Um estudo rigoroso da equação do calor e da onda

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA BACHARELADO EM F´ISICA

Rafael Xavier Deiga Ferreira

Um estudo rigoroso da Equa¸

c˜

ao do Calor e da Onda

Natal-RN

17 de Novembro

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Um estudo rigoroso da Equa¸

c˜

ao do Calor e da Onda

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador:

Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira

Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN Departamento de F´ısica — DF

Natal-RN 17 de Novembro

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Ferreira, Rafael Xavier Deiga.

Um estudo rigoroso da equação do calor e da onda / Rafael Xavier Deiga Ferreira. - 2019.

69f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Física Teórica e Experimental. Natal, 2019. Orientador: Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira.

1. Física - Monografia. 2. Física matemática - Monografia. 3. Equação do calor - Monografia. 4. Equação da onda - Monografia. I. Oliveira, Roberto Teodoro Gurgel de. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

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Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de Matem´atica

Prof. Dr. Rodrigo Fernandes Lira de Holanda Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de F´ısica

Prof. Dr. Leonardo Dantas Machado Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de F´ısica

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Agradecimentos

Agrade¸co aos meus pais e amigos pelo apoio, ao meu orientador pela ajuda e super-visão. Agrade¸co também aos professores que tive e aos autores de livros-texto que já li, os quais foram essenciais para a minha forma¸cão acadêmica.

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“Every mathematician knows it is impossible to understand an elementary course in thermodynamics.”

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Resumo

A partir de alguns resultados básicos da Análise Matemática e Espa¸cos Métricos, este trabalho irá construir a teoria m´ınima da Análise de Fourier para resolver problemas en-volvendo a Equa¸cão do Calor e da Onda com rigor matemático. Infelizmente, a Análise de Fourier não será tratada na sua forma mais geral, que necessita de tópicos mais avan¸cados, como a integral de Lebesgue.

Depois do m´ınimo teórico da Análise de Fourier ser estabelecido, abordaremos a Equa¸cão do Calor e da Onda unidimensional. Depois, trataremos o problema de Di-richlet, que consiste em resolver a Equa¸cão de Calor no estado estacionário num disco com temperatura conhecida na borda.

Infelizmente, não acharemos as condi¸cões mais gerais para resolver esses problemas. Encontraremos apenas condi¸cões suficientes para garantir a existência e unicidade das solu¸cões.

A principal motiva¸cão para esse estudo é que geralmente, nos cursos de Bacharelado em F´ısica, apenas se acham as solu¸cões para esses tipos de problemas usando o método de separa¸cão de variáveis, desconsiderando a devida justificativa do porquê essas solu¸cões satisfazerem todas as condi¸cões para realmente serem solu¸cões. Isso é insuficiente do ponto de vista de pesquisa em F´ısica Matemática.

Palavras-chave: Análise de Fourier, Equa¸cão do Calor, Equa¸cão da Onda, Problema de Dirichlet.

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Abstract

From some basic results of mathematical analysis and metric spaces, this text will build the minimum theory of Fourier analysis to solve problems dealing with the heat equation and wave equation with mathematical rigor. Unfortunately, the Fourier analysis will not be dealt with full generality, since this would need more advanced topics, such as Lebesgue integral.

After the minimum theory of Fourier analysis has been established, we will address the heat equation and wave equation in one dimension. After that, we will deal with the Dirichlet problem, which consists in solving the steady-state heat equation in a disc.

Unfornately, we will not find the most general contitions to solve those problems. We just will find sufficient conditions for ensure the existence and unicity of the solutions.

The main motivation for this study is that usually, in the Physics Major, we just find the solutions for these kind of problems using the separation of variables, disregarding the proper justification of why these solutions satisfy all the conditions for really be the solutions. This is insufficient from the point of view of research in Mathematical Physics.

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Lista de Figuras

1.1 Placa infinita. Fonte [2]. . . 5 4.1 Corda vibrante. . . 29

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Conte´

udo

Agradecimentos i Resumo iii Abstract iv Lista de Figuras v 1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Nota¸c˜ao e defini¸c˜oes importantes . . . 1

1.1.1 Integral . . . 1

1.1.2 Distˆancia . . . 3

1.1.3 Sequˆencias e s´eries . . . 3

1.1.4 Fun¸c˜oes seccionalmente cont´ınuas e diferenci´aveis . . . 3

1.1.5 Derivada parcial . . . 4

1.1.6 Fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis . . . 5

1.2 Temperatura numa placa e s´erie de Fourier . . . 5

2 Expansão de fun¸cões em séries de Fourier 11 2.1 Derivadas direita e esquerda . . . 11

2.2 Teorema de Fourier . . . 13

2.3 S´erie de Fourier com exponencial complexa . . . 19

3 Solu¸c˜ao rigorosa da Equa¸c˜ao do Calor 21 3.1 Alguns resultados importantes . . . 21

3.2 Solu¸c˜ao para o problema da temperatura numa placa . . . 24

4 Solu¸cão rigorosa da Equa¸cão da Onda 29 5 Problema da Equa¸cão de Calor no estado estacionário num disco 35 5.1 Médias de Abel e séries Abel somáveis . . . 38

(11)

5.3 Solu¸c˜ao rigorosa do problema . . . 43

6 Considera¸c˜oes finais 50 A Requisitos m´ınimos 51 A.1 Convergˆencia pontual e uniforme . . . 51

A.2 S´eries de fun¸c˜oes . . . 54

A.3 Continuidade uniforme e conjuntos compactos . . . 56

(12)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo, faremos algumas defini¸cões importantes para o desenvolvimento da teoria e vamos motivar as séries de Fourier. Na segunda se¸cão, vamos apenas explorar um caso da Equa¸cão do Calor sem se ater ao rigor matemático, para ver que as séries de Fourier surgem naturalmente como candidatas a solu¸cão do problema.

1.1 Nota¸

c˜

ao e defini¸

c˜

oes importantes

Nesta se¸c˜ao, vamos definir com qual integral iremos trabalhar e faremos algumas defini¸c˜oes. Defina

In= {1, 2, · · · , n}, N = {1, 2, · · · }, ou seja, consideraremos os naturais sem o 0.

1.1.1 Integral

No presente trabalho, usaremos apenas a integral de Riemann. Isto é, ao integrar uma fun¸cão, estaremos sempre fazendo isso num intervalo compacto (limitado e fechado), onde a fun¸cão é limitada e Riemann integrável. Para maiores detalhes sobre a integral de Riemann, pode-se consultar [6].

Toda fun¸c˜_{ao f : [a, b] → C pode ser escrita como f (x) = u(x) + iv(x), onde u, v :} [a, b] → R. De fato, basta definir

u(x) = f (x) + f (x)

2 , (1.1)

v(x) = f (x) − f (x)

(13)

Chamamos u de parte real de f e v parte imaginária de f . Quando f assume valores complexos, diremos que f é integrável em [a, b] quando as suas partes real e imaginária o forem. Denotaremos: Z b a f (x)dx = Z b a u(x)dx + i Z b a v(x)dx. (1.3)

Quando f for uma fun¸cão com mais de uma variável, podemos integrar em um intervalo em rela¸cão a uma das variáveis fixando as demais. A integral de f será escrita de maneira análoga a 1.3.

Note que se dissermos simplesmente que uma fun¸cão é integrável, está impl´ıcito que ela é limitada e Riemann integrável.

Diremos que uma fun¸cão limitada f definida em (a, b) ou (a, b] ou [a, b) é integrável se, e somente se, existe uma extensão dela para [a, b] que seja integrável. Mas isso é equivalente a dizer que o conjunto de descontinuidades de f tem medida nula (teorema A.4.1). Assim, f é integrável se, e somente se, ela é limitada e o seu conjunto de pontos de descontinuidade tem medida nula. Além disso, o valor da integral da extensão independe da extensão particular escolhida. De fato, sejam F1 e F2 extensões de f e suponha, sem perda de generalidade, f definida em (a, b]. Tome δ > 0, assim temos

Z b a F1− Z b a F2 = Z a+δ a (F1− F2) ≤ Z a+δ a |F1− F2|.

Por outro lado, F1 e F2 s˜ao limitadas por, digamos, M . Desse modo, usando a desi-gualdade triangular |F1(x) − F2(x)| ≤ |F1(x)| + |F2(x)| ≤ 2M, ∀x ∈ [a, b]. Assim, Z b a F1− Z b a F2 ≤ 2M δ.

Como δ ´e arbitr´ario, podemos tomar o limite δ → 0 e obtemos Z b a F1 = Z b a F2.

Portanto, o valor da integral da extens˜ao independe da extens˜ao particular tomada. Assim, podemos definir

Z b a f = Z b a F. onde F ´e uma extens˜ao de f para o intervalo [a, b].

(14)

1.1.2 Distˆ

ancia

Quando estivermos tratando de distˆ_{ancia entre dois pontos x, y ∈ R}n, denotaremos |x − y| =p(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · · + (xn− yn)2. (1.4) onde x = (x1, x2, · · · , xn) e y = (y1, y2, · · · , yn).

1.1.3 Sequˆ

encias e s´

eries

Uma sequência é uma fun¸c˜_{ao de N num conjunto S, que associa cada número natural} k a um elemento sk de S, chamado de k-ésimo termo da sequência. S pode ser, por exemplo, R, ou Rn_{, ou um conjunto de fun¸c˜}_{oes. Escreve-se (x}

k) para denotar a sequência cujo k-ésimo termo é xk.

Conisidere uma sequência (xk) de números complexos. Define-se como série o limite

lim N →∞ N X n=1 xn.

Se esse limite existe, dizemos que a sérieP xné convergente, do contrário dizemos que ela é divergente. Chamamos os números sN =

PN

n=1xn de reduzidas ou somas parciais da s´erie P xn. Note que n˜ao necessariamente come¸camos a soma com n = 1.

1.1.4 Fun¸

c˜

oes seccionalmente cont´ınuas e diferenci´

aveis

Seja I ⊂ R um intervalo. A fun¸cão f : I → R é seccionalmente cont´ınua em (a, b) ⊂ I se existem a = x0 < x1 < · · · < xn−1< xn = b tais que f é cont´ınua em todo subintervalo (xk−1, xk) tal que k ∈ In e se os seguintes limites existem

f (xk−1+) = lim x→x+_k−1 f (x), f (xk−) = lim x→x−_k f (x), ∀ k ∈ In.

