

de papel, dc uma taboa, etc.

-0 volume de um corpo é o lugar

este occupa no espace.X

Uma regua, um relogio, um lapis

occu-pam lugares no espaco; estes lugares sac

OS volumes d'estes objectes.

Ira T- ^ ® Home que recebe uma extensâo com "fs dimensôes?

g' ^ exemples._{® ° volume de um corpo?}

Home receWv regua no espaço, que

®cerladamenle : a altura de uma folha

como devemos dizer?

do pegamos n'um livre ou em outre corpo

qualquer, é na

Superficie.

corpo, que

to-camos; quando o operario fôrra uma parede,

é na sua superficie que elle colla o papel.

A epiderme do corpo humane, o epicarpo

(pellicula externa de um fructo) sac SUpC"

fi c i e s .

A' extensao com duas dimensôes, isto é,

comprimento e largura dâ-se o nom© de s u p e r fi c i e .

Alguns corpos têm uma s6 superfi^'^ ■

Fig. 2. — Um ovo : corpo com

uma uniea suporflcie. ' F i g . 3 . — f l o r e s :am corpo limitado por

duas superficie^

Cô \'

cei'ca ^'^pai'ado do espaço que o

s u n ^ r s u p e r fi c i e -

_{'cie nâo tern espessura.}

Quan-uma esj5hera,.Quan-uma bola de bilhar, um ovo

(fig. 2), um limao etc.; outres sâo limitados

(9)

; 0

— i 6

-caixa cyliiulrica; por très uma moeda cle nikel,

uni lapis cylindrico, etc.

0 dado de jogar {fig. 4) é t'ormado por seis superficies, um esqua-dro por cinco.

As superficies dos corpos podem s&v planas,

ou curvas; dividem-se

portantoas superficies

em planias e curvas.

A s s u p e r fi c i e s d e

uma pranclieta, da taboa

de lima mesa, de um espellio commum sâo

planas.

0 marceneiro utilisa-se de um instrumento

chamado plaina (fig. 5)

para obter uma super

ficie plana.

As superficies do ovo.

Fig. 5. — Uma plaina. de uma larauja etc., sâo

c u r v a s .

0 torneiro é o operario que mais conliece

Fig. 4.

q u e r n n o s

as superficies ciirvas; é elle

labrica os cabos de utensUios, as maçanetas~

ascolumnas, os piôes, cujas superficies

s â o c u r v a s .

— 1 7 —

As superficies curvas sâo concavas ou

c o n v e x a s . w

Umatelliacol- (J

locada de modo 1 n F i g . 6 . — U m a t e l h a : s u p e n î c i e c o n c a v a . a servir de calna

(fig. 6) é uma superficie concava. e

em seiitido inverse (fig. 7) é uma super ficie convexa; a. parte in- ,

terior de um tubo {fig. 8)

^Saperfmi cwvaw

*

Fig. 7. — Uma tolho : superficie convexa. Fig. 8.

é concava e a parte exterior é convexa.

S y n o p s e planas, c u r v a s . .

Superficies , .

o o n c a v a s . f c o n v e x a s . E X E R C I C I O S : — Onde esta a superficie d'esta parede ?

2. — Que idéa fazeis da superficie de um corpo? 3. — A superficie de um corpo é sempre da mesmn

substancia que o corpo?

4. — Tern uma superficie ires dimensôes? quai a

di-mensao que Ihe falta?

5. — Pôdû um corpo teruma sô superficie?—exemples. 6. — Conheceis alguns corpos terminados per duas

(10)

— 1 8 —

— Por quantas superficies é formada esla regua V

8 — Como se chamam estas superficies ?

9. — Qual 0 operario que mais deve conhecei'as super

ficies curvas . — e o que mais deve conheccr as super

ficies planas.

10. - Ccmo pode o marceneiro obter uma superficie

plana (

H. - Quantas superndes tern urn dado de jognr?

12. - Como se ohu,„a a supernde do uraa bol^'

; ? ■

I

c i :

1 ■

eudV-eocsterior-r" " de uma

velr'""'™' concavas; -

eon-A extensao onm

c o m p r i m e n t o , c h a m a - s e '

I ! 1 ^ I n ^ " ' u i t o l i n o , u m

L / / ? / ? 5 . l a p i s

S i

p °

-linhas, porém pQ^,^^Q como

melhor que façai^-iQg ; porque, por

g u r a o u u m a u m a I r i r

-nSo tern largu,^^ ^ ^ '""ha geometrica

camenle ^^P^ssura, porém

iini-E n t r e l a n t o

empregamos o

0 encontre on Interi! etc.

"e duas

super-- 1 9 — ficies (fig. 9) dà-n o s t a m b e m a l i n h a . A aresta de u-m a r e g u a , o s c o n t o r n o s d e u m copo, de uma fl6i\ de um livro s â o l i n h a s . J( As linhas sâo rectas (/?o. fO) ou

. .R interaccçâo de

n _ - R e c l a l i n h a .

curvBSjflfig-Pig- 10. —Linhas rectas. Fig. 11. — Linhas curvas

Um fio (/?»■ 12) esticado dà-nos idéa

d e u m a l i n h a

r e c t a . 0 i n s t r u m e n t e

(11)

— 2 0

ra auxiliaro traçado das lînhas rectas

cha-ma-se regua (fig. 13).

Fig 13. - Uma rogua. Q CarpilltcirO G O

pintoi- scrvem-se algunias vezes, pai-a traçar

lima linha recta, cie um cordel coberto de

F i g . u .

des esticado pelas

extremida-Sando depois pelo meio e

lar-0®»almente uma linha recta

por meio

deduaslet-tras collocadas, uma

- B

D(

I . .

F i g . c a d a e x t r e m i d a d e ,

^ecta AB. como poi* exemplo :

u m a | i „ u P ° « o

a

1 5 ) .

A 5® '-ecta Podemos traçar

' . o J J a a d a " ^ r t i c a l ,

' K

— 2 1 —

A linha recta esta na posicSo vertical

(fi^. ITi) quando segue a direcçâo do fio a

praifUi V 17).

O fio (I prunio compoe-se geralmente de

um eordcl, na extremidade do qual X

itclia suspenso um corpo

pe-{sado.

Ofio a prumo é muito iisado

pe-los pedreiros.

lîm um relogio de pa-rede , quando nao esta

tra-balhando, o pendiilo oc

cupa a posiçâo vertical.

\^A linha recta esta

Fig. Hi.—Linha crû posiçSo horlzoiital

r e c t a o m p o s i - ^ ^ ,

çào vortical, (fig' l^) quaildo SCgUC

a direccao das aguas quietas, tranquillas. ^

Assim, por exemplo, si conseguirmos

col-locar sobre a superficie

d'agua um phosphoro

Fig. 17.

Fig. 18. — Linha recta em posiçâo Fig. 19. — Linha roota om h o r i z o n t a l p o s i ç n o i n c l i n a t l n .

e si este aid se conservar, ficarà em posiçâo

(12)

'">V' ' ,

linha r

o o

ecta esta em posiçâo incîinada

Fig. 20.

(fig. 10) quando nâo estiver em posiçâo m

vertical nem horizontal. ^

K

n e m

— 2 3 —

E' com o metro f) (fig 20) que

geral-mente se medem as Wnhas rectas.

A linha que, além de nao ser recta, nao

é f o r m a d a d e r e c t a s , é u m a ^

l i n h a

c u r v a .

I

Ha uma infinidade de linhas (

curvas e a mais simples é a ^

circumferencia (fig. 21).

linha composla de rectas é cliamada

linha queJjrada {fig 22).

Fig. 22. — Linha quebradn. Fig. 23. — Linha mixta.

A linha composta de rectas e curvas

chama-se linha mixta {fig- 23).,;

no metro è a unidade principal de

ma millionesima parte de xim quarto do fhata ou

qua-0 metro lem geralmente a fdrma de uma i ^ dlvisôes

drada, dc madeira, sobre a qual estao

dos decimetros, centimetres e algumas madeira

Fabricatn-se tambem metro, dobradiços (fig. 20) em madeira,

osso ou metal; e em fitas de panno, aço ou pap . .

