ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
ISLÂNIA D’ARC DA SILVA
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE
REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS
CAICÓ
2016
ISLÂNIA D’ARC DA SILVA
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS
Monografia apresentada ao curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do grau de ESPECIALISTA.
Orientador: Prof. Ms. Benedito Tadeu
Vasconcelos Freire.
CAICÓ 2016
ISLÂNIA D’ARC DA SILVA
EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM SITUAÇÕES CONCRETAS QUE REQUEREM SOLUÇÕES INTEIRAS POSITIVAS
Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência parcial para a obtenção do grau de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
BANCA EXAMINADORA
Professor Ms. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
Professor Ms. Daniel Ecco
Professor Ms. Odilon Júlio dos Santos
Dedico este trabalho a minha família, pois ela é meu alicerce e a minha fonte de fé, que me concede forças nessa longa caminhada, fazendo com que todas as barreiras encontradas por este caminho parecessem ser pequenas.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, ao meu bom Deus, que me deu coragem para enfrentar este novo desafio, para questionar as realidades e propor sempre um novo mundo de possibilidades em relação ao ensino-aprendizagem dos alunos.
Aos meus pais, Joana D’arc e Inácio Pacífico, aos sobrinhos, em especial, Ítalo Mateus, ao meu cunhado Marcílio Cavalcanti, ao noivo Janailson da Silva e aos amigos, pelo incentivo, paciência, confiança e apoio que me foram dados sempre que precisei no decorrer de todo este curso.
Aos meus professores da Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da SEDIS/UFRN pela contribuição para a minha formação, em especial, ao professor Benedito Vasconcelos por ser um orientador-incentivador, pontual e um excelente transmissor de conhecimentos matemáticos.
Aos meus colegas da especialização pelo agradável convívio, amizade e ajuda durante os encontros presenciais realizados no Polo, em especial, a Carlos José, Fábia, Gizelda, Henrique e Verônica.
A Djanní Martinho pelo auxílio e incentivo que me proporcionou durante a conclusão deste curso, mostrando-me que sou capaz de vencer qualquer obstáculo que a vida possa oferecer.
Aos meus alunos, da Escola Municipal Arthéphio Bezerra da Cunha, que participaram das aulas práticas referentes a este curso, mesmo sendo em horários opostos ao turno ao qual estudavam, tornando uma aula prazerosa e bem participativa e também pela torcida deles que ficam procurando saber se meu resultado neste trabalho foi positivo.
“Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes coisas do homem foram conquistadas do que parecia impossível”.
RESUMO
Este trabalho, baseado no artigo do Professor Antônio Carlos do Patrocínio, publicado pela Revista do Professor de Matemática (RPM), veja na referência bibliográfica, apresentamos como Trabalho Final de Conclusão do Curso, a nível de Pós-graduação, Latu-Sensu, em Ensino de Matemática para o Ensino Médio, da UFRN/SEDIS. Sabendo que as equações são apresentadas aos alunos de modo bem formal, com poucas aplicações à realidade e com abundantes exercícios de simplificação, esta monografia sugere ao professor possibilidades de formular questões que aumente o interesse do aluno, facilitando o processo de ensino e aprendizado. Para os discentes, as equações é um assunto abstrato, monótono e cansativo de se entender, pois para eles matemática só “mexe” com números e não com letras, então para o professor conseguir “derrubar” esta barreira encontrada no ensino da matemática, ou seja, tornar este assunto agradável aos alunos, o professor deve apresentar situações-problemas interessantes baseados nas suas vivências e tornando-se assim, um assunto de boa compreensão entre eles. Desejo que este meu trabalho ajude aos docentes fazer atividades interessantes e formativas para melhor aprendizagem, fazendo com que haja descoberta, ação, reflexão e comunicação entre professor-aluno, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs.
This work, based on article by teacher Antônio Carlos do Patrocínio, published by Revista do Professor de Matemática (RPM), see in the bibliographic reference, we present as the final work of the conclusion of the course, post-graduate Latu-Sensu, in the teaching of mathematics for the High School, of UFRN/SEDIS. Knowing that the equations are presented to the students so well formal, with few applications to reality and with abundant exercises of simplification, this monograph suggests to teacher that he may be able to formulate questions that increase the interest of the student, facilitating the process of teaching and learning. For learners, the equations is a matter abstract, monotonous and tiring to understand, because for them mathematics only “move” with numbers and not with letters, then for the teacher to achieve “knock” this barrier found in the teaching of mathematics, i.e., make this pleasant to students, the teacher must submit situations-interesting issues based on their experiences and thus becoming a matter of good understanding between them.I wish that my work help teacher to make interesting and formative activities to better learning, causing the discovery, action, reflection and communication between teacher-student, according to the National Curricular Parameters – PCN.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ……….……… 10
CAPÍTILO 1 – A MATEMÁTICA NO DIA A DIA ………..………. 11
CAPÍTULO 2 – A ORIGEM DAS EQUAÇÕES ………..…… 13
2.1 Breve Histórico sobre François Viète ………..……… 13
2.2 Equações do 1° grau ………. 15
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES ………...………… 16
CONSIDERAÇÕES FINAIS ……… 40
INTRODUÇÃO
Nesta monografia, baseada num artigo extraído da Revista do Professor de Matemática (RPM), trataremos sobre equações do 1º grau com situações concretas que requerem soluções inteiras positivas.