O conjunto de todas as fun¸c˜oes seccionalmente cont´ınuas em (a, b) ´e denominado Cs(a, b).

A fun¸c˜_{ao f : I → R é seccionalmente diferenciável em (a, b) ⊂ I se f}0é seccionalmente cont´ınua em (a, b). O conjunto de todas as fun¸cões seccionalmente diferenciáveis em (a, b) é denominado C_s0(a, b). O próximo teorema garante que toda fun¸cão seccionalmente diferenciável é seccionalmente cont´ınua.

Teorema 1.1.1. Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R seccionalmente diferenci´avel em (a, b) ⊂ I. Ent˜ao, f ∈ Cs(a, b). Noutras palavras: Cs0(a, b) ⊂ Cs(a, b).

(15)

Demonstra¸cão. Como f ∈ C_s0(a, b), existem a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b tais que f0 é cont´ınua em cada (xk−1, xk) para k ∈ In =⇒ f é cont´ınua em cada (xk−1, xk). Falta apenas provar que os limites laterais de f em cada xk existem. Vamos provar que os limites laterais à esquerda existem (a prova dos demais é análoga). De fato, considere [c, x] ⊂ (xk−1, xk), então, pelo teorema fundamental do cálculo,

f (x) = f (c) + Z x

c f0,

pois f0 ´e cont´ınua em [c, x]. Mas f0 ´e limitada em [c, xk), pois existe L = lim_x→x− k f

0 (x). Logo, existe δ > 0 tal que

x ∈ (xk− δ, xk) =⇒ f0(x) ∈ (L − 1, L + 1) =⇒ |f0(x)| ≤ |f0(x) − L| + |L| < 1 + |L|. Além disso, f0 é cont´ınua no intervalo fechado [c, xk− δ], assim ela é limitada neste intervalo. Ou seja, existe M0 tal que |f0(x)| ≤ M0 para todo x ∈ [c, xk− δ]. Defina M = max{M0, |L| + 1}. Logo,

|f0(x)| ≤ M, ∀x ∈ [c, xk). Al´em disso, a integral Rxk

c f

0 _{existe, pois o conjunto de descontinuidades de f}0 _em [c, xk] ´e apenas constitu´ıdo por xk, isto ´e, tem medida nula (vide teorema A.4.1). Assim,

Z xk c f0− (f (x) − f (c)) = Z xk x f0 ≤ M (xk− x). Portanto, fazendo x → x−_k, temos

lim x→x−_k (f (x) − f (c)) = Z xk c f0.

Assim, existe lim_x→x−

k f (x). Logo, os limites laterais `a esquerda existem. Os limites

laterais à direita são provados analogamente. Assim, f é seccionalmente cont´ınua em (a, b).

Note que com um argumento análogo ao usado na demonstra¸cão desse teorema, pode-mos provar que toda f ∈ Cs(a, b) é limitada e, portanto, integrável em (a, b), pelo teorema A.4.1.

1.1.5 Derivada parcial

Seja u(x1, x2, · · · , xn) uma fun¸cão de várias variáveis. Denotamos por uxm a derivada

(16)

Figura 1.1: Placa infinita. Fonte [2].

1.1.6 Fun¸

c˜

oes continuamente diferenci´

aveis

Sejam X ⊂ Rn _{e f : X → R. Seja k ∈ N. Quando todas as derivadas} fx_m1x_m2···xmp com mi ∈ In, ∀i ∈ Ip,

forem cont´ınuas para todo 0 ≤ p ≤ k, diremos que f ´e de classe Ck _{ou f ∈ C}k_.

1.2 Temperatura numa placa e s´

erie de Fourier

Nesta se¸cão, vamos explorar o problema de temperatura numa placa. Primeiramente, vamos buscar uma solu¸cão para o problema sem se ater ao rigor matemático. Considere uma placa homogênea paralela ao plano yz com espessura c, como na figura 1.1. Suponha que a placa se estenda infinitamente de menos infinito até infinito nas dire¸cões y e z. Considere que ela está isolada termicamente, isto é, ela não troca calor em x = 0 e x = c. Suponha que a distribui¸cão inicial de temperatura só dependa de x, isto é, é uma fun¸cão f (x). Denote por u a temperatura na placa. Como a placa é infinita nas dire¸cões y, z e a distribui¸cão inicial de temperatura depende apenas de x, então u será uma fun¸cão apenas de x e do tempo t. Matematicamente, estamos buscando uma solu¸cão satisfazendo: ut(x, t) = kuxx(x, t); 0 < x < c e t > 0, (1.5) ux(0, t) = ux(c, t) = 0; t > 0, (1.6) u(x, 0) = f (x); 0 < x < c. (1.7) A equa¸cão 1.7 é simplesmente a distribui¸cão inicial de temperatura. Para justificar as demais, é necessário usar um postulado da teoria de condu¸cão de calor conhecido como lei

(17)

de Fourier, o qual diz que o fluxo de calor por unidade de área Φ num ponto da superf´ıcie é proporcional à derivada direcional da temperatura neste ponto. A derivada direcional é na dire¸cão perpendicular à superf´ıcie. Isto é,

Φ = −Kdu dn,

onde K é uma constante de proporcionalidade. Da´ı, como a placa é isolada termicamente, então Φ é zero nas bordas x = 0 e x = c, o que justifica a equa¸cão 1.6. Para ver a dedu¸cão da Equa¸cão do Calor em uma dimensão, equa¸cão 1.5, pode-se consultar o cap´ıtulo 1 da referência [5].

O método padrão para achar solu¸cões de problemas desse tipo é usar o método de separa¸cão de variáveis. Vamos supor que

u(x, t) = X(x)T (t),

onde X e T assumem apenas valores reais. Logo, a equa¸c˜ao 1.5 implica X(x)T0(t) = kX00(x)T (t).

Supondo que X(x) e T (t) nunca se anulam, podemos fazer: T0(t)

kT (t) =

X00(x) X(x) .

Como o membro esquerdo depende apenas de t e o membro direito apenas de x, ent˜ao T0(t)

kT (t) = −λ e

X00(x)

X(x) = −λ,

onde λ é uma contante. Podemos fazer isso porque se fixarmos x, podemos variar t livremente. Logo, o membro esquerdo deve ser uma constante. Vamos supor λ ∈ R. Usando a condi¸cão 1.6, temos X0(0)T (t) = X0(c)T (t) = 0 para todo t > 0. Porém, estamos interessados em solu¸cões não-triviais, logo, queremos que u não seja identicamente nulo. Então, devemos ter X0(0) = X0(c) = 0.

Em suma, devemos achar X e T satisfazendo

X00(x) − λX(x) = 0 e X0(0) = X0(c) = 0, (1.8)

T0(t) − λkT (t) = 0. (1.9)

Como a equa¸cão 1.8 é de segunda ordem, temos três casos para analisar:

• λ = 0: Temos X00_{(x) = 0 =⇒ X(x) = Ax + B. Aplicando as condi¸c˜}_{oes X}0_{(0) =} X0(c) = 0, obtemos A = 0 e vemos que X(x) = B satisfaz as condi¸cões da equa¸cão 1.8. Assim, a única solu¸cão para λ nulo é X constante.

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• λ > 0: Podemos fazer λ = α2 _{e teremos X}00_{(x) = α}2_{X(x), o que fornece} X(x) = Aeαx + Be−αx.

Usando X0(0) = X0(c) = 0, obtemos

α(A − B) = 0, α(Aeαc− Be−αc) = 0.

o que implica em A = B = 0. Portanto, para λ positivo a única solu¸cão é a trivial. • λ < 0: Podemos fazer λ = −α2 _{e teremos X}00_{(x) = −α}2_{X(x), o que fornece}

X(x) = A sen αx + B cos αx, =⇒ X0(x) = α(A cos αx − B sen αx). Ent˜ao, X0(0) = 0 implica A = 0 e X0(c) = 0 implica

B sen αc = 0.

Como queremos solu¸cões não triviais, B tem que ser diferente de zero. Então, temos sen αc = 0.

Logo, αc = nπ, onde n ∈ N (à priori seria n ∈ Z, mas os valores negativos gerariam solu¸cões repetidas). Logo, as solu¸cões para λ negativo são

X0 = 1 e Xn = cos nπx

c , onde n ∈ N,

a menos de uma constante multiplicativa. Assim, a equa¸c˜ao diferencial 1.9 para T gera as solu¸c˜oes

T0(t) = 1 e Tn = exp −n 2_π2_k c2 t , onde n ∈ N, a menos de uma constante multiplicativa. Assim,

u0(x, t) = X0(x)T0(t) = 1, un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = exp −n 2_π2_k c2 t cosnπx c , onde n ∈ N.

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Portanto, todas as solu¸cões não triviais que obtemos através do método de separa¸cão de variáveis são geradas a partir das equa¸cões diferencias com λ < 0. Note que cada un satisfaz 1.5 e 1.6, logo, uma combina¸cão linear1 _{deles tamb´}_{em satisfaz essas condi¸c˜}_oes. Mas será que uma soma infinita dessas fun¸cões

A0+ ∞ X n=1

Anun(x, t)

também irá satisfazer? A resposta é depende. A depender da escolha dos An, essa série pode divergir. Ou, caso convirja, pode ser que não cumpra as condi¸cões 1.5 e 1.6, apesar de qualquer combina¸cão linear cumprir, como será exemplificado mais à frente (confira o problema da figura 4.1 e último parágrafo do cap´ıtulo 4 2_{). Mas podemos escolher esses} coeficientes de modo que não só essa série convirja e cumpra as condi¸cões 1.5 e 1.6, mas também cumpra a condi¸cão inicial 1.7. Ou seja,

f (x) = A0+ ∞ X n=1 Anun(x, 0) = A0 + ∞ X n=1 Ancos nπx c ,

desde que f satisfa¸ca certas condi¸cões 3_{. Mas como escolher esses coeficientes? Note que} se em vez das condi¸cões de fronteira 1.6, tivéssemos como condi¸cão

u(0, t) = u(c, t) = 0,

ter´ıamos seno em vez de cosseno nas fun¸c˜oes un. Da´ı a condi¸c˜ao inicial seria satisfeita se f (x) = ∞ X n=1 Bnsen nπx c . Assim, mais geralmente ter´ıamos

f (x) = A0 2 + ∞ X n=1 Ancos nπx c + Bnsen nπx c , (1.10)

onde trocamos A0 por A0/2 para compactar a f´ormula que determinar´a os coeficientes An mais a frente.

