Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos

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ANTÔNIO MATHEUS DA SILVA PONTES

ANÁLISE DE TORÇÃO EM BARRAS PELO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

NATAL-RN

2019

CENTRO DE TECNOLOGIA

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Antônio Matheus da Silva Pontes

Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach

Natal-RN 2019

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Pontes, Antonio Matheus da Silva.

Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos / Antonio Matheus da Silva Pontes. - 2019.

56 f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil. Natal, RN, 2019.

Orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Engenharia Civil - Monografia. 2. Método dos Elementos Finitos (MEF) - Monografia. 3. Torção de Coulomb - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.01

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Antônio Matheus da Silva Pontes

Análise de Torção em Barras pelo Método dos Elementos Finitos

Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.

Aprovado em 28 de novembro de 2019:

________________________________________________________

Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientador

________________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

________________________________________________________

Eng. Daniel Alves de Lima – Examinador externo

Natal-RN 2019

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, que em sua infinita bondade me permitiu percorrer essa trajetória e vencer essa etapa da minha vida.

À minha mãe, Samara, pelo imensurável amor e por estar sempre presente, me lembrando que nunca estarei sozinho independentemente da distância.

À minha irmã, Marina, por todo carinho, fraternidade e incentivo demonstrados. Às minhas avós, Daluz e Conceição, e à toda minha família pelo apoio incondicional e por não medirem esforços para a realização desse sonho.

Aos amigos, os antigos que se mantiveram presentes em minha vida e os que ganhei ao longo da graduação, ter a oportunidade de conviver com vocês é algo único. Considero-os a família que eu pude escolher.

A todos os professores que contribuíram para a minha formação.

Por fim, à minha orientadora, Fernanda Mittelbach, pela extrema dedicação e compreensão. A senhora é uma grande inspiração como profissional e, principalmente, como pessoa.

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Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos

Este trabalho buscar analisar, estaticamente, o comportamento de barras submetidas a torção através do desenvolvimento de uma análise numérica. O Método dos Elementos Finitos (MEF) será o procedimento numérico adotado para a modelagem do problema, utilizando-se do Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) para obtenção das expressões que caracterizam os elementos da estrutura. Para o processamento dessa análise numérica, um código computacional foi desenvolvido na linguagem Fortran. É apresentado também o desenvolvimento das expressões analíticas teóricas que regem os problemas de torção, de forma que se possa comparar com os resultados analíticos e numéricos.

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ABSTRACT

Title: Frame torsion analysis by the finite element method

This paper seeks to statically analyze the behavior of frames subjected to torsion by developing a numerical analysis. The Finite Element Method (FEM) will be the numerical procedure adopted to model the problem, using the Principle of Virtual Work (PVW) to obtain the expressions that describe the elements of the structure. For the processing of this numerical analysis, a computational code was developed in the Fortran language. It is also presented the development of the theoretical analytical expressions that characterize torsion problems so that a comparison can be made with the analytical and numerical results.

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Figura 1 - Fluxograma do processo de análise pelo MEF ... 15

Figura 2 - Barra circular submetida a um torque T. ... 20

Figura 3 - Barra circular submetida a um torque T ... 20

Figura 4 - Elemento infinitesimal da barra com rotação relativa entre as seções ... 21

Figura 5 - Variação da tensão em um elemento de seção circular. ... 22

Figura 6 - Tubo de parede fina submetido a um torque T. ... 23

Figura 7 - Elemento infinitesimal da espessura do tubo... 24

Figura 8 - Seção transversal do tubo de parede fina. ... 25

Figura 9 - Torção em barra de seção não circular ... 26

Figura 10 - Distribuição das tensões de cisalhamento em um eixo de seção retangular submetido a torção. ... 27

Figura 11 - (a) Placa com um furo; (b) Placa discretizada em elementos finitos triangulares. ... 31

Figura 12 - Elemento finito “i”. ... 32

Figura 13 - Estrutura discretizada... 33

Figura 14 - Cargas nodais equivalentes do carregamento distribuído. ... 35

Figura 15 - Montagem da matriz de rigidez global. ... 38

Figura 16 - Montagem do vetor de cargas global. ... 39

Figura 17 - Representação da montagem do sistema de equações lineares. ... 39

Figura 18 - Arquivo de entrada para utilização do algoritmo. ... 41

Figura 19 - Arquivo de saída com os resultados gerados pelo algoritmo. ... 41

Figura 20 - Barra de seção circular, biengastada, submetida a um momento torçor concentrado. ... 43

Figura 21 - Barra de seção circular submetida a um carregamento uniforme. ... 45

Figura 22 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momentos concentrados. ... 46

Figura 23 - Seção transversal do tubo de parede fina retangular. ... 47

Figura 24 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momento torçor uniformemente distribuído. ... 48

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Coeficientes para eixos retangulares... 28

Tabela 2 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 1. ... 44

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Gráfico 1 - Exemplo 1: barra biengastada com seção circular e momento torçor concentrado.

... 44

Gráfico 2 - Exemplo 2: barra engastada com seção circular. ... 46 Gráfico 3 - Exemplo 3: tubo de parede fina engastado. ... 48 Gráfico 4 - Exemplo 4: deslocamento no tubo de parede fina engastado, com carregamento

distribuído. ... 49

Gráfico 5 - Exemplo 5: deslocamento na barra de seção retangular. ... 51 Gráfico 6 - Exemplo 6: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento

distribuído. ... 52

Gráfico 7 - Exemplo 7: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento

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LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO

r Raio genérico da seção transversal R Raio na superfície externa da seção

T Torque aplicado

γ Distorção ao longo da barra

φ Rotação na seção causada pela torção 𝜏_𝜃𝑥; 𝜏_𝑥𝜃 Tensões de cisalhamento

l Comprimento da barra

G Módulo de elasticidade transversal

𝑀_𝑡 Momento de torção

𝐽𝑃 Momento de inércia polar

F1 ; F2 Forças que surgem devido as tensões de cisalhamento

e Espessura da parede do tubo

f Fluxo de cisalhamento

β Torção por unidade de comprimento

Am Área média da seção do tubo de parede fina Lm Perímetro médio do tubo de parede fina

𝐽_𝑡 Constante de torção da seção transversal do tubo de parede fina

x ; y Comprimentos dos lados da seção retangular

α ; β Coeficientes para seção retangular

𝛿𝑊𝑖 ; 𝛿𝑊𝑒 Trabalho virtual

λ Comprimento do elemento

[𝑘]

𝑒 Matriz de rigidez do elemento {𝑐} Vetor de cargas do elemento [K] Matriz de rigidez global

[F] Vetor de cargas global

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1.1 Considerações iniciais ... 14 1.2 Justificativa ... 16 1.3 Objetivos ... 17 1.3.1 Objetivo geral ... 17 1.3.2 Objetivos específicos ... 17 1.4 Estrutura do trabalho ... 17 2- METODOLOGIA ... 18 3- FORMULAÇÃO ANALÍTICA ... 19 3.1 Introdução ... 19