Sabendo que as equações são apresentadas aos alunos de modo bem formal, com poucas aplicações à realidade e com abundantes exercícios de simplificação, nota-se que o aluno demonstra muitas crenças e preconceitos sobre a álgebra, pois para eles a utilização “concreta” das letras para representar números é algo estranho.
A partir daí, os PCN’s nos orientam que “A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos”. (BRASIL, 1998, p. 19).
É justamente esta compreensão suficiente da solução algébrica de problemas que os alunos não têm. O fato de montarem uma equação com “incógnitas” e depois substituírem essas incógnitas por quantidades dadas no problema revela falta de compreensão quanto ao uso de letras para representar quantidades desconhecidas.
O principal motivo desta proposta é esclarecer ao professor que é preciso reconhecer a aridez desse assunto e intercalá-la com problemas atraentes, provocantes e simples, que relacionem o conhecimento matemático com a realidade do dia a dia, contribuindo assim, para o desenvolvimento dos alunos na criatividade, imaginação e capacidade de raciocínio.
O público alvo são alunos do Ensino Médio, mas nada impede que este material seja utilizado em outros níveis de ensino.
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CAPÍTULO 1 – A MATEMÁTICA NO DIA A DIA
A matemática tem uma grande importância na vida das pessoas, pois estimula o raciocínio, é uma ferramenta cada vez mais utilizada no dia a dia, indispensável na vida acadêmica; uma disciplina instrumental como a leitura, que ajuda a compreender as demais matérias.
Todavia, no Ensino Médio, quando ensinada em sintonia com a realidade, o professor amplia o interesse do aluno, facilitando muito o processo de ensino e aprendizagem.
No entanto, neste momento, a prática pedagógica deve-se apoiar sempre, explícita ou implicitamente, em uma determinada forma de conceber o processo de aprendizagem. Sendo que a aprendizagem não é para ser concebida como um processo totalmente determinado pelo ensino sistemático e que a atividade intelectual do sujeito desempenha um papel essencial na apropriação do conhecimento, que é possível aprender interagindo com os objetos e consultando com os demais, que a partir destas interações o sujeito em questão expõe múltiplos problemas de conhecimento e tenta resolvê-los. “Estudar matemática é resolver problemas. Portanto, a incumbência dos professores de matemática, em todos os níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo nesse processo é colocar o problema adequadamente”. (BUTTS apud DANTE, 2000, p. 43).
Sendo assim, um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações-problemas que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo todo.
Além disso, é preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia a dia, na escola ou fora dela, pois a oportunidade de usar os conceitos matemáticos diariamente favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação à Matemática.
Uma aula de matemática onde os alunos incentivados e orientados pelo professor trabalhem de modo ativo individualmente ou em pequenos grupos, na
aventura de buscar solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e motivadora do que a que segue o clássico esquema de explicar e repetir.
Freire (1996, p. 47) salienta que, “Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar possibilidades para sua própria produção ou a sua construção”.
Portanto, todos os que se ocupam do ensino da matemática, ou que a ele foram alguma vez submetidos, conhecem o caráter fortemente cumulativo desta matéria, sabe que cada passo depende de modo essencial dos anteriores, tornando assim, a matemática com grande importância no currículo escolar e também na construção de uma sociedade civilizada.
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CAPÍTULO 2 - A ORIGEM DAS EQUAÇÕES
Equação é o modo de resolver situações quando se encontra valores desconhecidos acompanhados do sinal de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras e nomeados como incógnitas.
Sabe-se que a primeira referência a equações aparece no Papiro de Rhind, na cidade de Luxor, Egito, em 1858, como sendo um dos documentos egípcios mais antigos que trata de matemática.
E tendo sido Diofanto de Alexandria o único matemático de renome na Grécia antiga que se interessou por uma grande variedade de equações para as quais procurava soluções racionais e eventualmente inteiras, do qual lhe difere dos seus predecessores que utilizavam métodos geométricos para deduzir as suas asserções. Apesar do destaque deste grego no desenvolvimento das equações, foram os árabes que, cultivando a matemática deles promoveram um acentuado progresso na resolução de equações.
