Principais tipos de resíduos utilizados na análise de diagnóstico em MLG com aplicações para os modelos: Poisson, ZIP e ZINB

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Francisco William Pereira Marciano

Principais tipos de resíduos utilizados na análise de

diagnóstico em MLG com aplicações para os

modelos: Poisson, ZIP e ZINB

Fortaleza – CE Setembro / 2009

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Principais tipos de resíduos utilizados na análise de

diagnóstico em MLG com aplicações para os

modelos: Poisson, ZIP e ZINB

Relatório final de atividades apresentado à Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação referente ao projeto de Iniciação Científica de mesmo tí-tulo, período2008/2009.

Orientadora:

Prof

a

. Dr

a

. Sílvia Maria de Freitas

Co-orientador:

Prof. Dr. Juvêncio Santos Nobre

UNIVERSIDADEFEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA EMATEMÁTICA APLICADA- DEMA

CURSO DEESTATÍSTICA

Fortaleza – CE Setembro / 2009

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AGRADECIMENTOS

A Deus e ao mestre Jesus, o primeiro pela oportunidade, saúde e disposição para realizar este trabalho, o segundo pelos ensinamentos deixados que procuro vivenciar em minha vida.

Ao CNPq, pelo suporte financeiro concedido.

À minha família, em especial aos meus pais, Moacir Marciano e Maria Pereira Marciano, pelo carinho, confiança e união indispensáveis nessa caminhada e por todo o suporte necessário para que eu chegasse até aqui.

À Profa. Dra. Silvia Maria de Freitas, pela orientação, paciência e ensinamentos repassados, sem a qual esse trabalho não seria possível; incentivadora e guia nos momentos de dificuldade, sem dúvida influenciou tomadas de decisões importantes em minha vida. Agradeço a confiança depositada em meu trabalho, visto os dois projetos de iniciação científica ao qual fui orientado.

Ao Prof. Dr. Juvêncio Santos Nobre, pela orientação, incentivo, colaboração e ensinamentos prestados, sem o qual a realização desse trabalho seria bem mais difícil.

Ao Prof. Dr. João Maurício Araújo Mota, pela colaboração no primeiro projeto de iniciação científica que serviu de suporte para a conclusão desse trabalho, além é claro, do incentivo e dos ensinamentos prestados nas disciplinas ao qual fui seu aluno.

Aos demais Professores e funcionários do Departamento de Estatística e Matemá-tica Aplicada que contribuíram na minha formação acadêmica.

Enfim, à todos os colegas e amigos do curso de Estatística que fizeram essa cami-nhada ser mais agradável.

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A distribuição de Poisson é muito utilizada para descrever dados de contagem. Uma importante propriedade dessa variável aleatória é a igualdade entre a média e variância. Em situações em que se tem uma variável resposta com dados de contagem e deseja-se estudar a relação com variáveis explicativas, uma escolha natural é o uso do modelo de regressão Poisson, que pertence à classe especial de Modelos Lineares Generalizados (MLG’s).

Na prática, não é raro encontrar conjuntos de dados de contagem que apresentem uma alta freqüência de valores “zero”, acima da freqüência esperada pelo modelo, fazendo com que a variância empírica (ou amostral) exceda à variância nominal do modelo - àquela assumida pela suposição da distribuição em estudo. Este fenômeno é conhecido na literatura como superdispersão, que no caso da distribuição Poisson, é chamada variação extra-Poisson (Var(Yi) = µφ), sendo φ > 0 o parâmetro que ocasiona a fonte extra de variabilidade, o

que pode causar sérios problemas como a subestimação do erro padrão dos estimadores e o conseqüente aumento do nível de significância.

Neste trabalho será abordado uma aplicação do Modelo Poisson padrão e dos Mode-los Inflacionados de Zeros para dados de contagem, Zero Inflated Poisson - ZIP e Zero Inflated Negative Binomial- ZINB, utilizando-se as técnicas dos MLG’s através de um conjunto de da-dos reais, onde algumas alterações foram implementadas no conjunto de dada-dos a fim de aplicar os modelos supracitados. Após a realização dos ajustes uma análise de diagnóstico é discutida para verificar possíveis transgressões aos ajustes dos modelos considerados juntamente com a análise gráfica para verificar a adequabilidade dos modelos em questão em relação a variável de interesse no estudo, o número de abelhas que coletam polens no decorrer do dia.

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SUMÁRIO

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Introdução p. 9

1 Modelos Lineares Generalizados p. 11

1.1 Introdução . . . p. 11 1.2 Modelos de Dispersão Exponencial . . . p. 11 1.2.1 A Família Exponencial de Distribuições . . . p. 12 1.2.2 A Família de Dispersão Exponencial de Distribuições . . . p. 13 1.3 O Modelo Linear Generalizado . . . p. 15 1.3.1 Modelagem Estatística . . . p. 15 1.3.2 Definição . . . p. 15 1.3.3 A medida de Deviance . . . p. 17 1.3.4 O Critério de Informação de Akaike - AIC . . . p. 19

2 Modelos para Dados de Contagem p. 20

2.1 Introdução . . . p. 20 2.2 O Modelo Poisson Padrão . . . p. 20 2.3 O Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP) . . . p. 21 2.4 O Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB) . . . p. 22

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3.2 Resíduos de Pearson . . . p. 25 3.3 Resíduos de Pearson estudentizados . . . p. 25 3.4 Resíduos Componentes do Desvio . . . p. 25 3.5 Resíduos Componentes do Desvio Estudentizados . . . p. 26 3.6 Tipos de Gráficos . . . p. 26 3.6.1 Gráfico de índices . . . p. 26 3.6.2 Resíduos versus valores ajustados . . . p. 26 3.6.3 Gráfico semi-normal de probabilidades (“half normal plots”) . . . p. 27 3.6.4 Gráfico normal de probabilidades (“normal plots”) com envelopes . . p. 27

4 Aplicação p. 28

4.1 Introdução . . . p. 28 4.2 Modelo Poisson . . . p. 28 4.3 Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP) . . . p. 30 4.4 Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB) . . . p. 33 4.5 Ajuste do 2o _{grau para os modelos Poisson, ZIP e ZINB . . . .} _{p. 36}

4.6 Ajuste do 3o grau para os modelos Poisson, ZIP e ZINB . . . p. 37

Considerações Finais p. 44

Referências p. 46

Apêndice p. 48

Apêndice A - Função para construção do envelope simulado Poisson . . . p. 48 Apêndice B - Resíduos de Pearson e Componentes do Desvio Estudentizados . . . p. 54 Modelo ZIP . . . p. 54 Modelo ZINB . . . p. 58

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LISTA DE FIGURAS

1 Valores observados e modelo ajustado Poisson . . . p. 29 2 Envelope simulado para os resíduos de Pearson no modelo Poisson . . . p. 30 3 Envelope simulado para os Componentes do Desvio no modelo Poisson . . . p. 30 4 Valores observados e modelo ajustado ZIP . . . p. 32 5 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZIP . . . p. 32 6 Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos de Pearson no

mo-delo ZIP . . . p. 32 7 Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo ZIP . p. 33 8 Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos Componentes do

Desvio no modelo ZIP . . . p. 33 9 Valores observados e modelo ajustado ZINB . . . p. 35 10 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZINB . . . p. 35 11 Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos de Pearson no

mo-delo ZINB . . . p. 35 12 Envelope simulado para os resíduos Componentes do Desvio para o modelo

ZINB . . . p. 36 13 Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos Componentes do

Desvio no modelo ZINB . . . p. 36 14 Valores observados e modelos 2o grau ajustados . . . p. 38 15 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo Poisson 2ograu . p. 39 16 Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo

Pois-son 2ograu . . . p. 39 17 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZIP 2ograu . . . . p. 39

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19 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZINB 2o_{grau . . .} _{p. 39}

20 Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo ZINB

2o_{grau . . . .} _{p. 39}

21 Valores observados e modelos 3o _{grau ajustados . . . .} _{p. 41}

22 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo Poisson 3ograu . p. 42 23 Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo

Pois-son 3o_grau _{. . . .} _{p. 42}

24 Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZIP 3ograu . . . . p. 42 25 Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo ZIP

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LISTA DE TABELAS

1 Distribuições pertencentes à família de dispersão exponencial . . . p. 14 2 Funções de ligação canônicas para algumas distribuições conhecidas . . . p. 17 3 Estimativas dos parâmetros do modelo Poisson e nível descritivo . . . p. 29 4 Estimativas dos parâmetros do modelo ZIP e nível descritivo . . . p. 31 5 Estimativas dos parâmetros do modelo ZINB e nível descritivo . . . p. 34 6 Estimativas dos parâmetros2o_{grau dos modelos Poisson, ZIP e ZINB e nível}

descritivo . . . p. 37 7 Estimativas dos parâmetros3o_{grau dos modelos Poisson, ZIP e ZINB e nível}

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INTRODUÇÃO

Uma etapa importante na análise do ajuste de um modelo de regressão é a verifi-cação de possíveis violações (falhas) das suposições feitas para o modelo, especialmente para a parte aleatória e para a parte sistemática do modelo, bem como a existência de observações extremas com alguma interferência desproporcional nos resultados do ajuste (Paula, 2004). As-sim como ocorre no modelo linear clássico de regressão, essa falhas também acontecem nos modelos lineares generalizados (MLG).