3.2 Torção em barras de seção circular ... 19

3.3 Torção em tubos de parede fina ... 23

3.4 Torção em barras maciças não circulares ... 26

3.5 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) ... 28

3.6 Trabalho Virtual Interno ... 29

3.7 Trabalho Virtual Externo ... 30

4- FORMULAÇÃO NUMÉRICA ... 31

4.1 Introdução ... 31

4.2 Método dos Elementos Finitos ... 31

4.3 Discretização ... 32

4.4 Função de deslocamento ... 33

4.5 Matriz de Rigidez ... 34

4.6 Vetor de Cargas ... 35

4.7 Montagem da Matriz de Rigidez Global ... 37

4.8 Montagem do Vetor de Cargas Global ... 38

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4.10 Código Computacional ... 40 5- EXEMPLOS E RESULTADOS ... 42 5.1 Introdução ... 42 5.2 Exemplo 1 ... 42 5.3 Exemplo 2 ... 44 5.4 Exemplo 3 ... 46 5.5 Exemplo 4 ... 48 5.6 Exemplo 5 ... 50 5.7 Exemplo 6 ... 51 5.8 Exemplo 7 ... 52 6- CONCLUSÃO ... 54 7- REFERÊNCIAS ... 55

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1- INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

Os problemas de engenharia são frequentemente analisados a partir do desenvolvimento de modelos matemáticos, que representam uma descrição de situações observadas por meio de equações.

No contexto da Engenharia Civil, uma subárea que se utiliza constantemente de modelos matemáticos é a Engenharia de Estruturas, na qual o desenvolvimento das formulações é governado muitas vezes por Equações Diferenciais Parciais (EDP), sendo estas, equações que envolvem funções de várias variáveis independentes e dependentes de suas derivadas.

Assim, ao se realizar a análise de uma estrutura, busca-se determinar as tensões e deformações a partir da resolução de tais modelos. Estas resoluções podem ser realizadas através de métodos analíticos ou métodos numéricos. Os métodos analíticos apresentam uma solução mais acurada, com resultados matematicamente exatos para os problemas estudados. Porém, ao se deparar com equações mais complexas, esse método se torna cada vez mais difícil de ser aplicado, tornando impossibilitado o cálculo de forma manual. Os métodos numéricos, por sua vez, apresentam uma solução aproximada, mas que possibilitam uma simulação computacional dos problemas analisados, o que permite uma análise com aproximações acuradas e torna mais prático o tratamento de equações mais complexas.

Dentre as técnicas de resolução numéricas, destacam-se alguns métodos, como o Método dos Elementos de Contorno (MEC), o Método das Diferenças Finitas (MDF) e, principalmente, o Método dos Elementos Finitos (MEF), sendo esta última a ferramenta estudada e utilizada no desenvolvimento deste trabalho.

Segundo Fish e Belytschko (2007), o Método dos Elementos Finitos é uma abordagem numérica pela qual equações diferenciais parciais podem ser resolvidas aproximadamente. A ideia básica do MEF é dividir o domínio em elementos finitos conectados por nós, e obter uma solução aproximada.

Por se tratar de um procedimento numérico, esse método necessita de uma avaliação de acurácia em sua solução. Caso a solução não seja adequadamente satisfatória, faz-se necessária uma repetição do processo com um maior refinamento dos parâmetros, como, por exemplo, realizar uma maior discretização da malha, ou seja, dividir o domínio em um número maior de

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15

elementos finitos. A Figura 1 apresenta um fluxograma da resolução de um problema físico pelo MEF.

Figura 1 - Fluxograma do processo de análise pelo MEF

Fonte: BATHE (2014), apud SILVA (2018).

A análise e o projeto de peças submetidas à torção constituem uma área de interesse permanente no âmbito da engenharia, apresentando aplicações em diferentes áreas. A torção refere-se à rotação, em torno do eixo longitudinal do elemento estrutural, que uma seção transversal sofre quando a peça é carregada por um conjugado, denominado de momento de torção, momento torçor ou torque.

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Segundo Beer e Jonhston (2011), a aplicação mais comum ocorre em eixos de transmissão, utilizados para transferir potência de um ponto para outro. No âmbito da engenharia civil, esse esforço ocorre em diversas estruturas, como em vigas de marquises, onde as lajes em balanço estão engastadas em vigas de apoio. A torção também ocorre vigas de pontes e viadutos em trechos curvos (geralmente com seções caixão), além de ocorrer em alguns pilares em vigas presentes na estrutura de edifícios.

Os problemas envolvendo a torção foram estudados inicialmente por Coulomb, em 1784, onde foram apresentadas teorias para a resolução de casos de torção para barras de seção circular, levando em consideração que estas seções permanecem planas após sofrerem a ação do torque. Navier, em seguida, realizou um estudo, em 1833, no qual foram aplicadas as hipóteses de Coulomb para barras de seções não circulares, o que levou a resultados equivocados. Posteriormente Saint-Venant apresentou, em 1855, uma retificação sobre o estudo de Navier, encontrando uma solução coerente para a torção em barras não circulares, levando em conta o empenamento da seção.

Embora a solução apresentada por Saint-Venant apresente uma maior aplicabilidade por solucionar problemas de torção em barras de seções não circulares, este trabalho concentra-se na utilização da resolução proposta por Coulomb para barras de seção circulares. Foram analisadas seções não circulares utilizando-se de equações simplificadas, disponíveis na literatura.

1.2 Justificativa

“O Método dos Elementos Finitos apresenta um nível de desenvolvimento que permite a sua utilização pela generalidade dos projetistas de estruturas” (Azevedo, 2003). O MEF se mostra cada vez mais acessível ao conhecimento de engenheiros, apresentando um considerável crescimento no desenvolvimento de programas de modelagem de estruturas, o que o torna atualmente o método numérico mais utilizado em softwares de análise estrutural. Dessa forma, é imprescindível ao engenheiro estrutural o conhecimento do MEF.

A escolha da torção como tema de análise da aplicação do MEF se justifica pela sua grande aparição em problemas na engenharia. Assim, é importante compreender os fenômenos relacionados à torção e buscar implementar meios eficientes para a sua análise.

(18)

17

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo geral

Utilizar o Método dos Elementos Finitos para análise da torção em barras, em diferentes tipos de seções.

1.3.2 Objetivos específicos

 Apresentar formulações analíticas e numéricas que envolvem os problemas relacionados à torção de Coulomb;

 Desenvolver um código computacional em linguagem Fortran para a análise do problema a partir da aplicação do MEF;

 Comparar os resultados obtidos pelo algoritmo com os resultados de soluções analíticas e, assim, validar o código desenvolvido.

1.4 Estrutura do trabalho

O trabalho está dividido em seis capítulos.

O Capítulo 2 corresponde à metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho. O capítulo 3 compreende a apresentação dos conceitos e os desenvolvimentos utilizados para obtenção da formulação analítica do problema. O capítulo 4 é análogo ao capítulo 3, porém é referente ao desenvolvimento formulação numérica do problema. No capítulo 5 foram apresentados os exemplos de validação utilizados e seus resultados. Por fim, o capítulo 6 apresenta a conclusão do trabalho com base na análise dos resultados obtidos.