Segundo Giordani (1976), no campo da álgebra, podemos destacar Al-Khowarizmi como o matemático árabe de maior expressão do século IX. O seu livro Al-jabrWalMugãbalah, é considerado o mais importante, pois contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações.
Mas, segundo Witmer (1983), as resoluções das equações só começaram a ganhar importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras, e o primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI.
2.1 Breve Histórico sobre François Viète
Nasceu no ano de 1540, em Fontenay-le-Comte, na França e morreu no dia 13 de dezembro de 1603, em Paris. Filho de um advogado, Viète formou-se em Direito na Universidade de Poitiers e após a conclusão dos seus estudos, começou a praticar a sua profissão com bastante êxito, principalmente resolvendo problemas legais de famílias francesas de renome.
Foi no final do século XVI, quando o império espanhol começava a dominar grande parte do mundo, e por isso que os agentes espanhóis tinham que se comunicar usando cifras difíceis de serem entendidas. A cifra utilizada pelo Rei
Felipe II da Espanha durante sua guerra em defesa do catolicismo romano e dos huguenotes franceses era composta por mais de 500 caracteres. Mas, do outro lado, estava Viète que tinha uma aproximação com familiares influentes e foi conduzido a cargos políticos importantes na corte francesa. Neste cargo, Viète tinha acesso às cartas interceptadas direcionadas aos inimigos franceses Henrique III e IV escritas pelo Rei Felipe II e conseguia decodificar. Com isso, o rei Henrique III pedia conselhos secretos à Viète e o procurava para missões confidenciais. Certa vez, após a morte de Henrique III, algumas mensagens de soldados espanhóis foram interceptadas pelos franceses e acabou nas mãos do rei Henrique IV da França, neste momento o rei entregou as mensagens espanholas para Viète, na esperança dele decodificá-las.
Apesar de Viète não ser um matemático por formação, estudou matemática por prazer no pouco tempo que lhe restava e teve sucesso nas suas decifrações e guardou segredo, tornando assim um dos homens mais influentes na corte de Henrique IV.
Após dois anos, os espanhóis descobriram que suas cartas estavam sendo decifradas e o rei Felipe II que achava que suas cifras eram complexas e nunca iriam ser quebradas ficou surpresa com a informação de que os franceses começaram a conhecer seus planos militares.
Com a realização destes trabalhos no seu tempo livre, renderam a Viète um título entre os matemáticos: “O pai da Álgebra Moderna”. Este título está associado ao desenvolvimento de uma invenção que marcou o início da ciência moderna. Então, na tentativa de atender aos padrões de exatidão vigentes no final do século XVI, Viète propôs o uso de procedimentos algébricos aliados ao método analítico para resolver qualquer tipo de problemas, o que constituiu uma grande inovação matemática.
Segundo Khayyam (1851, p. 5),
a álgebra é uma arte científica. Seu objetivo são os números absolutos e as grandezas mensuráveis, estando desconhecidos, mas relacionados a algo que seja conhecido para poder ser determinado [...], o que procuramos nesta arte são relações que unem os dados dos problemas à incógnita.
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Foi na álgebra que Viète adotou vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas e a trigonometria para as equações de graus mais elevados. Viète também simplificou as relações trigonométricas podendo ser considerado precursor da Geometria Analítica. Ele introduziu o uso de letras para representar não apenas grandezas desconhecidas, mas também os coeficientes da equação.
Viète afirma que “Matemática não é apenas números, e sim envolve letras e toda a capacidade que o ser humano consegue expressar”. (SOUSA, 2016, s.p.).
Portanto, o estudo da álgebra tem a finalidade de desenvolver a capacidade de abstração e generalização de qualquer pessoa.
2.2 Equações do 1º grau
Uma equação do 1º grau é da forma:
( )
Resolver essa equação significa encontrar um valor para a incógnita, que torne verdadeira a afirmação da igualdade. Este valor encontrado é chamado de “raiz da equação”.
A maioria dos livros didáticos escreve a equação do 1º grau da seguinte forma:
( )
Para encontrar as raízes da equação, devemos isolar a incógnita , para a equação do 1º grau, subtraindo dos dois lados da equação:
( )
Assim, toda equação do 1º grau do tipo (*) tem uma única solução.
No próximo capítulo, faremos aplicações, com situações concretas, encontrando soluções de equação do 10 grau.
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES
Problema 1 (Projeto Teláris: Matemática, 1ª edição. São Paulo: Ática, 2012) - Conta-se, certa vez, um homem muito avarento entrou em uma igreja e desafiou Santo Antônio: se o santo duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso, o homem colocaria R$ 20,00 na caixinha da campanha de auxílio às comunidades carentes.
O milagre aconteceu e o homem cumpriu sua promessa. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 20,00 se o santo, outra vez, multiplicasse por 2 o dinheiro que tinha no bolso. Novamente, o milagre aconteceu, mas quando o homem colocou os outros R$ 20,00 na caixinha, percebeu que ficara sem dinheiro nenhum.