-Divide-se o metro em decimetros. ® eeX

0 decimetro é a decima parte do nietro; o

s i m a p a r t e e o m i l l i m e t r o . a Te r ^ = 1 decametro; 100 metro. = 1 hectometre; 1.000 r»et,oe

= I kilometre; 10,000 metres 1 myrlametro.

(13)

- 2 4 —

EXERCÏCIOS :

n o m e r e c p h o ^ »

a i m e n s à o ? ^ © x t e n s â o c o m u m a u n i c a

2. Como se ph'»TM«~

ficie? ' ®^^^Gniidades de uma

super-— Como se cham

<inas superficies ? . ^ ^ i^tersecçùo ou encontro de

6 - I ■

o- — Mostrai umn I5«i

7-Quald'estes,

8. — Como podeis tracoi-'^^ ^ ° — porque?

ardo^.a y uma Hnha no papel ? - e na

II- - De que processV^'" ° forma'

carpmte.ros para traçar nZ7T'"'

12. - Como geralmem. a

«-Seguado,,. P°^°-'^»«-doumponlo

uma linha recta ? ^^ao que sGffn.

15. — Quando um ^ nomes recebe 16. — Quando é ^ Vertical v

1'- — Quando inclin^ ^

19.-Para que sel ?

20. - Traçai un,^ j ® ^ fio a p^u ,

hor,sontnl;^ine,. ^ r.ecta ein ^ •

II' é o rnBtroi vertical;

-22. — Para que

-23. — Como se divid*^'

24.-Um metro q ® ° 'Uetro?

— 2 o —

25. — Meio meli'o quantos cenlimelros tem?

26. — Quantos millimètres serilo necessaries para

for-m a r u for-m for-m e t r o ?

27. — Quando uma linha nûo é recta, nem formada de

linhas reclas, como se chama?

28. — Quai a mais simples linha cun'a?

29. — Que é uma linha quebrada?

30. — Que é uma linha mixta?

31. — Traçai uma linha recta; uraa linha curva: uma

linha quebrada; uinaUnhn mixta.

Pon to.

As extremidades de umaliidia sâo pontos;

<1 intersecçâo de duas linhas c um ponto, e

o Uigar onde duas linhas se

encontram é tambem um p o n t o .

O ponto geometrico nâo

tem dimensôes, isto é, niXo tem

cofnpri-^tento, largura nem espessurn', entretanto

determinamol-o por meio uni signal

deixado pela ponta do lapis, da penna, do

giz sobre uma superficie.

Désignâmes os pontOS

pormeiodelettras; assim, Pie.24. —Ponto a.

por exemple ; ponto A {fig. 24), ponto B,

(14)

- 2 G

-EXERCICIOS :

— Gomo sp extremidades de uina liniia 'i ^ QuanLic A- ^ inlersecçào do duas linhas?

« -Smo d temoponto?

_{"^0 désignâmes um ponto?}

C A P I T U L O 1 1

SUMMARIO : Angllos.— DivisÀo dos angulos.

— B l S S E C T D l / . P n O B L E M A S .

Si duas rectus se encontram, iormam um

a n g u l o .

A n I InC compasso

aber-n 11 I Do. to (fig. 25). as

to-lhas de uma tesouia

{fig. 26) dâo-nos perfeita idea

do angulo.

0 ponto deencontro

cliama-Fig. 25. — Compasso aberto :

u m a n g u l o .

se i>crtice, as linhas tomam o m foih«

(15)

2 8

afastamento dos lados chama-se

angulo 27). ^'*"><1 do

Vwtict Designa-seuin

ti'eslettrascolioca^.

Venice e as o u t r a s d u a s

as ^

Fig, 27. — Urn angnlo. e x t r e

-aiidades dos

lados (fig. 28) ou

simples-mente por uma leitra collocada °

i fi g - 2 9 ) . X

Pig- 29. — Angulo V. pj \ /

O.-Anguiorecto. Fig.31.-A.,

U r n a n g u l o é - " " ' " " s u . , .

31) ou otoso

Si uma lin],. ''

eahe sobre out,,

- -■■- p a n a

para outre lado

gulo é recto ' °

a abenura d ''■s-A»p.io

' a " 9 u l o é

— 2 9 —

que a do angulo recto, elle é egndo; si

m a i o r é o b t u s e ,

Alinha que di-vide o angulo . e m d u a s p a r t e s ^ i g u a e s c h a m a -s e b i s s e c t r i z { fi g , 3 3 ) . F i g . 3 3 . -O angulo, conforme as Um

^'ias que o

Fig. 34. — Angulo rectilineo. Fig. ffi. —. .

Aogyiç cur\-i1iaeo.

formam, é rectilineo (dg. 34), curvilineo

ifiS- -35), OU mixtiUneo (fig. 36).

Si as linhas que o

for-m a for-m s a o r e c t a s : o a n

-- , F i g . 3 6 . — A n g u l o m i s t U I n e o .

gulo e rectilineo. Exem

ples : og angulos de um esquadro, de um

cartao de visitas, etc.

Si as linhas que o formam sao curvas : o

a n g u l o é c u r v i l i n e o .

(16)

- 3 0 —

assim como da liera, da roseira, a

extre-miclade da I'ollia de

um canivete, a ponta de unia espada etc.

E, finalmente, se as

linhas que o formam

s a o u m a r e c t a e o u

-P i c

— U m a f o u c © : u m ®ogiiio mixtilineo.

tru

plu ® angulo é mixtilineo.

Exem-fg ' fouce (fig. 37), a ponta de um

{fig 38).

39, ^^rv^ilineo pode ser co/u'e.ro

- ' U ) . O i l c o / w e . v o - c o n c a u o n^. 0

«"Uvei'^^'irviiinoo

" K ' l l o

'■«laçao . """ {fig- 43). 301.

« " r v i l i i i o o

somma tie st,

^'O'H'e.vo

■^'"'"idezas os

— 31 '

^^'igulos sac

^ ^ n t a r e s . UPP^®' t l U * " Augulo eurTilinoo c o a c a v o .

angulo coiiîpi®^^^

1-O

p . _{43. _ Angulo mixlilin®® complemonlar.}F i g . 4 4 ' — A V B : a n g u l o

c o n v o x o - c o n c a v o . , , ,

q u e . ' ^ ^ ^ n c | U l O J d a n o s u m a n

-^^^' junto a um outro any j

_{aUlo recto. %}

a n g u l o

- e m e u

-7'' {fig- 4.^) é

^ lue falta a

'"Ui-o angulo

pa,-a

dois

(17)

— 3 8 ~

Synopse

Os angulos podem sei- considerados :

1 -Conforme a sua gi-andeza.

Angulos. .

obiusos. agudos. /^ecfos. 2° — Contornie

Anguhs.

anaturezade seus lados.

'^sciiUneos. ^tAtvilineos. c o n v e x o s . c o n c t t V Q s . ( ^^^^^xo'concavos.

'p'^fiJineos. , i *^onvexos.

c o n c a i ^ o s

de'Ir ^ —a de

suas

gran-Anguios

_{'^^'^Phmenfares.}

''"Pplementares.

pelo

O S t û S

— 3 3 —

" Dois angulos formados um pelo prolon

gamento dos lados do outre Sao oppostos pelo vertice [fig. 46). Deis angulos op

postos pelo vertice sao

p e l " ■

i g u a e s . _ t e m

Os angulos sac adjace^^

um lado commum a ambo^l^ la^l^ ,

o ® Fig. 4". — Angulos adjacentes.

A r- depen'l''

. d t a m e n t o o u a p p r o x i m a c ^ -O comprimento dos n a d a i n Q u e e m s u a grandeza.

Os'angulos for

mados ao redor de um

ponto valem quatre a n g u l o s r e c t o s

i/ig. 48).

f~ Os angulos

for-l u a d o s d o m e s r a o

(18)

-— 3 4 -— ■

tornado sobre esta recta valem dois

an-gulos rectos (fig. 49).