De acordo com Cordeiro e Demétrio (2007), o que acontece nos MLG’s, na prática, é uma combinação de diferentes tipos de falhas: falhas sistemáticas, ocasionadas pela violação do modelo (escolha inadequada da função de variância, da função de ligação e da matriz do modelo, ou ainda pela definição errada da escala da variável dependente ou das variáveis ex-planatórias) e falhas isoladas, causadas porque os pontos estão nos extremos da amplitude de validade da covariável, ou porque eles estão realmente errados como resultado de uma leitura errada ou uma transcrição mal feita, ou ainda porque algum fator não controlado influenciou a sua obtenção.

A análise de diagnóstico refere-se a um conjunto de procedimentos utilizados para realização de um “diagnóstico” das suposições associadas aos modelos em estudo, que teve início com Cox e Snell (1968), com a chamada análise de resíduos, utilizada para detectar a presença de pontos extremos e avaliar a adequação da distribuição proposta para a variável resposta. De uma forma geral, as técnicas usadas para análise de resíduos e diagnósticos para modelos lineares generalizados são semelhantes às utilizadas para modelos lineares clássicos, resguardadas as devidas adaptações.

O modelo de Poisson inflacionado de zeros (ZIP) e o modelo Binomial Negativo inflacionado de zeros (ZINB) estão descritos em Ridout, Demétrio e Hinde (1998), através de uma revisão sobre modelos que se ajustam a dados de contagem inflacionados de zeros. Todos estes modelos fazem parte, na realidade, de um conjunto de metodologia bem mais amplo, denominado Modelos Lineares Generalizados (Cordeiro, 1986; McCullagh & Nelder, 1989). O objetivo do trabalho é aplicar a metodologia dos (MLG’s) em um conjunto de dados reais, onde foram acrescidos zeros no conjunto de dados para contemplar os modelos a ser ajustados

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Introdução 10

e verificar o impacto desta característica de “excessos de zeros” na análise de diagnóstico dos modelos em estudo.

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1 MODELOS LINEARES

GENERALIZADOS

1.1 Introdução

Os Modelos Lineares Generalizados (MLG’s) são ferramentas poderosas na análise de dados onde o interesse é o estudo da relação entre uma variável resposta, medida em escala contínua ou discreta, em função de diferentes variáveis preditoras (quantitativas e/ou qualita-tivas). Ocorre em alguns casos que para se utilizar determinada metodologia de análise são requeridas algumas pressuposições que nem sempre são atendidas e que, portanto, o estatís-tico não pode negligenciar sob pena de incorrer em elevadas taxas de erros e inferências pouco confiáveis. No intuito de validar a metodologia proposta, os estatísticos utilizam a mudança adequada da escala da variável aleatória por meio de transformações nestes dados. Com o ad-vento dos MLG’s, os problemas com escalas foram bastante reduzidos. Na verdade, trata-se de uma extensão dos modelos lineares, desenvolvida por Nelder e Wedderburn (1972), para dados não normalmente distribuídos. Esta metodologia motiva-se no fato que os efeitos sistemáti-cos são linearizados por uma transformação adequada dos valores esperados, permitindo aos valores ajustados variarem dentro da amplitude real das respostas.

1.2 Modelos de Dispersão Exponencial

Os Modelos Lineares Generalizados são restritos a membros de uma particular fa-mília de distribuições que tem ótimas propriedades estatísticas. Na realidade, esta restrição surge por puras razões técnicas: o algoritmo numérico, IWLS (Interated Weighted Least Squa-res) usado para estimação, somente funciona dentro desta família. Com o desenvolvimento computacional dos últimos anos, esta limitação seria facilmente ultrapassada; no entanto, ne-nhum software, para uma família maior de modelos de regressão, está sendo atualmente distri-buído. Agora trataremos mais especificamente desta família.

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1.2 Modelos de Dispersão Exponencial 12

1.2.1 A Família Exponencial de Distribuições

Considere um conjunto de variáveis repostas aleatórias e independentes, Zi (i =

1, · · · , n) e que a função de probabilidade, no caso discreto, ou função densidade de probabili-dade, no caso contínuo, pode ser escrito da seguinte maneira

f (zi;ξi) = r(zi)s(ξi)exp[t(zi)u(ξi)]

= exp[t(zi)u(ξi)+ v(zi)+ w(ξi)] (1.1)

comξ_i um parâmetro de localização indicando a posição onde a distribuição varia dentro do in-tervalo dos valores possíveis da resposta. Qualquer distribuição que pode ser escrita deste modo é dita membro da família exponencial uniparamétrica. Note a dualidade do valor observado,zi,

da variável aleatória e o parâmetro,ξi.

A forma canônica para a variável aleatória, o parâmetro, e a família é obtida por fazer y = t(z) e θ = u(ξi). Se essas forem transformações 1 a 1, elas simplificam, mas não

muda fundamentalmente o modelo que agora torna-se

f (yi;θi)= exp[yiθi−b(θi)+ c(yi)] (1.2)

ondeb(θi) é a constante de normalização da distribuição. Agora, Yi(i= 1, · · · , n) é um conjunto

de variáveis aleatórias independentes com médiasµi, onde podemos escrever que yi = µi+ i.

Exemplos:

Duas das distribuições discretas mais conhecidas são incluídas nesta família. 1. Distribuição Poisson

f (yi;µi) =

µiyie−µi

yi!

= exp[yilog(µi) −µi− log(yi!)]

ondeθi = log(µi), b(θi)= exp(θi), e c(yi)= − log(yi!).

2. Distribuição Binomial f (yi;µi) = ni yi ! πiyi(1 −πi)ni −_y_i = exp " yilog π i 1 −πi + nilog(1 −πi)+ log ni yi !# ondeθ_i = log πi 1−πi

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1.2.2 A Família de Dispersão Exponencial de Distribuições

A família exponencial pode ser generalizada por incluir um parâmetro de escala (constante), em geralφ, na distribuição tal que

f (yi;θi, φ) = exp

" yiθi−b(θi)

ai(φ) + c(yi, φ)

#

(1.3) ondeθ_itambém é a forma canônica do parâmetro de localização, alguma função da médiaµ_i. Exemplos:

Duas das distribuições contínuas mais conhecidas são incluídas nesta família. 1. Distribuição Normal f (yi;µi, σ2) = 1 √ 2πσ2exp " −(yi −µ_i₎2 2σ2 # = exp (" yiµi− µi2 2 # 1 σ2 − yi2 2σ2 − 1 2log(2πσ 2₎ )

ondeθ_i = µ_i, b(θ_i)= θi2/2, ai(φ) = σ2, e c(yi, φ) = −[yi2/φ + log(2πφ)]/2.

2. Distribuição Gama f (yi;µi, ν) = ν µi !ν yiν−1e −νyi µi Γ(ν) = exp (" −yi µi − log(µi ) #

ν + (ν − 1) log(yi)+ ν log(ν) − log[Γ(ν)]

)

ondeθ_i = −1/µ_i, b(θ_i)= − log(−θi), ai(φ) = 1/ν, e c(yi, φ) = (ν − 1) log(yi)+ ν log(ν) −

log[Γ(ν)].

Note que os exemplos acima para a família exponencial também são membros da família de dispersão exponencial, com ai(φ) = 1. Com φ conhecido, esta família pode ser

tomada como um caso especial da família exponencial uniparamétrica; yi é então a estatística

suficiente paraθ_i em ambas as famílias.