Para determinar os coeficientes, vamos supor que a s´erie em 1.10 convirja uniforme-mente, f seja integr´avel em [−c, c]4_{. Assim, integre a equa¸c˜}_{ao 1.10 de −c a c:}

Z c −c f (x)dx = A0c + Z c −c ∞ X n=1 Ancos nπx c + Bnsen nπx c dx. 1_{Lembre-se que uma combina¸}_c˜_{ao linear tem um n´}_{umero finito de termos.}

2_{Neste caso o problema ´}_{e referente `}_{a Equa¸}_c˜_{ao da Onda, mas ele serve para mostrar que apesar de}

qualquer combina¸cão linear satisfazer à equa¸cão da onda, pode acontecer que a série não satisfa¸ca.

3_{As condi¸c˜}_{oes suficientes para podermos fazer isso ser˜}_{ao abordadas no cap´ıtulo 2.}

4_{Note que a fun¸}_c˜_{ao original no problema da equa¸}_c˜_{ao do calor ´}_{e definida apenas em (0, c), mas basta}

estendê-la. Geralmente, a fun¸cão é estendida de maneira que a sua extensão seja uma fun¸cão par ou ´ımpar.

(20)

Pelo teorema A.1.2, podemos trocar a ordem do somat´orio com a integral. Por´em, note que Z c −c cosnπx c dx = Z c −c sen nπx c dx = 0. Logo, A0 = 1 c Z c −c f (x)dx.

Para determinar Am, multiplique a equa¸c˜ao 1.10 por cosmπx_c e integre em [−c, c]: Z c −c f (x) cosmπx c dx = Z c −c ∞ X n=1 Ancos nπx c cos mπx c + Bnsen nπx c cos mπx c dx.

Novamente, suponha que a série converge uniformemente e assim podemos trocar a ordem do somatório com a integral. Al´_{em disso, para n, m ∈ N, valem os seguintes} resultados, denominados rela¸cões de ortogonalidade:

Z c −c cosnπx c sen mπx c dx = 0, Z c −c cosnπx c cos mπx c dx =    c, n = m, 0, n 6= m, (1.11) Z c −c sennπx c sen mπx c dx =    c, n = m, 0, n 6= m. Assim, obtemos Am = 1 c Z c −c f (x) cosmπx c dx; m ∈ N ∪ {0}, (1.12) Analogamente, obtemos Bm = 1 c Z c −c f (x) senmπx c dx; m ∈ N. (1.13)

Note que esses coeficientes estão bem definidos pois o produto de fun¸cões integráveis é uma fun¸cão integrável. Isso motiva a seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 1.2.1 (S´_{erie de Fourier). Seja f : (−c, c) → R integrável. A série de Fourier} da fun¸cão f é f v A0 2 + ∞ X n=1 Ancos nπx c + Bnsen nπx c

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Os números An e Bn são chamados de coeficientes de Fourier de f . Nos próximos cap´ıtulos iremos desenvolver a teoria rigorosamente. Vamos enunciar condi¸cões suficientes para ocorrer a igualdade da fun¸cão com a série e depois voltaremos ao problema da Equa¸cão do Calor.

Usando a série de Fourier, podemos definir a série de cossenos e senos para uma fun¸cão integrável em (0, c). A série de cossenos é uma série apenas com cossenos. Então, se Bn = 0 para todo n natural, a série de Fourier se tornará uma série de cossenos. Note que se f é uma fun¸cão par, então Bm = 0 para todo m natural na equa¸cão 1.13 e

Am = 2 c Z c 0 f (x) cosmπx c dx; m ∈ N ∪ {0}.

Assim, se f está definida apenas em (0, c), podemos estender o seu dom´ınio de modo que ela se torne par. Da´ı, a série de Fourier da extensão de f será uma série de cossenos. Isso motiva a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.2.2 (S´_{erie de cossenos). Seja f : (0, c) → R integrável. A série de cossenos} da fun¸cão f é A0 2 + ∞ X n=1 Ancos nπx c , onde Am = 2 c Z c 0 f (x) cosmπx c dx; m ∈ N ∪ {0}.

Analogamente, estendendo f : (0, c) → R para uma fun¸cão ´ımpar, a sua série de Fourier será uma série de senos. Assim, definimos:

Defini¸cão 1.2.3 (S´_{erie de senos). Seja f : (0, c) → R integrável. A série de senos da} fun¸cão f é ∞ X n=1 Bnsen nπx c , onde Bm = 2 c Z c 0 f (x) senmπx c dx; m ∈ N.

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Cap´ıtulo 2

Expans˜

ao de fun¸

c˜

oes em s´

eries de

Fourier

Neste cap´ıtulo, vamos estabelecer condi¸cões suficientes para a validade da repre-senta¸cão em série de Fourier de uma fun¸cão definida em (−c, c), como também a expansão em série de cossenos ou senos de uma fun¸cão definida em (0, c). Além disso, vamos escrever a série de Fourier usando a exponencial complexa em vez de senos e cossenos.

Garantir a igualdade da fun¸cão f com a sua série de Fourier não é uma tarefa fácil. Note que se uma fun¸cão é integrável, então os seus coeficientes de Fourier existem. Então, se f for cont´ınua e limitada, os seus coeficientes de Fourier estão bem definidos. Contudo, há um exemplo devido Fejér de uma fun¸cão cont´ınua e limitada cuja série de Fourier é divergente (referência [10], páginas 416-418, se¸cão 13.4). Portanto, precisamos impor mais restri¸cões sobre f . Infelizmente, não abordaremos as condi¸cões mais gerais neste trabalho, que necessitaria da teoria de integral de Lebesgue para ser tratada adequadamente.

Antes de abordamos a questão da convergência da série de Fourier e a possibilidade de igualdade com a fun¸cão, precisamos fazer algumas defini¸cões e derivar alguns resultados.

2.1 Derivadas direita e esquerda

Suponha que o limite `a direita de f (x) no ponto x0 exista, isto ´e, f (x0+) = lim

x→x+₀ f (x) existe. Define-se derivada direita de f em x0 como

f_D0 (x0) = lim x→x+0

f (x) − f (x0+) x − x0

. Analogamente se define derivada esquerda:

f_E0 (x0) = lim x→x−₀

f (x) − f (x0−) x − x0

(23)

Note que essas derivadas podem existir sem ao menos f estar definida em x0. Assim, pode ser que essas derivadas existam sem a derivada f0(x0) existir. De fato, os exemplos seguintes ilustram isso:

Exemplo 2.1.1. Defina f (x) =    x2_, _{x ≤ 0,} sen x, x > 0. Ent˜ao, f (0+) = f (0−) = f (0) = 0 e f_D0 (0) = lim x→0+ sen x x = 1, f_E0 (0) = lim x→0− x2 x = 0. Logo, f_D0 (0) 6= f_E0(0) e portanto n˜ao existe f0(0).

A derivada f0(x0) pode n˜ao existir, mesmo que f (x0) esteja definido e fD0 (x0) = fE0 (x0): Exemplo 2.1.2. A fun¸c˜ao escada

f (x) =    0, x < 0, 1, x ≥ 0,

tem f_D0 (0) = f_E0 (0) = 0. Porém, como f não é cont´ınua em zero, então não existe f0(0). Como no caso de derivadas ordinárias, f cont´ınua num ponto não garante a existência da derivada direita e esquerda:

Exemplo 2.1.3. A fun¸c˜ao f (x) = √x com x ≥ 0 n˜ao possui derivada direita no ponto x = 0, embora seja cont´ınua neste ponto.

O próximo teorema é particularmente importante para a teoria de convergência de séries de Fourier.

Teorema 2.1.1. Se f é seccionalmente diferenciável em (a, b) e c ∈ (a, b), então f_D0 (c) = f0(c+) e f_E0 (c) = f0(c−)

Al´em disso, vale

f_D0 (a) = f0(a+) e f_E0(b) = f0(b−)

Demonstra¸cão. Vamos provar a expressão para a derivada direita. Os demais resultados são análogos. Então, estamos querendo calcular o limite

lim x→c+

f (x) − f (c+) x − c .

(24)

Para provar a sua existência e calculá-lo, precisamos construir uma fun¸cão auxiliar. Existe um intervalo não degenerado em torno de c onde f é diferenciável em todo ponto menos (possivelmente) em c, pois f é seccionalmente diferenciável. Mas como f também é seccionalmente cont´ınua pelo teorema 1.1.1, então existe f (c+). Tome d > c neste intervalo e defina a fun¸cão auxiliar

g(y) =    f (y), y ∈ (c, d], f (c+), y = c.

Note que, para todo x ∈ (c, d), g é cont´ınua em [c, x] e diferenciável em (c, x). Assim, pelo Teorema do Valor Médio de Lagrange, existe yx ∈ (c, x) tal que

f (x) − f (c+) x − c = g 0 (yx) = f0(yx). Como x → c+ _{implica y} x→ c+, ent˜ao f_D0 (c) = lim x→c+ f (x) − f (c+) x − c = limx→c+f 0 (yx) = f0(c+). As demais express˜oes se provam analogamente.

Se f não é seccionalmente diferenciável, pode não ocorrer as igualdades da conclusão do teorema como ilustra o seguinte exemplo.

Exemplo 2.1.4. Defina f (x) =    x2sen(1/x), x 6= 0, 0, x = 0.

f_D0 (0) = lim x→0+x sen

1 x = 0. Analogamente, f_E0 (0) = 0. Por outro lado,

f0(x) = 2x sen 1 x − cos

1 x.

Logo, n˜ao existem f0(0+) e f0(0−), apesar de f_D0 (0) e f_E0 (0) existirem.