Fig. 40. — Angulos formados ao rodor de um pooto o do mesmo lado de uma recta :* dois angu

l o s r e c t o s .

Problema I. — Construir um angulo igiial a oiitro

angulo dado (*).

Soja CAB 0 angulo dado (fig, 50). Com uma dislancia

qualquer e do ponto A, como centre, descrevamos o arco

F«g- 52.

de circumferencia de circule (*"') EF com

o s / a c / o s d o a n g u l o . e n t r e

Corn igual abertura de compasso e h

Iracemos a curva MX, meçamos co^ ° n , „ tancia EF e appliquemol-a em MX % 51)

N que, hgado ao ponto G, resoK*era

a d i s

-(') Para mcdir e roproduzir um a^,

?oni-8e de um ulonsilio

•) Vêde Capitulo VIII.

SH.rvoni.8e de um ulonsilio chamado =,

" •

Prob?*^Os 0

02).

3 5 —

Problema II. — Traçar a bissectriz de um angulo ou

dividil-o em duas partes iguaes.

Do ponto A, com uma distància qualquer, descrevamos

o arco MN. Dos pontos M e N, como

centres, {fig. 53) e com uma mesraa

G: distancia descrevamos' os arcos que

\ determinam o ponto G, o quai, ligado

F i g . 5 i .

ao .veriicc do angulo, isto é ao ponto A, nos darâ a

bissectriz pedida.

I Problema III. — Dividir um angulo em quatre, -jilo, dezaseis, trinta e duas partes iguaes.

Para resolvcr este problema,

tire-sc a bissectrj> do angulo

{fig. 54}, depois dividamos cada mctade do angulo em duas

partes iguaes e prosigamos

n'esta operaçâo até encontrar a divisfio desejada.

P r o b l e m a I V. — D i v i d i r um angulo recto em 1res partes iguaes.

Do vertice A {fig. 55), como

ceniro, e com uma distancia qualquer, descrevamos o

arco MD ; dos pontos M e D, como centres, e com

a mesma distancia marquemos os pontos G e H, os

(19)

A

— 3 6 -fi ' i a e s u n i d o s

M

ao Venice A, rosolverâo o problcma.

P r o b l e m a V . — Dado urn angu-Id agudo, achar o sou complomento. Seja DAC o an-gulo agudo [fig. 56). Levantemos com 0 esquadro e a rcgua, pelo V e n i c e u m a l i n l i a p e r p e n d i c u l a r A M . O a n g u l o Fig.

56-é 0 coniplemento do angulo DAG,

Problema Vl -Dadoum

o b t u - \

sOf achar oseu

supplemento. Seja MDA 0 a n g u l o o h - _ t u s o , ( fi g _ i ) P r o l o n g u e - F i g . 5 7 . niOS 0 /orfrt 1"^ V

para a esquorda e acharemos o angulo,

^ M D N s u p p l e m e n i o d e M D A .

P r o b l e m a V M . — D i v i

-dir um angulo em duas partes

iguacs sein auxilio do

coin-p a s s o . ,

Seja V 0 angulo {fig. 58).

I arquemos com uma tira

e papel, sobre um lado, as

distanças VM e MF e

repro-duzamoUs no outro lado do ""gulo em VN e NE.

Trace-— 3 7 Trace-—

mos as rectas ME e NF. A recta VPQ divide o angulo V

em duas partes igunos.

E X E R C I C I O S : 1. — Traçai um angulo.

2. — Como so chama o ponto do encontro d'ostas duas

linbas?— e .que nome recebem estas linhas?

3. — Como désignâmes un angulo ? 4. — Como se dividem os angulos?

5. — Traçai um angulo recto; — um angulo agudo; —

u m o b t u s o .

6. — Qual dos très o maior?— o menor?

7. — Mostrai um angulo recto ; — um angulo agudo ; —

um angulo obtuso.

8. — Que é uma bissectriz?

9. — Como se classificam os angulos segundo as linhas

q u e 0 f o r m a m ? '

. 10. — Que é um angulo rectilineo ? — um angulo

curvl-lineo? e um angulo mixticurvl-lineo?

11. — Traçai um angulo rectilineo; um curvilineo; um

m i x t i l i n e o .

12. — Como se dividem os angulos curvilineos?

13. — Traçai os angulos curvilineos que conheceis.

14. — Como se dividem os angulos mixtilineos ? traçai-os.

15. — Que é um angulo complementar ? 16. — Que é um angulo supplementar ? 17. — Que siio angulos adjacentes?

18. — De que depende a grandeza de um angulo? 19. — A que é igual a somma dos angulos formadosao

redor do um ponto ?

20. — A que é igual a somma dos angulos formados do mesmo lado de uma recta e ao redor de um ponto situado

(20)

— 3 8

-anm'.i" ^ bissecti'iz de inn angulo recto; — de urn

9 - 7 ^ " « ^ 1 ' ' ' ^ P » » ' l e s i g u a e s .

z t - n l l l a - " " " i g " a e s .

25 — rnm ' obluso em oito partes iguaes.

altfuns onern^ "■tensilio do quo so servem

2 G . J ^ T r n A T = i n g u l o ?

compasso. ^ ^'ssecinz do urn angulo sem auxilio do

0 outi^?®' """ adjacentes 6 recto, que é

(S ô outre? ^ angulos adjacentes «5 agudo, quo

é 0 outi'o? angulos adjacentes é obtuso, que

C A P I T U L O I I I

SUMMARIO : Peiipendiculares e obliquas. —

PnOBLEMAS.

S i u m a r e c t a e n c o n t r a i i m a o u t r a e f o r m a

Perpendiculares

e obliquas.

forma um ana'ulo attutlo ou obtuso : é oblî—_o _o

tim ano'ulo recto ; c perpendicular; e si

f o r m a

q u a .

Synopse

UfnQ linho rocto i cec/o ; é perpendicular.

agudo a n g u h . . . o u é o b l i q u a . e n c o n t r a o u t r a e f o r m a o u o b t u s o

(21)

— 4 0 —

c 3»

De um ponto fora de uma linha recta, podemos abaixar (*) uma perpendicular sobre esta recta, e so podemos abaixar

u m a .

0 esquadro em forma do

T usado polos desenhistas

til nos mostra duas linhas

I perpendiculares entre

Fig.sg.-umtradorduas si, um ti'ado (/?^. 59).

H n h a s p o r p c n d i c u l a r u s « u t r e s i .

Problema Vlll, — De um ponto situndo fora de

M A * 1 A r s M > A

uma recta, abaixaruma

perpendicular à mesma recta.

!• Soluçao (com a

regua e o esquadro) : Façamos coincidir

uma aresta da regua com a recta AB {fig. 60),

e escorreguemos o lado

menor do esquadro pela regua até o lado

maior encontrar o pon- Fig. CO.

to 0. Tracemos a recta OM e teremos resolvido o pro

b l e m a .

2' Soluçao (com a regua e o compasso) :

(*) Ahaixar, slenill^a •

ifituado f(5rn de uma recH Perpendicular de um ponto

i esquord.i do uma linha'veUio-.? " direita on

nma Imha horizontal. em ciina ou em baixo do

— 4 1 —

Façamos centre no ponto 0 e com uma abertura de 0 E \ - B c o m p a s s o m a i o r que a distancia e m l i n h a r e c t a d'este ponto à recta AB (/?§'. 01) d e s c r e v a m o s u m a r c o q u e c o r l e e s s a r e c t a e m dois pontes E c F, dos quaes, c o m o c c n t r o s e c o m u m a a b e r t u r a d e c o m p a s s o m a i o r d o que a melade de EF, determine-m o s 0 p o n t o G , ^

o qual ligado ao ponto 0 nos dâ a perpendicular pedida. Problema IX. — For um ponto tornado sobre uma

recta, levantar uma perpendicular a esta recta.