Com quanto dinheiro o homem tinha entrado na igreja? Solução
Se chamarmos de “ ” reais, o dinheiro que ele tinha no início, depois da primeira doação o homem ficou com: ( – ) reais. Após a segunda doação o homem ficou com: , ( – ) – - reais, o que corresponde a zero.
Então:
, ( – )– - – – – ( )
Logo, concluímos que o homem entrou na igreja com R$ 15,00 no bolso.
Problema 2 (Projeto Teláris: Matématica, 1ª edição. São Paulo: Ática, 2012) - Em uma cozinha há dois potes diferentes A e B, sendo que o primeiro pesa 400g e o segundo pesa 540g. A cozinheira Elisa distribuiu 1kg de farinha, uma parte em cada pote, de forma que os potes com farinha ficaram com o mesmo peso. Qual a quantidade de farinha que o pote A contém?
Solução Dados:
Pote A: pesa 400g Pote B: pesa 540g
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Ao distribuir a farinha em cada pote, consideramos que o pote A ficará com gramas de farinha e o pote B com ( – ) gramas. Quando a cozinheira Elisa distribuiu a farinha em cada pote e percebeu que os potes ficaram com os pesos iguais, calculemos:
( – ) – – – –
( )
Logo, concluímos que o pote A contém 570 gramas de farinha.
Problema 3 (Adaptado de Matemática: teoria e contexto, 1ª edição. São Paulo: Saraiva, 2012) - Quatro amigos foi a Caicó para Currais Novos no carro de um deles e combinaram dividir igualmente a despesa da gasolina. Saíram com o tanque cheio e, no destino, encheram o tanque de novo para verificar a quantidade de gasolina que foi gasta. Feita a divisão da despesa, um dos amigos percebeu que tinha esquecido a carteira e só pôde contribuir com os R$ 5,00 que tinha no bolso. Com isso, cada um dos outros três teve que dar mais R$ 3,50 para completar o total da despesa. Qual foi a despesa total com a gasolina?
Solução
Dados: Eram 4 amigos
Valor para cada amigo gastar: Total de gastos: (*)
1 amigo: R$ 5,00 (apenas)
Os outros três amigos: (cada) Com isso, obtemos:
( ) – – –
– – – ( )
Sabendo que o total de gastos dos quatro amigos deverá ser (*), obtemos:
Logo, concluímos que a despesa total com a gasolina foi de R$ 62,00.
Problema 4 (OBMEP-2010) - Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas. Ninguém ficou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. Jeca e Tatu comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca comeu mais que Tatu. Quantas bananas Tatu comeu?
Solução
Vamos denotar por e o número de bananas comidas por Saci, Jeca, Tatu e Pacu, respectivamente. Os dados do problema podem ser escritos como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – ( ) –
Como , temos e do (3º) segue que . Por outro lado, do (4º) e (5º) segue que:
Temos então ; logo e , ou seja, Tatu comeu 16 bananas.
Problema 5 (Adaptado de OBMEP 2010) - Rubens dirige seu carro com velocidade constante. Ele presta muita atenção nas placas da estrada que indicam a distância, em quilômetros, à cidade de Natal. Na primeira placa ele vê um número de
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três algarismos com um zero no meio. Quarenta e cinco minutos depois, ele passa por uma segunda placa e vê um número de dois algarismos, formado pelos mesmos algarismos da primeira placa em ordem inversa e sem o zero. Passados mais quarenta e cinco minutos, ele vê uma terceira placa com um número formado pelos mesmos dois algarismos da segunda placa. Qual é a velocidade do Rubens, em quilômetros por hora?
Solução
As placas que Rubens encontrou foram, em ordem, . À distância percorrida por Rubens entre a 1ª e a 3ª placa foi,
( ) – ( ) – –
Se , o número da 3ª placa é maior ou igual a 20 e a distância entre a 2ª e a 3ª placa é maior ou igual a 90. Logo, o número da 2ª placa deve ser maior ou igual a 20 + 90 = 110, o que não acontece, pois ele é um número de dois algarismos. Logo, a = 1 e Rubens percorreu 90Km em 90min, ou seja, sua velocidade, em Km/h, é 90: 1,5 = 60Km/h.
Problema 6 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Uma floricultura vende uma rosa vermelha por R$ 3,00 e uma rosa amarela por R$ 5,00. Um rapaz deseja presentear sua namorada com um buquê de 13 rosas, formado com uma mistura dos dois tipos, mas no mínimo uma de cada cor e tendo mais rosas amarelas do que vermelhas. Quais são os possíveis valores em reais que o rapaz pode gastar?
