PROJETO ÓTIMO DE UM PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS
Halina dos Santos Salles
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientadora: Franciane Conceição Peters
Rio de Janeiro Abril de 2018
Salles, Halina dos Santos
Projeto ótimo de um pórtico tridimensional de concreto armado utilizando Algoritmos Genéticos/ Halina dos Santos Salles. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2018.
XIV, 68 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Franciane Conceição Peters
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 66-68.
1. Otimização estrutural. 2. Algoritmos genéticos. 3. Concreto armado. I. Peters, Franciane Conceição II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.
Agradecimentos
A Deus, autor da minha vida e destino, por tudo.
Aos meus pais, Salles e Gesete, e irmã, Nabila, digo que esta conquista não é só minha, mas nossa. Tudo só foi possível pelo amor, apoio e dedicação que vocês sempre tiveram por mim. Vocês sempre me ensinaram a agir com respeito, simplicidade, dignidade e amor ao próximo. Muito obrigada por mostrarem o quanto era importante estudar e por entenderem minha ausência durante este caminho.
À minha família Santos e Salles pelo apoio incondicional. Em especial, Margareth Salles, agradeço por ter me acolhido em seu lar e todo amor maternal. Aqui, registro meu respeito e admiração como profissional, mulher e mãe. À Helena Carestiato, agradeço pelos melhores sorrisos e conselhos. Sobrinha, você foi minha fortaleza, dedicação, compreensão, maior amor e metade de mim todo esse tempo. Me perdoe por não saber fazer poemas, mas prometo te acompanhar no café todos os dias. A Otto, por cada olhar, portas abertas e, principalmente, pelo melhor companheirismo.
Ao Raphael PH, pelo sorriso, pelas conversas, pelo incentivo entusiasmante e muitas vezes contagiante e, principalmente, pelo amor e cuidado que me permitiram ter forças e ânimo suficientes todos os dias. Muito obrigada por ficar sentado comigo às noites me olhando trabalhar e me tranquilizar dizendo: “Dova, de um jeito ou de outro, no fim tudo dá certo”.
Ao Acre, Rondônia e Rio de Janeiro pelas minhas amadas meninas e fiéis amigos. Não vou citar nomes para não correr risco de esquecer alguém, eles sabem quem são.
Aos amigos do Mestrado por termos vivenciado a diversidade cultural do Brasil e do mundo. Cada sotaque e peculiaridade estará sempre em meu coração. Em especial, Adna Vasconcelos, Ana Claudia Gonzaga, Gabriella Puente e Gabriela Polisseni. Agradeço os sorrisos e conselhos durante todos os momentos e, principalmente, por compartilharmos várias experiências não só da vida acadêmica.
À professora Franciane Conceição Peters, exemplo de simplicidade, compreensão e competência. Assim como todos que trabalham com você, admiro sua dedicação a pesquisa e, principalmente, a preocupação não só com a realização do trabalho, mas com o ser humano. Muito obrigada pela confiança, orientação, disposição e paciência durante este trabalho. Seu exemplo levarei por toda minha vida.
A todos os alunos, professores e funcionários do LAMEMO, por serem exemplo de profissionalismo e diversão. Minha timidez foi perdendo o sentido a cada manhã de bom humor e estudo. Muito obrigada por terem me acolhido de braços abertos no laboratório, sem o qual não seria possível a realização deste trabalho.
À engenheira Eduarda Pinheiro, mãe e eterna chefinha. Serei eternamente grata por ter compartilhado todos seus ensinamentos sobre engenharia e a vida. A sua paciência, humor e carinho estão em meu coração. O Escritório Laico transformou trabalho em sinônimo de alegria. Muito obrigada a todos.
Ao professor Roberto Fernandes de Oliveira por ter me acolhido como um pai, sempre disponível com os melhores conselhos. Admiro sua dedicação à docência e, principalmente, sua busca pelo conhecimento.
Aos membros da banca por aceitarem o convite e pelas contribuições.
A Ansys Inc. pelo fornecimento da versão acadêmica do programa comercial usado neste trabalho.
À CAPES e FAPERJ pelo apoio financeiro.
Aos docentes que contribuíram para minha formação.
A todos aqueles que de alguma maneira me fizeram crescer e aprender. Serei eternamente grata.
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
PROJETO ÓTIMO DE UM PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS
Halina dos Santos Salles
Abril/2018
Orientadora: Franciane Conceição Peters
Programa: Engenharia Civil
No projeto de edificações, com o avanço da computação que permite análises em menor tempo, passa-se a buscar soluções otimizadas e de menor custo. Neste contexto, os projetistas almejam um projeto melhor e seguro referente a diversos aspectos estruturais, além da redução dos custos dos insumos. Os métodos de otimização podem ser utilizados neste intuito sem comprometer a segurança estrutural. Desse modo, o procedimento aplicado neste estudo visa otimizar as dimensões da seção transversal e armadura de um pórtico tridimensional de concreto armado utilizando um Algoritmo Genético (AG), a fim de obter projetos de custo mínimo. Para isso, foram realizadas aplicações numéricas, análise de parâmetros do AG e uma avaliação da variação de preços dos materiais do pórtico. A construção do modelo computacional é realizada no programa ANSYS, onde são aplicadas técnicas de discretização, via método dos elementos finitos, para a análise e obtenção dos esforços e deformações na estrutura. Um AG foi desenvolvido para o estudo, contendo também as especificações para o dimensionamento das armaduras dos elementos estruturais, incorporando diversas restrições para a solução. A função objetivo é formada pelos custos de concreto, forma e aço e será minimizada, sujeita a restrições da NBR 6118:2014 (Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento). Os resultados obtidos mostram que o procedimento proposto pode ser usado como uma ferramenta a mais para auxiliar o engenheiro no ambiente de projeto.
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED CONCRETE 3D FRAMES USING GENETIC ALGORITHMS
Halina dos Santos Salles
April/2018
Advisor: Franciane Conceição Peters
Department: Civil Engineering
In building design, with the development of computing that allows analysis in a shorter time, it is possible to search for optimized and lower cost solutions. In this context, the designers aim a better and safer project, regarding several structural aspects, besides the reduction of the costs of the materials. Optimization methods can be used for this purpose without compromising structural safety. Thus, the procedure applied in this study aims to optimize the dimensions of the cross-section and reinforcement of a reinforced concrete 3D frames using Genetic Algorithm (GA), in order to obtain projects of minimum cost. For this, numerical applications, GA parameter analysis and evaluation of the price variation of the frame materials were performed. The construction of the computational model is performed in the ANSYS software, where discretization techniques are applied, through the finite element method, to analyze and obtain the stresses and deformations of the structure. A GA was developed for the study, also containing the specifications for the dimensioning of the reinforcement of the structural elements, incorporating several restrictions for the solution. The objective function is formed by the costs of concrete, formwork and steel and will be minimized, according to the restrictions of NBR 6118:2014 (Concrete Structures Project - Procedure). The results show that the proposed procedure can be used as an additional tool to assist the engineer in building design.