1' Soluçao (com a regua e o compasso) : A partir do ponto 0 {fig. 62) marquemos duas distancias iguaes

OD e OG.

Dos ponlos D e G,

c o m o c e n t r e s , e " c o m

uma distancia maior

que OD ou OG,

des-crevanios dois arcos

T - 3

Fig. 62.

que determincm o ponto M. A recta OM resolve o pro

blema.

(22)

— 4 2 _{— 4 3 —}

Façamos coincidir uma aresta da regua com a recta

AB {(îg. 63), appliquem o s G v e r t i c e d o a n -gulo recto do esquadro no ponto 0, o lado

m e n e r d o n i e s n i o e s

quadro contra a regua

e l e v a n t a m o s a r e c t a

OM, quo satisfaz o

pro-b l e m a .

F i g .

p r o b l e m a X . —

L e v a n t a r u m a p e r

pendicular pela

extre-m i d a d e d e u extre-m a r e c t a

cujo prolongamento nûo possamos traçar.

1' Soiuçâo.— Tiremos pelo ponto B (fig- 64), uma obli

qua BX; no pon to C d'esta obli q u a f a ç a m o s c e n t r o e t r a c e m o s u m a c i r -cumferencia que passe pelo extre

m e B e c ô r t e a \ r e c t a A B c m u m A — ponto E, ( JllHIIIIIP <> l" F fio ponto (.) p o r u m a r e c t a r|Tir>,pi'nliMi({it<lu,

jlolwmiriP „ D. A nn (! a porpo„dl,H.i»,.

mNbdo V Ô":„r,ÏÏ 0"

extra-O o r c o M X . . c .

-/

«riy. un un qunl<[ii..i- VM doscrevajuos • A M X Fig. 05.

A partir do ponto M, com a mesma distancia VM deter-minemos o ponto B e a partir d'este ultimo, o ponto C.

Unamos o ponto B ao ponto C e

fa-çamos passai' pelo

m e i o d a r e c t a B C uma perpendicular. A recta VE é a per pendicular pedida. P r o b l e m a X I . — D i v i d i r u m a r e c ta em duas partes

iguaes ou fazer

pas-sar uma perpendicular pelo meip de uma recta.

Façamos centro em A e B (fig. 66), e com uma distancia

inaior que a metade da recta AB deterniinemos os pontos

C e D pelos quaes

passe a recta CD, isto

é, a perpendicular

que divide a recta AB

em duas partes iguaes. P a r a d i v f d i r u m a

^ recta em quatro, oito,

dezeseis, trinta e duas

pnrtos igimoR, bnfitarâ

« i l V i l U l I I I O R t t H c l O l l l P

-Idilo, ijiiai'til pfti'lu,

oitava parte,

successi-V H i n n n l n i m >

s C

l ' I g . l i l i ,

I C 1 0 9

1. — Quando uma recta encontra uma outra, (piaes sAo

"S pobiçûes que pode occupnrem relaçAoa essa outrai" 2. — Mostrae uma perpendicular; — uma obliqua.

(23)

— 4 4

-3.—Umaperpendicularestâsempre emposiçâoverlical?. 4. — Traçae uma perpendicular em posiçâo inclinada. 5. — Que é um esquadro? para que serve? — e a

re-gua?

6. — Traçae uma perpendicular com a regua e o es

quadro.

7. — Uma obliqua, que angulo forma na extremidade

de uma recta horisontal? 8. — Exemples.

9. E no meio de uma recta vertical? 10. — Exemplos.

11. — Que quer dizer abaixar uma perpendicular?

~ Fazei passar pelo meio de uma recta de 40'"/m de comprimento uma perpendicular.

~-^^*^curae um ponto igualmente distante das ex-remi ades de uma recta de 36 milUmetros do compri

m e n t o , ^

. p o n t o d a d o e m u m a r e c t a e a 2 0 m i l l i m c -_{os e istancia de uma de suas extremidades, levanlae}

"mapm-pendicularaessarecta.

mid^nd perpendicular por uma das

extre-traçar^^ ^ prolongamento nûo possaes

nrnvîv^ ^larcae sobre uma recta um ponto que seja o mais

proximo de um outro ponto dado fôra d'essa recta.

C A P I T U L O I V

SUMMARIO : Parallelas. — Linh.as conver

g e n t e s . — L i n h . a s d i v e r g e n t e s . — P r o

-B L E M A S .

Duas ou mais linhas situadas em uma

mes-ma superficie

Pq HP 11û I o Q plana,seguindo

' d I o, ! / Cl Cl Of igual direcçâo

e conservando

entre si, duas a duas, a mesma distancia,

Fig. 67.

Fig. os. Fig. 09.

tomam o nome de parallelas 67, 68,

(24)

Os Irillios por onde correm as

loconio-tivas ou os bonds sâo linhas parallelas; nunca se

encon-tram, o que acontece por

linhas parallelas.

ruas do Ouvidor e do

Ro-sario sao parallelas

entre si.

Tracemos duas

per-pendiculares a uma

m e s m a r e c t a ; e s t a s

perpendiculares

con-s e r v a m a m e con-s m a d i con-s t a n c i a p o r

mais que se prolongueni, uun^.^

tram : sâo parallelas,

o que nos mostra que

l-'ig. 70.

Fig. 71.

7 2 .

<l"as per|K.n(li,-,ulare.s a nma recta

sao parallelas eu,si

e.Jtodo':'r i,distantes

«m toao o coniprimento.

Fig. 73.

b>uas parallelas cortadas por uma

obli-fpm, lorniam com esta obliqua, oito angulos, sendo quatro agiidos

'^uacs c qiialro ol)tu-sos tanibem iguae^ — i/lg. lA).

Os angulos m, b, c, n {//g. 74),

cha-mam-se internos porque teem a abertura para dentro da figu

ra, e os angulos a, e , r, d e x t e r n o s

porque teem a aber tura para lôra da figura.

Estes angulos

com-parados dous a dous

sâo clas.sificados do seguinte modo :

' aliernos-infernos iguaes.

Duas pecfas aliemos-extemos iguaes.

rallelas cortadas] correspondente:> iguaes.

internes de um mesmo laao

supp/ementares.

externos de um mesmo lado supplementares.

Na fiyura 74 os angulos m e il, C e b

por uma obliqua

(25)

— 4 8 —

sâo alternos-internos; a e d, e e r

alter-nos-externos; een, bed, aec m

e r covrespondentes: b e n internas de um

lado da obliqua ; a e r externes de um

lado; e e d externes de autre lade.

Duas ou mais linhas rertac_{ctas que, nao tendo}

Fig. 75.

Fig. 76.

ponte algum de commum e prolongadas, se

encontram : sâo convergentes (fig. 75).

« " T " ' ' " • P " " " ' ' " ! '

d i r e c c ô e ^ e m d i v e r s a s

de diyergenoia

— 4 9 —

O Venice de um anguio é um ponto de

divergreijcia.

■dada Xn. — Traçaninia parallela a uma recta

PO"to dadb u i n J o . M G ® û î'egua) ; ' , ''"n'o N uté 0 _ " P o i i t o \ r g a r o e & 4 u a < a w o ^

-quai tracemos a recta M G parallela

C N

Fig. 77.

a mesma distancia (MN)

des-crovamos o arco M C ; lomemos G N igual a M C, u nam os o ponto M ao ponto G. A recta M G é a paral lela pcdida.

2* Soluçao (com a regua

e o esquadro) :

Appliquemos um dos

lados do angulo recto do

osquâdro sobre a recta CN

(Ao- façamos

escorre-gar 0 esquadro pela regua

tPS, XlII. _ Dadas duas rectos

convergen-eencia ^ ^issecli-iz sem recorrer ao ponto de

(26)

- 5 0 — .

seocn.e MN .

vidamos cada uin dos

any:ulos AMN ; CNM •

BMN; DNMem daas

partes iguaes. Unamos 0 ponto E ao ponfo F i'if?. 7fJ.

didr™^ a

pe-2^Soluçao._s3j„^ BA

I as rectas

conver-(fig, 80). Do ponto

° angulo " "»"oi.î^a'rDC d"T

pedida. P"'as ^ ^Da D.v|d^„„o3

D

^^ERCICIOs :

- ■f'-awrduariillh'"'''' ■'"'■""clas.

