Pesquisa operacional e aplica¸c˜
oes
Cristiano Arbex Valle
1 Introdu¸c˜ao
2 Exemplo
3 Sub-´areas da Pesquisa Operacional
1 Introdu¸c˜ao
2 Exemplo
3 Sub-´areas da Pesquisa Operacional
Introdu¸c˜ao
Pesquisa operacional (PO): ´E a representa¸c˜ao de problemas reais atrav´es de modelos matem´aticos em conjunto com o uso de m´etodos quantitativos (algoritmos) para resolve-los, com a inten¸c˜ao de auxiliar o processo de tomada de decis˜oes. ´
E uma ´area multidisciplinar, profissionais e pesquisadores na ´area normalmente s˜ao: Matem´aticos Cientistas da computa¸c˜ao Estat´ısticos Engenheiros Economistas ...
Introdu¸c˜ao
´
E (grande) parte da matem´atica aplicada. Exemplos:
Defini¸c˜ao de escalas de pilotos, tripula¸c˜ao
Gerenciamento de minas, desde a extra¸c˜ao do min´erio at´e a exporta¸c˜ao
Tabela do Campeonato Brasileiro
Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros
Defini¸c˜ao das rotas dos caminh˜oes de lixo
Tratamento de cˆancer com quimioterapia / radioterapia
Otimiza¸c˜ao: em problemas onde existem in´umeras solu¸c˜oes poss´ıveis, encontrar a melhor dentre elas.
A solu¸c˜ao ´otima depende do crit´erio de avalia¸c˜ao escolhido e das caracter´ısticas do problema.
Introdu¸c˜ao
´
E (grande) parte da matem´atica aplicada. Exemplos:
Defini¸c˜ao de escalas de pilotos, tripula¸c˜ao
Gerenciamento de minas, desde a extra¸c˜ao do min´erio at´e a exporta¸c˜ao
Tabela do Campeonato Brasileiro
Onde construir uma delegacia, ou um quartel do corpo de bombeiros
Defini¸c˜ao das rotas dos caminh˜oes de lixo
Tratamento de cˆancer com quimioterapia / radioterapia
Otimiza¸c˜ao: em problemas onde existem in´umeras solu¸c˜oes poss´ıveis, encontrar a melhor dentre elas.
A solu¸c˜ao ´otima depende do crit´erio de avalia¸c˜ao escolhido e das caracter´ısticas do problema.
Introdu¸c˜ao
Em inglˆes: Operational research, Decision science, Management sciences.
Data science ´e outro termo que lida com as mesmas quest˜oes que consideramos em PO:
Temos dados, temos decis˜oes a tomar, como podemos analisar os dados para tomarmos as decis˜oes apropriadas?
PO pode ser considerado um ramo da Data Science.
Na minha vis˜ao, PO tem muito a contribuir e fazer uma diferen¸ca real no mundo.
PO pode nos ajudar a tomar decis˜oes melhores e ´e bem claro que muitas pessoas e empresas n˜ao tomam decis˜oes t˜ao boas assim.
Hist´oria
Ainda sem um nome formal, muitos trabalhos em PO foram desenvolvidos por indiv´ıduos ao longo do tempo.
Por exemplo, Charles Babbage (inventor do conceito de computador program´avel) estudou o custo do transporte e separa¸c˜ao de cartas nos correios da Inglaterra em 1840. Este estudo contribuiu para transformar os correios no que conhecemos hoje (envelopes padronizados, selos pr´e-pagos, etc.).
Hist´oria
A formaliza¸c˜ao do termo Operational Research ocorreu durante a 2a Guerra Mundial.
Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, muni¸c˜ao, rem´edios, etc).
Na Inglaterra, passou-se a estudar m´etodos matem´aticos para gerenciamento destes recursos.
O termo foi cunhado e definido como “um m´etodo cient´ıfico para prover decis˜oes baseadas em crit´erios quantitativos sobre os processos operacionais”.
Ap´os o fim da guerra, PO se expandiu e passou a tratar problemas em diversas outras ´areas, al´em da militar.
Hist´oria
A formaliza¸c˜ao do termo Operational Research ocorreu durante a 2a Guerra Mundial.
Durante a guerra, havia escassez de recursos essencias (tropas, muni¸c˜ao, rem´edios, etc).
Na Inglaterra, passou-se a estudar m´etodos matem´aticos para gerenciamento destes recursos.
O termo foi cunhado e definido como “um m´etodo cient´ıfico para prover decis˜oes baseadas em crit´erios quantitativos sobre os processos operacionais”.
Ap´os o fim da guerra, PO se expandiu e passou a tratar problemas em diversas outras ´areas, al´em da militar.