Sumário
Lista de Figuras ... xii
Lista de Tabelas ... xiv
1 Introdução... 1 1.1 Apresentação do trabalho ... 1 1.2 Motivação ... 2 1.3 Objetivos ... 3 1.4 Estrutura do trabalho ... 3 2 Revisão Bibliográfica ... 4 2.1 Otimização de projeto ... 5
2.2 Otimização de estruturas de concreto armado ... 7
2.2.1 Trabalho de ARGOLO (2000) ... 7 2.2.2 Trabalho de SILVA (2001)... 8 2.2.3 Trabalho de TORRES (2001) ... 11 2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004) ... 13 2.2.5 Trabalho de ALEXANDRE (2014) ... 14 2.3 Algoritmos Genéticos ... 16
2.3.1 Diferenças entre Algoritmos Genéticos e métodos clássicos ... 17
2.3.2 Otimização por Algoritmos Genéticos ... 18
3 Metodologia ... 22
3.1 Resumo geral ... 22
3.2 Formulação do problema de otimização ... 23
3.2.1 Constantes de projeto... 23
3.2.2 Variáveis de projeto ... 23
3.2.3 Função objetivo ... 23
3.2.4 Critério de parada ... 25
3.2.5 Restrições de projeto ... 25
3.2.5.1 Equilíbrio das seções transversais ... 25
3.2.5.2 Taxas de armaduras ... 27
3.2.5.3 Distribuição das armaduras ... 29
3.2.5.4 Verificação de abertura de fissuras ... 30
3.2.5.5 Verificação de deformações excessivas ... 32
3.2.6 Considerações sobre o dimensionamento ... 33
3.2.7 Definição final do problema ... 35
3.3 Formulação do Programa AG ... 35
3.3.1 Metodologia computacional ... 36
3.3.1.1 Análise estrutural... 37
3.3.1.2 Rotinas de otimização ... 37
3.3.1.3 Integração com programa comercial ... 37
3.3.2 Descrição do programa ... 38
3.3.2.2 Descrição das sub-rotinas principais ... 41
3.3.3 Considerações sobre o AG ... 42
4 Aplicação numérica e resultados ... 43
4.1 Modelo estrutural investigado ... 43
4.2 Análise de parâmetros do Algoritmo Genético ... 46
4.3 Aplicação ... 51
4.4 Avaliação da variação de preços dos materiais ... 60
5 Conclusões ... 63
5.1 Sugestões para trabalhos futuros ... 64
Lista de Figuras
Figura 2.1: Fluxograma para desenvolvimento de um projeto convencional e um projeto
ótimo (ARORA, 2016). ... 6
Figura 2.2: Modelos estruturais adotados para os pórticos planos (TORRES, 2001). ... 12
Figura 3.1: Concreto de envolvimento da armadura (ABNT NBR 6118, 2014). ... 31
Figura 3.2: Esquema para os comprimentos das armaduras longitudinais nas vigas. .... 34
Figura 3.3: Abordagens aplicadas no desenvolvimento do programa AG. ... 36
... 39
Figura 3.4: Fluxograma do programa desenvolvido, com detalhe à direita para a avaliação dos indivíduos. ... 39
Figura 4.1: Pórtico tridimensional que terá seus elementos estruturais otimizados. ... 44
Figura 4.2: Custo total do pórtico para as 10 rodadas independentes do programa AG realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ... 48
Figura 4.3: Erro relativo médio obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝, 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ... 50
Figura 4.4: Erro relativo médio ordenado obtido nas combinações dos parâmetros 𝑁𝑝𝑜𝑝, 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ... 51
Figura 4.5: Custos dos pórticos referentes à situação 1. ... 52
Figura 4.6: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 1. ... 53
Figura 4.7: Detalhamento das vigas obtidos pelo AG na situação 1. ... 53
Figura 4.9: Custos dos pórticos referentes à situação 2. ... 55
Figura 4.10: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 2. ... 55
Figura 4.11: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 2. ... 56
Figura 4.12: Custos dos pórticos referentes à situação 3. ... 57
Figura 4.13: Valores das variáveis de projetos referentes à situação 3. ... 57
Figura 4.14: Detalhamento dos pilares obtidos pelo AG na situação 3. ... 58
Figura 4.15: Comparação entre os custos dos pórticos referentes as situações 1, 2 e 3. 59 Figura 4.16: Comparação entre os custos dos insumos dos pilares referentes as situações 1, 2 e 3. ... 60
Figura 4.17: Comparação entre os custos dos insumos das vigas referentes as situações 1, 2 e 3. ... 60
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da
armadura, em função das classes de agressividade ambiental. ... 30
Tabela 4.1: Organização dos grupos de variáveis de projeto. ... 45
Tabela 4.2: Preço dos insumos considerados na otimização dos elementos estruturais. 46 Tabela 4.3: Distribuição do tamanho da população e número de gerações para as diferentes análises. ... 47
Tabela 4.4: Distribuição da probabilidade de cruzamento (𝑃𝑐) e mutação (𝑃𝑚). ... 47
Tabela 4.5: Custo mínimo e erro relativo médio do pórtico para as 10 rodadas independentes do programa AG realizadas com as combinações de parâmetros 𝑃𝑐 e 𝑃𝑚. ... 49
Tabela 4.6: Influência da variação de 𝐶𝑐 no custo total do pórtico. ... 61
Tabela 4.7: Influência da variação de 𝐶𝑎 no custo total do pórtico. ... 61
1 Introdução
1.1 Apresentação do trabalho
A competitividade atual do mercado tem incentivado a elaboração de projetos com menor custo de material e mão-de-obra. Os métodos de otimização podem ser utilizados para alcançar estes objetivos, encontrando a melhor solução entre inúmeras possíveis. Assim, os projetistas podem considerar mais opções e, portanto, alcançar um projeto economicamente melhor e otimizado.
Nas décadas de 50 e 60, destacando-se os trabalhos de HEYMAN (1956) e SCHIMIT (1960), foram publicados os primeiros trabalhos empregando métodos clássicos de otimização na Engenharia Estrutural, como programação linear e programação não-linear, minimizando o consumo de insumos ou o peso da estrutura. No entanto, as soluções obtidas precisavam ser adaptadas para sua execução, além da dificuldade do emprego dos métodos matemáticos, incentivando pesquisas por métodos diferentes que obtivessem soluções tão eficazes, ou melhores, aos resultados gerados pelos métodos clássicos.
Os métodos heurísticos têm se sobressaído diante da sua relativa simplicidade de programação e na sua utilização em problemas de otimização. Os Algoritmos Genéticos, por exemplo, não executam cálculos matemáticos complexos e podem ser usados em problemas com funções não diferenciáveis, além de resolver problemas com variáveis discretas e contínuas, gerando soluções que podem ser executadas sem adaptações.
É comum os projetistas ao dimensionarem uma estrutura se basearem na sua experiência profissional quando realizam o lançamento e análise estrutural. Modificando apenas alguns parâmetros, se consegue um número limitado de modelos. Assim, os resultados são encontrados e analisados de acordo com a perspectiva empregada e a solução escolhida será aquela que for mais significativa de acordo com a experiência do projetista. Porém, apesar da solução eleita ser adequada, esse método pode conduzir a resultados não próximos do ótimo.
Neste cenário, associando o procedimento de análise e dimensionamento com o de mínimo custo, é possível obter um projeto ótimo entre inúmeras combinações possíveis de maneira automatizada. Resumidamente, os Algoritmos Genéticos, partindo
de uma população inicial, realizam todas as verificações necessárias, gerando populações novas a partir da anterior, até alcançar a estrutura que possui o menor custo.
Diante do exposto, e conforme os resultados promissores de trabalhos na área de estruturas com emprego de Algoritmos Genéticos para otimização, optou-se por utilizar este método como ferramenta de otimização. Assim, o procedimento aplicado neste estudo visa otimizar as dimensões da seção transversal, dimensionando as armaduras, de um pórtico tridimensional de concreto armado utilizando Algoritmos Genéticos, a fim de obter projetos de custo mínimo.
Para isso, um programa de Algoritmos Genéticos foi desenvolvido, contendo as especificações para o dimensionamento das armaduras dos elementos estruturais, incorporando diversas restrições para a solução. A construção do modelo computacional é realizada no programa ANSYS, onde são aplicadas técnicas de discretização, via método dos elementos finitos, para a análise e obtenção dos esforços e deformações na estrutura. A função objetivo a ser minimizada é composta pelo custo do concreto, da forma e do aço. Utiliza-se também penalização multiplicativa dos custos quando restrições previstas na norma brasileira NBR 6118:2014 (Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento) são violadas.
1.2 Motivação
Nos últimos anos, a competitividade entre as empresas aumentou a preocupação com a redução de custos na construção civil. Na engenharia estrutural é um grande desafio buscar um equilíbrio entre economia e segurança, pois a redução considerável de insumos não pode comprometer a segurança e o comportamento da estrutura.
Neste contexto, a procura por métodos que busquem um aproveitamento mais eficiente economicamente é essencial. A otimização de estruturas se introduz como um mecanismo eficaz para contribuir com a melhoria dos projetos, dimensionando os elementos estruturais com menor custo, garantindo a integridade e desempenho da estrutura.