Solução
Suponha que o rapaz compre rosas vermelhas e rosas amarelas. Assim, temos:
–
Onde , pois tem de ter pelo menos uma de cada cor e a quantidade de rosas amarelas tem de ser maior do que a quantidade de rosas vermelhas.
Assim, a quantidade de reais, , que o rapaz vai gastar é dada por:
( – ) – – , onde .
Portanto, os possíveis valores em reais que o rapaz vai gastar decorrem de fazer variar, na expressão de , que nos dá:
= 63, 61, 59, 57, 55, 53.
Problema 7 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Uma loja oferta dois tipos de chocolates numa promoção. Um deles custa R$ 3,00 e o outro custa R$ 4,00. Uma garota dispõe de R$ 96,00 para comprar chocolates. De quantas maneiras a garota pode realizar sua compra de modo que tenha pelo menos um chocolate de cada tipo?
Solução
Suponha que a garota compre chocolates de R$ 3,00 cada e chocolates de R$ 4,00 cada. Deste modo, temos que:
–
Agora, observe que , tem de ser números inteiros positivos, pois são as quantidades de chocolate de cada tipo compradas pela garota. Isto significa dizer que:
( ) – ( ) ( – )
Assim, os possíveis valores para y são 3, 6, 9, 12, 15, 18 e 21. Logo, para:
21
Portanto, a garota pode realizar sua compra de 7 maneiras distintas.
Problema 8 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - A calculadora de Maria está danificada. Quando Maria liga sua calculadora, no display aparece 0. Se ela aperta a tecla +, a calculadora soma 76. Se ela aperta a tecla -, a calculadora subtrai 76. Se ela aperta a tecla , a calculadora soma 95. Se ela aperta a tecla , a calculadora diminui 95. As teclas restantes não funcionam. Quando Maria liga a calculadora, qual é o número mais próximo de 2016 que ela consegue apertando as teclas +, -, e ?
Solução
Os números obtidos usando a calculadora são da forma:
, onde são números inteiros.
Observe que 76 = 4 19 e 95 = 5 19, o que significa dizer que os números alcançados por Maria usando a calculadora são múltiplos de 19:
( )
Agora, basta observar que o múltiplo de 19 mais próximo de 2016 é 2014, pois, 19 106 = 2014, enquanto 19 107 = 2033 e 76 19 + 95 6 = 2014.
Problema 9 (Adaptado da Olimpíada de Matemática da Austrália) - Quando se inverte os dígitos (na base 10) não nulos de um número natural entre 10 e 99, o número obtido é 36 menos do que o número original. Qual é a soma dos dígitos do número original?
Solução
Seja o número original. O que queremos é encontrar . Na base 10, o número original se escreve como:
.
Quando invertemos os dígitos do número original, obtemos o número ba, que na base 10 se escreve como:
Pelas hipóteses do problema, temos que:
( ) – ( – ) –
Logo, o número original pode ser um dos números: 95, 84, 73, 62 ou 51. Portanto, as somas possíveis dos dígitos do número original são:
14, 12 10, 8 e 6.
Problema 10 (OBMEP-2012) – Um número natural A com dois dígitos(na base 10) é um supernúmero se é possível encontrar dois números naturais, B e C, ambos também de dois dígitos, tais que:
A = B + C
Soma dos dígitos de A = (soma dos algarismos de B) + (soma dos dígitos de C) Por exemplo, 35 é um supernúmero. De fato, podemos mostrar de duas maneiras diferentes:
35 = 11 + 24 e
3 + 5 = (1 +1) + (2 + 4) e
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3 + 5 = (2 + 1) + (1 + 4).
A única maneira de mostrar que 21 é um supernúmero é observando que 21 = 10 + 11 e
2 + 1 = (1 + 0) + (1 + 1)
Quantos supernúmero existem? Solução:
Como 10 é o menor número de dois dígitos, então 10 + 10 = 20 é o menor número de dois dígitos que pode ser escrito como soma de dois números de dois dígitos. Consideremos agora qualquer número de dois dígitos, maior ou igual a 20, e chamamos de a o seu dígito das dezenas e b o seu dígito das unidades. Isto é,
.
Vamos agora pensar no número . Ele é pelo menos 10 (pois, é pelo menos 20), possui dois dígitos; seu dígito das dezenas é – e seu dígito das unidades é , como podemos ver fazendo a subtração:
– – ( ) ( )
Então a expressão ( ) mostra que é um supernúmero, pois, ( ) .
Um exemplo ajuda a entender melhor este raciocínio. Pensemos no número natural Temos que:
38 = 3.10 + 8, 38 = 10 + (38 – 10) = 10 + 28 e 3 + 8 = ( 1+ 0) + ( 2 + 8).
Logo, podemos concluir que todos os números de 20 a 99 são supernúmeros, e eles são em número .