1 Introdu¸c˜ao
2 Exemplo
3 Sub-´areas da Pesquisa Operacional
Exemplo: O problema da dieta
Em uma cidade pequena com um mercado bem limitado, temos apenas os seguintes produtos:
Alimento Pre¸co por por¸c˜ao Prote´ına (g) Vit. A (mg)
Carne de boi R$3.00 3 60
Soja R$1.20 1 22
Leite R$1.50 2 34
Devemos consumir pelo menos 8g de prote´ına por dia e 150mg de Vitamina A (valores totalmente fict´ıcios).
O que comprar (e consumir) de forma que o nosso gasto seja o m´ınimo poss´ıvel?
Exemplo: O problema da dieta
Temos que decidir quantas por¸c˜oes comprar de carne de boi, soja e leite.
Como ainda n˜ao sabemos quantas por¸c˜oes comprar, vamos criar vari´aveis B, S e L.
Queremos gastar o m´ınimo poss´ıvel, por isso gostar´ıamos de valores para as vari´aveis de forma que o valor da fun¸c˜ao 3B + 1.2S + 1.5L seja o menor poss´ıvel.
Temos que garantir que vamos consumir o m´ınimo recomendado de prote´ına e Vitamina A:
3B + 1S + 2L ≥ 8 (Prote´ına) 60B + 22S + 34L ≥ 150 (Vitamina A)
Exemplo: O problema da dieta
Temos que decidir quantas por¸c˜oes comprar de carne de boi, soja e leite.
Como ainda n˜ao sabemos quantas por¸c˜oes comprar, vamos criar vari´aveis B, S e L.
Queremos gastar o m´ınimo poss´ıvel, por isso gostar´ıamos de valores para as vari´aveis de forma que o valor da fun¸c˜ao 3B + 1.2S + 1.5L seja o menor poss´ıvel.
Temos que garantir que vamos consumir o m´ınimo recomendado de prote´ına e Vitamina A:
3B + 1S + 2L ≥ 8 (Prote´ına) 60B + 22S + 34L ≥ 150 (Vitamina A)
Exemplo: O problema da dieta
Alimento Pre¸co por por¸c˜ao Prote´ına (g) Vit. A (mg)
Carne de boi R$3.00 3 60
Soja R$1.20 1 22
Leite R$1.50 2 34
Transformamos um problema da vida real em um modelo matem´atico:
Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a
1 Introdu¸c˜ao
2 Exemplo
3 Sub-´areas da Pesquisa Operacional
Sub-´areas
PO ´e uma ´area extensa e que possui v´arias sub´areas, algumas das ´areas s˜ao mais antigas que a pr´opria PO.
Alguns exemplos:
Controle de invent´ario
Tamb´em conhecido como controle de estoque
Manter itens em estoques custa caro
N˜ao ter os itens na hora da venda significa perder o cliente
Quando fazer compras para preencher o estoque? Quantos produtos comprar por vez?
Sub-´areas
PO ´e uma ´area extensa e que possui v´arias sub´areas, algumas das ´areas s˜ao mais antigas que a pr´opria PO.
Alguns exemplos: Controle de invent´ario
Tamb´em conhecido como controle de estoque
Manter itens em estoques custa caro
N˜ao ter os itens na hora da venda significa perder o cliente
Quando fazer compras para preencher o estoque? Quantos produtos comprar por vez?
Sub-´areas
Teoria de Filas
Estudo da forma¸c˜ao de filas O que vale mais a pena?
Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores.
Sub-´areas
Teoria de Filas
Estudo da forma¸c˜ao de filas O que vale mais a pena?
Mais caixas no supermercado: custo alto, mas filas menores. Menos caixas: Custo baixo, mas filas maiores.
Sub-´areas
Processos de Markov
Estudo de processos estoc´asticos com certas caracter´ısticas:
Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudan¸cas de um estado para o outro.
Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing.
Ex.: Divis˜ao de mercado entre Apple x Android x Windows
Outras aplica¸c˜oes:
Identifica¸c˜ao de mudan¸cas no “humor” do mercado (ex.: crises como a de 2008)
Reconhecimento autom´atico de voz ´
E base do algoritmo PageRank do Google, utilizado para definir quais p´aginas aparecem primeiro na busca.
Sub-´areas
Processos de Markov
Estudo de processos estoc´asticos com certas caracter´ısticas:
Dependem apenas do estado atual e da probabilidade de mudan¸cas de um estado para o outro.
Muito utilizado, por exemplo, para prever fatias de mercado e direcionar campanhas de marketing.
Ex.: Divis˜ao de mercado entre Apple x Android x Windows
Outras aplica¸c˜oes:
Identifica¸c˜ao de mudan¸cas no “humor” do mercado (ex.: crises como a de 2008)
Reconhecimento autom´atico de voz ´
E base do algoritmo PageRank do Google, utilizado para definir quais p´aginas aparecem primeiro na busca.