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1.2 Modelos de Dispersão Exponencial 14

Tabela 1: Distribuições pertencentes à família de dispersão exponencial

Distrib uição φ θ b( θ ) c( y, φ ) Normal: N( µ, σ 2 ) σ 2 µ σ 2 ₂ − 1 2 " y 2 + 2_σ log(2 πσ 2 ) # Poisson: P( µ ) 1 log µ e θ − log y! Binomial: B( n, π ) 1 log π 1 − π n log[1 + e θ ] log n y ! Binomial Ne g ati v a: BN( µ, k ) 1 log µ µ + k ! − k log(1 − e θ ) log " Γ( k + y) Γ( k) y! # Gama: G( µ, ν) ν − 1 − 1 µ − log( −θ ) (ν − 1) log( yi )+ ν log( ν) − log[ Γ( ν)] Normal In v ersa: IG( µ, σ 2 ) σ 2 − 1 2_2µ − ( − 2θ ) 1 2 − 1 2 " log(2 πσ 2 y 3 )+ 1 2_yσ # FONTE: Cordeiro e Demétrio (2007)

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1.3 O Modelo Linear Generalizado

1.3.1 Modelagem Estatística

Modelos matemáticos são uma representação simplificada da realidade, sendo bas-tante explorados com o desenvolvimento científico e tecnológico. Como Box já falara: “todos os modelos são errados, mas alguns são úteis”, ratifica que não se deve acreditar que um mo-delo seja verdadeiro, embora muito da inferência estatística teórica seja baseada somente nesta suposição. Os modelos matemáticos podem ser determinísticos ou probabilísticos. Quando eles envolvem uma componente probabilística, eles são chamados de modelos estatísticos.

A classe de modelos mais importante na atualidade, incluem os Modelos Lineares Generalizados, assim chamados por generalizarem o modelo linear clássico baseado na distri-buição normal. Esta generalização apresenta dois aspectos: diferente da regressão linear, esses modelos podem envolver uma variedade de distribuições selecionadas de uma família especial, a família dos modelos de dispersão exponencial, onde envolvem transformações da média, atra-vés do que chamamos de “função de ligação”, ligando a parte regressora a média de uma dessas distribuições.

1.3.2 Definição

Os modelos lineares generalizados podem ser definidos a partir de uma única va-riável de interesse Y e a respectiva associação com outras variáveis, chamadas de variáveis exploratórias x1, · · · , xn. Desta forma, para n observações de uma amostra, o modelo linear

generalizado envolve três componentes:

1. Componente aleatório: OsYi (i= 1, · · · , n) são variáveis aleatórias independentes com

médiasµi. Elas compartilham da mesma distribuição pertencendo a família de dispersão

exponencial dada por (1.3), ou seja,

E(Yi)= µi, i = 1, · · · , n,

sendo φ > 0 um parâmetro de dispersão e o parâmetro θi denominado de parâmetro

canônico. As funçõesb(.) e c(.) são conhecidas e podemos obter a E(Yi) e Var(Yi) como

segue abaixo:

E(Yi)= µi = b 0

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1.3 O Modelo Linear Generalizado 16

e

Var(Yi)= φb 00

(θi)= φVi,

em que Vi = V(µi) = dµi/dθi é denominada de função de variância e depende

unica-mente da médiaµ_i. A família exponencial de distribuições desempenha um papel impor-tante na teoria dos MLG’s uma vez que ela permite incorporar dados que exibem assime-tria, dados de natureza discreta ou contínua e dados que são restritos a um intervalo do conjunto dos reais, como o intervalo(0, 1).

2. Componente sistemático: A estrutura linear do modelo é composta pelas variáveis ex-plicativas que entram na forma de uma soma linear de seus efeitos, ou seja

ηi = p

X

r=1

xirβj = xt_iβ ou η = Xβ, (1.4)

sendoX= (x1, · · · , xn)ta matriz de delineamento do modelo,β = (β1, · · · , βp)to vetor de

parâmetros eη = (η1, · · · , ηn)to preditor linear. Se um parâmetro tem valor conhecido, o

termo correspondente na estrutura linear é chamado offset.

3. Função de ligação: Seθi = ηi nossa definição de modelo linear generalizado está

com-pleta. Contudo, a generalização para transformações não canônicas da média requer um componente adicional se a estrutura linear é rejeitada.

O relacionamento entre a média da i-ésima observação e o preditor linear serão dados por uma função de ligação, gi(·):

ηi = gi(µi)

= xt iβ

Esta função deve ser monotônica e diferenciável. Geralmente a mesma função de ligação é usada para todas as observações. Desta forma, a função de ligação canônica é a função que transforma a média para um parâmetro de localização canônico de um membro da família de dispersão exponencial.

Com a função de ligação canônica, todos os parâmetros desconhecidos da estrutura linear apresenta estatística suficiente se a distribuição da resposta é um membro da família de dispersão exponencial e o parâmetro de escala for conhecido. Contudo, a função de liga-ção é somente um artifício para simplificar os métodos numéricos de estimaliga-ção quando um modelo envolve uma parte linear, isto é, permitir que o algoritmo IWLS funcione. Para modelos de regressão não-linear ela perde o significado (Lindsey, 1974b).

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Tabela 2: Funções de ligação canônicas para algumas distribuições conhecidas Distribuição Função de ligação canônica

Normal Identidade:η = µ

Poisson Logarítmica:η = log µ

Binomial Logística:η = log_1−ππ = log _n−µµ

Gama Recíproca:η = _µ1

Normal Inversa Recíproca do quadrado: η = _µ12

FONTE: Cordeiro e Demétrio (2007)

Como podemos perceber pelo exposto, para especificarmos o MLG, os parâmetros θida família de distribuições (1.3) não são de interesse direto (pois há um para cada observação)

mas sim um conjunto menor de parâmetrosβ1, · · · , βp tais que uma combinação linear dosβ0s

seja igual a alguma função do valor esperado deYi.

1.3.3 A medida de Deviance

No processo de seleção de um modelo, uma série de modelos de regressão estarão sob consideração. É útil introduzir uma terminologia para descrever as várias possibilidades que podem ser levadas em consideração.

Modelo Saturado ou Completo: O modelo tem n parâmetros especificados pelas médias µ1, · · · , µn linearmente independentes. Como o modelo atribui toda a variação dos dados ao

componente sistemático, ele ajusta-se perfeitamente, reproduzindo os próprios dados, no en-tanto, de difícil interpretação.

Modelo Nulo: Este modelo tem um valor médio comum para todas as observações. É o modelo mais simples, no entanto, não representa adequadamente a estrutura dos dados.

Modelo Maximal: Neste caso, temos o maior e mais complexo modelo a ser considerado. Ele inclui o maior número de termos que pode ser considerado.

Modelo Minimal: Este modelo contém o menor número de termos necessário para o ajuste; por exemplo, marginais fixa para uma tabela de contingência.

Modelo Corrente ou Sob Pesquisa: Este modelo está entre os modelos maximal e minimal e é o modelo que está sob investigação.

Levando em consideração os vários modelos possíveis, verificamos que o modelo nulo é simples demais e o modelo saturado não é informativo, pois não resume os dados, sim-plesmente os repete. Nesse ponto, o problema é determinar a utilidade de um parâmetro extra

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1.3 O Modelo Linear Generalizado 18

no modelo corrente (sob pesquisa) ou, então, verificar a falta de ajuste induzida pela omissão dele. Para avaliar os modelos é necessário introduzir medidas de discrepância para medir o ajuste de um modelo. Nelder e Wedderburn (1972) propuseram, como medida de discrepância, a “deviance” (traduzida como desvio por Cordeiro (1986)), com expressão dada por:

Sp= 2(ˆln−ˆlp),

onde ˆln e ˆlp são os máximos do logaritmo da função de verossimilhança para os modelos

sa-turado e corrente (sob pesquisa), respectivamente. Podemos observar que o modelo sasa-turado serve como base de medida do ajuste de um modelo sob pesquisa (modelo corrente). O loga-ritmo da função de verossimilhança como função apenas deβ (considerando-se o parâmetro de dispersãoφ conhecido) dado um vetor y, usando-se a expressão (1.3) tem-se:

ˆln = 1 φ n X i=1 [yiθ˜i−b( ˜θi)]+ 1 φ n X i=1 c(yi, φ) e ˆlp = 1 φ n X i=1 [yiθˆi−b( ˆθi)]+ 1 φ n X i=1 c(yi, φ),

sendo ˜θ_i = q(y_i) e ˆθi = q(µi) as estimativas de máxima verossimilhança do parâmetro canônico

sob os modelos saturado e corrente, respectivamente. Desta forma, temos que

Sp = Dp φ = 2 φ n X i=1 [yi( ˜θi−θˆi)+ b( ˆθi) − b( ˜θi)], (1.5)

onde Sp e Dp são denominados de desvio escalonado e desvio, respectivamente. O desvio é

definido apenas como função dos dadosy e das médias ajustadas ˆµ. O desvio escalonado pode ainda ser expresso como segue

Sp = 1 φ n X i=1 di2,

sendo quedi2 mede a discrepância dos logaritmos das funções de verossimilhança observada

e ajustada, para cada observação i, sendo denominado de componente do desvio. Podemos verificar que o desvio equivale a uma constante menos duas vezes o máximo do logaritmo da função de verossimilhança para o modelo corrente, isto é,

Sp = 2ˆln− 2ˆlp = constante − 2ˆlp.