— 5 1 —

5. — Quantos annules fôrinam duasparallelas cortadas

por unia obliqua? — Conic se chamam?

6. — Quando duas rectas seguem dîrecçôes diverses,

q u e n o m e r e c e b e m ?

7. — Quando duas ou mais linlias rectas sâo conver

gentes? — quando sâo divergentes?

H, — 'l'rai^uui Iros rectas convergcniu»; — o 'i

thver-g e n t e s .

U. — Moslruo o puiilo clo coiivorgoncia ; — o o poiilo «lo

divergencia.

10. — Traçae uma recta parallela a iima outra por um

p o n l o d a d o .

U. Traçae corn a regua e o esquadro diverses

paral-lelas a uma recta dada.

12. — Traçae uma parallela a uma recta dada, de modo

que a menor dislancia de uma à outra seja de 'lO

milHine-I r o s .

13. — Traçae duas curvas parallelas a mâo livre.

14. - Traçae, â mâo livre, duat. Unhas mixtas paralle

las.

15. — Traçae dous angulos rectos, um com os ladospa-rallelos aos lados do outro.

16. — Podem duas superficies ser parallelas.

17. - Podem, uma superficie curva e uma superficie

p l a n a s e r p a r a l l e l a s ? , . . .

18. — Uma linha recta c outra curva po em sei pa ^

(27)

CAPITULO V

SÏÏMMARIO : TnUNGuios.

D A D E D K

Uma superlicio plana limit

Trian^ulos.

Uma superficie plana limitada por

linhas rectas c h a ni a - s e

triangulo

tern très ansuln-i f très lados e tr ^ V t i c e s .

A tnpeca {fig,

J-cm a fôriîia

triangu-nïusica ha um

Pijj. 81. — Uma tripcça r firma j. • ^HtO cliamatio

_{triaaguiar. ^I'^angulo, cuja fomia}

Os angulos de um triannu'lf "1^' ■

por très lettres collocada ^^sjgnam-se

_{® 6ni seus}

t r è s t r i -• e s 81) Fig. 82. — 5 3

-(lizeiiLos por exemple, angulo A, angulo B,

angulo C (fig- 82). At A s o m m a c l o s lados de um tri angulo chama-sc periinetro. A s o m m a d o s

très angulos é igual a dois angulos rectos.

^ T r a c e m o s u m t r i

-anguio Cjualquer (fig. 83) soljrc car-tao oupapel. recor-temos OS angulos creste triangulo, ajuntcmos como nos Fig. 83. mostra a (fig. 84) e

veremos que o primeiro e o ultimo lados do

t r i a n g u l o fi -c a m e m l i n h a recta. Os angu l o s fi c a m d o mesmo lado da recta AB (fig. 8'!) e ao redor do ponto 0 : Fig. 84.

(28)

0 4 —

Qualquer laclo de urn triangulo p6de

A . s e n i i ' - I h e c l e

A perpendicular

abai-x a d a d e u m d o s v e r t i c e s

sobre a base on sobre

o prolonganiento d'csta

c h a m a s e a l t u r a d o t r i

-angulo.

Fig. 85. — A rccta AB é uma ._{m o d i a n a . A r c c t a q u c u n e u m}

dos vertices, do triangulo ao mcio do Jado opjjoslo cliama-se mediana [fig. 85).

Todo o triangulo

tcin ti'cs alluras., très bissecirizes e ti'cs

me-dianas. rig. 8C.-Triang..lo oscalono.

Os triangulos cm relacao â grandeza de sous lados sao : E s c a l e n o s , si os lados sâo desiguaes(//g. 80). Jsosçeies, si d o i s d e s e n s l a d o s s a o iguaes (//g. 87).

Equilateros, si os lados sâo iguaes (y?^. 88).

Fig. 87.-- Triangulo

i s o s c o l o s .

Fig. 88. — Triangulo

c q i i i l a t e r o .

— 5 5

T - . ^,.r.r>rlp/a de sens angulos sâo :

rciacao a gran(ic/-<i w...

Acutangnlos, si todos os

an-„ulos sâo agudos (fig. 89);

Obtu-tangnlos. s.

ï'ig. 80. — Triangulo

acutangulo. Fig. 90. —Triangulo_obtuRangulo. Fig. 91. —Triangulo_roctaogulo.

teem um angulo obtuse [fig. iK)),;

Rectaii-£ru2os, si tceni uni angulo recto {fig. 91);

^^inangiiios, si todos os

'ï'igulos sâo iguaes (pg, 1)2).

^'odo o triangulo

equi-latero é equiangulo.

triangulo rectangulo

e lado opposto ao angulo

*ecto chama-se hypotetiusa

® es lados do angulo chamam-se calhetos, o

Fig, 92. — Triangulo

oquiangulo^

Synopse

triangulos dividem-se :

t ■ Km relaçâo â grandeza de sens lados=

/ E s c a h n o s

^i^îangulos. , , | isosceles

\ EguHaieros

(29)

- 5 0 —

2°. Em relacâo a ffrandp7i

_{o aiiueza de seus angulos.}

i^cui

angu/

Obiusangu/os

os

ffsciangu/os I

^Ç^iangulos

Casos de igualdade de triangulos

Dot's I Mfrs ""j'y"'''''>"'P''^/>oniiic/o

triangulos ignées. ''^^pedivamente

sào iguaes 2" Um tado ,auni

J n d o

-A — 2 ! L ! L _ r e q u i l n t e r o . S e j a

° '^<^0 dado.

Tracemos uma recta qual.iuer MX sobre to/nemos MN { f t i f J u r \ •* » X i igual a AB. Fig. 94. P r o b l e m a X V . !• alamos ccnlro em

. ® N e com uma

dis-

tanciaigualaABdotor-"iinoinos o ponto C,

qae, unido aos pontes "I e N resolvorâ o

problema.

Dados OS ins lados, construir

N — 0 1 — Fig. 95. B C E

-um triangulo. Sejam AB, CD, EF os iados dados {fi?. 05).

S o b r e a r e c t a M N {pg. 9r») mhnjucmos a partir da oxtre-midadc .M-, umadis-tancia MY igual a AB; do ponto M, c o m u m a d i s l a n c i a ignal à CD e do p o n t o V c o m u m a distancia igual a EF, doterminemos 0 ponto P. Unamos o ponto P aos pon

tes M e V, e tere-m o s r c s o l v i d o o

p r o b l e m a . F i g .

Problema XVI. — Dados dois lados ê o angulo

por elles comprehendido, construir um triangulo.

Mv

F i g . 9 9 .

B (pg, 97) é 0 angulo; EF e GH {pg. 98) sSo os lados

conhecidos. Sobre uma recta indefinida, marquemos uma

distancia AC {pg. 99), igual a EF. Pelo ponto A façamos um angulo MAC igual ao angulo B, sobre MA e a partir

(30)

- 5 8

do ponto A marquemos «a distanci-» a v ,

mos 0 ponto N ao ponto C e teremf. iffual a GH,

una-g u l o p e d i d o . ^ - a Fis. 100. Fig. 101. P r o b l e m a X V I I . — Gonstruir um triangulo s e n d o d a d o s u m l a d o e

dois angulos que Ihe sue

adjacentes.

AB (fig. 100) é o lado e G e H {fig. 101) OS angulos adjacente^. A partir do ponto M e sobre a recta MN [fig. 102) marquemos

AB. Pelo ponto M façamos um

Fig. 103. Pig. 104.

Fig. 102. a distanoia MD igual a

angulo igual a G epelo

ponto D, um angulo igual a H. As duas r e c t a s M E e D F c o r

-tam-se no ponto Goo

triangulo MOD é o triangulo pedido.