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2- METODOLOGIA

Visando realizar os objetivos descritos anteriormente, o desenvolvimento deste trabalho se apresenta da seguinte forma:

 Inicialmente realizou-se a revisão da literatura em relação à conceituação e aplicação do MEF, assim como aos efeitos dos fenômenos de torção;

 Posteriormente foram apresentadas as formulações analíticas que envolvem a torção e as hipóteses simplificadoras para os casos em estudo;

 Seguido ao tratamento analítico foi realizado o tratamento numérico a partir da aplicação do MEF às equações obtidas utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais;

 A partir da utilização do MEF nas equações, obtiveram-se as Matrizes de Rigidez e Vetores de Cargas nodais equivalentes;

 Com o sistema de equações desenvolvido nas etapas anteriores elaborou-se o algoritmo em linguagem FORTRAN para resolução dos sistemas de equação. A partir do código elaborado, obtiveram-se os resultados da resolução dos problemas pelo método numérico. Os resultados do tratamento analítico foram plotados através do Excel para, por fim, possibilitar a comparação entre os dois modelos e validação do código desenvolvido.

(20)

19

3- FORMULAÇÃO ANALÍTICA

3.1 Introdução

Este capítulo visa apresentar a formulação analítica para as barras submetidas a problemas de torção, utilizando-se da Teoria Elementar de Coulomb no tratamento da torção em seções circulares e hipóteses simplificadoras para a análise da torção em tubos de parede fina e em barras de seção retangular. A abordagem é apresentada tomando por base o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), que será utilizado como base para o desenvolvimento da formulação numérica, apresentada no capítulo 4.

3.2 Torção em barras de seção circular

A análise de torção em barras de seções circulares, cheias ou vazadas, requer a consideração de algumas hipóteses simplificadoras para o desenvolvimento de sua formulação. As hipóteses são as seguintes:

 O material do elemento é admitido como sendo homogêneo e isótropo;

 As seções transversais do elemento permanecem planas após a aplicação dos momentos de torção, ou seja, não ocorre abaulamento ou distorção dos planos paralelos normais ao eixo do elemento;

 As seções apresentam um giro em relação às outras sem se deformar, apresentando um comportamento análogo ao de corpos rígidos, com a seção mantendo-se circular e os raios permanecendo retos;

 As distorções, γ, presentes nas seções circulares sujeitas a torção variam linearmente a partir do eixo central;

 Em decorrência dos giros surgem tensões de cisalhamento nas seções e, admitindo que o material do elemento é linearmente elástico, a Lei de Hooke generalizada é aplicável. Assim, por consequência, segue-se que essa tensão de cisalhamento é proporcional à distorção.

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Seja uma barra com seção transversal circular de raio R submetida a um torque conjugado T, como apresentada na Figura 2. Utilizam-se coordenadas cilíndricas x, r e θ. Denomina-se φ a rotação ocasionada na seção, sendo esta tida como positiva no sentido de y para z.

Figura 2 - Barra circular submetida a um torque T.

Fonte: MITTELBACH, 2009.

Considerando um elemento infinitesimal da barra solicitada, tem-se que, na direção longitudinal, atua a tensão de cisalhamento 𝜏_𝜃𝑥 e na direção transversal atua a tensão 𝜏_𝑥𝜃, como representado na Figura 3. Pelo teorema de Cauchy implica-se que 𝜏_𝜃𝑥 = 𝜏_𝑥𝜃.

Figura 3 - Barra circular submetida a um torque T

(22)

21

No elemento infinitesimal isolado de comprimento 𝑑𝑥 da Figura 4, observa-se a rotação da seção S em relação a 𝑆₀ e, a partir das hipóteses apresentadas anteriormente.

Figura 4 - Elemento infinitesimal da barra com rotação relativa entre as seções

Fonte: MITTELBACH, 2009. Na periferia da seção S, tem-se:

𝑑𝑠

= R ∙

𝑑𝜑

(3.1)

Longitudinalmente no trecho de comprimento

𝑑𝑥

, tem-se:

𝑑𝑠

=

𝛾

_𝑥𝜃

∙ 𝑑𝑥

(3.2)

Portanto:

𝛾

_𝑥𝜃

|

_𝑟=𝑅

∙ 𝑑𝑥 =

R ∙

𝑑𝜑

𝛾

_𝑥𝜃

|

_𝑟=𝑅 =

𝛾

_𝑚𝑎𝑥 = R ∙ 𝑑𝜑

𝑑𝑥 (3.3)

Para qualquer ponto no interior do elemento, a uma distância r do eixo, tem-se:

𝛾

_𝑥𝜃 = r ∙ 𝑑𝜑

𝑑𝑥 (3.4)

A partir da hipótese de uma resposta linearmente elástica do elemento, torna-se aplicável a lei de Hooke.

A partir da hipótese de variação linear da deformação, partindo do centro do elemento e associando à consideração da proporcionalidade entre a tensão e deformação, tem-se que as

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tensões também variam linearmente a partir do eixo central do elemento estrutural de seção circular. Assim, podem-se determinar as tensões de cisalhamento.

𝜏

_𝑥𝜃 = G ∙

𝛾

_𝑥𝜃

𝜏

_𝑥𝜃 = G ∙ r 𝑑𝜑

𝑑𝑥 (3.5)

Figura 5- Variação da tensão em um elemento de seção circular.

A partir da dedução da distribuição das tensões na seção conforme a Figura 5 e admitindo 𝑀_𝑡 como o momento resultante das tensões de cisalhamento, tem-se:

𝑀𝑡 = − ∫ 𝜏𝑥𝜃 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝐴 𝐴

(3.6)

A partir da equação 3.5, tem-se: 𝑀𝑡 = − ∫ G𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑥 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝐴 𝐴

=

−G 𝑑𝜑 𝑑𝑥 ∫ 𝑟 𝐴 2∙ 𝑑𝐴 (3.7)

Onde ∫ 𝒓 _𝑨 𝟐∙ 𝒅𝑨 é o momento polar de inércia da seção transversal, sendo designado por 𝐽_𝑃, logo:

𝑀

_𝑡

=

−G 𝑑𝜑_𝑑𝑥

𝐽

_𝑃 (3.8)

𝑀𝑡= −G

𝜏_𝑥𝜃

(24)

23

Portanto:

𝜏

_𝑥𝜃

= −

𝑀

𝑡

∙ 𝑟

𝐽

_𝑝 (3.10)

A partir da equação (3.8), pode-se definir o ângulo de torção:

𝑑𝜑 =

−

𝑀𝑡

𝐺∙𝐽_𝑃

dx

(3.11)

Logo, integrando as duas parcelas da equação 3.11, tem-se: 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑥₀) =

− ∫

𝑀𝑡

𝐺∙𝐽_𝑃

𝑑𝑥

𝑥

𝑥0

(3.12)

3.3 Torção em tubos de parede fina

Segundo Popov (1984), as seções vazadas de paredes com pequena espessura podem ser analisadas de modo relativamente simples para a determinação das tensões de cisalhamento e do ângulo de torção, provocados por um momento de torção aplicado ao tubo.