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em (Jorgensen, 1987) o seguinte resultado para a distribuição nula da função desvio pode ser utilizado:

Sp ∼χ2n−p, quando φ → ∞.

Isto quer dizer, que quando a dispersão é pequena, é razoável comparar os valores deSp com

os percentis daχ2_n−p. Lembrar que aE(χ2_k)= k, isso significa que o valor do desvio próximo de (n − p) pode ser uma indicação de que o modelo está bem ajustado.

1.3.4 O Critério de Informação de Akaike - AIC

O Critério de Informação de Akaike (Akaike, 1974) é uma medida da qualidade do ajuste de um modelo estatístico estimado. Ele é baseado no conceito de entropia e fornece uma medida relativa da informação perdida na adoção de um determinado modelo. De uma forma geral o AIC é dado por:

AIC= 2k − 2 log(L),

ondeK é o número de parâmetros no modelo e L é o valor máximo da função de verossimilhança para o modelo estimado.

Algumas considerações devem ser feitas a respeito do AIC. Segundo (Basso, 2009), muitos autores, como por exemplo (Celeux e Soromenho, 1996), comentam que o AIC é incon-sistente em ordem, e neste caso, tende a superestimar a dimensão do modelo, isso quer dizer no caso de misturas, que o AIC tende a selecionar modelos com um número de componentes maior que o verdadeiro. Apesar disso, esse critério tem sido muito utilizado na prática para determinar a ordem de uma mistura.

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2 MODELOS PARA DADOS DE

CONTAGEM

2.1 Introdução

Em muitas áreas do conhecimento científico é frequente deparar-se com a investi-gação de características, feitas em unidades experimentais, que apresentem resultados de con-tagem. Por exemplo: o número de insetos que podem aparecer em uma determinada plantação (Entomologia); o número de sinistros associados a uma carteira de seguros (Atuária); etc. Da-dos deste tipo são denominaDa-dos, em Estatística, como daDa-dos discretos, pois são expressos em termos de contagem associados a uma característica de interesse. Em geral, dados desta na-tureza são modelados, dentro da metodologia Estatística, usando-se a distribuição Poisson. A ocorrência de excessos de zeros em dados de contagem é um fato bastante comum nas variadas áreas do conhecimento, ocorrida devido a uma combinação de zeros estruturais e amostrais. Os zeros estruturais são independentes da distribuição em estudo, e os zeros amostrais estão re-lacionados a ocorrência de zeros devido o modelo probabilístico adotado, segundo Nagamine, Candolo e Moura (2008). Os modelos inflacionados de zeros surgem como alternativas ao mo-delo Poisson, misturando uma distribuição de probabilidade discreta com uma distribuição que leve em conta o excesso de zeros. Desta forma, o modelo Poisson inflacionado de zeros (ZIP) e o modelo Binomial Negativo inflacionado de zeros (ZINB) surgem como alternativas na mo-delagem de dados de contagem, com excesso de zeros, na tentativa de modelar a variabilidade presente.

2.2 O Modelo Poisson Padrão

Suponha que, para dados Poisson, nos quais se temyi observações da característica

de interesse que acontecem a uma taxa médiaλide ocorrência de tempo (espaço, área, volume,

(22)

ocorrências da característica é: P(Yi = yi)= e−λ_i_λ iyi yi! , yi ∈ {0, 1, 2, · · · } (2.1) E(Yi)= λi = Var(Yi).

A regressão Poisson é uma forma de análise de regressão usada para modelar dados de contagem e tabelas de contingência. A regressão Poisson assume que a variável resposta Y tem uma distribuição Poisson, e assume o logaritmo do valor esperado ser modelado por uma combinação linear de parâmetros desconhecidos. O modelo de regressão Poisson é tam-bém conhecido como modelo log-linear, principalmente quando usado para modelar tabelas de contingência, na verdade, ele é um caso especial dos modelos log-lineares.

No caso mais simples com uma única variável independentex, o modelo é da se-guinte forma:

log{E(Y)}= a + bx. (2.2)

SeYi são observações independentes com valores xi correspondendo as variáveis

preditoras, entãoa e b podem ser estimados por máxima verossimilhança se o número de valores x distintos é pelo menos dois. As estimativas de máxima verossimilhança não possuem uma expressão de forma fechada e devem ser encontradas por procedimentos numéricos.

Os modelos de regressão Poisson são modelos lineares generalizados com o loga-ritmo como a função de ligação canônica, e a função de distribuição Poisson, já que na forma da família exponencial o modelo Poisson possui o parâmetro natural como sendoθi = log(λi),

definindo então a função de ligação canônicag(λi)= log(λi).

2.3 O Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP)

Quando nos deparamos com um número excessivo de zeros, a solução mais comum é a de estimarmos um modelo que misture a Poisson com uma distribuição que leve em conta o excesso de zeros. Desta forma, tem-se a hipótese que, com probabilidadep a variável resposta assume o valor zero e com probabilidade(1 − p) assume o valor de uma variável aleatória com distribuição Poisson de médiaλ.

Segundo Lambert (1992), o modelo Poisson Inflacionado de Zeros considera que alguns zeros, os zeros estruturais, ocorrem com probabilidade pi e os zeros amostrais, com

(23)

2.4 O Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB) 22

probabilidade1 − pie denotam o Modelo Poisson Inflacionado de Zeros como segue:

P(Yi = yi)=          pi+ (1 − pi)e−λ, yi = 0 (1 − pi)e −_λi λiyi yi! , yi > 0 (2.3)

O parâmetropitem a restrição0< pi < 1. A esperança e a variância de Yisão, respectivamente,

E(Yi)= (1 − pi)λi eVar(Yi)= µi+ [pi/(1 − pi)]µi2.

Podemos observar que a variância da mistura é maior que a média da distribuição. Quanto maior a probabilidade do excesso de zeros, maior a variância da variável. À medida quep se aproxima de zero, a variância se aproxima deµ, ou seja, voltamos a lidar somente com uma distribuição Poisson padrão.

A inclusão de covariáveis no modelo ZIP e a aplicação da teoria dos modelos linea-res generalizados é feita com a definição das funções de ligação logarítmica e logística segundo Lambert (1992), isto é, log(λi)= Xiβ e log pi 1 − pi ! = Giγ (2.4)

ondeX e G são as matrizes associadas às covariáveis, que podem ser, ou não, iguais, eβ e γ são os vetores de parâmetros do modelo tal quepi = (p1, · · · , pn)teλi = (λ1, · · · , λn)t.

2.4 O Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB)

Suponha um experimento aleatório, onde apenas dois resultados são possíveis: su-cesso ou fracasso. Considere ainda que a probabilidade de susu-cesso ép e que a probabilidade de fracasso é q = 1 − p. Se consideramos que o experimento ocorre indefinidamente e que os ensaios são independentes, então a variável aleatória correspondendo ao número de repeti-ções (ensaios) até que ok-ésimo sucesso ocorra segue uma distribuição Binomial Negativa de parâmetros BN(p,k).

Muitas parametrizações são utilizadas para escrever a distribuição Binomial Nega-tiva, porém, utilizaremos a notação de Nelder e Wedderburn (1972), ondep= _k+µk ,0< p < 1 e k−1_{é o parâmetro de dispersão,}_k_{> 0. Desta forma, a distribuição de probabilidade da Binomial}

Negativa de parâmetros BN(p,k) é dada por: P(Y= y) = y+ k − 1 y ! k k+ µ !k µ k+ µ !y , y = 0, 1, 2, · · · (2.5)

(24)

Considerando uma distribuição de probabilidade binomial negativa Y, como a ci-tada em (2.5), segue que a média é dada porE(Y)= µ e a variância é dada por Var(Y) = µ+µ_k2, segundo Paula (2004). É interessante observar que a variância da binomial negativa apresenta um termo adicional µ_k2, comparativamente com a variância da distribuição Poisson, sendo bas-tante útil no ajuste de conjunto de dados com superdispersão. A distribuição Binomial Negativa aproxima-se da distribuição Poisson quandok−1_{→ 0 (Cameron e Trivedi (1998)).}

O modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB) surge como alternativa para dados de contagem com excesso de zeros, já que a superdispersão devida a esse excesso pode causar sérios problemas como a subestimação dos erros padrão dos estimadores e o conse-quente aumento do p-valor associado aos parâmetros do modelo, produzindo inferências pouco confiáveis.