2.2 Teorema de Fourier

De posse dos resultados anteriores, podemos provar a Desigualdade de Bessel e al-guns resultados, que s˜ao necess´arios para provar o Teorema de Fourier 1 _{(teorema 2.2.2).}

1_{Um teorema que forne¸}_{ca condi¸}_c˜_{oes suficientes para escrever uma fun¸}_c˜_{ao como sua s´}_{erie de Fourier ´}_e

chamado de Teorema de Fourier. Há, portanto, outras condi¸cões que são suficientes, como as condi¸cões de Dirichlet. A referência [3] demonstra o teorema para este caso.

(25)

Vamos primeiramente prová-lo para uma fun¸cão com per´ıodo 2π. Depois, usando uma substitui¸cão de variável, o caso com per´ıodo arbitrário seguirá trivialmente.

Teorema 2.2.1 (Desigualdade de Bessel). Seja f : (0, π) → R integr´avel e N ∈ N. Ent˜ao, A2₀ 2 + N X n=1 A2_n≤ 2 π Z π 0 f2, N X n=1 B_n2 ≤ 2 π Z π 0 f2,

onde An e Bn são os coeficientes das séries de cosseno e seno de f , respectivamente. Demonstra¸cão. Primeiro, pela defini¸cão de integral que estamos usando e pelo parágrafo após o teorema A.4.1, sabemos que f2 _´_{e integr´}_{avel. Al´}_{em disso,}

f −A0 2 − N X n=1 Ancos nx !2 ≥ 0, f2 +A 2 0 4 + X 1≤n,m≤N AnAmcos nx cos mx − A0f − 2 N X n=1 Anf cos nx + A0 N X n=1 Ancos nx ≥ 0. (2.1) Note que nas rela¸cões de ortogonalidade (equa¸cão 1.11), o integrando da integral do meio é par, assim obtemos, usando c = π,

Z π 0 cos nx cos mxdx =    π/2, n = m, 0, n 6= m,

onde m, n ∈ N. Dividindo a inequa¸cão 2.1 por π, integrando de 0 a π, usando a equa¸cão acima e as fórmulas para os coeficientes da série de cossenos, obtemos

1 π Z π 0 f2+ A 2 0 4 + 1 2 N X n=1 A2_n− A 2 0 2 − N X n=1 A2_n ≥ 0, 1 π Z π 0 f2− A 2 0 4 − 1 2 N X n=1 A2_n ≥ 0.

Assim, a primeira desigualdade est´a provada. A segunda se prova analogamente.

A partir da Desigualdade de Bessel, segue que a série formada pela soma dos quadrados dos coeficientes converge, pois as suas somas parciais são limitadas e monótonas. Logo, o seguinte corolário é uma consequência imediata.

(26)

Corol´ario 2.2.1. Os coeficientes das s´_{eries de senos e cossenos de f : (0, π) → R} in-tegr´avel tendem a zero quando n → ∞.

Com esse corol´ario, podemos provar o seguinte lema, que ´e um caso especial do Lema de Riemann-Lebesgue.

Lema 2.2.1. Se uma fun¸cão G ∈ Cs(0, π), então lim N →∞ Z π 0 G(u) senu 2 + N u du = 0, onde N ∈ N. Demonstra¸cão. Z π 0 G(u) sen u 2 + N u du = Z π 0 G(u) senu 2 cos N udu + Z π 0 G(u) cosu 2 sen N udu. Agora, lembre que uma fun¸cão seccionalmente cont´ınua é integrável pela observa¸cão dada logo após a demonstra¸cão do teorema 1.1.1. Assim, G(u) senu₂ e G(u) cosu₂ são integráveis. Notando que a primeira parcela do membro direito da equa¸cão é o N -ésimo coeficiente da série de cossenos de G(u) senu₂ vezes uma constante independente de N , vemos que ela tende a zero quando N → ∞. Com um argumento análogo, o mesmo ocorre para a segunda parcela. Da´ı segue a conclusão do lema.

O próximo lema envolve o núcleo de Dirichlet, que é definido como

DN(u) = 1 2 + N X n=1 cos nu, (2.2)

onde N ∈ N. O núcleo de Dirichlet tem algumas propriedades interessantes que auxiliarão na demonstra¸cão do Teorema de Fourier. Ele é cont´ınuo, é par e tem per´ıodo fundamental 2π. As duas primeiras propriedades são imediatas. A terceira é mais delicada, porém não tão dif´ıcil de provar. De fato, note que 2π é um dos per´ıodos. Além disso, DN(0) = 1/2 + N . Agora, note que cos u < 1 para todo u ∈ (0, 2π). Como cosseno é menor ou igual a 1 sempre, segue que as outras parcelas no somatório são menores ou iguais a 1. Logo, DN(u) < 1/2 + N = DN(0) para todo u ∈ (0, 2π). Então, o per´ıodo de DN é maior ou igual a 2π. Como 2π é um dos per´ıodos de DN, segue que DN tem per´ıodo fundamental 2π.

Além disso, podemos expressar o núcleo de Dirichlet numa fórmula fechada, notando que o somatório que aparece na sua defini¸cão nada mais é do que a parte real de

N X n=1 einu = eiue iN u_{− 1} eiu_{− 1} =

ei(N +1/2)u− eiu/2 eiu/2_{− e}−iu/2

(27)

N X n=1 einu = cos(N u + u 2) − cos u 2 2i senu₂ + i(sen(N u +u₂) − sinu₂) 2i senu₂ .

onde u não é um múltiplo inteiro de 2π. Logo, tomando apenas a parte real, que corres-ponde apenas à segunda fra¸cão no membro direito da equa¸cão anterior, obtemos

N X n=1 cos nu = sen(N u + u 2) − sen u 2 2 senu₂ = sen(N u +u₂) 2 senu₂ − 1 2. Logo, deduzimos a seguinte f´ormula

DN(u) =

sen(N u + u₂)

2 senu₂ , ∀u 6= 2kπ| k ∈ Z. (2.3) Ademais, integrando a equa¸c˜ao 2.2 de 0 a π, obtemos imediatamente

Z π 0

DN(u)du = π

2. (2.4)

Com esses resultados, estamos aptos a provar:

Lema 2.2.2. Seja g ∈ Cs(0, π) e tal que g0D(0) existe, ent˜ao lim N →∞ Z π 0 g(u)DN(u)du = π 2g(0+).

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, note que a equa¸c˜ao 2.4 nos permite escrever π

2g(0+) = Z π

0

g(0+)DN(u)du. Assim, basta provarmos que

Z π 0

(g(u) − g(0+))DN(u)du

tende a zero quando N tende a infinito. De fato, usando a equa¸c˜ao 2.3, obtemos Z π 0 (g(u) − g(0+))DN(u)du = Z π 0 (g(u) − g(0+))sen(N u + u 2) 2 senu₂ du = = Z π 0 g(u) − g(0+) u u 2 senu₂ sen N u +u 2 du. Agora, se provarmos que

G(u) = g(u) − g(0+) u

u 2 senu₂

é seccionalmente cont´ınua em (0, π), seguirá do lema 2.2.1 que essa integral tende a zero quando N tende a infinito. De fato, como G é a razão de fun¸cões seccionalmente cont´ınuas

(28)

em (0, π), basta analisarmos os limites de G quando o seu denominador tende a zero, isto ´e, basta provarmos que o seguinte limite existe:

lim

u→0+G(u) = lim_u→0+

g(u) − g(0+) u u→0lim+ u 2 senu₂ = g 0 D(0), onde usamos o fato de que

lim x→0

sen x x = 1. Assim, G ∈ Cs(0, π) e a conclus˜ao do lema segue.

De posse desse ´ultimo lema, podemos finalmente provar:

Teorema 2.2.2 (Teorema de Fourier). Seja f : R → R com per´ıodo 2c tal que f ∈ Cs(−c, c). Ent˜ao, para cada x ∈ R, a sua s´erie de Fourier converge para

f (x+) + f (x−)

2 ,

desde que existam f_D0 (x) e f_E0 (x).

Demonstra¸cão. Vamos supor inicialmente que c = π e depois provar o caso geral através de uma substitui¸cão de variável. Ent˜_{ao, para todo N ∈ N, defina}

sN(x) = A0 2 + N X n=1 (Ancos nx + Bnsen nx),

onde An e Bn s˜ao os coeficientes de Fourier de f . Usando as f´ormulas que definem os coeficientes, podemos reescrever isso como:

sN(x) = 1 π Z π −π f (y) " 1 2 + N X n=1

(cos ny cos nx + sen ny sen nx) # dy = 1 π Z π −π f (y) " 1 2+ N X n=1 cos(n(y − x)) # dy = 1 π Z π −π f (y)DN(y − x)dy. Fa¸camos a substitui¸c˜ao de vari´avel t = y − x, da´ı obtemos

sN(x) = 1 π Z π−x −π−x f (x + t)DN(t)dt = 1 π Z π −π f (x + t)DN(t)dt,

onde a ´ultima igualdade adv´em do fato do integrando ter per´ıodo 2π. Prosseguindo, sN(x) = 1 π Z π 0 f (x + t)DN(t)dt + 1 π Z 0 −π f (x + t)DN(t)dt.

Fa¸camos a substitui¸c˜ao t por −t na segunda integral e usando fato de que DN ´e par, obtemos sN(x) = 1 π Z π 0 f (x + t)DN(t)dt + 1 π Z π 0 f (x − t)DN(t)dt.

(29)

Agora, vamos definir g(t) = f (x + t), provar que g é seccionalmente cont´ınua em (0, π) e que existe g0_D(0) para usarmos o lema 2.2.2. De fato, como a fun¸cão f é seccionalmente cont´ınua em todo intervalo limitado de R, segue que g também é. Além disso,

g(0+) = lim t→0+f (x + t) = f (x+), g_D0 (0) = lim t→0+ f (x + t) − f (x+) t = f 0 D(x+). Assim, pelo lema 2.2.2, temos

lim N →∞ 1 π Z π 0 f (x + t)DN(t)dt = lim N →∞ 1 π Z π 0 g(t)DN(t)dt = g(0+) 2 = f (x+) 2 .