Figura 6– Tubo de parede fina submetido a um torque T.

A partir da Figura 6, observa-se que pode haver variação da espessura “e” ao longo da seção do tubo, porém esse valor é muito pequeno se comparado à dimensão radial da seção. As tensões de cisalhamento que surgem na seção em consequência do torque T, são consideradas uniformes ao longo dessa espessura.

(25)

Figura 7 – Elemento infinitesimal da espessura do tubo.

Considerando um elemento infinitesimal, abcd, de comprimento dx retirado do tubo, como ilustrado na Figura 7, observa-se que surgem forças resultantes das tensões longitudinais associadas ao teorema de Cauchy, onde:

𝐹

₁

= 𝜏

₁

∙ 𝑒

₁

∙ 𝑑𝑥

(3.13) e

𝐹

₂

= 𝜏

₂

∙ 𝑒

₂

∙ 𝑑𝑥

(3.14) Em que: 𝐹1 = 𝐹2 ⇒

𝜏

1

∙ 𝑒

1

= 𝜏

2

∙ 𝑒

2

(3.15) Onde:

F1 e F2 – forças resultantes das tensões cisalhantes;

e1e e2 – espessuras da parede nos planos do elemento abcd;

τ1 e τ2 – tensões cisalhantes que surgem em consequência do torque aplicado.

Como a distância entre os planos longitudinais de seção do elemento abcd foi considerada de forma arbitrária, conclui-se que a relação apresentada na equação (3.15), deque o produto de tensão cisalhante pela espessura da parede é constante, é válida em qualquer desses planos. Essa constante é designada por fluxo de cisalhamento ”f” e é definida por:

𝑓 = 𝜏_𝑥𝜃∙ 𝑒 (3.16)

Caso a espessura seja uniforme ao longo da seção, a tensão 𝜏_𝑥𝜃 também o será, de forma que:

(26)

25

𝑓 = 𝜏𝑚é𝑑∙ 𝑒 (3.17)

Figura 8– Seção transversal do tubo de parede fina.

Considerando um elemento ds da seção transversal do tubo, conforme indicada na Figura 8, a força de cisalhamento total agindo nesse elemento é dado por fds, de forma que:

𝑑𝑀_𝑡 = −𝑟𝑓𝑑𝑠 (3.18)

Onde:

Mt – momento referente à força de cisalhamento em torno do ponto O;

r – distância do ponto O à tangente da linha média da parede da seção.

O momento de torção total é obtido a partir do desenvolvimento da integração ao longo da linha central do perímetro da seção transversal, Lm:

𝑀_𝑡 = −𝑓 ∫ 𝑟𝑑𝑠

𝐿𝑚

0

(3.19)

É possível dar uma interpretação simples para a integral da equação (3.19). Pela Figura 8, observa-se que r∙ds é o dobro da área hachurada do triângulo infinitesimal, com altura r e base ds. Portanto, a integral representa o dobro da área total compreendida pela linha média do perímetro da seção transversal. Logo, tem-se:

𝑀_𝑡 = −2𝑓𝐴_𝑚 (3.20)

(27)

O ângulo de torção por unidade de comprimento, β, é determinado pela aplicação do princípio da conservação de energia e é dado por:

𝛽 = 𝑑𝜑 𝑑𝑥 = − 1 4𝐴𝑚2 ∙ 𝐺 ∫ 𝑀𝑡 𝑑𝑠 𝑒 𝐿𝑚 0 (3.21) Caso a espessura “e” e o momento "𝑀_𝑡" sejam constantes, tem-se:

𝛽 = − 𝑀𝑡

4𝐴_𝑚2 _{∙ 𝐺 ∙ 𝑒}𝐿𝑚 (3.22)

Analogamente ao caso da seção circular tratada no item anterior, define-se a constante de torção da seção transversal “Jt” como:

𝐽𝑡 =

4𝐴2_𝑚

∫₀𝐿𝑚𝑑𝑠_𝑒 (3.23)

Caso a espessura “e” seja constante na seção transversal, tem-se: 𝐽_𝑡 = 4𝐴𝑚

2 _{∙ 𝑒}

𝐿_𝑚 (3.24)

3.4 Torção em barras maciças não circulares

O tratamento analítico de barras não circulares submetidas a torção é um problema matematicamente complexo, pois grande parte das hipóteses consideradas para as seções circulares não se aplicam nesse caso. As seções normais ao eixo da barra não permanecem planas quando o momento de torção é aplicado, sofrendo uma deformação longitudinal chamada de empenamento. A Figura 9 ilustra o comportamento descrito.

Figura 9 - Torção em barra de seção não circular

(28)

27

As seções retangulares também não apresentam uma tensão de cisalhamento variando linearmente com a distância a partir do centro da seção transversal. Nessas seções, a tensão é nula nos vértices do retângulo, regiões da seção onde não há distorção, e são maiores nos pontos médios dos seus lados, sendo máxima no meio do lado mais longo, que é ponto periférico mais próximo do centro da seção.

Figura 10 - Distribuição das tensões de cisalhamento em um eixo de seção retangular submetido a torção.

Fonte: SILVA FILHO, 2007.

Apesar do complexo desenvolvimento, a solução analítica para torção em barras retangulares elásticas apresenta resultados simplificados para a tensão de cisalhamento máxima e para o ângulo de torção, sendo esses apresentados nas equações (3.25) e (3.26).

Tensão de cisalhamento máxima:

𝜏_𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑇 𝛼𝑦𝑥2 (3.25) Ângulo de torção: 𝜑 = 𝑀𝑇 𝐿 𝛽𝑦𝑥3_𝐺 (3.26) Onde

(29)

L – comprimento do elemento; y - maior lado do retângulo; x - menor lado do retângulo;

α e β – parâmetros que dependem de 𝑦

𝑥

.

Alguns dos valores de α e β são indicados na tabela abaixo.

Tabela 1 – Coeficientes para eixos retangulares 𝒚 𝒙 ⁄ 1,00 1,50 2,00 3,00 6,00 10,0 ∞ α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 0,333 β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 0,333 Fonte: POPOV, 1984.

3.5 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

O Princípio dos Trabalhos Virtuais enuncia que para um sistema estrutural em equilíbrio, ao se aplicar um campo de deslocamentos virtuais, o trabalho virtual correspondente às forças externas atuantes sobre ele é igual ao trabalho virtual das forças internas. Para isso, é necessário que o campo de deslocamentos virtuais seja cinematicamente admissível, ou seja, deve ser compatível com as vinculações dosistema e manter a sua continuidade interna e ser pequeno o suficiente de modo a não interferir no equilíbrio do sistema.