A distribuição ZINB surge como uma mistura da distribuição Binomial Negativa e uma distribuição que leve em conta o excesso de zeros, sendo portanto, degenerada nesse ponto. A notação usada por Yau et al. (2003), mostra que o modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros pode ser escrito como segue:

P(Yi = yi)=            pi+ (1 − pi) k k+µi k , yi = 0 (1 − pi) yi+k−1_y_i k k+µi k µ_i k+µi yi , yi > 0 (2.6)

sendo queµ_i é a média da distribuição Binomial Negativa com parâmetros(pi, k). Novamente,

para o parâmetropi existe a restrição de que0 < pi < 1 e (1 − pi) representa a probabilidade

de zeros amostrais. A esperança e a variância de Yi são dadas respectivamente por, E(Yi) =

(1 − pi)µieVar(Yi)= (1−pi)(1+µi/k+piµi)µi. Segundo Montoya (2009), a distribuição ZINB

aproxima-se da ZIP quando k → 0 e aproxima-se da binomial negativa quando pi → 0. Se

ambas 1_k epiconvergem para zero, então a distribuição ZINB é reduzida à distribuição Poisson

padrão. Assim como no modelo ZIP, as funções de ligação são a logarítmica e a logística, isto é, log(µi)= Xiβ e log pi 1 − pi ! = Giγ (2.7)

ondepi e µi denotam os vetores de parâmetros modelados pelas funções acima, sendo dados

(25)

24

3 PRINCIPAIS TIPOS DE RESÍDUOS

UTILIZADOS EM MLG’S

3.1 Introdução

Quando um modelo é ajustado a um conjunto de dados, uma etapa que merece bastante atenção é a verificação de possíveis afastamentos das suposições feitas para o modelo, levando-se em consideração a parte aleatória e sistemática do modelo, assim como verificar a presença de observações com alguma influência desproporcional nos resultados do ajuste.

A análise de diagnóstico, esta etapa importante da análise de regressão, começou com a análise de resíduos para detectar possíveis pontos extremos e avaliar a adequação da distribuição proposta para a variável resposta. Assim como no modelo clássico de regressão, as técnicas usadas para análise de resíduos e diagnóstico para os modelos lineares generalizados são semelhantes, com uma ou outra adaptação, devido a estrutura dos MLG’s.

Os resíduos são importantes dentro da análise de diagnóstico, uma vez que eles ajudam a detectar observações discrepantes que merecem uma análise mais detalhada. Segundo Cox e Snell (1968), os resíduos devem expressar uma discrepância entre a observaçãoyie o seu

valor ajustadoµˆi, sendo dado por:

Ri = hi(yi, ˆµi) (3.1)

ondehié conhecida e de fácil interpretação.

A matriz de projeçãoH, nos modelos lineares generalizados é definida por:

H= W1/2X(XTWX)−1XTW1/2 (3.2)

Observe queH depende das variáveis explicativas, da função de ligação e da função de

vari-ância, tornando mais difícil a interpretação da medida de “leverage”. Esta matriz desempenha um papel importante na análise dos resíduos nos MLG’s e apresenta as seguintes propriedades tr(H)= p e 0 ≤ hii ≤ 1.

(26)

3.2 Resíduos de Pearson

Dentre os tipos de resíduos mais comuns nos MLG’s, encontra-se o resíduo de Pearson, que é também o mais simples, sendo definido por:

riP =

yi− ˆµi

ˆ

V_i1/2 (3.3)

ondeµˆie ˆVisão respectivamente a média ajustada e a função de variância ajustada deYi.

Este resultado surge como uma componente da estatística de Pearson generalizada Xp2 = Pni=1riP

2

, segundo Cordeiro e Demétrio (2007). Para os modelos log-lineares a expressão (3.3) passa a ser dada por:riP = (yi− ˆµi) ˆµ−1/2_i . A desvantagem do resíduo de Pearson é que sua

distribuição é bastante assimétrica para modelos não-normais.

3.3 Resíduos de Pearson estudentizados

riP

0

= yi− ˆµi pV( ˆµi)(1 − hii)

, (3.4)

ondehii é oi-ésimo elemento da diagonal da matriz de projeção ortogonal dada em (3.2). Os

resíduos de Pearson estudentizados têm, aproximadamente, variância igual a um quando o pa-râmetro de dispersãoφ → 0 dado em (1.3).

3.4 Resíduos Componentes do Desvio

Um outro tipo de resíduo muito utilizado dentro da metodologia dos MLG’s, é o resíduo componente do desvio, definido como a raiz quadrada da diferença entre as log-verossimilhanças sob o modelo saturado e o modelo corrente para cada uma das observações, com sinal dado pelo sinal deyi− ˆµi, ou seja,

riD = sinal(yi− ˆµi)

q

2(ˆlsat−ˆlcor), (3.5)

onde ˆlsate ˆlcor são as log-verossimilhanças sob o modelo saturado e corrente, respectivamente,

para cada observaçãoi.

Como podemos observar, o resíduoriDrepresenta uma distância da observaçãoyiao

(27)

3.5 Resíduos Componentes do Desvio Estudentizados 26

Demétrio (2007) citam como vantagens do resíduo (3.5) o fato de não requerer o conhecimento da função normalizadora; a computação simples após o ajuste do MLG e o fato de ser definido para toda observação e, mesmo para observações censuradas, desde que estas forneçam uma contribuição para o logaritmo da função de verossimilhança.

3.5 Resíduos Componentes do Desvio Estudentizados

Os resíduos componentes do desvio estudentizados são definidos a partir de (3.5), como segue abaixo:

riD 0 = riD √ 1 − hii , (3.6)

ondehiié oi-ésimo elemento da diagonal da matriz de projeção ortogonal dada em (3.2).

Os resíduos aqui apresentados são os mais utilizados nas aplicações dos MLG’s, juntamente com os resíduos de Anscombe, no entanto, no contexto do presente trabalho, os resíduos de Pearson e Componentes do Desvio assim como os referidos resíduos estudentizados para ambos, mostram-se bastante úteis nas aplicações de dados de contagem com excesso de zeros, foco do trabalho e portanto utilizados aqui.

Diversas técnicas analíticas e gráficas podem ser utilizadas para detectar desvios do modelo sob pesquisa, uma vez que estamos de posse dos resíduos e que possivelmente definimos uma distribuição teórica adequada para eles.

3.6 Tipos de Gráficos

Basicamente utilizamos três tipos de gráficos para análise dos resíduos, a saber:

3.6.1 Gráfico de índices

Gráfico utilizado para localizar observações com resíduo, “leverage” (hii), distância

de Cook modificada etc, grandes. Pode ser útil na detecção de observações que destoam da tendência geral das demais observações, indicando um possível “outlier”.

3.6.2 Resíduos versus valores ajustados

Muito utilizado para verificar a constância de variância (McCullagh e Nelder, 1989) para a distribuição em uso, e em geral se utiliza algum tipo de resíduo estudentizado. O que

(28)

se espera é que o gráfico apresente a distribuição dos resíduos em torno de zero com amplitude constante, onde desvios sistemáticos podem ter algum tipo de curvatura ou uma amplitude muito diferente com o valor ajustado.

3.6.3 Gráfico semi-normal de probabilidades (“half normal plots”)

A construção do gráfico semi-normal de probabilidades é o resultado do conjunto de pontos obtidos por valores absolutos de um quantil amostral versus os valores do quantil correspondente da distribuição normal (zi) em quezi = Φ−1(i+ n − 0, 125)/(2n + 0, 5).

3.6.4 Gráfico normal de probabilidades (“normal plots”) com envelopes

Weisberg (2005) analisa que o gráfico normal de probabilidades destaca-se por dois aspectos: a identificação da distribuição originária dos dados e a identificação de valores que se destacam no conjunto de observações. Os envelopes, no caso dos MLG’s com distribuições diferentes da normal, são construídos com os resíduos sendo gerados a partir do modelo ajustado (Williams, 1987).