Além disso, é interessante se ter outros meios que permitam ao engenheiro diversificar as técnicas aplicadas para soluções de projetos, não somente processos de tentativa e erro que consomem muito tempo. Um procedimento que torna possível alcançar um conjunto de soluções, não apenas uma, pode ser usado como uma ferramenta
a mais para auxiliar o projetista. Dessa forma, o engenheiro pode testar de forma automática diversas soluções, até mesmo uma solução diferente da prática na construção civil. Por consequência, o engenheiro pode adequar seu projeto as restrições arquitetônicas, estruturais, materiais disponíveis e demais projetos complementares, motivando assim o estudo sobre tal tema.
1.3 Objetivos
O objetivo deste trabalho é realizar a otimização das dimensões da seção transversal, dimensionando a respectiva armadura, de um pórtico de concreto armado utilizando Algoritmos Genéticos, a fim de obter projetos de custo mínimo. Em virtude disso, busca-se: apresentar um estudo sobre otimização estrutural e Algoritmos Genéticos, almejando conhecer suas particularidades e aplicações; elaborar um programa flexível de Algoritmos Genéricos, que auxilie o processo de otimização estrutural em um ambiente de projeto, contendo as especificações para o dimensionamento das armaduras; utilizar o programa comercial ANSYS para a modelagem do pórtico tridimensional investigado, análise e obtenção dos esforços e deformações na estrutura. E por fim, pretende-se realizar a análise de parâmetros do Algoritmo Genético, aplicação numérica e avaliação da variação de preços dos materiais do pórtico.
1.4 Estrutura do trabalho
O presente trabalho encontra-se dividido em 6 capítulos. No Capítulo 2 são introduzidos conhecimentos referentes a otimização estrutural e apresentadas aplicações desse procedimento em estruturas de concreto armado. Neste capítulo também é abordado o método de Algoritmos Genéticos, explicando seus principais aspectos e características. A metodologia é descrita no Capítulo 3 contendo a formulação do problema de otimização e do programa desenvolvido. No Capítulo 4 é realizada a análise de parâmetros do Algoritmo Genético, a apresentação dos resultados obtidos da aplicação numérica realizada e a avaliação da variação de preços dos materiais do pórtico. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões obtidas e sugestões para trabalhos futuros.
2 Revisão Bibliográfica
Matematicamente, a otimização consiste em um conjunto de procedimentos que minimizem ou maximizem uma função, sujeita a restrições, com um ou mais objetivos. A otimização pode ser compreendida na aplicação de métodos que buscam a melhor opção dentre as diversas possíveis baseados em critérios previamente estabelecidos.
Nas décadas de 50 e 60 foram publicadas as primeiras pesquisas empregando otimização na engenharia estrutural. HEYMAN (1956) minimizou o consumo de material em pórticos no regime elástico e em projetos de vigas através de programação linear. Já SCHIMIT (1960) minimizou o peso de estruturas elásticas submetidas a diversas condições de carregamento aplicando programação não linear.
GOLDBERG (1989) comparou os métodos clássicos com os Algoritmos Genéticos, citando como principais vantagens a simplicidade de implementação, o emprego de variáveis discretas e contínuas, a busca em uma população de indivíduos e a não imposição da função objetivo ser diferenciável ou contínua. Assim, demostrou que os Algoritmos Genéticos fornecem soluções satisfatórias para engenharia, sem a necessidade de adaptação.
Mais recentemente, SILVA (2001) apresentou em sua pesquisa a programação matemática e, especialmente, os Algoritmos Genéticos, demonstrando através de exemplos as diferenças básicas entre os métodos clássicos e os métodos aleatórios. Os exemplos utilizados foram duas estruturas de concreto armado: um trecho de pilar e um pórtico plano, concluindo a tendência promissora dos Algoritmos Genéticos para os próximos anos.
MELO et al. (2001) formularam um problema de otimização de pórticos planos de concreto armado. A função objetivo é formada pelos custos dos insumos (concreto, aço e forma), onde as variáveis de projeto são a altura da seção transversal e as armaduras. As restrições estão associadas aos deslocamentos, a resistência e limites das variáveis de projeto.
CHAVES (2004) desenvolveu um programa computacional que aplica métodos matemáticos de otimização, para obtenção do menor custo total de seções transversais de pilares de concreto armado e determinação do índice de confiabilidade. MAIA (2009) utilizou o método Simplex e o Gradiente Reduzido Generalizado para minimizar o custo
e seções transversais de dois projetos: uma viga em balanço com seção contínua e outra com seção variada.
PONTE (2015) aplicou técnicas de otimização do programa ANSYS, com o objetivo de estudar o comportamento de uma edificação de concreto armado com 47 metros de altura e 15 pavimentos, considerando casos de cargas diferentes. A função objetivo possui apenas o propósito de reduzir o volume da seção transversal. Dessa forma, o autor conseguiu modificar e aprimorar o desempenho estrutural do edifício.
É possível observar que as pesquisas sobre otimização de estruturas de concreto armado têm apresentado resultados promissores, assim como a utilização dos Algoritmos Genéticos.
Neste capítulo é feita uma apresentação sobre otimização estrutural aplicada em Engenharia Civil e de forma sucinta alguns trabalhos já desenvolvidos, a fim de aferir sobre as características, comportamento e a formulação empregada nos problemas investigados.
2.1 Otimização de projeto
ARORA (2016) explica que a otimização de projeto tem por objetivo a melhoria das peças estruturais, buscando um projeto ideal, ou seja, que atenda a todos os requisitos especificados, mas com custo mínimo de alguns fatores, tais como peso, superfície e volume, sempre obedecendo aos limites impostos, como por exemplo, as tensões máximas admissíveis.
O projeto estrutural é resultado de atividades que englobam a arquitetura, concepção estrutural e o dimensionamento dos elementos. Esse resultado deve garantir a segurança e, se possível, o menor custo. Na otimização de projetos é importante a distinção entre análise e projeto. A análise está relacionada ao processo de determinação das respostas da estrutura diante de um carregamento aplicado, enquanto que o projeto se refere a definição do sistema estrutural, como por exemplo o posicionamento dos elementos estruturais (PONTE, 2015).
Este trabalho aborda especificamente a aplicação em estruturas de concreto armado na engenharia civil, onde é comum almejar resultados com redução do consumo de matéria prima e os custos de produção. Portanto, para melhor entendimento da
importância da otimização de estruturas é fundamental entender as diferenças entre projeto ótimo e projeto convencional.
O projeto estrutural convencional sofre influência direta do projetista, visto que as soluções são referentes a procedimentos de tentativa e erro, dependentes da experiência do profissional. Assim, a solução alcançada pode não ser a melhor para os critérios estabelecidos. O projeto estrutural ótimo é obtido aplicando métodos de otimização na representação do problema por modelo matemático bem definido, com parâmetros, variáveis, objetivos e restrições, encontrando soluções por processos sistemáticos. ARORA (2016) mostra projeto convencional e projeto ótimo, conforme a Figura 2.1.
Figura 2.1: Fluxograma para desenvolvimento de um projeto convencional e um projeto ótimo (ARORA, 2016).
A estrutura atende ao critério de convergência?
Modifica-se a configuração tendo por base experiência/heurística Verificam-se as restrições
Analisa-se o sistema Estima-se uma configuração
inicial tendo por base experiência/ heurística Coletam-se dados para a
descrição do sistema Projeto Concluído Projeto Convencional Sim Não A estrutura atende ao critério de convergência? Modifica-se a configuração empregando-se um método de otimização Verificam-se as restrições Analisa-se o sistema Estima-se uma configuração
inicial tendo por base experiência/ heurística Coletam-se dados para a
descrição do sistema Identificam-se: 1) Variáveis de Projeto 2) Função Objetivo 3) Restrições de Projeto Projeto Concluído Projeto Ótimo Sim Não
A otimização pode ser uma importante ferramenta na tomada de decisões e na análise de projetos estruturais. Partindo da identificação de algum objetivo, a meta é encontrar valores para as variáveis que aprimorem o objetivo. Existem inúmeros algoritmos de otimização, cabendo ao projetista escolher o mais apropriado para o problema em análise. Depois da aplicação do método de otimização no projeto, pode-se identificar, analisar e estudar a solução encontrada.