Portanto:

𝛿𝑊_𝑖 = 𝛿𝑊_𝑒 (3.27)

Onde:

𝛿𝑊_𝑖

–

Trabalho virtual interno; 𝛿𝑊_𝑒

–

Trabalho virtual externo;

(30)

29

𝛿𝑊_𝑖 = ∫ (𝜎_𝑉 𝑥𝛿𝜀𝑥+ 𝜎𝑦𝛿𝜀𝑦+ 𝜎𝑧𝛿𝜀𝑧+ 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦+ 𝜏𝑥𝑧𝛿𝛾𝑥𝑧+ 𝜏𝑦𝑧𝛿𝛾𝑦𝑧) 𝑑𝑉 (3.28)

𝛿𝑊_𝑒 = ∫ (𝜌_𝑆_𝑓 𝑥𝛿𝑢+ 𝜌𝑦𝛿𝑣 + 𝜌𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑠 + ∫ (𝐵_𝑉 𝑥𝛿𝑢+ 𝐵𝑦𝛿𝑣 + 𝐵𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑉 (3.29)

Onde:

𝜌_𝑥, 𝜌_𝑦, 𝜌_𝑧− componentes das forças de superfície que atuam na região do contorno do sólido (Sf) onde são prescritas forças;

𝐵_𝑥, 𝐵_𝑦, 𝐵_𝑧− componentes das forças de volume (peso próprio, por exemplo); 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑧 – componente de tensão;

𝛿𝑢, 𝛿𝑣, 𝛿𝑤− variações das componente de deslocamento (u,v,w) segundo x,y,z;

𝛿𝜀_𝑥, 𝛿𝜀_𝑦, 𝛿𝜀_𝑧, 𝛿𝛾_𝑥𝑦, 𝛿𝛾_𝑥𝑧, 𝛿𝛾_𝑦𝑧− variação das componentes de deformação.

3.6 Trabalho Virtual Interno

O trabalho virtual interno, 𝛿𝑊_𝑖

,

é dado pelo produto entre tensão e a variação da deformação a ela associada. Tomando como base o sistema de coordenadas cilíndricas apresentadas na Figura 2 e as características do problema, tem-se que a equação (3.28) resume-se a:

𝛿𝑊

_𝑖 = ∫ (_𝑉 𝜏𝑥𝜃𝛿𝛾𝑥𝜃) 𝑑𝑉 (3.30)

Considerando o trecho infinitesimal dx apresentado na Figura 4 e a configuração da seção apresentada na Figura 5, integra-se a expressão (3.30) adotando dv = rdrdxdθ e empregando as equações (3.4) e (3.5).

𝛿𝑊

_𝑖 = ∫ (_𝑉 𝜏_𝑥𝜃𝛿𝛾_𝑥𝜃) 𝑑𝑉 = ∫ [_𝑉 𝐺 ∙ 𝑟𝑑𝜑 𝑑𝑥𝛿( 𝑑𝜑 𝑑𝑥𝑟 )] 𝑑𝑉 =

𝛿𝑊

_𝑖 =∭ [𝐺 ∙ 𝑟𝑑𝜑_𝑑𝑥𝛿(𝑑𝜑 𝑑𝑥𝑟 )] 2𝜋 0 rdθdrdx = 2π𝐺 ∬ [ 𝑑𝜑 𝑑𝑥𝛿( 𝑑𝜑 𝑑𝑥 𝑅 0 )] 𝑟 3_{𝑑𝑟𝑑𝑥 =}

(31)

𝛿𝑊

_𝑖

=

2π𝐺

𝑅4 4

∫ [

𝑑𝜑 𝑑𝑥

𝛿(

𝑑𝜑 𝑑𝑥 𝑙 0

)] 𝑑𝑥

(3.31)

3.7 Trabalho Virtual Externo

Para o problema em análise, o trabalho virtual externo, 𝛿𝑊_𝑒, relacionado ao sistema de coordenadas polares da Figura 2, apresenta a seguinte expressão:

𝛿𝑊

_𝑒

= ∫ [𝑚

𝑡

(𝑥) ∙ 𝛿𝜑]𝑑𝑥

𝑙

(32)

31

4- FORMULAÇÃO NUMÉRICA

Este capítulo visa apresentar a formulação numérica para a análise dos problemas estudados. A modelagem foi desenvolvida através do Método dos Elementos Finitos (MEF), com base nas equações obtidas pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais apresentado no capítulo anterior.

4.2 Método dos Elementos Finitos

Conforme Azevedo (2003), o Método dos Elementos Finitos baseia-se no método dos deslocamentos e na discretização de uma estrutura em subestruturas. Cada uma das subestruturas se designa por um elemento finito com comportamento conhecido, estes são conectados entre si por meio de pontos em seu contorno (chamados de nós), sendo o comportamento do todo considerado como a soma das partes. Assim, a divisão do domínio da peça em elementos mais simples visa facilitar o tratamento do problema.

Figura 11 - (a) Placa com um furo; (b) Placa discretizada em elementos finitos triangulares.

Fonte: FISH & BELYTSCHKO, 2007.

(33)

A aplicação do método baseia-se na avaliação das integrais relativas aos trabalhos virtuais interno e externo para cada elemento, de forma que, ao final do processo é considerado um somatório das contribuições apresentadas nos diversos trechos de subdivisão da peça. Ao se igualar as integrais obtidas pelos trabalhos virtuais interno e externo, obtêm-se as matrizes de rigidez e os vetores independentes da estrutura e aplicam-se as condições geométricas e de contorno, de forma que possibilite a montagem de um sistema de equações.

A resolução do sistema de equações formado por essas matrizes e vetores irá gerar os resultados de deslocamento (através do ângulo de rotação φ) nos nós dos elementos.

4.3 Discretização

A discretização dos elementos para os casos em análise pode ser realizada tanto de forma uniforme, com todos os elementos apresentando o mesmo comprimento λ, como de forma não uniforme, onde a estrutura é dividida em trechos de diferentes comprimentos, sendo a escolha da forma de discretização associada às características do problema.

Cada elemento contém dois nós e cada um destes possui um grau de liberdade, o deslocamento referente à rotação “φ”, que corresponde ao ângulo do giro da seção em torno do seu eixo normal.

Figura 12 – Elemento finito “i”.

Fonte: Autor, 2019.

A discretização para o caso em estudo é mais simples por se tratar de um problema no qual o elemento finito é unidimensional. Sendo o número total de trechos da barra (elementos) “N”,

(34)

33

o número de nós “NN” é dado, no presente caso, por “NN=N+1”, no qual os nós são numerados de uma extremidade à outra da barra, conforme apresentado na Figura 13.

Figura 13 – Estrutura discretizada.

Fonte: Adaptado de Mittelbach (2007).