Para calcular a segunda integral, defina g(t) = f (x − t), que ´e seccionalmente cont´ınua em (0, π). Note que g(0+) = lim t→0+f (x − t) = f (x−), g_D0 (0) = lim t→0+ f (x − t) − f (x−) t = − limt→0− f (x + t) − f (x−) t = −f 0 E(x). Logo, pelo lema 2.2.2, temos

lim N →∞ 1 π Z π 0 f (x − t)DN(t)dt = lim N →∞ 1 π Z π 0 g(t)DN(t)dt = g(0+) 2 = f (x−) 2 . Portanto, lim N →∞sN(x) = f (x+) + f (x−) 2 .

Para c arbitr´ario, defina h(y) = f (cy_π). Assim, h ∈ Cs(−π, π) e tem per´ıodo 2π. Tome x tal que existem f_D0 (x) e f_E0 (x). Ent˜ao, existem h0_D(y) e h0_E(y) tal que y = πx_c . Logo, pelo caso c = π que acabamos de provar, temos

A0 2 +

∞ X n=1

(Ancos ny + Bnsen ny) =

h(y+) + h(y−)

2 ,

onde An e Bn s˜ao os coeficientes de Fourier de h. Por outro lado, h(y+) = fcy π+ , h(y−) = fcy π− . Assim, substituindo x = cy_π, obtemos

A0 2 + ∞ X n=1 Ancos nπx c + Bnsen nπx c = f (x+) + f (x−) 2 . Al´em disso, An= 1 π Z π −π

h(y) cos nydy = 1 π Z π −π fcy π cos nydy.

(30)

Fazendo a substitui¸c˜ao x = cy/π =⇒ dy = πdx/c, temos An= 1 c Z c −c f (x) cosnπx c dx. Analogamente, obtemos Bn = 1 c Z c −c f (x) sennπx c dx.

Ou seja, Ane Bnsão exatamente os coeficientes de Fourier de f . Logo, a demonstra¸cão para o caso geral está finalizada.

Esse teorema é especialmente adequado para fun¸cões seccionalmente diferenciáveis, pois neste caso o teorema 2.1.1 garante a existência das derivadas direita e esquerda em todo dom´ınio de f . Portanto, o seguinte corolário vale:

Corol´_{ario 2.2.2. Seja f : (−c, c) → R tal que f ∈ C}_s0(−c, c) e seja F a sua extens˜ao para toda reta com per´ıodo 2c, ent˜ao a s´_{erie de Fourier de F converge, para todo x ∈ R,} para

F (x+) + F (x−)

2 .

2.3 S´

erie de Fourier com exponencial complexa

Considere a reduzida da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f :

sN(x) = A0 2 + N X n=1 Ancos nπx c + sen nπx c , onde N ∈ N. Usando cos θ = e iθ_{+ e}−iθ 2 , sin θ = i e −iθ _{− e}iθ 2 . Podemos reescrever sN como

sN(x) = A0 2 + N X n=1 An− iBn 2 einπxc + An+ iBn 2 e−inπxc . Logo, sN(x) = N X n=−N Cnei nπx c , onde Cn= 1 2c Z c −c f (x)e−inπxc ; n ∈ Z.

(31)

Al´em disso, note que lim N →∞ A0 2 + N X n=1 Ancos nπx c + sen nπx c = lim N →∞ N X n=−N Cnei nπx c . Assim, A0 2 + P∞ n=1 Ancos nπx c + sen nπx

c converge se, e somente se, P ∞

n=−∞Cne inπx_c converge. Apesar da ambiguidade, quando estivermos trabalhando com a s´erie de Fourier com exponencial complexa, chamaremos Cn de coeficientes de Fourier da fun¸c˜ao f .

(32)

Cap´ıtulo 3

Solu¸

c˜

ao rigorosa da Equa¸

c˜

ao do

Calor

Neste cap´ıtulo, vamos voltar ao problema da temperatura numa placa que foi ini-cialmente discutido no cap´ıtulo 1. Primeiramente, vamos demonstrar alguns teoremas que são necessários para mostrar que a solu¸cão proposta no cap´ıtulo 1 satisfaz todas as condi¸cões do problema e depois vamos mostrar a sua unicidade. Infelizmente, não vamos supor que a fun¸cão f é apenas integrável, teremos que impor mais restri¸cões sobre ela, pois o teorema de Fourier que demonstramos supõe a fun¸cão seccionalmente cont´ınua. Evidentemente, também teremos que impor certas condi¸cões sobre o conjunto de fun¸cões na qual iremos analisar a unicidade, caso contrário pode ser que haja mais de uma solu¸cão poss´ıvel.

Na primeira se¸cão, demonstraremos alguns resultados úteis. Na segunda se¸cão, pro-varemos que a solu¸cão proposta satisfaz todas as condi¸cões necessárias para de fato ser uma solu¸cão e abordaremos outros casos.

3.1 Alguns resultados importantes

Vamos provar alguns resultados necessários para a próxima se¸cão. O primeiro é outra versão da Desigualdade de Bessel.

Teorema 3.1.1 (Desigualdade de Bessel). Sejam f : (−c, c) → R integr´avel e N ∈ N, ent˜ao A2 0 2 + N X n=1 (A2_n+ B_n2) ≤ 1 c Z c −c f2.

Demonstra¸c˜_{ao. Vamos supor inicialmente c = π. Defina g, h : (0, π) → R do seguinte} modo

g(x) = f (x) + f (−x)

2 e h(x) =

f (x) − f (−x) 2

(33)

Sejam Anos coeficientes das séries de cossenos de g e Bnos coeficientes das séries de senos de h. Note que An= 2 π Z π 0 f (x) + f (−x) 2 cos nxdx = 1 π Z π 0 f (x) cos nxdx + 1 π Z π 0 f (−x) cos nxdx. Substituindo x por −x na última integral, obtemos

1 π Z π 0 f (−x) cos nxdx = 1 π Z 0 −π f (x) cos nxdx =⇒ An= 1 π Z π −π f (x) cos nxdx.

Assim, An é um dos coeficientes de Fourier de f . Analogamente, podemos provar que Bné o outro coeficiente de Fourier de f . Além disso, pelo teorema 2.2.1, temos que valem

A2₀ 2 + N X n=1 A2_n ≤ 2 π Z π 0 g(x)2dx, N X n=1 B_n2 ≤ 2 π Z π 0 h(x)2dx. Por outro lado,

g2(x) + h2(x) = f

2_{(x) + f}2_(−x)

2 .

Logo, somando as duas desigualdades obtemos A2 0 2 + N X n=1 (A2_n+ B_n2) ≤ 1 π Z π 0 f2(x)dx + 1 π Z π 0 f2(−x)dx. Substituindo x por −x na ´ultima integral, temos

A2₀ 2 + N X n=1 (A2_n+ B_n2) ≤ 1 π Z π −π f2(x)dx.

Para c arbitrário, defina F (y) = f (cy_π) com y ∈ (−π, π). Logo, F é integrável e vale A2 0 2 + N X n=1 (A2_n+ B_n2) ≤ 1 π Z π −π F2(y)dy,

onde An e Bn são os coeficientes de Fourier de F . Mas pelo final da demonstra¸cão do Teorema de Fourier, An e Bn são exatamente os coeficientes Fourier de f . Além disso,

1 π Z π −π F (y)2dy = 1 π Z π −π f2cy π dy. Fazendo a substitui¸c˜ao, x = cy/π, obtemos

1 π Z π −π f2cy π dy = 1 π Z c −c f2(x)π cdx = 1 c Z c −c f2(x)dx. Concluindo a demonstra¸c˜ao.

(34)

Agora podemos provar o seguinte:

Lema 3.1.1. Seja f : [−c, c] → R cont´ınua tal que f ∈ Cs0(−c, c) e f (−c) = f (c), ent˜ao ∞

X n=1

(|An| + |Bn|)

converge, onde An e Bn s˜ao os coeficientes de Fourier de f .

Demonstra¸c˜ao. Sejam A0_n e B_n0 os coeficientes de Fourier de f0. Ent˜ao, note que para n ∈ N Z c −c f (x) cosnπx c dx = f (x) sen nπx c c nπ c −c − c nπ Z c −c f0(x) sennπx c dx = = − c nπ Z c −c f0(x) sennπx c dx. Logo, vale An= − c nπB 0 n, ∀n ∈ N. Procedendo analogamente, Z c −c f (x) sennπx c dx = − f (x) cosnπx c c nπ c −c+ c nπ Z c −c f0(x) cosnπx c dx = = c nπ(f (−c) cos(−nπ) − f (c) cos nπ) + c nπ Z c −c f0(x) cosnπx c dx. Como f (c) = f (−c), segue que

Z c −c f (x) sennπx c dx = c nπ Z c −c f0(x) cosnπx c dx. Ent˜ao, Bn = c nπA 0 n, ∀n ∈ N. Por outro lado, note que

|An| + |Bn| = c π |A0_n|1 n + |B 0 n| 1 n ≤ c 2π A02_n + B02_n + 2 n2 ,

onde usamos que ab ≤ a2+b₂ 2 para |A0_n|/n e |B0

n|/n. Mas sabemos que P 1/n2 converge e que P(A02

n + B 02

n) converge pela Desigualdade de Bessel. Logo, a conclus˜ao do lema segue.

(35)

3.2 Solu¸

c˜

ao para o problema da temperatura numa

placa

Vamos estabelecer o que consideramos como solu¸cão do problema do calor. Basica-mente, a solu¸cão deve satisfazer um conjunto de propriedades. Algumas delas vem de considera¸cões f´ısicas, outras advém da necessidade de garantirmos a unicidade, ou seja, talvez sejam apenas uma imposi¸cão matemática proveniente da limita¸cão da teoria aqui desenvolvida.

Primeiramente, vamos provar apenas que a série da equa¸cão 3.1 é uma solu¸cão poss´ıvel. Depois, vamos demonstrar alguns resultados auxiliares para provar a sua unicidade. Na demonstra¸cão do próximo teorema, usaremos resultados descritos na se¸cão convergência pontual e uniforme, e na se¸cão continuidade uniforme do apêndice.