2.2 Otimização de estruturas de concreto armado
Em seguida serão apresentados de forma resumida trabalhos que desenvolveram otimização em estruturas de concreto armado, com a intenção de compreender e analisar a formulação do problema adotado e os modelos discutidos. As principais informações são: natureza do problema, função objetivo, variáveis e restrições de projeto, parâmetros dos Algoritmos Genéticos, resultados e conclusões.
2.2.1 Trabalho de ARGOLO (2000)
ARGOLO (2000) apresentou uma formulação para o dimensionamento ótimo de seções retangulares de concreto armado à Flexão Composta Normal (FCN) empregando Algoritmos Genéticos. A função objetivo para minimizar o custo total da seção é a Equação 2.1.
𝐹 = 𝐶𝑆𝛾𝑠𝐴𝑠+ 𝐶𝑐𝐴𝑐+ 𝐶𝑓(𝑏′+ 2ℎ) (2.1)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
𝐴𝑠 é a área total de armadura obtida;
𝐴𝑐 é a área total de concreto; 𝛾𝑠 é o peso específico do aço;
𝑏′ é uma largura fictícia que é assumida igual a b em seções de vigas e 2b em seções de pilares.
As variáveis de projetos foram: altura (ℎ) e largura (𝑏) da seção transversal de concreto; número de camadas de aço dentro da seção de concreto (𝑛𝑐); número de barras
em uma mesma camada de aço (𝑛𝑏) e diâmetro (∅) das barras na mesma camada. As
primeiras variáveis citadas determinam a área total de concreto na seção (𝐴𝑐) e as demais são responsáveis por fornecer a área total de aço na mesma seção (𝐴𝑠). As restrições
impostas são relativas à resistência da seção transversal e aos limites para taxa de armadura da norma.
A estrutura do programa de Algoritmos Genéticos foi do tipo geracional, com 100 indivíduos em 80 gerações, as variáveis foram representadas de forma discreta com codificação binária, os operadores genéticos foram cruzamento de um ponto com probabilidade de 80% e taxa de mutação de 0,3% e para as restrições foi empregado a técnica de penalização.
O autor comparou os resultados obtidos no programa com alguns exemplos encontrados na literatura. Inicialmente, foi realizado o dimensionamento de uma seção transversal fixa (300 mm x 700 mm) para três diferentes pares de 𝑀𝑆 e 𝑁𝑆, encontrando
uma economia de até 26%. Para seção transversal variável a economia foi de até 30%. Em seguida, os resultados do programa foram comparados com outros trabalhos da literatura que aplicaram otimização em seções transversais de concreto sem utilizar Algoritmos Genéticos, obtendo uma economia de até 12% em relação aos outros autores. Além disso, o autor também avalia a influência do aumento de 50% do custo dos materiais, de forma individual, no resultado final do custo da seção transversal. Com o aumento no custo do concreto, aço e forma, o custo total aumentou 14,06%, 12,37% e 16,57% respectivamente, demostrando que o insumo que mais afeta o custo final é a forma, mesmo sendo utilizada apenas como molde.
2.2.2 Trabalho de SILVA (2001)
SILVA (2001) estudou Algoritmos Genéticos como método de otimização, aplicando-os em dois exemplos de estruturas de concreto armado: Um trecho de pilar dimensionado à Flexão Composta Obliqua (FCO) e um pórtico plano de cinco pavimentos.
No problema, para otimizar o trecho de pilar sujeito a FCO, se desejou obter uma seção retangular e o detalhamento da armadura que resistam a um determinado conjunto
de esforços e que tivessem o menor custo. A função objetivo utilizada neste exemplo foi a Equação 2.2.
𝐹 = 𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(2𝑏 + 2ℎ) (2.2)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume; 𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
𝐴𝑠(∅) é a área total de armadura de uma determinada bitola;
𝐴𝑐 é a área total de concreto;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola; 𝑏 é a largura da seção transversal;
ℎ é a altura da seção transversal.
As variáveis de projeto escolhidas para o problema foram: altura (ℎ) da seção transversal do pilar, bitola das barras de aço (∅) e o número de barras utilizado (𝑁𝑏). A largura da seção foi considerada constante. As restrições do problema foram: verificação a FCO e taxa de armadura mínima e máxima, conforme a NBR 6118.
Para os três exemplos estudados, o programa de Algoritmos Genéticos foi do tipo geracional, utilizado uma população com 20 indivíduos em 10 gerações, variáveis discretas, a probabilidade de cruzamento foi de 80% e para mutação 5%. As restrições não eram penalizadas. Para comparar o resultado obtido pelo programa de otimização, o autor desenvolveu no MathCad outro programa que percorre todos os indivíduos do espaço de busca, verifica o equilíbrio e calcula o custo de cada indivíduo obtendo assim o custo mínimo exato.
Para os exemplos, foram apresentados os resultados obtidos para seções de pilares com largura (𝑏) de 20 cm, 30 cm e 40 cm. Foi possível observar que a maioria dos indivíduos gerados não atendiam as restrições impostas e eram, portanto, descartados da população. Portanto, o autor optou por gerar apenas indivíduos dentro das recomendações da norma, porém mesmo esse procedimento sendo eficiente para o caso estudado, não é viável para os problemas de otimização em geral.
Com isso o autor observou que a otimização via Algoritmos Genéticos do custo do pilar não foi eficiente, em virtude dos indivíduos reprovados pelo módulo de FCO
serem eliminados da população. Desta forma, para o problema de minimização do custo do pórtico plano de concreto armado, foi desenvolvido o módulo de verificação a FCN, fornecendo uma informação a mais que o módulo de FCO, que é a distância em relação ao Estado Limite Ultimo (ELU), servindo para penalizar os indivíduos que infringirem a esta restrição. Assim, para cada uma das restrições do problema foi associada uma função de penalização e desta forma nenhum indivíduo é descartado ao longo do processo de otimização.
No problema para aplicação de pórtico plano se desejou obter uma estrutura de concreto armado de menor custo e que resista a um determinado carregamento. A função objetivo utilizada foi a Equação 2.3.
𝐹 = [𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(𝑏 + 2ℎ)]𝐿𝑣
+ [𝐶𝑐𝑏ℎ + 𝐶𝑠𝑁𝑏𝐴𝑠(∅) + 𝐶𝑓(2𝑏 + 2ℎ)]𝐿𝑝
(2.3)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso da viga ou pilar;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume viga ou pilar;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área viga ou pilar;
𝐴𝑠(∅) é a área total de armadura de uma determinada bitola viga ou pilar;
𝐴𝑐 é a área total de concreto viga ou pilar;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola viga ou pilar; 𝑏 é a largura da seção transversal viga ou pilar;
ℎ é a altura da seção transversal viga ou pilar; 𝐿𝑣 é o comprimento do trecho da viga em metros; 𝐿𝑝 é o comprimento do trecho do pilar em metros.
As variáveis de projeto escolhidas são: altura (ℎ) da seção e área de aço (𝐴𝑠), da viga e do pilar. As restrições do problema, para vigas e pilares, foram: dimensões máximas e mínimas das seções transversais, espaçamento máximo e mínimo da armadura, taxas de armadura máxima e mínima, flechas horizontais e verticais máximas e equilíbrio das seções transversais. Essas restrições foram impostas através de funções de penalização.
O pórtico plano modelo possui 1 térreo e 4 pavimentos, vigas com vãos de 4,5 m e balanço de 1,0 m, pé direito de 3,0 m e apenas dois lances de pilares. O autor observou
que a divisão do cromossomo principal em 4 (cada um deles com informação sobre uma variável), permitiu uma convergência mais rápida do método e uma maior facilidade de codificação e descodificação das variáveis. Além disso, o método de penalização se revelou muito eficiente, permitindo que os indivíduos que não atendem as restrições continuem cruzando e transmitindo suas características que não devem ser eliminadas nas gerações seguintes.