4.4 Função de deslocamento

Os deslocamentos em um elemento são aproximados por meio de funções que dependem dos valores destes deslocamentos nos nós inicial e final do elemento. Estas são funções de interpolação em forma polinomiais em que o seu grau depende do número de deslocamentos nodais, do elemento, relacionados à variável em análise. Em relação à rotação, a função φ(x) apresenta dois deslocamentos nodais no elemento. Assim, a função de interpolação será linear. 𝜑(𝑥) = 𝑓_𝜑1𝜑₁+ 𝑓_𝜑2𝜑₂ (4.1) Onde 𝑓𝜑1 e 𝑓𝜑2 são funções lineares que dependem das condições de contorno nos nós do

elemento. De forma que se têm:

𝑓𝜑1(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 ⇒ ⇒ {𝑓𝜑1(0) = 1 𝑓_𝜑1(𝜆) = 0 Logo: {𝑎1 = −1 𝜆⁄ 𝑏₁ = 1 ⇒

𝑓

𝜑1

(𝑥) = −

𝑥 𝜆+1 Da mesma forma: 𝑓_𝜑2(𝑥) = 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂ ⇒

(35)

⇒ {𝑓𝜑2(0) = 0 𝑓_𝜑2(𝜆) = 1 Logo: {𝑎2= 1 𝜆⁄ 𝑏₂= 0 ⇒

𝑓

𝜑2

(𝑥) =

𝑥 𝜆 Portanto: 𝜑(𝑥) = (−𝑥 𝜆+ 1) 𝜑1+ 𝑥 𝜆𝜑2 (4.2) e 𝑑𝜑 𝑑𝑥 = − 1 𝜆𝜑1+ 1 𝜆𝜑2 (4.3) 4.5 Matriz de Rigidez

Substituindo a função do deslocamento e sua derivada obtidas na equação (3.31), têm-se:

𝛿𝑊

_𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚

=

2π𝐺

𝑅4 4

∫ [

𝑑𝜑 𝑑𝑥

𝛿(

𝑑𝜑 𝑑𝑥 𝑙 0

)] 𝑑𝑥

⇒

𝛿𝑊

=

2π𝐺

𝑅₄4

∫ [(−

𝜑_𝜆1

+

𝜑2 𝜆

)𝛿(−

𝜑1 𝜆

+

𝜑2 𝜆 𝜆 0

)] 𝑑𝑥

⇒

𝛿𝑊

=

2π𝐺

𝑅4 4

∫ [(

𝜑1∙𝛿𝜑1 𝜆2

−

+

𝜑2∙𝛿𝜑1 𝜆2 𝜆 0

)] 𝑑𝑥

Resolvendo a integral, obtém-se:

𝛿𝑊

=

2π𝐺

𝑅₄4

(

𝜑1∙𝛿𝜑1 𝜆

−

+

)

⇒

𝛿𝑊

=

2π

𝑅4 4

𝐺 [

1 𝜆

⁄

_{− 1 𝜆}

⁄

− 1 𝜆

⁄

_{1 𝜆}

⁄

] {

𝜑

₁

𝜑

₂

}

⇒

𝛿𝑊

=

2π

𝑅4 4 𝜆

𝐺 [

1 −1

−1 1

] {

𝜑

₁

𝜑

₂

}

(4.4)

(36)

35

A partir da equação (4.4) tem-se que a Matriz de Rigidez local do elemento finito é:

[𝑘]

𝑒

_{= [}

2π

𝑅4 4 𝜆

𝐺

−2π

𝑅4 4 𝜆

𝐺

−2π

𝑅4 4 𝜆

𝐺

2π

𝑅4 4 𝜆

𝐺

]

4.6 Vetor de Cargas

Para os carregamentos distribuídos ao longo do elemento são determinadas cargas nodais equivalentes.

Figura 14 – Cargas nodais equivalentes do carregamento distribuído.

Fonte: AUTOR, 2019.

Considerando que o carregamento distribuído assume uma configuração linear, tem-se:

𝑚_𝑡(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (4.5)

Onde:

m

t(x) – equação que descreve o comportamento do carregamento distribuído;

(37)

Nos nós são assumidas as seguintes condições: x = 0 ⇒ 𝑚_𝑡(𝑥) = 𝑚_𝑡1 x = λ ⇒ 𝑚𝑡(𝑥) = 𝑚𝑡2 Portanto: b = 𝑚_𝑡1 (4.6) a = 𝑚𝑡2− 𝑚𝑡1 𝜆 (4.7) Logo: 𝑚𝑡(𝑥) = ( 𝑚𝑡2− 𝑚𝑡1 𝜆 ) 𝑥 + 𝑚𝑡1 ⇒ 𝑚_𝑡(𝑥) = (1 −𝑥 𝜆) 𝑚𝑡1+ ( 𝑥 𝜆) 𝑚𝑡2 (4.8)

Substituindo as equações (4.8) e (4.2) na equação (3.32) para o desenvolvimento da integral referente ao trabalho virtual externo, obtêm-se as parcelas de cargas nodais equivalentes.

𝛿𝑊

_𝑒

= ∫ [𝑚

𝑡

(𝑥) ∙ 𝛿𝜑]𝑑𝑥

𝑙 0 ⇒

𝛿𝑊

_𝑒

= ∫ {[𝑚

𝑡1

(1 −

𝑥 𝜆

) + 𝑚

𝑡2

(

𝑥 𝜆

)] ∙ 𝛿 [𝜑

1

(1 −

𝑥 𝜆

) + 𝜑

2

(

𝑥 𝜆

)]} 𝑑𝑥

𝜆 0 ⇒

𝛿𝑊

_𝑒

= ∫ [𝑚

_𝑡1

𝛿𝜑

₁

(1 −

𝑥

𝜆

)

2

+ 𝑚

_𝑡1

𝛿𝜑

₂

(1 −

𝑥

𝜆

) (

𝑥

𝜆

) + 𝑚

𝑡2

𝛿𝜑

1

(

𝑥

𝜆

) (1 −

𝑥

𝜆

)

𝜆 0

+ 𝑚

_𝑡2

𝛿𝜑

₂

(

𝑥

𝜆

)

2

] 𝑑𝑥

Resolvendo a integral, tem-se:

𝛿𝑊

_𝑒

= [𝑚

_𝑡1

𝛿𝜑

₁

(𝜆 − 𝜆 +

𝜆 3

) + 𝑚

𝑡1

𝛿𝜑

2

(

𝜆 2

−

𝜆 3

) + 𝑚

𝑡2

𝛿𝜑

1

(

𝜆 2

−

𝜆 3

) +

𝑚

_𝑡2

𝛿𝜑

₂

(

𝜆 3

)]

⇒

(38)

37

𝛿𝑊

_𝑒

= [𝑚

_𝑡1

𝛿𝜑

₁

∙

𝜆 3

+ 𝑚

𝑡1

𝛿𝜑

2

∙

𝜆 6

+ 𝑚

𝑡2

𝛿𝜑

1

∙

𝜆 6

+ 𝑚

𝑡2

𝛿𝜑

2

∙

𝜆 3

]

(4.9)

A partir da equação (4.9) tem-se que o vetor de cargas nodais equivalentes do elemento finito é: {𝑐} = {

𝑚

𝑡1

𝜆

3 +

𝑚

𝑡2

𝜆

6 𝑚

𝑡1

𝜆

6 +

𝑚

𝑡2

𝜆

3

}

4.7 Montagem da Matriz de Rigidez Global

A matriz de rigidez global refere-se à toda a estrutura e é construída a partir superposição das contribuições de deslocabilidades coincidentes em dois trechos consecutivos da discretização. Usando como exemplo os dois primeiros elementos de uma suposta discretização para o caso em estudo, têm-se que o primeiro elemento finito contribui para as deslocabilidades globais 𝜑₁ e 𝜑₂ enquanto o segundo elemento finito contribui para as deslocabilidades globais 𝜑2 e 𝜑3, assim, as contribuições do primeiro elemento para a deslocabilidade 𝜑2 devem ser

somadas às contribuições do segundo elemento para essa mesma deslocabilidade. Esse processo deve ser realizado ao longo de toda a estrutura de forma que passe por todos os elementos, como genericamente ilustrado na Figura 15.