(29)

28

4 APLICAÇÃO

4.1 Introdução

Os dados considerados nesta seção foram retirados da dissertação de Rômulo Au-gusto Guedes Rizzardo de2007 através de um estudo realizado na área de apicultura com o intuito de verificar o número de abelhas que polinizam determinada espécie de planta no de-correr do tempo. Para isso, foram realizadas quatro coletas em um intervalo de tempo variável segundo a hora do dia. Os horários de coletas considerados foram: 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 18 horas, perfazendo um total de36 observações. Os dados foram ajustados utilizando os Modelos Lineares Generalizados para dados de contagem com distribuição Poisson, Binomial Negativo inflacionado de zeros (ZINB) e Poisson inflacionado de zeros (ZIP), sendo considerada como variável resposta o número de abelhas coletando polens.

4.2 Modelo Poisson

Inicialmente propomos um modelo Poisson em que o número de abelhas coletando polens na i-ésima hora e j-ésima repetição éYi j ∼Poisson(λi), em que

log(λi)= α + βhorai (4.1)

parai = 1, 2, · · · , 9. Ajustando um modelo linear generalizado com apoio computacional do R, o ajuste do modelo forneceu uma Deviance de518.73 com 34 graus de liberdade, indicando fortes indícios de superdispersão ocasionado possivelmente pelo excesso de zeros. A sintaxe usada para obter os resultados acima no programa R é dada abaixo:

require(MASS)

mlg.poisson=glm(abelhas1~hora1,family=poisson()) summary(mlg.poisson)

(30)

Os resíduos nas figuras (2) e (3) podem ser obtidos diretamente da função glm() no programa R, cuja sintaxe é dada abaixo:

res_pearson=resid(mlg.poisson,type="pearson")*sqrt(fi*(1-h)) res_cd=resid(mlg.poisson,type="deviance")*sqrt(fi*(1-h))

onde f i é o parâmetro de dispersão do modelo ajustado e h são os elementos da diagonal da matriz dada em (3.2).

A Tabela (3) apresenta as estimativas dos parâmetros do modelo Poisson e as res-pectivas significâncias.

Tabela 3: Estimativas dos parâmetros do modelo Poisson e nível descritivo Parâmetros Estimativa Erro Padrão Valorz P(> |z|)

α 3, 14 0, 11 28, 04 < 2 × 10−16 β −0, 08 0, 01 −6, 73 1, 71 × 10−11 ● ● ● ● ●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 6 8 10 12 14 16 18 0 10 20 30 Horas Número de Abelhas Observado Ajustado

(31)

4.3 Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP) 30 ● ● ● ● ● ●●● ●●●●● ●● ●●●●● ● ●●●● ● ● ● ●●● ● ●● ● ● −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 4 6

Quantil da Normal Padrão

Resíduo de Pearson Padronizado

Figura 2: Envelope simulado para os resíduos de Pearson no modelo Poisson

● ● ● ● ● ● ●● ●● ●●● ●● ●●●● ●● ●●●● ● ●● ●●● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 4

Resíduo Componente do Desvio

Figura 3: Envelope simulado para os Componentes do Desvio no modelo Poisson

Através da Figura (1) acima, verificamos que o ajuste não é muito bom. Ao analisar-mos a Tabela (3) constaanalisar-mos que os parâmetros do modelo ajustado são altamente significativos, no entanto, quando observamos a Deviance nula de567, 14 com 35 graus de liberdade, corres-pondendo ao modelo com apenas um parâmetro, ou seja,α, já podemos suspeitar da diferença muito grande.

O valor da Deviance residual foi de518.73 com 34 graus de liberdade, evidenciando um ajuste não muito adequado, apesar da redução de48, 41 com relação ao modelo nulo. Esse fato é ocasionado possivelmente pela presença de superdispersão, devido ao excesso de zeros, o que podemos constatar nas Figuras (2) e (3) através do envelopes simulado Poisson.

Podemos constatar também, uma outra medida da qualidade do ajuste, o AIC, que mede o grau de informação que se perde ao adotar determinado modelo, desta forma, quanto menor o AIC, melhor o ajuste. Para o modelo ZIP em questão, o Critério de Informação de Akaike (AIC) foi de 629, 42. De posse dessas informações, modelos alternativos devem ser considerados afim de melhor acomodar a extra variabilidade presente nos dados.

4.3 Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP)

Na tentativa de controlar esse efeito de excesso de zeros, um modelo Poisson In-flacionado de Zeros foi ajustado também com o auxilio computacional do R onde o ajuste do modelo forneceu uma log-verossimilhança de −91.54 em 68 graus de liberdade, indicando um

(32)

ajuste mais adequado, onde temos um modelo ZIP em que o número de abelhas coletando po-lens na i-ésima hora e j-ésima repetição é dado por:

log pi 1 − pi

!

= α1+ β1horai (4.2)

onde (4.2) corresponde a função de ligação que modela a proporção de zeros.

log(λi)= α2+ β2horai (4.3)

onde (4.3) corresponde a função de ligação que modela as observações provenientes da Poisson. Uma função interessante no programa R que ajusta o modelo ZIP e a sintaxe utili-zada para obter os resultados da modelagem é descrita a seguir:

require(VGAM)

ajuste_zip = vglm(abelhas1 ~ hora1, zipoisson, trace=TRUE) summary(ajuste_zip)

AIC(ajuste_zip)

Tabela 4: Estimativas dos parâmetros do modelo ZIP e nível descritivo Parâmetros Estimativa Erro Padrão Valor t P(> |t|)

α1 164, 71 422, 60 0, 04 0, 48

α2 5, 13 0, 15 34, 40 < 2 × 10−16

β1 −29, 95 76, 60 −0, 04 0, 48

β2 −0, 24 0, 02 −15, 03 < 2 × 10−16

Podemos constatar pela Figura (4) que o modelo ZIP ajustou-se bem aos dados, quando comparado com o ajuste Poisson padrão. Verificamos através da Tabela (4) que os parâ-metros relacionados a modelagem da proporção de zeros não são significativos a5%, enquanto os parâmetros relacionados as observações provenientes da Poisson são altamente significativos. As estimativas dos parâmetros do modelo relacionada a Poisson quando comparadas com o modelo Poisson padrão são ligeiramente diferentes, e uma observação interessante está no erro padrão dos estimadores desses parâmetros, verificamos que no modelo ZIP o erro padrão é ligeiramente superior ao erro padrão do modelo Poisson padrão, ratificando a superdispersão e a consequente subestimação dos erros padrão.

O ajuste do modelo ZIP forneceu uma log-verossimilhança de −91.54 em 68 graus de liberdade, o que nos dá um AIC de 191, 07, confirmando matematicamente que o modelo ZIP melhor se ajusta aos dados do o modelo Poisson padrão, que forneceu um AIC de629, 42.

(33)

4.3 Modelo Poisson Inflacionado de Zeros (ZIP) 32 ● ● ● ● ●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 6 8 10 12 14 16 18 −10 0 10 20 30 40 50 Horas Número de Abelhas Observado Ajustado

Figura 4: Valores observados e modelo ajustado ZIP

●●●● ●●●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ●● −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 3 4 Percentis da N(0,1) Resíduos de Pearson

Figura 5: Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZIP

●●●●●●●● ● ● ●●●●● ●●●●● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 Quantis Semi−Normais Resíduos de Pearson

Figura 6: Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos de Pearson

(34)

● ● ● ● ● ● ●●● ● ●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 0 2 4 6 8 10 12 Percentis da N(0,1)

Resíduos Componentes do Desvio

Figura 7: Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio para o modelo ZIP

●●●●●●●●● ●● ●●●●●●●●● ●●●●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 Quantis Semi−Normais

Figura 8: Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos Componentes do Desvio no modelo ZIP

4.4 Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB)

Como uma forma de comparar os resultados obtidos, ajustou-se um modelo Bino-mial Negativo Inflacionado de Zeros na tentativa de melhor acomodar o excesso de zeros, onde foi obtido com auxilio computacional do R uma log-verossimilhança de −79.24 em 102 graus de liberdade, indicando um ajuste melhor que os outros dois modelos ajustados. O modelo ZINB em que o número de abelhas coletando polens na i-ésima hora e j-ésima repetição é dado por:

log pi 1 − pi

!