P r o b l e m a X V I I I . — C o n h e c e n d o - s e u m angulo agudo e a

hypo-tenusa, corlstruir um

triangulo reclangulo. V é o angulo agudo (fig. 103) e AB é ahypo-tenusa fig. 104).

Tome-mos MD [fig. 105) igual a AB, pelo ponto M façaTome-mos um

— 5 9 —

angulo igual ao angulo V e abaixemos sobre MG a per

pendicular DE.

liMD é 0 triangulo pedido.

P r o b l e m a X I X . —

Gonstruir um triangulo

rec-tangulo, conhecendo-se a

hypotenusa e um cathcto.

D

Figs. 106 o" J07. Fig. lOS.

AB [fig. 106) é a hypotenusa e CD [fig. 10") é o catheto. Sobrc MN marquemos MT [fig. 108) igual a CD; pelo

ponto M ievantcmos uma perpendicular ME, façamos contre em T o com uma abcrtura de compas.so igual a

AB, cortemos a perpendicular ME no ponto G o qual

^Igado ao ponto T,.resolve o problema.

E X E R C Ï C I O S ^

t. —; Traçae iini triangulo,

2. — Que nome tern a somma dos lados de um trian

gulo?— Exemplo.

3. — A quo é igual a somma dos angulos de um trian

gulo? — Mostrae praticamentc.

— Mostrae a altura de um triangulo.

5.—• Mostrae a mediana.

6. — Como se tiividem os triangulos em relaçâo â

gran-^eza de seus lados?

7. — Traçae um triangulo escalcno; um isosceles,

^111 equilatero.

(31)

— 6 0 —

8. — Como se dividem os triangulos em relaç5o â

gran-deza de seus angulos?

9. — Traçae um triangulo aoulangulo; — um

obtusan-gulo; — um rectanobtusan-gulo; — um equiangulo.

•10. — Mostrae uma hypotenusa; — um catheto. 11.— Quaes sac os très cases de igualdade dos trian-gulos?

12. — Construi um triangulo equilatero cujo lado seja

igual a 30 miliimetros.

13. — Idem um triangulo equilatero cujo perimetro seja igual a 120 miliimetros.

14. — Idem um triangulo rectangulo cujos cathôtos

me-çam, um 30 miliimetros e o oulro 37 miliimetros. 15. — Idem um triangulo rectangulo em que um dos ca

thôtos meça 25 miliimetros e a hypothenusa 40 miliime

t r o s .

10 . Idem um triangulo rectangulo isosceles cuja som ma dos cathôtos seja igual a 50 miliimetros.

17. Idem um esquadro em cartâo, medindd o catheto

mener 101 millimetros e o maior 203 miliimetros.

C A P I T U L O V !

SUMMARIO : Quadhilatehos. — Quadrado.

— Losango. — Rect.angulo. —

Par.allelo-GRAAIAIO. TrAPEZIO. — PrOULEMAS.

Uma superficie plana terminada por quatre

l i n h a s

Quad ri late ros.zz

_{s e} _{u n i}

^Uadrilatero (fig. 109). O Largo de S. Fran

cisco de Pailla é um

Quadrilatère. Os enveloppes s5o

gcral-^ e n t e q u a d r l l a t e r o s .

Uada quadrilaterO tem quatro lados,

fi^atro angulos e quatro K^ertices.

A li nha que une dois vertices oppostos, isto é)

^'">0 consécutives, chama-sediagojiai (//g. HO).

(32)

— 6 2 —

Cacia Cfuadrîlatcro tern duas diosonaes.

A somma dos lados de urn quadrilatère

chama-se perimetro. Os quadriiateros sao :

Quadrilateros..

1. — Quadrado. 2. — Losango. 3. — Recianguh. 4;. — Parallelogrammo. 5. — Trapezia. 6. — QuadrHaiero irregular.

S' um quadrilatero tem os lados iguaes,

parallelos dois a dois e os

angu-los rectos, toma o nomc de qua

drado {fig. 111). Uma moldura

,, rig. Ill " P^^'^'^t^raiormadeumffuadrado;

quaTrT :

ii'uaes " ' ^ de um quadrado silo

V"aes,pe..pcndiculares entre sic

;;'em-scmutuamcntcaomeio

.i.andotraçamosasrfwg-„„„e,s.

V" <=lle flea

dlvi-' - c o - M .

'-gulos .sosceles iga.es ,12).

— 6 3 —

Ti-acemos solire papel on cartao um qua

drado Ç suas diagonacs; em seguida

cor-temol-o segundo os lados e as diagonaes e

ohtercnios os quatro triangulos que,

super-postos, nos niostrarao praticamente que sao

' g u a c s .

Synopse

Quadrado, ,

( a d o s . . . • {( iguaes e

( parallelos dais a dais.

angulos rectos.

iguaes.

diagonaes. perpend/culares entre

i si, dividem-se ao meio.

Uni quadrilatero com os lados iguaes,

parallelos dois a dois e com dois angidos

'''giulos el dois obtusos,

cha-•^la-se îosango, (fig. 113).

jnntarmos as bases de

dous triangulos isosceles,

obteremos uni losange.

Um um iosaj2£fO os angidos opp.ostos sao

'ê^acs, as diagonaes sao dcsiguaes,

(33)

9 g m & m W " i . 5

— 6 4 —

pcndiculares entre si e dividem-se ao meio.

0 îosango com as diagonaes (ica dividido

em (juatro triangulos

rec-langulo-escalenos igiiaes

[fig. li/.).

A base é qualquer um

dos lados e a altitra é a per

pendicular levantada de um ponto da base ou

do sen prolongamento sobre o lado opposto.

Fig. 11 J.

l a d o s .

Synopse / iguaes e

[para/leios dais a dais.

Losango.. -,

anguios.

dais agudos iguaes.

dois obiusos iguaes.

des/guaes

diagonaes. .j penpendicuiares enire

si, dividem-se ao njeio.

Quando um

quadpila-tero tern os lados

oppos-tos iguaes e parallelos e os

anguios rectos,

cliama-se rectangulo {fig. 115). Fig. ii5.-iu-cwnsuio. Uma moldura, uma nota de quinlientos

— 6 5 —

FOIS, um mappa, um livro, um cartao de visi

tas, um caderno,uma regua etc., tern a forma

de um rectangulo.

As diagonaes do um rectangulo sao iguaes

^ divitlem-se ao meio; a base é geralmentc

"111 dos lados majores e a allura 6 um dos

'"dos adjacentes â base:

S y n o p s e

iados oppostos.. | ®

( parallelos. anguios vecios. . I i g u a e s e diagonaes. . | " ( dividem-se ao meio.

^uadrîlatero, cujos lados oppostos

'guaes e parallelos e os anguios, dois

e dois

obtu-A

' ^ uni par

aile-A s

''este

é geralmenté^ um dos dois lados

^^cfangulo.

■ (fig.WiS).

dlagon a es

quadrîla- Fig. IIU. — Parallologrammo.

desiguaes e dividem-se ao meio.

" l a i

(34)

%

P r

_ 6 6 —

.«1, nrnloDffamento ao lado

op-a bop-ase ou o seu pioiono

posto. Synops® ( iquaes e {ados opposios. J ^ [paraiieios , ( dois agudos

Parallelogrammo anguios. . ^

desiguaes e dividem-se ao meio diagonaes

Si o quadrilatère tem somcntc tlois cle

Fig. 117. — Trapozio. Fig. 118. — Trapozio rectangulo.

seas lados paraUelos, recebe o nome de trapezio (fig. 117). O

trapezio c rectangulo, [fig. I 18) quando tem

dois 'angiilos rectos; é

Fig. 110.—Tinpozio isosceles, isoscsles, Qu symetri—

OO, (fig. 119) quando os lados nûo parallcloQ

m

— 6 7 —

sao iguaes,e éescaleno ou irregular (fi'g. 120) quando os angulos e

OS lados sao desiguaes. Os lados paraUelos

sao as bases do

trape-/

zio e a altura é a per- f'ig- l-O. — Trapezio escaleoo. pendicular que une as duas bases ou uma

base e o prolongamento da outra.