O autor também projetou uma solução para o pórtico plano através do programa comercial EBERICK, buscando uma estrutura de concreto armado mais econômica possível, obtendo uma economia de 22,7% no resultado obtido pelo Algoritmo Genético, em relação à solução obtida com o programa comercial, confirmando a eficiência do método empregando. Assim, o autor conclui que a utilização dos Algoritmos Genéticos nos problemas de otimização é bastante promissora, devido às suas características de robustez, flexibilidade e relativa facilidade de implementação.
2.2.3 Trabalho de TORRES (2001)
TORRES (2001) desenvolveu um procedimento para obtenção de pórticos planos de concreto armado com seções transversais retangulares para alcançar projetos ótimos utilizando o programa ANSYS. A estratégia adotada é baseada nos trabalhos BALLING e YAO (1997), contida no Guia de otimização estrutural da ASCE (1997), seguindo os critérios da norma americana ACI (1998) para o dimensionamento.
A função objetivo adotada para minimizar o custo total foi a Equação 2.4. Cada custo se desmembra em funções seguindo o Guia de otimização estrutural da ASCE.
𝐹 = 𝐶𝑆+ 𝐶𝑐+ 𝐶𝑓 (2.4)
onde,
𝐶𝑠 é o custo do aço por unidade de peso;
𝐶𝑐 é o custo do concreto por unidade de volume;
𝐶𝑓 é o custo da forma por unidade de área;
As variáveis de projeto foram as dimensões da seção transversal das vigas e pilares e as armaduras, sendo estas dependentes das variáveis anteriormente citadas. Os
parâmetros constantes no problema foram: geometria, cargas, propriedades dos materiais e valores dos custos dos materiais e mão-de-obra.
As restrições impostas foram baseadas nos critérios para projetos de concreto armado da norma americana, ACI. Para os pilares as restrições consideradas foram: capacidade de resistência da coluna e armadura máxima. Para as vigas as restrições impostas foram: capacidade de resistência a flexão, armadura máxima e capacidade de resistência ao cisalhamento.
Para o cálculo das armaduras adotou-se a hipótese feita pelo guia da ASCE e a norma americana, ACI. Nas vigas a armadura foi controlada por um dos dois fatores: (1) a resistência à flexão ou (2) a condição de armadura mínima. Nos pilares: (1) a armadura foi controlada pela resistência da coluna ou (2) pela taxa de armadura mínima.
Após o cálculo do custo total do pórtico bem como o cálculo das restrições impostas ao projeto, entra-se no módulo de otimização do programa ANSYS. O otimizador selecionado para a otimização do pórtico de concreto armado foi o de primeira ordem (Steepest Descent).
Diferentes modelos estruturais foram utilizados para representar pórticos planos de concreto armado, conforme a Figura 2.2. O modelo 2 foi dividido em: modelo 2A onde os pilares externos e interno possuem as mesmas variáveis de projeto e modelo 2B com diferentes variáveis projeto para os pilares externos e interno.
Figura 2.2: Modelos estruturais adotados para os pórticos planos (TORRES, 2001). Todos os modelos foram analisados para três condições de carregamentos. No caso de carga (1) a estrutura foi submetida unicamente a esforços horizontais, aplicadas
em cada andar do pórtico. O caso de carga (2) consistiu nas cargas verticais, definidas como carga uniformemente distribuída para cada andar. No caso de carga (3) combinou-se os casos (1) e (2). Para o caso de carga (1) o objetivo da otimização foi minimizar apenas o volume total do pórtico, enquanto que, para os casos (2) e (3) o objetivo foi minimizar o custo total do pórtico.
Além disso, também foram consideradas três situações diferentes para as variáveis de projeto. Na situação (1) o pórtico tinha apenas um grupo de variáveis de projeto do 1º ao 22º andar. Para a situação (2) quatro grupos de variáveis de projeto foram definidos ao longo do pórtico. Enquanto que para a situação (3) oito grupos de variáveis de projeto foram definidos.
O autor concluiu que, na maioria dos casos, quanto maior a quantidade de variáveis de projeto maior a redução da função objetivo, porém no otimizador disponível no ANSYS nem sempre foi observado esse comportamento. Para todos os modelos estudados, as bases das vigas permaneceram praticamente constantes para qualquer situação de variáveis de projeto. Nos modelos do caso de carga horizontal, as alturas das vigas e pilares foram as quantidades que mais apresentaram variações com diferentes arranjos das variáveis de projeto. Os modelos 1 e 2A foram os mais econômicos, considerando todos os casos de cargas.
2.2.4 Trabalho de BASTOS (2004)
BASTOS (2004) utilizou Algoritmos Genéticos para desenvolver um programa de otimização de seções retangulares de concreto armado submetidas a esforços de FCO. A função objetivo foi a mesma definida por ARGOLO (2000), com uma pequena modificação nas restrições do momento fletor para considerar a flexão oblíqua. As variáveis utilizadas foram: altura (ℎ) e largura (𝑏) da seção transversal, número de barras em uma camada de aço (𝑛𝑏) e diâmetro (∅) das barras de aço em uma mesma camada. As
restrições impostas foram referentes a resistência da seção transversal e aos limites de taxa de armadura da norma.
No programa de Algoritmos Genéticos foi utilizada codificação binária, variáveis discretas, aplicações com 100 indivíduos em 40 gerações, probabilidade de cruzamento de 80% e taxa de mutação de 3%.
O autor comparou uma seção fixa (400 mm x 600 mm) com resultados obtidos na literatura, o programa desenvolvido apresentou uma economia de até 13%. Já na comparação de resultados extraídos da literatura, para o caso de FCO utilizando outros métodos de otimização, o programa conseguiu uma economia de até 34%.
Também foi realizado um estudo de sensibilidade dos custos dos materiais, onde diferentemente do observado por ARGOLO (2000), o insumo que mais impactou o custo final foi o aço. Porém, o autor ressalta que para a primeira configuração de preço a taxa de armadura ficou próxima da mínima prescrita pela norma, impedindo sua diminuição. Caso essa restrição fosse desconsiderada, o custo de forma passaria a ser o parâmetro de maior influência.
2.2.5 Trabalho de ALEXANDRE (2014)
ALEXANDRE (2014) aplicou o método dos Algoritmos Genéticos no dimensionamento ótimo de vigas retangulares de concreto armado, submetidas a esforços de flexão e cisalhamento.
A função objetivo a ser minimizada é representada pela Equação 2.5:
𝐹 = 𝐶𝑡𝑐 + 𝐶𝑡𝑠+ 𝐶𝑡𝑓 (2.5)
onde 𝐶𝑡𝑐, 𝐶𝑡𝑠 e 𝐶𝑡𝑓 é o custo total referente ao concreto, aço e forma, respectivamente.
Sendo cada custo da Equação foi formulado de acordo com as Equações 2.6, 2.7 e 2.8.
𝐶𝑡𝑐 = 𝑏 ℎ 𝐿 𝐶𝑐(𝑓𝑐𝑘) (2.6) 𝐶𝑡𝑠 = ∑(∅𝑗𝐿𝑣,𝑗𝜌𝑠𝐶𝑠(∅𝑗)) 𝑛𝑣 𝑗=1 − [∑(∅𝑖𝐿𝑠,𝑖𝜌𝑠𝐶𝑠(∅𝑖)) 𝑛𝑠 𝑖=1 ] 𝐹𝑟 + ∑(𝐿𝑏,𝑘𝐶𝑠′(∅ 𝑘)) 𝑛𝑏 𝑘=1 (2.7) 𝐶𝑡𝑓 = (2 ℎ 𝑙 + ∑ 𝑏 𝐿𝑣,𝑚 𝑛𝑣′ 𝑚=1 ) 𝐶𝑓(ℎ) (2.8) sendo,
𝑏 é a largura da seção transversal; ℎ é a altura da seção transversal; 𝐿 é o comprimento total da viga;
𝐿𝑣,𝑗 é o comprimento da j-ésima vara de aço;
𝐿𝑠,𝑖 é o comprimento da i-ésima sobra de barro de aço;
𝐿𝑏,𝑘 é o comprimento da k-ésima barra de aço;
𝐿𝑣,𝑚 é o comprimento entre as faces dos pilares do m-ésimo vão de viga; 𝐶𝑠(∅) é o custo do aço por kg, em função da bitola;
𝐶𝑠′(∅) é o custo da mão-de-obra por m, em função da bitola;
𝐶𝑐(𝑓𝑐𝑘) é o custo do concreto por m³, em função da sua resistência a compressão;
𝐶𝑓(ℎ) é o custo da forma por m², em função da altura da viga;
𝑁𝑏 é o número de barras de uma determinada bitola viga ou pilar; 𝑏 é a largura da seção transversal viga ou pilar;
ℎ é a altura da seção transversal viga ou pilar; 𝐿𝑣 é o comprimento do trecho da viga em metros; 𝐿𝑝 é o comprimento do trecho do pilar em metros.