Sub-´areas
Teoria de jogos
Modelos matem´aticos que estudam conflito e coopera¸c˜ao entre tomadores de decis˜ao racionais.
Aplica¸c˜oes em ciˆencia pol´ıtica, economia, biologia, filosofia, etc.
Dilema do prisioneiro: dois prisioneiros, A e B, s˜ao interrogados separadamente, e s˜ao dadas a ambos as seguintes op¸c˜oes:
B fica em silˆencio B entrega A
A fica em silˆencio 1 ano de pris˜ao para ambos B fica livre, A pega 10 anos A entrega B A fica livre, B pega 10 anos Ambos pegam 5 anos
Sub-´areas
Teoria de jogos
Modelos matem´aticos que estudam conflito e coopera¸c˜ao entre tomadores de decis˜ao racionais.
Aplica¸c˜oes em ciˆencia pol´ıtica, economia, biologia, filosofia, etc. Dilema do prisioneiro: dois prisioneiros, A e B, s˜ao interrogados separadamente, e s˜ao dadas a ambos as seguintes op¸c˜oes:
B fica em silˆencio B entrega A
A fica em silˆencio 1 ano de pris˜ao para ambos B fica livre, A pega 10 anos A entrega B A fica livre, B pega 10 anos Ambos pegam 5 anos
Sub-´areas
Programa¸c˜ao linear
Modela matematicamente problemas atrav´es de equa¸c˜oes e vari´aveis lineares
Possui um n´umero enorme de aplica¸c˜oes pr´aticas.
Modelos possuem uma fun¸c˜ao objetivo, vari´aveis lineares e restri¸c˜oes.
Exemplo: O problema da dieta
Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a
3B + 1S + 2L ≥8 (Prote´ına)
Sub-´areas
Programa¸c˜ao linear
Modela matematicamente problemas atrav´es de equa¸c˜oes e vari´aveis lineares
Possui um n´umero enorme de aplica¸c˜oes pr´aticas.
Modelos possuem uma fun¸c˜ao objetivo, vari´aveis lineares e restri¸c˜oes.
Exemplo: O problema da dieta
Minimize R$3B + R$1.2S + R$1.5L sujeito a
3B + 1S + 2L ≥8 (Prote´ına)
Sub-´areas
Programa¸c˜ao inteira
Semelhante `a Prog, Linear, mas algumas (ou todas) vari´aveis tˆem que ser necessariamente inteiras.
Muito mais dif´ıceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear.
Modelam in´umeros problemas da vida real:
Onde construir antenas de celulares Escala de trabalho de pilotos, m´edicos, etc. Planejamento de produ¸c˜ao de uma f´abrica
Menor rota para ve´ıculos que devem fazer v´arias entregas
Problemas de otimiza¸c˜ao combinat´oria s˜ao normalmente tratados com Prog. Inteira.
Sub-´areas
Programa¸c˜ao inteira
Semelhante `a Prog, Linear, mas algumas (ou todas) vari´aveis tˆem que ser necessariamente inteiras.
Muito mais dif´ıceis de resolver, do ponto de vista computacional, que modelos de Prog. Linear.
Modelam in´umeros problemas da vida real:
Onde construir antenas de celulares Escala de trabalho de pilotos, m´edicos, etc. Planejamento de produ¸c˜ao de uma f´abrica
Menor rota para ve´ıculos que devem fazer v´arias entregas
Problemas de otimiza¸c˜ao combinat´oria s˜ao normalmente tratados com Prog. Inteira.
1 Introdu¸c˜ao
2 Exemplo
3 Sub-´areas da Pesquisa Operacional
Perspectiva hist´orica
O problema de sele¸c˜ao de portfolios:
Como distribuir o seu dinheiro em diferentes a¸c˜oes?
At´e os anos 50 (no mundo) e at´e hoje (no Brasil), investidores analisavam cada a¸c˜ao individualmente para a tomada de decis˜oes.
Harry Markowitz observou que esta abordagem ´e de alto risco pois n˜ao leva em considera¸c˜ao o risco de mercado:
Ex. Algumas a¸c˜oes tendem a se mover em conjunto.
Markowitz propˆos um modelo de Prog. Quadr´atica que minimiza o risco e que possua retorno esperado desej´avel.
Perspectiva hist´orica
O problema de sele¸c˜ao de portfolios:
Como distribuir o seu dinheiro em diferentes a¸c˜oes?
At´e os anos 50 (no mundo) e at´e hoje (no Brasil), investidores analisavam cada a¸c˜ao individualmente para a tomada de decis˜oes. Harry Markowitz observou que esta abordagem ´e de alto risco pois n˜ao leva em considera¸c˜ao o risco de mercado:
Ex. Algumas a¸c˜oes tendem a se mover em conjunto.