= α1+ β1horai (4.4)

log(µi)= α2+ β2horai (4.5)

onde (4.5) corresponde a função de ligação que modela as observações provenientes da Bino-mial Negativa.

log(ki)= α3+ β3horai (4.6)

ondek é o parâmetro da distribuição Binomial Negativa associado a dispersão da distribuição. Assim como para o modelo ZIP existe uma função desenvolvida no programa R, também existe uma função para o modelo ZINB, no entanto, alguns aspectos da função carece de ajuste, como podemos constatar pelas variações sofrida pelas estimativas dos parâmetros

(35)

4.4 Modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros (ZINB) 34

relacionada a modelagem da proporção de zeros. Apesar disso, a função mostrou-se bastante útil e ajustou-se bem aos dados, a seguir descrevemos a sintaxe utilizada para obter os resultados do ajuste:

require(VGAM)

ajuste_zinb = vglm(abelhas1 ~ hora1, zinegbinomial(zero=NULL), trace=TRUE) summary(ajuste_zinb)

AIC(ajuste_zinb)

Tabela 5: Estimativas dos parâmetros do modelo ZINB e nível descritivo Parâmetros Estimativa Erro Padrão Valor t P(> |t|)

α2 5, 17 0, 22 23, 40 < 2 × 10−16 α3 7, 00 2, 00 3, 51 3.34 × 10−4 β2 −0, 25 0, 03 −9, 40 8, 66 × 10−16 β3 −0, 43 0, 14 −3, 08 1, 3 × 10−3 ● ● ● ● ●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 6 8 10 12 14 16 18 −10 0 10 20 30 40 50 Horas Número de Abelhas Observado Ajustado

(36)

A Figura (9) mostra que o modelo ZINB ajusta-se bem aos dados, percebemos que o ajuste é muito semelhante ao mostrado na Figura (4). A Tabela (5) confirma isso, verificamos que as estimativas dos parâmetros do modelo são bem próximas e mostrando-se altamente sig-nificativas para o modelo ajustado, no entanto, quando partimos para a análise de resíduos e as medidas que quantificam a qualidade do ajuste, percebemos a diferença.

Uma outra observação interessante está no erro padrão dos estimadores dos parâ-metros, como já foi constatado anteriormente, mais uma vez foi verificado o aumento do erro padrão para os estimadores relacionados as observações que provém da distribuição Binomial Negativa, mostrando que o modelo ZINB contempla de forma satisfatória, melhor que o modelo ZIP, a superdispersão presente devido ao excesso de zeros.

Como já foi mencionado anteriormente, o modelo ZINB forneceu uma log-verossimilhança de −79, 24 com 102 graus de liberdade, o que nos dá um AIC de 170, 49. Comparativamente

ao modelo ZIP, o modelo ZINB perde menos informação, já que o primeiro apresenta um AIC de 191, 07 e comparativamente ao modelo Poisson padrão apresenta uma diferença bastante significativa, mostrando ser o modelo mais adequado nesse caso.

●●●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 0 5 10 Percentis da N(0,1) Resíduos de Pearson

Figura 10: Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo ZINB

●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8 10 Quantis Semi−Normais Resíduos de Pearson

Figura 11: Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos de Pearson

no modelo ZINB

Através dos envelopes simulados podemos observar o comportamento dos resíduos de Pearson e Componentes do Desvio para o modelo ZINB. Constatamos através das Figuras (10) e (11) que os resíduos de Pearson estão todos praticamente sobre uma linha, evidenciando a suposição de distribuição adequada para o modelo em estudo, assim como os resíduos Com-ponentes do Desvio, mostrando a maioria dos pontos dentro das bandas de confiança de95%,

(37)

4.5 Ajuste do 2ograu para os modelos Poisson, ZIP e ZINB 36

como podemos verificar pelas Figuras (12) e (13).

● ● ● ● ● ● ●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●● ●● ●●● ●● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 0 2 4 6 8 10 Percentis da N(0,1)

Figura 12: Envelope simulado para os resíduos Componentes do Desvio para o

modelo ZINB ●●●●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8 10 12 Quantis Semi−Normais

Figura 13: Envelope seminormal de probabilidades para os resíduos Componentes do Desvio no modelo ZINB

4.5 Ajuste do 2

o

grau para os modelos Poisson, ZIP e ZINB

Afim de obter uma análise geral dos dados em questão, um ajuste do2o _{grau foi}

realizado para os três modelos propostos no estudo. Para o modelo Poisson da mesma forma como dado em (4.1), temos a inclusão de um parâmetro referente ao termo do2o_{grau, ou seja,}

log(λi)= α + βhorai+ γhorai2 (4.7)

Para o modelo ZIP também temos a inclusão do termo do2o _{grau, sendo o modelo}

da mesma forma como dado em (4.2) e (4.3), ou seja, log pi

1 − pi

!

= α1+ β1horai+ γ1horai2 (4.8)

log(λi)= α2+ β2horai+ γ2horai2 (4.9)

onde (4.9) corresponde a função de ligação que modela as observações provenientes da Poisson. O modelo ZINB considerando o termo do 2o _{grau, passa a ser escrito da seguinte}

(38)

maneira,

log pi 1 − pi

!

= α1+ β1horai+ γ1horai2 (4.10)

log(µi)= α2+ β2horai+ γ2horai2 (4.11)

log(ki)= α3+ β3horai+ γ3horai2 (4.12)

ondek é o parâmetro da distribuição Binomial Negativa associado a dispersão da distribuição. Tabela 6: Estimativas dos parâmetros2o_{grau dos modelos Poisson, ZIP e ZINB e nível}

descritivo

Modelo Parâmetro Estimativa Erro Padrão Valor z P(> |z|) Valor t P(> |t|) α −0, 44 0, 37 −1, 20 0, 23 - -Poisson β 0, 79 0, 08 9, 48 < 2 × 10−16 - -γ −0, 04 4 × 10−3 _{−10, 13 < 2 × 10}−16 _- -α1 240, 30 6805, 80 - - 0, 04 0, 48 β1 −57, 19 1611, 90 - - −0, 04 1, 86 × 10−18 γ1 2, 44 68, 61 - - 0, 04 0, 48 ZIP α2 5, 81 0, 48 - - 11, 94 1, 12 × 10−4 β2 −0, 40 0, 10 - - −3, 90 0, 48 γ2 7, 9 × 10−3 4, 8 × 10−3 - - 1, 66 0, 05 α2 4, 60 0, 70 - - 6, 51 1, 56 × 10−9 β2 −0, 13 0, 15 - - −0, 84 0, 20 γ2 −4, 6 × 10−3 7, 8 × 10−3 - - −0, 60 0, 27 ZINB α3 13, 78 10, 38 - - 1, 32 0, 09 β3 −1, 68 1, 66 - - −1, 01 0, 15 γ3 5, 3 × 10−2 6, 5 × 10−2 - - 0, 80 0, 20

4.6 Ajuste do 3

o

grau para os modelos Poisson, ZIP e ZINB

Assim como no ajuste do2o _{grau para os modelos propostos, também foi ajustado}

modelos do3o_{grau, uma vez que o gráfico das observações parece apresentar uma forma cúbica.}

Desta forma temos a inclusão de um parâmetro referente ao termo do 3o _{grau para os três}

modelos, ou seja, no caso Poisson temos,

log(λi)= α + βhorai+ γhorai2+ δhorai3 (4.13)

(39)

4.6 Ajuste do 3ograu para os modelos Poisson, ZIP e ZINB 38 ● ● ● ● ●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 6 8 10 12 14 16 18 −10 0 10 20 30 40 50 Horas Número de Abelhas AIC Poisson:491,81 ZIP:188,41 ZINB:175,99

(40)

● ● ● ● ● ● ●●●●● ●● ●●● ● ●●● ●● ●● ● ●●● ● ● ●● ● ●● ● −2 −1 0 1 2 −2 0 2 4 6

Figura 15: Envelope simulado dos resíduos de Pearson para o modelo

Poisson 2ograu ● ● ● ● ● ● ●● ●●● ● ●● ●● ● ●●●●● ●● ●● ●●●● ● ● ●●● ● −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 4

Figura 16: Envelope simulado dos resíduos Componentes do Desvio

para o modelo Poisson 2o grau

●●●●●●●●● ●● ●● ● ●●●●●●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 Quantis Semi−Normais Resíduos

ZIP 2ograu ●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●● ●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 Quantis Semi−Normais Resíduos

para o modelo ZIP 2ograu

●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 2 4 6 8 10 12 Quantis Semi−Normais Resíduos

ZINB 2ograu ●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 Quantis Semi−Normais Resíduos

(41)

4.6 Ajuste do 3ograu para os modelos Poisson, ZIP e ZINB 40

e (4.15), o modelo sendo definido da mesma forma como em (4.2) e (4.3), ou seja, log pi

1 − pi

!

= α1+ β1horai+ γ1horai2+ δ1horai3 (4.14)

log(λi)= α2+ β2horai+ γ2horai2+ δ2horai3 (4.15)

onde (4.15) corresponde a função de ligação que modela as observações provenientes da Pois-son.