Teorema 3.2.1. Seja f ∈ C_s0(0, c) cont´ınua. Suponha uma fun¸cão u(x, t), com 0 ≤ x ≤ c e t ≥ 0, satisfazendo: 1. u é cont´ınua. 2. ut e uxx são cont´ınuas em 0 ≤ x ≤ c e t > 0. 3. ut(x, t) = kuxx(x, t) para 0 < x < c e t > 0. 4. ux(0, t) = ux(c, t) = 0 para t > 0. 5. u(x, 0) = f (x) para 0 < x < c. Então, u(x, t) = A0 2 + ∞ X n=1 Anexp −n 2_π2_kt c2 cosnπx c , (3.1)

onde An s˜ao os coeficientes da s´erie de cossenos de f .

Demonstra¸c˜ao. Seja F a extens˜ao par de f para o dom´ınio [−c, c] com F (c) = limx→c+f (x),

então os coeficientes de Fourier de F são iguais aos da série de cossenos de f , exceto os coeficientes multiplicando os senos, que são todos nulos. Além disso, F ∈ C_s0(−c, c), é cont´ınua e F (−c) = F (c), logo a série P |An| converge pelo lema 3.1.1. Note que

Anexp −n 2_π2_kt c2 cosnπx c ≤ |An|,

para todo 0 ≤ x ≤ c e t ≥ 0. Portanto, a série na equa¸cão 3.1 converge uniformemente pelo teste M de Weierstrass. Como as suas reduzidas são fun¸cões cont´ınuas, então u é uma fun¸cão cont´ınua e a propriedade 1 é satisfeita.

(36)

Fixe t1 > 0 e defina, para todo N ∈ N, SN(x) = A0 2 + N X n=1 Anexp −n 2_π2_kt 1 c2 cosnπx c com 0 ≤ x ≤ c. Assim, S_N0 (x) = − N X n=1 Annπ c exp −n 2_π2_kt 1 c2 sen nπx c . Note que os coeficientes An s˜ao limitados por uma constante, isto ´e,

|An| ≤ 2 c Z c 0 |f | = M.

Al´em disso, como limn→∞ne−an

2

= 0 para todo a > 0, ent˜ao existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |ne−an

2 | < 1. Tome a = π 2_kt 1 2c2 . Assim, n > n0 =⇒ Annπ c exp −n 2_π2_kt 1 c2 sennπx c < M π c exp −n2_π2_kt 1 2c2 .

Logo, S_N0 converge uniformemente pelo teste M de Weierstrass. Além disso, SN ∈ C1 e a sequência (SN(c/2)) converge, então segue que u(x, t1) é diferenciável em rela¸cão a x e

ux(x, t1) = lim N →∞S

0

N(x). (3.2)

Como t1 é arbitrário, então ux(x, t) = − ∞ X n=1 Anπn c exp −n 2_π2_kt c2 sennπx c

para todo 0 ≤ x ≤ c e t > 0. Como provado anteriormente, essa série converge unifor-memente e como as suas reduzidas são cont´ınuas, então ux é cont´ınua em 0 ≤ x ≤ c e t ≥ t1 > 0. Como t1 pode ser feito arbitrariamente pequeno, segue que ux é cont´ınua em 0 ≤ x ≤ c e t > 0. Analogamente, podemos provar que uxx e ut são cont´ınuas em 0 ≤ x ≤ c e t > 0, usando o fato de que limn→∞nme−an

2

= 0 para todo m ∈ Z e a > 0. Isso mostra que a propriedade 2 ´e satisfeita.

Agora fixe 0 < x1 < c e tome t0 e t2 tais que 0 < t0 ≤ t1 ≤ t2. Para todo N natural, defina σN(t) = A0 2 + N X n=1 Anexp −n 2_π2_kt c2 cosnπx1 c ,

(37)

onde t > 0. Assim, de modo an´alogo ao racioc´ınio usado para mostrar a equa¸c˜ao 3.2, podemos mostrar ut(x1, t) = lim N →∞σ 0 N(t), uxx(x, t1) = lim N →∞S 00 N(x).

Como σ_N0 (t1) = kSN00(x1) para todo N , podemos provar a validade da equa¸c˜ao do calor: ut(x1, t1) = lim N →∞σ 0 N(t1) = k lim N →∞S 00 N(x1) = kuxx(x1, t1).

Como 0 < x1 < c e t2, t1 > 0 são arbitrários, então a propriedade 3 é verdade. A propriedade 4 se prova analogamente. Quanto à propriedade 5:

u(x, 0) = A0 2 + ∞ X n=1 Ancos nπx c = f (x)

sabemos que é verdade pelo Teorema de Fourier, já que f é seccionalmente diferenciável e cont´ınua.

Vamos agora provar a unicidade. Suponha que existam duas fun¸c˜oes u e u0satisfazendo todas as propriedades listadas no enunciado do teorema. Defina

g(x, t) = u(x, t) − u0(x, t)

para todo 0 ≤ x ≤ c e t ≥ 0. Ent˜ao, g satisfaz todas as propriedades, menos a 5, pois g(x, 0) = 0 ∀ 0 < x < c.

Tome tf > 0. Como g ´e cont´ınua no compacto [0, c] × [0, tf], segue que ela ´e unifor-memente cont´ınua neste conjunto. Assim, dado > 0, temos que existe δ ∈ (0, tf) tal que

|(x, t) − (x, 0)| < δ =⇒ |g(x, t)| <r

c, ∀x ∈ (0, c), (3.3) pois g(x, 0) = 0. Tome t0 ∈ (0, δ) e defina I : [t0, tf] → R como

I(t) = Z c

0

g2(x, t)dx.

Como uut´e cont´ınua em [0, c]×[t0, tf], pelo teorema A.4.5 segue que podemos comutar a derivada temporal com o sinal de integra¸c˜ao:

I0(t) = ∂ ∂t Z c 0 g2(x, t)dx = Z c 0 ∂ ∂tg 2 (x, t)dx = 2 Z c 0 g(x, t)gt(x, t)dx. Mas g satisfaz a Equa¸c˜ao do Calor, logo

I0(t) = 2k Z c

0

(38)

Por outro lado, ∂ ∂x(ggx) = g 2 x+ ggxx. Assim, I0(t) = 2k[g(x, t)gx(x, t)]| x=c x=0− 2k Z c 0 g_x2(x, t)dx.

A primeira parcela do membro direito da equa¸cão é nula devido à propriedade 4. Como k > 0, segue que I0(t) ≤ 0 para todo t ∈ [t0, tf]. Mas a equa¸cão 3.3 implica I(t0) < . Como a derivada de I é não positiva, segue que I é uma fun¸cão decrescente, portanto I(t) < para todo t ∈ [t0, tf]. Além disso, I é uma integral do quadrado de uma fun¸cão real, logo I não é negativo. Assim, temos

0 ≤ I(t) < , ∀t ∈ [t0, tf]. Como é arbitrário, então I é identicamente nulo. Assim,

Z c 0

g2(x, t)dx = 0.

Como g é cont´ınua, então g é identicamente nula em [0, c] × [t0, tf]. Mas note que t0 pode ser feito arbitrariamente pequeno e tf arbitrariamente grande. Então, g é nula em [0, c] × (0, ∞+). Além disso, g é cont´ınua, então ela também tem que ser nula quando t = 0. Portanto, g é identicamente nula. Assim, finalmente temos u = u0 e a solu¸cão é ´

unica.

Esse teorema garante que u(x, t) na equa¸cão 3.2.1 é a solu¸cão para o problema da temperatura numa placa. Infelizmente, para provar a unicidade, tivemos que impor muitas restri¸cões no que consideramos “solu¸cão” para o problema.

Apesar disso, algumas observa¸cões são válidas. Note que a fun¸cão u(x, t) ∈ C∞ no dom´ınio 0 ≤ x ≤ c e t > 0. Logo, podemos ver que o processo de distribui¸cão de calor na placa é “altamente suavizador” no sentido que quase “qualquer” distribui¸cão inicial de temperatura f tende rapidamente a uma temperatura u “altamente suave”.

Além disso, note que para a demonstra¸cão de unicidade, a condi¸cão 4 poderia ser generalizada para

ux(0, t) = φ(t); ux(c, t) = ψ(t) para t > 0,

onde necessariamente devemos ter φ, ψ ∈ C∞, para evitar contradi¸c˜oes. Da mesma forma, a condi¸c˜ao 3 pode ser generalizada para

ut(x, t) = kuxx(x, t) + q(x, t) com 0 < x < c e t > 0,

onde q ∈ C∞. De acordo com a referˆencia [2], esse termo q corresponde a um calor gerado ou retirado no interior da placa.

(39)

Com uma demonstra¸cão inteiramente análoga à prova do teorema 3.2.1, podemos resolver o caso no qual o problema da temperatura numa placa tem as suas faces mantidas `

a temperatura constante. Com efeito, o seguinte teorema ´e v´alido.

Teorema 3.2.2. Seja f ∈ C_s0(0, c) cont´ınua. Suponha uma fun¸c˜ao u(x, t), com 0 ≤ x ≤ c e t ≥ 0, satisfazendo:

1. u ´e cont´ınua.

2. ut e uxx s˜ao cont´ınuas em 0 ≤ x ≤ c e t > 0. 3. ut(x, t) = kuxx(x, t) para 0 < x < c e t > 0. 4. u(0, t) = u(c, t) = 0 para t > 0.

5. u(x, 0) = f (x) para 0 < x < c. Então, u(x, t) = ∞ X n=1 Bnexp −n 2_π2_kt c sennπx c , onde Bn são os coeficientes da série de senos de f .

Demonstra¸cão. Análoga à demonstra¸cão do teorema 3.2.1.

Mais geralmente ter´ıamos u(0, t) = T0 e u(c, t) = Tc. Para este caso, podemos definir uma fun¸c˜ao auxiliar para cair no caso do teorema 3.2.2. De fato, defina

ˆ

u(x, t) = u(x, t) − h(x), onde

h(x) = Tc− T0

c x + T0.

Assim, ˆu satisfaz as propriedades 1, 2, 3 e 4 do teorema 3.2.2. Quanto `a propriedade 5, temos

ˆ

u(x, 0) = f (x) − h(x) ∈ C_s0(0, c).

Logo, o teorema 3.2.2 garante a existência de uma única solu¸cão para û, o que garante uma única solu¸cão para u.