Markowitz propˆos um modelo de Prog. Quadr´atica que minimiza o risco e que possua retorno esperado desej´avel.
Perspectiva hist´orica
Muitos outros modelos j´a foram propostos desde ent˜ao (CAPM, Arbitragem, etc.)
Um problema do modelo de Markowitz:
A volatilidade como medida de risco captura tanto o risco de queda quanto o risco de alta.
Pesquisadores inventaram novas medidas de risco, como VaR e CVaR, que tratam apenas do risco de queda.
Value-at-Risk (VaR)
O VaR depende de como modelamos o retorno esperado de nosso portfolio:
VaR95 significa dizer que ”com 95% de probabilidade, seu
Conditional Value-at-Risk (CVaR)
o CVaR foi proposto por Rockafeller e Uryasev em 2000 como alternativa:
´
E definido como a m´edia ponderada entre o VaR e todas as perdas que excedem o VaR.
Minimiza¸c˜ao de CVaR
O estudo matem´atico do comportamento do mercado financeiro se chama An´alise Quantitativa ou Quantitative Finance. Uma vantagem do CVaR:
Existe um modelo de Programa¸c˜ao Inteira que minimiza o CVaR: Ele busca a combina¸c˜ao de a¸c˜oes que possui o menor risco esperado poss´ıvel;
Muitos fundos de investimento utilizam modelos como este e o de Markowitz na pr´atica.
Pesquisa
Em parceria com cientistas ingleses, estamos trabalhando em um modelo de sele¸c˜ao de portfolios que busca ser melhor que o modelo que minimiza o CVaR.
Este modelo ´e baseado em um conceito chamado dominˆancia estoc´astica.
A dominˆancia estoc´astica tem potencial para n˜ao apenas controlar o risco de queda (como o CVaR) mas tamb´em tirar proveito do potencial de alta (ao contr´ario do CVaR).
Pesquisa
A dominˆancia estoc´astica ´e uma forma de dizer que uma vari´avel aleat´oria ´e “superior” a outra.
Um portfolio ´e uma vari´avel aleat´oria (n˜ao sabemos ao certo o que vai acontecer amanh˜a).
Sejam X e Y dois portfolios diferentes (duas vari´aveis
Pesquisa
A dominˆancia estoc´astica ´e uma forma de dizer que uma vari´avel aleat´oria ´e “superior” a outra.
Um portfolio ´e uma vari´avel aleat´oria (n˜ao sabemos ao certo o que vai acontecer amanh˜a).
Sejam X e Y dois portfolios diferentes (duas vari´aveis
Pesquisa
Em um modelo que usa dominˆancia estoc´astica, precisamos dominar alguma coisa (benchmark).
No mercado financeiro ´e bem comum escolhermos um ´ındice como benchmark.
Ex.: iBovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc.
Constru´ımos um modelo de Prog. Inteira que procura dominar o ´ındice escolhido.
Para ser justo, comparamos um portfolio de a¸c˜oes brasileiras apenas com o ´ındice iBov.
Pesquisa
Em um modelo que usa dominˆancia estoc´astica, precisamos dominar alguma coisa (benchmark).
No mercado financeiro ´e bem comum escolhermos um ´ındice como benchmark.
Ex.: iBovespa, Dow Jones, S&P500, FTSE100, etc.
Constru´ımos um modelo de Prog. Inteira que procura dominar o ´ındice escolhido.
Para ser justo, comparamos um portfolio de a¸c˜oes brasileiras apenas com o ´ındice iBov.
Pesquisa max V sujeito a: P i ∈N xL i = 1 + α P i ∈N xS i = α zL i + ziS ≤ 1 ∀i ∈ N xL i ≤ (1 + α)ziL ∀i ∈ N xS i ≤ αziS ∀i ∈ N V + ˆτs ≤S1 P j ∈J P i ∈N rij(xiL− x S i ) ∀Js ⊂ {1, . . . , S}, |Js| = s, s ∈ S
Pesquisa - Resultados
Para fazer testes, ´e necess´ario desenvolver um ambiente de simula¸c˜ao (backtesting).
Este ambiente simula o que teria acontecido caso tiv´essemos investido no passado.
Inclui custos de transa¸c˜ao e outros detalhes para tornar o problema realista.
Simula¸c˜ao ´e outra ´area da PO:
Resultados, Inglaterra
Valor Ret. anualizado M´aximo Max dias Final em excesso (%) drawdown (%) recupera¸c˜ao
FTSE100 0.99 -2.10 47.83 1517
Resultados, Brasil
Valor Ret. anualizado M´aximo Max dias Final em excesso (%) drawdown (%) recupera¸c˜ao
iBovespa 0.71 -16.35 38.40 1029
100/100 s/ 1.75 2.38 8.46 454