As variáveis de projeto consideradas foram: resistência à compressão do concreto (𝑓𝑐𝑘), altura da viga (ℎ), inclinação da biela (𝜃) e bitola das armaduras positivas (∅𝑝𝑜𝑠), negativas (∅𝑛𝑒𝑔) e transversais (∅𝑒𝑠𝑡).
Em relação as restrições, na averiguação do ELU foram verificados o momento resistente, o esforço cortante resistente e a altura da linha neutra. Para atender as restrições referentes ao ELS verificou-se a abertura de fissuras e a deformação excessiva, levando em consideração o tempo para o início de aplicação da carga definido pelo usuário. No detalhamento foram verificadas as taxas de armadura; os espaçamentos mínimos e máximos; e a geometria da seção transversal. Caso alguma destas restrições não fosse atendida, o indivíduo era penalizado.
Na implementação dos Algoritmos Genéticos, optou-se por utilizar somente variáveis discretas. Além disso, com o objetivo de melhorar o desempenho do programa foram realizadas diversas análises (valores médios de 10 rodadas) com diferentes configurações dos parâmetros. De acordo com os resultados, o autor concluiu que: o aumento da razão entre o número de gerações e a população inicial melhora o desempenho do operador de mutação; a otimização é sensível ao valor da taxa de
mutação; e o valor do fator de escalonamento não afeta de forma determinística a convergência para a solução ótima.
Na comparação com outros trabalhos de otimização encontrados na literatura, com a finalidade de avaliar a eficiência do programa desenvolvido, o autor observou que: a seção ótima obtida considerando somente o dimensionamento à flexão difere da obtida considerando o dimensionamento à flexão e ao cisalhamento; a geometria da seção ótima é influenciada pelos custos da armadura transversal e construtiva.
Para avaliar o desempenho prático do programa piloto, fez-se a otimização de uma viga que seria executada. O autor ressaltou que a simplificação do detalhamento da viga tem um grande impacto econômico em seu custo final. E por fim, na análise de sensibilidade, verificou que o custo de forma foi o mais representativo, seguido pelo custo de concreto, aço e armador, respectivamente.
2.3 Algoritmos Genéticos
Na natureza, o homem sempre encontrou inspiração para melhorar sua qualidade de vida. No século XIX, com a teoria da “Seleção Natural” de Darwin que consiste em selecionar indivíduos mais adaptados a determinada condição, eliminando aqueles desfavoráveis para a mesma condição, a medicina e suas ciências afins vêm numa busca constante tentando “mapear” todas as informações da genética humana, relacionando deste modo cada gene de cada cromossomo às características que eles representam nos indivíduos: hereditárias, físicas e funcionais (SILVA, 2001).
Os Algoritmos Genéticos (AGs) são métodos de busca inspirados nos mecanismos de evolução dos seres vivos. Em 1975, John Holland, no seu livro “Adaptation in Natural
and Artificial Systems”, introduziu os primeiros conceitos sobre AGs, que seguem o
princípio da seleção natural e sobrevivência do mais apto. HOLLAND (1975) admitia a possibilidade de implementar um algoritmo capaz de solucionar problemas complexos baseados no sistema de evolução da natureza.
Assim, HOLLAND (1975) desenvolveu um algoritmo que faz analogia aos processos naturais de evolução. Primeiramente, parte-se de uma população inicial de indivíduos através de uma codificação genética, onde cada um dos indivíduos representa uma possível solução do problema. Em seguida, esta população é analisada por meio de uma nota dada a cada cromossomo, medindo a qualidade da solução que ele representa.
Assim, baseado no princípio da sobrevivência (Darwinismo), o operador genético segue selecionando apenas os indivíduos com maior aptidão e desconsidera os indivíduos menos aptos para a reprodução, uma vez que os progenitores são bons, isto é, as soluções determinadas são as melhores para resolver o determinado problema proposto naquela geração, então é esperado que seus filhos também o sejam conduzindo a boas soluções. Por fim, do mesmo modo que ocorre na natureza, os processos são repetidos até se alcançar indivíduos cada vez mais aptos.
Dessa forma, os AGs a partir de uma população de indivíduos, cada um com um valor de adaptabilidade associado, desenvolvem, através de operações genéticas como cruzamentos e mutações, uma nova geração de indivíduos usando os princípios Darwinianos de reprodução e sobrevivência dos mais aptos. Cada indivíduo na população representa uma possível solução para um dado problema. O que o Algoritmo Genético faz é procurar aquela que seja muito boa ou a melhor, visando à otimização da função objetivo (SILVA, 2001).
O método AGs é uma metáfora desses processos de seleção natural, por isso eles possuem diversos termos gerados da biologia. Conforme é possível encontrar na literatura, os fundamentos referentes ao Algoritmo Genético (nomenclatura, codificação, população inicial, número de gerações, operadores genéticos, entre outros) não foram abordados neste trabalho, pois se entende que os mesmos já foram exaustivamente discutidos nos trabalhos de ARGOLO (2000), BASTOS (2004), CASTRO (2001), LIMA (2011), PIRES (2014), SILVA (2001), entre outros.
2.3.1 Diferenças entre Algoritmos Genéticos e métodos
clássicos
Inicialmente, os métodos clássicos de otimização partem de uma única solução, que através do cálculo das derivadas é determinada a direção que se deve seguir para determinar a próxima solução. Esses métodos atuam com cálculo de derivadas, portanto são definidos como de ordem 𝑛, onde 𝑛 é a ordem da maior derivada. Alguns exemplos de técnicas clássicas são: o Método dos Gradientes Conjugados, o Método de Newton e o Método Quase-Newton
Os Algoritmos Genéticos (AGs) representam uma classe de ferramentas muito versátil e robusta a ser empregada na solução de problemas de otimização, embora não
devam ser considerados somente extremizadores de funções. Assim como outros métodos, por não empregarem o cálculo de derivadas, mas sim atuarem diretamente na busca das soluções no espaço viável, ele é classificado como método direto ou de ordem zero (SILVA, 2001).
Como método de otimização, os AGs se diferenciam dos métodos clássicos matemáticos sobretudo por trabalharem com as possíveis soluções, utilizam sempre uma população de indivíduos ou soluções e trabalham com técnicas probabilísticas. Assim, os AGs não se prendem tão facilmente a extremos locais, já que operam com uma população de indivíduos e realizam a busca dentro de toda a região viável.
Como principais vantagens dos AGs, podemos citar: fácil implementação, realizam buscas simultâneas em várias regiões do espaço de busca, funcionam para parâmetros contínuos ou discretos, e também com combinação deles, são versáteis e dificilmente se prendem a ótimos locais. Além disso, dispensam o cálculo do gradiente da função objetivo em relação aos parâmetros de otimização. Por essas razões, os AGs apresentam bom desempenho na solução de muitos problemas complexos, principalmente, com múltiplos mínimos ou máximos.
Apesar das vantagens mencionadas, os AGs demandam bastante esforço computacional, por causa do grande número de análises das funções aptidão e suas restrições, podem convergir lentamente para o ótimo global e demandam inúmeras escolhas de parâmetros de configuração, o que pode tornar complexa a sua utilização. Por outro lado, o emprego de computação paralela na função objetivo para os inúmeros indivíduos da população pode reduzir substancialmente o tempo de computação.
2.3.2 Otimização por Algoritmos Genéticos
Para relacionar dos Algoritmos Genéticos (AGs) como técnica de otimização em geral, primeiramente é necessário compreender as principais classes de métodos de otimização (SILVA, 2001): exploration e exploitation.