(40)

Cap´ıtulo 4

Solu¸

c˜

ao rigorosa da Equa¸

c˜

ao da

Onda

Nesta se¸cão, vamos analisar o problema da Equa¸cão da Onda em uma dimensão. Esse problema pode modelar uma corda com extremidades presas, por exemplo. De maneira similar à se¸cão anterior, vamos estabelecer o que chamamos de solu¸cão, ou seja, que propriedades a fun¸cão deve satisfazer para ser solu¸cão do problema e iremos provar a sua unicidade.

Mas, antes, vamos investigar o seguinte problema, para ter uma melhor intui¸cão das condi¸cões que teremos de impor no teorema para conseguirmos prová-lo. Considere que a posi¸cão inicial da corda é como mostrado figura 4.1, onde 0 < p < π.

Além disso, vamos supor que no in´ıcio ela está parada. A fun¸cão que descreve a posi¸cão inicial é f (x) =    xh p , 0 ≤ x ≤ p, h(π−x) π−p , p ≤ x ≤ π. f (x) x h p 0 _π

(41)

A equa¸c˜ao da onda ´e satisfeita:

ytt(x, t) = yxx(x, t),

onde consideramos a constante multiplicativa numericamente igual a 1. Para ver a dedu¸cão da equa¸cão da onda, pode-se consultar o cap´ıtulo 3 da referência [2]. Usando o método de separa¸cão de variáveis discutido no cap´ıtulo 1, chegamos como proposta de solu¸cão ao seguinte: y(x, t) = ∞ X n=1 Bnsen nx cos nt, Bn= 2h sen np n2_{p(π − p)}, (4.1)

onde Bn são os coeficientes da séries de senos de f . Descri¸cões mais detalhadas de como achar essas expressões podem ser encontradas nas referências [2] e [8]. Agora note que nos coeficientes Bn há um n2 no denominador e quando se toma a derivada parcial de qualquer um dos termos da série duas vezes (em rela¸cão a x ou a t), o n2 desaparece. Logo, quando n → ∞, o n-ésimo termo não tende a zero e não podemos ter algo como

yxx = − ∞ X n=1

Bnn2sen nx cos nt,

conforme seria esperado e similar ao que aconteceu no caso da Equa¸cão do Calor, pois essa série é divergente. Para não cairmos em casos como esses, vamos impor que f , a posi¸cão inicial da corda, seja diferenciável. No caso apresentado, f não é diferenciável em p. Infelizmente, teremos que impor ainda mais condi¸cões do que essa para conseguir provar o teorema.

Teorema 4.0.1. Seja f : [0, c] → R fun¸c˜ao de classe C2 _{tal que f (0) = f (c) = f}00_{(0) =} f00(c) = 0. Suponha uma fun¸c˜ao y(x, t), onde 0 ≤ x ≤ c e t ≥ 0, satisfazendo

1. y ∈ C2.

2. ytt(x, t) = a2yxx(x, t) para 0 < x < c e t > 0. 3. y(0, t) = y(c, t) = 0 para t ≥ 0.

4. y(x, 0) = f (x) e yt(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ c. Ent˜ao, y(x, t) = ∞ X n=1 Bnsen nπx c cos nπat c , (4.2)

(42)

Demonstra¸cão. Vamos reescrever a série da equa¸cão 4.2 usando sen a cos b = sen(a + b) + sen(a − b)

2 =⇒ y(x, t) = 1 2 ∞ X n=1 Bnsen nπ(x + at) c + 1 2 ∞ X n=1 Bnsen nπ(x − at) c (4.3)

=⇒ y(x, t) = f (x + at) + f (x − at)

2 .

Note, contudo, que a última equa¸cão não está correta, pois o argumento de f deve estar entre 0 e c. Para corrigir isso, devemos considerar a extensão de f . Então, seja F a extensão ´ımpar de f para toda a reta com per´ıodo 2c. Primeiramente, vamos provar que F ∈ C2_{, depois vamos usar o Teorema de Fourier para escrever y em fun¸c˜}_{ao de F .} De fato, note que F00(x) é cont´ınua para 0 < x < c. Para provar que existem F00(0) e F00(c), devemos antes provar que existem F0(0) e F0(c), pois precisamos garantir as suas existências para provar a existência de F00(0) e F00(c). Vamos fazer isso usando derivadas laterais. A derivada lateral à direita de F é

F₊0(0) = lim x→0+ F (x) − F (0) x = limx→0+ f (x) − f (0) x = limx→0+ f (x) x = f 0 (0). A derivada lateral `a esquerda de F ´e

F₋0(0) = lim x→0− F (x) − F (0) x = limx→0− −f (−x) x = limx→0− f (−x) −x = limx→0+ f (x) x = f 0 (0). Como elas são iguais, segue que existe F0(0), que é igual a f0(0). Agora, podemos provar a existência de F00(0). É imediato que F₊00(0) = f00(0) = 0, pois arbitrariamente próximo pela direita de 0, temos F (x) = f (x). Além disso,

F−00(0) = lim x→0−

F0(x) − F0(0)

x .

Mas para x ∈ (−c, 0), temos F (x) = −f (−x) =⇒ F0(x) = f0(−x). Al´em disso, F0(0) = f0(0). Logo, F₋00(0) = lim x→0− f0(−x) − f0(0) x = − limx→0− f0(−x) − f0(0) −x = − limx→0+ f0(x) − f0(0) x = −f 00 (0) =⇒ F₋00(0) = 0.

Como, por hipótese, f00(0) = 0, segue que existe F00(0), pois F₊00(0) = F₋00(0). Agora vamos analisar as derivadas em x = c. Como F (x) = f (x) para x arbitrariamente próximo pela esquerda de c, temos F₋0(c) = f0(c). Além disso,

F₊0 (c) = lim x→c+ F (x) − F (c) x − c = limx→c+ −f (2c − x) x − c ,

(43)

pois F (c) = f (c) = 0 e, para x > c, (e suficientemente pr´oximo de c), temos F (x) = −f (2c − x). Usando a substitui¸c˜ao y = 2c − x, temos que x → c+ _{=⇒ y → c}−_{, logo}

F₊0 (c) = lim y→c− −f (y) c − y = limy→c− f (y) y − c = limy→c− f (y) − f (c) y − c = f 0 (c).

Logo, F0(c) = f0(c). Agora, vamos provar a existência de F00(c). Já sabemos que F₋00(c) = f00(c) = 0. Além disso, F₊00(c) = lim x→c+ F0(x) − F0(c) x − c = limx→c+ f0(2c − x) − f0(c) x − c ,

onde usamos o fato de que, para x > c, (e suficientemente pr´oximo de c), temos F (x) = −f (2c − x) =⇒ F0_{(x) = f (2c − x). Tamb´}_{em usamos o fato de que F}0_{(c) = f}0_{(c). Usando} a substitui¸c˜ao y = 2c − x, temos F₊00(c) = lim y→c− f0(y) − f0(c) c − y = −f 00 (c) = 0.

Portanto, F₊00(0) = F₋00(0) =⇒ ∃F00(0). Logo, F é duas vezes diferenciável em toda reta. Ademais, como f00 é cont´ınua, segue que F00 também é. Logo, F ∈ C2_{. E pelo} corolário do Teorema de Fourier, temos

F (x) = ∞ X n=1 Bnsen nπx c , ∀x ∈ R,

onde Bn são os coeficientes da série de senos de f . Assim, a equa¸cão 4.3 implica y(x, t) = F (x + at) + F (x − at)

2 .

Logo, y ∈ C2 e a propriedade 1 é verdade. Com essa fórmula para y e lembrando que F é impar, é imediato verificar 2 e 4. Quanto à propriedade 3, temos

y(0, t) = F (at) + F (−at)

2 =

F (at) − F (at)

2 = 0,

pois F ´e ´ımpar. Analogamente,

y(c, t) = F (c + at) + F (c − at)

2 =

F (c + at) + F (c − at − 2c)

2 ,

j´a que F tem per´ıodo 2c. Assim,

y(c, t) = F (c + at) + F (−c − at)

2 = 0.

Logo, a propriedade 3 está verificada. Então, provamos que essa é uma solu¸cão. Vamos provar agora que ela é única. De fato, suponha que existam duas fun¸cões y e y0 satisfazendo as quatro propriedades. Defina

(44)

Da´ı g satisfaz todas as propriedades, exceto 4, em que f (x) deve ser substitu´ıda pela fun¸cão identicamente nula. Provemos que g é zero em todo ponto do dom´ınio. De fato, para t ≥ 0, defina I(t) = Z c 0 g2_t(x, t) + a2g_x2(x, t)dx (4.4) =⇒ I0(t) = 2 Z c 0 gtgtt+ a2gxgtxdx. Usando a Equa¸cão da Onda, temos

I0(t) = 2a2 Z c

0

gtgxx+ gxgtxdx.

Como gtxe gxts˜ao cont´ınuas no conjunto aberto S = {(x, t) ∈ R2 | 0 < x < c e t > 0}, ent˜ao pelo teorema A.4.6 temos gtx = gxt em S. Logo, para todo t > 0, temos

I0(t) = 2a2 Z c

0 ∂

∂x(gtgx)dx = gt(c, t)gx(c, t) − gt(0, t)gx(0, t) = 0 devido `a propriedade 3, cujas express˜oes derivadas no tempo fornecem

gt(0, t) = gt(c, t) = 0. Al´em disso, note que I(0) = 0, pois gt(x, 0) = 0 e

g(x, 0) = 0 =⇒ gx(x, 0) = 0.

Para provar que I é identicamente nula, temos que mostrar que ela é constante, o que pode ser feito garantindo que ela é cont´ınua. Para todo t > 0, sabemos que ela é diferenciável, portanto cont´ınua. Vamos provar, então, que ela é cont´ınua em t = 0. Denote como G(x, t) o integrando da integral que define I na equa¸cão 4.4. Considere tf > 0 e restrinja o dom´ınio de G para 0 ≤ t ≤ tf . Assim, G é uma fun¸cão cont´ınua definida num compacto, portanto é uniformemente cont´ınua.

Seja > 0. Ent˜ao, existe δ ∈ (0, tf) tal que

|(x, t) − (x, 0)| < δ =⇒ |G(x, t) − G(x, 0)| < c. Assim, t ∈ [0, δ) =⇒ |I(t) − I(0)| ≤ Z c 0 |G(x, t) − G(x, 0)|dx < .