O modelo ZINB considerando o termo do 3o _{grau, pode ser escrito da seguinte}

maneira,

log pi 1 − pi

!

= α1+ β1horai+ γ1horai2+ δ1horai3 (4.16)

log(µi)= α2+ β2horai+ γ2horai2+ δ2horai3 (4.17)

log(ki)= α3+ β3horai+ γ3horai2+ δ3horai3 (4.18)

ondek é o parâmetro da distribuição Binomial Negativa associado a dispersão da distribuição. A Tabela (7) fornece informações acerca do ajuste3o_{grau para os modelos Poisson,}

ZIP e ZINB.

Como podemos perceber pelas Figuras (14) e (21), o modelo que melhor se ajusta aos dados é o ajuste ZINB do3o_{grau. Verificamos também que tanto no ajuste}₂o_{grau, como no}

3o_{grau, o modelo ZINB é o que melhor se ajusta aos dados. No ajuste}₂o_{grau, como podemos}

constatar pelos envelopes nas Figuras (19) e (20), o modelo ZINB é o que melhor se ajusta aos dados, o que é evidenciado pelo critério de informação de Akaike, onde o modelo ZINB é o que apresenta o menor AIC,175, 99. Já o ajuste 3o _{grau, o modelo ZINB não apresenta o menor}

AIC, no entanto, como pode ser observado na Figura (21) é o ajuste que melhor descreve os dados observados.

Uma observação importante é que a função utilizada no programa R para ajustar os modelos inflacionados, vglm(), como já citada anteriormente, apresenta uma instabilidade nas estimativas dos parâmetros referente a proporção de zeros do modelo ZINB, essa instabilidade fica ainda mais evidente quando se aumenta o número de parâmetros do modelo. Desta forma,

(42)

Tabela 7: Estimativas dos parâmetros3o_{grau dos modelos Poisson, ZIP e ZINB e nível}

descritivo

Modelo Parâmetro Estimativa Erro Padrão Valor z P(> |z|) Valor t P(> |t|) α −11, 12 1, 11 −9, 94 < 2 × 10−16 _- -Poisson β 4, 49 0, 36 12, 47 < 2 × 10−16 - -γ −0, 43 3, 6 × 10−2 _{−12, 00 < 2 × 10}−16 _- -δ 0, 01 0, 1 × 10−2 _{11, 18} _{< 2 × 10}−16 _- -α1 4, 74 422330 - - 1, 1 × 10−5 0, 49 β1 41, 44 178290 - - 2, 3 × 10−4 0, 49 γ1 −10, 01 22676 - - −4, 4 × 10−4 0, 49 δ1 0, 43 781, 90 − - 5, 4 × 10−4 0, 49 ZIP α2 1, 50 1, 64 - - 0, 90 0, 18 β2 0, 96 0, 50 - - 1, 90 0, 03 γ2 −0, 12 4, 7 × 10−4 - - −2, 50 7, 4 × 10−3 δ2 4 × 10−3 1, 4 × 10−3 − - 2, 77 3, 6 × 10−3 α2 −7, 40 1, 45 - - −5, 09 8, 8 × 10−7 β2 4, 00 0, 45 - - 8, 80 2, 8 × 10−14 γ2 −0, 44 4, 6 × 10−2 - - −9, 70 3, 2 × 10−16 δ2 1, 4 × 10−2 1, 5 × 10−3 - - 9, 84 1, 6 × 10−16 ZINB α3 −188, 18 16, 05 - - −11, 73 1, 5 × 10−20 β3 62, 32 3, 84 - - 16, 21 1, 5 × 10−29 γ3 −5, 01 0, 30 - - −16, 74 1, 5 × 10−30 δ3 0, 11 7, 5 × 10−3 - - 15, 60 2, 2 × 10−28 ● ● ● ● ●●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 6 8 10 12 14 16 18 −10 0 10 20 30 40 50 Horas Número de Abelhas AIC Poisson:356,80 ZIP:184,95 ZINB:276.69

(43)

4.6 Ajuste do 3ograu para os modelos Poisson, ZIP e ZINB 42 ● ● ● ●● ● ●●● ●●●●●●● ●● ●●●● ●● ● ●●● ●● ● ● ● ● ● ● −2 −1 0 1 2 −2 0 2 4 6

Poisson 3ograu ● ● ● ● ●● ● ●●●●●●●● ●●● ● ●●● ●● ● ●●● ●● ● ● ●● ● ● −2 −1 0 1 2 −4 −2 0 2 4

para o modelo Poisson 3o grau

●●●●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●●● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 1 2 3 4 Quantis Semi−Normais Resíduos

ZIP 3o_grau ●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 Quantis Semi−Normais Resíduos

(44)

o ajuste do3o _{grau para o modelo ZINB, não apresenta uma consistência nas estimativas dos}

parâmetros do modelo e varia consideravelmente conforme o número de interações aumente ou diminua e ainda, por vezes, não obtém convergência. Com isso, a utilização dos envelopes simulados para os resíduos em estudo não pôde ser utilizada para o modelo ZINB 3o grau, em virtude dessa deficiência computacional da função observada ao longo do trabalho.

(45)

44

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho tem como objetivo principal apresentar os Modelos Inflacionados de Zeros, dentro da metodologia dos MLG’s, bem como uma análise de diagnóstico para os mo-delos em estudo com uma aplicação prática da metodologia utilizada. Embora seja bastante co-mum encontrarmos conjuntos de dados que apresentem uma alta quantidade de valores “zero”, e que uma quantidade razoável de material já tem sido publicado nessa área, a análise de diag-nóstico é pouca explorada. Nesse sentido, procurou-se explorar essa temática dando ênfase na análise de resíduos de Pearson e componentes do desvio. A restrição do trabalho a esses tipos de resíduos deu-se pela dificuldade encontrada de obter material relativo a temática explorada.

A questão computacional nesse caso é de suma importância, dada a complexidade dos algoritmos a serem utilizados. Um segundo objetivo, não menos importante, foi o de ajustar estes modelos com um algoritmo implementado em ambiente R, um software estatístico livre, como forma de divulgar o mesmo. A linguagem R, versátil, mostrou-se bastante útil com fun-cionalidades já desenvolvidas para os modelos inflacionados de zeros, facilitando sobremaneira o trabalho desenvolvido.

No exemplo abordado no Capítulo 4 observamos através das Tabelas (3), (4) e (5) que as estimativas dos parâmetros correspondente aos zeros amostrais nos modelos inflaciona-dos como na Poisson padrão são próximas, no entanto, quando verificamos o erro padrão das estimativas percebemos uma diferença bastante significativa, principalmente do modelo Pois-son padrão para o modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros, onde temos o modelo mais pobre e o modelo mais adequado aos dados respectivamente. Sabemos que a superdispersão causa sérios problemas com a subestimação do erro padrão das estimativas, como podemos constatar neste caso.

Uma análise do envelope simulado do modelo Poisson padrão mostra um ajuste bem pobre dos dados em estudo, evidenciando a superdispersão dos dados devido ao excesso de zeros. Uma análise dos resíduos de Pearson estudentizados do modelo Poisson Inflacionado de Zeros mostra um comportamento aproximadamente normal com algumas obervações mere-cendo uma atenção especial. Já o modelo Binomial Negativo Inflacionado de Zeros apresenta os resíduos de Pearson estudentizados de forma mais homogênea, sem apresentar observações

(46)

dis-crepantes que mereçam atenção, indicando um ajuste mais adequado onde contempla de forma satisfatória a superdispersão presente nos dados.

Com a inclusão dos termos do segundo e terceiro graus, uma nova análise deve ser traçada e como podemos observar, o ajuste ZINB nos dois casos, também foi o mais ade-quado. Através das Figuras e Tabelas podemos verificar que o ajuste ZINB terceiro grau foi o mais adequado de todos os modelos considerados no trabalho, uma vez que ele melhor des-creveu os dados observados. Como já citado anteriormente, a instabilidade da função utilizada para descrever o ajuste ZINB prejudicou a análise de diagnóstico, dado a falta de consistência nas estimativas dos parâmetros do modelo, principalmente quando se aumentou o número de parâmetros no modelo.

Há muito a ser explorado na análise de diagnóstico dos modelos inflacionados de zeros. Diversos temas podem ser explorados nesse sentido, como por exemplo a análise de influência local para os modelos citados, inclusive esse tema já vem sendo estudado para publi-cação de trabalhos futuros, desta forma procuramos contribuir de alguma forma com uma área tão abrangente de problemas práticos.

(47)

46

REFERÊNCIAS

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