Como as matrizes de rigidez dos elementos são de tamanho 2x2 e entre elementos subsequentes há a superposição de um elemento da matriz, a matriz de rigidez global será (NN) x (NN).

(39)

Figura 15 – Montagem da matriz de rigidez global.

4.8 Montagem do Vetor de Cargas Global

O vetor de cargas global será composto pela soma entre os vetores de cargas nodais equivalentes apresentados no item 4.6 deste capítulo e o vetor de forças nodais aplicadas. A montagem desse vetor é realizada, de forma análoga à da matriz global. Como entre dois elementos subsequentes há a sobreposição das contribuições sobre o nó comum a eles, tem-se que o vetor apresentará (NN) elementos. A montagem do vetor global encontra-se ilustrada na Figura 16.

(40)

39

Figura 16– Montagem do vetor de cargas global.

Fonte: Adaptado de MITTELBACH, 2007.

4.9 Sistemas de Equações e Condições de Contorno

Após a montagem da matriz de rigidez global [K] e do vetor de cargas global [F], chega-se ao sistema de equações lineares [K][U] = [F], como ilustrado na Figura 17.

Figura 17 – Representação da montagem do sistema de equações lineares.

(41)

Em seguida, deve-se aplicar as condições de contorno do problema. Essas condições consistem na determinação prévia de determinados deslocamentos a partir da vinculação externa, o que reduz o número de incógnitas do sistema, que é indeterminado por apresentar um número de variáveis maior que o número de equações, tornando possível a sua resolução. As condições de contorno são introduzidas no sistema de equações através da técnica dos “zeros e uns”. A técnica consiste na modificação do vetor de forças e da matriz de rigidez global a partir das informações referentes aos deslocamentos prescritos. Para um nó “i” no qual a deslocabilidade é prescrita, o termo Kii da diagonal principal da matriz de rigidez global é

igualado a 1 e os demais termos na mesma linha e coluna recebem o valor 0. No vetor de carga, o elemento Fi, referente ao nó com a deslocabilidade, recebe o valor desse deslocamento (Δi) e

nas demais linhas se subtrai o valor de Kij Δi. Após a aplicação da técnica, utiliza-se o método

de Gauss para a resolução do sistema e obtenção, por consequência, dos valores dos deslocamentos nodais.

4.10 Código Computacional

O algoritmo elaborado para a análise numérica foi realizado no software PLATO, que consiste em um compilador de linguagem FORTRAN 95, linguagem bastante utilizada na solução de problemas tratados a partir do Método dos Elementos Finitos. A Figura 18 apresenta um exemplo de arquivo de entrada para utilização do código e a Figura 19 apresenta o arquivo de saída gerado após o processamento do algoritmo.

(42)

41

Figura 18 - Arquivo de entrada para utilização do algoritmo.

Fonte: Autor, 2019.

Figura 19 - Arquivo de saída com os resultados gerados pelo algoritmo.

(43)

5- EXEMPLOS E RESULTADOS

Este capítulo visa demonstrar a validade do algoritmo desenvolvido, procurando verificar a sua eficácia através da comparação entre os resultados obtidos da análise numérica pelo Método dos Elementos Finitos e as soluções encontradas a partir do estudo analítico, conforme hipóteses simplificadoras apresentadas.

Serão apresentados 7 exemplos utilizando barras constituídas por um material homogêneo e isotrópico, como apresentado nas hipóteses do capítulo 3. Nos dois primeiros exemplos o algoritmo é testado para barras de seção transversal circular, com carregamento concentrado e distribuído. Os dois exemplos seguintes buscam verificar o algoritmo para tubos de paredes finas e, por fim, os três últimos exemplos visam testar o algoritmo para as barras de seção retangular.

As discretizações foram realizadas de modo que se obtivessem respostas dentro de uma margem de erro de até 2%. O erro relativo foi calculado conforme a expressão abaixo:

𝐸_{𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜}% = (|𝑑𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜− 𝑑𝑀𝐸𝐹|

𝑑_{𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜} ) ∙ 100% (5.1)

5.2 Exemplo 1

Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra biengastada de seção circular constante por trechos, submetida a um carregamento concentrado “T”, conforme ilustra a Figura 20.

(44)

43

Figura 20 - Barra de seção circular, biengastada, submetida a um momento torçor concentrado. Fonte: Autor, 2019. Onde: T = 250kNcm; rAB = rBC = 3 cm = 0,03m; rCD = 2 cm = 0,02m; G = 80GPa.

O primeiro exemplo consiste em um problema estaticamente indeterminado, onde a compatibilidade se dá através do ângulo de giro. A aplicação do MEF acontece de forma simples, com o número de discretizações necessárias sendo igual a o número de trechos com características diferentes, pois o vetor força será composto apenas pelo momento concentrado e pelas reações de apoio, que são aplicadas diretamente no sistema de equações. Assim, a peça será dividida em 3 trechos, sendo o primeiro trecho do engaste no ponto A até o ponto de aplicação da força externa em B, o segundo trecho de B a C e o terceiro trecho de C a D, onde ocorre uma mudança no raio da seção transversal da barra. Os valores encontrados pelo MEF para a rotação ao longo da barra são totalmente convergentes com os resultados analíticos, apresentando, assim, um 𝐸_𝑟𝑒𝑙% = 0.

(45)

Tabela 2 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 1.

Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙%

Analítico 0,0073043 -

MEF 0,0073403 0,00%

Fonte: Autor, 2019.

Gráfico 1 - Exemplo 1: barra biengastada com seção circular e momento torçor concentrado.

Fonte: Autor, 2019.

5.3 Exemplo 2

Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção circular com uma extremidade engastada e outra livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído, conforme a Figura 21. 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 Rot açã o (ra d ) x (m) φanalitico φMEF

(46)

45

Figura 21 - Barra de seção circular submetida a um carregamento uniforme.

Fonte: Adaptado de Mittelbach, 2009. Onde:

Comprimento ( l ) = 1,0 m;

Momento de torção distribuído ( t ) = 50kNm/m; G = 80GPa;

r = 0,04 m.

Para o exemplo em questão foram utilizadas 10 divisões na barra para o uso do MEF. Devido às características do problema, o método numérico apresentou uma convergência exata em relação ao método analítico, no qual os valores de deslocamento para todos os nós apresentaram um erro relativo de 0,00%.

Analítico 0,077712375 -

MEF 0,077712375 0,00%

(47)

Gráfico 2 - Exemplo 2: barra engastada com seção circular.