Logo, I é cont´ınua em t = 0. Então, usando o Teorema do Valor Médio de Lagrange (teorema A.4.2), temos que existe tm ∈ (0, t) com t ≤ tf tal que

I(t) − I(0) = tI0(tm) = 0 =⇒ I(t) = 0.

Como tf é arbitrário, temos que I é identicamente nula e já que o integrando na equa¸cão 4.4 é cont´ınuo, temos que ele é identicamente nulo. Logo, gx = gt = 0 =⇒ g = 0. Assim, y = y0 e a prova da unicidade está completa.

(45)

Algumas observa¸cões são válidas. Na prova de que 4.2 é solu¸cão, não precisávamos supor que f ∈ C2_{. Basta que f seja duas vezes diferenci´}_{avel. Contudo, para garantir a} unicidade, precisamos disso para garantir que gtx = gxt. Além disso, a demonstra¸cão da unicidade vale se a propriedade 2 fosse

ytt(x, t) = a2yxx(x, t) + φ(x, t), a propriedade 3 fosse

y(0, t) = p(t) e y(c, t) = q(t) e na propriedade 4 tiv´essemos

yt(x, 0) = h(x),

onde φ ∈ C0_{, p, q ∈ C}2 _{e h ∈ C}1_{. A propriedade 3 tamb´}_{em poderia ser} yt(0, t) = p(t) e yt(c, t) = q(t)

com p, q ∈ C1_{. A unicidade ainda seria garantida com a mesma demonstra¸c˜}_ao.

Note que, no teorema que acabamos de provar, as condi¸cões sobre a continuidade das derivadas da solu¸cão são severas. Segundo a referência [2] (página 343, se¸cão 98, cap´ıtulo 11), solu¸cões de muitos problemas aparentemente simples envolvendo a Equa¸cão da Onda possuem descontinuidades nas suas derivadas.

De fato, retornando ao problema discutido no in´ıcio deste cap´ıtulo (figura 4.1), segundo as referências [2] (páginas 340-341, se¸cão 97, cap´ıtulo 11) e [8] (páginas 17-18, exemplo 1.3, cap´ıtulo 1), y na equa¸cão 4.1 não é uma solu¸cão para o problema, pois as derivadas parciais de y não existem em um número finito de pontos em 0 < x < c e assim a Equa¸cão da Onda não é satisfeita. Contudo, usando teorias mais avan¸cadas, como distribui¸cões e solu¸cões fracas, pode-se fazer generaliza¸cões e a solu¸cão proposta na equa¸cão 4.1 satisfaz `

(46)

Cap´ıtulo 5

Problema da Equa¸

c˜

ao de Calor no

estado estacion´

ario num disco

O objetivo desta se¸cão é resolver a Equa¸cão de Calor no estado estacionário num disco. Para isso, precisamos do conceito de séries Abel somáveis, que é um tipo mais geral de convergência, e de algumas propriedades do núcleo de Poisson. Antes de introduzi-los, vamos discutir o problema do disco para motivar essas defini¸cões, sem se atentar ao rigor matemático por enquanto. Neste cap´ıtulo, usaremos apenas séries de Fourier com exponencial complexa para fun¸cões com per´ıodo 2π.

Considere um disco com material uniforme e espessura desprez´ıvel, o qual possui a sua superf´ıcie isolada termicamente, menos a borda. Então, a temperatura u no disco satisfaz a Equa¸cão do Calor em duas dimensões:

ut= k(uxx+ uyy),

cuja dedu¸cão pode ser encontrada na referência [8] (páginas 18-20, se¸cão 2, cap´ıtulo 1). Depois de passado um tempo muito longo, o disco entra em equil´ıbrio térmico e a sua temperatura não varia mais no tempo, ou seja, o disco entra no estado estacionário. Nesta situa¸cão, temos ut= 0 e a Equa¸cão de Calor se reduz a

∆u = 0, onde usamos a nota¸c˜ao

∆u = uxx+ uyy, Em coordenadas polares, defina o disco unit´ario

D = {(r, θ) | 0 ≤ r < 1}.

O problema que vamos resolver neste cap´ıtulo, também chamado problema de Dirich-let, consiste em resolver a Equa¸cão do Calor no estado estacionário no disco unitário cuja

(47)

borda é mantida com uma distribui¸cão de temperatura conhecida. Grosseiramente, o que desejamos achar é u satisfazendo

∆u = 0 em D, u(1, θ) = f (θ),

onde f tem per´ıodo 2π. Como as condi¸cões de contorno estão expressas em coordena-das polares, é conveniente também expressar a equa¸cão do estado estacionário nessas coordenadas. Assim, sabendo que

uxx+ uyy = urr+ ur

r + uθθ

r2 .

cuja dedu¸cão pode ser encontrada na referência [2] (páginas 64-65, se¸cão 22, cap´ıtulo 3), obtemos

r2urr+ rur+ uθθ = 0 em D. (5.1) Vamos usar o método de separa¸cão de variáveis nesta equa¸cão para achar poss´ıveis solu¸cões para u. Suponha que u(r, θ) = F (r)G(θ), onde F e G nunca se anulam. Assim, a equa¸cão 5.1 implica r2d 2_F dr2 G + r dF drG + F d2G dθ2 = 0. Logo, r2 F d2F dr2 + r F dF dr = − 1 G d2G dθ2 .

Como os lados da equa¸cão dependem de variáveis diferentes, ambos devem ser igual a uma constante λ. Vamos supor que ela seja real. Então, temos que resolver duas equa¸cões diferenciais: d2_G dθ2 + λG = 0, r2d 2_F dr2 + r dF dr − λF = 0. (5.2)

Quando damos uma volta no disco, a temperatura deve ser a mesma, isto ´e, u(r, θ) = u(r, θ + 2π). Assim, G deve ter per´ıodo 2π. Logo, λ = m2 _{com m ∈ Z. Assim,}

G(θ) = Aeimθ + Be−imθ.

Quanto à F , vamos fazer a substitui¸cão de variável r = eρ_{. Assim,} dF dρ = dF dr dr dρ = dF dre ρ =⇒ d 2_F dρ2 = d2_F dr2 e 2ρ₊ dF dre ρ₌ d2F dr2r 2₊dF drr.

(48)

Logo, a equa¸cão diferencial 5.2 para F implica: d2_F dρ2 = m 2_F. Se m = 0, então F (eρ) = A + Bρ =⇒ F (r) = A + B ln r. Se m 6= 0, então F (eρ) = Aemρ+ Be−mρ =⇒ F (r) = Arm+ Br−m.

Agora, é de se esperar que os termos ln r e r−m não apare¸cam, já que a temperatura não tende a infinito quando r tende a zero.1 _Ent˜_{ao, n˜}_{ao vamos considerar esses termos.} Assim, obtemos

um(r, θ) = r|m|eimθ; m ∈ Z. Como ∆u = 0 ´e linear, ent˜ao possivelmente

u(r, θ) = ∞ X m=−∞

amr|m|eimθ (5.3)

também satisfaz ∆u = 0. Se f é “razoavelmente suave”, os coeficientes podem ser esco-lhidos de tal maneira a satisfazer a condi¸cão de fronteira u(1, θ) = f (θ), portanto

f (θ) = ∞ X m=−∞

ameimθ.

Se essa série converge uniformemente, então podemos multiplicar essa equa¸cão por e−inθ e integrar de −π a π, obtendo

an = 1 2π Z π −π f (θ)e−inθdθ.

Então, neste caso, essa série seria a série de Fourier de f . Todavia, a condi¸cão u(1, θ) = f (θ) pode exigir muitas condi¸cões sobre f . Talvez seja melhor relaxar essa condi¸cão para

lim

r→1−u(r, θ) = f (θ) (5.4)

uniformemente. Isso significa dizer que, dado > 0, existe δ > 0 tal que r ∈ (1 − δ, 1) =⇒ |u(r, θ) − f (θ)| < , ∀θ ∈ R.

Mas como vamos lidar com a convergência de séries do tipo da equa¸cão 5.3 e ainda garantirmos a existência de limites do tipo 5.4? Para isso, precisamos do conceito de séries Abel somáveis, o que será tratado na se¸cão seguinte.

1_{Note, contudo, que no final escreveremos u como uma soma infinita de todas essas possibilidades,}

então poderia ser que os termos que divergem se compensassem para dar um resultado finito. Mas de qualquer modo, essa discussão inicial é heur´ıstica, então não vamos nos preocupar com isso.

(49)

5.1 M´

edias de Abel e s´

eries Abel som´

aveis

Seja P∞

k=0ck uma s´erie com termos complexos. Dizer que ela converge significa dizer que o limite lim N →∞ N X k=0 ck (5.5)

existe. Contudo, esse é apenas um tipo de convergência, existem várias outras defini¸cões. Nesta se¸cão, vamos tratar de outro tipo de convergência.

Defini¸c˜ao 5.1.1. Uma s´erie P∞

k=0ck com termos complexos ´e Abel som´avel se, para todo 0 ≤ r < 1, A(r) = ∞ X k=0 ckrk (5.6) converge e lim r→1−A(r) = s,

onde s ∈ C. As quantidades A(r) são chamadas médias de Abel. O limite s é chamado soma de Abel da série.

Essa defini¸cão de convergência é mais geral do que o sentido comum de convergência da equa¸cão 5.5. De fato, se uma série converge no sentido comum para s, então essa série possui soma de Abel s, o que será provado no teorema 5.1.1. Todavia, nem toda série Abel somável é convergente no sentido comum. Por exemplo,

∞ X k=0

(−1)k

não converge, porém é Abel somável. Com efeito,

A(r) = 1 − r + r2− · · · = 1 1 + r. Além disso, lim r→1−A(r) = 1 2. Logo, ela é Abel somável.

Teorema 5.1.1. Seja P∞

k=0ck uma s´erie de n´umeros complexos tal que P∞

k=0ck = s. Ent˜ao, P∞

k=0ck tem soma de Abel s.

Demonstra¸c˜ao. Primeiro note que se definirmos

ak =    ck, k ∈ N, c0− s, k = 0,