Os métodos exploration investigam diversos pontos novos do espaço de busca, já os métodos exploitation utilizam informações provenientes de pontos anteriores para encontrar o melhor ponto. Um algoritmo eficiente de otimização deve empregar estes dois métodos para alcançar o ótimo global da função objetivo. Ambos os métodos têm a mesma tradução para o português, exploração. Apesar disso, exploitation possui o sentido
de obter dados presentes nas soluções encontradas e exploration significa exploração por percorrer pontos desconhecidos no espaço de busca para alcançar novas soluções.
O cruzamento e a mutação são dois mecanismos de busca dos AGs que levam à exploração de pontos inteiramente novos do espaço de busca (exploration). Enquanto a seleção dirige a busca em direção aos melhores pontos do espaço de busca (exploitation), a taxa da seleção, dada pela razão entre aptidão máxima da população e a aptidão média, influencia a quantidade de exploitation e exploration (SILVA, 2001). Na prática, é difícil estabelecer o equilíbrio ideal para a taxa de seleção. No momento em que a aptidão é praticamente a mesma para toda a população, ou seja, a taxa de seleção é muito baixa, o AG apresenta um comportamento aleatório, pois não há seleção, fazendo com que o algoritmo realize em sua busca muita exploration. Porém, quando a taxa de seleção é muito alta, o AG admite o comportamento dos métodos exploitation.
Conforme apresentado anteriormente, um algoritmo genético parte de uma determinada população inicial, que é um conjunto de possíveis soluções do problema analisado, ou soluções candidatas. Ao longo do processo evolutivo, a população é avaliada através de notas. Essa avaliação dos indivíduos permite que os mais aptos influenciem mais o comportamento da convergência para uma solução, tendo maior probabilidade de darem origem a novos indivíduos. Os indivíduos podem sofrer modificações por meio dos operadores de cruzamento e mutação, produzindo descendentes para a próxima geração. Este procedimento é repetido até que uma solução seja encontrada. O algoritmo a seguir apresenta um pseudocódigo que representa um AG.
Início
Inicialize a população 𝑃 aleatoriamente Avalie indivíduos na população 𝑃
Ordene a população 𝑃 de acordo com a aptidão Repita
Selecione operador genético
Selecione indivíduo(s) para reprodução Aplique operador genético
Avalie indivíduo(s) gerado(s)
Selecione indivíduo 𝑥 para sobreviver
Se 𝑥 é melhor que o pior elemento de 𝑃 então Insira 𝑥 em 𝑃 de acordo com seu “ranking” Até critério de parada satisfeito
2.4 Considerações
Na Engenharia de Estruturas, alcançar um arranjo estrutural capaz de atender a todas as condições de segurança e que, além disso, satisfaça a um ou mais critérios pré-estabelecidos, tais como o menor custo, é um dos objetivos fundamentais dos projetistas. Na revisão bibliográfica elaborada é possível observar que os Algoritmos Genéticos têm se mostrado eficazes na resolução de problemas de engenharia estrutural, pois mesmo com as pesquisas apresentadas trabalhando com diferentes naturezas do problema, variáveis e restrições, o AG forneceu bons resultados em todas as aplicações realizadas.
Nos estudos apresentados neste trabalho, todos alcançaram redução no custo total da estrutura e um aproveitamento mais eficiente dos materiais, evidenciando o potencial do emprego de algoritmos de otimização em projetos de estruturas, principalmente através de Algoritmos Genéticos. Isso ficou demonstrado nos trabalhos que comparam suas soluções com os resultados obtidos na literatura e projetos reais.
No trabalho realizado utilizando o módulo de otimização no ANSYS foi possível constatar com os diagramas de esforços provenientes da análise estrutural conduzida no programa são satisfatórios. No entanto, com relação aos otimizadores disponíveis no ANSYS, nem sempre se observa bons resultados. Para contornar tal situação, acoplar ao programa algoritmos de otimização mais robustos pode levar a alcançar soluções melhores.
Na formulação dos Algoritmos Genéticos, a codificação binária foi empregada em todos os trabalhos e um destes a comparou com o código de Gray, que teve um resultado pior. Na codificação binária é necessário constantemente a conversão entre valores reais e binários nas diversas iterações do processo. Nenhum trabalho citado fez testes com codificação real. Na maioria dos casos, a população inicial foi pouco discutida, dando a entender que foi feita de forma aleatória.
A estratégia de penalização dos indivíduos não aptos se mostrou mais eficiente que a eliminação dos indivíduos da população. Outra vantagem do processo de penalização consistiu na facilidade com que pode ser acoplada aos Algoritmos Genéticos, somando-se diretamente à função objetivo do problema.
Na formulação do problema estrutural a maioria dos trabalhos buscou a otimização através da minimização do custo total de materiais, utilizando a geometria da seção e área da armadura como variáveis de projeto. Cada trabalho utilizou uma
metodologia especifica para obtenção dos esforços solicitantes e resistentes da estrutura. As restrições consideradas foram, basicamente, a resistência ao momento fletor e ao esforço cortante e taxas de armadura mínima e máxima, prescritos pela norma brasileira. A maioria dos critérios construtivos, como o espaçamento entre barras longitudinais, foram considerados nas rotinas para gerar apenas soluções factíveis. As análises de sensibilidade dos custos demonstraram a importância de se considerar o custo da forma no custo total de estruturas moldadas “in loco”.
De maneira geral, todos os trabalhos apresentados se preocuparam em estudar individualmente as situações de Flexão Simples, Flexão Composta Normal (FCN) e Flexão Composta Oblíqua (FCO), seja em elementos estruturais isolados ou pórtico plano. Na construção civil, principalmente em edificações, as estruturas (vigas e pilares) trabalham de forma solidária, isto é, atuam como um único conjunto estrutural. Desta forma, em uma única estrutura encontra-se mais de uma situação de projeto, tais como pilar de extremidade e pilar de canto em situação de FCN e FCO, respectivamente.
Assim, com o objetivo de ampliar o estudo da aplicação de métodos de otimização em estruturas de concreto armado, esse trabalho busca otimizar as dimensões da seção transversal e armadura de um pórtico tridimensional, utilizando Algoritmos Genéticos, obtendo projetos de custo mínimo e avaliando o emprego de métodos de otimização em estruturas.
3 Metodologia
Este capítulo descreve o procedimento para minimização do custo de um pórtico tridimensional de concreto armado com seções transversais retangulares. Para isso, serão apresentadas as principais características do problema a ser resolvido e descrito o funcionamento do programa utilizado para realizar a otimização. Inicialmente será exposta a formulação do problema com os seus devidos objetivos e restrições a serem atendidas, além das prescrições da NBR 6118:2014 sobre a estrutura de concreto armado. Este assunto é bem mais amplo do que será apresentado, porém os conceitos abordados são suficientes para a compreensão dos procedimentos adotados no programa desenvolvido para o estudo. Por fim, será apresentada a metodologia computacional desenvolvida e as principais rotinas de cálculo do programa de otimização.
3.1 Resumo geral
A metodologia aplicada busca encontrar as dimensões ótimas da seção transversal das vigas e pilares em concreto armado de um pórtico tridimensional. Para tal, um algoritmo genético é utilizado como ferramenta de otimização. Para cada solução candidata é feita a análise estrutural através do programa comercial ANSYS e, posteriormente, o dimensionamento das armaduras é realizado seguindo as orientações da NBR 6118:2014. Por fim, o custo total da estrutura é calculado, sendo este o objetivo. Neste trabalho, a função objetivo do problema de otimização a ser minimizada é o custo total do pórtico, que consiste nos custos do material e da mão-de-obra do concreto, da armadura e da forma. As variáveis de projeto são as alturas da seção transversal e as armaduras dos elementos estruturais, sendo estas últimas dependentes das variáveis primeiramente citadas. As constantes de projeto são a geometria retangular das seções transversais, a largura da seção transversal, a sobrecarga, as propriedades dos materiais, o cobrimento e os valores dos custos dos materiais e mão-de-obra. As restrições de projeto são o equilíbrio das seções transversais dos elementos estruturais, as taxas de armadura máxima e mínima, os espaçamentos máximos e mínimos da armadura e a verificação de abertura de fissuras e as deformações excessivas prescritas pela norma.