Problema 11 (OBMEP-2012) – Ana e Cristina disputam um jogo de dupla jogando contra Beatriz e Diana. No início de cada partida, elas embaralham nove cartões numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartões, sobrando sempre um cartão na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os números de seus cartões e o número de pontos da dupla é a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior número de pontos. Imagine em uma das partidas,
uma das meninas ter tirado o cartão de número 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?
Solução:
Se é a pontuação de Ana, então e são as pontuações de Beatriz, Cristina e Diana, respectivamente. Logo a soma dos pontos das duas duplas é ( ) ( ) ( ) . Como o cartão com menor número que pode sobrar é 1 e o maior é 9. Logo, a soma dos pontos feitos pelas duas duplas varia de 45 - 9 = 36 a 45 – 1 = 44.
Portanto, temos que:
( ) , com um número inteiro positivo.
Logo, conclui-se que os possíveis números de pontos para Ana são ou . Mas, se estamos no caso * + , quando sobra o cartão de número ( ) , e para estamos no caso * + , quando sobra o cartão de número ( ) . Como o cartão que ficou na mesa não foi o de número 3, só resta a primeira possibilidade; concluímos que Ana fez 8 pontos, Beatriz fez 9, Cristina fez 10 e Diana fez 11. A dupla que venceu foi Beatriz e Diana, com 9 + 11 = 20 pontos contra 8 + 10 = 18 de Ana e Cristina.
Problema 12 (OBMEP-2009) – Um “matemágico” faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança. “Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número desse cartão, some 3 e multiplique o resultado por 5. Depois,
Some 1, se o cartão for verde; Some 2, se o cartão for amarelo; Some 3, se o cartão for azul; Some 4, se o cartão for vermelho.
Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu.
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Mariazinha disse “Setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu?
Solução:
Seja o número de um cartão; então o número dito ao matemágico é:
( ) , onde é um número inteiro de 1 a 4 correspondente à cor do cartão. Temos aqui,
, ou seja, (*)
Considerando os seguintes valores para y e substituindo em (*), temos:
( ) ( ) ( ) ( )
Se os cartões são representados por números inteiros de 1 a 13 para cada cor, logo se conclui que o único valor que satisfaz é , então o cartão escolhido foi o de Número 6 de cor VERDE.
Problema 13 (OBMEP-2012) - A professora de matemática organizou a seguinte brincadeira em sala de aula: colocou três alunos em fila e pediu para o primeiro falar três números inteiros e positivos. A seguir, pediu para o segundo aluno somar dois a dois os números falados pelo primeiro aluno e falar os três resultados em voz alta. A brincadeira prosseguiu com cada aluno falando as somas, dois a dois, dos três números falados pelo aluno anterior.
Se os números falados pelo terceiro aluno da fila foram 13, 14 e 21. Quais foram os números falados pelo primeiro aluno?
Vamos denotar por , e os números ditos pelo primeiro aluno da fila. O esquema a seguir fornece os números ditos pelos alunos.
1º aluno
2º aluno 3º aluno
Se o 3º aluno disse os números 13, 14 e 21, podemos supor que:
{
( ) ( ) ( )
}
Somando as três equações, temos:
Se (:4), obtemos (*). (I) ( ) (II) ( ) (III) ( )
Logo, conclui-se que o 1º aluno da fila falou os seguintes números (1, 2, 9).
Problema 14 (OBMEP-2013) – Um número de três algarismos (escrito na base 10) tem as seguintes propriedades:
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Quando trocamos o algarismo das unidades com os das dezenas, ele aumenta em 18 unidades.
Quando trocamos o algarismo das dezenas com o das centenas, ele aumenta em 180 unidades.
Quantas unidades aumentará esse número se trocarmos o algarismo das unidades com os das centenas?
Solução:
Escrevemos o número , onde são, respectivamente, o algarismo das centenas, dezenas e unidades; isso quer dizer que o número é . O número obtido trocando o algarismo das unidades com o das dezenas é , ou seja, ; o enunciado nos diz que:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
O número obtido trocando o algarismo das dezenas com o das centenas é , do enunciado segue, como acima, que:
( ) ( ) ( ) ( ) (**) Se ( ) ( )
O problema pede para calcularmos a diferença entre o número e aquele obtido trocando os algarismos das unidades com os das centenas, que é .
Essa diferença é, então:
( ) ( )
( ) ( )
Se , substituindo em (***) obtemos que:
( )
Logo, conclui-se que este número aumentará 396 unidades.
Problema 15 (RPM-08) - Deseja-se adquirir um total de 100 animais das espécies A, B e C; sabendo-se que os animais dessas espécies custam 1, 10 e 20 dólares, respectivamente, e que o total disponível para a compra é de 200 dólares, pergunta-se: quantos animais de cada espécie devem ser comprados?