Fonte: Autor, 2019.

5.4 Exemplo 3

Neste exemplo foi analisado o comportamento de um tubo de parede fina, retangular, com uma extremidade engastada e outra livre, submetida a carregamentos concentrados de momento torçor, conforme as Figuras 22 e 23.

Figura 22 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momentos concentrados.

Fonte: PALIGA (2014). 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Rot açã o (ra d ) ϕMEF ϕanalítico

(48)

47

Figura 23 – Seção transversal do tubo de parede fina retangular.

Fonte: PALIGA (2014). Onde G = 38GPa.

De forma análoga ao exemplo 1, a aplicação do MEF acontece de forma direta, com o número de discretizações necessárias igual ao número de trechos com características diferentes. A peça pode ser dividida em dois trechos, sendo a primeira do engaste E ao ponto de aplicação do momento carregado em D e o segundo elemento entre os pontos D e C. A seguir encontra-se apreencontra-sentado um gráfico com uma discretização para 20 elementos a fim de encontra-se obencontra-servar a deformação ϕ ao longo do comprimento do tubo. Os valores encontrados pelo MEF para a rotação ao longo do tubo são totalmente convergentes com os resultados analíticos, apresentando, assim, um 𝐸_𝑟𝑒𝑙% = 0.

Método 𝜑_𝑚á𝑥 (rad) 𝐸_𝑟𝑒𝑙%

MEF 0,00625988 0,00%

(49)

Gráfico 3 - Exemplo 3: tubo de parede fina engastado.

Fonte: Autor, 2019.

5.5 Exemplo 4

Neste exemplo foi analisado o comportamento de um tubo de parede fina, retangular, com uma extremidade engastada e outra livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído de momento torçor, conforme a Figura 24.

Figura 24 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momento torçor uniformemente distribuído. Fonte: Autor, 2019. 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 Rot açã o (ra d ) ϕanalítico ϕMEF

(50)

49

A seção transversal do tubo é a mesma apresentada na Figura 23, do exemplo anterior, e:

G = 38 GPa; t = 30 N.m/m.

Para o exemplo em questão foram utilizadas 20 divisões de trechos no tubo para o uso do MEF. De forma análoga ao segundo exemplo, o método numérico apresentou uma convergência exata em relação ao método analítico, no qual os valores de deslocamento para todos os nós apresentaram um erro relativo de 0,00%.

MEF 0,004553 0,00%

Fonte: Autor, 2019.

Gráfico 4 - Exemplo 4: deslocamento no tubo de parede fina engastado, com carregamento distribuído. Fonte: Autor, 2019. 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 Rot açã o (ra d ) ϕMEF ϕanalítico

(51)

5.6 Exemplo 5

Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma extremidade engastada e outra livre, submetida a um momento torçor concentrado, conforme a Figura 25.

Figura 25– Barra engastada com seção retangular

Fonte: PALIGA, 2014.

Onde:

T = 1,77 kNm; G = 26 GPa.

De forma análoga aos exemplos 1 e 3, a aplicação do MEF acontece de forma direta, com o número de discretizações necessárias igual ao número de trechos com características diferentes. Abaixo está apresentado um gráfico com uma discretização para 10 elementos a fim de se observar a deformação ϕ ao longo do comprimento do tubo. Os valores encontrados pelo MEF para a rotação ao longo do tubo são totalmente convergentes com os resultados analíticos, apresentando, assim, um 𝐸_𝑟𝑒𝑙% = 0.

(52)

51

MEF 0,15926 0,00%

Fonte: Autor, 2019.

Gráfico 5 - Exemplo 5: deslocamento na barra de seção retangular.

Fonte: Autor, 2019.

5.7 Exemplo 6

Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma extremidade engastada e outra livre, conforme a Figura 25 do exemplo anterior, porém submetida a um momento torçor uniformemente distribuído.

Onde:

Momento torçor uniformemente distribuído (t) = 1,18 kN.m/m; G = 26 GPa. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 Rot açã o (ra d ) X (m) ϕanalitico ϕMEF

(53)

Para o exemplo em questão foram utilizadas 10 divisões de trechos na seção para o uso do MEF. De forma análoga aos segundo e quarto exemplos, o método numérico apresentou uma convergência exata em relação ao método analítico.

MEF 0,15926 0,00%

Fonte: Autor, 2019.

Gráfico 6 - Exemplo 6: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento distribuído.

Fonte: Autor,2019.

5.8 Exemplo 7

Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma extremidade engastada e outra livre, conforme a Figura 25 do Exemplo 5, porém submetida a um momento torçor linearmente distribuído.

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 Rot açã o (ra d ) ϕMEF ϕanalitico

(54)

53

Onde:

Momento torçor inicial (mt1) = 0,50 kN.m/m;

Momento torçor final (mt2) = 1,00 kN.m/m; G = 26 GPa.

Para este exemplo foram utilizadas 10 divisões de trechos na seção para o uso do MEF. De forma análoga ao exemplo com carregamento uniformemente distribuído, o método numérico apresentou uma convergência exata em relação ao método analítico.

MEF 0,112473 0,00%

Fonte: Autor, 2019.

Gráfico 7- Exemplo 7: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento linearmente distribuído. Fonte: Autor,2019. 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 Rot açã o (ra d ) φmef φanalitico

(55)

6- CONCLUSÃO

Este trabalho teve como motivação desenvolver um código computacional, utilizando o Método dos Elementos Finitos, para a análise de problemas relacionados à torção em barras de seção circular, tubos de paredes delgadas e seções retangulares. A partir dos conceitos teóricos desenvolvidos e dos exemplos apresentados, pode-se concluir que o código foi totalmente validado, uma vez que os resultados analíticos e numéricos convergiram totalmente, tanto para estruturas com carregamento concentrado quanto para o valor estruturas com carregamento distribuído.

Deve-se enfatizar que para os problemas de torção aqui apresentados são considerados elementos finitos unidimensionais que apresentam apenas uma variável de deslocamento por nó, o que resultou na precisão das respostas para a análise numérica. De fato, quando se considera problemas com estas características, a utilização do método não tem grande interesse prático devido à facilidade de utilização das formulações analíticas, porém esse desenvolvimento numérico serve como uma introdução à sua utilização em problemas mais complexos. Além disso, como o algoritmo apresenta resultados acurados, este se apresenta como uma forma rápida de checagem para desenvolvimentos de exemplos por meio analítico.

Assim sendo, como sugestão de continuidade deste trabalho, tem-se:

 Implementar no código a apresentação do cálculo dos esforços;

 A análise de problemas de barras compostas por mais de um material na sua seção transversal;

 A aplicação desse método numérico para os problemas de torção de Saint-Venant, considerando, além do deslocamento rotacional, as deformações longitudinais que ocorrem sobre as seções transversais das barras não circulares.

(56)

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7- REFERÊNCIAS

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MITTELBACH, F. R. Torção - Notas de aula. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2009.

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método dos elementos finitos. Trabalho de conclusão de curso. Universidade Federal do Rio

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