3.2 Formulação do problema de otimização
A formulação do problema de otimização deste trabalho seguiu as principais diretrizes matemáticas detalhadas no Capítulo 2. Os elementos para a formulação foram aplicados para otimização do pórtico tridimensional de concreto armado.
3.2.1 Constantes de projeto
As constantes de projeto são: a geometria retangular das seções transversais, a largura da seção transversal (𝑏), a sobrecarga, as propriedades dos materiais (módulo de elasticidade do concreto e do aço, a resistência característica à compressão do concreto (𝑓𝑐𝑘), o coeficiente de Poisson (𝜈) e a resistência ao escoamento do aço de armadura passiva (𝑓𝑦), cobrimento (𝑐) e os valores dos custos dos materiais e mão-de-obra.
3.2.2 Variáveis de projeto
As variáveis independentes de projeto são as alturas da seção transversal das vigas e pilares. A armadura dos elementos estruturais e o peso próprio são determinados em função das variáveis independentes. Assim, no presente trabalho o problema de otimização é formulado por apenas duas variáveis independentes: altura da seção das vigas (ℎ𝑣) e altura da seção dos pilares (ℎ𝑝).
A quantidade de variáveis de projeto se dá conforme a concepção estrutural analisada. Posteriormente, no Capítulo 4 são apresentadas as situações de projeto.
3.2.3 Função objetivo
A função objetivo do problema de otimização a ser minimizada é o custo total das vigas e pilares que compõem a estrutura, que será penalizado se algum dos elementos estruturais violar restrições. O custo total consiste nos custos do material e da mão-de-obra do concreto, da armadura e da forma. O custo total do pórtico é dado pela Equação 3.1.
𝐶𝑇 = 𝐶𝑉+ 𝐶𝑃 (3.1)
onde 𝐶𝑉 é o custo total de todas as vigas e 𝐶𝑃 é o custo total de todos os pilares.
Lembrando que o custo de cada elemento estrutural será multiplicado pelas respectivas penalizações. Os custos das vigas e pilares, já penalizados se for o caso, serão dados pelas Equações 3.2 e 3.3. 𝐶𝑉 = ∑ [∏ 𝑃𝑒𝑛𝑟 𝑘 𝑟=1 (𝐶𝑉𝑐𝑖 + 𝐶𝑉𝑎𝑖 + 𝐶𝑉𝑓𝑖)] 𝑚 𝑖=1 (3.2) 𝐶𝑃 = ∑ [∏ 𝑃𝑒𝑛𝑠 𝑝 𝑠=1 (𝐶𝑃𝑐𝑗 + 𝐶𝑃𝑎𝑗 + 𝐶𝑃𝑓𝑗)] 𝑛 𝑗=1 (3.3)
Na Equação 3.2, 𝑚 é a quantidade de vigas e o custo referente ao concreto, aço e forma são, respectivamente, 𝐶𝑉
𝑐𝑖, 𝐶𝑉𝑎𝑖 e 𝐶𝑉𝑓𝑖. 𝑃𝑒𝑛𝑟 é a função de penalização para a 𝑟-ésima restrição e 𝑘 é a quantidade de penalizações. Na Equação 4.3, 𝐶𝑃
𝑐𝑗, 𝐶𝑃𝑎𝑗 e 𝐶𝑃𝑓𝑗 são o custo referente ao concreto, aço e forma dos pilares, respectivamente, e 𝑛 é a quantidade de pilares. 𝑃𝑒𝑛𝑠 é a função de penalização para a s-ésima restrição; e 𝑝 é a quantidade de
penalizações.
As Equações 3.4, 3.5 e 3.6 mostram as parcelas dos custos referentes às vigas.
𝐶𝑉
𝑐𝑖 = 𝐶𝑐 𝐿𝑣 𝑏 ℎ𝑣 (3.4)
𝐶𝑉𝑎𝑖 = 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑙∗ 𝑁𝑏 + 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑤 (𝐿𝑣/𝑠) (3.5)
𝐶𝑉𝑓𝑖 = 𝐶𝑓 𝐿𝑣 (𝑏 + 2 ℎ𝑣) (3.6)
As Equações 3.7, 3.8 e 3.9 mostram as parcelas dos custos referentes aos pilares.
𝐶𝑃
𝐶𝑃𝑎𝑗 = 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑙∗ 𝑁𝑏 + 𝐶𝑎 𝑦𝑎 𝐿𝑤 (𝐿𝑝/𝑠) (3.8)
𝐶𝑃𝑓𝑗 = 𝐶𝑓 𝐿𝑝 2 (𝑏 + ℎ𝑝) (3.9)
Nas Equações de 3.4 a 3.9, 𝐶𝑐 é o custo do concreto por volume, 𝐶𝑎 é o custo do aço por peso, 𝐶𝑓 é o custo da forma por área, 𝑦𝑎 é o peso do aço, 𝐿𝑣 é o comprimento da
viga, 𝑏 é a espessura da seção transversal, 𝐿𝑃 é o comprimento do pilar, ℎ𝑣 é a altura da
seção transversal da viga, ℎ𝑝 é a altura da seção transversal do pilar, 𝐿𝑙 é o comprimento
da armadura longitudinal, 𝐿𝑤 é o comprimento da armadura transversal, 𝑁𝑏 é o número
de barras longitudinais e 𝑠 é o espaçamento entre as armaduras transversais.
3.2.4 Critério de parada
Por simplicidade, uma vez que o problema a ser resolvido é relativamente simples com apenas dois parâmetros independentes, o critério de parada adotado está relacionado ao número de gerações. Assim, nos resultados aqui apresentados, o número total de soluções candidatas testadas ao longo do processo foi escolhido de tal forma que fosse representativo o número de soluções candidatas no espaço de busca.
3.2.5 Restrições de projeto
Todos os indivíduos gerados são verificados em relação ao Estado Limite Último (ELU), Estado Limite de Serviço (ELS) e detalhamento, conforme as recomendações estabelecidas pela NBR 6118:2014. Caso alguma destas restrições não seja atendida, o indivíduo será penalizado.
A penalização ocorre quando a razão entre o valor calculado e o limite estabelecido pela norma tiver valor maior que a unidade, aumentando o valor da função objetivo. Caso contrário, o valor da penalização será igual à unidade, mantendo o valor da função objetivo inalterado.
As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas de acordo com o item 14.3.1 da NBR 6118:2014.
O pórtico tridimensional desse estudo trata da representação de uma estrutura de pequeno porte, sobre a influência de carregamento vertical uniformemente distribuído nas vigas e o peso próprio da estrutura, ou seja, não sofre influência de carregamentos horizontais. Em virtude disso, foi empregada a análise linear para a verificação do ELU e ELS, conforme o item 14.5.2 da NBR 6118:2014 que afirma que os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir para o dimensionamento dos elementos estruturais no ELU, mesmo que esse dimensionamento admita a plastificação dos materiais, desde que se garanta uma dutilidade mínima às peças.
Por esse motivo, os elementos estruturais são dimensionados apenas para a ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto no domínio 3, ou seja, flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço, obedecendo ao limite de comportamento dúctil presente no item 14.6.4.3 da NBR 6118:2014, garantindo uma boa dutilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada.
Para as vigas, a armadura referente a resistência à flexão é calculada através da Equação 3.10. 𝐴𝑠𝑣 = 𝑀𝑑 𝑓𝑦𝑑 (𝑑 − 0,4 𝑥) (3.10) onde,
𝐴𝑠𝑣 é a área de aço da seção transversal da viga; 𝑀𝑑 é o momento fletor de cálculo;
𝑓𝑦𝑑 é a tensão de cálculo do aço;
𝑑 é a altura útil da seção transversal da viga;
𝑥 é a altura da linha neutra da seção transversal da viga.
O dimensionamento da estrutura é realizado com os esforços obtidos no ELU. a resistência ao esforço cortante (𝑉𝑅𝑑) é determinada utilizando a analogia da treliça, através das equações segundo o Modelo I do item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014. Os esforços e deslocamentos referentes ao ELS são utilizados para verificar a abertura de fissuras e a deformação excessiva.