Inicialmente identificamos os animais das espécies A, B e C por incógnitas: Animais da espécie A:
Animais de espécie B: Animais de espécie C:
Como temos no total de 100 animais de cada espécie, obtém-se:
Sabendo que cada espécie custa respectivamente 1, 10 e 20 dólares totalizando 200 dólares, obtém-se:
, formando assim o seguinte sistema de equação:
{ ( )} ( )
Como se trata de um sistema linear com duas equações e três incógnitas, é usual esperar-se uma infinidade de soluções; com efeito, podemos proceder do seguinte modo:
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Agora, vamos isolar “y”:
– – – ( ) ( )
2º passo: Agora multiplicando a equação (I) por ( 10) e somando-a com a (II) temos:
{ ( )} ( )
Somando membro a membro as duas equações, obtemos:
Agora, vamos isolar ”:
– – – ( ) ( )
Atribuindo-se valores arbitrários para encontramos valores para de modo que as ternas ( ) se tornem soluções do sistema.
Por exemplo, Para temos:
A terna ( ), embora seja solução do sistema, não é a do problema proposto dada a sua natureza.
Fazendo agora, para z = 1,
O terno ( ) é uma solução inteira positiva, e, portanto, solução do problema proposto dada a sua natureza.
Fazendo agora, para ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A terna ( ), embora seja solução do sistema, não é a do problema proposto dada a sua natureza.
Fazendo agora, para ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A terna ( ) embora seja solução do sistema, não é a do problema proposto dada a sua natureza.
Será que existem outras soluções inteiras positivas para o sistema em equação?
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–
Considerando 100 = 81 + 19, e desenvolvendo esta equação utilizando o como constante, temos:
– – – –
– – ( – ) ( – ) ( – ) –
Fazendo , temos:
– –
Como , logo ( ) – e ( ) , com isso obtemos: ( ) – – ( ) ( ) – –
Ou seja, e sendo inteiro, temos . Logo, o terno (90, 9, 1) é a única solução inteira possível.
Problema 16 (RPM-08) - Poliedros regulares: quantos existem?
Diremos que um poliedro convexo é regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e o número de arestas em cada vértice é o mesmo para todos os vértices do poliedro.
Figura 1 - Poliedros Regulares
Fonte: brasilescola.uol.com.br/matematematica/os-solidos-platao.htm
Vamos provar o seguinte teorema:
Teorema
Existem apenas cinco poliedros regulares (Poliedros Platônicos): cubo (hexaedro), tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Denomina-se Poliedro de Platão, se e somente se:
Todas as suas faces são polígonos com o mesmo número e lados;
Todos os seus vértices de ângulos poliédricos com o mesmo número de arestas;
É Eureliano, ou seja, obedece à relação de Euler.
Podemos verificar que isso é verdade através do seguinte argumento:
Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360º para que o poliedro seja regular.
Analisando cada caso observa-se que,
33
Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60º), têm-se 3 * 60º = 180º.
Figura 2 - Triângulo Equilátero
Fonte: http://procarlosteixeira.blogspot.com.br/2013/10/triangulos-classificacao-tipos-de.html
Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90º), têm-se 3 * 90º = 270º.
Figura 3 - Quadrado
Fonte:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm
Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108º), têm-se 3 * 108º = 324º.
Figura 4 - Pentágono
Fonte: www.matematica.pt/faq/angulo-interno-externo.php
Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120º), tem-se 3 * 120º = 360º, o que contradiz a nossa hipótese.
Figura 5 – Hexágono
Fonte: www.matematica.pt/faq/angulo-interno-externo.php
Logo, verifica-se para esse caso que a face dos poliedros regulares não pode ser formada por polígonos regulares com mais de cinco lados.
Para o caso de quatro faces ligadas a um vértice: Quando as faces do poliedro forem triângulos, tem-se: 4 * 6º = 240º.
Quando as faces do poliedro forem quadrados, tem-se: 4 * 90º = 360º, o que contradiz a hipótese.
Logo, verifica-se que esse caso que um poliedro regular construído com quatro faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triangulares.
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Quando as faces do poliedro forem triângulos, tem-se: 5 * 60º = 300º.
Quando as faces do poliedro forem quadradas, tem-se: 5 * 90º = 450º.
Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluímos que não poderemos ter polígonos com mais de três lados, com cinco faces ligadas ao mesmo vértice.
Prova:
Usaremos o famoso Teorema de Euler para poliedros convexos: Teorema (Euler)
“Se P é um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então V + F – A = 2”.
Para usar o Teorema de Euler, vamos considerar um poliedro regular com F faces, V vértices e A arestas. Seja o número de lados de cada face e o número de arestas que concorrem em cada vértice. Temos:
Logo:
(i) (ii)
Substituindo (i) em (ii) na equação de Euler:
( ) ( )
Pelo domínio temos que ter,
( ) ( ) .