Synopsè

rectangulo : dois angulos rectos.

, , J ■ i l a d o s n a o p a r a l l e -. -. I s o s c e l e s o u s y m e t n c o | / r O p O Z / O i [ / o s , i g u a e s . , , { l a d o s e a n q u l o s d e -e s c a l -e n o o u i r r -e g u l a r . ) ^ ( siguaes.

•Problema XX. — Construir um qiiadrado, conhe-c e n d o - s e u m l a d o .

1». Soluçào. — Sobre uma recta

appliquâmes o lado AM {eonhe-cido) e de cada um dos ponto A e M (fig. 121) levanlemos, com o auxilio de um esquadro, uma

^ perpendicular.

Façamos as dislancias AD e

MC iguaes cada uma a AM;

unamos o ponto D ao ponto G e teromos conslruido o

(35)

Fife'. 1-22.

Fig. 124.

• B

2» Soluçâo. — Seja AB {fig. 122) o lado do quadrado. Façamos uni angulo recto M

(pg, 123).

A partir do ponto M e com nma

distancia igual à recta AB

det e r m i n e m o s n o s l a d o s d o s a n -gulos, OS pontes E e F ; façamos centro n'esses pontos e com a

mesma distancia (AB), determi* nemos o ponto G, o qual, unido

aos pontos E e F, resolve o pro-b l e m a .

Fig. 123.

Problema XXI. —Gonstruir um reclangulo,

conhe-cendo-se dois lados adjacentes.

Façamos um angulo recto. A partir do vertice, com umadistanoia igual a AB {fig. 124) determine-mos 0 ponto E {fig. 126) e com a distancia CD {pg. 125), 0 ponto F; façamos partir do ponto F uma parallela a VE e, do ponto E, outra a VP ; estas duas

r e c t a s e n c o n t r a m - s o n o ponto G. 0 quadrilatère VEFG é 0 rectangulo pedido. Fig. 126. P r o b l e m a X X I I . —

Construir um parallélogramme, sendo dados dois lados

adjacentes e uma diagonal.

Scjam AB e CD (fg. 127) os lados adjacentes e EF" {pg. 128) a diagonal. Tracemos a linha MN igual a AB;

do' ponto M {pg. 129) com a distancia CD e ,do ponto N

C - • D

F i g . l a .

— G O —

com a distancia EF, determinemos o ponto P, unamol-o

Q

• D '

D Fig. 127.

Fig. 128. Fig. 129.

aqs pontos M e N. Do ponto P tiremos uma parallela

a MN e do ponto N, outra a MP.

O quadrilatère MNPQ é o parallelogrammo pedido.

Problema XXlll Construir uni parallelogrammo,

- B E F A -C - • B Fig. 130. Fig. 131. - K

sendo dados dois lados adjacentes e a altura. S'ejam AB e CD {pg. 130) OS lados adjacentes e EF {pg. 131) a altura. '

Tracemos a li nha MN igual a CD e do ponto N {Pg. 132) le-^ ' a n t e m o s u m a perpendicular igual â rec tal EF. Palo

G () a / / ' / / . /

/ ■

/

M Fig. 132.

ponto Q tracemos uma linha indefinida JK parallela a MN.

'açamos centro em N e com a distancia AB cortemos

|io ponto H a recta JK; unamos 11 a N e pelo ponto M

t'-acemos uma parallela a NH. MNGil é o

(36)

— 7 0 — _{— 7 1 —} Problema XXIV. — Construirumparallelog^rammo

sendo dados dois lados

A

-C - - V

Fig. 133.

adjacentes, urn angulo agudo

\ H r E Fig. 134. um angulo obtuso-Sejam AB e CD {fig. 133) OS lados ad jacentes; E e F {fig. 134) OS angulos. Fa-çanios MN igual a CD e nos pontos M e N {fig. 135) construa-mos dois angulos

res-pectivamenle iguaes aos angulos E e F; do ponto M coino centre, e com a distancia AB determinemos oponto G do qual façamos partir a parallela GH, que resolve o problenia.

\

. I

Fig. 135.

Fig. 133.

Problema XXV. '— Construir um parallelogrammo Bcndo dados dois lados adjacentes e um angulo.

Sejam AB e CD {fig. 136) os lados adjacentes e E

{fig. 137) oangulo. Sobre umarecta indefinida marquemos

D

a distancia MN igual a CD, no ponto M {fig. 138) façamos

um angulo igual a E e com ^ g

uma distancia igual a AB

marquemos o ponto P, a

partir de M. Do ponto N tracemos uma parallela a

MP e do ponto P outra a MN. — MNPQ é o

paral-^ l e l o g r a m m o p c d i d o .

P r o b l e m a X X V I . — Construir um losango sen-do dadas as duas

diago-n a e s .

Sejam AB e CD {fig. 139) as diagonaes. Tracemos estas diagonaes

perpendi-cularmente entre si, e

re-cijSrocamente uma pelo

meio da outra, unamos os pontos A, D, B, C, {fig. 140) c t e r e m o s r e s o l v i d o . 0 problema. P r o b l e m a X X V J I . — C o n s -truir um losango qualquer. Tr a c e m o s a s r e e -las AB e CD per-pendicularmente entre si (/ig-. 141); tomemos a partir do ponto 0, OM igual a ON, OP igual a O R ; t r a c e m o s a s rectasRM,MP,PN

e NR e o quadrilatère RMPN é o losango pedido.

(37)

i - B Fig. 142. - B Fig. 143. — 1 2 —

Problema XXVllI. —Conslruirumlosango conhe-cendo-se um lado e uma das diagonaes. Seja AB [fîg. 142) 0 lado e CY){fig. 143) a diagonal

conhe-cida; tracemos JIN

[fig. 144) igual a

CD; dos pontes 51

e N, com uma

aber-tura de compassé igual a AB, deter-minemos os pontes 0 e P. Unamos os pon-tos 0 e N, N e P, p e 51, 51 e 0. P Fig. 144.

0 quadrilatère ONPM é o losange pedido.

ProblGma XXIX. — Construir um trapezio

syme-t r i c o .

Tracemos uma recta AB {{ig. iA5), dividamol-a ao meio

e com a distancia OA descrevamos uma

semi-circumfe-rencia tendo como centro o

ponto 0 (meio da recta AB).

Do ponto A e corn uma dis

tancia qualquer determinemos

0 ponto M do quai façamos part,r uma reola MN parallela ^

T T _{Unamos os Donffic Ht}F i g - 1 ^ 5

-é 0 trapezio symelHco pVdid^ ^ ^

— 7 3 —

E X E R C I C I O S : 1. - Mostrae um quadriiatero.

2. — Traçae sobre papel ou cartâo um quadrilatère e

em seguida recortae-o com a tesoura.

3. — Qiiantos lados, — angulos, — vertices tem um

quadriiatero ?

4 — Quantas diagonaes?

5. — Que entendais por perimetro de um quadrila

t è r e ?

6. — Quaes os quadrilatères que conheceis?

7. Traçae sobre papel um quadrado, um losango, um rectangulo, um parallélogramme, um trapezio. Recortaé

cada um d'elles com uma tesoura.

8. — Mostrae as diagonaes de cada um.

Dizei que sabeis a respeito das diagonaes dos

quadrilateros.

A somma dos angulos de uiri quadriiatero é

igual a quantos angulos rectos?

H. — Exemple.

12. — Mostrae praticamente que um quadrado corn as

diagonaes fica dividido em quatro triangulos rectangulos

isosceles iguaes.

13. — Traçae um quadrado cujo lado meça 20

millime-t r o s .

Traçae um quadrado cuja somma das diagonaes

seja igual a uma décima parte do metro.

15. — Traçae um quadrado, em que uma das diago

naes seja igual a 30 millimetres.

16. — Traçae um parallelogrammo sendo dous lados

adjacentes, um o dobro do outre e a diagonal igual ao

(38)

// ' n. rectangulo cuja base seja igual a

40 miUimetros e a allura, a metade da base.