Para a construção de cada poliedro regular, citados a seguir, utilizamos o software GeoGebra1.
Como p , chegamos à conclusão que p . Substituindo os valores de em (*), obtemos:
Se (**)
Agora, substituiremos os valores de em (**),
Para
Concluímos assim, que o poliedro regular é o TETRAEDRO.
Figura 6 - Tetraedro
Fonte: Arquivo do autor
1
37
Para
Concluímos assim, que o poliedro regular é o OCTAEDRO.
Figura 7 - Octaedro
Fonte: Arquivo do autor
Para
Figura 8 - Icosaedro
Fonte: Arquivo do autor
Se (***)
Agora, substituiremos o valor de em (***),
Para
Concluímos assim, que o poliedro regular é o HEXAEDRO (CUBO).
Figura 9 - Hexaedro
Fonte: Arquivo do autor
39
Se (****)
Agora, substituiremos o valor de em (****),
Para
Concluímos assim, que o poliedro regular é o DODECAEDRO.
Figura 10 - Dodecaedro
Fonte: Arquivo do autor
Observe o quadro a seguir:
Arestas (A) Vértices (V) Faces (F) Poliedros Regulares
6 4 4 Tetraedro
12 6 8 Octaedro
30 12 20 Icosaedro
12 8 6 Cubo (hexaedro)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ensinando equações, percebe-se que muitos alunos têm dificuldade para resolver certos tipos de problemas algébricos que envolvem uma tradução da linguagem escrita corrente para a linguagem matemática.
Por isso, achamos que o professor deve propiciar ao aluno a oportunidade de buscar por si próprio seus interesses, de modo que ele adquira sua experiência. Com isso será capaz de criar suas próprias convicções, mostrando uma contínua relação entre teoria e prática, o que facilita e incentiva o aprendizado.
Com este trabalho, esperamos contribuir para facilitar o processo de ensino e aprendizagem no Ensino Fundamental e Médio.
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REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1999. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>. Acesso em 15 mar. 2016.
CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC, J. Matemática: teoria e contexto. São Paulo: Saraiva, 2012.
CORXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. D’AMBRÓSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação em matemática. 4ª edição. São Paulo: Summus, 1986.
DANTE, L. R. Projeto Teláris: Matemática. São Paulo: Ática, 2012.
Disponível em: <https://ifspmatematica.files.wordpress.com/2015/07/tcc_anderson-costa.pdf>. Acesso em: 12 mar. 2016.
DUMKE, S. A. S.; HONORATO, A. R.; REIS, M. E. T. Uma proposta para a resolução de problemas nas Olimpíadas de Matemática. Revista Eletrônica de Matemática. N° 02, 2010. Disponível em: <http://matematicajatai.com/rematFiles/2-2010/olimp.pdf>. Acesso em 08 mar. 2016.
FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários a prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.
GIL, P. D. B. François Viète: o despontar da álgebra simbólica. 2001. 204f.
Dissertação de Mestrado em Matemática – Fundamentos e Aplicações – Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Porto, 2001. Disponível em:
<https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ah UKEwi61_Gbh4POAhXCFZAKHfs9BLYQFggeMAA&url=https%3A%2F%2Frepositori
o-aberto.up.pt%2Fbitstream%2F10216%2F9979%2F3%2F3596_TM_01_P.pdf&usg=A FQjCNGcKhtWSiaWf4_RZz9DuNgxI7oBnQ&sig2=VOsr2jZikp2tVBiQzb9y8w&cad=rj a>. Acesso em 20 mar. 2016.
HEFEZ, Abramo. Curso de Álgebra. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1993.
LIMA, E. L. et. al. Matemática e Ensino. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. 2007.
NUNES, A. Resolução de problemas: uma abordagem atual e dinâmica no Ensino da Matemática. 2007. 73f. Dissertação de Mestrado em Ciências – Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 2007. Disponível em:
<http://cursos.ufrrj.br/posgraduacao/ppgea/files/2015/05/Almir-Nunes.pdf>. Acesso em: 16 mar. 2016.
PATROCÍNIO, A. C do. Soluções inteiras. Disponível em: <http://rpm.org.br/cdrpm/8/6.htm>. Acesso em: 25 fev. 2016.
POLYA, G. Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. SILVA, A. de A; COSTA, G. M. P. da. Equações do primeiro grau: uma proposta de aula baseada na análise de livros. 2014. 64f. Dissertação de Mestrado em Matemática – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro, 2014. Disponível em:
<http://www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/PROFMAT/trabalho_conclusao_c urso/2014/alexandre_azevedo.pdf >. Acesso em: 15 mar. 2016.
SOUSA, José Henrique Ferreira. Françóis Viète. Disponível em: <http://clubes.obmep.org.br/blog/b_fviete/>. Acesso em 15 abr. 2016.