'^8. 1 raçae um rectangulo cuja base seja igual a 5

\ezes a a luia e a altura igual a diagonal de um

quadra-do de 2 centimetros de laquadra-do.

7~ parallelogranimo com os seguintes

ft ^ iffual a 40 miUimetros; um lado adjacente

/ miUimetros; um angulo agudo igual à terça parte de um angulo recto

2 0 T *

iffini /ft losange em que uma diagonal seja

j! -^40 miUimetros e um lado igual a 30 miUimetros.

timelpftc o um losango cujo lado seja igual a 3

cen-lado n7o palTb,oToeZmtos''"°''"°

igual a 12o"co'nUmo'tros? ^1° Pm'imu'™ ^

igual ao ^"uLlriZuk r."™l cujo perimetro é

lado? equilatero de 12 centimetros de

de lado?^ ' ° Poi'imetro de um quadrado de 60 metres

de lado ? ^ P«"metro de um losango de 32 kilomètres mento e 5 metmc

sala? ^ ^'■gura; qual o perimetro d'esla

mede 4 cmiti'

ietrorrum°ado aT '■®'''

®"Sulo cuja base

m e t r e s ? ^ ^ d j a c e n t e à b a s e , 3 c e n t i

-uma a 40 ceSeTrol°rafut°ra?3Z°Z'''''™'®"''"'

3 0 — T p f t / . c e n t i m e t r o s .

e sobre cada um Xs ?a'do1[''um ^

maos, um Inanguio equilatero.

— 7 5 —

31. — Traçne um triangulo equilatero de 2 centimetros

do lado e sobre cada um dos lados, um quadrado.

32. — Traçae um quadrado e sobre cada um dos lados um triangulo isosceles cuja base seja igual a 2 centi metros e a allura igual a diagonal do quadrado,

33. — Traçae um losango c sobre cada um dos lados um quadrado,

34. — Traçae um losango cuja metade seja igual aum

(39)

tanto algumas ha que têm nome especial ;

assim per exemple :

G A P I T U L O V I I

S U M M A R I O : P o l y g o n o s . — P o l y g o n o s r e g u -L \ U E S . — P o l y g o n o s i i i r e g u l \ i i e s .

Uma superficie plana iimitada per muitas

r e c t a s c h a m a - s e

Poly^onos.iZ'^Z't

' c t a s s i i o O S l a d o s

do polygono. A' somma dos lados de urn polygono da-se o nome v, de perimelro.

f / G e r a l m e n l e a d e n o m i

-I n a ç â o d e p o l y g o n o é

Fig. 146. — Polygono. dada as superficies planas

limitadas per mais de quatre rectas,

entre-/ 5 lados — peniagono,

6 lados — hexagono, 1 lados — hepiagono.

is l

ados — oci

9 lados - enneagono.

ogono.

10 lados — decagono. 11 lados — undecagono.

12 lados — dodecagono. 15 lados—psniadecagono.

\ 20 lados — - icosagono.

Em um polygono pode haver angulos

rectos, agudos, obtusos, salientes,

reentran-iguaes e desreentran-iguaes.

Um polygono é regular on irregular.

Si OS lados e.angulos sao iguaes, o

po-'ygono é regular-., e si sao desiguaes, o

polygono é irregular.

■A- recta que une dois vertices nîïo

conse-'^"tivos de um polygono recebe o nome

diagonal.

(40)

' f

I'jg. 147.

— 7 8 —

Jâ sabemos que a somma dos angulos de

um triangulo c igual a dois angulos rectos,

portante para conhecermos a somma de um

polygono qualquer, decompomol-o em

triaugulos, pelas diagonaes

partindo de um so vertice,

per cxemplo {fig. 147).

Tantos triangulos :

tan-tas vezes dois angulos rectos ;

assim, por exemplo, um

pen-eonodecom^osirem tagouo {fig. 147)

dccompoe-fiangulos e a

somma de seus angulos é igual a 3 vezes

2 angulos rectos ou 6 angulos rectos.

A. somma dos angulos de um

é igual a tantas vezes dois angulos rectos,

quantos sao os lados menos dois.

— Traçae um polygono qualquer.

2. — Mostrae os lados, os angulos, os vertices.

Que 6 uraperimeiro?

— Gomo se chama uma superficie plana limitada por niais de qualro lados ?

5- — Dae-me os nomes dos polygonos que conheceis.

— Que ë uma diagonal?

- 7 9

-7 . Traçae todas as diagonaes de um hexagono, de

um penlagono, etc.*

8. — Que é um polygono regular? 9. — Que é um polygono irregular ?

10. — A quantos angulos rectos 6 igual a somma dos

angulos de um polygono; — de um octogono; — de um

(41)

C A P I T U L O V l l l

SUMMARIO : Girgumferencia. — CincuLo.

Raio — Diametro — Arco. — Corda. — Flécha. — Segakte. — Tangente. —

Segmento. — Sector. — Problemas.

Unia linlia cuiTa fecliada situada em urn

Gircumferencia.

Oirculo.

mesmo piano e cqiiiclistante dc urn ponto

\ i n t e r i o r , c h a m a s e c î r

-cumferencia {fig. 148).

A esse ponto interior

da-se o nome dc centra

da circumferencia e a

Fig. U8. _ porçâo do piano on

supcr-licie plana limitada pela

cir-'-r

— 8 1 —

CumforencSa, o uomc do circulo (fig. 149).

m

i

Fig. 149. — Circulo. F1&. Mopda do nickol :

Urn circulo.

Dm annel, um ai'*' P'pa nos dâo idéa

d e u m a

gma moeda de nickel, (fig.

y, 150}) '""^da dc uni carro

(fig- ' Rueijo de Minas,

o n i o s t r a -d o r -d e u m

relogio, as

l e n t e s d e u m b i n o -Pig. i:>l. — Roda do um Fi?*

c a r r o : u m c i r c u l o . u m c i r c u l o .

culo, um pandeiro tern a torma

circular isto é, de Cir^

C U l o ,

\

A recta que liga o centra a ; 1

Rualquer ponto da

CÏPCUm"-ferencia, chama-se raio (/rv^

^^3) e toda a recta que liga

(42)

— 8 2 —

pelo centra cliama-sc dictmetro {pg. 154),

Em u ma ci rcu m fe re n ci a to tl o s o s ra i o s

e diametros sao igiiacs.

F'fc'.154. —Um diametro Fig. 155.—Um arco. Fig. l56. — Uma corda.

Uma porçâo qualquer da circumf erencîa

chama-se arco {pg. 155) e a liiiha recta que

liga as extreminades de um arco cliama-se corda (pg.

156). A' perpeiuUcular que

parte do meio da corda c ter

mina no areo dâ-se 'o nome

♦de/leclia(/?o.^ 9 O

" 157).

A recta que corta a circutn^

ferencia em dois pontos

re-cebe o nome de secante i/iff

158).

_ A' i-ecta que, situada fora do

Circulo, tern um unico ponto

<-ie commum com a circumferencia

f t

Fig. 157. — Uma tleclia.

Fig, 158. — Uma s c c a n t o .

— 8 * ^ —

dâ-sc o nome de tangente {pg

Esse ponto

com-m u n i o i l a com-m a - s e j30J2to de contacta.

Toda a tangente

é perpendicular ao raio que termina

n o p o n t o d e c o n -t a c -t o .

1

159 V P o n t o d t c e n t a c t o 15<l.— Uma tangonto.

A porçâo do circulo limitada pelo arco e

y

liî>

IIJ! Fig. IfiO. — Um s o g m o n t o . Fig. lia. — Um . s o c l o r .

Fig. ir.-2. — Angulo

c e n t r a l . \ \ * U a / j ' , ■ V r " ' ■ A , ✓ s - F i g .

pela corda cliama-se^segmeiJto [pg. 160) c a,

porçâo comprchcndida. entre

um arco e dois raios quo